选修2-3教案2.2.2 事件的独立性

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高中数学人教A版选修2-3教学案2.2.2 事件的相互独立性 Word版含解析

．．事件的相互独立性预习课本～，思考并完成以下问题．事件的相互独立性的定义是什么？性质是什么？．相互独立事件与互斥事件的区别？事件的相互独立性，则称事件与事件相互独立．()定义：设，为两个事件，如果()＝()()()性质：与是相互独立事件，则(\\(与\(),\()与,\()与\()))也相互独立．[点睛]相互独立事件与互斥事件的区别．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)()不可能事件与任何一个事件相互独立．( )()必然事件与任何一个事件相互独立．( )()如果事件与事件相互独立，则()＝()．( )()“()＝()·()”是“事件，相互独立”的充要条件．( )答案：()√()√()√()√．甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为．和．．那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率为．答案：．．一件产品要经过两道独立的工序，第一道工序的次品率为, 第二道工序的次品率为,则该产品的正品率为．答案：(－)(－)．已知，是相互独立事件，且()＝，()＝，则()＝，()＝．答案：!错误事件独立性的判断[典例] 判断下列事件是否为相互独立事件．()甲组名男生，名女生；乙组名男生，名女生，现从甲、乙两组中各选名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出名男生”与“从乙组中选出名女生”．()容器内盛有个白乒乓球和个黄乒乓球，“从个球中任意取出个，取出的是白球”与“从剩下的个球中任意取出个，取出的还是白球”．[解]()“从甲组中选出名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出名女生”这一事件是否发生没有影响，所以它们是相互独立事件．()“从个球中任意取出个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的个球中任意取出个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．两个事件是否相互独立的判断()直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．()定义法：如果事件，同时发生的概率等于事件发生的概率与事件发生的概率的积，则事件，为相互独立事件．()条件概率法：当()>时，可用()＝()判断．[活学活用]把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次，判断下列各组事件是否是独立事件？()＝{掷出偶数点}，＝{掷出奇数点}；()＝{掷出偶数点}，＝{掷出的倍数点}；()＝{掷出偶数点}，＝{掷出的点数小于}．解：()∵()＝，()＝，()＝，∴与不是相互独立事件．。

高中数学选修2-3优质学案：2.2.2 事件的相互独立性

2．2.2 事件的相互独立性[学习目标] 1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念.2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题．[知识链接]1．3张奖券只有1张能中奖，3名同学有放回地抽取．事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“第三名同学抽到中奖奖券”，事件A的发生是否会影响B发生的概率？答因抽取是有放回的，所以A的发生不会影响B发生的概率，事件A和事件B相互独立．2．互斥事件与相互独立事件有什么区别？答两个事件相互独立与互斥的区别：两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．[预习导引]1．相互独立的概念设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．2．相互独立的性质如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立．要点一相互独立事件的判断例1 从一副扑克牌(除去大小王，共52张)中任抽一张，设A ＝“抽得老K ”，B ＝“抽得红牌”，判断事件A 与B 是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？解由于事件A 为“抽得老K ”，事件B 为“抽得红牌”，故抽得红牌中有可能抽到红桃K 或方块K ，即有可能抽到老K ，故事件A ，B 有可能同时发生，显然它们不是互斥事件，更不是对立事件，以下考虑它们是否互为独立事件：抽到老K 的概率为P (A )＝452＝113，抽到红牌的概率P (B )＝2652＝12，故P (A )P (B )＝113×12＝126，事件AB 即为“既抽得老K 又抽得红牌”，亦即“抽得红桃老K 或方块老K ”，故P (AB )＝252＝126，从而有P (A )·P (B )＝P (AB )，因此A与B 互为独立事件．规律方法对于事件A ，B ，在一次试验中，A ，B 如果不能同时发生，则称A ，B 互斥．一次试验中，如果A ，B 两个事件互斥且A ，B 中必然有一个发生，则称A ，B 对立，显然A ∪A 为一个必然事件．A ，B 互斥则不能同时发生，但有可能同时不发生．两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．跟踪演练1 (1)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A ：“甲击中目标”，事件B ：“乙击中目标”，则事件A 与事件B ( ) A ．相互独立但不互斥 B ．互斥但不相互独立 C ．相互独立且互斥 D ．既不相互独立也不互斥(2)掷一枚正方体骰子一次，设事件A ：“出现偶数点”，事件B ：“出现3点或6点”，则事件A ，B 的关系是( )A ．互斥但不相互独立B ．相互独立但不互斥C ．互斥且相互独立D ．既不相互独立也不互斥 [答案] (1)A (2)B[解析] (1)对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A 与B 相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A 与B 可能同时发生，所以事件A 与B 不是互斥事件．(2)事件A ＝{2,4,6}，事件B ＝{3,6}，事件AB ＝{6}，基本事件空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}．所以P (A )＝36＝12，P (B )＝26＝13，P (AB )＝16＝12×13，即P (AB )＝P (A )P (B )，因此，事件A 与B相互独立．当“出现6点”时，事件A ，B 同时发生，所以A ，B 不是互斥事件．要点二相互独立事件同时发生的概率例2 甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：(1)2人都射中目标的概率； (2)2人中恰有1人射中目标的概率； (3)2人至少有1人射中目标的概率； (4)2人至多有1人射中目标的概率．解设“甲射击1次，击中目标”为事件A ，“乙射击1次，击中目标”为事件B ，则A 与B ，A 与B ，A 与B ，A 与B 为相互独立事件．(1)2人都射中目标的概率为P (AB )＝P (A )·P (B )＝0.8×0.9＝0.72.(2)“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件A B 发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件A B 发生)．根据题意，事件A B 与A B 互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为 P (A B )＋P (A B )＝P (A )·P (B )＋P (A )·P (B ) ＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9 ＝0.08＋0.18＝0.26.(3)“2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人有1人射中”2种情况，其概率为P ＝P (AB )＋[P (A B )＋P (A B )]＝0.72＋0.26＝0.98.(4)“2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况，故所求概率为P ＝P (A B )＋P (A B )＋P (A B )＝P (A )·P (B )＋P (A )·P (B )＋P (A )·P (B )＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28.规律方法解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义，若A ，B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也是相互独立的，代入相互独立事件的概率公式求解．跟踪演练2 甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为13和14.求(1)两人都能破译的概率； (2)两人都不能破译的概率； (3)恰有一人能破译的概率； (4)至多有一人能破译的概率．解设“甲能破译”为事件A ，“乙能破译”为事件B ，则A ，B 相互独立，从而A 与B ，A 与B ，A 与B 均相互独立．(1)“两人都能破译”为事件AB ，则P (AB )＝P (A )·P (B )＝13×14＝112.(2)“两人都不能破译”为事件A B ，则 P (A B )＝P (A )·P (B )＝[1－P (A )]·[1－P (B )] ＝(1－13)×(1－14)＝12.(3)“恰有一人能破译”为事件(A B )∪(A B )，又A B 与A B 互斥，则P ((A B )∪(A B ))＝P (A B )＋P (A B )＝P (A )·P (B )＋P (A )·P (B ) ＝13×(1－14)＋(1－13)×14＝512. (4)“至多一人能破译”为事件(A B )∪(A B )∪(A B )，且A B ，A B ，A B 互斥，故 P ((A B )∪(A B )∪(A B )) ＝P (A B )＋P (A B )＋P (A B )＝P (A )·P (B )＋P (A )·P (B )＋P (A )·P (B ) ＝13×(1－14)＋(1－13)×14＋(1－13)×(1－14)＝1112. 要点三相互独立事件概率的综合应用例3 某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，问一次考试中 (1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？(2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？解分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A，B，C，则A，B，C两两相互独立且P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.85.(1)“三科成绩均未获得第一名”可以用A B C表示P(A B C)＝P(A)P(B)P(C)＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝(1－0.9)(1－0.8)(1－0.85)＝0.003所以三科成绩均未获得第一名的概率是0.003.(2)“恰有一科成绩未获得第一名”可以用(A BC)∪(A B C)∪(AB C)表示．由于事件A BC，A B C和AB C两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的意义，所求的概率为P(A BC)＋P(A B C)＋P(AB C) ＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝[1－P(A)]P(B)P(C)＋P(A)[1－P(B)]P(C)＋P(A)P(B)[1－P(C)]＝(1－0.9)×0.8×0.85＋0.9×(1－0.8)×0.85＋0.9×0.8×(1－0.85)＝0.329，所以恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329.规律方法求复杂事件的概率，应先列出题中涉及的各事件，并用适当的符号表示，再理清各事件之间的关系，最后根据事件之间的关系选取相应的公式进行计算．跟踪演练3某机械厂制造一种汽车零件，已知甲机床的正品率是0.96，乙机床的次品率是0.05，现从它们制造的产品中各任意抽取一件，试求：(1)两件产品都是正品的概率；(2)恰有一件是正品的概率；(3)至少有一件正品的概率．解用A表示“从甲机床生产的产品中抽得正品”，用B表示“从乙机床生产的产品中抽得正品”，用C表示“抽得的两件产品中恰有一件是正品”，用D表示“抽得的两件产品中至少有一件正品”，则C＝(A B)∪(A B)，D＝C∪(AB)．(1)由题意知，A与B是相互独立事件P(B)＝1－P(B)＝1－0.05＝0.95，P(A)＝0.96，所以两件都是正品的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝0.96×0.95＝0.912.(2)由于事件A B与A B互斥，所以恰有一件是正品的概率为P (C )＝P [(A B )∪(A B )] ＝P (A B )＋P (A B ) ＝P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝0.96×0.05＋0.04×0.95＝0.086. (3)由于事件AB 与C 互斥，所以P (D )＝P [(AB )∪C ] ＝P (AB )＋P (C ) ＝0.912＋0.086＝0.998.1．坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地取球2次，每次取一球，用A 1表示第一次取得白球，A 2表示第二次取得白球，则A 1和A 2是( ) A ．互斥的事件 B ．相互独立的事件 C ．对立的事件 D ．不相互独立的事件[答案] D[解析] ∵P (A 1)＝35.若A 1发生了，P (A 2)＝24＝12；若A 1不发生，P (A 2)＝34，即A 1发生的结果对A 2发生的结果有影响，∴A 1与A 2不是相互独立事件．2．甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，分别译出的概率为15，13，14，则此密码能译出的概率是( ) A.160B.25C.35D.5960 [答案] C[解析] 用A ，B ，C 分别表示甲、乙、丙三人破译出密码，则P (A )＝15，P (B )＝13，P (C )＝14，且P (A ·B ·C )＝P (A )·P (B )·P (C )＝45×23×34＝25.∴此密码被译出的概率为1－25＝35.3．甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是p 1，乙解决这个问题的概率是p 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( ) A ．p 1p 2 B ．p 1(1－p 2)＋p 2(1－p 1) C ．1－p 1p 2 D ．1－(1－p 1)(1－p 2)[答案] B[解析] 恰好有1人解决可分为甲解决乙没解决、甲没解决乙解决．这两个事件显然是互斥的．所以恰好有1人解决这个问题的概率为p 1(1－p 2)＋p 2(1－p 1)．故选B.4．某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为45，乙当选的概率为35，丙当选的概率为710. (1)求恰有一名同学当选的概率； (2)求至多有两人当选的概率．解设甲、乙、丙当选的事件分别为A ，B ，C ，则有P (A )＝45，P (B )＝35，P (C )＝710.(1)因为事件A ，B ，C 相互独立，所以恰有一名同学当选的概率为 P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C ) ＝45×25×310＋15×35×310＋15×25×710＝47250. (2)至多有两人当选的概率为 1－P (ABC )＝1－P (A )P (B )P (C ) ＝1－45×35×710＝83125.一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提．相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的．(列表比较)。

高二数学 2.2.2事件的相互独立性教案新人教版选修2-3

§2．2．2事件的相互独立性教学过程：一、复习引入： 1 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；必然事件：在一定条件下必然发生的事件；不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率m n总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作()P A ．3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率；4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1P A ≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形 5基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A ）称为一个基本事件6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n ，这种事件叫等可能性事件 7．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()P A n = 8．等可能性事件的概率公式及一般求解方法9.事件的和的意义:对于事件A 和事件B 是可以进行加法运算的10 互斥事件:不可能同时发生的两个事件．()()()P A B P A P B +=+一般地：如果事件12,,,n A A A L 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A L 彼此互斥 11．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．()1()1()P A A P A P A +=⇒=-12．互斥事件的概率的求法:如果事件12,,,n A A A L 彼此互斥，那么12()n P A A A +++L ＝12()()()n P A P A P A +++L探究:(1)甲、乙两人各掷一枚硬币，都是正面朝上的概率是多少？事件A ：甲掷一枚硬币，正面朝上；事件B ：乙掷一枚硬币，正面朝上(2)甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？事件A ：从甲坛子里摸出1个球，得到白球；事件B ：从乙坛子里摸出1个球，得到白球问题(1)、(2)中事件A 、B 是否互斥？（不互斥）可以同时发生吗？（可以）问题(1)、(2)中事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率有无影响？（无影响）思考:三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学有放回地抽取,事件A 为“第一名同学没有抽到中奖奖券”, 事件B 为“最后一名同学抽到中奖奖券”. 事件A 的发生会影响事件B 发生的概率吗?显然，有放回地抽取奖券时，最后一名同学也是从原来的三张奖券中任抽一张，因此第一名同学抽的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响，即事件A 的发生不会影响事件B 发生的概率．于是P （B| A ）=P(B ）,P （AB ）=P( A ) P ( B |A ）=P （A ）P(B).二、讲解新课：1．相互独立事件的定义：设A, B 为两个事件，如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 则称事件A 与事件B 相互独立（mutually independent ) .事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立2．相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ⋅=⋅问题2中，“从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球”是一个事件，它的发生，就是事件A ，B 同时发生，记作A B ⋅．（简称积事件）从甲坛子里摸出1个球，有5种等可能的结果；从乙坛子里摸出1个球，有4种等可能的结果于是从这两个坛子里分别摸出1个球，共有54⨯种等可能的结果果有32⨯种所以从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率323()5410P A B ⨯⋅==⨯．另一方面，从甲坛子里摸出1个球，得到白球的概率3()5P A =，从乙坛子里摸出1个球，得到白球的概率2()4P B =．显然()()()P A B P A P B ⋅=⋅．这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积如果事件12,,,n A A A L 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即 1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅L L ．3．对于事件A 与B 及它们的和事件与积事件有下面的关系： ()()()(B A P B P A P B A P ⋅-+=+三、讲解范例：例 1.某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是 0 . 05 ，求两次抽奖中以下事件的概率：(1)都抽到某一指定号码；(2)恰有一次抽到某一指定号码；(3)至少有一次抽到某一指定号码．解： (1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A, “第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B ，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB ．由于两次抽奖结果互不影响，因此A 与B 相互独立．于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) = 0. 05×0.05 = 0.0025.(2 ) “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用（A B ）U （A B ）表示．由于事件A B 与A B 互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为 P (A B ）十P （A B ）=P （A ）P （B ）+ P （A ）P （B )= 0. 05×(1-0.05 ) + (1-0.05 ) ×0.05 = 0. 095.( 3 ) “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用（AB ) U ( A B ）U （A B ）表示．由于事件 AB , A B 和A B 两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为 P ( AB ) + P （A B ）+ P （A B ) = 0.0025 +0. 095 = 0. 097 5.例2.甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：（1）2人都射中目标的概率；（2）2人中恰有1人射中目标的概率；（3）2人至少有1人射中目标的概率；（4）2人至多有1人射中目标的概率？解：记“甲射击1次，击中目标”为事件A ，“乙射击1次，击中目标”为事件B ，则A 与B ，A 与B ，A 与B ，A 与B 为相互独立事件，（1）2人都射中的概率为：()()()0.80.90.72P A B P A P B ⋅=⋅=⨯=，∴2人都射中目标的概率是0.72．