2020人教B数学必修3 第8章 8.2 8.2.4 第2课时 三角函数的积化和差与和差化积
人教B版高中数学必修第三册课件 第8章 向量的数量积与三角恒等变换 第2课时 积化和差与和差化积公式
C=4sin sin cos .
2
2
2
证明:左边
-
+
+
+
-
+
+
=sin(B+C)+2sin ·cos =2sin cos
+2sin cos =2cos
2
2
2
2
2
2
2
+
sin 2
+
-
sin 2
故原等式成立.
=4sin2 sin 2 cos2 =右边,
·
1.证明三角恒等式就是借助于三角恒等变换,应用化繁为简、左右归一、
用积化和差公式化简三角函数式时,若三角函数式中存在三个或三个以上
的三角函数可供化和时,应选择两角和或差是特殊角或与其他三角函数有
公因式的两个三角函数进行积化和差.
【变式训练 2】
cos +cos (120°+)+cos (120°-)
化简:
.
sin +sin (120°+)-sin (120°-)
(2)cos 146°+cos 94°+2cos 47°cos 73°.
解:(1)sin 54°-sin 18°=2cos 36°sin
2sin18 °cos18 °cos36 ° 2sin36 °cos36 °
18°=2×
=
=
2cos18 °
2cos18 °
sin72 °
cos18 °
1
=
=
.
2cos18 ° 2cos18 ° 2
=-2sin θ
人教B版高中同步学案数学必修第三册精品课件 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 8.2.3 倍角公式
8.2.3 倍角公式
内
容
索
引
01
基础落实•必备知识全过关
02
重难探究•能力素养全提升
03
学以致用•随堂检测全达标
课标要求
1.掌握倍角的正弦、余弦和正切公式,并能推导.
2.会用倍角公式进行三角函数的求值、化简和证明.
基础落实•必备知识全过关
知识点 倍角公式
记法
公式
推导
S2α
sin 2α= 2sin αcos α
co s 2
1
-tan
2
tan
2
=
1
sin
4
2α.
分析 可先化简等式左边,切化弦,再利用二倍角公式化简出右边.
2=
证明 (方法一)左边= =
=
2 -sin2
cos sin
cos2 -sin2
cos
2- 2
2
2
2
2
cos
sin cos
sin
2
2
2 2
cos2
规律方法 直接应用二倍角公式求值的三种类型
(1)sin α(或 cos α)
cos α(或 sin α)
cos 2α).
(2)sin α(或 cos α)
(3)sin α(或 cos α)
cos 2α=1-2sin2α(或 2cos2α-1).
sin 2α(或
变式训练2
(1)已知 α∈
π
,π
2
(2)已知 sin
(1+sin2)(sin-cos) (sin2 +cos2 +2sincos)(sin-cos)
人教B版高中数学必修第三册8.2.3倍角公式
8．2 三角恒等变换 8．2.3 倍角公式
(教师独具内容) 课程标准：1.能利用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正 弦、余弦、正切公式.2.能利用二倍角公式进行简单的恒等变换． 教学重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式以及应用． 教学难点：二倍角公式的常见变形，三角函数公式的综合应用.
[跟踪训练 1] 求下列各式的值：
(1)cos1π2－sin1π2cos1π2＋sin1π2；(2)1－2tatann1251°5°.
解
(1)cos1π2－sin
1π2cos1π2＋sin
π
12
＝cos21π2－sin21π2＝cosπ6＝
3 2.
(2)1－2tatann1251°5°＝tan30°＝
解
＝2×－54×35＝－2245，
sin2α＝－cos2α＋π2＝1－2cos2α＋π4
＝1－2×352＝275.
∴cos2α＋π4＝
22cos2α－
22sin2α＝
22×－2245－275＝－3150
2 .
解
解决条件求值问题的方法 条件求值问题要注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方 向： (1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化； (2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变 换和角之间的二倍关系．
下
(1)sin2α＝2sinαcosα＝si2ns2iαn＋αccoossα2α＝1＋2tatannα2α，即 sin2α＝1＋2tatannα2α.
