一般二阶电路
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第七章 二阶电路
s1 t
i ( t ) = A1 e
(b)当 α = ω 0 ( R = 2
+ A2 e
s2 t
过阻尼
L ), s 1 = s 2 = - α , 为 二 重 实 根 ： C
i ( t ) = ( A + Bt )e − α t
(c)当 α < ω 0 ( R < 2 L ), s 1,2 = - α ± C
———— 二阶非齐次微分方程 一般形式： 一般形式：
d2y dy + a1 + a0 y = f ( t ) 2 dt dt
当电路没有输入激励时有f(t)=0，方程变为齐次方程： ，方程变为齐次方程： 当电路没有输入激励时有
d2y dy + a1 + a0 y = 0 2 dt dt
相应的解为零输入响应。 相应的解为零输入响应。
di uL (0 + ) = L dt
t = 0+
= U0
di dt
t = 0+
U0 = L
表达式代入并令t=0 将i(t)表达式代入并令 + 有： 表达式代入并令
L(A1S1+A2S2)=U0 由①②联立得： ①②联立得： 联立得
————② ②
A1 = − A2 =
U0 L ( s1 − s 2 )
di 2 − 4 i1 + + 4 i2 = 0 dt
---- ②
1 d i2 i1 = ( + 4 i2 ) 4 dt
1 d 2 i2 ′ i 1′ = ( + 4 i2 ) 2 4 dt
----③ ③ ----④ ④
d 2 i2 di 2 + 10 + 19 i 2 = 2 u s ( t ) 16 2 dt dt
i ( t ) = A1 e
(b)当 α = ω 0 ( R = 2
+ A2 e
s2 t
过阻尼
L ), s 1 = s 2 = - α , 为 二 重 实 根 ： C
i ( t ) = ( A + Bt )e − α t
(c)当 α < ω 0 ( R < 2 L ), s 1,2 = - α ± C
———— 二阶非齐次微分方程 一般形式： 一般形式：
d2y dy + a1 + a0 y = f ( t ) 2 dt dt
当电路没有输入激励时有f(t)=0，方程变为齐次方程： ，方程变为齐次方程： 当电路没有输入激励时有
d2y dy + a1 + a0 y = 0 2 dt dt
相应的解为零输入响应。 相应的解为零输入响应。
di uL (0 + ) = L dt
t = 0+
= U0
di dt
t = 0+
U0 = L
表达式代入并令t=0 将i(t)表达式代入并令 + 有： 表达式代入并令
L(A1S1+A2S2)=U0 由①②联立得： ①②联立得： 联立得
————② ②
A1 = − A2 =
U0 L ( s1 − s 2 )
di 2 − 4 i1 + + 4 i2 = 0 dt
---- ②
1 d i2 i1 = ( + 4 i2 ) 4 dt
1 d 2 i2 ′ i 1′ = ( + 4 i2 ) 2 4 dt
----③ ③ ----④ ④
d 2 i2 di 2 + 10 + 19 i 2 = 2 u s ( t ) 16 2 dt dt
电路(第七章 二阶电路)
uC (t ) e 3t (3 cos 4t 4 sin 4t ) 5e3t cos(4t 53.1o )V (t 0)
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电路分析基础
电容电压和电感电流的表达式分别为：
duC iL (t ) C 0.04e 3t (7 cos 4t 24 sin 4t ) dt 3t o
uC (0 ) K1 3
t 0
3 3 5 3 j4 2L 2 L LC
利用初始值uC(0+)=3V和iL(0+)=0.28A得:
解得 K1=3和K2=4。 电容电压和电感电流的表达式分别为：
duC (t ) dtຫໍສະໝຸດ i L (0 ) 3K1 4 K 2 7 C
Im
iL(t)
T 4 T 2
3T 4
o t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 t11 t12 Im
返 回
T
t
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电路分析基础
LC振荡回路的能量
LC回路的总瞬时储能
LC回路的初始储能
