运筹学 第二章对偶理论
运筹学
第六节 灵敏度分析
在利用线性规划理论解决问题时， 在利用线性规划理论解决问题时，一方面纪录的数据 常常不是精确的数据；另一方面， 常常不是精确的数据；另一方面，市场的情况经常可能发 生变化，已经形成的数学模型常常需要改变某些参数. 生变化，已经形成的数学模型常常需要改变某些参数 分析某些参数或者约束条件的变化对解的影响称之为 灵敏度分析问题. 灵敏度分析问题
′ = (c1 , c2 ,... , cm )B −1 N + ((c1 − c1 ), 0,... ,0)B −1 N − c T N
T ′ = ζ N + ((c1 − c1 ), 0,... , 0)B −1 N
′ 同理 z ′ = c T B −1 b + (( c 1 − c 1 ), 0 ,..., 0 )B −1 b . B
最优的单纯形表格为 如果其最优的 如果其最优的单纯形表格为
0 I
c T B −1 N − c T B N
B −1 N
c T B −1b B
Β−1b
c的改变并没有改变可行区域 的改变并没有改变可行区域. 的改变并没有改变可行区域 即原来的最优基本可行解，仍然是新问题的基本可行解 即原来的最优基本可行解，仍然是新问题的基本可行解. 最优基本可行解 理学院 岳瑞锋
运筹学
式 ζ′ 公 ： k = ζ k − (c′ − ck ) k
min z = 5 x1 + 21 x3 s.t. x − x + 6 x − x =2 1 2 3 4 例 x1 + x2 + 2 x3 − x5 = 1 x j ≥ 0, ( j = 1 ,2 ,3 ,4 ,5)
min z = 5 x1 + 21 x3 s.t. x − x + 6 x − x =2 1 2 3 4 例 x1 + x2 + 2 x3 − x5 = 1 x j ≥ 0, ( j = 1 ,2 ,3 ,4 ,5)
中 其 c3 =21→c′ =5 3
理学院 岳瑞锋
运筹学 其最优单纯形表为： 其最优单纯形表为：
理学院 岳瑞锋
运筹学
m cT x in 对于问题： 对于问题： s.t. Ax=b x≥0
灵敏度分析主要包含以下内容： 灵敏度分析主要包含以下内容： ☺约束系数的灵敏度分析; 约束系数的灵敏度分析 ☺增加或者减少约束条件对解的影响; 增加或者减少约束条件对解的影响 ☺增加或者减少决策变量对解的影响; 增加或者减少决策变量对解的影响 ☺价值系数的灵敏度分析; 价值系数的灵敏度分析 ☺右端向量的灵敏度分析. 右端向量的灵敏度分析 理学院 岳瑞锋 本节课的内容
′ 中 其 c2 =0→c2 =1
理学院 岳瑞锋
运筹学 其最优单纯形表为： 其最优单纯形表为：
′ c2 = 0 →c2 = 1
x1
z
x2
1 − 2 1 − 2
x3
0
x4
11 − 4
x5 RHS
9 − 4 31 4
0
x3
0
1
0
x1
1
2
1 − 4 1 2
1 4 3 − 2
1 4 1 2
如果c2从0变为 ，因为x2为非基变量，只需将此表的第0行 如果 变为1，因为 为非基变量，只需将此表的第 行 变为 列变为-1/2-（1-0）=-3/2即得到新问题的单纯形表： 即得到新问题的单纯形表： 第2列变为 列变为 （ ） 即得到新问题的单纯形表 理学院 岳瑞锋
4. 基变量对应的检验数向量：0 基变量对应的检验数向量：
B −1 b 5. 在基本可行解 x = 处的目标函数值： 处的目标函数值： z = cT B−1b B 0
理学院 岳瑞锋
运筹学 1、改变价值向量c 、改变价值向量
m cT x in 对于问题： 对于问题： s.t. Ax=b x≥0
理学院 岳瑞锋
运筹学
情形2： 变化， 情形 ： 仅ck变化，且xk是基变量 T ′ ′ ζ NT = ζ N + ((c1 − c1 ), 0,... , 0)B −1 N
′ z ′ = c T B −1 b + (( c 1 − c 1 ), 0,..., 0 )B −1 b . B
0 I
c T B −1 N − c T B N
1 4 3 − 2
0
31 4
1 4 1 2
x3
x1
0
1
1
0
6 1 T 此时B = (A 3 , A1 ) = ,c B = ( 21,5) 2 1 − 3 / 4 T −1 −1 所以B b′ = ,cB B b′ = −13 / 4 5/ 2
理学院 岳瑞锋
1 − 4 1 2
运筹学
0 I
c T B −1 N − c T B N
B −1 N
c T B −1b B
Β− 1 b
所以新问题的单纯形表格，只要将上述表格的第 行做相应 所以新问题的单纯形表格，只要将上述表格的第0行做相应 的改变即可，公式为： 的改变即可，公式为：
′ ζ N = c′ B N − c′
T B −1
c′ , ck为 k的 旧 值 数ζ k ,ζ k为 k的 旧 验 x 新 价 系 , ′ x 新 检 数 k
′ 则 ζ k = cB B Ak − c′ k
T −1
= c T B −1 Ak − ck + ck c ′ − k B = ζk − (c′ − ck ) k
即原来的检验数减去价值系数的增量. 原来的检验数减去价值系数的增量 理学院 岳瑞锋
运筹学
x1
z
0
x2
15 2
x3
0
x4
5 4
1 − 4 1 2
x5 RHS
25 − 4
1 4 3 − 2
15 4
1 4 1 2
x3
0
1 − 2
2
1
0
x1
1
此时检验向量有正分量，需重新迭代，求解新问题 此时检验向量有正分量，需重新迭代，求解新问题.
