新高考理科数学考前三十天集训--计算题专训(十三)
高考数学 考前30天能力提升特训30 文 试题
智才艺州攀枝花市创界学校考前30天才能提升特训1．向量v＝(n∈N*)，假设v是y＝2x的方向向量，a1＝1，那么前3项和为()A.5B.C.D.32．等差数列，的前n项和分别为S n，T n，假设＝，那么等于()A.B.C.D.3．设数列为等差数列，其前n项和为S n，a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，假设对任意的n∈N*，都有S n≤S k 成立，那么k的值是()A.22B.20C.21D.194．S n是数列{a n}的前n项和，那么“数列{a n}为常数列〞是“数列{S n}为等差数列〞的________条件．5．{a n}为等比数列，其前n项积为b n，首项a1＞1，a2021·a2021＞1，(a2021－1)(a2021－1)＜0，那么使b n＞1成立的最大自然数n为________6.设是由正数组成的等差数列，S n是其前n项的和．(1)假设S n＝20，S2n＝40求S3n；(2)假设互不相等的正整数p，q，m，使得p＋q＝2m，证明不等式S p S q＜S成立1．B【解析】y＝2x的一个方向向量为n＝(1,2)，那么n∥v，于是a n＝2a n＋1.方法1：＝2×，那么是以2为公比的等比数列，故＝n－1，故a n＝n2n－1(n∈N*)．方法2：＝×，由累乘法得：a n＝××…××a1，于是a n＝××…×××1×n－1＝n2n－1，2．B【解析】由S2n－1＝(2n－1)a n，T2n－1＝(2n－1)b n，所以＝＝＝.3．B【解析】由a1＋a4＋a7＝3a4＝99知a4＝33，由a2＋a5＋a8＝3a5＝93知a5＝31，故的公差d＝31－33＝－2，于是a1＝39，a n＝41－2n，令a n＞0得n＜20.5，即在数列中，前20项均为正值，自第21项起以后各项均为负，因此k＝20.故a1＋a2＋a3＝1＋2＋＝.4．充分不必要【解析】假设数列{a n}为常数列，那么a n＝a1(n∈N*)，S n＝na1，显然数列{S n}为等差数列．假设数列{S n}为等差数列，设S n＝An＋B(A≠0)，那么a1＝A＋B，n≥2时a n＝S n－S n－1＝A，显然B≠0时，{a n}不是常数列．5．4014【解析】由条件知a2021＞1，a2021＜1，且数列各项均为正，公比0＜qb2n＝(a1a2n)n，b n＝(a1a n)，所以b4014＝(a1a4014)＝(a2007a2021)＞1，b4015＝(a1a4015)＝(a2021)4015＜1，故使b n＞1成立的最大自然数n为4014.6．【解答】(1)因为在等差数列中，S n，S2n－S n，S3n－S2n成等差数列，所以S n＋(S3n－S2n)＝2(S2n－S n)，所以S3n＝3S2n－3S n＝60.(2)证明：S p S q＝pq(a1＋a p)(a1＋a q)＝pq＝pq(a＋2a1a m＋a p a q)＜2＝m2(a＋2a1a m＋a)＝＝S.即S p S q＜S.。
高考理科数学考前30天--计算题专训(一)
高考理科数学考前30天--计算题专训（一）17．已知的前项和．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）当时，， 当时，适合上式，．（2）解：令，所以， ，两式相减得： ，故．18．在中，内角A 、B 、C 所对的边长分别是a 、b 、c ，已知，． （1）求的值；（2）若，D 为AB 边上的点，且，求CD 的长．{}n a n 24n S n n =-{}n a 72n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 52n a n =-1362n n n T -+=-2n ≥()()221441152n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦1n =113a S ==52n a n ∴=-17122n n n n a n b --+==23213451222222nn n n n T --+=++++⋅⋅⋅++23112341222222n n n n n T -+=+++⋅⋅⋅++2111111111322131222222212nn n n n n n n n T -⎛⎫- ⎪+++⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-=+-=--1362n n n T -+=-ABC △sin cos a B b A =3cos 5B =cos C 15a =2AD BD =【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由得：，A 、B 、C 是的内角，，因此，，故． 由得：．又；也就是．（2）解：由得：， 由正弦定理得：，，在中，，． 19．如图是某直三棱柱被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，M 是BD 的中点，，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．1013CD =sin cos a B b A =sin sin sin cos A B B A =ABC △sin 0B ∴≠tan 1A =π4A =3cos 5B=4sin 5B ==()()cos cos πcos C A B A B =-+=-+⎡⎤⎣⎦ππcos cos cos sin sin 4410C B B =-+=cos 10C=sin 10C ==15πsin 4=21c ⇒=2143BD c ∴==ABC △22231514215141695CD =+-⨯⨯⨯=13CD ∴=12AE CD =（1）求证：平面； （2）求出该几何体的体积． 【答案】（1）见解析；（2）4．【解析】（1）为的中点，取中点，连接、、；则，且，且， 故四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面． （2）解：由己知，，，，且，平面，，又，平面， 是四棱锥的高，梯形的面积，，即所求几何体的体积为4．20．动点到定点的距离比它到直线的距离小1，设动点的轨迹为曲线C ，过点F 的直线交曲线C 于A 、B 两个不同的点，过点A 、B 分别作曲线C 的切线，且二者相交于点M ．//EM ABC M DB BC G EM MG AG //MG DC 12MG DC =//MG AE ∴MG AE =AGME //EM AG ∴AG ⊂ABC EM ⊄ABC //EM ∴ABC 2AE =4DC =AB AC ⊥2AB AC ==EA ⊥ABC EA AB ∴⊥AB AC ⊥AB ∴⊥ACDE AB ∴B ACDE -ACDE ()()242622AE DC S AC ++⨯=⨯==143B ACDE V S AB -∴=⨯=P ()0,1F 2y =-P（1）求曲线C 的方程； （2）求证：； （3）求△ABM 的面积的最小值．【答案】（1）；（2）见解析；（3）4．【解析】（1）由已知，动点在直线上方，条件可转化为动点到定点的距离等于它到直线距离，动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，故其方程为．（2）证：设直线的方程为：，由得：，设，，则，．由得：， ，直线的方程为：···①， 直线的方程为：···②， ①－②得：，即， 将代入①得：， ，故，，， ，．10AB MF ⋅=24x y =P 2y =-P ()0,1F 1y =-∴P ()0,1F 1y =-24x y =AB 1y kx =+241x yy kx ⎧=⎨=+⎩2440x kx --=(),A A A x y (),B B B x y 4A B x x k +=4A B x x ⋅=-24x y =214y x =12y x '∴=∴AM ()21214A A A x x y x x =--BM ()21214B B B x x y x x =--()()()2222112142B A A B B A x x x x x x x -=-+-22A B x x x k +==2A Bx x x +=22114214124B A A A A B A x x x x x x x y -⎛⎫==- ⎪⎝⎭-114A B x y x =∴=-()2,1M k -()2,2MF k ∴=-()(),B A B A AB x x k x x =--()()220B A B A AB MF k x x k x x ∴⋅=--=+-AB MF ∴⊥（3）解：由（2）知，点到的距离，，，当时，的面积有最小值4． 21．已知函数（m 、n 为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线方程是． （1）求m 、n 的值； （2）求的最大值；（3）设（其中为的导函数），证明：对任意，都有．（注：）【答案】（1），；（2）；（3）见解析． 【解析】（1）由，得，由已知得，解得．又，，．（2）解：由（1）得：， 当时，，，所以；MAB d MF ==()22444A B A B AB AF BF y y k x x k =+=++=++=+()()3222114141422S AB d k k ∴=⋅=⨯+⨯=+≥∴0k =ABM △()ln exm x nf x +=e 2.71828=⋅⋅⋅()yf x =()()1,1f 2ey =()f x ()()()e ln 12x x g x f x +'=⋅()f x '()f x 0x >()21e g x -<+()1ln 11x x '+=⎡⎤⎣⎦+2n =2m =()max 2ef x =()ln e x m x n f x +=()()ln 0exm nx mx xf x x x --'=>()10em nf -'==m n =()21e e n f ==2n ∴=2m =()()21ln exx x x f x x --'=()0,1x ∈10x ->ln 0x x ->1ln 0x x x -->当时，，，所以， ∴当时，；当时，，的单调递增区间是，单调递减区间是，时，． （3）证明：．对任意，等价于，令，则，由得：， ∴当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以的最大值为，即．设，则， ∴当时，单调递增，，故当时，，即，，∴对任意，都有．()1,x ∈+∞10x -<ln 0x x -<1ln 0x x x --<()0,1x ∈()0f x '>()1,x ∈+∞()0f x '<()f x ∴()0,1()1,+∞1x ∴=()max 2ef x =()()()()()()e ln 11ln ln 102x x x x x xg x f x x x+--+'=⋅=>0x >()21e g x -<+()()21e 1ln ln 1x x x x x -+--<+()()1ln 0p x x x x x =-->()ln 2p x x '=--()ln 20p x x '=--=2e x -=()20,ex -∈()0p x '>()p x ()2e ,x -∈+∞()0p x '<()p x ()p x ()22e1ep --=+21ln 1e x x x ---+≤()()ln 1q x x x =-+()01xq x x '=>+()0,x ∈+∞()q x ()()00q x q >=()0,x ∈+∞()()ln 10q x x x =-+>()1ln 1xx >+()()221e 1ln 1e ln 1x x x x x --+∴--+<+≤0x >()21e g x -<+。
2019年高考理科数学考前30天--计算题专训(一)
2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（一）17．已知的前项和．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）当时，， 当时，适合上式，．（2）解：令，所以， ，两式相减得： ，故． 18．在中，内角A 、B 、C 所对的边长分别是a 、b 、c ，已知，． （1）求的值；（2）若，D 为AB 边上的点，且，求CD 的长．{}n a n 24n S n n =-{}n a 72n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 52n a n =-1362n n n T -+=-2n ≥()()221441152n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦1n =113a S ==52n a n ∴=-17122n n n n a n b --+==23213451222222nn n n n T --+=++++⋅⋅⋅++23112341222222n n n n n T -+=+++⋅⋅⋅++2111111111322131222222212nn n n n n n n n T -⎛⎫- ⎪+++⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-=+-=--1362n n n T -+=-ABC △sin cos a B b A =3cos 5B =cos C 15a =2AD BD =【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由得：，A 、B 、C 是的内角，，因此，，故． 由得：．又；也就是．（2）解：由得：， 由正弦定理得：，，在中，，． 19．如图是某直三棱柱被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，M 是BD 的中点，，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．1013CD =sin cos a B b A =sin sin sin cos A B B A =Q ABC △sin 0B ∴≠tan 1A =π4A =3cos 5B=4sin 5B ==()()cos cos πcos C A B A B =-+=-+⎡⎤⎣⎦ππcos cos cos sin sin 4410C B B =-+=cos 10C=sin 10C ==15πsin 4=21c ⇒=2143BD c ∴==ABC △22231514215141695CD =+-⨯⨯⨯=13CD ∴=12AE CD =（1）求证：平面； （2）求出该几何体的体积． 【答案】（1）见解析；（2）4．【解析】（1）为的中点，取中点，连接、、；则，且，且， 故四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面． （2）解：由己知，，，，且，平面，，又，平面， 是四棱锥的高，梯形的面积，，即所求几何体的体积为4．20．动点到定点的距离比它到直线的距离小1，设动点的轨迹为曲线C ，过点F 的直线交曲线C 于A 、B 两个不同的点，过点A 、B 分别作曲线C 的切线，且二者相交于点M ．//EM ABC M Q DB BC G EM MG AG //MG DC 12MG DC =//MG AE ∴MG AE =AGME //EM AG ∴AG ⊂ABC EM ⊄ABC //EM ∴ABC 2AE =4DC =AB AC ⊥2AB AC ==EA ⊥Q ABC EA AB ∴⊥AB AC ⊥AB ∴⊥ACDE AB ∴B ACDE -ACDE ()()242622AE DC S AC ++⨯=⨯==143B ACDE V S AB -∴=⨯=P ()0,1F 2y =-P（1）求曲线C 的方程；（2）求证：；（3）求△ABM 的面积的最小值．【答案】（1）；（2）见解析；（3）4．