1 2 1 2 w(t ) Li (t ) Cu (t ) 2 2 1 1 2 2 (sin t cos t ) (J) 2 2
LC d 2 uC dt2
d uC RC uC uOC dt
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电路分析基础
LC
d 2 uC dt2
d uC RC uC uOC dt
这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。 求解该方程必须有条件： d uC i t i 0 uC 0 0 0 dt C C 为了得到电路的零输入响应，令uOC=0，得二阶齐次微分方程 d 2 uC d uC 根据一阶微分方程的求解 LC RC u 0 C 经验可假定齐次方程的解 dt dt2
二阶电路
0
p1e p1tm
p e p2tm 2
0
tm
ln( p2 / p1 ) p1 p2
电感电压在随时间变化的过程中有一个极小值，令 duL 0 dt
求出极小值出现的时刻
t
2
ln( p2 p1
/ p1 ) p2
2t m
在电路的整个工作过程中，电容始终是释放电场能量。 t tm 时电感吸收能量，建立磁场；t tm 时电感释放能量，磁 场逐渐减弱。电阻一直吸收能量，最终将电路中全部能量转变 成热能。
L
di dt
U 0et
(1 t)
在整个过渡过程中，uc ,i,uL是单调衰减的函数，电路的放
电过程仍然属于非振荡性质，但是，恰好介于振荡和非振荡之
间，所以称之为临界非振荡过程。响应随时间变化的波形与过
阻尼情况相似。
动画演示：三种阻尼情况
华中科技大学出版社
11
湖北工业大学
例9.1 在图9-5所示的电路中，换路前电路处于稳态。 求t≥0换路后电容的电压uc和i。已知：
dt
华中科技大学出版社
14
9.2 零状态响应
湖北工业大学
在图9-6所示的基本RLC串联电路中，动态元件电容和电感
的初始值为零， t=0时换路，电源uS作用于电路，求t≥0时的 uc ,i,uL 。由于电路的初始状态为零，所以此时的响应称为二阶 电路的零状态响应。
回路的KVL方程为 uc uL uR uS
iL (0 ) C
0
A1
p2
p2 p1
,
A2
p1 p1 p2
一般二阶电路分析.ppt
图9－12
运行符号网络分析程序SNAP，读入图9－12(b)所示 电路数据，得到电容电压和电感电流的频域表达式。
----- 结 点 电 压 , 支 路 电 压 和 支 路 电 流 -----
RUs-rUs U5 (S)= --------------------------------
duC dt
(0
)
2K1
5K2
27
4
联立求解以上两个代数方程可以得到
44 K1 3
1 K2 3
最后得到电容电压uC(t)的全响应表达式
uC (t )
44 3
e2t
1 3
e5t
9e3t
V
(t 0)
从以上计算过程可以看出，采用微分算子将微分方程
变换成代数方程，采用代数运算的方法可以求得微分方程
dt (Ls 2R)iL RCsuC uS (r R)iL (2RCs rCs 1)uC 0
用克莱姆法则求得
uC
( Ls
(r 2R)(2RCs
R)uS rCs 1)
(r
R)RCs
(2R
r ) LCs2
(R (L
r )uS 3R2C
2uC uS 将变为一个代数方程了。
由此分析可见，假如能够写出电路参数(R、L、C、 r…)用符号表示的电路微分方程，就容易看出电路参数对 电路响应的影响，这对电路的分析和设计是十分有益的。
用笔算方法列出高阶动态电路的n阶微分方程比较困 难，我们可以利用计算机程序SNAP来列出微分方程，将 图9－11各结点编号，如图9－12(a)所示。
运行符号网络分析程序SNAP，读入图9－12(b)所示 电路数据，得到电容电压和电感电流的频域表达式。
----- 结 点 电 压 , 支 路 电 压 和 支 路 电 流 -----
RUs-rUs U5 (S)= --------------------------------
duC dt
(0
)
2K1
5K2
27
4
联立求解以上两个代数方程可以得到
44 K1 3
1 K2 3
最后得到电容电压uC(t)的全响应表达式
uC (t )
44 3
e2t
1 3
e5t
9e3t
V
(t 0)
从以上计算过程可以看出，采用微分算子将微分方程
变换成代数方程，采用代数运算的方法可以求得微分方程
dt (Ls 2R)iL RCsuC uS (r R)iL (2RCs rCs 1)uC 0