理学院 岳瑞锋
运筹学
2、改变右端向量b 、改变右端向量
已知最优的单纯形表格为： 已知最优的单纯形表格为： 优的单纯形表格为
0 I
c T B −1 N − c T B N
c T B −1 b B
B −1 N
Β− 1 b
仅仅将b 改变为 ’ ，表示只有最右一列改变，所以新问 仅仅将 改变为b 表示只有最右一列改变， 题的单纯形表格变为： 题的单纯形表格变为：
运筹学
x1
z
x2
1 − 2 1 − 2
x3
0
x4
11 − 4
x5 RHS
9 − 4 13 − 4
0
检验向量（即对偶的可行解）小于等于零 检验向量（即对偶的可行解）小于等于零. 利用对偶单纯法继续旋转. 利用对偶单纯法继续旋转
1 3 − 1 x3 0 4 4 5 3 0 x1 1 − 2 2 2 5 3 x = ( ,0,− ,0,0 )T 此表对应新问题的一个基本但不可行解 2 4
c T B −1b B
B −1 N
Β− 1 b
以上公式如何在表格上进行？ 以上公式如何在表格上进行？ 1. 用检验数增量乘以 k所在的行，加到第 行上 用检验数增量乘以x 所在的行，加到第0行上 行上. 2. 再将 k所对应的检验数改为 再将x 所对应的检验数改为0.
理学院 岳瑞锋
运筹学
xk行× c′ − ck） 到 0行 并 ζk = 0 （k 加 第 , 令 ′
0 I
c T B −1 N − c T B N
B −1 N
c T B −1 b ′ B
Β−1b’
仍然非负，则最优解没有改变； 如果Β−1b’仍然非负，则最优解没有改变；
问题：如果Β−1b’出现负值，如何计算？ 出现负值，如何计算？
理学院 岳瑞锋
运筹学
min z = 5 x1 + 21 x3 s.t. x − x + 6 x − x =2 1 2 3 4 例 x1 + x2 + 2 x3 − x5 = 1 x j ≥ 0, ( j = 1 ,2 ,3 ,4 ,5)
理学院 岳瑞锋
运筹学
情形2： 变化， 情形 ： 仅ck变化，且xk是基变量
不妨假定仅c 改变，且基变量为x 不妨假定仅 1改变，且基变量为 1，…，xm.
′ ′ ζ NT = c′T B −1 N − c T = (c1 , c2 ,..., cm )B −1 N − c T N B N
′ = (c1 + (c1 − c1 ), c2 ,... , cm )B −1 N − c T N
运筹学 回顾几个公式： 回顾几个公式：
T ζ T = c B B −1 A − c T 1. 检验数向量表达式： 检验数向量表达式：
2. 单个检验数公式： ζ 单个检验数公式：
j
= c B Aj − c j = c Aj − c j
T B T B
T T −1 T
−1
ζ 3. 非基变量对应的检验数向量： N = c B B N − c N 非基变量对应的检验数向量：
理学院 岳瑞锋
运筹学
情形1： 变化， 是非基变量； 情形 ：仅ck变化，且xk是非基变量；
检验数公式： 检验数公式：
ζ j = c B Aj − c j = c Aj − c j
T B −1 T B
目标函数值： 目标函数值： z = cT B−1b B 显然， 发生了变化， 显然，只有ζ k 发生了变化， 设
第六节 灵敏度分析
在利用线性规划理论解决问题时， 在利用线性规划理论解决问题时，一方面纪录的数据 常常不是精确的数据；另一方面， 常常不是精确的数据；另一方面，市场的情况经常可能发 生变化，已经形成的数学模型常常需要改变某些参数. 生变化，已经形成的数学模型常常需要改变某些参数 分析某些参数或者约束条件的变化对解的影响称之为 灵敏度分析问题. 灵敏度分析问题
′ = (c1 , c2 ,... , cm )B −1 N + ((c1 − c1 ), 0,... ,0)B −1 N − c T N
T ′ = ζ N + ((c1 − c1 ), 0,... , 0)B −1 N
′ 同理 z ′ = c T B −1 b + (( c 1 − c 1 ), 0 ,..., 0 )B −1 b . B
最优的单纯形表格为 如果其最优的 如果其最优的单纯形表格为
0 I
c T B −1 N − c T B N
B −1 N
c T B −1b B
Β−1b