【解析】（1）由已知，动点在直线上方，条件可转化为动点到定点的距离等于它到直线距离，动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，故其方程为．（2）证：设直线的方程为：，由得：，设，，则，．由得：， ，直线的方程为：···①， 直线的方程为：···②， ①－②得：，即， 将代入①得：， ，故，，，，．10AB MF ⋅=u u u r u u u r24x y =P 2y =-P ()0,1F 1y =-∴P ()0,1F 1y =-24x y =AB 1y kx =+241x y y kx ⎧=⎨=+⎩2440x kx --=(),A A A x y (),B B B x y 4A B x x k +=4A B x x ⋅=-24x y =214y x =12y x '∴=∴AM ()21214A A A x x y x x =--BM ()21214B B B x x y x x =--()()()2222112142B A A B B A x x x x x x x -=-+-22A B x x x k +==2A Bx x x +=22114214124B A A A A B A x x x x x x x y -⎛⎫==- ⎪⎝⎭-114A B x y x =∴=-()2,1M k -()2,2MF k ∴=-u u u r ()(),B A B A AB x x k x x =--u u u r ()()220B A B A AB MF k x x k x x ∴⋅=--=+-u u u r u u u r AB MF ∴⊥u u u r u u u r（3）解：由（2）知，点到的距离，，当时，的面积有最小值4． 21．已知函数（m 、n 为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线方程是． （1）求m 、n 的值； （2）求的最大值；（3）设（其中为的导函数），证明：对任意，都有．（注：）【答案】（1），；（2）；（3）见解析． 【解析】（1）由，得，由已知得，解得．又，，． （2）解：由（1）得：， 当时，，，所以；M AB d MF ==()22444A B A B AB AF BF y y k x x k =+=++=++=+Q ()()3222114141422S AB d k k ∴=⋅=⨯+⨯=+≥∴0k =ABM △()ln exm x nf x +=e 2.71828=⋅⋅⋅()yf x =()()1,1f 2ey =()f x ()()()e ln 12x x g x f x +'=⋅()f x '()f x 0x >()21e g x -<+()1ln 11x x '+=⎡⎤⎣⎦+2n =2m =()max 2ef x =()ln e x m x n f x +=()()ln 0exm nx mx xf x x x --'=>()10e m n f -'==m n =()21e en f ==2n ∴=2m =()()21ln exx x x f x x --'=()0,1x ∈10x ->ln 0x x ->1ln 0x x x -->当时，，，所以， ∴当时，；当时，，的单调递增区间是，单调递减区间是，时，． （3）证明：．对任意，等价于，令，则，由得：， ∴当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以的最大值为，即．设，则， ∴当时，单调递增，，故当时，，即，，∴对任意，都有．()1,x ∈+∞10x -<ln 0x x -<1ln 0x x x --<()0,1x ∈()0f x '>()1,x ∈+∞()0f x '<()f x ∴()0,1()1,+∞1x ∴=()max 2ef x =()()()()()()e ln 11ln ln 102x x x x x xg x f x x x+--+'=⋅=>0x >()21e g x -<+()()21e 1ln ln 1x x x x x -+--<+()()1ln 0p x x x x x =-->()ln 2p x x '=--()ln 20p x x '=--=2e x -=()20,ex -∈()0p x '>()p x ()2e ,x -∈+∞()0p x '<()p x ()p x ()22e1ep --=+21ln 1e x x x ---+≤()()ln 1q x x x =-+()01xq x x '=>+()0,x ∈+∞()q x ()()00q x q >=()0,x ∈+∞()()ln 10q x x x =-+>()1ln 1xx >+()()221e 1ln 1e ln 1x x x x x --+∴--+<+≤0x >()21e g x -<+。
高考理科数学考前30天--计算题专训(十二)
2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（十二）17．（本小题满分12分）设数列{}n a ()123n ⋯＝，，，的前n 项和n S 满足12n n S a a =-，且1a ，21a +，3a 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{1}n a +的前n 项和．【答案】（1）由已知12n n S a a =-，有()11222n n n n n a S S a a n -=-=--≥， 即()122n n a a n -=≥，从而212a a =，32124a a a ==， 又因为1a ，21a +，3a 成等差数列，即13221()a a a +=+， 所以111421)2(a a a +=+，解得12a =，所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，故2n n a =． （2）设{}1n a +的前n 项和为n T ，则1122(12)()2212n n n n T a a a n n n +-=++++=+=-+-．18．（本小题满分12分）已知()23cos sin 32f x x x x =+． （1）求()f x 的单调增区间；（2）在ABC △中，A 为锐角且()32f A =，BC 边上的中线3AD =，3AB =求sin BAD ∠．【答案】（1）由题可知()()133sin 21cos 2sin 22223f x x x x π⎛⎫=-++=- ⎪⎝⎭，令222232k x k ππππ--π+≤≤，k ∈Z ，即函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．（2）由()3f A =3sin 232A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得3A π=或2A π=（舍）， 以AB 、AC 为邻边作平行四边形ABEC ，因为3AD =， 所以6AE =，在ABE △中，3AB =120ABE ∠=︒，33=1sin 4AEB ∠=且15cos 4AEB ∠=， 因此31511351sin sin 324BAD AEB π-⎛⎫∠=-∠=-=⎪⎝⎭． 19．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=()0a b ＞＞的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上一点（在x 轴上方），连结1PF 并延长交椭圆于另一点Q ，设11PF FQ λ=． （1）若点P 的坐标为3(1,)2，且2PQF △的周长为8，求椭圆C 的方程；（2）若2PF 垂直于x 轴，且椭圆C 的离心率12,2e ∈⎡⎢⎣，求实数λ的取值范围．【答案】（1）因为1F ，2F 为椭圆C 的两焦点，且P ，Q 为椭圆上的点， 所以12122PF PF QF QF a +=+=，从而2PQF △的周长为4a ． 由题意，得48a =，解得2a =．因为点P 的坐标为31,2⎛⎫⎪⎝⎭，所以221914a b+=，解得23b =． 所以椭圆C 的方程为22=143x y +．（2）因为2PF x ⊥轴，且P 在x 轴上方，故设0P c y （，），00y ＞．设11Q x y （，）．因为P 在椭圆上，所以220221y c a b+=，解得20b y a =，即2(,)b P c a ．因为10F c -（，），所以1PF 2(2,)b c a=--，1FQ ()11x c y =+，． 由11PF FQ λ=，得12c x c λ-=+（），21b y aλ-=， 解得12x c λλ+=-，21b y a λ=-，所以22(,)b c Q aλλλ+--． 因为点Q 在椭圆上，所以2222221b e a λλλ+⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()()222221e e λλ++－＝，()22243-1e λλλ++＝．因为10λ+≠，所以()231e λλ+＝－，从而222314=311e e e λ+=---． 因为12,22e ⎡∈⎢⎣⎦，所以21142e ≤≤，即753λ≤≤．所以λ的取值范围是7,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦．20．（本小题满分12分）设函数()22( )0f x a x a =＞，()ln g x b x =．（1）若函数() y f x =图象上的点到直线30x y --=距离的最小值为22a 的值；（2）对于函数() f x 与()g x 定义域上的任意实数x ，若存在常数k ，m ，使得() f x kx m +≥和()g x kx m +≤都成立，则称直线y kx m =+为函数() f x 与()g x 的“分界线”．设2a eb ＝，试探究() f x 与()g x 是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）因为()22f x a x =，所以()22f x a x '=， 令()221f x a x '==，得212x a =，此时214y a =，则点2211,24a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线30x y --=的距离为22即221132422a a --=，解得714a =（负值舍去）．（2）设()()()()21eln 02F x f x g x x x x =-=->， 则()(2e e e e x x x F x x x x x+-'=-==． 所以当0e x <<时，()0F x '＜；当e x >()0F x '>． 因此e x =()F x 取得最小值0，则()f x 与()g x 的图象在e x =e e,2⎫⎪⎭．设()f x 与()g x 存在“分界线”，方程为(e e 2y k x -=，即ee 2y kx =+- 由()ee 2f x kx +-≥在x ∈R 上恒成立，则22e +2e 0x kx --≥在x ∈R 上恒成立．所以()(222442e e 48e 4e =4e 0k k k ∆=-=--≤成立，因此e k = 下面证明()()e e 02g x x x ->≤恒成立．设()e eln e 2G x x x =-，则()e e(e )e x G x x -'=．所以当0e x <<时，()0G x '>；当e x >()0G x '<． 因此e x =()G x 取得最大值0， 则()()e e 02g x x x ->≤成立．故所求“分界线”方程为e e 2y x =-．21．（本小题满分12分）已知函数()21ln 2f x x ax x =-+，a ∈R ．（1）令()()()1g x f x ax =--，讨论()g x 的单调区间；（2）若2a =-，正实数1x ，2x 满足()()12120f x f x x x ++=，证明1251x x -+．【答案】（1）()()()211ln 12g x f x ax x ax x ax =--=-+--， 所以()()211ax a x g x x-+-+'=，当0a ≤时，因为0x >，所以()0g x >，即()g x 在()0,+∞单调递增，当0a >时，()()11a x x a g x x⎛⎫--+ ⎪⎝⎭'=，令()0g x '=，得1x a =，所以当10,x a⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以当1,x a⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减，综上，当0a ≤时，函数单调递增区间为()0,+∞，无递减区间；当0a >时，函数单调递增区间为10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）当2a =-时，()2ln f x x x x =++，0x >，由()()12120f x f x x x ++=可得2212112212ln 0x x x x x x x x +++++= 即()()212121212ln x x x x x x x x +++=-， 令12t x x =，()ln t t t ϕ=-，则()111t t ttϕ-'=-=， 则()t ϕ在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增， 所以()()11t ϕϕ=≥，所以()()212121x x x x +++≥，又120x x +>，故1251x x -+．。
江西新高考数学理科二轮复习作业精练精析专题限时集训(十三)(含答案详析)
