复变函数7.1

arg f ' ( z1 (t0 )) z1 ' (t0 ) − arg f ' ( z (t0 )) z ' (t0 ) = arg z1 ' (t0 ) − arg z ' (t0 ),
导数幅角的几何意义:
因此，用单叶解析函数作映射时，曲线间 的夹角的大小及方向保持不变，我们成这个性 质为单叶解析函数所作映射的保角性。
但由光滑曲线的条件，极限 z0 = z (t0 ) z1 − z0 lim = z ' (t0 ) ≠ 0, t1 → t 0 t − t 1 0 存在。因此下列极限也存在： z1 − z0 lim arg = arg z ' (t0 ), t1 → t 0 t1 − t0 它就是曲线C在z0=z(t0)处切线与实轴的夹角， 在这里幅角是连续变动的，并且极限式两边幅 角的数值是相应地适当选取的。
而当 z ∈ C 时
| f ( z ) − w0 |≥ µ >| w0 − w |> 0,
可见f(z)-w及f(z)-w0在D内的零点个数同为p（每 个n阶零点作n个零点）。 这是因为 w ≠ w0 ，所以 z ≠ z0 ，而 [ f ( z ) − w]' z ≠ z ≠ 0
0
定理1.1、设函数f(z)在区域D内单叶解析，那么 在D内任一点， f ' ( z ) ≠ 0. 证明：反证之。假定 z0 ∈ D, f ' ( z0 ) = 0, 那么由引理1.1，可得出与单叶相矛盾得结论。 注解1、如果一个函数在区域D内单叶解析，那 么它的导数在D内任意一点不等于零； 注解2、反之，这个定理的逆定理不成立，例如 w=ez的导数在z平面上任意一点不为零，而这个 函数在整个z平面上不是单叶的。
定理1.1:
定理1.2、设函数w=f(z)在z=z0解析，并且f ' ( z0 ) ≠ 0 那么f(z)在z0的一个邻域内单叶解析。 定理1.3、设函数w=f(z)在区域D内解析，并且不 恒等于常数，那么D1 =f(z)是一个区域，即f确定 从D到D1的一个满射。 D D 证明：先证明D1是开集，即证明任一点 w0 ∈ D1 是它的内点。设 z0 ∈ D ，并且 f ( z0 ) = w0 。 由引理1.1，可以找到一个正数 任何满足 | w1 − w0 |< µ
Department of Mathematics
第七章 共形映射
第7.1节 单叶解析函数的映射性质 节
单叶解析函数的映射性质 ---一般概念： ：
解析函数所确定的映射是保形映射。它是 复变函数论中最重要的概念之一，与物理中的 概念有密切的联系，而且对物理学中许多领域 有重要的应用。 如应用保形映射成功地解决了流体力学与 空气动力学、弹性力学、磁场、电场与热场理 论以及其他方面的许多实际问题。不但如此， 20世纪中亚音速及超音速飞机的研制促成了从 保形映射理论到拟保形映射理论的发展。
θ θ0
ϕ
x
ϕ0
u
导数幅角的几何意义:
设在D内过z0还有一条简单光滑曲线
C1 : z = z1 (t )
函数w=f(z)把它映射成一条简单光滑曲线 Γ1 : w = f ( z1 (t )) 和上面一样， C1 与 Γ1在z0及w0处切线与实轴的 夹角分别是 arg z1 ' (t0 ) 及 arg f ' ( z1 (t0 )) z1 ' (t0 ) = arg f ' ( z1 (t0 )) + arg z1 ' (t0 ), 所以，在w0 处曲线 Γ 到曲线 Γ1 的夹角恰好等 于在z0处曲线C到曲线C1的夹角：
定理1.2、3:
µ
，使得对于
的复数w1，我们有 z1 ∈ D ，使得 f ( z1 ) = w1 。 因此开圆盘 | w − w0 |< µ 包含在D1内，即w0是D1的内点。 其次我们证明的连通性，即证明在D1内任意不 同两点w1及w2可以用在D1的一条折线连接起来 我们有 z1 , z2 ∈ D，使得 f ( z1 ) = w1 , f ( z2 ) = w2。 由于D是一个区域，在D内有折线
arg f ' ( z (t0 )) z ' (t0 ) = arg f ' ( z (t0 )) + arg z ' (t0 ),
因此， Γ 在w0处切线与实轴的夹角及C在z0 处切线与实轴的夹角相差。这一数值与曲线C的 形状及在z0处切线的方向无关。
y
z0 C z0 + ∆z
v
w0
Γ w0 + ∆w
z (t0 ) = z0 (t0 ∈ [a, b])
z = z (t ) = x (t ) + iy (t ) (a ≤ t ≤ b),
其中x(t)及y(t)是z(t)的实部和虚部。设
dz = z ' (t ) = x ' (t ) + iy ' (t ), 由于 dt
曲线C在z=z0的切线与实轴的夹角是z’(t0)的幅角 Arg z ' (t0 )
D = D∪C
上解析，
并且使得f(z)-w0 及f’(z)除去在z0 外在上无其它零 点。那么
min | f ( z ) − w0 |= µ > 0,
z∈C
取w，使
引理1.1的证明：
0 <| w − w0 |< µ
现在应用儒歇定理，比较f(z)-w及f(z)-w0在内D的 零点的个数。由于
f ( z ) − w = ( f ( z ) − w0 ) + ( w0 − w),
的长度，这里向量z-z0及f(z) -f(z0)的起点分别取 在z0及f(z0) 。 当|z-z0|较小时，|f(z) -f(z0)|近似地表示通过映 射后， |f(z) -f(z0)|对|z-z0|的伸缩倍数， 而且这一倍数与向量z-z0的方向无关。 因此，我们把|f’(z0)| 称为在点z0的伸缩率。
导数幅角的几何意义:
函数w=f(z)把简单光滑曲线C映射成过 w0 = f ( z0 ) 的一条简单曲线：Γ : w = f ( z (t )) ( a ≤ t ≤ b), 由于 ，可见 Γ 也是一条光滑曲 线；它在w0的切线与实轴的夹角是
z0
导数幅角的几何意义:
dw = f ' ( z (t0 )) z ' (t0 ) dt
定理1.4:
证明：先证明 z = ϕ (w) 在D1内任一点连续。 由引理1.1，任给 ε > 0 ，选取这一引理结论中 的正数 ρ 及 µ ，使得 ρ < ε , 那么当 | w − w0 |< µ 时
定理1.4的证明:
| ϕ ( w) − ϕ ( w0 ) |< ρ < ε ,
因此 z = ϕ (w)在D1内任一点连续。
定理1.3的证明:
注解：如果w=f(z)在区域D内单叶解析，那么根 据定理1.3，它把区域D双射成区域 D1 = f ( D) 于是f(z)有一个在D1内确定的反函数。 定理1.4设函数f(z)在区域D内单叶解析，并且 D1=f(D)那么w=f(z)有一个在D1 内单叶解析的反 函数， z = ϕ (w) 并且如果 w0 ∈ D1 , z0 = ϕ ( w0 ) ，那么 1 ϕ ' ( w0 ) = . f ' ( z0 )
导数的几何意义:
因此这两个三角形近似地是相似形。此外 ，w=f(z)还把z平面上半径充分小的圆 | z − z0 |= ρ 近似地映射成圆
| w − w0 |=| f ' ( z0 ) | ρ (0 < ρ < +∞),
所以，我们把单叶解析函数所确定的映射 称为保形映射或映照，或称为共形映射或 保角映射。它在每一点保角，并且在每一 点具有一定的伸缩率。
导数幅角的几何意义:
作通过曲线C上之点z0=z(t0)及z1=z(t1)的割 z1 − z0 线，由于割线的方向与向量 t1 − t0 的方向一致，可以看出：只要当z1趋近于z0时 z1 − z0 z1 − z0 向量 与实轴的夹角 arg 连续变动趋 t1 − t0 t1 − t0 近于极限， 那么当t1趋近于t0时，割线确有极限位置，即为 曲线C在z=z0的切线的位置。
导数模的几何意义:
导数的几何意义:
现在用几何直观来说明单叶解析函数 所作映射的意义。设w=f(z)是在区域D内解 析的函数， z0 ∈ D, w0 = f ( z0 ), z0 ∈ D, f ' ( z0 ) ≠ 0 那么w=f(z)把z0 的一个邻域内任一小三角形 映射成w平面上含z0 的一个区域内的曲边三 角形。 这两个三角形的对应角相等，对应边近似成 比例。
y
C' z0
v
Γ1
C w0
ϕ1 − ϕ0
Γ
θ0
θ1 − θ 0
θ1
x
ϕ0
ϕ1
u
导数模的几何意义:
上面是对单叶解析函数的导数的幅角所作 的几何解释，下面再说明它的模的几何意义。 根据假设，我们有 | f ( z ) − f ( z0 ) | | f ' ( z0 ) |= lim , z → z0 | z − z0 | | f ( z ) − f ( z0 ) | 由于 | f ' ( z0 ) | 是比值 的极限， | z − z0 | 它可以近似地表示这种比值。在w=f(z)所作映射 下，|z-z0|及|f(z) -f(z0)|分别表示z平面上向量 z-z0及w平面上向量 f ( z ) − f ( z0 )
引理1.1:
那么f(z)-w0 在z0 有p阶零点，并且对充分小的正 数 ρ ，存在着一个正数 µ ，使得 0 <| w − w0 |< µ
f ( z ) − w0 在 0 <| z − z |< ρ 内有p个一阶零点。 0