c的改变并没有改变可行区域 的改变并没有改变可行区域. 的改变并没有改变可行区域 即原来的最优基本可行解，仍然是新问题的基本可行解 即原来的最优基本可行解，仍然是新问题的基本可行解. 最优基本可行解 理学院 岳瑞锋
运筹学
式 ζ′ 公 ： k = ζ k − (c′ − ck ) k
min z = 5 x1 + 21 x3 s.t. x − x + 6 x − x =2 1 2 3 4 例 x1 + x2 + 2 x3 − x5 = 1 x j ≥ 0, ( j = 1 ,2 ,3 ,4 ,5)
min z = 5 x1 + 21 x3 s.t. x − x + 6 x − x =2 1 2 3 4 例 x1 + x2 + 2 x3 − x5 = 1 x j ≥ 0, ( j = 1 ,2 ,3 ,4 ,5)
中 其 c3 =21→c′ =5 3
理学院 岳瑞锋
运筹学 其最优单纯形表为： 其最优单纯形表为：
理学院 岳瑞锋
运筹学
m cT x in 对于问题： 对于问题： s.t. Ax=b x≥0
灵敏度分析主要包含以下内容： 灵敏度分析主要包含以下内容： ☺约束系数的灵敏度分析; 约束系数的灵敏度分析 ☺增加或者减少约束条件对解的影响; 增加或者减少约束条件对解的影响 ☺增加或者减少决策变量对解的影响; 增加或者减少决策变量对解的影响 ☺价值系数的灵敏度分析; 价值系数的灵敏度分析 ☺右端向量的灵敏度分析. 右端向量的灵敏度分析 理学院 岳瑞锋 本节课的内容
′ 中 其 c2 =0→c2 =1
理学院 岳瑞锋
运筹学 其最优单纯形表为： 其最优单纯形表为：
′ c2 = 0 →c2 = 1
x1
z
x2
1 − 2 1 − 2
x3
0
x4
11 − 4
x5 RHS
9 − 4 31 4
0
x3
0
1
0
x1
1
2
1 − 4 1 2
1 4 3 − 2
1 4 1 2
如果c2从0变为 ，因为x2为非基变量，只需将此表的第0行 如果 变为1，因为 为非基变量，只需将此表的第 行 变为 列变为-1/2-（1-0）=-3/2即得到新问题的单纯形表： 即得到新问题的单纯形表： 第2列变为 列变为 （ ） 即得到新问题的单纯形表 理学院 岳瑞锋
4. 基变量对应的检验数向量：0 基变量对应的检验数向量：
B −1 b 5. 在基本可行解 x = 处的目标函数值： 处的目标函数值： z = cT B−1b B 0
理学院 岳瑞锋
运筹学 1、改变价值向量c 、改变价值向量
m cT x in 对于问题： 对于问题： s.t. Ax=b x≥0
理学院 岳瑞锋
运筹学
情形2： 变化， 情形 ： 仅ck变化，且xk是基变量 T ′ ′ ζ NT = ζ N + ((c1 − c1 ), 0,... , 0)B −1 N
′ z ′ = c T B −1 b + (( c 1 − c 1 ), 0,..., 0 )B −1 b . B
0 I
c T B −1 N − c T B N
1 4 3 − 2
0
31 4
1 4 1 2
x3
x1
0
1
1
0
6 1 T 此时B = (A 3 , A1 ) = ,c B = ( 21,5) 2 1 − 3 / 4 T −1 −1 所以B b′ = ,cB B b′ = −13 / 4 5/ 2
理学院 岳瑞锋
1 − 4 1 2
运筹学
0 I
c T B −1 N − c T B N
B −1 N
c T B −1b B
Β− 1 b
所以新问题的单纯形表格，只要将上述表格的第 行做相应 所以新问题的单纯形表格，只要将上述表格的第0行做相应 的改变即可，公式为： 的改变即可，公式为：
′ ζ N = c′ B N − c′
T B −1
c′ , ck为 k的 旧 值 数ζ k ,ζ k为 k的 旧 验 x 新 价 系 , ′ x 新 检 数 k
′ 则 ζ k = cB B Ak − c′ k
T −1
= c T B −1 Ak − ck + ck c ′ − k B = ζk − (c′ − ck ) k
即原来的检验数减去价值系数的增量. 原来的检验数减去价值系数的增量 理学院 岳瑞锋
运筹学
x1
z
0
x2
15 2
x3
0
x4
5 4
1 − 4 1 2
x5 RHS
25 − 4
1 4 3 − 2
15 4
1 4 1 2
x3
0
1 − 2
2
1
0
x1
1
此时检验向量有正分量，需重新迭代，求解新问题 此时检验向量有正分量，需重新迭代，求解新问题.