专题限时集训(十三)[第13讲 空间向量与立体几何](时间：45分钟)1．直线l 1的方向向量s 1＝(1，02s 2＝(－1，2，2)，则直线l 1，l 2所成角的余弦值是( )A.53 B ．－53 C.23 D ．－232．平面α，β的法向量分别是n 1＝(1，1，1)，n 2＝(－1，0，－1)，则平面α，β所成锐二面角的余弦值是( )A.33 B ．－33 C.63 D ．－633．已知A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，1)，则平面ABC 的单位法向量是( )A ．±(1，1，1)B ．±22，22，22C ．±33，33，33D ．±33，－33，334．对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ，y ，z ∈R )，则x ＝2，y ＝－3，z ＝2是P ，A ，B ，C 四点共面的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件 D5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 111DE 与AC 所成的角的余弦值为( )A.120B.1010C ．－1010D ．－1206．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值等于( )A.64B.104C.22D.327．若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是( ) A ．a ，a ＋b ，a －b B ．b ，a ＋b ，a －b C ．c ，a ＋b ，a －b D ．a ＋b ，a －b ，a ＋2b8．已知三棱锥P －ABC 中，PB ⊥平面ABC ，∠ABC ＝60°，PB ＝AB ＝BC ＝6，则二面角C －P A －B 的平面角的余弦值是________．9．在底面是直角梯形的四棱锥S －ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，则平面SCD 与平面SBA 所成锐二面角的余弦值是________．10．如图X13－1所示，在空间直角坐标系中有棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，点M 是线段DC 1上的动点，则点________．11．如图X13－2所示，四边形ABCD 是正方形，PD ∥MA ，MA ⊥AD ，PM ⊥平面CDM ，MA ＝12PD .(1)求证：平面ABCD ⊥平面AMPD ；(2)若BC 与PM 所成的角为45C 的余弦值．12．如图X13－3所示，四边形ABCD 是梯形，AB ∥CD ，AD ⊥CD ，三角形ADE 是等边三角形，且平面ABCD ⊥平面ADE ，EF ∥AB ，CD ＝2AB ＝2AD ＝2EF ＝4，CG →＝23CF →.(1)求证：AF ∥平面BDG ；(2)求二面角C －BD －G13．如图X13－4(1)所示，△ABC 是正三角形，△ABD 是等腰直角三角形，AB ＝BD ＝2，将△ABD 沿边AB 折起，使得△ABD 与△ABC 成30°的二面角D －AB －C ，如图X13－4(2)所示．(1)求CD 与面ABC 所成的角正弦值的大小；(2)对于AD 上任意点H ，CHX13－414．如图X13－5所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 在棱AB 上．(1)求异面直线D 1E 与A 1D 所成的角；(2)若二面角D 1－EC －D 的大小为45°，求点B 到平面D 1EC 的距离．15．在如图X13－6所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，∠DAB ＝60°，AD ＝2，AM ＝1，E 是AB 的中点．(1)求证：AN ∥平面MEC ；(2)在线段AM 上是否存在点P ，使二面角P －EC －D 的大小为π6？若存在，求出AP 的长h ；若不存在，请说明理由．专题限时集训(十三) 1．A [解析] cos 〈s 1，s 2〉＝s 1·s 2|s 1|·|s 2|＝－53 5＝－53，故直线l 1，l 2所成角的余弦值是53.2．C [解析] cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－23·2＝－63，故平面α，β所成锐二面角的余弦值是63.3．C [解析] 不难求出其一个法向量是(1，1，1)，单位化得±⎝⎛⎭⎫33，33，33. 4．B [解析] 当x ＝2，y ＝－3，z ＝2时，即OP →＝2OA →－3OB →＋2OC →，则AP →－AO →＝2OA →－3(AB →－AO →)＋2(AC →－AO →)，即AP →＝－3AB →＋2AC →，根据共面向量定理，P ，A ，B ，C 四点共面；反之当P ，A ，B ，C 四点共面时，根据共面向量定理AP →＝mAB →＋nAC →，即OP →－OA →＝m (OB →－OA →)＋n (OC →－OA →)，即OP →＝(1－m －n )OA →＋mOB →＋nOC →，即x ＝1－m －n ，y ＝m ，z ＝n ，这组数显然不止2，－3，2.故是充分不必要条件．正确选项为B.5．B [解析] 设正方体棱长为1，以D 为原点建立空间直角坐标系如图所示，则D (0，0，0)，E ⎝⎛⎭⎫0，12，1，A (1，0，0)，C (0，1，0)，所以DE →＝⎝⎛⎭⎫0，12，1，AC →＝(－1，1，0)，则 cos 〈DE →，AC →〉＝DE →·AC →|DE →|·|AC →|＝1214＋1·2＝1010，则异面直线DE 与AC 所成的角的余弦值为1010，选B.6．A [解析] 设正三棱柱所有棱长均为a ，以C 为顶点，CA 为x 轴，CC 1为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (a ，0，0)，B 1⎝⎛⎭⎫12a ，32a ，a ，所以AB 1→＝⎝⎛⎭⎫－12a ，32a ，a ，侧面ACC 1A 1的一个法向量为n ＝(0，1，0)，设AB 1与侧面ACC 1A 1所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，AB 1→〉|＝|n ·AB 1→||n |·|AB 1→|＝32a a 24＋3a 24＋a2＝64，故选A.7．C [解析] 对于实数λ，μa ，b 是共面向量．因为a ＝12(a ＋b )＋12(a －b )，故选项A 中的三个向量共面；因为b ＝12(a ＋b )－12(a －b )，故选项B 中的三个向量共面；因为a ＋2b ＝32(a ＋b )－12(a －b )，故选项D 中的三个向量共面．对于选项C ，假设c ＝λ(a ＋b )＋μ(a －b )，则(λ＋μ)a ＋(λ－μ)b －c ＝0，由于{a ，b ，c }为空间的一个基底，故a ，b ，c 不共面，所以(λ＋μ)a ＋(λ－μ)b －c ＝0⇔λ＋μ＝0，λ－μ＝0，－1＝0，这显然是不可能成立的，故选项C 中的三个向量是不共面的，正确选项为C.8.77[解析] 以B 为原点，BA 为x 轴，BP 为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A (6，0，0)，P (0，0，6)，C (3，3 3，0)，所以AP →＝(－6，0，6)，AC →＝(－3，3 3，0)，平面BAP 的一个法向量为m 1＝(0，1，0)，设平面CAP 的一个法向量为m 2＝(x ，y ，z )，则m 2⊥AP →，m 2⊥AC →，所以⎩⎨⎧－6x ＋6z ＝0，－3x ＋3 3y ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧z ＝x ，y ＝33x ，可取m 2＝(3，1，3)．设二面角C －P A －B 的一个平面角为α，则cos α＝|cos 〈m 1，m 2〉|＝|m 1·m 2||m 1||m 2|＝13＋1＋3＝77，所以二面角C －P A －B 的平面角的余弦值是77.9.63[解析] 如图所示建立空间直角坐标系，则依题意可知D ⎝⎛⎭⎫12，0，0，C (1，1，0)，S (0，0，1)，可知AD →＝⎝⎛⎭⎫12，0，0是面SAB 的法向量． 设平面SCD 的法向量n ＝(x ，y ，z )．∵SD ＝⎝⎛⎭⎫12，0，－1，DC →＝⎝⎛⎭⎫12，1，0，∴n ·SD →＝0，n ·DC →＝0，可推出x 2－z ＝0，x 2＋y ＝0，令x ＝2，则有y ＝－1，z ＝1，所以n ＝(2，－1，1)．设平面SCD 与平面SBA 所成的锐二面角为θ，则cos θ＝|AD →·n ||AD →||n |＝12×2＋0×（－1）＋0×1⎝⎛⎭⎫122·22＋12＋12＝63. 10.33a [解析] 设M (0，m ，m )(0≤m ≤a )，AD 1→＝(－a ，0，a )，直线AD 1的一个单位方向向量s ＝⎝⎛⎭⎫－22，0，22，由MD 1→＝(0，－m ，a －m )，故点M 到直线AD 1的距离d ＝错误!＝m 2＋（a －m ）2－12（a －m ）2＝32m 2－am ＋12a 2，根式内的二次函数当m ＝－－a 2×32＝a 3时，取最小值32×⎝⎛⎭⎫a 32－a ×a 3＋12a 2＝13a 2，故d 的最小值为33a .11．解：(1)证明：∵PM ⊥平面CDM ，且CD 平面CDM ， ∴PM ⊥CD ，又ABCD 是正方形，∴CD ⊥AD ，又PM 平面AMPD ，AD 平面AMPD ， 而梯形AMPD 中PM 与AD 不平行且不共线，∴CD ⊥平面AMPD ， 又CD 平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面AMPD . (2)∵CD ⊥平面AMPD ，则CD ⊥PD ，CD ⊥AD . 又PD ∥MA ，MA ⊥AD ，∴PD ⊥AD .以点D 为原点，DA ，DP ，DC 依次为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，不妨设MA ＝12PD ＝1，AD ＝a ，则A (a ，0，0)，M (a ，1，0)，B (a ，0，a )，C (0，0，a )，P (0，2，0)， ∴PM →＝(a ，－1，0)，BC →＝(－a ，0，0)，由BC 与PM 所成的角为45°，得|cos 〈PM →，BC →〉|＝a 2a 2＋1·|a |＝22，解得a ＝1，∴BP →＝(－1，2，－1)，PM →＝(1，－1，0)，求得平面MBP 的一个法向量是n 1＝(1，1，1)；BC →＝(－1，0，0)，BP →＝(－1，2，－1)，求得平面CBP 的一个法向量是n 2＝(0，1，2)．则cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝1＋23·5＝155，结合图形知，二面角M －BP －C 的余弦值为－155.12．解：(1)证明：联结AC 交∵AB CD ＝12，∴AH CH ＝12，∴CH AC ＝23， ∴CH AH ＝CGGF＝2，∴GH ∥AF . ∵GH 平面BDG ，AF 平面BDG ，∴AF ∥平面BDG . (2)如图所示，建立空间直角坐标系，则B (2，2，0)，C (0，4，0)，F (1，2，3)，∴CG →＝23CF →＝⎝⎛⎭⎫23，－43，2 33，∴DG →＝DC →＋CG →＝(0，4，0)＋⎝⎛⎭⎫23，－43，2 33＝⎝⎛⎭⎫23，83，2 33.DB →＝(2，2，0)．设平面BDG 的法向量为n 1＝(x ，y ，1)，则⎩⎪⎨⎪⎧DB →·n 1＝0，DG →·n 1＝0，∴n 1＝⎝⎛⎭⎫33，－33，1.易知平面BDC 的一个法向量为n 2＝(0，0，1)，∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝153＝155.∴二面角C －BD －G 的余弦值为155.13．解：依题意，∠ABD ＝90°，建立如图的坐标系使得△ABC 在yOz 平面上，∵△ABD 与△ABC 成30°的二面角，∴∠DBy ＝30°.又∵AB ＝BD ＝2，∴A (0，0，2)，B (0，0，0)，C (0，3，1)，D (1，3，0)．(1)x 轴与面ABC 垂直，故向量(1，0，0)是面ABC 的一个法向量．设CD 与面ABC 成的角为θ，而CD →＝(1，0，－1)，∴sin θ＝|（1，0，0）·（1，0，－1）|12＋02＋02×12＋02＋（－1）2＝22. ∵θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴θ＝π4.(2)设AH →＝tAD →＝t (1，3，－2)＝(t ，3t ，－2t )， 则CH →＝CA →＋AH →＝(0，－3，1)＋(t ，3t ，－2t )＝(t ，3t －3，－2t ＋1)．若CH →⊥BA →，则(t ，3t －3，－2t ＋1)·(0，0，2)＝0，得t ＝12，此时CH →＝⎝⎛⎭⎫12，－32，0，而CH →·BD →＝12－32＝－1≠0，∴CH →和BD →不垂直，即CH 不可能同时垂直BD 和BA ，即CH 不与面ABD 垂直．14．解：方法一，(1)联结AD 1，由AD ＝AA 1＝1知四边形AA 1D 1D 是正方形，故AD 1⊥A 1D .∵AB ⊥平面AA 1D 1D ，∴AD 1是D 1E 在平面AA 1D 1D 内的射影，根据三垂线定理得A 1D ⊥D 1E ，则异面直线D 1E 与A 1D 所成的角为90°.(2)作DF ⊥CE ，垂足为F ，联结D 1F ，则CE ⊥D 1F ，∴∠DFD 1为二面角D 1－EC －D 的平面角，∠DFD 1＝45°，于是DF ＝DD 1＝1，D 1F ＝2，易得Rt △BCE ≌Rt △FDC ，所以CE ＝CD ＝2，又BC ＝1，所以BE ＝ 3.设点B 到平面D 1EC 的距离为h ，则由于VB －CED 1＝VD 1－BCE ，即13·12CE ·D 1F ·h ＝13·12BE ·BC ·DD 1， 因此有CE ·D 1F ·h ＝BE ·BC ·DD 1，即2 2h ＝3，可得h ＝64.方法二，如图所示，分别以DA ，DC ，DD 1为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系．(1)由A 1(1，0，1)，得DA 1→＝(1，0，1)．设E (1，a ，0)，又D 1(0，0，1)，则D 1E →＝(1，a ，－1)． ∵DA 1→·D 1E →＝1＋0－1＝0， ∴DA 1→⊥D 1E →，则异面直线D 1E 与A 1D 所成的角为90°.(2)m ＝(0，0，1)为平面DEC 的法向量，设n ＝(x ，y ，z )为平面CED 1的法向量，则|cos〈m ，n 〉|＝|m ·n||m||n|＝|z |x 2＋y 2＋z2＝cos 45°＝22，∴z 2＝x 2＋y 2，①由C (0，2，0)，得D 1C →＝(0，2，－1)，则n ⊥D 1C →，即n ·D 1C →＝0， ∴2y －z ＝0，②由①②，可取n ＝(3，1，2)，又CB →＝(1，0，0)，所以点B 到平面D 1EC 的距离d ＝|CB →·n||n |＝32 2＝64.15．解：(1)联结BN ，设CM 与BN 交于F ，联结EF . 由已知，MN ∥AD ∥BC ，MN ＝AD ＝BC ，故四边形BCNM 是平行四边形，F 是BN 的中点． 又因为E 是AB 的中点，所以AN ∥EF .因为EF 平面MEC ，AN 平面MEC ， 所以AN ∥平面MEC .(2)假设在线段AM 上存在点P ，使二面角P －EC －D 的大小为6.方法一：延长DA ，CE 交于点Q ，过A 作AH ⊥EQ 于Q ，联结PH .因为四边形ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ， 所以MA ⊥平面ABCD ，又EQ 平面ABCD ，所以MA ⊥EQ .又AH ∩MA ＝A ，所以EQ ⊥平面P AH ，所以EQ ⊥PH ，∠PHA 为二面角P －EC －D 的平面角．由题意知∠PHA ＝π6.在△QAE 中，AE ＝1，AQ ＝2，∠QAE ＝120°，则 EQ ＝12＋22－2×1×2cos 120°＝7，所以AH ＝AE ·AQ sin 120°EQ ＝37.又在Rt △P AH 中，∠PHA ＝π6，所以AP ＝AH ·tan π6＝37×33＝17＝77<1.所以在线段AM 上存在点P ，使二面角P －EC －D 的大小为π6，此时AP 的长为77.方法二：由于四边形ABCD 是菱形， E 是AB 的中点，∠DAB ＝60°，所以△ABD 为等边三角形，可得DE ⊥AB .又四边形ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ， 所以DN ⊥平面ABCD .如图建立空间直角坐标系则D (0，0，0)，E (3，0，， 得CE →＝(3，－2，0)，EP →＝(0，－1，h )． 设平面PEC 的法向量n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧CE →·n 1＝0，EP →·n 1＝0，得⎩⎨⎧3x －2y ＝0，－y ＋hz ＝0.令y ＝3h ，所以n 1＝(2h ，3h ，3)． 又平面ADE 的法向量n 2＝(0，0，1)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝32.即37h 2＋3＝32，解得h ＝77<1，所以在线段AM 上存在点P ，使二面角P －EC －D 的大小为π6，此时AP 的长为77.。
高考理科数学考前30天--计算题专训(十)