(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝csions22αα＋－csoins22αα＝11－ ＋ttaann22αα，即
cos2
2020人教B数学必修3 第8章 8.2 8.2.3 倍角公式
8.2.3倍角公式二倍角公式S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α .C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α .T2α：tan 2α＝2tan α1－tan2α.思考：你是怎样理解倍角公式中的“倍角”二字的？[提示]倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如2α是α的二倍角，8α是4α的二倍角，α2是α4的二倍角等．1.sin 15°sin 75°的值为()A．12B．14C．32D．34B[原式＝sin 15°cos 15°＝12sin 30°＝14.]2.计算1－2sin222.5°的结果为()A．12B．22C．33D．32B[1－2sin222.5°＝cos 45°＝2 2.]3.已知cos α＝13，则cos 2α等于________．－79[由cos α＝13，得cos 2α＝2cos2α－1＝2×⎝⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.](1)cos 4 α2－sin 4 α2；(2)sin π24·cos π24·cos π12；(3)1－2sin 2 750°；(4)tan 150°＋1－3tan 2150°2tan 150°.[思路探究] 灵活运用倍角公式转化为特殊角或产生相消项，然后求得． [解](1)cos 4 α2－sin 4 α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2 α2－sin 2 α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2 α2＋sin 2 α2 ＝cos α.(2)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin π24cos π24cos π12＝12sinπ12cosπ12＝14⎝⎛⎭⎪⎫2sinπ12cosπ12＝14sinπ6＝18，∴原式＝1 8.(3)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝1 2，∴原式＝1 2.(4)原式＝2tan2150°＋1－3tan2 150°2tan 150°＝1－tan2 150°2tan 150°＝1tan(2×150°)＝1tan 300°＝1tan(360°－60°)＝－1tan 60°＝－33，∴原式＝－3 3.二倍角公式的灵活运用：(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现．主要形式有：2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α，cos2α－sin2α＝cos 2α，2tan α1－tan2α＝tan 2α.(2)公式的变形：公式间有着密切的联系，这就要求思考时要融会贯通，有目的地活用公式．主要形式有：1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，1＋cos 2α＝2cos2α，cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝1－cos 2α2.1.求下列各式的值：(1)sinπ8cosπ8；(2)2sin 2π12＋1； (3)cos 20°cos 40°cos 80°.[解](1)原式＝2sin π8cos π82＝sin π42＝24.(2)原式＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2sin 2π12＋2＝2－cos π6＝4－32.(3)原式＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°2sin 20°＝2sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝2sin 80°·cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝18.A ．2B ．－2C ．34D ．－34 (2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2α的值等于( ) A ．79 B ．13 C ．－79D ．－13(3)已知cos α＝－34，sin β＝23，α是第三象限角，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.①求sin 2α的值；②求cos(2α＋β)的值． [思路探究](1)可先求tan α，再求tan 2α； (2)可利用23π－2α＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α求值；(3)可先求sin 2α，cos 2α，cos β，再利用两角和的余弦公式求cos(2α＋β)． (1)D (2)C [(1)因为sin α＝3cos α， 所以tan α＝3， 所以tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝2×31－32＝－34.(2)因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝13， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.](3)[解] ①因为α是第三象限角，cos α＝－34， 所以sin α＝－1－cos 2 α＝－74， 所以sin 2α＝2sin αcos α ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－74×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝378.②因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin β＝23，所以cos β＝－1－sin 2 β＝－53， cos 2α＝2cos 2 α－1＝2×916－1＝18，所以cos(2α＋β)＝cos 2αcos β－sin 2αsin β＝18×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53－378×23＝－5＋6724.