（2）“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中（事件A B ⋅发生），另一种是甲未击中、乙击中（事件A B ⋅发生）根据题意，事件A B ⋅与A B ⋅互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为： ()()()()()()P A B P A B P A P B P A P B ⋅+⋅=⋅+⋅0.8(10.9)(10.8)0.90.080.180.26=⨯-+-⨯=+=∴2人中恰有1人射中目标的概率是0.26．（3）（法1）：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况，其概率为()[()()]0.720.260.98P P A B P A B P A B =⋅+⋅+⋅=+=．（法2）：“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事件，2个都未击中目标的概率是()()()(10.8)(10.9)0.02P A B P A P B ⋅=⋅=--=，∴“两人至少有1人击中目标”的概率为1()10.020.98P P A B =-⋅=-=．（4）（法1）：“至多有1人击中目标”包括“有1人击中”和“2人都未击中”，故所求概率为：()()()P P A B P A B P A B =⋅+⋅+⋅()()()()()()P A P B P A P B P A P B =⋅+⋅+⋅0.020.080.180.28=++=．（法2）：“至多有1人击中目标”的对立事件是“2人都击中目标”，故所求概率为1()1()()10.72P P A B P A P B =-⋅=-⋅=-=例 3.在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率解：分别记这段时间内开关A J ，B J ，C J 能够闭合为事件A ，B ，C ．由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是()()()()P A B C P A P B P C ⋅⋅=⋅⋅[][][]1()1()1()P A P B P C =--- (10.7)(10.7)(10.7)0.027=---=∴这段时间内至少有1个开关能够闭合，，从而使线路能正常工作的概率是1()10.0270.973P A B C -⋅⋅=-=．答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973．变式题1：如图添加第四个开关D J 与其它三个开关串联，在某段时间内此开关能够闭合的概率也是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率（1()()0.9730.70.6811P A B C P D ⎡⎤-⋅⋅⋅=⨯=⎣⎦）变式题2：如图两个开关串联再与第三个开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率方法一：()()()()()P A B C P A B C P A B C P A B C P A B C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅()()()()()()()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅0.847=方法二：分析要使这段时间内线路正常工作只要排除C J 开且A J 与BJ至少有1个开的情况 []21()1()10.3(10.7)0.847P C P A B --⋅=-⨯-=例 4.已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2．（1）假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；（2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？分析:因为敌机被击中的就是至少有1门高炮击中敌机，故敌机被击中的概率即为至少有1门高炮击中敌机的概率解:（1）设敌机被第k 门高炮击中的事件为K A (k=1,2,3,4,5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为12345A A A A A ⋅⋅⋅⋅．∵事件1A ，2A ，3A ，4A ，5A 相互独立，∴敌机未被击中的概率为12345()P A A A A A ⋅⋅⋅⋅=12345()()()()()P A P A P A P A P A ⋅⋅⋅⋅5(10.2)=-=)54( ∴敌机未被击中的概率为5)54(．（2）至少需要布置n 门高炮才能有0.9以上的概率被击中，仿（1）可得：敌机被击中的概率为1-n)54(∴令41()0.95n -≥，∴41()510n ≤ 两边取常用对数，得113lg 2n ≥≈- ∵+∈N n ，∴n = ∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机点评：上面例1和例2的解法，都是解应用题的逆向思考方法采用这种方法在解决带有词语“至多”、“至少”的问题时的运用，常常能使问题的解答变得简便四、课堂练习： 1．在一段时间内，甲去某地的概率是14，乙去此地的概率是15，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是( ) ()A 320 ()B 15 ()C 25()D 920 2．从甲口袋内摸出1个白球的概率是13，从乙口袋内摸出1个白球的概率是12，从两个口袋内各摸出1个球，那么56等于（） ()A 2个球都是白球的概率 ()B 2个球都不是白球的概率()C 2个球不都是白球的概率 ()D 2个球中恰好有1个是白球的概率3．电灯泡使用时间在1000小时以上概率为0.2，则3个灯泡在使用1000小时后坏了1个的概率是（）()A 0.128 ()B 0.096 ()C 0.104 ()D 0.3844．某道路的A 、B 、C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是（）()A 35192 ()B 25192 ()C 35576 ()D 651925．（1）将一个硬币连掷5次，5次都出现正面的概率是；（2）甲、乙两个气象台同时作天气预报，如果它们预报准确的概率分别是0.8与0.7，那么在一次预报中两个气象台都预报准确的概率是．6．棉籽的发芽率为0.9，发育为壮苗的概率为0.6，（1）每穴播两粒，此穴缺苗的概率为；此穴无壮苗的概率为．（2）每穴播三粒，此穴有苗的概率为；此穴有壮苗的概率为．7．一个工人负责看管4台机床，如果在1小时内这些机床不需要人去照顾的概率第1台是0.79，第2台是0.79，第3台是0.80，第4台是0.81，且各台机床是否需要照顾相互之间没有影响，计算在这个小时内这4台机床都不需要人去照顾的概率.8．制造一种零件，甲机床的废品率是0.04，乙机床的废品率是0.05．从它们制造的产品中各任抽1件，其中恰有1件废品的概率是多少？9．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，问取得的球是同色的概率是多少？答案：1. C 2. C 3. B 4. A 5.(1)132 (2) 0.56 6.(1) 0.01 , 0.16 (2) 0.999,0.9367. P=220.790.810.404⨯≈8. P=0.040.950.960.050.086⨯+⨯≈9. 提示：86461121212122P =⋅+⋅= 五、小结：两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的个事件发生的概率的积,这一点与互斥事件的概率和也是不同的。