2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（十）17．（本小题满分12分）在ABC △中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且3cos 5B =，()sin cos cos sin 0A B c A B --⋅=． （1）求边b 的值；（2）求ABC △的周长的最大值．【答案】（1）由()s i n c o s c o s s i n 0AB A B --⋅=得sin cos cos sin sin A B A B c B +=． ∴sin sinC c B =，即sin sin C B c =． 由正弦定理得sin sin B C b c=，故1b =． （2）由余弦定理得，22262cos 15a cb ac B ac +=+=+．∴()22161611552a c a c ac +⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭≤，∴a c +所以当a c =时，ABC △1．18．（本小题满分12分）2018年全国数学奥赛试行改革：在高二一年中举行5次全区竞赛，学生如果其中2次成绩达全区前20名即可进入省队培训，不用参加其余的竞赛，而每个学生最多也只能参加5次竞赛．规定：若前4次竞赛成绩都没有达全区前20名，则第5次不能参加竞赛．假设某学生每次成绩达全区前20名的概率都是14，每次竞赛成绩达全区前20名与否互相独立． （1）求该学生进入省队的概率．（2）如果该学生进入省队或参加完5次竞赛就结束，记该学生参加竞赛的次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望．【答案】（1）记“该生进入省队”的事件为事件A ，其对立事件为A ，则()3414133381C 4444128P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∴()()814711128128P A P A =-=-=． （2）该生参加竞赛次数ξ的可能取值为2，3，4，5．()2112416P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()1213133C 44432P ξ==⨯⨯⨯=， ()2131314C 444P ξ⎛⎫==⨯⨯⨯+ ⎪⎝⎭43278127425625664⎛⎫=+= ⎪⎝⎭． ()31413275C 4464P ξ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭． 故ξ的分布列为：()123451632646464E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． 19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，2PA AB ==，过BD 作平面BDE 与直线PA 平行，交PC 于E ．（1）求证：E 为PC 的中点；（2）求二面角A ED B --的余弦值．【答案】（1）证明：连结AC ，设AC BD O =I ，连接OE ，则O 为AC 的中点，且面PAC I 面BDE OE =，∵PA ∥平面BDE ，∴PA OE ∥，∴E 为PC 的中点．（2）∵PA OE ∥，∴OE ⊥底面ABCD ，∴OE AC ⊥．又∵AC BD ⊥，OE BD O =I ，∴AC ⊥平面BED ．过点O 作ED 的垂线，交ED 于M ，连接AM ．∵OM ED ⊥，∴AM ED ⊥，∴AMO ∠为所求的平面角．OD OE ED OM ⋅=⋅，∴2OM =，又1OA =，∴2AM =．∴cos 7OM AMO AM ∠==，∴二面角A ED B --的余弦值为7． 20．（本小题满分12分）椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为()12,0F ，过1F 作圆222x y b +=的切线交y 轴于点Q ，切点N 为线段1F Q 的中点．（1）求椭圆的方程；（2）曲线2y x m =+与椭圆交于四点，若这四个点都在同一个圆上，求此圆的圆心坐标．【答案】（1）由已知得c =，且2c =，∴b =222236a b c b =+==．所以椭圆的方程为22162x y +=； （2）由曲线2y x m =+知曲线的图象关于y 轴对称， 又椭圆22162x y +=的图象也是关于y 轴对称，所以圆心在y 轴上， 设圆心为()0,M t ，曲线2y x m =+与椭圆在一、四象限交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则211y x m =+，222y x m =+． 把2x y m =-代入22162x y +=得2360y y m +--=，∴1213y y +=-，又由MA MB =得= 即()()22221221x x y t y t -=---=()()()()222112211222y y y y t x x y y t -+-=-+-， ∵12x x ≠，∴121213y y t +=-=-，∴13t =． 所以此圆的圆心坐标为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭． 21．（本小题满分12分）已知函数()()21ln 12f x a x x a x =+-+，其中1a <． （1）求函数()f x 的单调区间； （2）证明：对任意*n ∈N 时，()()1111ln 1ln 2ln 22n n n n+++>++L ． 【答案】（1）()()()()11x x a a f x x a x x--'=+-+=，0x >， ①若0a ≤，当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>．所以()f x 的单调递增区间为()1,+∞，单调递减区间为()0,1；②若01a <<，当1a x <<时，()0f x '<，当0x a <<或1x >时，()0f x '>， 所以()f x 的单调递增区间为()0,a ，()1,+∞，单调递减区间为(),1a ；（2）证明：当12a =-时，由（1）知()f x 在1x =处取得最小值， ∴()()10f x f =≥，即2111ln 0222x x x -+-≥， 当1x >时，恒有21111ln 1x x x x x>=---． ()()111ln 1ln 2ln 2n n n ∴+++++L 1111112n n n n >-+-+++++L 1111121222n n n n n-=-=-．。
高考数学考前30天三轮专题提分必练绝密之 一(课标理科专用)
专题限时集训(一)A[第1讲 集合与常用逻辑用语](时间：10分钟＋25分钟)2012二轮精品提分必练1．已知集合A ＝{－1,0，a }，B ＝{x |0<x <1}，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．{1}B ．(－∞，0)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)2．已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若N ∩∁I M ＝∅，则M ∪N ＝() A ．M B ．NC ．ID ．∅3．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知命题p ：∃n ∈N,2n >1000，则綈p 为( )A ．∀n ∈N,2n ≤1000B ．∀n ∈N,2n >1000C ．∃n ∈N,2n ≤1000D ．∃n ∈N,2n <10002012二轮精品提分必练1．设集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{a ，a 2}，则使M ∩N ＝N 成立的a 的值是( )A ．1B ．0C ．－1D ．1或－12．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |lg x ≤0}，B ＝{x |2x ≤1}，则∁U (A ∪B )＝( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)3．命题：“∀x ∈R ，cos2x ≤cos 2x ”的否定为( )A ．∀x ∈R ，cos2x >cos 2xB ．∃x ∈R ，cos2x >cos 2xC ．∀x ∈R ，cos2x <cos 2xD ．∃x ∈R ，cos2x ≤cos 2x4．设a ，b ∈R ，则f (x )＝x |sin x ＋a |－b 是奇函数的充要条件是( )A ．a 2＋b 2＝0B ．ab ＝0C.b a ＝0D ．a 2－b 2＝05．给出下列三个命题：①∀x ∈R ，x 2>0；②∃x 0∈R ，使得x 20≤x 0成立；③对于集合M ，N ，若x ∈M ∩N ，则x ∈M 且x ∈N .其中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．36．已知命题p ：抛物线y ＝2x 2的准线方程为y ＝－12；命题q ：若函数f (x ＋1)为偶函数，则f (x )关于直线x ＝1对称．则下列命题是真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨q7．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪46－x ∈N ，x ∈N ，则集合A 的子集的个数是________． 8．下列结论：①2∈{x |x ＝a ＋b 2，a ，b ∈Z }；②3∈{x |x ＝2＋a 3，a ∈R }；③i ∈{x |x ＝a ＋b i ，a ，b ∈C }；④1＋i ∉{x |x ＝a ＋b i ，a ，b ∈C }．其中正确的序号是________．专题限时集训(一)B[第1讲 集合与常用逻辑用语](时间：10分钟＋25分钟)2012二轮精品提分必练1．已知集合A ＝{x |x ≤3}，B ＝{x |x ≥a }且A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．(－∞，3]C ．[3，＋∞)D ．R2．设集合A ＝{x |x 2＋2x －8<0}，B ＝{x |x <1}，则图1－1中阴影部分表示的集合为( )2012二轮精品提分必练图1－1A ．{x |x ≥1}B ．{x |－4<x <2}C ．{x |－8<x <1}D ．{x |1≤x <2}3．设向量a ＝(1，x －1)，b ＝(x ＋1,3)，则“x ＝2”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知命题“函数f (x )和g (x )的定义域是R ，h (x )＝f (x )·g (x )，如果f (x )、g (x )均为奇函数，那么h (x )为偶函数”的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32012二轮精品提分必练1．已知集合A ＝{0,1}，B ＝{－1,0，a ＋3}，且A ⊆B ，则a 等于( )A ．1B ．0C ．－2D ．－32．已知集合A ＝{x |x ≥3}，B ＝{x |(x －2)(x －4)<0}，则A ∩B ＝( )A ．{x |x <2}B ．{x |3≤x <4}C ．{x |3≤x ≤4}D ．{x |x >4}3．已知集合M ＝{x |y ＝3x －1}，N ＝{x |y ＝log 2(x －2x 2)}，则∁R (M ∩N )＝( )A.⎝⎛⎭⎫13，12B.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C.⎣⎡⎦⎤0，12 D ．(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 4．“a <0且－1<b <0”是“a ＋ab <0”的( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件5．设p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在R 上单调递增；q ：m ≥8x x 2＋4对任意x >0恒成立，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．不等式1x－1<1的解集记为p，关于x的不等式x2＋(a－1)x－a>0的解集记为q，已知p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是()A．(－2，－1] B．[－2，－1]C．∅D．[－2，＋∞)7．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|kx－y－2≤0}，其中x，y∈R.若A⊆B，则实数k的取值范围是________．8．设X n＝{1,2,3，…，n}(n∈N*)，对X n的任意非空子集A，定义f(A)为A中的最大元素，当A取遍X n的所有非空子集时，对应的f(A)的和为S n，则S2＝________；S n＝________.2012二轮精品提分必练专题限时集训(一)A【基础演练】1．D【解析】由题意知A∩B＝{a}，故0<a<1.2．A【解析】结合维恩图(如图)可得当N∩∁I M＝∅时，N⊆M，所以M∪N＝M.2012二轮精品提分必练3．A【解析】当x≥2且y≥2时，一定有x2＋y2≥4；反过来当x2＋y2≥4，不一定有x≥2且y≥2，例如x＝－4，y＝0也可以，故选A.4．A 【解析】 特称命题的否定是全称命题，且结论的否定是2n ≤1000.【提升训练】1．C 【解析】 由集合的互异性得a 2≠a ，所以a ≠0或a ≠1，又M ∩N ＝N ，所以a ＝－1.2．B 【解析】 集合A ＝(0,1]，集合B ＝(－∞，0]，A ∪B ＝(－∞，1]，所以∁U (A ∪B )＝(1，＋∞)．3．B 【解析】 已知的命题是全称命题，其否定是特称命题．4．A 【解析】 由f (0)＝0得b ＝0，由f ⎝⎛⎭⎫－π2＝－f ⎝⎛⎭⎫π2得－π2|－1＋a |＝－π2|1＋a |，即|a －1|＝|a ＋1|，解得a ＝0.故a 2＋b 2＝0.5．C 【解析】 当x ＝0，x 2＝0，命题①不正确；x 2≤x 的解是0≤x ≤1，只要x 0∈[0,1]即可，命题②正确；根据交集的定义，命题③正确．6．D 【解析】 命题p 是假命题；而命题q ：由于函数f (x ＋1)是偶函数，这个函数图象关于y 轴对称，把这个函数图象向右平移一个单位即得函数f (x )的图象，故函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．所以命题q 是真命题，所以有p ∨q 为真．7．8 【解析】 由题意可知6－x 是4的正约数，所以6－x 可以是1,2,4；相应的x 为2,4,5，所以A ＝{2,4,5}，所以集合A 的子集的个数是8.8．①②③ 【解析】 令a ＝0，b ＝1，则a ＋b 2＝2，故2∈{x |x ＝a ＋b 2，a ，b∈Z }；令a ＝3－23，则2＋a 3＝3，故3∈{x |x ＝2＋a 3，a ∈R }；令a ＝0，b ＝1，则a ＋b i ＝i ，故i ∈{x |x ＝a ＋b i ，a ，b ∈C }；令a ＝1，b ＝1，则a ＋b i ＝1＋i ，故1＋i ∈{x |x ＝a ＋b i ，a ，b ∈C }．专题限时集训(一)B【基础演练】1．B 【解析】 结合数轴只需a ≤3即可．2．D 【解析】 由题图得阴影部分是A ∩(∁R B )．∵集合A ＝{x |－4<x <2}，∁R B ＝{x |x ≥1}，所以A ∩∁R B ＝{x |1≤x <2}．3．A 【解析】 当向量a ，b 平行时，x 满足1×3＝(x －1)(x ＋1)，解得x ＝±2.故“x ＝2”是“a ∥b ”的充分不必要条件．4．C 【解析】 由f (x )、g (x )均为奇函数可得h (x )＝f (x )·g (x )为偶函数，反之则不成立，如h (x )＝x 2－1是偶函数，但函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝x －1都不是奇函数，故逆命题不正确，故其否命题也不正确，即只有原命题和逆否命题正确．