直接应用二倍角公式求值的三种类型：(1)sin α(或cos α)―――――――――→同角三角函数的关系cos α(或sin α)――――→二倍角公式sin 2α(或cos 2α)．(2)sin α(或cos α)――――→二倍角公式cos 2α＝1－2sin 2 α(或2cos 2 α－1)． (3)sin α(或cos α)――――――→同角三角函数的关系⎩⎪⎨⎪⎧cos α(或sin α)，tan α――――→二倍角公式tan 2α.2.(1)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，则sin 2α＝______，cos 2α＝________，tan2α＝________.(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝16，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求tan 4α的值．(1)－45 35 －43 [因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－255，所以sin2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－45，cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝35，tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－43.](2)[解] 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α， 则已知条件可化为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝16，即12sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝16，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝13，所以cos 2α＝13.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以2α∈(π，2π)，从而sin 2α＝－1－cos 22α＝－223， 所以tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－22，故tan 4α＝2tan 2α1－tan 22α＝－421－(－22)2＝427.【例3】 求证：cos 1tan α2－tan α2＝14sin 2α. [思路探究] 可先化简左边，切化弦，再利用二倍角公式化简出右边． [证明] 法一：左边＝cos 2αcos α2sin α2－sin α2cos α2＝cos 2αcos 2α2－sin 2α2sin α2cos α2＝cos 2αsin α2cos α2cos 2α2－sin 2α2＝cos 2αsin α2cos α2cos α＝sin α2cos α2cos α＝12sin αcos α＝14sin 2α＝右边． ∴原式成立．法二：左边＝cos 2αtan α21－tan 2α2＝12cos 2α·2tan α21－tan 2α2＝ 12cos 2α·tan α＝12cos αsin α＝14sin 2α＝右边． ∴原式成立．证明问题的原则及一般步骤：(1)观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想．(2)证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”“异名化同名”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．3.求证：cos 2(A ＋B )－sin 2(A －B )＝cos 2A cos 2B ． [解] 左边＝1＋cos (2A ＋2B )2－1－cos (2A －2B )2＝cos (2A ＋2B )＋cos (2A －2B )2＝12(cos 2A cos 2B －sin 2A sin 2B ＋cos 2A cos 2B ＋sin 2A sin 2B )＝cos 2A cos 2B ＝右边，∴等式成立.1.在化简1＋sin α－cos α1＋sin α＋cos α＋1＋cos α＋sin α1－cos α＋sin α时，如何灵活使用倍角公式？[提示] 在化简时，如果只是从α的关系去整理，化简可能感觉无从下手，但如果将α看成α2的倍角，可能会有另一种思路，原式＝2sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α22cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2＋2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α22sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α2 ＝sin α2cos α2＋cos α2sin α2＝1sin α2cos α2＝2sin α. 2.如何求函数f (x )＝2cos 2x －1－23sin x cos x (x ∈R )的最小正周期？ [提示] 求函数f (x )的最小正周期，可由f (x )＝(2cos 2x －1)－3(2sin x cos x )＝cos 2x －3sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ，知其最小正周期为π.【例4】 求函数f (x )＝53cos 2x ＋3sin 2x －4sin x cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24的最小值，并求其单调减区间．[思路探究] 化简f (x )的解析式→f (x )＝A sin (ωx ＋φ)＋B →ωx ＋φ的范围→求最小值，单调减区间 [解] f (x )＝53·1＋cos 2x 2＋3·1－cos 2x2－2sin 2x ＝33＋23cos 2x －2sin 2x ＝33＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 2x －12sin 2x＝33＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3cos 2x －cos π3sin 2x ＝33＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝33－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，∵π4≤x ≤7π24，∴π6≤2x －π3≤π4， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，22，所以当2x －π3＝π4，即x ＝7π24时， f (x )取最小值为33－2 2.