一类带收获和时滞的生态经济模型的稳定性和Hopf分支_图文_(精)

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具有收获率和Michaelis-Menten功能性反应的捕食系统的稳定性和Hopf分支

２２其中ｎ＝旦，ｍｒ
曲阜师范大学学报（自然科学版）
２１０１正
ｄ，孚ｇｑ０ｇ＜０ｑ＜＝６，，＝，，ｌ＜Ｅ１＝：＜Ｅ，．：
另外，在种群动力学中，当前的状态变化及动力学行为不仅依赖于现在的动力学行为，而且与过去的行为也密切相关．因此，在种群问相互作用的过程中，时滞是不可避免的，有时时滞还会破坏正平衡点的稳定性］为了更接近现实，系统（．）引入时滞参量，系统（．）化为．在１２中则１２转
Ａ＋ＰＥＡ＋ｇＥ）＝０（）（，（．）２１
其中
ｐＥ）＝（（ａ—ｂｑＥ）２＋［ｑｂ（２一ｑ）＋２ｑ（】ａ２ａ一６］＋（）Ｅｂ—ｄ（ｄ—ａ）ｂｄ一口）＋ｂ６
）＝
．
当ＰＥ＞，（）０时，（）０ｑＥ＞特征多项式（．）２１只有负实部的特征根，由定性理论知识… 知，平衡点Ｅ局部渐
ｄ（）ｘｔ … （１－－ｇｌ
ｌ＝＋
，
（）１．３
其中丁表示捕食者的滞后效应．０初始条件＝，）在Ｂｎｃ空间｛ ∈ （一，］））（，，ａａｈ：Ｃ［丁０，（ｌ（）＝（０，（）｝中考虑，中。０，（）＞．０（）０）其（）００本文的主要内容安排如下：在第２节中，讨论系统（．）１２的平衡点的存在性及其稳定性；在第３节中，讨论系统（．）１２的边界平衡点和正平衡点的全局渐近稳定性；在第４节中，讨论时滞系统（．）１３的平衡点的Ｈｐ分支情况．ｏｆ

一类具有时滞和免疫反应的病毒感染模型的稳定性和Hopf分支

Ａｂｔａｔｓｒｃ：Ａｖｒｓｎｅｔｎｉｉｆｃｉｍｏｅｗｉｔｄｌｙｎｉｕｏｄｌｔｉｈｍｅｅａａｄｍｍｕｅｅｐｎｅｓｔｄｅ．Ｂａａｙｉｇｈｎｒｓｏｓｉｓｕｉｄｙｎｌｚｎｔｅｃｒｓｏｄｎｈｒｃｅｓｉｑａｉｎ，ｈｃｌｔｂｌｙｏａｈｏａｉｌｑｉｂａｏｅｍｏｅｓｉｖｓｉａｅ．ｏｒｐｎｉｇｃａａｔｒｔｅｕｔｅｉｃｏｔｅｌａａｉｔｆｃｆｆｓｅｅｕｌｒｆｈｄｌｎｅｔｔｄｏｓｉｅｅｂｉｉｔｉｇＴｅｅｉｅｃｓｆｃｅｔｃｎｉｏｆＨｏｆｂｆｒａｉｎｉｅｔｂｉｈｄｙｏｓｕｔｇａｐｏｒｔｙｐｎｖｈｘｓｎｅｕｆｉｎｏｄｔｎｏｐｉｃｔｓｓｓａｌｅ．ＢｃｎｔｃｉｐｒｐａｅＬａｕｏｔｉｉｕｏｓｒｎｉｆｎｔｎｌｔｅｇｏａｔｂｌｙｏｈｎｅｔｎｆｅｅｕｌｒｕａｄｔｅｉｕｃｉａ，ｌｂｓａｉｔｆｔｅｉｆｃｉ — ｅｑｉｂｍｎｈｍｍｕｅｆｅｎｅｔｎｅｕｌｒｍｒｏｈｌｉｏｒｉｉｎ — ｅｉｆｃｉｑｉｂｕａｅｒｏｉｉ
３４７
北华大学学报（自然科学版）
第１２卷
要一定的时间，机体内的免疫系统从接受抗原（病毒）刺激到产生免疫细胞（ＣＬ也需要一段时间．如Ｔ）文献［］４考虑到抗原刺激产生免疫细胞ＣＬ需要的时间滞后效应，Ｔｓ得到了如下具时滞和双线性发生

