2021北师大版七年级数学下平方差公式同步习题含答案
平方差公式 同步习题
一、单选题
1．下列各式不能用平方差公式计算的是（ ）
A ．(52)(52)x ab x ab -+
B ．()()ax y ax y ---
C ．)()(ab c ab c ---
D ．()()m n m n +--
2．若2a b +=，则224a b b -+的值为（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．0 3．()()()2483212121+++···()32211++的个位数是（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．8 4．计算()()2323a b a b ---的结果为（ ）
A ．2249a b -
B ．2294b a -
C ．224129a ab b ---
D ．224129a ab b -+-
5．2244(54)(______)2516a b a b -+=-括号内应填( )
A ．2254a b +
B ．2254a b -
C ．2254a b -+
D ．2254a b -- 6．三个连续奇数，若中间的一个为n ，则这三个连续奇数之积为（ ） A ．34n n - B ．34n n - C ．388n n - D ．3n n - 7．计算20172－2016×2018的结果是（ ）
A ．2
B ．－2
C ．－1
D ．1 8．如图，从边长为a 的大正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程写出的正确的等式是（ ）
A ．()()22a b a b a b -=+-
B ．()2
a a
b a a b -=- C ．()222a b a b -=-
D ．()2222a ab b a b -+=- 9．若n 为正整数，则()()222121n n +--（ ）
A ．一定能被6整除
B ．一定能被8整除
C ．一定能被10整除
D ．一定能被12整除
10．形如ab cd 的式子叫做二阶行列式，它的算法是：ab ad bc cd =-，则221a a a a -++的运算结果是（ ）
A ．4a
B ．4a -
C ．4
D ．4-
二、填空题
11．计算：4985024⨯+=______________．
12．若22924a b -=，33a b +=，则3a b -=__________． 13．计算260586062202033
⨯-＝_______． 14．计算：()()()22242x y x y x y ++-=______________．
15．如图，大小两圆的圆心都为点,O 已知它们的半径分别是 3.45, 1.45R cm r cm ==，则它们所围成的环形的面积为_____2cm .（结果保留π）
三、解答题
16．计算：()()1212a a -+--．
17．利用乘法公式计算：2202020192021-⨯
18．先化简，再求值：()()(2)a b a b a a b +---，其中1a =，2b =-．
19．探究发现：
（1）计算并观察下列各式：
2(1)(1)1x x x -+=-；
()2(1)1x x x -++=________；
()32(1)1x x x x -+++=________；
（2）从上面的算式及计算结果，你发现了什么规律？请根据你发现的规律直接填写下面的空格．
()65432(1)1x x x x x x x -++++++=________；
()32(1)1n x x x x x -+⋅⋅⋅⋅++++=________；
（3）利用该规律计算：23202015555++++⋅⋅⋅+．
4 参考答案
1．D 2．A 3．C 4．B 5．D 6．B 7．D 8．A 9．B 10．A 11．250000
12．8
13．49
- 14．4416x y - 15．9.8π．
16．214a -． 17．1
18．化简的结果：22b ab -+，代数式的值：8.-
19．（1）x 3−1；x 4−1；（2）x 7−1；x n+1−1；（3）
202151
4-．。
北师大七下数学平方差完全平方公式公式习题
(2)平方差公式用字母表示为： 结果为：（ ）2--（ ）2 一、选择题1．下列各式能用平方差公式计算的是：（ ）A ．)23)(32(a b b a --B ．)32)(32(b a b a --+-C ．)23)(32(a b b a +--D ．)23)(32(b a b a +- 2．下列式子中，不成立的是：（ ）A.22)())((z y x z y x z y x --=--+- B ．22)())((z y x z y x z y x --=---+C ．22)())((y z x z y x z y x --=-+--D ．22)())((z y x z y x z y x +-=++--3．()4422916)43(x y y x -=-- ，括号内应填入下式中的（）．A ．)43(22y x -B ．2234x y -C ．2243y x --D ．2243y x +4．对于任意整数n ，能整除代数式)2)(2()3)(3(-+--+n n n n 的整数是（ ）． A ．4 B ．3 C ．5 D ．25．在))((b a y x b a y x ++--++ 的计算中，第一步正确的是（ ）．A ．22)()(a y b x --+B ．))((2222b a y x --C ．22)()(b y a x --+D ．22)()(a y b x +-- 6．计算)1)(1)(1)(1(24-+++x x x x 的结果是（ ）． A ．18+x B ．14+x C ．8)1(+x D ．18-x 7．)1)(1)(1(222++-+c b a abc abc 的结果是（ ）．A ．1444-c b aB ．4441c b a -C ．4441c b a --D ．4441c b a +二、填空题1．()()22)4)(4(-=+-x x ． 2．=-+++)1)(1(b a b a （ ）2-（ ）2．3．=-+)68)(68(n m n m ______________. 4．=---)34)(34(ba b a _______________ ． 5．=+-+))()((22b ab a b a _______________ ．6．=-+++)2)(2(y x y x _______________ ．7．)3(y x +( )=229x y - ． 8．( )21)1(a a -=- ．9．22916)4)(3(a b n b m a -=++- ，则._______________,==n m 10．.________99.001.1=⨯ ． 三、判断题1．226449)87)(87(n m m n n m -=-+ ．（ ） 2．116)14)(14(22-=-+b a ab ab ．（ ） 3．229)23)(23(x x x -=-+ ．（ ） 4．22))((b a b a b a -=-- ．（ ） 5．224)2)(2(y x y x y x -=+-- ．（ ） 6．6)6)(6(2-=+-x x x ．（ ）7．22251)15)(15(y x xy xy -=+-+ ．（ ）四、解答题1．（1）)231)(312(a b b a --- （2）))((y x y x n n -+ ；（3）)3)(9)(3(2++-a a a ； (4)))((y x y x ---（5）)23)(23()32)(32(n m n m n m n m +---+ ； （6）)()())((2222a a b a b a -⋅---+ ；（7）)23)(23(+--+b a b a ; （8）)543)(534(c b a c a b +--+； （9）9288⨯ （10）76247125⨯2．计算：（1）1999199719982⨯- ；（2）)54)(2516)(54(2++-x x x ；（3）)32)(32(c b a c b a -++- ；（4）)65)(32)(56)(23(a b a b b a b a +--+ ；（5）)161)(14)(12)(12(16142+++-x x x x ；（6）1)12()12)(12)(12)(12(64842++++++ ．3、计算：(1)若,12,322=-=+y x y x 求y x -的值。
2021年北师大版七年级数学下册全册知识点与典型例题配套练习
4. 若 2x1 16 ,则 x=________.
5. 若 am a3a4 ,则 m=________;若 x4 xa x16 ,则 a=__________； 若 xx2 x3x4x5 x y ,则 y=______;若 ax (a)2 a5 ,则 x=_______.
6. 若 am 2, an 5 ,则 amn =________.
第一章 整式
一、整式关于概念
1、单项式：数与字母乘积，这样代数式叫单项式。单独一种数或字母也是单项式。
2、单项式系数：单项式中数字因数。
3、单项式次数：单项式中所有字母指数和。
4、多项式： 几种单项式和叫多项式。
5、多项式项及次数：构成多项式中单项式叫多项式项，多项式中次数最高项次数
叫多项式次数。
6、整式：单项式与多项式统称整式。（分母具有字母代数式不是整式）
(1)(2a) (x 2 y 3c),
(2)(x 2)( y 3) (x 1)( y 2)
(3)(x y)(2x 1 y) 2
（2）计算下图中阴影某些面积
8、平方差公式 法则：两数各乘以这两数差，等于这两数平方差。 数学符号表达：
(a b)(a b) a2 b2 其中a, b既可以是数, 也可以是代数式.
(4)( 2 a2bc3 ) ( 3 c5 ) (1 ab2c)
3
43
6、单项式乘以多项式
法则：单项式乘以多项式，就是依照分派律用单项式去乘多项式每一项，再把所得积相
加。
7、多项式乘以多项式
法则：多项式乘以多项式，先用一种多项式每一项去乘另一种多项式每一项，再把所得积
相加。
练习七：（1）计算下列各式。
3)1.5104 _____________
七年级数学下---平方差、完全平方公式专项练习题
七年级数学下---平方差、完全平方公式专项练习题平方差：一、选择题1．平方差公式〔a+b〕〔a－b〕=a2－b2中字母a，b表示〔〕A．只能是数 B．只能是单项式 C．只能是多项式 D．以上都可以2．以下多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是〔〕A．〔a+b〕〔b+a〕 B．〔－a+b〕〔a－b C．〔13a+b〕〔b－13a〕 D．〔a2－b〕〔b2+a〕3．以下计算中，错误的有〔〕 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个①〔3a+4〕〔3a－4〕=9a2－4；②〔2a2－b〕〔2a2+b〕=4a2－b2；③〔3－x〕〔x+3〕=x2－9；④〔－x+y〕·〔x+y〕=－〔x－y〕〔x+y〕=－x2－y2．4．假设x2－y2=30，且x－y=－5，那么x+y的值是〔〕A．5 B．6 C．－6 D．－5 二、填空题： 5、〔a+b－1〕〔a－b+1〕=〔_____〕2－〔_____〕2．6．〔－2x+y〕〔－2x－y〕=______．7．〔－3x2+2y2〕〔______〕=9x4－4y4．8．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_____．三、计算题9．利用平方差公式计算：2023×2113．10．计算：〔a+2〕〔a2+4〕〔a4+16〕〔a－2〕．B卷：提高题1．计算：〔1〕〔2+1〕〔22+1〕〔24+1〕…〔22n+1〕+1〔n是正整数〕；〔2〕〔3+1〕〔32+1〕〔34+1〕…〔32021+1〕－401632．2．式计算：2021×2007－20212．3．解方程：x〔x+2〕+〔2x+1〕〔2x－1〕=5〔x2+3〕．〔1〕计算：22007200720082006-⨯．〔2〕计算：22007200820061⨯+．4．广场内有一块边长为2a米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要加长3米，那么改造后的长方形草坪的面积是多少？5．以下运算正确的选项是〔〕 A．a3+a3=3a6 B．〔－a〕3·〔－a〕5=－a8C．〔－2a2b〕·4a=－24a6b3 D．〔－13a－4b〕〔13a－4b〕=16b2－19a26．计算：〔a+1〕〔a－1〕=______．C卷：课标新型题1．〔规律探究题〕x≠1，计算〔1+x〕〔1－x〕=1－x2，〔1－x〕〔1+x+x2〕=1－x3，〔1－x〕〔•1+x+x2+x3〕=1－x4．〔1〕观察以上各式并猜想：〔1－x〕〔1+x+x2+…+x n〕=______．〔n为正整数〕〔2〕根据你的猜想计算：①〔1－2〕〔1+2+22+23+24+25〕=______．②2+22+23+…+2n=______〔n为正整数〕．③〔x－1〕〔x99+x98+x97+…+x2+x+1〕=_______．〔3〕通过以上规律请你进展下面的探索：①〔a －b 〕〔a+b 〕=_______． ②〔a －b 〕〔a 2+ab+b 2〕=______． ③〔a －b 〕〔a 3+a 2b+ab 2+b 3〕=______．2．〔结论开放题〕请写出一个平方差公式，使其中含有字母m ，n 和数字4．完全平方公式变形的应用完全平方式常见的变形有:ab b a b a 2)(222-+=+；ab b a b a 2)(222+-=+ab b a b a 4)(22=--+）（；bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++1、m 2+n 2-6m+10n+34=0，求m+n 的值2、0136422=+-++y x y x ，y x 、都是有理数，求y x 的值。
2021-2022学年北师大版七年级数学下册《1-5平方差公式》同步练习题(附答案)
2021-2022学年北师大版七年级数学下册《1-5平方差公式》同步练习题（附答案）1．下列运算结果正确的是（）A．3a﹣a＝2B．a2•a4＝a8C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4D．（﹣a）2＝﹣a22．从前，古希腊一位庄园主把一块边长为a米（a＞6）的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（）A．没有变化B．变大了C．变小了D．无法确定3．如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是（）A．205B．250C．502D．5204．下列整式的乘法中，不能用平方差公式进行计算的是（）A．（x+y）（x﹣y）B．（﹣x﹣y）（﹣x+y）C．（﹣x﹣y）（x+y）D．（﹣x+y）（x+y）5．下列运算正确的是（）A．a2+a2＝2a4B．a6÷a2＝a3C．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣6a+9D．（﹣3a3）2＝9a66．下列计算正确的是（）A．a+a2＝a3B．a6÷a3＝a2C．（﹣a2b）3＝a6b3D．（a﹣2）（a+2）＝a2﹣47．如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（）A．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2B．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）C．x2+2x+1＝（x+1）2D．x2﹣x＝x（x﹣1）8．下列多项式乘以多项式能用平方差公式计算的是（）A．（a+b）（﹣b﹣a）B．（﹣a+b）（﹣b﹣a）C．（a+b）（b+a）D．（﹣a+b）（b﹣a）9．若a+b＝6，a2﹣b2＝30，则a﹣b＝（）A．5B．6C．10D．1510．若（2m+5）（2m﹣5）＝15，则m2＝．11．1002﹣992+982﹣972+962﹣952+…+22﹣12＝．12．已知a+b＝2，a﹣b＝3．则a2﹣b2的值为．13．已知a2+a﹣1＝0，则代数式（a+2）（a﹣2）+a（a+2）值为．14．已知x2﹣y2＝21，x﹣y＝3，则x+y＝．15．已知x+2y＝13，x2﹣4y2＝39，则多项式x﹣2y的值是．16．观察下列各式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，…根据规律可得：（x﹣1）（x2021+x2020+…+x+1）＝．17．请阅读以下材料：[材料]若x＝12349×12346，y＝12348×12347，试比较x，y的大小．解：设12348＝a，那么x＝（a+1）（a﹣2）＝a2﹣a﹣2，y＝a（a﹣1）＝a2﹣a．因为x﹣y＝（a2﹣a﹣2）﹣（a2﹣a）＝﹣2＜0，所以x＜y．我们把这种方法叫做换元法．请仿照例题比较下列两数大小：x＝997657×997655，y＝997653×997659．18．计算：x（x+2）+（1+x）（1﹣x）．19．课堂上，老师让同学们计算（3a﹣b）（3a+b）﹣a（4a﹣1）．（3a﹣b）（3a+b）﹣a（4a﹣1）＝3a2﹣b2﹣4a2﹣a＝﹣a2﹣b2﹣a左边是小朱的解题过程．请你判断其是否正确？如果有错误，请写出正确的解题过程．20．用乘法公式计算：100×99．21．计算：（x﹣2）（x+2）﹣6x（x﹣3）+5x2．22．利用乘法公式有时能进行简便计算．例：102×98＝（100+2）（100﹣2）＝1002﹣22＝10000﹣4＝9996．请参考给出的例题，通过简便方法计算：（1）31×29；（2）195×205．23．计算：（﹣x2y﹣x2y2）•（﹣xy）2﹣（﹣2x2y2﹣3）•（﹣3+2x2y2）．24．如图1，是边长分别为a和b的两种正方形纸片．（1）若用这两种纸片各1张按照如图2方式放置，其未叠合部分（阴影部分）面积为S1，则S1＝；（用含a，b的代数式表示）（2）在（1）中图2的基础上，再在大正方形的右下角摆放一张边长为b的小正方形纸片（图3），两个小正方形叠合部分（阴影部分）面积为S2，试求S2．（用含a，b的代数式表示）25．某同学化简a（a+2b）﹣（a+b）（a﹣b）出现了错误，解答过程如下：原式＝a2+2ab﹣（a2﹣b2）（第一步）＝a2+2ab﹣a2﹣b2（第二步）＝2ab﹣b2（第三步）（1）该同学解答过程从第几步开始出错，错误原因是什么；（2）写出此题正确的解答过程．26．如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2由图1中的阴影部分拼成的一个长方形．（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请用含a，b的代数式表示：S1＝，S2＝（只需表示，不必化简）；（2）以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式；（3）运用（2）中得到的公式，计算：20222﹣2023×2021．27．计算：（3x+2）（3x﹣2）（9x2+4）．28．计算：（1）2（﹣3xy+x2）﹣[2x2﹣3（5xy﹣2x2）﹣xy]；（2）（a﹣2）（a+2）（2a+1）．29．若xy＝﹣1，且x﹣y＝3．（1）求（x﹣2）（y+2）的值；（2）求x2﹣xy+y2的值．30．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．（1）请直接用含a和b的代数式表示S1＝，S2＝；写出利用图形的面积关系所得到的公式：（用式子表达）．（2）应用公式计算：．（3）应用公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1．参考答案1．解：3a和a属于同类项，所以3a﹣a＝2a，故A项不符合题意，根据同底数幂的乘法运算法则可得a2•a4＝a6，故B项不符合题意，根据平方差公式（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，故C项符合题意，（﹣a）2＝a2，故D项不符合题意，故选：C．2．解：矩形的面积为（a+6）（a﹣6）＝a2﹣36，∴矩形的面积比正方形的面积a2小了36平方米，故选：C．3．解：设较小的奇数为x，较大的为x+2，根据题意得：（x+2）2﹣x2＝（x+2﹣x）（x+2+x）＝4x+4，若4x+4＝205，即x＝，不为整数，不符合题意；若4x+4＝250，即x＝，不为整数，不符合题意；若4x+4＝502，即x＝，不为整数，不符合题意；若4x+4＝520，即x＝129，符合题意．故选：D．4．解：A、原式＝x2﹣y2，不符合题意；B、原式＝（﹣x）2﹣y2＝x2﹣y2，不符合题意；C、原式＝﹣（x+y）2＝﹣x2﹣2xy﹣y2，符合题意；D、原式＝y2﹣x2，不符合题意．故选：C．5．解：A、a2+a2＝2a2，原计算错误，故此选项不符合题意；B、a6÷a2＝a4，原计算错误，故此选项不符合题意；C、（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9，原计算错误，故此选项不符合题意；D、（﹣3a3）2＝9a6，原计算正确，故此选项符合题意；故选：D．6．解：A、a与a2不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；B、a6÷a3＝a3，原计算错误，故此选项不符合题意；C、（﹣a2b）3＝﹣a6b3，原计算错误，故此选项不符合题意；D、（a﹣2）（a+2）＝a2﹣4，原计算正确，故此选项符合题意，故选：D．7．解：由图可知，图1的面积为：x2﹣12，图2的面积为：（x+1）（x﹣1），所以x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）．故选：B．8．解：能用平方差公式计算的是（﹣a+b）（﹣b﹣a），其它的不能用平方差公式计算．故选：B．9．解：∵a+b＝6，a2﹣b2＝30，∴（a+b）（a﹣b）＝30，∴a﹣b＝30÷6＝5，故选：A．10．解：由（2m+5）（2m﹣5）＝15，得4m2﹣25＝15．解得m2＝10．故答案是：10．11．解：原式＝（1002﹣992）+（982﹣972）+（962﹣952）+…+（22﹣12）＝（100+99）×（100﹣99）+（98+97）×（98﹣97）+...+（2+1）×（2﹣1）＝100+99+98+97+...+4+3+2+1＝（100+1）+（99+2）+...+（51+52）＝50×101＝5050．故答案为：5050．12．解：当a+b＝2，a﹣b＝3时，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2×3＝6．故选：6．13．解：（a+2）（a﹣2）+a（a+2）＝a2﹣4+a2+2a＝2a2+2a﹣4＝2（a2+2a）﹣4．∵a2+a﹣1＝0，∴a2+a＝1．∴原式＝2×1﹣4＝﹣2．故答案为：﹣2．14．解：因为x2﹣y2＝（x﹣y）（x+y）＝21，x﹣y＝3，所以x+y＝＝7．故答案为：7．15．解：∵x+2y＝13，x2﹣4y2＝39，∴x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）＝39，∴x﹣2y＝3．故答案为：3．16．解：观察每一个等式左边的代数式与右边的代数式，得（x﹣1）（x2021+x2020+…+x+1）＝x2022﹣1．故答案为：x2022﹣1．17．解：令a＝997653，b＝997655，则x＝（a+4）b＝ab+4b，y＝a（b+4）＝ab+4a，∵x﹣y＝（ab+4b）﹣（ab+4a）＝4（b﹣a）＝4×2＝8＞0，∴x＞y．18．解：原式＝x2+2x+1﹣x2＝2x+1．19．解：不正确，原式＝9a2﹣b2﹣4a2+a＝5a2﹣b2+a，即正确答案为：5a2﹣b2+a．20．解：100×99＝（100+）（100﹣）＝10000﹣＝9999．21．解：（x﹣2）（x+2）﹣6x（x﹣3）+5x2＝x2﹣4﹣6x2+18x+5x2＝18x﹣4．22．解：（1）31×29＝（30+1）×（30﹣1）＝302﹣12＝900﹣1＝899；（2）195×205＝（200﹣5）×（200+5）＝2002﹣52＝40000﹣25＝39975；23．解：原式＝（﹣x2y﹣x2y2）•x2y2﹣[（﹣3）2﹣（2x2y2）2]＝﹣x4y3﹣x4y4﹣9+4x4y4＝﹣x4y3+x4y4﹣9．24．解：（1）由题意可得，S1是图1中两个正方形面积的差，又∵图1中大正方形的面积为a²，小正方形的面积为b²，∴S1＝a²﹣b²，故答案为：a²﹣b²；（2）由题意可得，S2是两个小正方形在长为a，宽为b的矩形内的重叠部分，∴S2＝b²+b²﹣ab＝2b²﹣ab．25．解：（1）该同学解题过程从第二步开始出错，错误的原因是去括号时第二项没有变号；（2）正确解答为：原式＝a2+2ab﹣（a2﹣b2）＝a2+2ab﹣a2+b2＝2ab+b2．26．解：（1）图1阴影部分的面积为边长为a的大正方形的面积减去边长为b的小正方形的面积，即S1＝a2﹣b2，图2中阴影部分的面积是长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形的面积，即S2＝（a+b）（a ﹣b），故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；（2）由（1）中S1＝S2可得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），因此可以验证平方差公式，即：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（3）原式＝20222﹣（2022+1）（2022﹣1）＝20222﹣（20222﹣1）＝1．27．解：（3x+2）（3x﹣2）（9x2+4）＝（9x2﹣4）（9x2+4）＝81x4﹣16．28．解：（1）原式＝﹣6xy+2x2﹣（2x2﹣15xy+6x2﹣xy）＝﹣6xy+2x2﹣2x2+15xy﹣6x2+xy＝10xy﹣6x2；（2）原式＝（a2﹣4）（2a+1）＝2a3+a2﹣8a﹣4．29．解：（1）∵xy＝﹣1，x﹣y＝3，∴（x﹣2）（y+2）＝xy+2（x﹣y）﹣4＝﹣1+6﹣4＝1；（2）∵xy＝﹣1，x﹣y＝3，∴x2﹣xy+y2＝（x﹣y）2+xy＝9+（﹣1）＝8．30．解：（1）图1中阴影部分的面积为大正方形与小正方形的面积差，即a2﹣b2，图2中阴影部分是长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），由图1和图2中阴影部分的面积相等可得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b），a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）原式＝＝＝＝；（3）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1＝（28﹣1）（28+1）（216+1）（232+1）+1＝（216﹣1）（216+1）（232+1）+1＝（232﹣1）（232+1）+1＝264﹣1+1＝264．。
初中数学北师大版七年级下册第一章 整式的乘除1.5平方差公式-章节测试习题(3)
章节测试题1.【答题】为了运用平方差公式计算（x+2y﹣1）（x﹣2y+1），下列变形正确的是（）A. [x﹣（2y+1）]2B. [x+（2y﹣1）][x﹣（2y﹣1）]C. [（x﹣2y）+1][（x﹣2y）﹣1]D. [x+（2y﹣1）]2【答案】B【分析】根据平方差公式解答即可.【解答】解：（x+2y-1）（x-2y+1）=[x-（2y-1）][x+（2y-1）]，选B.2.【答题】计算(a－1)(a＋1)－(a2＋1)的结果是（）A. 2aB. 0C. －2D. －1【答案】C【分析】根据平方差公式解答即可.【解答】解：(a－1)(a＋1)－(a2＋1)= a2-1- a2-1=-2.选C.3.【答题】计算（a+1）（a-1）（a2+1）（a4+1）的结果是（）．A. a8-1B. a8+1C. a16-1D. 以上答案都不对【答案】A【分析】根据平方差公式解答即可.【解答】解：：（a+1）（a-1）（a2+1）（a4+1），=（a2-1）（a2+1）（a4+1），=（a4-1）（a4+1），=a8-1选A.4.【答题】为了应用平方差公式计算(a－b＋c)(a＋b－c)必须先适当变形，下列各式变形中，正确的是（）A. [(a＋c)－b][(a－c)＋b]B. [(a－b)＋c][(a＋b)－c]C. [(b＋c)－a][(b－c)＋a]D. [a－(b－c)][a＋(b－c)]【答案】D【分析】根据平方差公式解答即可.【解答】解：（a-b+c）（a+b-c）=[a-（b-c）][a+（b-c）]．选D.5.【答题】用简便方法计算40×39，变形正确的是（）A. (40＋)(39＋)B. (40＋)(40－)C. (40＋)(40－)D. (40－)(40－)【答案】B【分析】根据平方差公式解答即可.【解答】解：运用平方差进行变形为：40×39=(40＋)(40－). 选B.6.【答题】如果(2x＋3y)M＝9y2－4x2，那么M表示的式子为（）A. 2x＋3yB. 2x－3yC. －2x－3yD. －2x＋3y【答案】D【分析】根据平方差公式解答即可.【解答】解：∵（3y+ 2x）（3y-2x）=9y2-4x2，∴M表示的式子为3y-2x，即-2x+3y．选D.7.【答题】下列式中能用平方差公式计算的有（）①(x－y)(x＋y)；②(3a－bc)(－bc－3a)；③(100＋1)(100－1)；④(x＋1)(y－1)．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【分析】根据平方差公式解答即可.【解答】解：：①（x-y）（x+y）=x2-y2；②（3a-bc）（-bc-3a）=b2c2-9a2；③（100+1）（100-1）=10000-1=9999；④(x＋1)(y－1)=xy-x+y-1，所以能用平方差公式计算的有3个．选C.8.【答题】计算(－3a＋2b)(－3a－2b)的结果是（）A. 9a2－4b2B. －9a2－4b2C. 4b2－9a2D. 9a2＋4b2【答案】A【分析】根据平方差公式解答即可.【解答】解：(－3a＋2b)(－3a－2b)=（3a-2b）(3a+2b)= 9a2－4b2选A.9.【答题】下列运用平方差公式计算，错误的是（）A.B.C.D.【答案】D【分析】根据平方差公式解答即可.【解答】A. ∵，故正确；B. ，故正确；C. ，故正确；D. ，故不正确；选D.10.【答题】若a2﹣b2=，a+b=，则a﹣b的值为（）A. ﹣B.C. 1D. 2【答案】B【分析】根据平方差公式解答即可.【解答】∵，，∴由a2−b2=(a+b)(a−b)得到：=（a-b），∴a－b=.选B.11.【答题】下列两个多项式相乘，不能运用公式(a+b)(a-b)=a2-b2计算的是（）A. (-m-n)(m+n)B. (-m+n)(m+n)C. (-m+n)(-m-n)D. (m-n)(n+m)【答案】A【分析】根据平方差公式解答即可.【解答】A、（-m-n）（m+n）= -（m+n）2= -m2-2mn-n2，本选项符合题意；B、（-m+n）（m+n）=n2-m2，本选项不合题意；C、（-m+n）（-m-n）=m2-n2，本选项不合题意；D、（m-n）（n+m）=m2-n2，本选项不合题意，选A.12.【答题】下列计算中，正确的是（）A. x3•x2=x4B. （x+y）（x﹣y）=x2+y2C. x（x﹣2）=﹣2x+x2D. 3x3y2÷xy2=3x4【答案】C【分析】根据平方差公式解答即可.【解答】解：A、结果是x5，故本选项不符合题意；B、结果是x2-y2，故本选项不符合题意；C、结果是-2x+x2，故本选项符合题意；D、结果是3x2，故本选项不符合题意；选C.13.【答题】已知，则的值为（）A. 8B. 10C. 12D. 16【答案】D【分析】根据平方差公式和幂的乘方解答即可.【解答】∵，∴=.选D.14.【答题】如图，从边长为（a＋4）cm的正方纸片中剪去一个边长为（a＋1）cm的正方形（a>0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（）A.B.C.D.【答案】D【分析】此题考查了平方差公式的几何背景，图形的剪拼，关键是根据题意列出式子，运用平方公式进行计算，要熟记公式．【解答】解：长方形的面积为：（a+4）2﹣（a+1）2=（a+4+a+1）（a+4﹣a﹣1）=3（2a+5）=6a+15（cm2）．选D.15.【答题】下列各式中，不能运用平方差公式计算的是( )A. (ab－1)(ab＋1)B. (2x－1)(－1＋2x)C. (－2x－y)(2x－y)D. (－a＋5)(－a－5)【答案】B【分析】运用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．【解答】解：B、两项都是相同项的项，不能运用平方差公式；A、C、D中均存在相同和相反的项，选B.16.【答题】下列运算正确的是（）A.B.C.D.【答案】B【分析】根据平方差公式和幂的运算解答即可.【解答】解：A、a2·a3＝a5，故A错误；B、(－a＋b)(a＋b)＝(b－a)(b＋a)＝b2－a2，故B正确；C、(a3)4＝a12，故C错误；D、a3与a5不是同类项，不能合并，故D错误．选B.17.【答题】在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图1），把余下的部分拼成一个矩形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）A.B.C.D.【答案】C【分析】根据平方差公式解答即可.【解答】∵图甲中阴影部分的面积=a2−b2，图乙中阴影部分的面积=(a+b)(a−b)，而两个图形中阴影部分的面积相等，∴a2−b2=(a+b)(a−b).选C.18.【答题】下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）．A.B.C.D.【答案】C【分析】根据平方差公式解答即可.【解答】根据“平方差公式：”的结构特征可知，上述四个选项中，A、B、D三个选项中的式子都可以用“平方差公式”计算，只有C中的式子不能用“平方差公式”计算.选C.19.【答题】化简(a－1)(a＋1)(a2＋1)－(a4－1)的结果为（）A. 0B. 2C. －2D. 2a4【答案】A【分析】根据平方差公式解答即可.【解答】(a－1)(a＋1)(a2＋1)－(a4－1)=(a2-1)(a2+1)-(a4-1)=a4-1-a4+1=0.选A.20.【答题】下列多项式中，与相乘的结果是的多项式（）A. ；B. ；C. ；D. .【答案】A【分析】根据平方差公式解答即可.【解答】解：x2-y2，=（x+y）（x-y），=（-x-y）（y-x）．选A.。
北师大版数学七年级下《平方差公式》练习题
初中数学试卷灿若寒星整理制作《平方差公式》练习题一、选择题1．若M(3x-y2)＝y4-9 x2，则代数式M应是( )A．-(3 x+y2) B．y2-3x C．3x+ y2D．3 x- y22．计算：(a+2)(a-2)的结果是( )A.a2+4B.a2-4C.2a-4D.2a3．计算(a+1)2(a-1)2的结果是( )A.a4-1B.a4+1C.a4+2a2+1D.a4-2a2+14．计算：a2-(a+1)(a-1)的结果是( )A.1B.-1C.2a2+1D.2a2-15．计算(a4+b4)(a2+b2)(b-a)(a+b)的结果是( )A.a8-b8B.a6-b6C.b8-a8D.b6-a6二、填空题6．(-3x+6 y2)(-6 y2-3 x)＝．7．(x-y+z)( )＝z2-( x-y)2．8．(4 x m-5 y2) (4 x m+5y2)＝．9．(x+y-z) (x-y-z)＝( ) 2-() 2．10．若x2-y2=48，x+y=6，则3x-3y=_____．11．(x-_____-3)(x+2y-_____)=[(_____)-2y][(_____)+2y]12．观察下列各式：(a-1)(a+1)=a2-1，(a-1)(a2+a+1)=a3-1，(a-1)(a3+a2+a+1)=a4-1…根据前面各式的规律计算：(a-1)(a4+a3+a2+a+1)=_____；22012+22011+…+22+2+1=_____．三、解答题13．计算: ( a－2b ) ( －2b－a ) ．14．若x 2+y 2=86，xy =-16，求(x -y )2．15．已知：x 2+xy +y =14，y 2+xy +x =28，求x +y 的值．16．先化简，再求值．(a 2 b -2 ab 2- b 3)÷b -( a+b )(a-b )，其中a ＝21，b ＝-1． 17．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘 数”．如：4＝22-02，12＝42-22，20＝62-42，因此4，12，20这三个数都是神秘数．(1)28和2012这两个数是神秘数吗?为什么?(2)设两个连续偶数为2k +2和2k (其中k 取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗?为什么?(3)两个连续奇数的平方差(取正数)是神秘数吗?为什么?参考答案 一、选择题1．A 2．D 3．A 4．C 5. B二、填空题6．答案：a 5-1 22013-17．答案：-a 4+2a 2-18．答案：2y 3 x -3 x -39．答案：（x -3）2 （2y ）2．10．答案：24．11. z-x+y .12. 16 x 2m -25 y 4三、解答题13．答案：118．解析：【解答】∵（x -y ）2=x 2+y 2-2xy ，且x 2+y 2=86，xy =-16，∴（x -y ）2=86-2×（-16）=118．【分析】根据完全平方公式得到（x -y ）2=x 2+y 2-2xy ，然后把x 2+y 2=86，xy =-16代入计算即可．14．答案：x +y =-7或x +y =6．解析：【解答】x 2+xy +y =14①，y 2+xy +x =28②，∴①+②，得：x 2+2xy +y 2+x +y =42，∴（x +y ）2+（x +y ）-42=0，∴（x +y +7）（x +y -6）=0，∴x +y +7=0或x +y -6=0，解得：x +y =-7或x +y =6．【分析】由x 2+xy +y =14，y 2+xy +x =28，即可求得x 2+2xy +y 2+x +y =42，则变形得（x +y ）2+（x +y ）-42=0，将x +y 看作整体，利用因式分解法即可求得x +y 的值．15．答案：28．解析：【解答】（m +n ）2=10，（m -n ）2=2，∴m 2+2mn +n 2=10，m 2-2mn +n 2=2，相减得：4mn =8，∴2mn =4，∴m 4+n 4=（m 2+n 2）2-2（mn ）2=[（m +n ）2-2mn ]2-8=[10-4]2-8=36-8=28．【分析】根据已知求出2mn 的值，把m 4+n 4化成含有（m +n ）2和2mn 的形式，代入即可．16．解：(a 2b -2 ab 2- b 3)÷b -( a+ b )·(a- b )= a 2-2ab- b 2-( a 2- b 2)= a 2-2 ab - b 2=-2 ab.当a =21，b =-l 时，原式＝1． 17．解：(1)找规律：4=4×1＝22-02，12＝4×3＝42-22，20＝4×5＝62-42，28=4×7＝82-62，…，2012=4×503＝5042-5022，所以28和2012都是神秘数． (2)(2k +2) 2-(2 k ) 2＝4(2 k +1)，因此由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数． (3)由(2)知，神秘数可以表示成4(2k+1)，因为2 k +1是奇数，因此神秘数是4的倍数，但一定不是8的倍数．另一方面，设两个连续奇数为2 n +1和2 n -1，则(2 n +1) 2-(2n-1) 2=8n，即两个连续奇数的平方差是8的倍数．因此，两个连续奇数的平方差不是神秘数．。
2022-2023学年北师大版七年级数学下册《1-5平方差公式》解答专项练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版七年级数学下册《1.5平方差公式》解答专项练习题（附答案）1．计算：（x+3）（x﹣3）．2．运用平方差公式计算：（a+3b）（a﹣3b）．3．运用乘法公式简便计算：（1）198×202；（2）9982﹣4．4．计算：（1）（2m﹣3n）（2m+3n）；（2）（2a﹣5b）（5b+2a）；（3）（﹣2+3x）（﹣2﹣3x）；（4）（x﹣y）（﹣x﹣y）．5．化简：（3a﹣2b）（﹣3a﹣2b）．6．计算：（1）（2x+y）（y﹣3x）（2）（﹣a﹣b）（a﹣b）7．（0.2x﹣0.3）（0.2x+0.3）8．计算：2021×2023﹣20222+1．9．计算：（﹣2+y）（y+2）﹣（y﹣1）（y+5）．10．计算：（x+3）（x﹣3）﹣（x+1）（x﹣2）11．（2x﹣5）（2x+5）﹣（2x+1）（2x﹣3）12．观察下列式子．①32﹣12＝（3+1）×（3﹣1）＝8；②52﹣32＝（5+3）×（5﹣3）＝16；③72﹣52＝（7+5）×（7﹣5）＝24；④92﹣72＝（9+7）×（9﹣7）＝32．（1）求212﹣192＝．（2）猜想：任意两个连续奇数的平方差一定是，并给予证明．13．如图，王大妈家有一块边长为a的正方形土地租给了邻居李大爷种植，今年，他对李大爷说：“我把你这块地的一边减少4m，另一边增加4m，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何”．李大爷一听，就答应了．同学们，你认为李大爷吃亏了吗？为什么？14．如图：边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形．（1）图（1）中阴影部分的面积为，图（2）阴影部分面积为．（2）通过观察比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式为．（用式子表达）（3）计算：102×98（不用公式计算不得分）15．先阅读理解，在解答问题．如何计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）的值呢？我们注意到平方差公式的特征，可以将原式乘以（2﹣1），所以原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）＝232﹣1．试用上述方法求（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）﹣1的值．16．学校有一块边长为（2a+b）米的正方形草坪，经统一规化后，南北方向要缩短2b米，而东西方向要加长2b米，请回答下列问题：（1）改造后的长方形草坪的面积是多少平方米？（2）改造后的长方形草坪的面积比改造前的面积增加了还是减少了？增加或减少了多少平方米？17．某同学在计算2×（3+1）（32+1）时，把2写成（3﹣1）后，发现可以连续运用平方差公式，计算2（3+1）（32+1）＝（3﹣1）（3+1）（32+1）＝（32﹣1）（32+1）＝34﹣1＝80请借鉴该同学的经验计算（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（2）（1+）（1+）（1+）（1+）+．18．观察下列等式：32﹣12＝8＝8×1；52﹣32＝16＝8×2；72﹣52＝24＝8×3；92﹣72＝32＝8×4…这些等式反映了正整数的某种规律．（1）设n为正整数，试用含n的式子，表示你发现的规律；（2）验证你发现规律的正确性，并用文字归纳出这个规律．19．如图1，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的阴影部分拼成如图2所示的长方形．（1）上述操作能验证的公式是；（2）请应用这个公式完成下列各题：①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝；②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）．20．探究如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式．（用含a，b的等式表示）应用：请应用这个公式完成下列各题：（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为．（2）计算：20222﹣2023×2021．拓展：（3）计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．参考答案1．解：（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9．2．解：（a+3b）（a﹣3b）＝a2﹣（3b）2＝a2﹣9b2．3．解：（1）198×202＝（200﹣2）×（200+2）＝2002﹣22＝40000﹣4＝39996；（2）9982﹣4＝9982﹣22＝（998+2）（998﹣2）＝1000×996＝996000．4．解：（1）（2m﹣3n）（2m+3n）＝（2m）2﹣（3n）2＝4m2﹣9n2；（2）（2a﹣5b）（5b+2a）＝（2a）2﹣（5b）2＝4a2﹣25b2；（3）（﹣2+3x）（﹣2﹣3x）＝（﹣2）2﹣（3x）2＝4﹣9x2；（4）（x﹣y）（﹣x﹣y）＝（﹣y）2﹣（x）2＝y2﹣x2．5．解：（3a﹣2b）（﹣3a﹣2b）＝（﹣2b+3a）（﹣2b﹣3a）＝（﹣2b）2﹣（3a）2＝4b2﹣9a2．6．解：（1）（2x+y）（y﹣3x）＝﹣6x2﹣3xy+2xy+y2＝﹣6x2﹣xy+y2；（2）（﹣a﹣b）（a﹣b）＝﹣a2+b2．7．解：（0.2x﹣0.3）（0.2x+0.3）＝（0.2x﹣0.3）（0.2x+0.3）＝0.04x2﹣0.09．8．解：原式＝（2022﹣1）×（2022+1）﹣20222+1＝20222﹣1﹣20222+1＝0．9．解：原式＝y2﹣4﹣（y2+5y﹣y﹣5）＝y2﹣4﹣y2﹣5y+y+5＝﹣4y+1．10．解：（x+3）（x﹣3）﹣（x+1）（x﹣2）＝x2﹣9﹣（x2﹣x﹣2）＝x2﹣9﹣x2+x+2）＝x﹣711．解：原式＝4x2﹣25﹣4x2+4x+3＝4x﹣22．12．解：（1）212﹣192＝（21+19）×（21﹣19）＝40×2＝80；（2）这两个数和的2倍证明：设n为正整数，（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝[（2n+1）+（2n﹣1）]×2∴任意两个连续奇数的平方差一定是这两个数和的2倍．故答案为：（1）80；（2）这两个数和的2倍．13．解：李大爷吃亏了．原来正方形地的面积a2，当一边减少4，另一边增加4时，面积为（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16，因为a2﹣16＜a2，所以李大爷吃亏了．14．解：（1）图（1）阴影部分的面积a2﹣b2，图（2）阴影部分的面积（a﹣b）（a+b）；故答案为：a2﹣b2，（a﹣b）（a+b）；（2）∵图（1）阴影部分的面积a2﹣b2，图（2）阴影部分的面积（a﹣b）（a+b），则a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）．故答案为：a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）；（2）102×98＝（100+2）（100﹣2）＝1002﹣22＝10000﹣4＝9996．15．解：（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）﹣1＝（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）﹣1＝（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）﹣1＝×（316﹣1）﹣1＝﹣﹣1＝．16．解：（1）改造后长为：2a+b+2b＝2a+3b，宽为：2a+b﹣2b＝2a﹣b．∴改造后的长方形草坪的面积是：（2a+3b）（2a﹣b）＝4a2+4ab﹣3b2．答：改造后的面积为：（4a2+4ab﹣3b2）平方米．故答案为：4a2+4ab﹣3b2．（2）改造前的面积为：（2a+b）2＝4a2+4ab+b2．∵4a2+4ab+b2﹣（4a2+4ab﹣3b2）＝4b2＞0．∴改造后比改造前的面积减少了，减少了4b2平方米．故答案为：改造后比改造前的面积减少了，减少了4b2平方米．17．解：（1）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（24﹣1）（24+1）（28+1）＝（28﹣1）（28+1）＝216﹣1＝65536﹣1＝65535；（2）原式＝2（1﹣）（1+）（1+）（1+）（1+）+＝2（1﹣）（1+）（1+）（1+）+＝2（1﹣）（1+）（1+）+＝2（1﹣）（1+）+＝2（1﹣）+＝2．18．解：（1）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；（2）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝4n2+4n+1﹣（4n2﹣4n+1）＝8n；即（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，故两个连续奇数的平方差是8的倍数．19．解：（1）图1中阴影部分的面积为边长为a，边长为b的面积差，即a2﹣b2，图2长方形的长为a+b，宽为a﹣b，因此面积为（a+b）（a﹣b），所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）①∵4a2﹣b2＝24，∴（2a+b）（2a﹣b）＝24，又∵2a+b＝6，∴2a﹣b＝24÷6＝4，故答案为：4；②原式＝＝＝＝．20．解：【探究】图1中阴影部分面积a2﹣b2，图2中阴影部分面积（a+b）（a﹣b），所以，得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．【应用】（1）由4m2＝12+n2得，4m2﹣n2＝12，∵（2m+n）•（2m﹣n）＝4m2﹣n2，∴2m﹣n＝3．故答案为：3．（2）20222﹣2023×2021．＝20222﹣（2022+1）×（2022﹣1）＝20222﹣（20222﹣1）＝20222﹣20222+1＝1；【拓展】1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12＝（100+99）×（100﹣99）+（98+97）×（98﹣97）+…+（4+3）×（4﹣3）+（2+1）×（2﹣1）＝199+195+…+7+3＝5050．。
第一章第6讲 平方差公式和完全平方公式(10类热点题型讲练)(原卷版)--初中数学北师大版7年级下册
第06讲平方差公式和完全平方公式(10类热点题型讲练)1.理解并掌握平方差公式和完全平方公式的推导和应用；2.理解平方差公式和完全平方公式的结构特征，并能运用公式进行简单的运算；3.会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法.知识点01平方差公式平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.即(a+b)(a-b)=a²-b²公式的几种变化：①位置变化：（b+a)（-b+a）=(a+b)(a-b)=a²-b²；（-a-b）(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)²-a²=b²-a²②系数变化：（2a+3b）(2a-3b)=(2a)²-(3b)²=4a²-9b²a b-③指数变化：（a²+b²）(a²-b²)=（a²）²-（b²）²=44④增项变化：（a-b-c）(a-b+c)=(a-b)²-c²a b-⑤连用公式变化：（a+b）(a-b)(a²+b²)=（a²-b²）(a²+b²)=（a²）²-（b²）²=44⑥公式逆运算：a²-b²=(a+b)(a-b)知识点02完全平方公式完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,加(减)它们积的2倍.即完全平方和(a +b )²=a ²+2ab +b ²完全平方差(a -b )²=a ²-2ab +b ²（1）公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍（2）公式的变化：①a ²+b ²=(a +b )²-2ab ；②a ²+b ²=(a -b )²+2ab ；③(a +b )²=(a -b )²+4ab ；④(a -b )²=(a +b )²-4ab ⑤(a +b )²-(a -b )²=4ab知识点03平方差和完全平方差区别平方差公式:(a +b )(a -b )=a ²-b ²完全平方差公式：(a -b )²=a ²-2ab +b ²平方差公式和完全平方差公式易混淆，切记完全平方差中间有乘积的2倍题型01判断是否可用平方差公式运算.【例题】下列各式中不能用平方差公式计算的是（）1．下列能使用平方差公式的是（）A ．()()33x x ++B ．()()x y x y -+-C ．()()55m n m n +--D ．()()33m n m n +-2．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）A ．()()22x y x y -+B ．()()x y x y -+-C ．()()b a b a -+D ．()()x y y x ---题型02运用平方差公式进行运算.【变式训练】题型03利用平方差公式进行简便运算.【例题】（2023上·吉林长春·八年级校考阶段练习）用简便方法计算：(1)498502⨯(2)2202220232021-⨯【变式训练】题型04平方差公式与几何图形.【例题】（2023上·江苏泰州·七年级靖江市靖城中学校联考期中）图1、图2分别由两个长方形拼成．(1)图1中图形的面积为22a b -，图2中图形的面积为(2)由（1）可以得到等式：．(3)根据你得到的等式解决下列问题：①计算：2268.531.5-．②若42m n +=，求()()()222212121m m n n --+++-【变式训练】（2）请写出图①、图②、图③验证的乘法公式为：______；【应用探究】（3）利用（2）中验证的公式简便计算：4995011⨯+；（4）计算：22222111111111123420232024⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．(1)上述操作能验证的公式是______（请选择正确的一个）．A ．()2a ab a a b +=+B ．()()22a b a b a b -=-+C ．()2222a ab b a b -+=-(2)请应用上面的公式完成下列各题：①已知22424a b -=，26a b +=，则2a b -=______；②计算：222222229897.1.....43009921-+-++-+-；③计算：()()()()()2222222221212.....4321223n n n n n -+-+-+----+≥题型05运用完全平方公式进行运算【例题】（2023上·河南信阳·八年级校考阶段练习）用乘法公式计算(1)2()x y z ++(2)()()2323x y x y -+-+【变式训练】1．（2023上·八年级课时练习）计算：(1)()27x y +；(2)()245a b -+；(3)()22m n --；(4)()()2323x y x y +--．2．（2023上·八年级课时练习）计算：(1)()()22x y z x y z +--+；(2)()2523a b c +-；(3)()()532536a b c a b c +--+．题型06利用完全平方公式进行简便运算【变式训练】1．用简便算法计算(1)2201720162018-⨯(2)2220220219698⨯++题型07通过对完全平方公式变形求值【例题】（2023上·四川宜宾·八年级校考阶段练习）已知：3a b +=-，2ab =，求下列各式的值：(1)22a b +；(2)2()a b -．【变式训练】1．已知4m n -=-，2mn =，求下列代数式的值．(1)22m n +(2)()()11m n +-题型08求完全平方式中的字母系数题型09完全平方式在几何图形中的应用【例题】（2023上·江苏·九年级专题练习）我们已经学习了乘法公式()2222a b a ab b ±=±+的多种运用，可以运用所学知识解答：求代数式245x x ++的最小值．解答如下：解：()2224544121x x x x x ++=+++=++，()220x +≥，∴当2x =-时，()22x +的值最小，最小值是0，∴()2211x ++≥，∴当()220x +=时，()221x ++的值最小，最小值是1，∴245x x ++的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题．(1)知识再现：当x =______时，代数式2415x x -+的最小值是______；(2)知识运用：若2615y x x =-+-，当x =______时，y 有最______值（填“大”或“小”），这个值是______；(3)知识拓展：若25100x x y -+++=，求y x +的最小值．【变式训练】1．例：求代数式245x x +-的最小值.解： ()22245444529x x x x x +-=++--=+-，()220x +≥，∴()2299x +-≥-，∴当2x =-时，代数式245x x +-有最小值9-，(1)代数式241-+有最（填大或小）值，这个值x x(2)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为计一个尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为①用含x的式子表示花圃的面积；题型10完全平方公式在几何图形中的应用【例题】现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：【变式训练】2．如图①，正方形ABCD是由两个长为一、单选题A ．12B ．11C ．10D ．9二、填空题9．（2023上·黑龙江牡丹江·八年级统考阶段练习）设四个推断：①**a b b a =；②()222**a b a b =；③(-的序号是．10．（2023上·甘肃兰州·七年级兰州市第五十五中学校考开学考试）对于任意的代数式定一种新运算：a a c db b dc =-．根据这一规定，计算三、解答题11．（2023上·江苏南通·八年级校联考期中）计算：(1)()243x y -；(2)()()11x y x y +++-；(3)()()()22322x y x y x y +-+-；(4)()()325x y xy -⋅．12．（2023上·河南南阳·八年级校考阶段练习）利用乘法公式计算下列各题(1)()()22m n m n ---(2)()23x y -+(3)2210397+16．（2023上·安徽阜阳·八年级统考阶段练习）如图，图1为边长为a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形，图2是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形．(1)设图1中阴影部分的面积为1S ，图2中阴影部分的面积为2S ，则1S =______，2S =______（请用含a ，b 的代数式表示，只需表示，不必化简）．(2)以上结果可以验证哪个乘法公式？这个乘法公式是______(3)运用（2）中得到的公式，计算：()()()()24821212121+⨯+⨯+⨯+．17．（2023上·甘肃武威·八年级校考期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A 种纸片是边长为a 的正方形，B 种纸片是边长为b 的正方形，C 种纸片是长为b 、宽为a 的长方形，并用A 种纸片一张，B 种纸片一张，C 种纸片两张拼成如图2的大正方形．(1)观察图2，请你写出下列三个代数式：2()a b +，22a b +，ab 之间的等量关系；(2)若要拼出一个面积为()()2a b a b ++的矩形，则需要A 号卡片多少张，B 号卡片多少张，C 号卡片多少张．(3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：5a b +=，2211a b +=，求ab 的值；②已知22(2021)(2023)20x x -+-=，求2022x -的值．18．（2023上·河南周口·八年级校考期中）若x 满足()()604020x x --=，求()()226040x x +--的值．解：设60x a -=，40x b -=，则20ab =，604020a b x x +=-+-=．∴()()226040x x +--22a b =+。
北师大版七年级数学下册：完全平方公式 同步练习
完全平方公式第一课时题组完全平方公式1.下列各式,计算正确的是( )A.(2x-y)2=4x2-2xy+y2B.(a2+2b)2=a2+4a2b+4b2C.=x2+1+xD.(x-2y)2=x2-4xy+y2【解析】选C.A.(2x-y)2=4x2-4xy+y2,此选项错误;B.(a2+2b)2=a4+4a2b+4b2,此选项错误;C.=x2+1+x,此选项正确;D.(x-2y)2=x2-4xy+4y2,此选项错误.2.小虎在利用完全平方公式计算时,不小心用墨水将式子中的两项染黑:(2x+)2=4x2+12xy+,则被染黑的最后一项应该是 ( )A.3yB.9yC.9y2D.36y2【解析】选C.(2x)2=4x2,2·2x( )=12xy,所以括号里应填3y,(3y)2=9y2.3.计算(-2y-x)2的结果是( )A.x2-4xy+4y2B.-x2-4xy-4y2C.x2+4xy+4y2D.-x2+4xy-4y2【解析】选C.(-2y-x)2=x2+4xy+4y2.4.计算(2a-3)2的结果为__.【解析】(2a-3)2=4a2-2·2a·3+9=4a2-12a+9.答案:4a2-12a+95.(x- )2=x2-6xy+ .【解析】2·x( )=6xy,括号里应填3y,(3y)2=9y2. 答案:3y 9y26.计算:(1)(-x+2y)2.(2)(m+n-2)(m+n+2).(3).(4)(a+b)2(a-b)2.【解析】(1)(-x+2y)2=x2+2·(-x)·2y+4y2=x2-4xy+4y2.(2)(m+n-2)(m+n+2)=(m+n)2-22=m2+2mn+n2-4.(3)===a4-2·a2·+=a4-a2+.(4)(a+b)2(a-b)2=[(a+b)(a-b)]2=(a2-b2)2=a4-2a2b2+b4. 【方法技巧】完全平方公式应用的三个技巧1.公式右边共有3项.2.两个平方项符号永远为正.3.中间项的符号由等号左边两项的符号是否相同决定. 题组完全平方公式的应用1.若a+b=3,a2+b2=7,则ab等于 ( )A.2B.1C.-2D.-1【解析】选B.因为(a+b)2=a2+2ab+b2,所以ab===1.【变式训练】已知x+y=-6,x-y=5,则下列计算正确的是( )A.(x+y)2=36B.(y-x)2=-10C.xy=-2.75D.x2-y2=25【解析】选A.A.(x+y)2=(-6)2=36,正确;B.(y-x)2=(x-y)2=52=25,故本选项错误;C.因为(x+y)2-(y-x)2=4xy,(x+y)2-(y-x)2=36-25=11,所以4xy=11,xy=2.75,故本选项错误;D.x2-y2=(x+y)(x-y)=(-6)×5=-30,故本选项错误.2.若等式(x-4)2=x2-8x+m2成立,则m的值是( )A.16B.4C.-4D.4或-4【解析】选D.因为(x-4)2=x2-8x+16,所以m2=16,解得m=±4.3.一个正方形的边长增加了2cm,面积相应增加了32cm2,则原来这个正方形的边长为( )A.6cmB.5cmC.8cmD. 7cm【解析】选D.设原来正方形的边长为xcm.则(x+2)2-x2=32.x2+4x+4-x2=32.4x=28.x=7.4.设(5a+3b)2=(5a-3b)2+A,则A= ( )A.30abB.60abC.15abD.12ab【解析】选B.因为(5a+3b)2=25a2+30ab+9b2,所以25a2+9b2=(5a+3b)2-30ab.因为(5a-3b)2=25a2-30ab+9b2,所以25a2+9b2=(5a-3b)2+30ab.所以(5a+3b)2-30ab=(5a-3b)2+30ab.所以(5a+3b)2=(5a-3b)2+60ab.5.已知x2+y2+4x-6y+13=0,那么x y= __.【解析】因为x2+y2+4x-6y+13=0,所以x2+4x+4+y2-6y+9=0,即(x+2)2+(y-3)2=0,所以x+2=0,y-3=0,解得x=-2,y=3,所以x y=(-2)3=-8.答案:-81.已知x=m时,多项式x2+2x+n2的值为-1,则x=-m时,该多项式的值为. 【解析】当x=m时,m2+2m+n2=-1,则(m+1)2+n2=0,∴m+1=0,n=0,∴m=-1,n=0,∴x2+2x+n2=3.答案:32.乘法公式的探究及应用.图①是一个长为2m、宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形,然后按图②的形状拼成一个正方形.(1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积.方法一: _______________________________________.方法二: _______________________________________.(2)观察图②请你写出下列三个代数式:(a+b)2,(a-b)2,ab之间的等量关系.______________________________________________________.(3)根据(2)题中的等量关系,解决如下问题:已知:a-b=5,ab=-6,求:①a2+b2= ___.