用克莱姆法则求得
uC
( Ls
(r 2R)(2RCs
R)uS rCs 1)
(r
R)RCs
(2R
r ) LCs2
(R (L
r )uS 3R2C
2uC uS 将变为一个代数方程了。
由此分析可见，假如能够写出电路参数(R、L、C、 r…)用符号表示的电路微分方程，就容易看出电路参数对 电路响应的影响，这对电路的分析和设计是十分有益的。
用笔算方法列出高阶动态电路的n阶微分方程比较困 难，我们可以利用计算机程序SNAP来列出微分方程，将 图9－11各结点编号，如图9－12(a)所示。
电路第十四章 二阶电路
i(0 ) I0 t0 , K在1，由KVL, 有
iR
L di dt
uc
Us
又
i C duc
dt
可得
RC
duc dt
LC
d 2uc dt 2
uc
Us
P2 R P 1 0
L
LC
(特征方程)
5
特征根:P1, 2Fra bibliotek R 2L
±
( R )2 2L
1 LC
（自然频率、固有频率）
1、单根：(过阻尼) 即 R 2 L
C
uc Ae p1t B p2t U s
2、重根：(临界阻尼) 即 R 2 L
C
uc ( A Bt) pt Us
3、共轭复根：(欠阻尼) 即 R 2 L C
uc Ae t cos(dt ) Us
R 2L
d 02 2
0
1 LC
演示实例
6
14-4 RLC并联电路分析
一、零输入响应
t>0 ,由KCL,有
u C du i 0 R dt
又 u L di dt
可得
L R
di dt
LC
d 2i dt 2
i
0
d 2i dt 2
1 RC
di dt
1 LC
i
0
(二阶常系数线性齐次微分方程)
2、重根：(临界阻尼) 即 R 1 L
2C
i ( A Bt ) pt I s
3、共轭复根：(欠阻尼) 即 R 1 L 2C
i Ae t cos(d t ) I s
iR
L di dt
uc
Us
又
i C duc
dt
可得
RC
duc dt
LC
d 2uc dt 2
uc
Us
P2 R P 1 0
L
LC
(特征方程)
5
特征根:P1, 2Fra bibliotek R 2L
±
( R )2 2L
1 LC
（自然频率、固有频率）
1、单根：(过阻尼) 即 R 2 L
C
uc Ae p1t B p2t U s
2、重根：(临界阻尼) 即 R 2 L
C
uc ( A Bt) pt Us
3、共轭复根：(欠阻尼) 即 R 2 L C
uc Ae t cos(dt ) Us
R 2L
d 02 2
0
1 LC
演示实例
6
14-4 RLC并联电路分析
一、零输入响应
t>0 ,由KCL,有
u C du i 0 R dt
又 u L di dt
可得
L R
di dt
LC
d 2i dt 2
i
0
d 2i dt 2
1 RC
di dt
1 LC
i
0
(二阶常系数线性齐次微分方程)
2、重根：(临界阻尼) 即 R 1 L
2C
i ( A Bt ) pt I s
3、共轭复根：(欠阻尼) 即 R 1 L 2C
i Ae t cos(d t ) I s
二阶电路——精选推荐
K2
K
2 1
+
K
2 2
ö
sin
w
d
t
÷ ÷
ø
= Ke-at cos(wd t +q )
K=
K
2 1
+
K
2 2
q = - Arctg K 2
K1
25
解表达式
v 将K1和K2代入得
uC (t ) =
uC
(0) w0
wd
e -at
cos (wd t
-q
)+
( ) iL 0 e -at
wdC
sin wd t
常量
2
2
w(0) = 1 Li2 (0)+ 1 Cu2(0) = 1 J
2
2
2
表明：贮能不断地在电场利磁场之间往返，永不消失。 8
§7-2 RLC串联电路的零输入响应 —过阻尼情况
v 对电感和电容的二阶电路，运
用戴维南定理可得图(b)所示的 RLC串联电路。
v 对每一元件，可以写出VAR为
i = C duC dt
例7-2
电路中C=1F，L=1/4H，R=1W， uC(0)=1V，iL(0)＝0，当t³0时， uoc(t)=0，试求iL(t)，t³0。
解 特征方程的根
s2 + R s + 1 = 0 L LC
s1,2
=
-
R 2L
±
çæ
R
2
ö ÷
-
1
= -2
è 2L ø LC
( ) i L t = K 1 e s1t + K 2 te s2t
s1
电路分析-二阶电路
i(t) C
t
t=0
=
i(0) =?
