2017春人教版高中数学必修五课件：2.4 第2课时 等比数列的性质3
方法二：各项均为正数的等比数列{an}中， a10a11=a9a12=…=a1a20， 则a1a20=e5， 设lna1+lna2+…+lna20=S， 则lna20+lna19+…+lna1=S， 2S=20ln(a1a20)=100，S=50.
【延伸探究】 1.(变换条件)若将本题条件“a10a11+a9a12=2e5”改为 “a3·a9=2a52，a2=2”，其他条件不变，结果又如何？
a10 a11 2
答案： 2
【知识探究】
知识点1 等比数列通项公式的推广
观察如图所示内容，回答下列问题：
问题1：等比数列通项公式的推广形式是如何得出的？ 问题2：等比数列通项公式的推广形式的主要作用是什 么？
【总结提升】 1.等比数列通项公式推广形式的证明 设等比数列{an}的公比为q，则 an=a1qn-1，am=a1qm-1，m，n∈N*，两式相除得
等比数列的性质
观察如图所示内容，回答下列问题：
问题1：等比数列{an}中，若m+n=s+t，则aman=asat， 该结论是如何证明的？ 问题2：已知数列{an}是等比数列，还有哪些与该数列 有关的等比数列呢？
【总结提升】 1.等比数列中四项关系的性质及证明 若等比数列{an}中，m，n，s，t∈N*且m+n=s+t， 则aman=asat.
【方法技巧】巧用等比数列的性质解题 (1)解答等比数列问题的基本方法——基本量法 ①基本步骤：运用方程思想列出基本量a1和q的方程组， 解出a1和q，然后利用通项公式求解； ②优缺点：适用面广，入手简单，思路清晰，但有时 运算稍繁.
(2)利用等比数列的性质解题 ①基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分 析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题； ②优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维 含量.
证明：设等比数列{an}的公比为q， aman= a1qm-1·a1qn-1=a12qm+n-2， asat= a1qs-1·a1qt-1=a12qs+t-2， 因为m+n=s+t，所以aman=asat.
2.等比数列的“子数列”的性质 数列{an}是公比为q的无穷等比数列. (1)去掉数列{an}的前m项后余下的项仍组成公比为q的 等比数列. (2)奇数项数列{a2n-1}是公比为q2的等比数列；偶数项 数列{a2n}是公比为q2的等比数列.
【解析】因为数列{an}是等比数列，所以a3a9=a62，又因
为a3a9=2a52，所以2a52=a62，又因为an>0，所以 2a5=a6，
所以公比q= a 6 2，又因为a2=2， 所以an= 2 ( 2) n 2 2 .
a5
n 2
所以lna1+lna2+…+lna20
1 20 1 20 ln 2 105ln 2. 2 2
2
3.若数列{an}为等比数列，则下列式子一定成立的
是(
)
B.a1a9=a10 D.a1a2a7=a4a6
A.a2+a5=a1+a6 C.a1a9=a3a7
【解析】选C.以等比数列{3〓2n}为例进行检验，可知
A，B，D均不成立.对于C，因为a1a9=a12q8，a3a7=a12q8， 所以a1a9=a3a7.
D.84
2.已知等比数列{an}为递增数列，且a52=a10，2(an+an+2)= 5an+1，则数列的通项公式an=________.
【解题探究】1.典例1中，解题的基本思路是什么？ 提示：利用条件a1=3，a1+a3+a5=21求出公比，再利用 a3+a5+a7=(a1+a3+a5)q2求值. 2.典例2中，an+2，an+1与an有什么关系？ 提示：an+2=anq2，an+1=anq.
(3)在数列{an}中每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来顺
序组成新数列，则新数列仍为等比数列且公比为qk+1.
【题型探究】
类型一
等比数列通项公式的推广和应用
【典例】1.(2015·全国卷Ⅱ)等比数列{an}满足a1=3， a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=( )
A.21
B.42
C.63
q>1
0<q<1
q=1
q<0
a1>0 a1<0
递增 数列 _____ 递减 数列 _____
递减 数列 _____
常 数列 ___
递增 数列 _____
摆动 数列
【即时小测】 1.判断 (1)知道等比数列的某一项和公比，可以计算等比数列 的任意一项.( )
(2)若{an}为等比数列，且m+n=p(m，n，p∈N*)，则 am·an=ap.( )
类型三
等差、等比数列的综合问题
【典例】1.(2015·襄阳高一检测)等比数列{an}中， a1=512，公比q=- 1，记Tn=a1×a2×…×an，则Tn取最大
2
值时n的值为( A.8 B.9
) C.9或10 D.11
2.(2015·湖州高一检测)已知数列{an}满足：a1=2， an+1=an2-kan+k(k∈R)，a1，a2，a3分别是公差不为零的 等差数列{bn}的前三项. (1)求k的值. (2)求证：对任意的n∈N*，bn，b2n，b4n不可能成等比 数列.