因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24上单调递增，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24上单调递减．本题考查二倍角公式，辅助角公式及三角函数的性质.解决这类问题经常是先利用公式将函数表达式化成形如y ＝A sin (ωx ＋φ)的形式，再利用函数图像解决问题.4．求函数y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4 x 的最小正周期和最小值，并写出该函数在[0，π]上的单调递减区间．[解] y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 2x －cos 2x )＋23sin x cos x ＝－cos 2x ＋3sin 2x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x －12cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以T ＝2π2＝π，y min ＝－2.由2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z ， 又x ∈[0，π]， 所以令k ＝0，得函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6.1.对于“二倍角”应该有广义上的理解如：8α是4α的二倍；4α是2α的二倍；α2是α4的二倍；α3是α6的二倍；α2n ＝2α2n ＋1(n ∈N *)．2.二倍角的余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．常用形式： ①1＋cos 2α＝2cos 2 α；②cos 2 α＝1＋cos 2α2；③1－cos 2α＝2sin 2 α；④sin 2α＝1－cos 2α2.1.(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( )A ．15 B ．55 C ．33D ．255B [由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin α·cos α＝2cos 2α. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2sin α＝cos α.又∵sin 2 α＋cos 2 α＝1， ∴sin 2 α＝15.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝55.故选B ．]2.⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12的值为( ) A ．－32 B ．－12 C ．12D ．32D [原式＝cos 2π12－sin 2π12＝cos π6＝32.]3.已知tan α＝－13，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝________.－56 [sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2α1＋2cos 2α－1＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－56.] 4．求下列各式的值： (1)cos π5cos 2π5；(2)12－cos 2π8.[解](1)原式＝2sin π5cos π5cos 2π52sin π5＝sin 2π5cos 2π52sin π5＝sin 4π54sin π5＝sin π54sin π5＝14.1－2cos2π82＝－2cos2π8－12＝－12cosπ4＝－24.(2)原式＝。
人教B版高中数学必修第三册精品课件 第8章 向量的数量积与三角恒等变换 向量数量积的运算律
提示:有.
2.向量数量积的运算律:
(1)交换律:a·b=b·a;
(2)分配律:(a+b)·c=a·c+b·c;
(3)数乘向量结合律:对任意实数λ,有λ(a·b)=(λa)·b=a·(λb).
3.已知点 A,B,C 满足| |=3,| |=4,||=5,则 · + · + ·
求证:四边形ABCD是菱形.
证明:如图,设对角线 AC,BD 交于点 O,则有 = , = ,
∴ + = + ,
∴ = .
故四边形 ABCD 是平行四边形.
又||2+||2=||2,| |2+||2=| |2,
∴||=| |.故四边形 ABCD 是菱形.
∴cos
1
θ=-2.
2π
∵0≤θ≤π,∴θ= 3 .
(2)a+b 在向量 b
(+)·
上的投影的数量为 ||
=|a|cos θ+|b|=4×
1
2
+3=1.
=
·+ 2
||
=
||||cos + 2
||
本 课 结 束
∵|a-b|=√6,∴a2-2a·b+b2=6,②
①-②,得 4a·b=4,∴a·b=1.
答案:1
.
1
4.已知单位向量e1,e2的夹角为α,且cos α= 3 ,若向量a=3e1-2e2,则
|a|=
.
解析:∵|a|
1
2
2
=(3e1-2e2) =91 -12e1·e2+42 =9-12×3+4=9,
人教B版高中数学必修第三册8.2.4三角恒等变换的应用
(3)如给出的角 α 是某一象限角时，则根据下表决定符号：
α
α 2
sinα2
cosα2
tanα2
第一象限 第一、三象限 ＋、－ ＋、－
＋
第二象限 第一、三象限 ＋、－ ＋、－
＋
第三象限 第二、四象限 ＋、－ －、＋
－
第四象限 第二、四象限 ＋、－ －、＋
－
(4)由于 tanα2＝1＋sincoαsα及 tanα2＝1－sincoαsα不含被开方数，且不涉及符号问
2．应用和差化积公式的注意事项 (1)在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是 异名，必须用诱导公式化为同名，若是高次函数，必须用降幂公式降为一 次． (2)根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑： ①运用公式之后，能否出现特殊角； ②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项． (3)为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把某些常数当作三 角函数值才能应用公式，如12－cosα＝cosπ3－cosα.