人教版高中数学选修2-3：2.2.2 事件的相互独立性教案设计

定义：事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即，这时我们称两个事件A,B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件。
练习：（1）甲乙两人各掷一枚硬币
事件A：甲掷一枚硬币，正面向上；
事件B：乙掷一枚硬币，正面向上；
事件C：乙掷一枚硬币，反面向上。
（2）将一枚骰子连续掷两次，
事件A：第一次掷得的点数是6；
1、本节课重点学习相互独立事件的概念及同时发生的概率求法；
2、解决问题的关键：分清事件类型；分解复杂问题为基本的互斥事件与独立事件。
3、我的改编题：
例2的变式
变式1加入第四个问题：4、至多有一人投中的概率.
变式2甲乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，甲投中的概率为0.6,乙投中的概率为0.7.其余问题不变。
教师给出一组练习，对事件独立性概念加以巩固。
通过案例研究得出结论1：A和B独立时，A和，和，和B，也相互独立
教师提问，引导学生思考第一枚硬币正面向上和第二枚硬币正面向上两件事的关系，进而得到结论
让学生分析其中的各个事件的关系，通过类比猜想得到
100个相乘
教师可以引导学习利用古典概型的知识加以验证，肯定猜想是正确的。然后推广到n个相互独立事件都发生的概率公式。
（四）
总结升华
（五）
布置作业
（六）
板书设计
问题1：三个臭皮匠能顶一个诸葛亮吗？
诸葛亮一人组成的团队PK臭皮匠三人组成的团队，他们解决同一个问题的概率分别为：诸葛亮解决问题的概率为0.85；臭皮匠老大解决问题的概率为0.5,老二为0.4,老三为0.3,要求臭皮匠团队成员必须独立解决，三人中至少有一人解决问题就算团队胜出，问臭皮匠团队与诸葛亮团队谁的胜算比较大？
例1的设置时为了让学生更好的理解定义

高中数学第二章《事件的独立性》教案2 新人教A版选修2-3

2.2.2事件的独立性（第二课时）教学目标：了解两个事件相互独立的概念及简单应用教学重点：了解两个事件相互独立的概念及简单应用教学过程一、复习引入：1. 已知事件B 发生条件下事件A 发生的概率称为事件A 关于事件B 的条件概率，记作(|)P A B .2. 对任意事件A 和B ，若()0P B ≠，则“在事件B 发生的条件下A 的条件概率”，记作P(A | B)，定义为(|)P AB P A B P B （）＝（）3. 事件B 发生与否对事件A 发生的概率没有影响，即 (|)()P A B P A =. 称A 与B 独立二、讲解新课：1、多个事件的独立性对n 个事件，除考虑两两的独立性以外，还得考虑其整体的相互独立性. 以三个事件A , B , C 为例.定义若()()()()()()()()()P AB P A P B P AC P A P C P BC P B P C =⋅⎫⎪=⋅⎬⎪=⋅⎭(1)且 ()()()()P ABC P A P B P C = (2)则称A , B , C 相互独立. (1)式表示A , B , C 两两独立，所以独立包含了两两独立. 但A , B , C 的两两独立并不能代替三个事件相互独立，因为还有(2)式. 那么(1)式是否包含(2)式呢？回答是否定的，有例如下：例一个均匀的正四面体，其第一面染成红色，第二面为白色，第三面为黑色，第四面红白黑三色都有. 分别用A , B , C 记投一次四面体时底面出现红、白、黑的事件. 由于在四面体中有两面出现红色，故1()2P A =；同理,1()()2P B P C ==；同时出现两色或同时出现三色只有第四面，故 1()()()()4P AB P AC P BC P ABC ====,因此 ()()()P AB P A P B =⋅, ()()()P AC P A P C =⋅， ()()()P BC P B P C =⋅，(1)式成立，A , B , C 两两独立. 但 11()()()()48P ABC P A P B P C =≠⋅⋅=, 即(2)式不成立.2、例子一个系统能正常工作的概率称为该系统的可靠性. 现有两系统都由同类电子元件A , B , C 、D 所组成.每个元件的可靠性都是p ，试分别求两个系统的可靠性.解以R 1与R 2分别记两个系统的可靠性，以A , B , C 、D 分别记相应元件工作正常的事件，则可认为A , B , C 、D 相互独立，有1(())()R P A B C D P ABD ACD ==()()()P ABD P ACD P ABCD =+-()()()()()()()()()()P A P B P D P A P C P D P A P B P C P D =+-3 (2)p p =-,2()()()()()()R P AB CD P AB P CD P AB P AC P ABCD ==+=+-22 (2)p p =-.显然21R R >. 可靠性理论在系统科学中有广泛的应用，系统的可靠性的研究具有重要意义.课堂小节：本节课学习了事件相互独立的简单应用课堂练习：课后作业：。