定是递增数列，如等比数列-1，-2，-4，…，公比
q=2>1，但此数列是递减数列. 答案：(1)√ (2)〓 (3)〓
2.等比数列{an}中，a5=3，q= 1 ，则a3=(
2 3 A. 4 3 B. 2 C.6 D.12
)
【解析】选D.因为数列{an}是等比数列，所以a5=a3q2， 所以3=a3〓( 1 ) 2，所以a3=12.
am
a m 5
所以am+15=am·q10=24〓82=1 536. 答案：1 536
类型二
等比数列性质的应用
【典例】在等比数列{an}中，已知a4a7=-512， a3+a8=124，且公比为整数，求数列{an}的通项公式.
【解题探究】本例中，哪个条件可以用等比数列的性 质进行转化？如何转化？ 提示：条件a4a7=-512可利用“若m+n=k+l，则aman=akal” 转化为a3a8=-512.
所以2(1+q2)=5q，解得q=2或q= 1 (舍去)，
2
所以an=2n. 答案：2n
【方法技巧】等比数列推广的通项公式的应用技巧
(1)由等比数列的任意两项可求出数列的公比，即由an
=am qn-m可得qn-m=
an ，进一步计算公比. am
(2)由等比数列的任意一项和公比可以求出该等比数列
的通项公式.
n 4 n 4 3 2 所以an=a4qn-4=2〓 ( ) 10 或3 ( ) 10 . 2 3
a 4 a14 5.
2.(变换条件、改变问法)典例中等比数列满足的条件
改为a4+a7=2，a5·a6=-8，求a1+a10.
【解析】因为数列{an}为等比数列，所以a5a6=a4a7=-8.
a n a1q n 1 n 1 m1 n m 所以a =a qn-m. q q ， n m m 1 a m a1q
2.等比数列通项公式的推广形式的作用 (1)求等比数列的公比.
(2)在已知等比数列中任意两项的前提下，使用
an=amqn-m，可求出等比数列的任何一项.
知识点2
a 2009
012=8a2 009，则公比q的值
C. =q3=8，所以q=2.
2.在等比数列{an}中，存在正整数m，有am=3，am+5=24， 则am+15=________. 【解析】因为 a m5 =q5=8，又因为 a m 15 =q10=(q5)2=82.
【解析】由a4a7=-512，知a3a8=-512.
a 3a 8 512， 解方程组 a 3 a 8 124. a 3 4， a 3 128， 得 或 a 8 128. a 8 4.
因为q为整数，所以q= 5
a8 =-2， a3
所以an=a3qn-3=-4〓(-2)n-3=(-1)n-2〓2n-1.
【补偿训练】若等比数列{an}的各项均为正数，且 a10a11+a9a12=2e5，求lna1+lna2+…+lna20. 【解析】方法一：各项均为正数的等比数列{an}中， a10a11=a9a12=„=a1a20， 则a1a20=e5， lna1+lna2+…+lna20=ln(a1a20)10=lne50=50.
第2课时
等比数列的性质
【知识提炼】 1.等比数列的项与序号的关系
两项关系
n-m q an=am·____(n，m∈N*)
多项关系
若{an}为等比数列，且m+n=p+q
a ·a =a ·a * m n p q (m，n，p，q∈N )，则____________
2.等比数列的单调性
公比q 单调性 首项a1
a 4 a 7 2， 联立 a 4a 7 8. a 4 4， a 4 2， 可解得 或 a 7 2. a 7 4. 1 a 4 4， a 3=-7； 当 时，q3=- ，故a1+a10= 4 +a q 7 3 2 q a 2 7 a 4 2， 3=-2，同理，有a +a =-7. 当 时， q 1 10 a 7 4
高考数学必修五 第二章 2.4 第2课时等比数列的性质
第2课时 等比数列的性质学习目标 1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.熟悉等比数列的有关性质.3.系统了解判断数列是否成等比数列的方法.知识点一 由等比数列衍生的等比数列思考 等比数列{a n }的前4项为1,2,4,8，下列判断正确的是 (1){3a n }是等比数列； (2){3＋a n }是等比数列；(3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列； (4){a 2n }是等比数列.答案 由定义可判断出(1)，(3)，(4)正确.梳理 (1)在等比数列{a n }中按序号从小到大取出若干项：123,,,,,,n k k k k a a a a ……若k 1，k 2，k 3，…，k n ，…成等差数列，那么123,,,,,n k k k k a a a a ……是等比数列.(2)如果{a n }，{b n }均为等比数列，那么数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n ，{|a n |}是等比数列.知识点二 等比数列的性质思考 在等比数列{a n }中，a 25＝a 1a 9是否成立？a 25＝a 3a 7是否成立？a 2n ＝a n －2a n ＋2(n >2，n ∈N *)是否成立？ 答案 ∵a 5＝a 1q 4，a 9＝a 1q 8，∴a 1a 9＝a 21q 8＝(a 1q 4)2＝a 25， ∴a 25＝a 1a 9成立.同理a 25＝a 3a 7成立，a 2n ＝a n －2·a n ＋2也成立. 梳理 一般地，在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝s ＋t ，则有a m ·a n ＝a s ·a t (m ，n ，s ，t ∈N *).若m ＋n ＝2k ，则a m ·a n ＝a 2k (m ，n ，k ∈N *).1.a n ＝a m q n －m (n ，m ∈N *)，当m ＝1时，就是a n ＝a 1q n －1.(√)2.等比数列{a n }中，若公比q <0，则{a n }一定不是单调数列.(√)3.若{a n }，{b n }都是等比数列，则{a n ＋b n }是等比数列.(×)类型一 等比数列通项公式的推广应用 例1 等比数列{a n }中. (1)a 4＝2，a 7＝8，求a n ；(2)若{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，求通项公式a n . 