大学物理：第19章振动

1 mgl T 2π J
2π J
mgl
m cos
mgl J
t
10
思考: 1)证明单摆小幅度摆动时的运动是简谐振动， 并求出振动的频率。 2）若令一单摆的频率与本例中的复摆的频率 相等，单摆的摆长l应为多少？ （此摆长l叫复摆的等值单摆长）
11
例2 电磁震荡电路
q C
L
di dt
d2q dt 2
18
如 文学叙述说，t 时刻弹簧振子质点
在正的端点 旋矢与轴夹角为零
t 0 意味 x A
质点经二分之一振幅 处向负方向运动
A x
oA
t π
意味
x A 2
3
< 0
x
21
19
质点过平衡位置向负方向运动
t π x 0
AA
2
<0
同样
t π π
3
xABiblioteka <20
A
A oA
x
t π x A
以弹簧原长为势能零点 1 m 2 1 kx2 c
2
2
1 mA2 2 sin2 (t ) 1 kA2 cos2 (t )
2
2
m 2 k
1 m 2 1 kx2 1 mA22 1 kA2
2
2
2
2
25
讨论
1 m 2 1 kx2 1 kA2
2
2
2
1) 普适 E A2
2) 时间平均值
5
一.简谐振动的判据
1.运动学表达式
x Acos t
弹簧谐振子
km
x
0x
特征量：
x 位移
广义：振动的物理量
A 振幅
最大位移 由初始条件决定 表征了系统的能量 6
x Acos t
圆频率 角频率
频率
2
T 周期 T 1
系统的周期性 固有的性质 称固有频率…
t 相位 位相 周相
初相位
x
54 32 1
注意到：2 3 4 < 0 向负方向运动 20
向正方向运动
t π π
3
或
2π 3
t 3π
2
或 π 2
t
3
xA 2
>0
x
o
x0
>0
A
A
A
x A
2 >0
6 78
x
678 > 0 向正向运21 动
2） 方便地比较振动步调
x Acos t
A
A cos t π
EK
EP
1 kA2 4
3) 由简谐振动能量求振动
d (1 m 2 1 kx2 ) d C
dt 2
2
dt
dx dt
d2x m dt 2 kx 0
d2 dt
x
2
2
x
0
26
有时由谐振动能量求谐振动的特征量会更方便 例 劲度系数为k的轻弹簧挂在质量为m， 半径为R的匀质圆柱体的对称轴上， 使之作无滑动的滚动。
受迫振动
振动 自由振动
共振 阻尼自由振动
无阻尼自由振动
无阻尼自由谐振动 (简谐振动）
4
重要的振动形式是 简谐振动(SHV) simple harmonic vibration
物理上：一般运动是多个简谐振动的合成 数学上： 付氏级数 付氏积分 也可以说， SHV是振动的基本模型 或说，振动的理论建立在SHV的基础上 注意：以机械振动为例说明振动的一般性质
SHV的标准形式
T
13
二. 简谐振动的描述 1.解析描述
x Acos t
A cos t π
2
dx dt
A
sin
t
a A 2cos t π
a
d
dt
A
2cos t
2x
14
x Acos t
A cos t π
2
a A 2cos t π
x,, a 均是作谐振动的物理量
频率相同 振幅的关系
m A am A 2
相位差
超前 落后
15
2.曲线描述 x Acos t
A cos t π
2
a A 2cos t π
x a
A
o
A
2A T
t
16
3.旋转矢量描述
x Acos t
用匀速圆周运动 几何地描述 S H V
规定 A A 以角速度 逆时针转
2
a A 2cos t π
2A
A
a
x
由图看出：速度超前位移 π 加速度超前速度 2
位移与加速度 Δ π 称两振动反相
若 0
称两振动同相 22
3）方便计算 用熟悉的圆周运动代替三角函数的运算 例：质量为m的质点和劲度系数为k的弹簧
组成的弹簧谐振子。 t = 0时，质点过平衡位置且向正方向运动。 求：物体运动到负的二分之一振幅处时 所用的最短时间。
l
c
得
d2
dt 2
mgl J
s in
0
mg
对比谐振动方程知：一般情况不是简谐振动
但若做小幅度摆动
即当
sin 时
满足的方程： d2
dt 2
mgl
J
0
动力学方程
d2x dt 2
2x
0
9
d 2
dt 2
mgl J
0
对比
d2x dt 2
2x
0
振动的物理量 角位移
固有圆频率 振动表达式
2 mgl
J
t
A t x
ox
端点在x轴上的投影式
x Acos(t ) 17
优点
1） 直观地表达振动状态
分析解析式 x Acos t 可知
当振动系统确定了振幅以后， 表述振动的关键就是相位，即 表达式中的余弦函数的综量 (t )
而旋转矢量图
可直观地显示该综量
A t x
用图代替了文学的叙述 0 x t
23
解：设 t 时刻到达末态
由已知画出t = 0 时刻的旋矢图
再画出末态的旋矢图 由题意选蓝实线所示的位矢
o
x
设始末态位矢夹角为
t 0
因为 t
得 t
繁复的三角函数的运算用匀速
圆周运动的一个运动关系求得
7π
6
7π 6k
m
24
§2 简谐振动的能量
如，弹簧谐振子
km
x
系统机械能守恒
0
x
1 LC
q
0
q
C
i
dq dt
L
对比
d2 dt
x
2
2x 0
q Q0 cos
1 t
LC
振动的物理量是 电量
i i0 cos
1 t π
LC
2
电流也是谐振 物理量
12
小结
S H V 的判据
1）谐振动表达式 x Acos t
2）动力学方程
d2x dt 2
2
x
0
从对象的运动规律出发
（电学规律 力学规律等）
初位相
取决于时间零点的选择
7
2. 动力学方程 以弹簧谐振子为例 设弹簧原长为坐标原点
km
0
kx x x
由牛顿第二定律 整理得
k
x
m
d2 dt
x
2
d2x k dt 2 m x 0
令 2 k
m
d2x dt 2
2x
0
简谐振动
8
例1 复摆（物理摆）的振动
o
由转动定律
mgl
s in
J
d 2
dt 2
第4篇 波动与光学
1
第19章 振动 §1 简谐振动的描述 §2 简谐振动的能量 §3 阻尼振动与阻尼受迫振动 §4 简谐振动的合成
2
§1 简谐振动的描述
机械振动：
物体位置在某一值附近来回往复的变化
广义振动：
一个物理量在某一定值附近往复变化
该物理量的运动形式称振动
物理量：
r
E
H
Q
i
等等
3
振动的形式: