小学六年级奥数整数的裂项与拆分练习题
小学 奥数裂项法(含答案)
奥数裂项法同学们知道：在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母分数后再计算。
（一）阅读思考例如，这里分母3、4是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积，把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式：即或下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。
【典型例题】例1. 计算：分析与解答：上面12个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0，这一来问题解起来就十分方便了。
像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。
例2. 计算：公式的变式当分别取1，2，3，……，100时，就有例3. 设符号（）、< >代表不同的自然数，问算式中这两个符号所代表的数的数的积是多少？分析与解：减法是加法的逆运算，就变成，与前面提到的等式相联系，便可找到一组解，即另外一种方法设都是自然数，且，当时，利用上面的变加为减的想法，得算式。
这里是个单位分数，所以一定大于零，假定，则，代入上式得，即。
又因为是自然数，所以一定能整除，即是的约数，有个就有个，这一来我们便得到一个比更广泛的等式，即当，，是的约数时，一定有，即上面指出当，，是的约数时，一定有，这里，36共有1，2，3，4，6，9，12，18，36九个约数。
当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，故（）和< >所代表的两数和分别为49，32，27，25。
【模拟试题】二.尝试体验：1. 计算：2. 计算：3. 已知是互不相等的自然数，当时，求。
【试题答案】1. 计算：2. 计算：3. 已知是互不相等的自然数，当时，求。
的值为：75，81，96，121，147，200，361。
因为18的约数有1，2，3，6，9，18，共6个，所以有还有别的解法。
裂项法（二）前一节我们已经讲过，利用等式，采用“裂项法”能很快求出这类问题的结果来，把这一等式略加推广便得到另一等式：，现利用这一等式来解一些分数的计算问题。
小学奥数 分数裂项综合题型训练,非常完整版带答案
分数裂项巧算综合题型训练建立抵消的思想，灵话运用裂项的方法求解一些分数数列的计算问题．板块一：基础题型1、计算：⋅⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯10919818717616515414313212112．计算：⋅⨯++⨯+⨯+⨯999727525323123．计算：⋅⨯++⨯+⨯+⨯1009818616414214．计算：.90172156142130120112161+++++++5．计算：⋅+++++970011301701281416．计算：⋅⨯++⨯+-⨯++⨯+-⨯+109109989887877676656590725642302012628．计算：⋅⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯100999825432432232129．计算：⋅++++++24023921020920191211652110．计算：⋅+⨯-⨯⨯+⨯-⨯+⨯-)911()911()311()311()211()211(板块二：中档题1．计算：⋅⨯++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2008200716515414313212112．计算：⋅⨯++⨯+⨯+⨯+⨯101983141131183853523⨯⨯⨯⨯⨯⨯1311119977553314．计算：;90117721155611342111301920171215613211)1(++++++++⋅⨯-⨯-⨯+⨯++⨯+⨯-⨯-⨯+⨯+⨯-⨯-⨯+⨯42408241398040387839377611920108189716861475126410538426314)2(5．计算：)10921()921(10)4321()321(4)321()21(3)21(121++++⨯++++++++⨯+++++⨯+++⨯+6．计算：⋅++++++42083938075920391223611237.计算：⋅⨯⨯++⋅⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯10097999810798746541328.计算： ⋅+++++++++++++++206421864216421421219.计算：⋅⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯504948154314321321110.计算：⋅⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯10981154364325321411.计算：⋅-⨯⨯⋅-⨯-)9911()311()211(22212.计算：⋅⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+)2009200711()5311()4211()3111(板块三：拔高题型1.计算：⋅⨯++⨯+++⨯++⨯+201920191918191832322121222222222.计算：.1201201181181414121222222222⋅-++-+++-++-+3.已知算式)19189()17168()542()321(+⨯+⨯⨯+⨯+ 的结果是一个整数，那么它的末两位数字是多少？4.计算：⋅⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯201918375437432532135.计算：!10099!43!32!21++++ （最后结果可以用阶乘表示）6.已知22226411019181,81++++== B A ，请比较A 和B 的大小。
六年级奥数试题-分数裂项与分拆(学生版)
第十三讲分数裂项与分拆1. “裂差”型运算2. 裂差型裂项的三大关键特征：3.复杂整数裂项型运算4. “裂和”型运算1.复杂整数裂项的特点及灵活运用2.分子隐蔽的裂和型运算。
例1：11111123423453456678978910+++⋅⋅⋅++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯例2：计算：57191232348910+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯L ．例3：12349223234234523410+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L L例4：111111212312100++++++++++L L L例5：22222211111131517191111131+++++=------ .例6：1113199921111111(1)(1)(1)(1)(1)223231999+++++⨯++⨯+⨯⨯+L LA 1.333 (1234234517181920)+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯2.计算：5717191155234345891091011⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L （）3.计算：3451212452356346710111314++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L4.234501(12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(12350)++++⨯++⨯++++⨯+++++++⨯++++L L L 5.2341001(12)(12)(123)(123)(1234)(1299)(12100)++++⨯++⨯++++⨯++++++⨯+++L L L6.23101112(12)(123)(1239)(12310)----⨯++⨯++++++⨯++++L L L （）B7.计算：222222223571512233478++++⨯⨯⨯⨯L 8.计算：222222222231517119931199513151711993119951++++++++++=-----L ．9.计算：22221235013355799101++++=⨯⨯⨯⨯L ． 10.22446688101013355779911⨯⨯⨯⨯⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯11.计算：111112123122007+++⋯+++++⋯ 12.111133535735721+++++++++++L LC 13.121231234123502232342350++++++++++⨯⨯⨯⨯++++++L L L 14.222222222222233333333333331121231234122611212312341226++++++++⋯+-+-+⋯-++++++++⋯+ 15.2221111112131991⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯⨯+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭L16.计算：22222223992131991⨯⨯⨯=---L17.计算：222222129911005000220050009999005000+++=-+-+-+L1.⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⨯+⨯⨯22222210211211112120154132124ΛΛΛ2.计算：3333333313579111315+++++++3.132435911⨯+⨯+⨯+⨯L4.计算：1232343458910⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯L5.计算：234561111111333333++++++1.计算：22222222(246100)(13599)12391098321+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++2. ⑴()2314159263141592531415927-⨯=________；⑵221234876624688766++⨯=________．3.计算：22222221234200520062007-+-++-+L4.计算：222222222212233445200020011223344520002001+++++++++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯⨯5，()20078.58.5 1.5 1.5101600.3-⨯-⨯÷÷-=⎡⎤⎣⎦ ．6.计算：53574743⨯-⨯= ．7.计算：1119121813171416⨯+⨯+⨯+⨯= ．8.计算：1992983974951⨯+⨯+⨯++⨯=L ．9.看规律 3211=，332123+=，33321236++=……，试求3 3.36714+++L10.计算：1111111111(1)()(1)()2424624624++⨯++-+++⨯+ 11.11111111111111(1)()(1)()23423452345234+++⨯+++-++++⨯++ 12.111111111111111111213141213141511121314151213141⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⨯+++-++++⨯++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 13. 1111111111111111())()5791179111357911137911+++⨯+++-++++⨯++（）（14.计算11111111111111111111234523456234562345⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⨯++++-+++++⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭15. 212391239112923912341023410223103410⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++⨯-++++⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L L 16.21239123911239239()()(1)()23410234102234103410+++++++++⨯-+++++⨯+++L L L L小学数学文化知识圆田术刘徽(大约1700年前)是我国魏晋时期的数学家，他在《九章算术》方田章“圆田术”注中提出把割圆术作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础。
奥数裂项经典例题