下学期高二数学人教A版选修2-3第二章2.2.2事件的相互独立性课件

此题你有其他方法吗？
│学习目标│➯│新课引入│➯│课本预习│➯│预习评价│➯│知识导出│➯│课堂互动│➯│课堂小结│
│课堂互动│
2.2.2 事件的相互独立性
【训练 2】本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收
【迁移2】 (变换所求)例1条件不变，求2人至多有1人射中目标的概率.
解 “2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况，故所求概率为 P＝P(A－ B－)＋P(AB－)＋P(A－B) ＝P(A－)·P(B－)＋P(A)·P(B－)＋P(A－)·P(B)＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28.
│新课引入│
2.2.2 事件的相互独立性
引例2：分析下面的实验，它们有什么共同特征？所求随机事件的概率是多少？
(1)将一个质地均匀的骰子投掷3次，出现3次点数6的概率是多少;
(2)某P同( A学1 A投2 A篮3 )3次 C，33每 (次16命)3 中的概率为0.6 ，求命中1次的概率;
P(
A1
P(B | A) n( AB) P( AB) n( A) P( A)
│学习目标│➯│新课引入│➯│课本预习│➯│预习评价│➯│知识导出│➯│课堂互动│➯│课堂小结│
│新课引入│
引例2：分析下面的实验，它们有什么共同特征？
2.2.2 事件的相互独立性
(1)将一个质地均匀的骰子投掷3次，出现3次点数6的概率是多少; (2)某同学投篮3次，每次命中的概率为0.6 ，求命中1次的概率;
(2)“2 人各射击 1 次，恰有 1 人射中目标”包括两种情况：
①甲射中、乙未射中(事件 A B－发生)，

人教版高中数学选修(2-3)-2.2《事件的相互独立性》参考教案1

2.2.2事件的相互独立性学习目标1．掌握乘法公式及其应用。

2.掌握一般两个或n个事件独立的条件及其在概率计算中的应用学习重点与难点：1.乘法公式的内涵及其应用。

（乘法公式是用来计算两个或两个以上事件同时发生的概率）2.n个事件独立与两两独立之间的关系。

在独立的条件下，尽可能将一些事件和的概率转化成一些相关事件积的概率进行计算。

教学过程设计一、回顾与引入条件概率公式及乘法公式二、两个事件的相互独立性1.相互独立性定义设A、B是两事件，如果具有等式P(AB)=P(A)P(B)则称A、B为相互独立事件。

2 、逆事件的相互独立性定理若四对事件A与B，与B，A与和中有一对是独立的事件，则另外各对事件也是相互独立的事件。

3 相互独立与互不相容的区别和关系相互独立与互不相容是两个不同的概念。

两事件互不相容是指两事件A,B 不能同时发生，即AB=φ,它描述的是两事件之间互不包含的关系。

在古典概型（即样本点有限）下有AB=φ，即A与B互不相容。

若P(A)>0（或P(B)>0)且P(B|A)>0(或P(A|B)>0)则A、B两事件必能同时发生，而A、B必不是互不相容的。

三、三个事件间的两两独立性设A、B、C为三事件，如果具有等式P(AB)=P(A)P(B)P(BC)=P(B)P(C) （5.2)P(CA)=P(C)P(A)则称三事件A、B、C为两两独立的事件。