一类具有时滞的生态一流行病系统的稳定性和Hopf分支

ｄｉｒｅｃｔｉｏｎｏｆｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎｓａｎｄｔｈｅｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆｂｉｆｕｒｃａｔｉｎｇｐｅｒｉｏｄｉｃｓｏｌｕｔｉｏｎｓｂｙｕｓｉｎｇｔｈｅｎｏｒｍａｌｆｏｒｍｔｈｅｏｒｙａｎｄｃｅｎｔｅｒｍａｎｉｆｏｌｄｔｈｅｏｒｅｍ．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｓａｒｅｃａｒｒｉｅｄｏｕｔｔｏｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｔｈｅｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｒｅｓｕｌｔｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｐｒｅｄａｔｏｒ — ｐｒｅｙｓｙｓｔｅｍ；ｔｉｍｅｄｅｌａｙ；Ｈｏｐｆｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ；ｓｔａｂｉｌｉｔｙ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｐｒｅｄａｔｏｒ — ｐｒｅｙｓｙｓｔｅｍｗｉｔｈｔｉｍｅｄｅｌａｙａｎｄｄｉｓｅａｓｅｉｎｔｈｅｐｒｅｙｉｓｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ．Ｂｙａｎａｌｙ — ｚｉｎｇｔｈｅｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｅｑｕａｔｉｏｎ，ｔｈｅｌｏｃａｌｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆａｐｏｓｉｔｉｖｅｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍｉｓｉｎｖｅｓ —

具有时滞的生态-流行病SIS模型的稳定性和Hopf分支

Ｖ０Ｉ＿３２Ｎｏ．２
Ｊｕｎ．２０１３
ＤＯＩ：１０．３９６９／Ｊ．ＩＳＳＮ．１００４—６０２Ｘ．２０１３．０２．０２６
具有时滞的生态一流行病ＳＩＳ模型的稳定性和Ｈｏｐｆ分支
其模型为
ｄＸ
＝
２００３年，孙树林、原存德考虑了疾病只在捕食者
之间传播，染病的捕食者会因病死亡，食饵有密度制约的捕食一被捕食的ＳＩＳ模型 ¨ Ｊ：
ｄＸ
＝
（口一ｂｘ）一
（。一ｂｘ）一
警＝ｅＸＳｓ一＋６Ｉ
Ｅ。和Ｅ两个非负平衡点，当 ∈（堕
，
为接触率，６为恢复率，易感捕食者的怀孕所需要的时问为丁 ≥ ０，在这段时间里食饵转化为捕食者自身
的能量。
衡点Ｅ。，Ｅ外，边界平衡点Ｅ也存在。当ｅ ∈（ｅ，ｃ］时，除了Ｅ。，Ｅ和Ｅ外，正衡点Ｅ，出现。
赵红妮，窦霁虹，刘艺艺
（西北大学数学系，陕西西安７１０１２７）
摘
要：该文考虑一类含有时滞的捕食者染病的生态一流行病ＳＩＳ模型，主要利用特征根法讨论了
平衡点的存在性及其稳定性，证明了＇３－时滞＝０时，正平衡点是局部渐近稳定的，随着时滞增加，
，
数，ａ为食饵的内禀增长率，ｂ为密度制约系数，Ｃ为