理学院 岳瑞锋
运筹学
2、改变右端向量b 、改变右端向量
已知最优的单纯形表格为： 已知最优的单纯形表格为： 优的单纯形表格为
0 I
c T B −1 N − c T B N
c T B −1 b B
B −1 N
Β− 1 b
仅仅将b 改变为 ’ ，表示只有最右一列改变，所以新问 仅仅将 改变为b 表示只有最右一列改变， 题的单纯形表格变为： 题的单纯形表格变为：
运筹学
x1
z
x2
1 − 2 1 − 2
x3
0
x4
11 − 4
x5 RHS
9 − 4 13 − 4
0
检验向量（即对偶的可行解）小于等于零 检验向量（即对偶的可行解）小于等于零. 利用对偶单纯法继续旋转. 利用对偶单纯法继续旋转
1 3 − 1 x3 0 4 4 5 3 0 x1 1 − 2 2 2 5 3 x = ( ,0,− ,0,0 )T 此表对应新问题的一个基本但不可行解 2 4
c T B −1b B
B −1 N
Β− 1 b
以上公式如何在表格上进行？ 以上公式如何在表格上进行？ 1. 用检验数增量乘以 k所在的行，加到第 行上 用检验数增量乘以x 所在的行，加到第0行上 行上. 2. 再将 k所对应的检验数改为 再将x 所对应的检验数改为0.
理学院 岳瑞锋
运筹学
xk行× c′ − ck） 到 0行 并 ζk = 0 （k 加 第 , 令 ′
0 I
c T B −1 N − c T B N
B −1 N
c T B −1 b ′ B
Β−1b’
仍然非负，则最优解没有改变； 如果Β−1b’仍然非负，则最优解没有改变；
问题：如果Β−1b’出现负值，如何计算？ 出现负值，如何计算？
理学院 岳瑞锋
运筹学
min z = 5 x1 + 21 x3 s.t. x − x + 6 x − x =2 1 2 3 4 例 x1 + x2 + 2 x3 − x5 = 1 x j ≥ 0, ( j = 1 ,2 ,3 ,4 ,5)
理学院 岳瑞锋
运筹学
情形2： 变化， 情形 ： 仅ck变化，且xk是基变量
不妨假定仅c 改变，且基变量为x 不妨假定仅 1改变，且基变量为 1，…，xm.
′ ′ ζ NT = c′T B −1 N − c T = (c1 , c2 ,..., cm )B −1 N − c T N B N
′ = (c1 + (c1 − c1 ), c2 ,... , cm )B −1 N − c T N
运筹学 回顾几个公式： 回顾几个公式：
T ζ T = c B B −1 A − c T 1. 检验数向量表达式： 检验数向量表达式：
2. 单个检验数公式： ζ 单个检验数公式：
j
= c B Aj − c j = c Aj − c j
T B T B
T T −1 T
−1
ζ 3. 非基变量对应的检验数向量： N = c B B N − c N 非基变量对应的检验数向量：
理学院 岳瑞锋
运筹学
情形1： 变化， 是非基变量； 情形 ：仅ck变化，且xk是非基变量；
检验数公式： 检验数公式：
ζ j = c B Aj − c j = c Aj − c j
T B −1 T B
目标函数值： 目标函数值： z = cT B−1b B 显然， 发生了变化， 显然，只有ζ k 发生了变化， 设
合集下载
运筹学对偶理论l
§2 对偶 问题 的基 本性
质
性质1（弱对偶性）
若互为对偶的LP问题(1)、(2)分别有可行解：
X (x1 , x2 ,, xn )T Y ( y1, y2 ,, ym )
则其相应的目标函数值满足
Z c1x1 c2 x2 cn xn C X
b1 y1 b2 y2 bm ym Yb W
x1＋x2－3x3＋x4≥5
y1
2x1 ＋2x3－x4≤4
y2
x2＋x3＋x4＝6
y3
x1≤0，x2，x3≥0，x4无约束
1 A 2
≥ 0
x1
≤
1 3
02
≤1 1≤
x2 x3
≥
≥