1、已知某数列的前n项和为Sn = n^2 + 2n，求第n项的表达式为：A. 2n + 1（答案）B. n + 2C. 2nD. n^2 + 12、假设某函数为f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1，求f(2)的值。
A. 15B. 17（答案）C. 19D. 213、某几何问题中，已知一个正六边形的边长为a，求其面积为：A. (3√3 / 2) * a^2（答案）B. (√3 / 2) * a^2C. (3/2) * a^2D. (√3) * a^24、在某个数列中，如果a1 = 1，an = 2 * an-1 + 1，求a4的值为：A. 7（答案）B. 8C. 9D. 105、设f(x) = 2x^2 - 3x + 5，求f(1)的值：A. 4B. 5C. 6（答案）D. 76、已知一个数列的公差为3，首项为5，求第6项。
A. 20B. 22（答案）C. 18D. 157、如果一个数列的前n项和为Sn = n^3，求第n项。
A. n^2（答案）B. 3n^2C. n^3D. n^48、在一次考试中，某科目的期末分数为60分，若每次考试分数增加x分，求通过的分数为70分，则x的取值范围。
A. x < 10B. x = 10（答案）C. x > 10D. x ≤109、设等差数列的首项为a，公差为d，求第n项an的表达式为：A. an = a + (n - 1)d（答案）B. an = a + ndC. an = ad + nD. an = (a + d)n10、若一个数列的前n项和S(n) = n(n + 1)/2，求a(n)的值。
A. nB. n + 1C. n - 1D. 2n - 1（答案）。
裂项法求和典型例题10道
裂项法求和典型例题10道嘿，同学们，今天咱就来好好讲讲裂项法求和典型例题 10 道哈。
第一道题，计算1/(1×2)+1/(2×3)+1/(3×4)+……+1/(99×100)。
咱来分析一下，这每一项都可以写成两项之差，比如1/(1×2)=1-1/2，1/(2×3)=1/2-1/3，以此类推，然后就能相互抵消一些项，最后求出结果是99/100。
再看第二道题，计算1/2+1/6+1/12+1/20+……+1/90。
同样的道理，把每一项都进行裂项，1/2=1-1/2，1/6=1/2-1/3，1/12=1/3-1/4，这样就能简便计算啦，答案是 9/10。
接着第三道，求数列1/(3×5)+1/(5×7)+1/(7×9)+……+1/(19×21)的和。
每一项裂项后可得1/2×(1/3-1/5)+1/2×(1/5-1/7)……，提个 1/2 出来，再进行计算，结果是 10/21。
第四道题，计算1/1+2/(1+2)+3/(1+2+3)+……+9/(1+2+……+9)。
先求出分母的和，再进行裂项，这道题就迎刃而解啦，答案是 9/5。
来第五道，求1/4+1/12+1/24+1/40+……+1/180 的和。
把各项都进行合适的裂项处理，最后可得结果是 5/9。
第六道，计算3/(1×4)+3/(4×7)+3/(7×10)+……+3/(97×100)。
每一项提个 3 出来，再裂项计算，答案是 33/100。
第七道，求2/(2×4)+2/(4×6)+2/(6×8)+……+2/(98×100)。
类似前面的方法，裂项后计算可得结果是 49/100。
第八道，计算1/(1×3)+1/(3×5)+1/(5×7)+……+1/(99×101)。
整数裂项题目
整数裂项题目
整数拆项问题是一类数学问题，要求将一个整数拆分成若干个整数的和，并给出所有的拆分方式。
具体问题可以有多种形式，以下是一些例子：
1. 将整数N拆分成若干个正整数的和，求所有的拆分方式。
例如，对于整数N=5，它的拆分方式有：1+1+1+1+1，
2+1+1+1，3+1+1，2+2+1，4+1，3+2。
共有6种拆分方式。
2. 将整数N拆分成至多K个正整数的和，求所有的拆分方式。
例如，对于整数N=5，至多拆分成2个正整数的和，拆分方式有：1+4，2+3，共有2种拆分方式。
3. 将整数N拆分成至少K个正整数的和，求所有的拆分方式。
例如，对于整数N=5，至少拆分成2个正整数的和，拆分方式有：1+4，2+3，3+2，4+1，共有4种拆分方式。
以上是一些常见的整数拆分问题的例子，实际问题中可能根据具体情况有不同的要求和限制条件。
六年级整数的裂项与拆分的奥数题
六年级整数的裂项与拆分的奥数题六年级整数的裂项与拆分的奥数题题目：若干只同样的盒子排成一列，小聪把42个同样的.小球放在这些盒子里然后外出，小明从每支盒子里取出一个小球，然后把这些小球再放到小球数最少的盒子里去.再把盒子重排了一下.小聪回来，仔细查看，没有发现有人动过小球和盒子.问：一共有多少只盒子?分析：设原来小球数最少的盒子里装有a只小球，现在增加了b 只，由于小聪没有发现有人动过小球和盒子，这说明现在又有了一只装有a个小球的盒子，而这只盒子里原来装有(a+1)个小球.同样，现在另有一个盒子装有(a+1)个小球，这只盒子里原来装有(a+2)个小球.类推，原来还有一只盒子装有(a+3)个小球，(a+4)个小球等等，故原来那些盒子中装有的小球数是一些连续整数.所以将42分拆成若干个连续整数的和，一共有多少种分法，每一种分法有多少个加数，据此解答.解：设原来小球数最少的盒子里装有a只小球，现在增加了b只，由于小聪没有发现有人动过小球和盒子，这说明现在又有了一只装有a个小球的盒子，而这只盒子里原来装有(a+1)个小球.同样，现在另有一个盒子装有(a+1)个小球，这只盒子里原来装有(a+2)个小球.类推，原来还有一只盒子装有(a+3)个小球，(a+4)个小球等等，故原来那些盒子中装有的小球数是一些连续整数.将42分拆成若干个连续整数的和，因为42=6×7，故可以看成7个6的和，又(7+5)+(8+4)+(9+3)是6个6，从而42=3+4+5+6+7+8+9，一共有7个加数;又因为42=14×3，故可将42：13+14+15，一共有3个加数;又因为42=21×2，故可将42=9+10+11+12，一共有4个加数.所以原问题有三个解：一共有7只盒子、4只盒子或3只盒子.答：一共有7只、4只或3只盒子.点评：解答本题的关键是将问题归结为把42分拆成若干个连续整数的和.【六年级整数的裂项与拆分的奥数题】。
小学奥数计算专题--分数拆分与裂项(六年级)竞赛测试.doc
小学奥数计算专题--分数拆分与裂项（六年级）竞赛测试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）【题文】。
【答案】【解析】原式提醒学生注意要乘以(分母差)分之一，如改为：，计算过程就要变为：．【题文】=【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】=【答案】【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。
此类问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。
从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有，，……，原式【题文】【答案】【解析】【题文】计算：【答案】【解析】原式【题文】 = 【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】计算：【答案】【解析】原式【题文】_______【答案】【解析】根据裂项性质进行拆分为：【题文】【答案】【解析】原式【题文】计算：＝【答案】【解析】原式【题文】。
【答案】【解析】原式【题文】计算：【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】计算：【答案】【解析】原式【题文】计算：=。
【答案】【解析】原式【题文】计算：。
【答案】【解析】原式【题文】计算：【答案】【解析】分析这个算式各项的分母，可以发现它们可以表示为：，，……，，所以原式【题文】计算：．【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】首先分析出原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】计算：【答案】【解析】原式＝＋＋…+++…+＝(－)＋(－)＝＋＝＋＝【题文】【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】＝＝－＝－＝＝－＝－＝＝－＝－……＝＝－＝－原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】计算：．【答案】【解析】如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公差为2的等差数列(该数列的第个数恰好为的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算．原式也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为，所以，再将每一项的与分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相同．【题文】计算：【答案】651【解析】本题的重点在于计算括号内的算式：．这个算式不同于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情况．所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式．观察可知，，……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以所以原式．（法二）上面的方法是最直观的转化方法，但不是唯一的转化方法．由于分子成等差数列，而等差数列的通项公式为，其中为公差．如果能把分子变成这样的形式，再将与分开，每一项都变成两个分数，接下来就可以裂项了．，所以原式．（法三）本题不对分子进行转化也是可以进行计算的：所以原式．（法四）对于这类变化较多的式子，最基本的方法就是通项归纳．先找每一项的通项公式：（，3， (9)如果将分子分成和1，就是上面的法二；如果将分子分成和，就是上面的法一．【题文】计算：【答案】【解析】观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是5个连续自然数的乘积，所以可以先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数．即：原式现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，知识虑到每一项中分子、分母的对称性，可以用平方差公式：，，……原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】计算： .【答案】【解析】原式为阶乘的形式，较难进行分析，但是如果将其写成连乘积的形式，题目就豁然开朗了．原式【题文】【答案】【解析】原式＝＋＋＋＋…＋＝（）＋（）＋（）＋（）＝【题文】【答案】【解析】，，……，，所以原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】 .【答案】【解析】这题是利用平方差公式进行裂项：，原式【题文】计算：【答案】【解析】，，……所以，原式【题文】计算：【答案】【解析】原式【题文】计算：．【答案】【解析】原式【题文】计算：．【答案】【解析】，，，……由于，，，可见原式【题文】计算：．【答案】【解析】式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为，，，……，，可以发现如果分母都加上1，那么恰好都是分子的4倍，所以可以先将原式乘以4后进行计算，得出结果后除以4就得到原式的值了．原式【题文】【答案】【解析】【题文】【答案】【解析】原式==【题文】计算：【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】计算：【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式= =====【题文】计算：【答案】【解析】原式【题文】计算：【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】所以原式。
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小学六年级奥数整数的裂项与拆分练习题
小学六年级奥数整数的裂项与拆分练习题
在整数中，有用2个以上的连续自然数的和来表达一个整数的方法.例如9：9=4+5，9=2+3+4，9有两个用2个以上连续自然数的和
来表达它的方法.
(1)请写出只有3种这样的表示方法的最小自然数.
(2)请写出只有6种这样的表示方法的最小自然数.
(2)有6种表示方法，于是奇数约数的'个数为6+1=7，最小为
729(1、3、9、27、81、243、729)，有连续的2，3、6、9、10、27
个数相加：
364+365;242+243+244;119+120+...+124;77+78+79+...+85;36+37+...+45;14+15+ (40)
解答：解：根据(1)知道，有3种表达方法，于是奇约数的个数
为3+1=4，对4分解质因数4=2×2，最小的15(1、3、5、15);
有连续的2、3、5个数相加;7+8;4+5+6;1+2+3+4+5;
根据(2)知道，有6种表示方法，于是奇数约数的个数为6+1=7，最小为729(1、3、9、27、81、243、729)，
有连续的2，3、6、9、10、27个数相加：
364+365;242+243+244;119+120+…+124;77+78+79+…+85;36+37+…+45;14+15+…+40。