三个事件间的相互独立性设A,B,C为三事件，若同时满足(5.2)与(5.3)式，则称A,B,C为相互独立事件。

易见，A,B,C相互独立，则A,B,C必两两独立，反之不然。

高中数学选修2-3精品教案2：2.2.2 事件的相互独立性教学设计

2.2.2事件的相互独立性一．教学目标（一）教学知识点1.相互独立事件的意义.2.相互独立事件同时发生的概率乘法公式.（二）能力训练要求1.理解相互独立事件的意义，注意弄清事件的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概率.2.掌握相互独立事件同时发生的概率乘法公式.（三）德育渗透目标1.培养学生分析问题、解决问题的能力.2.提高学生的科学素质.二．教学重点1.相互独立事件的概念：若事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件.2.事件之间的“互斥”与“相互独立”的区别：互斥事件是指不可能同时发生的两个事件；相互独立事件是指一事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响.A与也是相互独立事件.3.若事件A与B是相互独立事件，那么A与B，A与B，B4.相互独立事件同时发生的概率乘法公式：如果事件A1，A2，…，A n相互独立，那么这n个事件同时发生的概率P（A1·A2·……·A n）=P（A1）·P（A2）·…·P（A n）三．教学难点事件的“相互独立性”的判定.四．教学过程1.复习回顾请同学回忆一下有关互斥事件的主要内容.互斥事件：不可能同时发生的事件.对立事件：不可能同时发生，且必有一事件发生.若A与B为互斥事件，则A、B中有一个发生的概率P（A+B）=P(A)+P（B）.若A与A为对立事件，则P(A)+P（A）=1.2.讲授新课现在，请同学们来看这样一个问题：甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，若从这两个坛子里分别摸出1个球，则它们都是白球的概率是多少？（引导学生分析）首先，我们发现，这一试验与我们前面所研究的试验有所不同的是：这里有两个坛子，从中分别取一球；可视为做一次试验，需分两步完成，且从一个坛子中取一球是白球还是黑球，对从另一个坛子里摸出一球是白球还是黑球没有任何影响.若记：“从甲坛子里摸出1个球，得到白球”为事件A，记：“从乙坛子里摸出1个球，得到白球”为事件B，则事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，也就是说事件A（或B）的发生是独立的，不受事件B（或A）的发生与否的限制.那么，我们不妨将象这样的事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响的两个事件叫做相互独立事件.例如，在上述问题中，事件A是指“从甲坛子中摸出1个球，得到黑球”，事件B是指“从乙坛子中摸出1个球，得到黑球”，不难判断，事件A与B，A与B，A与B也都是相互独立的.一般地，如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都是相互独立的.看来，若记：“从两个坛子里分别摸出1个球，都是白球”是一个事件，那么它的发生，就是事件A、B同时发生，不妨记作A·B.于是想要研究事件A·B发生的概率P（A·B），则需研究上述两个相互独立事件A、B同时发生的概率.请同学们根据我们所掌握的知识，试着分析……（也可分组讨论）从甲坛子中摸出1个球，有5种等可能的结果；从乙坛子中摸出1个球，有4种等可能的结果.于是从两个坛子里各摸出1个球，根据分步计数原理，可知共有5×4种等可能的结果,表示如下（其中每个结果的左、右分别表示从甲、乙坛子里取出的球的颜色）：（白，白）（白，白）（白，黑）（白，黑）（白，白）（白，白）（白，黑）（白，黑）（白，白）（白，白）（白，黑）（白，黑）（黑，白）（黑，白）（黑，黑）（黑，黑）（黑，白）（黑，白）（黑，黑）（黑，黑）在上面的5×4种结果中，从甲坛子里摸出白球的结果有3种，从乙坛子里摸出白球的结果有2种，同时摸出白球的结果有3×2种.因此，从两坛子里分别摸出1个球，都是白球的概率P （A ·B ）=4523⨯⨯. 而，从甲坛子里摸出1个球，得到白球的概率P (A )=53，从乙坛子里摸出1个球，得到白球的概率P （B ）=42. 不难发现，32534523⨯=⨯⨯.即：P （A ·B ）=P (A )·P （B ）. 也就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积.进而可知：一般地，如果事件A 1，A 2，…,A n 相互独立，那么这几个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P （A 1·A 2·…·A n ）=P （A 1）·P （A 2）·…·P （A n ）例如，在上面的问题中，“从两个坛子里分别摸出1个球，都是黑球”这一事件的发生，就是事件A ，B 同时发生，可记作A ·B ，其概率P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）512152=⨯=. “从甲坛子里摸出1个球，得到黑球”与“从乙坛子里摸出1个球，得到白球”同时发生的概率P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）=512152=⨯. “从甲坛子里摸出1个球，得到白球”与“从乙坛子里摸出1个球，得到黑球”同时发生的概率 P （A ·B ）=P (A )·P （B ）=1032153=⨯ “从两个坛子里分别摸出1个球，得到1个白球和1个黑球”的概率为：P （A ·B ）+P （A ·B ）=2110351=+. “从两个坛子里分别摸出1个球，得到两个白球或两个黑球”的概率为： P （A ·B ）+P （A ·B ）=2110351=+. “从两个坛子里分别摸出1个球，得不到两个白球”的概率为 P （A ·B ）+P （A ·B ）+P （A ·B ）1075110351=++= 或1－P （A ·B ）=1－107103=. 3.课堂练习（回答）.“在先摸出白球的情况下，再摸出白球”，是从装有1个白球，2个黑球的口袋中摸出1个白球，这时事件B 的概率为31；“在先摸出黑球的情况下，再摸出白球”，是从装有2个白球，1个黑球的口袋中摸出1个白球，这时事件B 的概率为32. 这就是说，事件A 发生与否对事件B 发生的概率有影响，因此事件A 与B 不相互独立.4.课堂小结要学会对事件的“相互独立性”的判定.要会用相互独立事件同时发生的概率公式求一些事件的概率.5.课后作业（一）课本P 134习题10.7 1、2、3（二）1.预习：课本P 130~P 132五．板书设计六．教后记：。