②(a+b)2= _.【解析】(1)方法一:阴影部分是正方形,正方形的边长是m-n,即阴影部分的面积是(m-n)2,方法二:阴影部分的面积S=(m+n)2-4mn,答案:(m-n)2(m+n)2-4mn(2)(a-b)2=(a+b)2-4ab.答案:(a-b)2=(a+b)2-4ab(3)①因为a-b=5,ab=-6,所以(a-b)2=52,所以a2-2ab+b2=25,a2+b2=25+2ab=25-12=13.答案:13②(a+b)2=(a-b)2+4ab=52+4×(-6)=1.答案:1完全平方公式第二课时题组利用完全平方公式进行数的运算1.运用完全平方公式计算89.82的最佳选择是( )A.(89+0.8)2B.(80+9.8)2C.(90-0.2)2D.(100-10.2)2【解析】选 C.A.(89+0.8)2=892+2×89×0.8+0.82,B.(80+9.8)2=802+2×80×9.8+9.82,C.89.82=(90-0.2)2=902-2×90×0.2+0.22,D.(100-10.2)2=1002-2×100×10.2+10.22,选项A,B,D都不如选项C计算简便.2.用乘法公式计算:3992= __.【解析】3992=(400-1)2=4002-2×400×1+12=160000-800+1=159201答案:1592013.计算3.76542+0.4692×3.7654+0.23462= __.【解析】3.76542+0.4692×3.7654+0.23462=3.76542+2×0.2346×3.7654+0.23462=(3.7654+0.2346)2=42=16.答案:164.利用整式乘法公式计算:(1)962. (2)2032.【解析】(1)962=(100-4)2=1002-2×100×4+42=10000-800+16=9216.(2)2032=(200+3)2=2002+2×200×3+32=40000+1200+9=41209.5.已知m=2016×2017-1,n=20162-2016×2017+20172,请尝试用一种简便方法比较m,n的大小.【解析】方法一:m=2016×2017-1,n=20162-2016×2017+20172=20162-2×2016×2017+20172+2016×2017=(2016-2017)2+2016×2017=2016×2017+1,因为2016×2017-1<2016×2017+1,所以m<n.方法二:n-m=20162-2016×2017+20172-(2016×2017-1)=20162-2016×2017+20172-2016×2017+1=20162-2×2016×2017+20172+1=(2016-2017)2+1=1+1=2>0,所以n-m>0,即n>m.题组与完全平方公式有关的整式运算1.(a+3b)2-(3a+b)2的计算结果是( )A.8(a-b)2B.8(a+b)2C.8b2-8a2D.8a2-8b2【解析】选C.(a+3b)2-(3a+b)2=a2+6ab+9b2-(9a2+6ab+b2)=a2+6ab+9b2-9a2-6ab-b2=-8a2+8b2.2.将正方形的边长由acm增加6cm,则正方形的面积增加了 ( )A.36cm2B.12acm2C.(36+12a)cm2D.以上都不对【解析】选C.(a+6)2-a2=a2+12a+36-a2=12a+36cm2.3.用乘法公式计算:(1)(a+2b-3c)(a-2b+3c).(2)(a+2b-3c)2.【解析】(1)(a+2b-3c)(a-2b+3c)=[a+(2b-3c)][a-(2b-3c)]=a2-(2b-3c)2=a2-(4b2-12bc+9c2)=a2-4b2+12bc-9c2.(2)(a+2b-3c)2=[(a+2b)-3c]2=(a+2b)2-2(a+2b)·3c+(3c)2=a2+4ab+4b2-6ac-12bc+9c2.4.下面是小颖化简整式的过程,仔细阅读后解答所提出的问题.解:x(x+2y)-(x+1)2+2x=x2+2xy-x2+2x+1+2x 第一步=2xy+4x+1 第二步(1)小颖的化简过程从第步开始出现错误.(2)对此整式进行化简.【解析】(1)括号前面是负号,去掉括号应变号,故第一步出错.答案:一(2)x(x+2y)-(x+1)2+2x=x2+2xy-x2-2x-1+2x=2xy-1.5.小明和小颖同时解答下面的习题,所用的方法不相同,但所得的结果相同,先阅读他们的解法,然后回答问题.计算:.小明的解答:===-(2ab)2=16a4+2a2b2+b4-4a2b2=16a4-2a2b2+b4.小颖的解答:===16a4-2a2b2+b4.问题:(1)你认为谁的解法更简捷?从中你得到了什么启示?(2)计算(x-y)2(x+y)2.【解析】(1)小颖的解法更简捷.启示:当计算中既要用完全平方公式又要用平方差公式时,先用平方差公式较为简单.(2)(x-y)2(x+y)2=[(x-y)(x+y)]2=(x2-y2)2=x4-2x2y2+y4.1.已知y+2x=1,求代数式(y+1)2-(y2-4x)的值.【解析】原式=y2+2y+1-y2+4x=2y+4x+1=2(y+2x)+1=2×1+1=3.2.若m2+n2-6n+4m+13=0,求m2-n2的值. 【解析】m2+n2-6n+4m+13=0.(m2+4m+4)+(n2-6n+9)=0,(m+2)2+(n-3)2=0,m+2=0且n-3=0,所以m=-2,n=3,所以m2-n2=(-2)2-32=4-9=-5.。
平方差公式课时培优练 2022—2023学年北师大版数学七年级下册
1.5平方差公式课时培优练七年级数学下册北师大版一、单选题1．下列式子中，可以用平方差公式计算的是（）A．(2a+b)(a-b)B．（2a-3b）(3b+2a)C．(3a-2b)(2b-3a)D．(2a-b)(2b+a)2．在下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）A．B．C．D．3．若，，则的值是（）A．-3B．-2C．-1D．04．运用乘法公式计算的结果是（）A．B．C．D．5．下列运算错误的是()A．b2·b3=b5B．(a-b)(b+a)=a2-b2C．a5+a5=a10D．(-a2b)2=b2a46．记则x+1=（）A．一个奇数B．一个质数C．一个整数的平方D．一个整数的立方7．如图，在边长为a 的正方形上剪去一个边长为b 的小正方形( a > b ),把剩下的部分剪拼成一个梯形,分别计算这两个图形阴影部分的面积,由此可以验证的等式是()A．a2 - b2 = (a + b)(a - b)B．(a + b)2= a2 + 2ab + b2C．(a - b)2 = a2 - 2ab + b2D．a2 - ab = a(a - b)8．如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（）A．a2﹣b2＝（a＋b）（a﹣b）B．（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2D．a2＋ab＝a（a＋b）9．如图所示，阴影部分是边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形后得到的图形，佳佳将阴影部分通过割拼，拼成了图①和图②两种新的图形，其中能够验证平方差公式的是（）A．①B．②C．①②都能D．①②都不能二、填空题10．．11．在括号内填入适当的整式：（2a+b）（）=b2-4a2．12．计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）＝.13．的结果是．14．如图1，在边长为a的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形．根据两个图形阴影部分面积相等的关系，可以列出的等式为．三、解答题15．原有长方形绿地一块，现进行如下改造，将长减少2m，将宽增加2m，改造后得到一块正方形绿地，它的面积是原绿地面积的2倍，求改造后正方形绿地的面积. 16．能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数．引入负数后，如1，-3等是奇数，0，-2等是偶数．任意两个连续整数的平方差能确定是奇数还是偶数吗？写出你的判断并证明．17．如图所示，小刚家门口的商店在装修，他发现工人正在一块半径为R的圆形板材上，冲去半径为r的四个小圆，小刚测得R＝6.8dm，r＝1.6dm，他想知道剩余阴影部分的面积，你能利用所学过的因式分解的知识帮助小刚计算吗？请写出求解过程（结果保留π）.18．已知圆环的面积为，其中大圆与小圆周长的和为，求圆环的宽度（大圆半径与小圆半径的差）.19．已知x＝+ ，y＝﹣，求x2﹣y2的值．20．（1）填空：；；．（2）猜想：．（其中n为正整数，且）．（3）利用（2）猜想的结论计算：①②四、计算题21．计算：（1）（2）22．计算.（1）（m-）（m+）；（2）（-2y2-3x）（3x-2y2）；（3）（x+3）（x2+9）（x-3）.答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：,符合平方差公式.故答案为：B.【分析】相乘的两个二项式中，如果有一项完全相同，剩下的一项只有符号不同，那么这两个二项式相乘即可使用平方差公式进行计算，从而即可一一判断得出答案. 2．【答案】C【解析】【解答】A、能用平方差公式计算；B、能用平方差公式计算；C、不能用平方差公式计算；D、能用平方差公式计算；故答案为：C．【分析】利用平方差公式判断各选项即可。