一类具有时滞的阶段结构捕食模型的稳定性和Hopf分支

Ｖ０１．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ２２Ｎｏ．２
Ｏ１３Ｊｕｎ．２
Ｄ（）ｌ：１０．３９６９／Ｊ．ｉｓｓｎ．１６７２ — ６６８５．２０１３．０２．００ｌ
一
类具有时滞的阶段结构捕食模型的稳定性和Ｈｏｐｆ分支
ｗｉｔｈＴｉｍｅＤｅｌａｙａｎｄＳｔａｇｅＳｔｒｕｃｔｕｒｅ
ＨＵＡＮＧＸｉｎｇ — ｈｕａ，ＣＡＯＣｈｅｎｇ — ｔａｎｇ，ＺＨＯＵＬｉｎ
（ＬｉａｎｙｕｎｇａｎｇＣａｍｐｕｓ。ＪｉａｎｇｓｕＣｉｔｙＶｏｃａｔｉｏｎａｌＣｏｌｌｅｇｅ，Ｌｉａｎｙｕｎｇａｎｇ２２２００６，Ｃｈｉｎａ）
捕食者具有阶段结构的捕食模型，并分析了阶段结
０引言
捕食模型是研究捕食者和食饵之间关系的数学模型，吸引了很多学者进行研究［１＿３］．一般的捕食模
构对捕食模型的动力学影响．
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＴｈｅｓｔａｂｉｌｉｔｙａｎｄＨｏｐｆｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎｏｆａｐｒｅｄａｔｏｒ — ｐｒｅｙｍｏｄｅｌｗｉｔｈｔｉｍｅｄｅｌａｙａｎｄｓｔａｇｅ
ｂｙｕｓｉｎｇｔｈｅｎｏｒｍａｌｆｏｒｍｔｈｅｏｒｙａｎｄｃｅｎｔｅｒｍａｎｉｆｏｌｄｔｈｅｏｒｅｍ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｔｉｍｅｄｅｌａｙ；ｓｔａｇｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅ；Ｈｏｐｆｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ

一类具阶段结构和比率依赖功能性反应滞后捕食模型的稳定性和Hopf分支

引
言
捕食系统是一类非常重要的种群系统。．在标准的Ｌｏｔｋａ．Ｖｏｈｅｒｒａ捕食系统中，常假定人均捕食率仅取决于猎物的数量．然而，许多实验和观察结果表明：当捕食者搜寻食物或与别的种群竞争时，捕食者增长函数应是食饵与捕食者的比率函数．在文献［４］中，Ｂｅｒｅｔｔａ和Ｋｕａｎｇ介绍了一类具比率依赖功能性反
．
Ｂｖ
ｃｏｍｐａｉｓｒｏｎａｒｇｕｍｅｎｔｓ，ｓｕｉｃｆｉｅｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓａｒｅｏｂｔａｉｎｅｄｏｒｆｔｈｅｇｌｏｂａｌｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆｔｈｅｂｏｕｎｄａｒｙｅｑｕｉｌｉｂｉｕｒｍ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｔｉｍｅｄｅｌａｙ；ｓｔａｇｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅ；ｒａｔｉｏ－ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ；ｓｔａｂｉｌｉｔｙ；Ｈｏｐｆｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ
．
ｉｔｅｒａｔｉｏｎｔｅｃｈｎｉｑｕｅ，ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓａｒｅｄｅｉｖｒｅｄｆｏｒｔｈｅｇｌｏｂａｌａｔｔｒａｃｔｉｏｎｏｆｔｈｅｐｏｓｉｔｉｖｅｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ

一类具时滞和阶段结构的捕食模型的稳定性与Hopf分支

§ 正平衡点的稳定性及Ｈｐ￣支的存在性２ｏｆ
本节我们将以浠量７－数，论糸统（）为参讨２正半衡点的稳定性和Ｈｐ分支的存在性．ｏｆ
令１＝ｎ１１（ｌ）２０１２（１），１／ｒ＋６，＝０１／ｒ＋６。雪＝Ｃｙａ１＝（１）则系统（）Ｌ／１，１７＋ｂｔ＂，２就变
ｆ（ｎ一ｚ）＠ｂ￡圣＝ｒ（ｎ；一ｌ一）￡ｚｚ）￡）一）（
｛２）ｚ（一ｒｘ（，（＝ｂｌ）２２）ｔ
）＝），
，
（２）
其中，１￡，９（）（分别表示幼体食饵，（２和￡）２）成体食饵和捕食者种群在时刻ｔ的密度，且捕食种群
收稿日期：０８１－３２０ —１０
基金项目：国家自然科学基金（０７２９１６１０）
通信作者，－ｉｔａｘ一０８６．ｍＥｍａｔｉｎｈ２０＠１３ｃ：ｏ
２６８
高校应用数学学报
第２卷第３５期
本文将推广文献『中的模型，７］讨论更为一般的一类具Ｈｌｎ第１类功能性反应的捕食系统ｏｌｇＩｉＩ
０＝１，，１）２）３）∈ （丁０Ｒ０，，３（（，（，（）［，，革）２） ≯ 一】．
本文的目的是以滞量ｒ为参数，对系统（）２进行分析．主要内容为：第２中，ｏｋ等在在节以Ｃｏｅ文献『中引入的方法为基础，８］并参考文献ｆ，为参数，９以丁］讨论（）２的稳定性及Ｈｐ￣支的存在性：ｏｆ￣在第３节中，我们利用Ｈａｓｒｓａｄ等【Ｊ１所介绍的规范型方法，０讨论了有关（）ｏｆ２的Ｈｐ￣支方向，分支周期解的稳定性，最后通过数值模拟验证了所得理论结果．