[跟踪训练 1] 化简计算： 2cos2α－1
(1)2tanπ4－αsin2π4＋α； (2)1＋sinco4sx4x·1＋cocso2sx2x·1＋cocsoxsx； (3)sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°.
解
(1)原式＝2tanπ4－cαosc2oαs2π4－α
＝2sinπ4－coαs2coαsπ4－α
1
PART ONE
核心概念掌握
知识点 一 半角公式
1－cosα Sα2：sinα2＝ 01 ____±______2________，
1＋cosα Cα2：cosα2＝ 02 ____±_______2_______，
人教B版高中同步学案数学必修第三册精品课件 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 向量数量积的概念
在平面内任取一点 O,作=a,=b,以, 为邻边作平行四边形 OACB,
如图所示.
∵|a|=|b|,∴||=||,
∴四边形 OACB 为菱形,OC 平分∠AOB.
这时 =a+b,=a-b,而|a|=|b|=|a-b|,即||=||=||,
∴△AOB 为正三角形,故∠AOB=60°,
于是∠AOC=30°,即<a,a+b>=30°.
规律方法 熟练应用数形结合思想,恰当运用向量的几何意义是解决此类
问题的有效方法.
变式训练
若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则<a+b,a-b>是(
π
A. 6
π
B. 3
2π
C. 3
5π
所以 ⊥ ,即 AC⊥BD,
所以 EF⊥GF,所以四边形 EFGH 是矩形.
(2)解因为a·b=|a||b|cos<a,b>,所以
|a·b|=||a||b|cos<a,b>|=|a||b||cos<a,b>|=6.
6
又|a|=3,|b|=4,所以|cos<a,b>|=||||
所以
=
6
3×4
重难探究•能力素养全提升
探究点一 与向量数量积有关问题的判断
【例1】 已知a,b,c是三个非零向量,则下列正确的个数为(
)
①|a·b|=|a||b|⇔a∥b;②a,b反向⇔a·b=-|a||b|;③a⊥b⇔|a+b|=|a-b|;
④|a|=|b|⇔|a·c|=|b·c|.
A.1
B.2
C.3
D.4
新教材人教B版数学必修第三册课件：8.2.4三角恒等变换的应用(一)
公式的推导:tan
＝
sin
2
2sin ＝
2
cos
2
＝
sin
，
2 cos 2cos2 1＋cos
2
2
tan
＝
sin
2
＝
2sin2 2
＝1－cos .
2 cos 2sin cos sin
2
22
【延伸·练】
已知cos α= 3,α为第四象限角,则tan 的值为
【典例】化简:
(1＋sin＋cos)(sin
－cos 2
) 2
(0<θ<π).
世纪金榜导学号
2＋2cos
【思维·引】利用倍角公式及半角公式解决,注意角度
的范围.
【解析】由θ∈(0,π),得0< ,所以cos >0,
22
2
所以 2＋2cos＝ 4cos2 ＝2cos .
2
2
又(1+sin θ+cos θ) (sin －cos )
【习练·破】
已知α∈(π,2π),则 1 cos( ) 等于 ( )
2
A.sin
2
B.cos
2
C.-sin D.-cos
2
2
【解析】选D.因为α∈(π,2π),
所以 ( , )，
22
所以 1 cos( ) 1 cos | cos | cos .
2
2
2
2
【加练·固】
已知π<α< 3 ,化简:
数学运算的核心素养.
本例条件不变求sin ( ) ,tan (－ ) 的值.
2
2
新教材人教B版高中数学必修第三册第八章向量的数量积与三角恒等变换 精品教学课件(共236页)
如图,延长BC到D,使CD=BC,连接AD,则△ABD为等边三角形,
所以AC⊥BC,∠BAC=30°,所以向量BC与 C的A 夹角为90°, AB与 C的A夹角为150°. 答案:90° 150°
【类题通法】求平面向量的夹角的方法技巧 (1)已知平面向量的长度和数量积,利用夹角余弦公式计算cos<a,b>= a b ,
提示:(1)W=10×6=60(J). (2)W=10×6×cos 60°=30(J). (3)W=|F||s|cos θ(J).