C
t
iR +
uS
-
L +
C uC
-
两个初始条件 uS = 0 ，uC(0) = ?
§7-2 RLC串联电路的零输入响应
设 解为 uC(t) = Kest 代入微分方程
d2u LC Cdt2
+
RC
duC d
+
uC
=
0
LCs2Kest + RCsKtest + Kest = 0
=0
i +
uS
-
R
i=
C
duC dt
L +
C uC
-
LC
d2i dt2
+ RC
di d
+i=0
s1 = -2 s2 = -4
t
1 8
d2i dt2
+
3 4
d di
+i=0
d2i dt2
+6
di d
+ 8i = 0
t
§7-2 RLC串联电路的零输入响应
例 解：(2) 若以iL(t)为求解变量 i R
( LCs2 + RCs + 1 ) Kest = 0
特征方程 LCs2 + RCs + 1 =
特 征0方 程 的 根 （ 固 有 频 率 ）
ax2 + bx +c = 0
- RC (RC)2 s1、 2= ± 24LLC
= -
R 2L
±
(
R 2L
)2
-
典型rlc二阶电路公式大全
典型rlc二阶电路公式大全
典型的RLC二阶电路包括带有电感L、电阻R和电容C的串联电路和并联电路。
以下是一些常见的RLC二阶电路公式：
1. 自然频率（Resonant Frequency）：
ω₀ = 1/√(LC)
2. 响应系数（Damping Factor）：
ζ = R/2√(LC)
3. 频率响应函数（Frequency Response Function）：
H(jω) = Vout / Vin = 1 / [1 - (ω/ω₀)² + j(2ζω/ω₀)]
4. 响应的幅度（Magnitude of Response）：
|H(jω)| = |H(ω)| = 1 / √[1 - (ω/ω₀)²]² + (2ζω/ω₀)²
5. 响应的相位（Phase of Response）：
φ = atan{(2ζω/ω₀) / [1 - (ω/ω₀)²]}
6. 峰值频率（Peak Frequency）：
f_p = (1/2π) * √[(1 - ζ²) / (LC)]
7. 峰值带宽（Bandwidth）：
Δf = (1/2π) * √[(1 - ζ²) / (LC)]
8. 峰值时间（Peak Time）：
T_p = 1 / (ζω₀)
以上是一些关于RLC二阶电路的常见公式，可以用于分析和计算不同的电路参数和响应特性。
请注意，其中的符号含义可能会根据具体的文献和教材有所不同，需要根据具体情况进行理解和使用。
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B = [bij]，为输入变量组合系数组成的2×m矩阵。
状态方程的列写步骤
第一步：把 C 用电压源 u C 置换、L 用电流源 i L 置换，使原电路 成为一个电阻电路；
第二步：用任何方法解出这个电阻电路的电压源 uC 支路的电流 iC 和电流源 i L 支路的电压 uL ，类似于 (8-53)、(8-54) ；
+ C – uC
2/7 iL
N
+ uL L
–
变量当前值和当前输入变量的函数。
状态方程的具体形式：对任何二阶
电路（图8-22），其输入为一个独立电 压源u s，则状态方程可描述为
i C1 + C 1 – u C1
(a) i C2
N
+ u C2 – C 2
duC dt
= f1(u C, i L, u s )
电路分析基础——第二部分：8-7
6/7
第三步：用 C 或 L 去除方程式两边，就得到状态方程的标准形 式。
举例：还是以图8-3(b)为例，按照以上步骤来列写状态方程。
用电压源和电流源置换后的电路如图8-23所示。由叠加定理得
即 故得
iC = iL uL = – uC – RiL + us
C
duC dt
电路分析基础——第二部分：第八章 目录
第八章 二 阶 电 路
1 LC电路中的正弦震荡
2 RLC电路的零输入响应 ——过阻尼情况
3 RLC电路的零输入响应 ——临界阻尼情况
4 RLC电路的零输入响应 ——欠阻尼情况