正确选项C.【提升训练】1．C 【解析】 因为A ⊆B ，所以a ＋3＝1，所以a ＝－2.2．B 【解析】 因为集合B ＝{x |2<x <4}，所以A ∩B ＝{x |3≤x <4}． 3．B 【解析】 集合M ，N 都是函数的定义域，其中M ＝⎣⎡⎭⎫13，＋∞，N ＝⎝⎛⎭⎫0，12，所以M ∩N ＝⎣⎡⎭⎫13，12，其在实数集合中补集∁R (M ∩N )＝⎝⎛⎭⎫－∞，13∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 4．C 【解析】 不等式－1<b <0，即0<b ＋1<1，根据不等式的性质，a (b ＋1)<0，即a ＋ab <0，条件是充分的；a ＋ab <0，即a (b ＋1)<0，则即可a >0，b ＋1<0，也可a <0，b ＋1>0，故条件不是必要的．5．B 【解析】 f (x )在R 上单调递增，则f ′(x )≥0在R 上恒成立，即3x 2＋4x ＋m ≥0对任意x 恒成立，故Δ≤0，即m ≥43；m ≥8x x 2＋4对任意x >0恒成立，即m ≥⎝⎛⎭⎫8x x 2＋4max ，8x x 2＋4＝8x ＋4x ≤824＝2，即m ≥2.当命题p 成立时命题q 不一定成立，即p 不是q 的充分条件，但如果命题p 不成立，即m <43时，命题q 一定不成立，即条件是必要的． 6．A 【解析】 不等式1x －1<1等价于1x －1－1<0，即x －2x －1>0，解得x >2或x <1；不等式x 2＋(a －1)x －a >0可以化为(x －1)(x ＋a )>0，当－a ≤1时，不等式的解集是x >1或x <－a ，此时a ＝－1，当－a >1时，不等式(x －1)(x ＋a )>0的解集是x <1或x >－a ，此时－a <2，即－2<a <－1.综合知－2<a ≤－1.7．[－3，3] 【解析】 根据集合的意义，集合A 可以看作坐标平面内的单位圆上的点，集合B 可以看作是坐标平面内的半平面上的点集，数形结合解决．方法1：本题的实质是圆x 2＋y 2＝1在直线kx －y －2＝0的上方，直线kx －y －2＝0是斜率为k ，在y 轴上的截距为－2的直线，根据图形可知k ∈[－3，3]．方法2：根据子集的定义，本题中A ⊆B 即集合A 中的任意一元素都在集合B 中，我们不妨设集合A 中的x ＝cos θ，y ＝sin θ，说明k cos θ－sin θ－2≤0对任意θ恒成立，即k 2＋1sin(θ＋φ)≤2对任意θ恒成立，即k 2＋1≤2恒成立，即－3≤k ≤ 3.8．5 (n －1)2n ＋1 【解析】 因为集合{1,2}的非空子集为{1}，{2}，{1,2}，所以S 2＝2×2＋1＝5.因为最大元素为n 的非空子集有2n －1个，最大元素为n －1的非空子集有2n －2个，…，最大元素为2的非空子集有2个，最大元素为1的非空子集有1个．所以S n ＝n ·2n －1＋(n －1)·2n －2＋…＋2×2＋1＝(n －1)2n ＋1.。
高考理科数学考前30天--计算题专训(十六)
2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（十六）17．（10分）的内角的对边分别为． （1）若面积的最大值；（2）若，求的值． 【答案】（1）面积的最大值为；（2）．【解析】试题分析：（1）有余弦定理易得，结合均值不等式得：，又，从而面积的最大值可得；（2）由正弦定理得，从而，又，故可求得的值． 试题解析：（1）由余弦定理得，即，所以， 因为，所以，即（当且仅当时，等号成立），所以，故．（2）由正弦定理得，，所以， 所以，所以，所以，故为锐角，ABC △,,A B C π,,,3a b c A =a =ABC △2ac =sin B ABC △48223b c bc =+-3bc ≤1sin 24ABC S bc A ==△ABC △sin sin 4c C A a ==cos 4C =πsin sin 3B C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin B 2222cos a b c bc A =+-223b c bc =+-223b c bc +=+222b c bc +≥32bc bc +≥3bc ≤b c =1sin 2ABC S bc A ==△ABC △sin sin a c A C =1πsin sin sin 23c C A a ===cos C =2a c =c a <C A <C所以， 所以 ． 18．（12分）已知正项数列的前项和为，满足．（1）求数列的通项公式；（2）设数列，求数列前项和的值． 【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）由推得，即，其中，故而得到数列的通项公式；（2）利用裂项相消法求和． 试题解析：（1）当时，即，解得，①②cos 4C =()()πππsin sin πsin sin sin cos cos sin 333B A C A C C C C ⎛⎫=-+=+=+=+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭12=+={}n a n n S ()2*122n n S a n ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N {}n a 1221n n n n n a a b a a +++={}n b n n T 12n a n =-221616441n nn n +++2122n n S a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()()1110n n n n a a a a --+--=11n n a a --=2n ≥{}n a 1n =211122S a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭112a =22112224n n n n n S a S a a ⎛⎫=+⇒=++ ⎪⎝⎭2111124n n n S a a ---⇒=++①－②：，所以，即，因为是正项数列，所以，即，其中，所以是以为首项，1为公差的等差数列，所以．（2）因为，所以，所以， 所以 ． 19．（12分）如图，在四棱锥中，四边形为梯形，，，为等边三角形，．22112n n n n n a a a a a --=-+-22110n n n n a a a a -----=()()1110n n n n a a a a --+--={}n a 11n n a a ---11n n a a --=2n ≥{}n a 12()111122n a n n =+-=-12n a n =-112n a n +=+222222221121122111111222222n n n n b n n n n n n ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()221142121n n ⎡⎤=-⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦()()1222222211111144413352121n n T b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-+⎢⎥⎣⎦()222116164144121n n n n n ⎡⎤+=-=⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦P ABCD -ABCD AB CD ∥12AD CD BC AB ===PAD △PA BD⊥（1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）二面角的余弦值为． 【解析】试题分析：（1）欲证面面垂直，即证线面垂直；（2）以为轴，为轴，过点与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标，平面的法向量，平面的法向量，从而得到二面角的余弦值． 试题解析：（1）如图取的中点，连接，依题意且， 所以四边形是平行四边形， 所以．因为是中点，所以，故， 所以为等边三角形，所以， 因为，所以， 所以平行四边形为菱形，所以，所以，即， 又已知，所以平面，平面，所以平面平面．PAD ⊥ABCD A PB C --A PB C --DA x DB y D ABCD z D xyz -PAB ()3,1,1n =PBC ()653,1,3,cos ,m m n =-=A PB C --AB E DE DC EB ∥DC EB =BCDE DE BC =E AB 12AE AB =AE AD DE ==ADE △60AED ∠=︒AB CD ∥60,EDC BC CD ∠=︒=BCDE 1302EDB EDC ∠=∠=︒90ADB ∠=︒BD AD ⊥PA BD ⊥BD ⊥PAD BD ⊂ABCD PAD ⊥ABCD（2）由（1）知，平面，平面平面，所以如图，以为轴，为轴，过点与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标．设，则，，所以， 所以． 设平面的法向量，则，令，则，所以．同理可得平面的法向量，所以，所以二面角的余弦值为． 20．（12分）为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的身体素质，学校对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为，其中第2小组的频数为12．BD ⊥PAD PAD ⊥ABCD DA x DB y D ABCD z D xyz -2AB=BD =1AD CD BC PA PD =====()()111,0,0,,,,,0,2222A B C P ⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭()13,0,,1,22PA AB ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭PAB (),,n x y z =1002200PA n x z AB n x ⎧⎧⋅=-=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪⎩-=⎩x =1,1y z ==()3,1,1n =PBC ()3,1,3m =-65cos ,m n =A PB C --1:2:3（1）求该校报考飞行员的总人数；（2）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的学生中（人数很多）任选2人，设表示体重超过60公斤的学生人数，求的分布列和数学期望．【答案】（1）；（2）随机变量的分布列为：． 【解析】试题分析：（1）由条件可得：，，；（2）由题意知服从二项分布， ，从而得到分布列及期望．试题解析：（1）设报考飞行员的人数为，前3个小组的频率分别为，则由条件可得：，X X 48n =X ()54E X =1230.125,0.25,0.375p p p ===2120.25p n==48n =X ()()22530,1,288kkk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n 123,,p p p ()2131123230.0370.01351p p p p p p p ⎧=⎪=⎨⎪++++⨯=⎩解得，又因为，所以． （2）由（1）可得，一个报考学生体重超过60公斤的概率为：，由题意知服从二项分布，，所以随机变量的分布列为：．21．（12分）已知点是圆心为的圆上的动点，点，线段的垂直平分线交于点． （1）求动点的轨迹的方程；（2）矩形的边所在直线与曲线均相切，设矩形的面积为，求的取值范围．【答案】（1）；（2）． 【解析】试题分析：（1）利用定义法求椭圆的轨迹方程；（2）设的方程为，的方程为，直线与间的距离为，1230.125,0.25,0.375p p p ===2120.25p n==48n =()350.0370.01358P p =++⨯=X ()()22530,1,288k kk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭X ()55284E X np ==⨯=ME (2216x y ++=)FMF EM P P C ABCD C ABCD S S 2214x y +=810S ≤≤AB 1y k x m =+BC 2y k x n =+ABCD 1d =直线与间的距离为，从而得到的范围． 试题解析：（1）依题，所以（为定值），，所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，其中，所以点轨迹的方程是．（2）①当矩形的边与坐标轴垂直或平行时，易得；②当矩形的边均不与坐标轴垂直或平行时，其四边所在直线的斜率存在且不为0，设的方程为，的方程为，则的方程为，的方程为，其中，直线与间的距离为，同理直线与间的距离为，所以BC AD 2d =14S d ===S PM PF =4PE PF PE PM ME +=+==EF=4>P E F 24,2a c ==P C 2214x y +=8S =AB 1y k x m =+BC 2y k x n =+CD 1y k x m =-AD 2y k x n =-121k k ⋅=-AB CD 1d ==BC AD 2d ==()12*S d d =⋅=， 因为直线与椭圆相切，所以，所以，同理，所以，（当且仅当时，不等式取等号）， 所以，即， 由①②可知，． 22．（12分）已知函数．（1）研究函数的单调性；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）在上单调递增；（2）．【解析】试题分析：（1）二次求导确定函数的单调区间；（2）不等式在上恒成立．在上恒成立，转求的最小值即可．22221111121044x y k x k mx m y k x m ⎧+=⎪⎛⎫⇒+++-=⎨ ⎪⎝⎭⎪=+⎩AB 221410k m ∆=+-=m =n =S ===44==212112k k +≥11k =±4S <≤810S <≤810S ≤≤()e ln xf x x =()f x ()()1f x a x >-()1,+∞a ()f x ()0,+∞(,e]-∞()()1f x a x >-()1,+∞()()e ln 10xg x x a x =-->()1,+∞()g x试题解析：（1）易知函数的定义域为，，设，则，当时，，当时，，所以， 故，所以在上单调递增．（2）依题在上恒成立，设，则在上恒成立，，，欲使在上恒成立，则，得，反之，当时，，设，则，设，则， 所以在上单调递增，所以，所以，所以在上单调递增，所以， 故，所以在上单调递增，()f x ()0,+∞()1e ln x f x x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭()1ln h x x x =+()22111x h x x x x -'=-=01x <<()0h x '<1x >()0h x '>()()min 110h x h ==>()0f x '>()f x ()0,+∞()e ln 1xx a x >-()1,+∞()()()e ln 11xg x x a x x =-->()0g x >()1,+∞()10g =()1e ln x g x x a x ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭()0g x >()1,+∞()10g '≥e a ≤e a ≤()11e ln e ln e x x g x x a x x x ⎛⎫⎛⎫'=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥()()1e ln e 1x r x x x x ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭()221e ln x r x x x x ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭()()221ln 1x x x x x φ=+->()()22233311122220x x x x x x x x xφ-+-+'=-+==>()x φ()1,+∞()()110x φφ>=>()0r x '>()r x ()1,+∞()()10r x r >=()0g x '>()g x ()1,+∞第11页 共11页 又，所以在上恒成立， 综上所述，在上恒成立， 所以的取值范围是．()10g =()0g x >()1,+∞()0g x >()1,+∞e a ⇔≤a (,e]-∞。
新高考理科数学考前三十天集训--计算题专训(十九)
新高考理科数学考前三十天集训计算题专训（十九）17．（12分）在等差数列{}n a 中，3412a a +=，公差2d =，记数列{}21n a -的前n 项和为n S ． （1）求n S ；（2）设数列1n n n a S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若2a ，5a ，m a 成等比数列，求m T ．【解析】解：（1）∵3412a a +=，∴112521012a d a +=+=，∴11a =，∴21n a n =-．……3分 ∴()21221143n a n n -=--=-，()214322n n n S n n +-==-．……6分（2）若2a ，5a ，m a 成等比数列，则225m a a a =， 即()23219m -=，∴14m =．……8分 ∵()()()11111212122121n n n a S n n n n ⎛⎫==- ⎪+-+-+⎝⎭，∴141111111114112335272922929m T T ⎛⎫⎛⎫==-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．……12分18．（12分）如图，在底面为矩形的四棱锥P ABCD -中，PB AB ⊥． （1）证明：平面PBC ⊥平面PCD ；（2）若异面直线PC 与BD 所成角为60︒，PB AB =，PB BC ⊥，求二面角B PDC --的大小．【解析】（1）证明：由已知四边形ABCD 为矩形，得AB BC ⊥，PB AB ⊥Q ，PB BC B =I ，AB ∴⊥平面PBC ， 又CD AB ∥，CD ∴⊥平面PBC ，CD ⊂Q 平面PCD ，∴平面PBC ⊥平面PCD ； …..4分（2）解：以B 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -， 设1PB AB ==，()0BC a a =>，则()0,0,0B ，()0,0,C a ，()1,0,0P ，()0,1,D a ，……5分所以()1,0,PC a =-uu u r ，()0,1,BD a =uu u r ，则cos 60PC BDPC BD⋅=︒uu u r uu u ruu u r uu u r ，即22112a a =+， 解得1a =（1a =-舍去）．……7分设()111,,n x y z =r 是平面PBD 的法向量，则00n BP n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uu rr uu u r即11100x y z =⎧⎨+=⎩， 可取()0,1,1n =-r，设()222,,m x y z =u r 是平面PCD 的法向量，则00m PD m CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uu u ru r uu u r即222200x y z y -+==+⎧⎨⎩， 可取()1,0,1m =u r ，所以1cos ,2n m n m n m⋅<>==-r u rr u r r u r ，由图可知二面角B PD C --为锐角，所以二面角B PD C --的大小为60︒．……12分 19．（12分）共享单车是指企业在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务，是共享经济的一种新形态，一个共享单车企业在某个城市就“一天中一辆单车的平均成本（单位：元）与租用单车的数量（单位：车辆）之间的关系”进行调查研究，在调查过程中进行了统计，得出相关数据见下表：根据以上数据，研究人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲：(1)4ˆ 1.1yx =+，方程乙：(2)26.4ˆ 1.6yx=+． （1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务：①完成下表（计算结果精确到0.1）（备注：ˆˆi i i e y y =-，ˆi e 称为相应于点(,)i i x y 的残差（也叫随机误差））；②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和1Q 及2Q ，并通过比较1Q ，2Q 的大小，判断哪个模型拟合效果更好．（2）这个公司在该城市投放共享单车后，受到广大市民的热烈欢迎，共享单车常常供不应求，于是该公司研究是否增加投放，根据市场调查，这个城市投放8千辆时，该公司平均一辆单车一天能收入10元，6元收入的概率分别为0.6，0.4；投放1万辆时，该公司平均一辆单车一天能收入10元，6元收入的概率分别为0.4，0.6．问该公司应该投放8千辆还是1万辆能获得更多利润？（按（1）中拟合效果较好的模型计算一天中一辆单车的平均成本，利润＝收入－成本）． 【解析】解：（1）①经计算，可得下表：…..3分②()22210.10.10.10.03Q =+-+=，220.10.01Q ==，…..5分 12Q Q >，故模型乙的拟合效果更好．…..6分（2）若投放量为8千辆，则公司获得每一辆车的收入期望为100.660.48.4⨯+⨯=，所以一天的总利润为()8.4 1.7800053600-⨯=（元），…..8分若投放量为1万辆，由（1）可知， 每辆车的成本为26.41.6 1.66410+=（元）， …..9分 每辆车一天收入期望为100.460.67.6⨯+⨯=，…..10分所以公司一天获得的总利润为()7.6 1.6641000059360-⨯=（元）， …..11分 因为5936053600>，所以投放1万辆能获得更多利润，应该增加到投放1万辆． …..12分20．（12分）如图，设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，F 为右焦点．直线6y x =与C 的交点到y 轴的距离为27．过点B 做x 轴的垂线l ，D 为l 上异于点B 的一点，以BD 为直径作圆E ． （1）求C 的方程；（2）若直线AD 与C 的另一个交点为P ，证明：直线PF 与圆E 相切．【解析】（1）解：由题可知12c a =，∴2a c =，223b c =．……1分 设椭圆C 的方程为2222143x y c c+=，……2分由22221,436x y c c y x⎧+=⎪⎨⎪=⎩得2277c x ==，∴1c =，2a =，23b =，故C 的方程为22143x y +=．……5分 （2）证明：由（1）可得()1,0F ，设圆E 的圆心为()()2,0t t ≠，则()2,2D t ， 圆E 的半径为R t =．……6分 直线AD 的方程为()22ty x =+．……7分 （方法一）由()2213242x y t y x ⎧=+⎪=⎨+⎪⎪⎪⎩，得()2222344120t x t x t +++-=，……8分 由2241223P t x t --=+，得22623P t x t -=+，()26223P P t ty x t=+=+， 直线PF 的方程为()()22226231162113tt t y x x t t t+=-=----+， 即()22120tx t y t +--=．…10分∵点()2,E t 到直线PF 的距离为()2211t t d t t +====+，∴直线PF 与圆E 相切．……12分（方法二）设过F 与圆E 相切的直线方程为1x ky =+， t =，整理得212t k t-=，……8分由()211222t y t t y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎩+⎪，得22262363t x t t y t -=+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，……10分 又∵2222261362433t t t t +⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪++⎝⎝⎭=⎭，……11分∴直线PF 与圆E 相切． ……12分 21．（12分）已知函数()21ln 12f x x ax bx =-++的图象在1x =处的切线l 过点11,22⎛⎫⎪⎝⎭．（1）若函数()()()()10g x f x a x a =-->，求()g x 的最大值（用a 表示）；（2）若4a =-，()()12121232f x f x x x x x ++++=，证明：1212x x +≥．【解析】（1）解：由()1f x ax b x '=-+，得()11f a b '=-+，……1分l 的方程为()()11112y a b a b x ⎛⎫--++=-+- ⎪⎝⎭，又l 过点11,22⎛⎫⎪⎝⎭，∴()111111222a b a b ⎛⎫⎛⎫--++=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得0b =．……3分 ∵()()()()211ln 112g x f x a x x ax a x =--=-+-+，∴()()()()21111110a x x ax a x a g x ax a a x x x⎛⎫--+ ⎪-+-+⎝⎭'=-+-==>，……4分当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增；当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减；……6分故()()2max111111ln 11ln 22g x g a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫==-+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．……7分（2）证明：∵4a =-，∴()()22121212112212123ln 21ln 213f x f x x x x x x x x x x x x x ++++=++++++++=()()212121212ln 222x x x x x x x x ++++-+=，∴()()2121212122ln x x x x x x x x +++=-．……9分 令()120x x m m =>，()ln m m m ϕ=-，()1m m mϕ-'=， 令()0m ϕ'<得01m <<；令()0m ϕ'>得1m >． ∴()m ϕ在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，∴()()11m ϕϕ=≥，∴()2121221x x x x +++≥，120x x +>，解得1212x x +≥．……12分。
2021新高考数学(山东专用)二轮复习专题限时集训13解析几何
专题限时集训(十三) 解析几何1．(2020·新高考全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且过点A (2，1)．(1)求C 的方程；(2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．[解] (1)由题设得4a 2＋1b 2＝1，a 2－b 2a 2＝12，解得a 2＝6，b 2＝3. 所以C 的方程为x 26＋y 23＝1. (2)证明：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．若直线MN 与x 轴不垂直，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ，代入x 26＋y 23＝1得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0.于是x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－61＋2k 2.①由AM ⊥AN 知AM →·AN →＝0，故(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0，可得(k 2＋1)x 1x 2＋(km －k －2)(x 1＋x 2)＋(m －1)2＋4＝0.将①代入上式可得(k 2＋1)2m 2－61＋2k 2－(km －k －2)4km 1＋2k2＋(m －1)2＋4＝0. 整理得(2k ＋3m ＋1)(2k ＋m －1)＝0. 因为A (2，1)不在直线MN 上，所以2k ＋m －1≠0，故2k ＋3m ＋1＝0，k ≠1，m ＝－23k －13. 于是MN 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23－13(k ≠1)．所以直线MN 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－13.若直线MN 与x 轴垂直，可得N (x 1，－y 1)． 由AM →·AN →＝0得(x 1－2)(x 1－2)＋(y 1－1)(－y 1－1)＝0.又x 216＋y 213＝1，可得3x 21－8x 1＋4＝0.解得x 1＝2(舍去)，x 1＝23. 此时直线MN 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－13. 令Q 为AP 的中点，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13.若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt △ADP 的斜边， 故|DQ |＝12|AP |＝223.若D 与P 重合，则|DQ |＝12|AP |.综上，存在点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，使得|DQ |为定值．2．(2019·全国卷Ⅱ)已知点A (－2，0)，B (2，0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为－12.记M 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连接QE 并延长交C 于点G .(ⅰ)证明：△PQG 是直角三角形； (ⅱ)求△PQG 面积的最大值．[解] (1)由题设得y x ＋2·y x －2＝－12，化简得x 24＋y 22＝1(|x |≠2)，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．(2)(ⅰ)证明：设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为y ＝kx (k ＞0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 24＋y 22＝1得x ＝±21＋2k 2. 记u ＝21＋2k 2，则P (u ，uk )，Q (－u ，－uk )，E (u ，0)． 于是直线QG 的斜率为k 2，方程为y ＝k2(x －u )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 2(x －u )，x 24＋y 22＝1，得(2＋k 2)x 2－2uk 2x ＋k 2u 2－8＝0.①设G (x G ，y G )，则－u 和x G 是方程①的解，故x G ＝u (3k 2＋2)2＋k 2，由此得y G ＝uk 32＋k 2.从而直线PG 的斜率为uk 32＋k 2－uk u (3k 2＋2)2＋k 2－u＝－1k .所以PQ ⊥PG ，即△PQG 是直角三角形．(ⅱ)由(ⅰ)得|PQ |＝2u 1＋k 2，|PG |＝2uk k 2＋12＋k 2，所以△PQG 的面积S ＝12|PQ ||PG |＝8k (1＋k 2)(1＋2k 2)(2＋k 2)＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋k 1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋k 2. 设t ＝k ＋1k ，则由k ＞0得t ≥2，当且仅当k ＝1时取等号． 因为S ＝8t1＋2t 2在[2，＋∞)单调递减，所以当t ＝2，即k ＝1时，S 取得最大值，最大值为169.因此，△PQG 面积的最大值为169.3．(2018·全国卷Ⅰ)设椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2，0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OM B ． [解] (1)由已知得F (1，0)，l 的方程为x ＝1. 由已知可得，点A 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，22或⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－22.又M (2，0)，所以AM 的方程为y ＝－22x ＋2或y ＝22x － 2.(2)证明：当l 与x 轴重合时，∠OMA ＝∠OMB ＝0°.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以∠OMA ＝∠OM B ． 当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＜2，x 2＜2，直线MA ，MB 的斜率之和为k MA ＋k MB ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2.由y 1＝kx 1－k ，y 2＝kx 2－k 得 k MA ＋k MB ＝2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k(x 1－2)(x 2－2).将y ＝k (x －1)代入x 22＋y 2＝1得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0， 所以x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1.则2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k ＝4k 3－4k －12k 3＋8k 3＋4k2k 2＋1＝0.从而k MA ＋k MB ＝0，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以∠OMA ＝∠OM B ． 综上，∠OMA ＝∠OM B ．1．(2020·安徽示范高中名校联考)过F (0，1)的直线l 与抛物线C ：x 2＝4y 交于A ，B 两点，以A ，B 两点为切点分别作抛物线C 的切线l 1，l 2，设l 1与l 2交于点Q (x 0，y 0)．(1)求y 0；(2)过Q ，F 的直线交抛物线C 于M ，N 两点，求四边形AMBN 面积的最小值． [解] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l ：y ＝kx ＋1， 由⎩⎨⎧x 2＝4y ，y ＝kx ＋1，得x 2－4kx －4＝0， 所以⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，由x 2＝4y ⇒y ′＝12x ，所以l 1：y －y 1＝12x 1(x －x 1)，即l 1：y ＝12x 1x －x 214，同理l 2：y ＝12x 2x －x 224，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 1x －x 214，y ＝12x 2x －x 224，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22＝2k ，y 0＝x 1x 24＝－1，即y 0＝－1.(2)因为QF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 1＋x 22，2，AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， 所以QF →·AB →＝－x 22－x 212＋2(y 2－y 1)＝x 21－x 222＋x 22－x 212＝0， 所以QF →⊥AB →，即MN ⊥AB ，|AB |＝y 1＋y 2＋2＝k (x 1＋x 2)＋4＝4k 2＋4， 同理|MN |＝4k 2＋4(易知k ≠0)，S AMBN ＝12|AB ||MN |＝8(k 2＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋1＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋1k 2＋2≥32，当且仅当k ＝±1时，四边形AMBN 的面积取得最小值32.2．(2020·济宁模拟)已知圆O ：x 2＋y 2＝4，抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)． (1)若抛物线C 的焦点F 在圆O 上，且A 为抛物线C 和圆O 的一个交点，求|AF |； (2)若直线l 与抛物线C 和圆O 分别相切于点M ，N ，设M (x 0，y 0)，当y 0∈[3，4]时，求|MN |的最大值．[解] (1)由题意知F (0，2)，所以p ＝4. 所以抛物线C 的方程为x 2＝8y .将x 2＝8y 与x 2＋y 2＝4联立得⎩⎨⎧x 2＝8y ，x 2＋y 2＝4，得y ＝2(5－2)，所以点A 的纵坐标为y A ＝2(5－2)，结合抛物线的定义得|AF |＝y A ＋p2＝25－2. (2)由x 2＝2py 得y ＝x 22p ，y ′＝xp ，所以直线l 的斜率为x 0p ，故直线l 的方程为y －y 0＝x 0p (x －x 0)，即x 0x －py －py 0＝0. 连接OM ，ON (图略)， 则|ON |＝|－py 0|x 20＋p 2＝2，得p ＝8y 0y 20－4，且y 20－4＞0， 所以|MN |2＝|OM |2－|ON |2＝x 20＋y 20－4＝2py 0＋y 20－4＝16y 20y 20－4＋y 20－4＝16(y 20－4＋4)y 20－4＋y 20－4＝16＋64y 20－4＋y 20－4. 令t ＝y 20－4，y 0∈[3，4]，则t ∈[5，12]，令f (t )＝16＋t ＋64t ，则f ′(t )＝1－64t 2， 当t ∈[5，8]时，f ′(t )≤0，f (t )单调递减， 当t ∈(8，12]时，f ′(t )＞0，f (t )单调递增．又f (5)＝16＋5＋645＝1695，f (12)＝16＋12＋6412＝1003， 所以f (t )max ＝1695，即|MN |的最大值为1355.3．(2020·贵阳模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，椭圆C 的焦点F 1到双曲线x 22－y 2＝1的渐近线的距离为33.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l ：y ＝kx ＋m (k ＜0)与椭圆C 交于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆经过点F 2，且原点O 到直线l 的距离为255，求直线l 的方程．[解] (1)∵椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22， ∴c a ＝22.又双曲线x 22－y 2＝1的其中一条渐近线方程为x －2y ＝0，椭圆C 的焦点F 1(－c ，0)，∴|－c |1＋2＝33，解得c ＝1，∴a ＝2，b ＝1，∴椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)知F 2(1，0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由原点O 到直线l ：y ＝kx ＋m (k ＜0)的距离为255，得|m |1＋k 2＝255， 即m 2＝45(1＋k 2)．①将y ＝kx ＋m 代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0， ∴Δ＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝8(2k 2－m 2＋1)＞0， x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2，又以线段AB 为直径的圆经过点F 2，∴F 2A →·F 2B →＝0， 即(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝0，∴(x 1－1)(x 2－1)＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝0， 即(1＋k 2)x 1x 2＋(km －1)(x 1＋x 2)＋m 2＋1＝0，∴(1＋k 2)·2m 2－21＋2k 2＋(km －1)·－4km 1＋2k2＋m 2＋1＝0， 化简得3m 2＋4km －1＝0.②由①②，得11m 4－10m 2－1＝0，∴m 2＝1. 又k ＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，k ＝－12，满足Δ＝8(2k 2－m 2＋1)＞0.∴直线l 的方程为y ＝－12x ＋1.4．(2020·大同调研)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且离心率e ＝63.(1)设E 是直线y ＝x ＋2与椭圆的一个交点，求|EF 1|＋|EF 2|取最小值时椭圆的方程；(2)已知N (0，1)，是否存在斜率为k 的直线l 与(1)中的椭圆交于不同的两点A ，B ，使得点N 在线段AB 的垂直平分线上？若存在，求出直线l 在y 轴上截距的范围；若不存在，说明理由．[解] (1)∵e ＝63，∴b 2a 2＝13，椭圆的方程可化为x 23b 2＋y 2b 2＝1，将x 23b 2＋y 2b 2＝1与y ＝x ＋2联立，消去y 化简得4x 2＋12x ＋12－3b 2＝0，由Δ＝144－16×(12－3b 2)≥0，解得b 2≥1，即b ≥1，∴|EF 1|＋|EF 2|＝2a ＝23b ≥23，当且仅当b ＝1时，|EF 1|＋|EF 2|取最小值23，∴椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设直线l 在y 轴上的截距为t ，则直线l 的方程为y ＝kx ＋t ，代入x 23＋y 2＝1，消去y 整理得，(1＋3k 2)x 2＋6ktx ＋3t 2－3＝0， ∵直线l 与椭圆交于不同的两点，∴Δ1＝(6kt )2－12(t 2－1)(1＋3k 2)＞0，即t 2＜1＋3k 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为Q ，则x 1＋x 2＝－6kt 1＋3k 2，x 1x 2＝3t 2－31＋3k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2t ＝2t1＋3k 2，∴AB 的中点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3kt1＋3k 2，t 1＋3k 2，∴当k ≠0时，t1＋3k 2－1－3kt 1＋3k 2＝－1k ，化简得1＋3k 2＝－2t ，代入t 2＜1＋3k 2得－2＜t ＜0.又－2t ＝1＋3k 2＞1，∴t ＜－12，故－2＜t ＜－12. 当k ＝0时，－1＜t ＜1.综上，k ≠0时，直线l 在y 轴上截距的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12；k ＝0时，直线l 在y 轴上截距的范围为(－1，1)．1．已知定点A (－3，0)，B (3，0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为－19，记动点M 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)过点T (1，0)的直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，是否存在定点S (x 0，0)，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值？若存在，求出S 的坐标；若不存在，请说明理由．[解] (1)设动点M (x ，y )，则直线MA 的斜率k MA ＝yx ＋3(x ≠－3)，直线MB 的斜率k MB ＝yx －3(x ≠3)． 因为k MA ·k MB ＝－19，所以y x ＋3·y x －3＝－19，化简得x 29＋y 2＝1，又x ≠±3，所以曲线C 的方程为x 29＋y 2＝1(x ≠±3)．(2)由题意得直线l 的斜率不为0，根据直线l 过点T (1，0)，可设直线l 的方程为x ＝my ＋1，联立⎩⎨⎧x ＝my ＋1，x 2＋9y 2＝9，消去x 得(m 2＋9)y 2＋2my －8＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2mm 2＋9，y 1y 2＝－8m 2＋9.直线SP 与SQ 的斜率分别为k SP ＝y 1x 1－x 0＝y 1my 1＋1－x 0，k SQ ＝y 2x 2－x 0＝y 2my 2＋1－x 0，k SP ·k SQ ＝y 1y 2(my 1＋1－x 0)(my 2＋1－x 0)＝－8(x 20－9)m 2＋9(1－x 0)2，当x 0＝3时，∀m ∈R ，k SP ·k SQ ＝－89(1－x 0)2＝－29； 当x 0＝－3时，∀m ∈R ，k SP ·k SQ ＝－89(1－x 0)2＝－118. 所以存在定点S (±3，0)，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值．2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的四个顶点围成的菱形的面积为43，椭圆的一个焦点为圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心．