考点 等比数列的通项公式题点 已知数列为等比数列求通项公式 解 (1)∵a 7a 4＝q 7－4＝82，即q 3＝4，∴q ＝34， ∴a n ＝a 4·qn －4＝2·(34)n －4＝22543332(2)2.n n --⋅=(2)由a 25＝a 10＝a 5·q 10－5，且a 5≠0， 得a 5＝q 5，即a 1q 4＝q 5， 又q ≠0，∴a 1＝q .由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1得，2a n (1＋q 2)＝5qa n ， ∵a n ≠0，∴2(1＋q 2)＝5q ， 解得q ＝12或q ＝2.∵a 1＝q ，且{a n }为递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2.∴a n ＝2·2n －1＝2n .反思与感悟 (1)应用a n ＝a m q n －m ，可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式，不必再求a 1. (2)等比数列的单调性由a 1，q 共同确定，但只要单调，必有q >0. 跟踪训练1 (1)在等比数列{a n }中，a 3＝4，a 7＝16，则a 5＝________；(2)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2·…·a n 的最大值为__________. 考点 等比数列的通项公式题点 已知数列为等比数列求通项公式 答案 (1)8 (2)64解析 (1)∵a 7a 3＝q 7－3＝q 4＝164＝4，∴q 2＝2.∴a 5＝a 3q 5－3＝4·q 2＝4×2＝8. (2)设该等比数列{a n }的公比为q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q ＋a 1q 3＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12，∴a 1a 2…a n ＝⎝⎛⎭⎫12(－3)＋(－2)＋…＋(n －4)211749(7)[()]222411()(),22n n n ---== 当n ＝3或4时，12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫n －722－494取得最小值－6， 此时21749[()]2241()2n --取得最大值26，∴a 1a 2…a n 的最大值为64. 类型二 等比数列的性质 命题角度1 序号的数字特征 例2 已知{a n }为等比数列.(1)若a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，求a 3＋a 5；(2)若a n >0，a 5a 6＝9，求log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值. 考点 等比数列的性质 题点 利用项数的规律解题解 (1)a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝25， ∵a n >0， ∴a 3＋a 5>0，∴a 3＋a 5＝5.(2)根据等比数列的性质，得 a 5a 6＝a 1a 10＝a 2a 9＝a 3a 8＝a 4a 7＝9， ∴a 1a 2…a 9a 10＝(a 5a 6)5＝95， ∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10 ＝log 3(a 1a 2…a 9a 10) ＝log 395＝10.反思与感悟 抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地解决问题. 跟踪训练2 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 3a 5＝4，则a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7＝________. 考点 等比数列的性质 题点 等比数列各项积的问题 答案 128解析 ∵a 3a 5＝a 24＝4，a n >0， ∴a 4＝2.∴a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7＝(a 1a 7)·(a 2a 6)·(a 3a 5)·a 4 ＝43×2＝128.命题角度2 未知量的设法技巧例3 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数. 考点 等比数列的性质题点 等比数列的性质的其他应用问题解 方法一 设这四个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，(a ＋d )2a ，由条件得⎩⎨⎧a －d ＋(a ＋d )2a ＝16，a ＋a ＋d ＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9，d ＝－6.所以当a ＝4，d ＝4时，所求的四个数为0,4,8,16； 当a ＝9，d ＝－6时，所求的四个数为15,9,3,1.故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.方法二 设这四个数依次为2a q －a ，aq，a ，aq (q ≠0)，由条件得⎩⎨⎧2aq－a ＋aq ＝16，aq ＋a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，q ＝13.当a ＝8，q ＝2时，所求的四个数为0,4,8,16； 当a ＝3，q ＝13时，所求的四个数为15,9,3,1.故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.反思与感悟 合理地设出未知数是解决此类问题的技巧.一般地，三个数成等比数列，可设为aq ，a ，aq ；三个数成等差数列，可设为a －d ，a ，a ＋d .若四个同号的数成等比数列，可设为a q 3，aq ，aq ，aq 3；四个数成等差数列，可设为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d .跟踪训练3 有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项和为18，求这四个数.考点 等比数列的性质题点 等比数列的性质的其他应用问题 解 设这四个数分别为x ，y,18－y,21－x ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x (18－y )，2(18－y )＝y ＋(21－x )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6或⎩⎨⎧x ＝754，y ＝454.