一类具时滞的能源价格模型的稳定性与Hopf分支

Ｏ１７５文献标识码Ａ文章编号１６７２－４３２１（２０１３）０４－０１０７－０４中图分类号
ＳｔａｂｉｌｉｔｙａｎｄＨｏｐｆＢｉｆｕｒｃａｔｉｏｎｆｏｒａｎＥｎｅｒｇｙＰｒｉｃｅＭｏｄｅｌｗｉｔｈＴｉｍｅＤｅｌａｙ
党的十八大报告指出： “ 推动能源生产和消费
时滞微分方程模型，即：
一ｉｔＰ（ ¨ ｙ）ｄＰ（ｔ）
一
革命，控制能源消费总量，加强节能降耗，支持节能低碳产业和新能源、可再生能源发展，确保国家能源安全． ” 能源问题引起我国政府的重视．而随着能源需求的高速增长，能源短缺的现象越来越剧烈，能源价格的持续增长影响着我国经济的平衡增长．国内
Ｖ０ｌ＿３２Ｎｏ．４Ｄｅｅ．２０１３
一
类具时滞的能源价格模型的稳定性与Ｈｏｐｆ分支
殷红燕，刘晶晶，周静
（中南民族大学数学与统计学学院，武汉４３００７４）摘要研究了一类具有时滞的能源价格模型的稳定性和Ｈｏｐｆ分支的存在性．通过分析特征方程，得到了平衡点
外已有很多学者对能源价格与能源供需关系做了研究．在我国，田立新等一批学者首次将非线性混沌动
ｔｚｂＰ（ｔ）一Ｐ（ｔ一７－）＋（一ｓ０），（ｉｂｉｒｕｍａｎｄｔｈｅｅｘｉｓｔｅｎｃｅｏｆＨｏｐｆｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎａｒｅｏｂｔａｉｎｅｄ．Ａｔｔｈｅｓａｍｅｔｉｍｅ，ｆｏｒｍｕｌａｓａｒｅｄｅｉｒｖｅｄｔｏｄｅｔｅｍｉｒｎｅｔｈｅ

一类具有时滞的病毒模型的稳定性及Hopf分支

— Ｃ则（）ｔ，１化为
ｆ（＝）￡（ｄａ￡）￡ｘ）（一）ｔ
ｄ（）ｙｔ一ｃ是一（）（￡）＋（￡一ｒ（））￡（）２
【 ” 一）））ｄ）ｒ￡￡ｚ一（一（￡（ｔ
定义１若方程（）ｆｔ￡）ｘ（ — ｒ）其中 ∈ Ｒ，２￡一（，），ｔ），（ｒ０的零解都是渐近稳定的．则其零解称为全时滞稳定的．
（）（，）一ｄｔａ＋ｂｉ△ Ｏｅｌ，一
夏学文教授推荐收稿日期：０６１２０年０月１６日
维普资讯
１４Ｏ
数学理论与应用
第２７卷
．
７（）一Ｖ（），（）一Ｅ户￡（）＝Ｅ￡，一，Ｃ￡￡￡（），￡（）口６— ７Ｅ，ｖｃ— Ｃｐ，一ｂ行一ｂ，ＩＥ户，ａｋ— ＥｏｐｒＡｉａｄｌｔｅａｓｉｎｅｔａｅｔｅｓｆｉｉｎｎｅｅｓｒｏｄｔｏｓｏｓｒｃｎｔｉａｅ。ｖｒｌｍｏｅｗｉｈｄｌｙｎｉｖｓｉｔｄ，ｈｕｆｃｅｔａｄｎｃｓａｙｃｎｉｎｆｇｉｔｅｃｍｐｅｅｄｌｙｓａｉｔｒｉｅＴｈｏｄｔｎｒｒｅｎｒｃｉｌｌｅｒｉｒｔｒｎ．ｕｔｅｍｏｅｈｏｌｔｅａｔｂｌｙａｅｇｖｎ．ｅｃｎｉｏｓａｅｂｉｆｄｐａｔｃｇｂａｃｃｉｅｉｓＦｒｈｒｒ。ｉｉａａａｏＴｈｅａｏｎｎｈｏｄｔｏｓｏｈｘｓｅｃｆＨｏｆｂｆｒａｉｎａｅｏｔｉｅ．ｅｄｌｙｂｕｄａｄｔｅｃｎｉｉｎｆｔｅｅｉｔｎｅｏｐｉｃｔｏｒｂａｎｄｕ