(1)求椭圆的方程；(2)若M ，N 为椭圆上的两个动点，直线OM ，ON 的斜率分别为k 1，k 2，当k 1k 2＝－34时，△MON 的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由．[解] (1)由题意可知，2ab ＝43，圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心坐标为(1，0)，所以c ＝1， 因此a 2－b 2＝1，结合ab ＝23得a 2＝4，b 2＝3， 故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线MN 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋m消去y 可得，(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝48(4k 2－m 2＋3)＞0，即m 2＜4k 2＋3， x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2.所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 3＋4k 22－4·4m 2－123＋4k 2 ＝431＋k 23＋4k2·4k 2－m 2＋3.又点O到直线MN的距离d＝|m|1＋k2，所以S△MON ＝12|MN|·d＝23|m|3＋4k2·4k2－m2＋3.又k1k2＝y1y2x1x2＝－34，所以k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2x1x2＝k2＋km·－8km3＋4k2＋m24m2－123＋4k2＝－34，化简可得2m2＝4k2＋3，满足Δ＞0.则S△MON＝23|m|3＋4k2·4k2－m2＋3＝23m22m2＝ 3.当直线MN的斜率不存在时，由于k1k2＝－34，且OM，ON关于x轴对称，不妨设k1＝32，k2＝－32，则易得M⎝⎛⎭⎪⎫2，62，N⎝⎛⎭⎪⎫2，－62或M⎝⎛⎭⎪⎫－2，－62，N⎝⎛⎭⎪⎫－2，62，此时S△MON＝12×2×6＝ 3.综上，△MON的面积为定值，定值为 3.3．已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，且与抛物线y2＝x交于M，N两点，△OMN(O为坐标原点)的面积为2 2.(1)求椭圆E的方程；(2)如图，点A为椭圆E上一动点(非长轴端点)，点F为椭圆E的右焦点，AF 的延长线与椭圆E交于点B，AO的延长线与椭圆E交于点C，求△ABC面积的最大值．[解](1)根据题意不妨设M(x，x)，N(x，－x)．∵△OMN的面积为22，∴x x ＝22，得x ＝2，∴M (2，2)，N (2，－2)．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，4a 2＋2b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，得a ＝22，b ＝2，c ＝2，∴椭圆E 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)①当直线AB 的斜率不存在时，不妨取A (2，2)，B (2，－2)，则C (－2，－2)，故△ABC 的面积S ＝12×22×4＝4 2.②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，x 28＋y 24＝1，化简得(2k 2＋1)x 2－8k 2x ＋8k 2－8＝0，则Δ＝64k 4－4(2k 2＋1)(8k 2－8)＝32(k 2＋1)＞0， x 1＋x 2＝8k 22k 2＋1，x 1x 2＝8k 2－82k 2＋1.∴|AB |＝(1＋k 2)×[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋k 2)×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫8k 22k 2＋12－4×8k 2－82k 2＋1＝42×k 2＋12k 2＋1. 又点O 到直线AB 的距离d ＝|－2k |k 2＋1＝2|k |k 2＋1， 且O 是线段AC 的中点，∴点C 到直线AB 的距离为2d ＝4|k |k 2＋1， ∴S △ABC ＝12|AB |·2d ＝12×42×k 2＋12k 2＋1×4|k |k 2＋1＝82×k 2(k 2＋1)(2k 2＋1)2.∵k 2(k 2＋1)(2k 2＋1)2＝k 2(k 2＋1)[k 2＋(k 2＋1)]2≤k 2(k 2＋1)4k 2(k 2＋1)＝14，且k 2≠k 2＋1， ∴等号不成立， ∴S △ABC ＝82×k 2(k 2＋1)(2k 2＋1)2＜4 2.综上，△ABC 面积的最大值为4 2.4．已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6.(1)求C 2的方程；(2)过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向．(ⅰ)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率；(ⅱ)设C 1在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，△MFD 总是钝角三角形．[解] (1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0，1)． 因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1.①又C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ，由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±6，32， 所以94a 2＋6b 2＝1.②联立①②，解得a 2＝9，b 2＝8. 故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．(ⅰ)因为AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD →， 从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4， 于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③ 设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1. 由⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0.而x 1，x 2是这个方程的两个根， 所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.④ 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 29＋x 28＝1，得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0.而x 3，x 4是这个方程的两个根，所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k 2.⑤ 将④⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2(9＋8k 2)2＋4×649＋8k 2，即16(k 2＋1)＝162×9(k 2＋1)(9＋8k 2)2，所以(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64.(ⅱ)由x 2＝4y 得y ′＝x 2，所以C 1在点A 处的切线方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 1x 2－x 214.令y ＝0，得x ＝x 12，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12，0，所以FM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12，－1.而F A →＝(x 1，y 1－1)，于是F A →·FM →＝x 212－y 1＋1＝x 214＋1＞0， 因此∠AFM 是锐角，从而∠MFD ＝180°－∠AFM 是钝角． 故直线l 绕点F 旋转时，△MFD 总是钝角三角形.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
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新高考理科数学考前三十天集训
计算题专训（十三）
17．(12分)在ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知4a =，2π
3
B =，sin 2sin b
C B =． (1)求b 的值； (2)求ABC △的面积．
【答案】解：(1)因为sin 2sin b C B =， 所以2bc b =，即2c =，
由余弦定理得2222π
24224cos 283
b =+-创=． 所以27b =．
(2)因为4a =，2c =，2π3
B =
． 所以113
sin 422322ABC S ac B ==创?
△．
18．(12分)某小区停车场的收费标准为：每车每次停车时间不超过2小时免费，超过2小时的部分每小时收费1元(不足1小时的部分按1小时计算)．现有甲乙两人相互独立到停车场停车(各停车一次)，且两人停车的时间均不超过5小时，设甲、乙两人停车时间(小时)与取车概率如下表所示：
(1)求甲、乙两人所付车费相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望()E X ．
【答案】解：(1)由题意得1413x +=，∴16x =，11163y ++=，∴1
2y =．
记甲、乙两人所付停车费相同为事件A ，则()1111115
36633218
P A =???
， ∴甲、乙两人所付停车费相同的概率为
518
．
(2)设甲、乙两人所付的费用之和为X ，X 的可能取值为0，1，2，3，4，5， ()1018P X ==
，()1111513366
36P X ==??，()1111115
236633218
P X ==???， ()111111
236633629P X ==???
，()1111243263
9P X ==??，()111
56212
P X ==?， X 的分布列为：
X 0 1 2 3 4 5 P
118
536
518
29
29
112
∴()155221
8
01234518361899123
E X =?
?????． 19．(12分)如图，三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，平面ABC ^平面11AA B B ，1160AA B ∠=?，P 为1CC 的中点．
(1)证明：11AB A P ^；
(2)若M 是棱AC 的中点，求二面角1M BB A --的余弦值．
【答案】(1)证明：取AB 中点D ，设1AB 与1A B 交于点O ，连接OP ，CD ，依题意得OP CD ∥， 因为平面ABC ^平面11AA B B ，平面ABC I 平面11AA B B AB =，CD AB ^， 所以CD ^平面11AA B B ，即OP ^平面11AA B B ，所以1AB OP ^，
又因为四边形11AA B B 为菱形，所以11AB A B ^，又1OP A B O =I ，所以1AB ^平面1A OP ， 而1A P Í平面1A OP ，所以11AB A P ^．
(2)解：由(1)结合已知得：1OP OA ^，OP OA ^，1OA OA ^，
以O 为原点，如图所示建立空间直角坐标系O xyz -，因为侧面11AA B B 是边长为2的菱形，且1160AA B ∠=?，
所以()0,0,0O ，()0,1,0A ，()10,1,0B -，()
3,0,0B -，， 设平面1B BM 的法向量为()1,
,n x y z =u u r
，
则由1111=00B B n B M n ì×ïíï?îu u u u r u u r
u u u u r u u r 得3037304x y x y z ì-+=ïïíï-++=ïî，令1x =，可取()
11,3,3n =-u u r ， 而平面11AA B B 的一个法向量()20,0,1n =u u r
，由图可知二面角1M BB A --为锐角，
因为121212
313
cos ,13n n n n n n u u r u u r u u r u u r u u r u u r ×<>==
=×． 所以二面角1M BB A --的余弦值为313
． 20．(12分)如图，点(
)
3,2M 在椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>上，且点M 到两焦点的距离之
和为6．
(1)求椭圆的方程；
(2)设与MO (O 为坐标原点)垂直的直线交椭圆于,A B (,A B 不重合)，求OA OB ×u u u r u u u r
的取值范围．
【答案】解：(1)∵26a =，∴3a =． 又点)
3,2M
在椭圆上，∴
232
19b
+=，解得23b =， ∴所求椭圆方程为22
193
x y +=．
(2)∵6MO k 6AB k =-AB 的方程：6y m =-+．
联立方程组22193
x y y x m
ìï+=ïíïï=-+ïî，消去y
得：22116180x m -+-=．
()()
224116180m ∆=-⨯->，∴233
2
m <．
设()11,A x y ，()22,B x y
，12x x +212618
11
m x x -=．
则)22121212125845211m OA OB x x y y x x x x m -?+=-++=u u u r u u u r ，
∵233
02
m ≤<，∴OA OB ×u u u r u u u r 的取值范围为．
21．(10分)设函数()32231,0
2e 1,0
x x x x f x ax x ≤ì-->ï=íï-î，其中0a >．
(1)若直线y m =与函数()f x 的图象在(]0,2上只有一个交点，求m 的取值范围； (2)若()f x a ≥-对x R Î恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】解：(1)当0x >时，()266f x x x ¢=-， 令()0f x ¢=时得1x =；
令()0f x ¢>得1x >，()f x 递增； 令()0f x ¢<得01x <<，()f x 递减，
∴()f x 在1x =处取得极小值，且极小值为()12f =-， ∵()01f =-，()23f =，
∴由数形结合可得13m ≤≤-或2m =-．
(2)当0x ≤时，()()21e x f x a x ¢=+，0a >，令()0f x ¢=得1x =-； 令()0f x ¢>得10x ≤-<，()f x 递增； 令()0f x ¢<得1x <-，()f x 递减，
∴()f x 在1x =-处取得极小值，且极小值为()211e
a
f -=--， ∵0a >，∴210e
a
-
-<，
当212e a ≥---即e
02a ≤<时，()()min 12f x f ==-，∴2a ≤--，即2a ≥，∴无解； 当212e a --<-即e 2a >时，()()min 211e a f x f =-=--，∴21e a a ≤---，即e e 2a ≥
-，又e e e 22
>-， ∴e
e 2
a ≥-，。