故所求的四个数为3,6,12,18或754，454，274，94.1.在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，则公比q 为( )A.2B.3C.4D.8考点等比数列基本量的计算题点求等比数列公比答案 A解析由a5＝a2q3，得q3＝8，所以q＝2.2.在等比数列{a n}中，a n>0，且a1a10＝27，则log3a2＋log3a9等于()A.9B.6C.3D.2考点等比数列的性质题点等比数列的性质与对数运算综合答案 C解析因为a2a9＝a1a10＝27，所以log3a2＋log3a9＝log327＝3.3.在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________.考点等比数列的性质题点等比数列各项积的问题答案8解析设这8个数组成的等比数列为{a n}，则a1＝1，a8＝2.插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7＝(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)＝(a1a8)3＝23＝8.4.已知a n＝2n＋3n，判断数列{a n}是不是等比数列？考点等比数列的判定题点判断数列为等比数列解不是等比数列.∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35，∴a1a3≠a22，∴数列{a n}不是等比数列.1.解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法.2.所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中项等列出方程(组)，求出基本量.3.巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.一、选择题1.在等比数列{a n }中，a 2 015＝8a 2 012，则公比q 的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.8考点 等比数列基本量的计算 题点 求等比数列公比 答案 A解析 ∵a 2 015＝8a 2 012＝a 2 012·q 3，∴q 3＝8，∴q ＝2.2.在数列{a n }中，a 1＝1，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝2x 上，则a 4的值为( ) A.7 B.8 C.9 D.16 考点 等比数列的判定 题点 判断数列为等比数列 答案 B解析 点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝2x 上，∴a n ＋1＝2a n ，∵a 1＝1≠0，∴a n ≠0，∴{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，∴a 4＝1×23＝8. 3.已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1·a 15的值为( ) A.100 B.－100 C.10 000D.－10 000考点 等比数列的性质 题点 利用项数的规律解题 答案 C解析 ∵lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝6，∴a 38＝106∴a 8＝102＝100.∴a 1a 15＝a 28＝10 000.4.在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7等于( )A.56B.65C.23D.32 考点 等比数列的性质 题点 利用项数的规律解题 答案 D解析 设公比为q ，则由等比数列{a n }各项为正数且 a n ＋1<a n 知0<q <1，由a 2·a 8＝6，得a 25＝6.解得q ＝26或q ＝36(舍去)，∴a 5a 7＝1q 2＝⎝⎛⎭⎫622＝32.5.已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q 为( ) A.13 B.3 C.±13 D.±3 考点 等比中项 题点 利用等比中项解题 答案 B解析 设等差数列为{a n }，公差为d ，d ≠0. 则a 23＝a 2·a 6，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )， 化简得d 2＝－2a 1d ，∵d ≠0，∴d ＝－2a 1，∴a 2＝－a 1，a 3＝－3a 1，∴q ＝a 3a 2＝3.6.已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于( ) A.5 2 B.7 C.6 D.4 2 考点 等比数列的性质 题点 等比数列各项积的问题 答案 A解析 ∵a 1a 2a 3＝a 32＝5，∴a 2＝35.∵a 7a 8a 9＝a 38＝10，∴a 8＝310.∴a 25＝a 2a 8＝350＝1350，又∵数列{a n }各项均为正数，∴a 5＝1650. ∴a 4a 5a 6＝a 35＝1250＝5 2.7.已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8等于( )A.1＋ 2B.1－ 2C.3＋2 2D.3－2 2考点 等比数列基本量的计算 题点 利用基本量法解题 答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1，12a 3，2a 2成等差数列，∴a 3＝a 1＋2a 2，∴a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，a 1≠0，∴q 2－2q －1＝0，∴q ＝1±2. ∵a n >0，∴q >0，q ＝1＋ 2. ∴a 9＋a 10a 7＋a 8＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2.二、填空题8.设数列{a n }为公比q >1的等比数列，若a 4，a 5是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 6＋a 7＝________. 