一类具有时滞和常数收获率的比率型功能性反应的捕食-被捕食模型的稳定性与Hopf分支

ｗｉｈＴｉｅＤｅａｎａＶｓｉｇｔｍｌｙａｄＨｒｅｔｎ
ＸＵＥ．ｏ．ＸＵｉＬｉｂＲｕ
（ｅａｔｅｔｆａｉＣｕｓｓｒｎｎｅＥｅｒｇＣｌｇ，Ｓｉａｈａｇ５ｏ３ｈｎ）Ｄｐｒｎ０ｓｏｒ，ｄａｃｎｎｅｉｏｌｅｈｊｚｕｎ０Ｏ０，ＣｉａｍＢｃｅ０ｎｅｉ
ｄｃｉｎ，ｅｄｒｅｅｐｉｉｆ瑚ｕａｄｔｎｌｉｇｔｅｐｌｅｔｓｏｉＩａｉｇｐｒｄｃｓｌｔｎ．ｉａｌ，ｕｕｔｏｗｅｉｘｌｔｌｖｃｏｌｅｅＩｎｎＩｐｒｅｆｆｌｔｅｉｉｏｕｉｓＦｎｌｎ — ｉｈ０ｉｂ．ｃｎｕｏｏｙ
一
类具有时滞和常数收获率的比率型功能性反应的捕食一被捕食模型的稳定性与Ｈ分支叩ｆ
薛立波，徐瑞
（军械工程学院基础部，河北石家庄０Ｏ０）５０３
摘要：研究一类具有时滞和常数收获率的比率型功能性反应的捕食一被捕食模型。首先，分析了模型奇点的类
型，研究了正平衡点的局部稳定性以及Ｈｐ分支的存在性；然后应用中心流形和规范型理论，得到了关于确定ｏｆ
在实际生物开发过程中，如何获得最大年开发量，取得最大的经济效益，是生态经济中十分关注的问题。具有收获的种群动力学模型已受到广泛关注，已经取得许多了相关重要成果。在文献［］２
Ｈｐ分支方向和分支周期解稳定性的计算公式；最后，应用Ｍａａ软件对所得理论结果进行了数值模拟。ｏｆｔｂｌ关键词：时滞；收获率；稳定性；Ｈｐ分支；周期解ｏｆ中图分类号：Ｑ４；Ｏ７１１１５文献标识码：Ａ

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５ｌ６数学杂志Ｖｂ１．３３七。

长∞ 一∞ 。

＾Ｊｃ．山０Ｉ１：＇、ＱＩＯ．Ｏ９６Ｏ．Ｏ９５５Ｏ．Ｏ９５ｏ．０９４５｜Ｉ鲁娶ｌｊ０４ｌａｌｓａ意
山．Ｉｏ≈０ａＪｃＩ．＞七０∞ Ｏ．Ｏ９４Ｏ．ｏ９３５Ｏ．３６图１７＿：０．７５＜ＴＯ，正平衡点Ｙｏ＝（０．６７，０．３８，０．１０）是渐近稳定的ａ）Ｑ ×
ＩＯ．０９６Ｏ．１Ｏ．Ｏ９５．Ｏ９５０．０９４Ｏ．Ｏ９Ｏ．７Ｏ．Ｏ９３ｙ—ｐ图２当丁＝０．７９５＜Ｔｏ正平衡点ｙ０：（０．６７，０．３８，０．１０）处分支周期解
李华刚等：一类带收获和时滞的生态经济模型的稳定性和Ｈｏｐｆ分支
∞ ∞ ＾Ｊ哪ｃ● ５１７茎８秀。