1 ≥ 5 y1 ≥ 1≤ 4 y2 ≤ ＝1 ＝ 6 y3 无
无x4
max w＝5y1＋4y2＋6y3
上述关系可写为下表：
x1 x2
y1
a11 a12
y2
a21 a22
… ……
yn
am1 am2
对偶关系 ≥ ≥
max z c1 c2
max Z=2x1＋3x2 x1＋2x2≤8
4x1 ≤16 4x2≤12
x1，x2 ≥0
… xn 原关系 min w
… a1n
≤
b1
… a2n
≤
b2
……
≤
…
… amn
≤
bm
1
2
4 7
y1 y2
3 3
y1 y2
0
推论1 极大化问题的任意一个可行解所对
应的目标函数值是其对偶问题最优目标函
第二章 运筹学对偶理论
22
3．最优性。 若 X0——原问题可行解，Y0——对偶问题可行解，且 CX0 = Y0 b 则 X0——原问题最优解， Y0——对偶问题最优解 证明：设 X* ——原问题最优解， Y* ——对偶问题最优解
则 CX0 CX* Y* b Y0 b
但 CX0 = Y0 b， ∴ CX0 = CX* = Y* b = Y0 b ∴ X0 = X* ， Y0 = Y* 即 X0——原问题最优解， Y0——对偶问题最优解 证毕。
20
（1）原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问题目标函 数值的下界；反之对偶问题任一可行解的目标函数值是其 原问题目标函数值的上界。 （2）如原问题有可行解且目标函数值无界（具有无界解）， 则其对偶问题无可行解，反之对偶问题有可行解且目标函 数值无界，则其原问题无可行解。 证：有性质1，C X0 Y0 b，当 CX0 ∞ 时，则不可能存在 Y0，使得 C X0 Y0 b 。 本性质的逆不成立。当对偶问题无可行解时，其原问题或 具有无界解或无可行解，反之亦然。
min =15y1+24y2+5y3 0y1+ 6y2+ y3≥ 2 S.t. 5y1+ 2y2+ y3≥ 1 y1，y2，y3≥0
• 对偶问题的最优解： y1=0，y2=1/4，y3=1/2，W* =8.5 • 两个问题的目标函数值相等，这不是偶然的，上述两个问题 实际上是一个问题的两个方面，如果把前者称为线性规划原 问题，则后者便是它的对偶问题，反之亦然。 • 对偶问题的最优解对应于原问题最优单纯型法表中，初始基 变量的检验数的负值。
∴ Y*是对偶问题的最优解。
24
• 5.互补松弛性：在线性规划问题的最优解中，如果对应 某一约束条件的对偶变量值为非零，则该约束条件取严 格等式；反之如果约束条件取严格不等式，则其对应的 对偶变量一定为零。即 • 若yi*＞0，则有 n * ai j x j bi ,
运筹学课件_第二章_线性规划的对偶理论及其应用
0
1
1
-1
0
-2
0
-4
0 M4
x2=0 x3=4
OBJ=46
18
2.3 对偶单纯型算法
2.3.1 基本思路
• 原单纯型迭代要求每步都是基础可行解 b=B1b0
• 达到最优解时，检验数 cj–zj 0 (max) 或 cj–zj 0 (min) • 但对于(min, )型所加的剩余变量无法构成初始基础
对偶问题同时解
– 原问题为基础可行解，对偶问题为非可行解，但满足
互补松弛条件；则当对偶问题为可行解时，取得最优 解
14
2.2.5 原问题检验数与对偶问题的解
• 在主对偶定理的证明中我们有：对偶(min型)变量的最 优解等于原问题松弛变量的机会成本，或者说原问题松 弛变量检验数的绝对值
• 容易证明，对偶问题最优解的剩余变量解值等于原问题 对应变量的检验数的绝对值
产品 2的所得 产品 3的所得
3y1 2 y2 4 产品 4 的所得
y1, y2 0
3
2.1.1 线性规划原问题与对偶问题的表达形式
原问题 : max f (x) CX
s.t.
AX b
X
0
对偶问题 :
min g( y) Yb
s.t.