考点 等比数列的性质 题点 利用项数的规律解题 答案 18解析 由题意得a 4＝12，a 5＝32，∴q ＝a 5a 4＝3.∴a 6＋a 7＝(a 4＋a 5)q 2＝⎝⎛⎭⎫12＋32×32＝18.9.已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝________. 考点 等比中项 题点 利用等比中项解题 答案 －6解析 由题意知，a 3＝a 1＋4，a 4＝a 1＋6. ∵a 1，a 3，a 4成等比数列，∴a 23＝a 1a 4， ∴(a 1＋4)2＝(a 1＋6)a 1， 解得a 1＝－8，∴a 2＝－6.10.在等比数列{a n }中，若a 1a 2a 3a 4＝1，a 13a 14a 15a 16＝8，则a 41a 42a 43a 44＝________. 考点 等比数列的性质 题点 等比数列各项积的问题 答案 1 024解析 设等比数列{a n }的公比为q ， a 1a 2a 3a 4＝a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝a 41·q 6＝1，① a 13a 14a 15a 16＝a 1q 12·a 1q 13·a 1q 14·a 1q 15＝a 41·q 54＝8，②②÷①得q 48＝8，q 16＝2，∴a 41a 42a 43a 44＝a 1q 40·a 1q 41·a 1q 42·q 1q 43＝a 41·q 166＝a 41·q 6·q 160＝(a 41·q 6)(q 16)10＝210＝1 024.11.已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9＝________. 考点 等比数列的性质 题点 利用项数的规律解题 答案 8解析 由等比数列的性质得a 3a 11＝a 27，∴a 27＝4a 7.∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 7＝a 7＝4. 再由等差数列的性质知b 5＋b 9＝2b 7＝8. 三、解答题12.已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝2⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2，a 3＋a 4＋a 5＝64⎝⎛⎭⎫1a 3＋1a 4＋1a 5，求{a n }的通项公式.考点 等比数列的性质 题点 利用项数的规律解题 解 设数列{a n }的公比为q (q >0).∵a 1＋a 2＝2·⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2， ∴a 1＋a 1q ＝2·1＋q a 1q ，即a 1＝2a 1q .①又∵a 3＋a 4＋a 5＝64⎝⎛⎭⎫1a 3＋1a 4＋1a 5，∴a 3(1＋q ＋q 2)＝64·q 2＋q ＋1a 3q 2，即a 3＝64a 3q 2.② 联立①②，解得q ＝2，a 1＝1， 故a n ＝2n －1(n ∈N *).13.在等比数列{a n }(n ∈N *)中，a 1＞1，公比q ＞0.设b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5＝6，b 1b 3b 5＝0. (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求{b n }的前n 项和S n 及{a n }的通项a n ； (3)试比较a n 与S n 的大小. 考点 等比数列的性质题点 等比数列的性质与对数运算综合 (1)证明 因为b n ＝log 2a n ，所以b n ＋1－b n ＝log 2a n ＋1－log 2a n ＝log 2 a n ＋1a n＝log 2q (q ＞0)为常数，所以数列{b n }为等差数列且公差d ＝log 2q .(2)解 因为b 1＋b 3＋b 5＝6，所以(b 1＋b 5)＋b 3＝2b 3＋b 3＝3b 3＝6，即b 3＝2.又因为a 1＞1，所以b 1＝log 2a 1＞0，又因为b 1·b 3·b 5＝0，所以b 5＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 3＝2，b 5＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＋2d ＝2，b 1＋4d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝4，d ＝－1， 因此S n ＝4n ＋n (n －1)2(－1)＝9n －n 22. 又因为d ＝log 2q ＝－1，所以q ＝12，b 1＝log 2a 1＝4， 即a 1＝16，所以a n ＝25－n (n ∈N *).(3)解 由(2)知，a n ＝25－n ＞0，当n ≥9时，S n ＝n (9－n )2≤0， 所以当n ≥9时，a n ＞S n .又因为a 1＝16，a 2＝8，a 3＝4，a 4＝2，a 5＝1，a 6＝12， a 7＝14，a 8＝18， S 1＝4，S 2＝7，S 3＝9，S 4＝10，S 5＝10，S 6＝9，S 7＝7， S 8＝4，所以当n ＝3,4,5,6,7,8时，a n <S n ；当n ＝1,2或n ≥9，n ∈N *时，a n ＞S n .四、探究与拓展14.已知等比数列{a n }满足a n >0，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥3时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1等于( )A.2nB.2n 2C.n 2D.n考点 等比数列的性质题点 等比数列的性质与对数运算综合答案 C解析 log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝log 2(a 1a 3·…·a 2n －1) 2222222121252522log ()log ()log (2)log 2.n n n n n n n a a a a n --=====15.在等差数列{a n }中，公差d ≠0，a 1，a 2，a 4成等比数列，已知数列a 1，a 3，12,,,,n k k k a a a ……也成等比数列，求数列{k n }的通项公式.考点 等比数列基本量的计算题点 利用基本量法解题解 由题意得a 22＝a 1a 4，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )， 得d (d －a 1)＝0，又d ≠0，∴a 1＝d .又a 1，a 3，12,,,,n k k k a a a ……成等比数列，∴该数列的公比q ＝a 3a 1＝3d d＝3， ∴n k a ＝a 1·3n ＋1.又n k a ＝a 1＋(k n －1)d ＝k n a 1，∴数列{k n }的通项公式为k n ＝3n ＋1.。