图３当７＿＝０．９＞７０正平衡点ｙ０＝（０．６７，０．３８，０．１０）是不稳定的３结论本文避开直接研究微分代数系统的困难，通过微分代数系统局部参数化的方法把微分代数系统转化为等价的二维微分系统，通过研究微
分系统的稳定性和Ｈｏｐｆ分支性质，从而得到微分代数系统与之有相同的性质．４数值模拟对于系统（１．２），取参数／＇１＝ａ２＝Ｐ＝ｌ，。

＝ｍ＝ｒ２＝１，ａｌ＝２，ｃ＝石１，＝面１，则系统＿＝＿一㈤），．１【Ｅ（）（（ｔ）一）一：０．通过计算容易求的正平衡点Ｙｏ＝（０．６７，０．３８，０．１０），Ａ＝百１，Ｂ＝，Ｃ＝１，Ｄ＝，Ｗ０＝参考文献［１】马知恩．种群生态学的数学模型与研究［Ｍ］．合肥：安徽教育出版社，１９９６．【２］刘宣亮，戴国仁．一个食饵种群具有常数收获率和具有ＩＩＩ类功能性反应系统的定性分析［Ｊ］．生物数学学报，１９９７，１２（３）：２１３—２２２．
５１８数学杂志Ｖｏ１．３３ ¨Ｕ杨建雅，张风琴．一类具有阶段结构的捕食食饵种群收获模型ｆＪ］．数学杂志，２０１０，３０（６）：１０７７—１０８３．【３］［４］邱林．具有时滞的细胞神经网络吸引集与周期解存在性［Ｊ＿．．Ｉ＝程数学学报，２００８，２５（２）：２１１—２１８．【５１ＭａｒｔｉｎＡ，ＲｕａｎＳ．Ｐｒｅｄａｔｏｒ—ｐｒｅｙｍｏｄｅｌｓｗｉｔｈｄｅｌａｙａｎｄｐｒｅｙｈａｒｖｅｓｔｉｎｇ［Ｊ］．Ｊ．Ｍａｔｈ．Ｂｉｏ１．，２００１，４３：２４７－２６７．田晓红，徐瑞，工丽丽．一类具时滞和收获的捕食模型的稳定性与Ｈｏｐｆ分支＿Ｊ］．＿ｒ程数学学报，２０１０，２７（４）：６８４～６９２．ＧｏｒｄｏｎＨ
Ｓ．Ｅｃｏｎｏｍｉｃｔｈｅｏｒｙｏｆａｃｏｍｍｏｎｐｒｏｐｅｒｔｙｒｅｓｏｕｒｃｅ：ｔｈｅｉｆｓｈｅｒｙ［Ｊ］．Ｐｏｌｉｔ．Ｅｃｏｎ．．１９５４．６２：１２４
１４２．ＣｈａｏＬ．Ｄｙｎａｍｉｃａｌｂｅｈａｖｉｏｒｉｎａｈａｒｖｅｓｔｅｄｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ—ａｌｇｅｂｒａｉｃｐｒｅｙ．ｐｒｅｄａｔｏｒｍｏｄｅｌｗ
ｉｔｈｄｉｓｃｒｅｔｅｔｉｍｅｄｅｌａｙａｎｄｓｔａｇｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎｌａｏｆ
ｔｈｅＦｒａｎｋｌｉｎＩｎｓｔｉｔｕｔｅ，２００９，ｄｏｉ：１０．１０１６．ＢｏｓｈａｎＣ，ＸｉａｏｘｉｎＬ，ＹｏｎｇｑｉｎｇＬ．Ｎｏｒｍａｌｆｏｒｍｓａｎｄ
ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎｓｆｏｒｔｈｅｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌａｌｇｅｂｒａｉｃｓｙｓｔｅｍｓ［ＪＪ．ＡｃｔａＭａｔｈ．Ａｐｐ１．Ｓｉｎｉｃａ，２０００，２３：４２９—４３３．ＧｕｏｄｏｎｇＺ，ＬｕｌｕＺ，ＢｏｓｈａｎＣ．Ｈｏｐｆｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎａｎｄｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｒｆａｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ。