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§2.2.2 事件的独立性
教学目标
（1）理解两个事件相互独立的概念；
（2）能进行一些与事件独立有关的概率的计算．
教学重点，难点：理解事件的独立性，会求一些简单问题的概率．教学过程
一．问题情境
1．情境：抛掷一枚质地均匀的硬币两次．
在第一次出现正面向上的条件下，第二次出现正面向上的概率是多少？
2．问题：第一次出现正面向上的条件，对第二次出现正面向上的概率是否产生影响．二．学生活动
设B 表示事件“第一次正面向上”， A 表示事件“第二次正面向上”，由古典概型知
()12P A =
，()12P B =，()1
4
P AB =，所以()
()()
1
2
P AB P A B P B =
=
．即()()
P A P A B =，这说明事件B 的发生不影响事件A 发生的概率．三．建构数学
1．两个事件的独立性
一般地，若事件A ，B 满足()
()P A B P A =，则称事件A ，B 独立．当A ，B 独立时，若()0P A >，因为()
()()()P AB P A B P A P B =
=，
所以 ()()()P AB P A P B =，反过来()
()()
()P AB P B A P B P A =
=，
即B ，A 也独立．这说明A 与B 独立是相互的，此时事件A 和B 同时发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率之积，即
()()()P AB P A P B =．（*）
若我们认为任何事件与必然事件相独立，任何事件与不可能事件相独立，那么两个事件
A ，
B 相互独立的充要条件是()()()P AB P A P B =．今后我们将遵循此约定．
事实上，若B φ=，则()0P B =，同时就有()0P AB =，此时不论A 是什么事件，都有（*）式成立，亦即任何事件都与φ独立．同理任何事件也与必然事件Ω独立. 2．个事件的独立性可以推广到(2)n n >个事件的独立性，且若事件12,,,n A A A 相互独立，
则这n 个事件同时发生的概率()()()()1212n n P A A A P A P A P A = ．
3．立与互斥
回顾：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；如果两个互斥事件有一个发时另一个必不发生，这样的两个互斥事件叫对立事件. 区别：互斥事件和相互独立事件是两个不同概念：两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生；
两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．
事实上，当
()0
P A >，
()0
P B >时，若,A B 互斥，则AB φ=，从而
()0
P AB =，
但()()0P A P B >，因而等式()()()P AB P A P B =不成立，即互斥未必独立．若
,A B 独立，则()()()0P AB P A P B =>，从而,A B 不互斥（否则，()0P AB =，
导致矛盾）．
例如从一副扑克牌（５２张）中任抽一张，设A =“抽得老Ｋ”B =“抽的红牌”，C =“抽到Ｊ”，判断下列事件是否相互独立？是否互斥，是否对立？ ①A 与B ； ②A 与C 4
四．数学运用 1．例题：
例1．求证：若事件A 与B 相互独立，则事件A 与B 也相互独立．
证：因为()()()P AB P AB P A += 所以()
()()P AB P A P AB =-．因为A ，B 相互独立，所以()()()P AB P A P B =，于是()
()()()P AB P A P A P B =-
图2-3-2
()()()1P A P B =- ()()
P A P B =．
因此，事件A 与B 相互独立．
结论：若事件A 与B 独立则A 与B ，B 与A ，A 与 B 都独立．例2．如图232--，用,,X Y Z 三类不同的元件连接成系统N ．当元件,,X Y Z 都正常工作时，系统N 正常工
作．已知元件,,X Y Z 正常工作的概率依次为0.80，0.90，0.90，求系统N 正常工作的概率P ．
解：若将元件,,X Y Z 正常工作分别记为事件,,A B C ，则系统N 正常工作为事件
ABC ．
根据题意，有()0.80P A =，()0.90P B =，()0.90P C =．因为事件,,A B C 是相互独立的，所以系统N 正常工作的概率
()P P ABC = ()()()P A P B P C =
0.800.900.90=⨯⨯ 0.648=，
即系统N 正常工作的概率为0.648P =．
例3．加工某一零件共需两道工序，若第一、二道工序的不合格品率分别为3﹪，5﹪ ，假定各道工序是互不影响的，问：加工出来的零件是不合格品的概率是多少？分析：解决问题的过程可用流程图表示：（图234--）
图2-3-4
解法1 设A 表示事件“加工出来的零件是不合格品”，12,A A 分别表示事件“第一道工序出现不合格品”和“第二道工序出现不合格品”．因为依常理，第一道工序为不合格品，则该产品为不合格品，所以
112A A A A =+，
因为各道工序互不影响，所以
()()112P A P A A A =+()()
112P A P A A =+ ()()
()112P A P A P A =+
0.030.970.05=+⨯0.0785=．
解法2 因为12A A A =，所以
()()
12P A P A A = ()()
12P A P A =
()()1211P A P A =--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
()()10.0310.05=--0.9215=， ()()
110.92150.0785P A P A =-=-=．
答：加工出来的零件是不合格品的概率是7.85﹪．
思考：如果A 和B 是两个相互独立的事件，那么()()1P A P B -表示什么？ 2．练习：第59页练习第1,2,3题．
五．回顾小结：
1．当A ，B 独立时，B ,A 也是独立的，即A 与B 独立是相互的． 2．当A ，B 独立时
()()
P A B P A =；()()P B A P B =；
或()()()P AB P A P B =
或A 事件的发生不影响事件B 的发生概率。