人教版数学必修五2.4《等比数列》课件 (共17张PPT)
是
三、等比中项
如果在 a 与 b 中间插入一个数 G ，使 a, G, b 成等比数列， 那么称这个数 G 为 a 与 b 的等比中项．
2 G ab ． a , b 即 G ab （ 同号）或
（1）只有两个同号的非零常数才有等比中项， G ab 0
2
（2）等比中项有两个值， G ab
（3）在等比数列中，若 m n p q ，则 am an a p aq ．
四、等比数列的性质
（4）若 {an } ， {bn } 均为等比数列，则 {an bn } ， {k an } (k 0) ，
1 1 { } 仍为等比数列，公比分别为 q1 q2 ， q1 ， ． an q1
32
a15 例 7、在等比数列 {an } 中， a5 a11 3, a3 a13 4 ，则 （ C ） a5
（A） 3
1 （B） 3
1 （C） 3 或 3
1 （D） 3 或 3
例 8、等差数列 an 中， d 0 ，且 a1 , a3 , a9 成等比数列，
a1 a3 a9 求 的值. a2 a4 a10
an 数列的公比，公比通常用字母 q 表示 q 0 ，即 q (q 0) ． an 1
（4） 0 q 1 时，当 a1 0 ， {an } 递减； a1 0 ， {an } 递增；
q 1 时，当 a1 0 ， {an } 递增； a1 0 ， {an } 递减；
类比思想
an am
an am qnm
例 1、在等比数列 {an } 中
1 （1） a1 ， q 3 ，求 a5 ． 2
（2） a7 512 ， q 2 ，求 a1 ．
人教版高中数学必修五课件：第二章 数列2-4-2 等比数列的性质
【所以自主{an解2}答是】首1项.因为为1，an公=2比n-为1，4所的以等a比ann数122 列，22nn=故1 242a，n2=4n-1.
答案：an2=4n-1
2.由a4·a7=-512，得a3·a8=-512.
由
解得a3=-4，a8=128或a3=128，a8=-4(舍).
所以aaq33 =a8a
am·an=ak·al
2.等比数列的单调性
(1)当a1>0，_q_>_1_或a1<0，_0_<_q_<_1_时，{an}为递增数列. (2)当____，0<q<1或a1<0，____时，{an}为递减数列. (3)当_a_1>_0_时，{an}为常数列q.>1
q=1
1.在等比数列{an}中，a6=6，a9=9，则a3=( )
(3)若m+n=p+l(m，n，p，l∈N*)，那么aman=apal吗？ 提示：相等，aman=2m-1×2n-1=2m+n-2， apal=2p-1×2l-1=2p+l-2，因为m+n=p+l， 所以m+n-2=p+l-2，所以aman=apal.
探究2：对任意的等比数列{an}，若有m+n=p+l(m，n，p，l∈N*)， 那么aman=apal吗？ 提示：相等，设等比数列{an}的公比为q，则am=a1qm-1， an=a1qn-1，ap=a1qp-1，al=a1ql-1，aman= a1qm-1×a1qn-1=a12 qm + n-2， apal= a1qp-1×a1ql-1=a12qp + l-2， 因为m+n=p+l，所以aman=apal.
【教学资源网·世纪金榜】2017春人教A版高中数学必修五课件：第2章 数列2.4 第2课时
1 2 1 2 若 a3＝12，a7＝3，则有 3＝12×q ，∴q ＝ ，q ＝ ，q＝± . 4 2 2
4 4
∴q 的值可能有 4 个．
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第二章 数列
命题方向2 ⇨等比数列的设项技巧
已知四个数前三个成等差，后三个成等比，中间两数之积为 16，首 尾两个数之积为－128，求这四个数. 导学号 54742423
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第二章 数列
2a a [解析] 设四个数为 －a、 、a、aq， q q
2 a q ＝16 则由题意得 2a－a· aq＝－128 q
a＝8 ，解得 q＝4
a＝－8 或 q＝4
.
因此所求的四个数为－4,2,8,32 或 4，－2，－8，－32.
2
(2)若四个数成等比数列，可设为 a，aq，aq2，aq3；若四个数均为正(负)数， a a 可设 3， ，aq，aq3. q q
数 学 必 修 ⑤ · 人 教 A 版
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第二章 数列
〔跟踪练习 2〕 导学号 54742424 (1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去 1,1,4,13，则成等差数列，则这
数 学 必 修 ⑤ · 人 教 A 版
(4)若等比数列的下标具有某种规律时，应考虑应用性质求解．
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第二章 数列
〔跟踪练习 1〕 导学号 54742422
25 (1)在等比数列{an}中，已知 a7a12＝5，则 a8a9a10a11＝________.
1或64 (2){an}为等比数列，且 a1a9＝64，a3＋a7＝20，则 a11＝________.
2 [解析] 由等比数列的性质，得 a4a6＝a2 5，a2a4＝a3， 2 ∴(a3＋a5)2＝a2 ＋ 2 a a ＋ a 3 3 5 5，
2017-2018学年高二数学人教A版必修5课件：2-4-2 等比
探究一
探究二
探究三
思想方法
解法二 设这四个数依次为 ������ -a,������,a,aq(a≠0), 由条件得
2������ -������ + ������������ = ������ ������ + ������ = 12, ������ 1 16, ������ = 2, ������ = , 解得 或 3 ������ = 8 ������ = 3.