5 直流RLC串联电路的完全响应
6 GCL并联电路的分析
7 一般二阶电路
电路分析基础——第二部分：8-7
状态方程具有一定的标准形式，可以遵循系统化的列写步 骤。本节重点介绍状态方程的列写方法和解法。
二阶电路：动态电路中，由两个动态元件构成的动态电路称
为二阶电路，典型为电容电感型、电容电容型或电感电感型。
电路分析基础——第二部分：8-7
iC
状态方程的物理意义：状态方程体
现了电路状态演变的情况，具体地说， 就是反映了状态变量的变化率是状态
1/7
8-7* 一般二阶电路
状态变量：动态电路中，动态元件的连续电压或连续电流称
为动态变量，典型为电容电压或电感电流。
状态方程：动态电路中，根据KCL或KVL列写的、由状态变
量及其一截微分以及输入电压或电流构成的方程称为状态方程。
除了前面介绍的一阶电路和LC二阶电路以外，其他二阶电 路，以及高阶电路也可以用状态方程来描述。
电路分析基础——第二部分：8-7
5/7
状态方程的矢量矩阵表示形式
x’ = Ax + Bw
（8-62）
x’ = [x’1, x’2]T，为状态变量的变化率矢量；
x = [x1, x2]T，为状态变量矢量； w = [w1 , w2 , •••, wm] T，为输入变量矢量，m为变量个数；
A = [aij]，为状态变量组合系数组成的2×2矩阵；
两式所提出的要求。显然这是线性函数。
电路分析基础——第二部分：8-7
同样，对于图8-22(b)所示的双 C 二阶电路，可得
duC1 dt
= a’+
a’12uC2 +
b’11u s
duC2 dt
= a’21uC1 + a’22uC2 + b’22u s
4/7
（8-59） （8-60）
对于图8-22(b)所示的双 L 二阶电路，可得
（8-51）
i L1
(b) i L1
di L dt
=
f2(u C,
i L,
us)
（8-52）
L1
+ u L1
–
若图8-22(a)中的网络 N 为一个有源电阻
N
+ u L2 L2
–
网络，则用电压源 u C 置换电容、电流 源置换电感 i L 以后，用叠加定理可得
(c)
图8-22 二阶电路的三种 基本结构形式
= iL
L
diL dt
=–
uC
– RiL +
us
duC dt
=
1 C
iL
diL dt
=–
1 L
uC –
R L
iL+
1 L
us
+ uR – i(t)
L
+
+ uL －+ C
– us
uC–
图8-3(b) RLC串联电路
R +
– us 图8-23
iL +－
uL
i
+
uC –
C
电源置换等效电路
电路分析基础——第二部分：8-7
7/7
写成矩阵形式为
u’C i’L
=
0
–
1 L
1
C
–
R L
uC + iL
0
1 L
us
注意：图8-24例8-12是采用本节方法，按照列写状态方程的步
骤求解的，希望同学们自学并与前面所讲过的例题进行比较。
电路分析基础——第二部分：8-7
3/7
i C = k11u C + k12i L + h11u s
（8-53）
u L = k21u C + k22i L + h22u s
（8-54）
式中各系数是与 N 内部结构和元件参数有关的常数。根据电容和 电感 的伏安关系，可得
C
duC dt
= k11u C + k12i L + h11u s
（8-55）
L
di L dt
= k21u C + k22i L + h22u s
（8-56）
整理得
duC dt
= a11u C + a12i L + b11u s
di L dt
= a21u C + a22i L + b22u s
（8-57） （8-58）
这是两个联列的一阶常系数微分方程组，它反映了(8-51)、(8-52)
diL1 dt
= a”11iL1 + a”12iL2 + b”11u s
diL2 dt
= a”21iL1 + a”22iL2 + b”22u s
（8-61） （8-62）
以上针对图8-22中只有一个电源的情况下的方程组。对于有 多个独立电源的情况，方程组的前两项不变，而最后一项从一项 增加为与独立电源个数相同的若干项。