YA C
Y
0
上两式中
X ( x1, x2 ,, xn )T Y ( y1, y2,, ym ) C (c1, c2 ,, cn ) b (b1, b2 ,, bm )T
证 : 由于X 0,Y 0分别为原问题和对偶问题的可行解,故有
AX 0 b
X0
0
Y 0 A C
Y0
0
容易看出有 Y 0b Y 0 AX 0 CX 0. # 9
运筹学第2章：线性规划的对偶理论
目
标函数求极小时取“≥”号
注：对称形式与线性规划标准型是两种不同的形 式，对称形式中约束条件的符号由目标函数决定
从以下方面比较(LP1)与(LP2)：
原问题
对偶问题 约束系数矩阵的转 臵 目标函数中的价格 系数向量 约束条件的右端项 向量 Min w=Y’b A’Y≥C’ Y≥0
A
b C 目标函数 约束条件 决策变量
非基变量 基变量
XB
0 b Xs C j - zj B
XN
N
Xs
I
0
初始 单纯形表
非基变量
CB
CN
基变量
最终
单纯形表
CB
XB
XB B-1b Cj - zj
I 0
Xs B-1 N B-1 CN-CBB-1N -CBB-1
XN
若B-1b为最优解，则
CB CB ( B 1B) 0 C N CB B N 0 CB B 1 0
令 y 2 y 2 , y3 y3 y3 ，则
min 2 y1 y2 4 y3
2 y1 3 y2 y3 1 3 y y y 4 1 2 3 s.t. 5 y1 6 y2 y3 3 y1 0, y2 0, y3无约束
n j 1 m j j
C X Y b, 即 c j x j y i bi
j 1 i 1
__
__
n
m
c x ( a
j 1 m i 1 n i i i 1 i 1 j 1
n
m
ij
yi ) x j aij x j yi ( a ji yi c j )
例1
运筹学第二章 对偶理论
1.3 对偶单纯形法
C
-2
-3
-4
CB
XB
b
X1
X2
X3
0
X4
-1
0
[-5/2]
1/2
-2
X1
2
1
-1/2
3/2
0
-4
-1
确定换出变量： X4
确定换入变量： X2
C
CB
XB
b
-3
X2
2/5
-2
X1
11/5
X * = (11 5 2 5)
-2
-3
-4
X1
X2
X3
0
1
-1/5
1
0
7/5
0
0
-3/5
Y * = (8 5 1 5)
初始可行基，则 σ ≤ 0 。
若
~ bi
≥
0, i
= 1,2,L, m，即表中原问题和
对偶问题均为最优解，否则换基。
1.3 对偶单纯形法
基变换方法：
•确定换出基变量
~ bl
=
min i
~ {bi
~ bi
<
0}
对应变量 xl 为换出变量
•确定换入基变量
θ
=
min
⎪⎧σ
⎨
j
j ⎪⎩ alj
alj
<
0
⎪⎫ ⎬
1.3 对偶理论 Dual Theory
对偶是一般形式的对称。 ¾ 对偶问题的引出 ¾ 原问题与对偶问题的对应关系 ¾ 对偶理论
DUAL
1.3 对偶问题
某家电厂家利用现有资源生产两种产品，有关数据如下表：
运筹学(第2章 线性规划的对偶理论)
min w 15 y1 24 y 2 5 y 3 6 y 2 y 3 y4 2 s.t 5 y1 2 y 2 y 3 y5 1 yi 0
分别用单纯形法求解上述2个规划问题，得到最终单纯形表如 下表：
原问 题最 优表
XB x3 x1 x2
-2 3 -3 1 5 7 1 -4 -6
2 y1 3 y2 y3 2 3 y y 4 y 3 1 2 3 5 y1 7 y2 6 y3 4 y1 , y2 , y3 0
(2) 非对称型对偶问题 若给出的线性规划不是对称形式，可以先化成对 称形式再写对偶问题。也可直接按教材表2-2中的对 应关系写出非对称形式的对偶问题。
y2
y3
1/4
1/2
-4/5
15/2 15/2
1
0 0
0
1 0
-1/4
1/2 7/2
1/4
-3/2 3/2
j
原问题与其对偶问题的变量与解的对应关系： 在单纯形表中，原问题的松弛变量对应对偶 问题的变量，对偶问题的剩余变量对应原问 题的变量。
弱对偶性；强对偶性；
最优性; 无界性; 互补松弛性
性质1 对称性定理：对偶问题的对偶是原问题 min W= Y b s.t. YA ≥ C Y≤0
对偶性质（Dual property）
性质4 强对偶性：若原问题及其对偶问题均具有可行解， 则两者均具有最优解，且它们最优解的目标函数值相等， 即 max z min w
故
证明：将原问题化成标准形式
m ax z c j x j
j 1 n n
yi 0 (i 1,, m)
是对偶问题的可行解, 又因
运筹学第二章线性规划的对偶理论
(5.5) (5.6)
4.3 对偶问题的基本性质
证： 设B是一可行基，于是A=(B,N)
max z=CBXB+ CNXN BXB+BXN +Xξ=b X,XB,Xξ ≥0
其中Yξ=(Yξ1, Yξ2)
min ω =Yb YB－Yξ1=CB YN－Yξ2=CN Y, Yξ1 Yξ2 ≥0
(5.5) (5.6)
x1﹐x2 ≥0
关系？
对原模型设： 1 2
A= 4 0 b=(8,16,12)T C=(2，3) 04