思想方法
解 (1)∵a2a4+2a3a5+a4a6=25, 且数列{an}是等比数列, 2 2 ∴������3 +2a3a5+������5 =25,即(a3+a5)2=25. 又 an>0,∴a3+a5=5. 3 2 (2)将������2 =a1a3 代入已知,得������2 =8,∴a2=2. 设前三项为������,2,2q,则������+2+2q=7. 整理,得 2q2-5q+2=0,∴q=2 或 q=2.
探究一
探究二
探究三
思想方法
探究一等比数列性质的应用 【例1】 已知数列{an}为等比数列. (1)若an>0,且a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5的值; (2)若a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求数列{an}的通项公式. 分析利用等比数列的通项及性质求解.
探究一
探究二
探究三
∴q2=������4=4,q=±2.
2
������
又数列{an}是递增数列,∴q=2. 答案:(1)C (2)2
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的 画“×”. (1)在等比数列{an}中,若a1<0,q>0,则数列的各项均为负数.( ) (2)在等比数列{an}中,若am· an=ap· aq,则m+n=p+q.( ) (3)在公比为q的等比数列{an}中,若m+n=2p(m,n,p∈N*),则 am· an=ap2.( ) (4)在公比为q的等比数列{an}中,当q>1时,该数列为递增数列. ( ) 答案: (1)√ (2)× (3)√ (4)×
高中数学人教A版必修五教学课件：第二章 《数列》 2.4 第2课时 等比数列的性质
－6 解析：a4a7＝a1· a10＝ ＝－2. 3
答案：B
3． 等比数列{an}中， 若 a9＝－2， 则此数列前 17 项之积为____________．
解析：由题意得 a1a2a3…a15a16a17 ＝(a1a17)· (a2a16)· (a3a15)· …· a9
17 17 ＝a17 9 ＝(－2) ＝－2 .
2 ∴a6 ＝a2· a10，
1 ∴a10＝162 × ＝13 122. 2
2
法三：由公式 ap· aq＝ap＋k· aq－k 得
2 a2· a10＝a2＋4· a10－4＝a6 .
1 ∴a10＝1622× ＝13 122. 2
答案：13 122
探究二
an＋1＝can＋d(c≠1，cd≠0)的递推关系
利用等比数列的性质解题 (1)基本思路：充分发挥项的 “下标”的指导作用，分析等比数列项 与项之间的关系，选择恰当的性质解题． (2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量．
1．在等比数列中，若 a2＝2，a6＝162，则 a10＝________.
解析：法一：∵a6＝a2q4，其中 a2＝2，a6＝162， ∴q4＝81， ∴a10＝a6q4＝162×81＝13 122. 法二：∵2,6,10 三数成等差数列， ∴a2，a6，a10 成等比数列．
－
1n－1 4n－1 n－1 第 n 个图形的周长 3 ×(3×4 )＝3×3 .
[感悟提高]
(1)解决此类问题，需要抓住变中的不变量，即数据在改
变，但其变化规律不改变，事实上，给出的图形只是问题的载体，我 们只需从“形”中抽象出“数”，即可将问题归结为等比数列．
a1＝1， 1 ∴ 或 1 q ＝ . q＝2，
人教版高中数学必修五-等比数列课件
【变式训练】在等比数列{an}中，已知a1= 9，an= 1，q= 2，
则n为( )
8 33
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选C.等比数列{an}中，a1= an= q= 所以
an=a1qn-1=
所以
即n-981，=3，13n，=4.
2， 3
9 (2)n1 1， ( 2)n1 ( 2)3，
83 3
公比分别为p，q，因为 an b1 n1 an=1pbqn≠1 0，所以{an·bn}
一定是等比数列.
anbn an bn
2.令an+1+λ=2(an+λ)，与已知an+1=2an+3比较知λ=3，
所以an+1+3=2(an+3)，即 =2，
所以数列{an+3}是首项为aan11+33，公比为q=2的等比数列. an 3
A. 27
B. 45
C. 25
D. 47
2
4
2
4
2.一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三 项就成为等差数列；如果再把这个等差数列的第三项加上32， 那么所得的三项又成等比数列.求原来的等比数列.
【解题指南】1.根据前3个数成等比数列，设出这两个数，再 由后三个数成等差数列列方程求解. 2.根据三个数成等比数列，设出这三个数，再根据条件建立方 程组求解.
注意什么？
提示：根据等比数列的定义，要判断一个数列为等比数列需 要注意：(1) =q(n∈N*)为常数.