ａｌｇｅｂｒａｉｃｂｉｏｌｏｇｉｃａｌｅｃｏｎｏｍｉｃａｌｓｙｓｔｅｍ［Ｊ］．Ａｐｐ１．Ｍａｔｈ．Ｃｏｍｐｕｔ．，２０１０，２１７（１）：３３０－３３８．ＲｕａｎＳ，Ｗｅｉ
Ｊ．Ｏｎｔｈｅｚｅｒｏｓｏｆｔｒａｎｓｃｅｎｄｅｎｔａｌｆｕｎｃｔｉｏｎｓｗｉｔｈａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｔｏｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆｄｅｌａｙｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈｔｗｏｄｅｌａｙｓ［Ｊ］．Ｄｙｎ．Ｃｏｎｔｉｎ．ＤｉｓｃｒｅｔｅＩｍｐｕｌｓ．，２００３，１０：８６３８７４．ＳＩ１ＡＢＩＬＩＴＹＡＮＤＨｏＰＦＢＩＦＵＲＣＡＴＩｏＮＩＮ
ＡＤＥＬＡＹＥＤＥＣ０ＬｏＧＩＣＡＬＥＣｏＮｏＭＩＣＭｏＤＥＬＷＩＴＨＨＡＲＶＥＳＴＩＮＧＬＩＨｕａ－ｇａｎｇ，ＱＩＡＮＪｉｎｇ，ＬＩＢｉ—ｗｅｎ，ＣＨＥＮＢｏ—ｓｈａｎ（ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＳｔａｔｉｓｔｉｃｓ，ＨｕｂｅｉＮｏｒｍａｌｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙＨｕａｎｇｓｈｉ４３５０Ｏ２，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｗｅ
ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｔｈｅｓｔａｂｉｌｉｔｙａｎｄＨｏｐｆｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎｉｎａｄｅｌａｙｅｄｂｉｏｌｏｇｉｃａｌｅｃｏｎｏｍｉｃｓｙｓｔｅｍｗｉｔｈＨｏｌｌｉｎｇＩＩｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｒｅｓｐｏｎｓｅａｎｄｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ－－ａｌｇｅｂｒａｉｃｄｅｓｃｒｉｐ—－ｔｉｏｎ．Ｕｓｉｎｇａｎｅｗｐａｒａｍｅｔｅｒｉｚａｔｉｏｎａｐｐｒｏａｃｈｏｆｔｈｅｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌａｌｇｅｂｒａｉｃｓｙｓｔｅｍ，ｗｅｏｂｔａｉｎｔｈｅｉｎｔｅｒｒｅｌａｔｅｄｓｔａｂｉｌｉｔｙｃｒｉｔｅｒｉｏｎａｎｄｔｈｅｒｅｌａｔｅｄｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｏｆｐｒｏｄｕｃｉｎｇＨｏｐｆｂｒａｎｃｈｏｆｔｈｅｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ——ａｌｇｅｂｒａｉｃｂｉｏｌｏｇｉｃａｌｅｃｏｎｏｍｉｃｓｙｓｔｅｍａｂｏｖｅ－．ｍｅｎｔｉｏｎｅｄｂｙｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇｔｈｅｔｉｍｅｄｅｌａｙａｓｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎｐａｒａｍｅｔｅｒ、ａｎｄｐｏｐｕｌａｒｉｚｅｔｈｅｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓｏｆｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｄｉｆｅｒｅｎｔｉａ１ｓｙｓｔｅｍ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｈａｒｖｅｓｔｉｎ
ｇ；ｔｉｍｅｄｅｌａｙ；ｐｒｅｄａｔｏｒ—ｐｒｅｙｍｏｄｅｌ；ｓｔａｂｉｌｉｔｙ；Ｈｏｐｆｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ２０１０ＭＲＳｕｂｊｅｃｔＣｌａｓｓｉｉｆｃａｔｉｏｎ：３４Ｃ２５；３４Ｋ１５。