X=（x1，x2）T Y=（y1，y2 ，y3 ） 则可得:
4.1 对偶问题的提出
min ω=8 y1+16y2 +12y3
y1+4y2
≥2
2 y1 +4y3≥3
与
y1 ， y2 ，y3≥0 12
max z＝2x1+3x2 x1＋ 2x2 ≤8
4x1
≤16
4x2 ≤12
x1﹐x2 ≥0
有何关 系？
对愿模型设： A= 4 0 04
b=(8,16,12)T C=(2，3)
X=（x1，x2）T
Y=（y1，y2 ，y3 ） 则可得:
max z=CX AX≤b （5.1） 和
min ω =Yb YA ≥ C （5.2）
120
A=
1 -3
0 2
1 1
1 -1 1
b=(2,3,-5,1)T C=(5,4, 6)
确定约束条件
YA
C
x1 ≥0 ﹐x2≤0, x3 无约束
解：因原问题有3个变 于是 量，4个约束条件， 所以对偶问题4个 变量，3个约束条
运筹学第2章-线性规划的对偶理论
❖ 影子价格不是市场价格，而是在现有技术和管理条件下， 新增单位资源所能够创造的价值，是特定企业的一种边 际价格；不同企业或同一企业不同时期，同种资源的影 子价格可能不同；当市场价格高于影子价格，可以卖出； 相反，则应买进，以获取更大收益
Ma例x：Z （ 2第x一1 章3例x22）
2 x1 2 x2 12
当原问题和对偶问题都取得最优解时，这 一对线性规划对应的目标函数值是相等的：
Zmax=Wmin
二、原问题和对偶问题的关系
1、对称形式的对偶关系
（1）定义：若原问题是
MaxZ c1 x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
s.t.a21
x1
a22
二、 手工进行灵敏度分析的基本原则 1、在最优表格的基础上进行； 2、尽量减少附加计算工作量；
5y3 3
，y
2
3
0
（用于生产第i种产 品的资源转让收益不 小于生产该种产品时 获得的利润）
对偶变量的经济意义可以解释为对工时及原材 料的单位定价 ；
若工厂自己不生产产品A、B和C，将现 有的工时及原材料转而接受外来加工时， 那么上述的价格系统能保证不亏本又最富 有竞争力（包工及原材料的总价格最低）
内，使得产品的总利润最大 。
MaxZ 2x1 3x 2
2x1 2x2 12
s.t.54xx12
16 15
x1, x 2 0
它的对偶问题就是一个价格系统，使在平衡了 劳动力和原材料的直接成本后，所确定的价格系统 最具有竞争力：
MinW 12y1 16y2 15y3
2y1 4y2
2
s.t.2y1y，1y
y1, y2, , ym 0
Ma例x：Z （ 2第x一1 章3例x22）
2 x1 2 x2 12
当原问题和对偶问题都取得最优解时，这 一对线性规划对应的目标函数值是相等的：
Zmax=Wmin
二、原问题和对偶问题的关系
1、对称形式的对偶关系
（1）定义：若原问题是
MaxZ c1 x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
s.t.a21
x1
a22
二、 手工进行灵敏度分析的基本原则 1、在最优表格的基础上进行； 2、尽量减少附加计算工作量；
5y3 3
，y
2
3
0
（用于生产第i种产 品的资源转让收益不 小于生产该种产品时 获得的利润）
对偶变量的经济意义可以解释为对工时及原材 料的单位定价 ；
若工厂自己不生产产品A、B和C，将现 有的工时及原材料转而接受外来加工时， 那么上述的价格系统能保证不亏本又最富 有竞争力（包工及原材料的总价格最低）
内，使得产品的总利润最大 。
MaxZ 2x1 3x 2
2x1 2x2 12
s.t.54xx12
16 15
x1, x 2 0
它的对偶问题就是一个价格系统，使在平衡了 劳动力和原材料的直接成本后，所确定的价格系统 最具有竞争力：
MinW 12y1 16y2 15y3
2y1 4y2
2
s.t.2y1y，1y
y1, y2, , ym 0
(运筹学第二章)线性规划的对偶理论
第二章线性规划的对偶理论1．对偶问题的提出2．原问题与对偶问题3．对偶问题的基本性质4．影子价格5对偶单纯形法5．对偶单纯形法6．灵敏度分析7．参数线性规划1§1．对偶问题的提出原问题设某企业有m种资源用于生产n种不同产品，各种（i=1m）又生产单位第j种资源的拥有量分别为b i （i=1，…，m），又生产单位第j种产品（j=1，…，n）消费第i种资源a ij 单位，产值为c j 元。
用x 代表第j种产品的生产数量，为使该企业产值最大，可将上述问题建立线性规划模型j 将上述问题建立线性规划模型：max z =c 1x 1+c 2x 2+…+c n x n a 11x 1+a 12x 2+…+a 1n x n ≤b 1a 21x 1+a 22x 2+…+a 2n x n ≤b 2………………2a m 1x 1+a m 2x 2+…+a m n x n ≤b m x 1，x 2，…，x n ≥0§1．对偶问题的提出现在从另一角度提出问题：假定有另一企业欲将上述企业拥有的资源收买过来，至少应付出多少代价，才能使前一拥有的资源收买过来，至少应付出多少代价，才能使前企业愿意放弃生产活动，出让资源。