((23))比数值列中a的n为1 每同aan一n一1 项个都常不数能. 为0. an
探究3：由等比数列的定义，要判断一个数列是否为等比数列，
2017-2018学年高中数学人教A版必修5课件：2-4-2等比数
等比数列的性质
1.复习巩固等比数列的概念及其通项公式. 2.掌握等比中项的应用. 3.掌握等比数列的性质,并能解决有关问题.
1.等比数列的定义及通项公式
【做一做 1】
A.3 B.9 答案:C
1 等比数列{an}的公比 q=3,a1= , 则������5 等于( 3
).
C.27 D.81
2.等比中项 如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a 与b的等比中项,这三个数满足关系式G2=ab. 【做一做2】 已知10是a与20的等比中项,则a= . 答案:5
1.等比数列的性质 剖析已知在等比数列{an}中,首项为a1,公比为q(q≠0),则an=a1· qn-1. (1)当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时,数列{an}是递增数列;当q>1,a1<0 或0<q<1,a1>0时,数列{an}是递减数列;当q=1时,数列{an}是常数列; 当q<0时,数列{an}是摆动数列(它所有的奇数项同号,所有的偶数项 同号,但是奇数项与偶数项异号). (2)an=am· qn-m(m,n∈N*). (3)当m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)时,有am· an=ap· aq.但am+an≠ap+aq.当 2 m+n=2k(m,n,k∈N*)时,有am· an = ������������ . (4)若数列{an}是有穷数列,则与首末两项等距离的两项的积相等, 且等于首末两项之积,即a1· an=a2· an-1=a3· an-2=…=am· an-m+1.
个数,根据中间两数之积为 16,将中间两数分别设为 , ������������ , 列方程解 得a,q.这样既可使未知量减少,同时解方程也较为方便.
高中数学必修5课件：第2章2-4-2等比数列的性质
数学 必修5
第二章 数列
温故知新
1.等比数列{an}，对于任意正整数 n，都有aan＋n 1＝________.
[答案] q 2．等比数列{an}，对于任意正整数 n、m 都有aamn＝________. [答案] qn－m
数学 必修5
第二章 数列
(4){|an|}是公比为|q|的等比数列；
(5){amn }(m是整数常数)是公比为qm的等比数列．
特别地，若数列{an}是正项等比数列时，数列{a
m n
}(m是实
数常数)是公比为qm的等比数列；
(6)若{an}，{bn}分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列 {an·bn}是公比为q1·q2的等比数列．
数学 必修5
第二章 数列
3．在等比数列{an}中，各项都是正数，a6a10＋a3a5＝41， a4a8＝4，则a4＋a8＝________.
解析： ∵a6a10＝a28，a3a5＝a24， ∴a24＋a28＝41， 又a4a8＝4， ∴(a4＋a8)2＝a24＋a28＋2a4a8＝41＋8＝49， ∵数列各项都是正数，∴a4＋a8＝7.
【错解】 因为a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，
所以a5＋a9＝178， 又因为a7是a5，a9的等比中项， a5·a9＝1.
所以a27＝a5·a9＝1，即a7＝±1.
数学 必修5
第二章 数列
【错因】 上述解法忽视了对a7符号的讨论，由于a5，a9
均为正数且公比为q＝±
a7 a5
＝±
第二章 数列
(1)本类题目与等差数列中的形式基本类似， 但相对等差数列来说，它的运算量远远高出等差数列，特别提 出一点，对于公比q一定要根据题意进行取舍，并给出必要的 讨论和说明．
2016-2017学年高中数学人教A必修5课件：2.4.2 等比数列的性质
又 cn＝an－1，∴q＝12.
∴{cn}是以－12为首项，公比为12的等比数列．
第二十五页，编辑于星期五：十六点 四分。
(2)由(1)可知 cn＝－12·12n－1＝－12n， ∴an＝cn＋1＝1－12n. ∴当 n≥2 时，bn＝an－an－1＝1－12n－1－12n－1＝12n－1－12n＝12n. 又 b1＝a1＝12，代入上式也符合，∴bn＝12n.
第十五页，编辑于星期五：十六点 四分。
【自主解答】 法一 设前三个数为aq，a，aq， 则aq·a·aq＝216，所以 a3＝216，所以 a＝6. 因此前三个数为6q，6,6q. 由题意知第 4 个数为 12q－6. 所以 6＋6q＋12q－6＝12，解得 q＝23. 故所求的四个数为 9,6,4,2.
第二十四页，编辑于星期五：十六点 四分。
【自主解答】 (1)证明：∵an＋Sn＝n， ①
∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.
②
②－①得 an＋1－an＋an＋1＝1.
∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，
∴aan＋n－1－11＝12，∵首项 c1＝a1－1，
又 a1＋a1＝1，∴a1＝12，∴c1＝－12，
2．等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中，若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am·an＝ap·aq . ①特别地，当 m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝ a2k . ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项 的 积 ，即 a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…. 3．两等比数列合成数列的性质 若数列{an}，{bn}均为等比数列，c 为不等于 0 的常数，则数列{can}，{an·bn}， abnn也为 等比数列 ．