设用y i 代表收买该企业一单位i种资源时付给的代价，则总收买价为：ωb ω = b1y 1＋…＋b m y m 前一企业生产一单位第j种产品时，消耗各种资源的数量分别为a 1j ，a 2j ，…，a mj ，如果出让这些资源，价值应不低于单位j种产品的价值c j 元，因此：a 1 j y 1+ a 2 j y 2 + …+ a m j y m ≥ c j 3j j j j （j =1，…，n）§1．对偶问题的提出对后一企业来说，希望用最小代价把前一企业所有资源收过来此有有资源收买过来，因此有：min ω=b1y 1＋b 2y 2＋…＋b m y m a11y 1+a 21y 2+…+a m 1y m ≥c 1a 12y 1+a 22y 2+…+a m 2y m ≥c 2………………a 1n y 1+a 2n y 2+…+a mn y m ≥c ny 1，y 2，…，y m ≥04§1对偶问题的提出§1．对偶问题的提出max z = c 1x 1+ c 2x 2+ … + c n x na x +a x ++a xb a 1 1x 1+ a 1 2x 2 + … + a 1 n x n ≤b 1a 2 1x 1+ a 2 2x 2 + … + a 2 n x n ≤b 2………………a m 1x 1+ a m 2x 2 + … + a m n x n ≤b mmin ω = b 1y 1＋b 2y 2＋…＋b m y mx 1 ，x 2 ，… ，x n ≥0a 1 1y 1+ a 21 y 2 + … + a m 1y m ≥c 1a 1 2y 1+ a 22y 2 + … + a m 2y m ≥c 2………………a 1n y + a 2n y 2+ … + a y ≥c 51 n 12 n 2 mn m ny 1，y 2，… ，y m ≥0§2．原问题与对偶问题后一个线性规划问题是前一个问题从不同角度作的阐述如前者称为线性规划问的话的阐述。
运筹学概论 第2章 线性规划的对偶理论
第二章 线性规划的对偶理论
线性规划的对偶问题 对偶问题的基本性质 影子价格
2020/4/29
第一节 线性规划的对偶问题
窗含西岭千秋雪，门泊东吴万里船 对偶是一种普遍现象
2020/4/
一、对偶问题的提出
例1 美佳公司计划制造甲、乙两种家电产品，已知制造一件甲需占用B 设备5小时，调试工序1小时；制造一件乙需占用A设备6小时，B设备2 小时，调试工序1小时； A设备每天可用15小时， B设备可用24小时， 调试工序每天可用5小时。已知售出一件甲获利2元，售出一件乙获利1 元，问该公司每天应制造两种家电各多少件，使获取的利润最大？
x1,x2,x3,x4 0
假设有商人要向厂方购买资源A和B，问他们 谈判原料价格的模型是怎样的？
2020/4/29
●设A、B资源的出售价格分别为 y1 和 y2 ●显然商人希望总的收购价越小越好(目标) ●工厂希望出售资源后所得不应比生产产品所得少（约束）
2020/4/29
maxZ x1 2x2 3x3 4x4
(2)
3y1 5y1
y2 y3 y3 4 6y2 y3 y3 3
(3) (4)
5y1 6y2 y3 y3 3
(5)
y1, y2 , y3, y3 0
(6)
y2=-y2’；y3=y3’-y3’’；（3）式 两端乘“-1”，（4）、（5）合并。
A’YC’
决策变量
X 0
Y 0
2020/4/29
min w Y 'b A 'Y C ' Y 0
max w ' Y 'b - A 'Y C ' Y 0
min z ' CX - AX b X 0
线性规划的对偶问题 对偶问题的基本性质 影子价格
2020/4/29
第一节 线性规划的对偶问题
窗含西岭千秋雪，门泊东吴万里船 对偶是一种普遍现象
2020/4/
一、对偶问题的提出
例1 美佳公司计划制造甲、乙两种家电产品，已知制造一件甲需占用B 设备5小时，调试工序1小时；制造一件乙需占用A设备6小时，B设备2 小时，调试工序1小时； A设备每天可用15小时， B设备可用24小时， 调试工序每天可用5小时。已知售出一件甲获利2元，售出一件乙获利1 元，问该公司每天应制造两种家电各多少件，使获取的利润最大？
x1,x2,x3,x4 0
假设有商人要向厂方购买资源A和B，问他们 谈判原料价格的模型是怎样的？
2020/4/29
●设A、B资源的出售价格分别为 y1 和 y2 ●显然商人希望总的收购价越小越好(目标) ●工厂希望出售资源后所得不应比生产产品所得少（约束）
2020/4/29
maxZ x1 2x2 3x3 4x4
(2)
3y1 5y1
y2 y3 y3 4 6y2 y3 y3 3
(3) (4)
5y1 6y2 y3 y3 3
(5)
y1, y2 , y3, y3 0
(6)
y2=-y2’；y3=y3’-y3’’；（3）式 两端乘“-1”，（4）、（5）合并。
A’YC’
决策变量
X 0
Y 0
2020/4/29
min w Y 'b A 'Y C ' Y 0
max w ' Y 'b - A 'Y C ' Y 0
min z ' CX - AX b X 0