2.向量的夹角:正方形ABCD,如图.
(1)向量 AB与AD 的夹角等于__2___,表示为〈_A__B_，A__D_〉__2___. (2)向量 AB与CA 的夹角等于__34___,表示为〈_A__B_，C_A__〉__3_4__.
【典例3】(1)已知向量b的模为1,且b在a方向上的投影的数量为 3 ,则a与b的
2
夹角为 ( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
(2)已知平面向量|a|=2,|b|=6且a·b=-4,则a在b上投影的数量为
,b在
a上投影的数量为
.
【思维导引】(1)向量b在a方向上的投影的数量为|b|cos<a,b>,再求向量的
=18+36-18=36.
【类题通法】关于向量数量积的几点注意事项
两个向量的数量积与实数的积有很大区别:
(1)两个非零向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由cos θ的符号所决定.
(2)计算两个平面向量的数量积,首先要明确两个平面向量的长度和夹角,再利
用向量的数量积公式计算a·b=|a||b|cos<a,b>.
人教B版高中数学必修第三册精品课件 第8章 向量的数量积与三角恒等变换 第2课时 两角和与差的正切
解:∵cos
4
1
α= ,α∈(0,π),tan(α-β)= ,求
5
2
tan(2α-β)的值.
4
α= >0,α∈(0,π),
5
∴sin α>0.
∴sin α=
∴tan
1-cos 2
sin
α=cos
=
3
5
4
5
=
=
1-
4 2
5
=
3
,
5
3
.
4
tan +tan (-)
tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]=1-tan ·tan (-)
α,β,α+β≠kπ+ 2 (k∈Z)且
tan α·tan β≠1
π
α,β,α-β≠kπ+ 2 (k∈Z)且
tan α·tan β≠-1
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“ ”,错误的画“×”.
(1)存在α,β∈R,使tan(α+β)=tan α+tan β成立.(
)
tan +tan
2π
D.- 3
π π
-2,2
,
错解:∵tan α,tan β 是方程 x2+3 3x+4=0 的两个根,
∴tan α+tan β=-3 3,tan αtan β=4.
tan +tan
∴tan(α+β)=
1-tan tan
又 α,β∈
π π
-2,2
2π
∴α+β=- 或
3
答案:B
=
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第2课时三角函数的积化和差与和差化积1.积化和差公式cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]；sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]．2.和差化积公式设α＋β＝x，α－β＝y，则α＝x＋y2，β＝x－y2.这样，上面的四个式子可以写成，sin x＋sin y＝2sin x＋y2cosx－y2；sin x－sin y＝2cos x＋y2sinx－y2；cos x＋cos y＝2cos x＋y2cosx－y2；cos x－cos y＝－2sin x＋y2sinx－y2.思考：和差化积公式的适用条件是什么？[提示]只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果是一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式．1.计算sin 105°cos 75°的值是( )A ．12B ．14C ．－14D ．－12 B [sin 105°cos 75°＝12(sin 180°＋sin 30°)＝14.] 2.sin 20°·cos70°＋sin10°·sin50°的值为( ) A ．－14 B ．14 C ．12D ．－12B [sin20°·cos70°＋sin10°·sin50°＝12[]sin ()20°＋70°＋sin ()20°－70°＋12[cos(10°－50°)－cos ()10°＋50°]＝12()sin 90°－sin 50°＋12()cos 40°－cos 60°＝14－12sin 50°＋12cos 40°＝14－12sin 50°＋12sin 50°＝14.故选B ．] 3.下列等式正确的是( ) A ．sin x ＋sin y ＝2sin x ＋y 2sin x －y 2 B ．sin x －sin y ＝2cos x ＋y 2cos x －y2 C ．cos x ＋cos y ＝2cos x ＋y 2cos x －y2 D ．cos x －cos y ＝2sin x ＋y 2sin x －y2 C [由和差化积公式知C 正确．](2)求值：sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°.[思路探究]利用积化和差公式化简求值，注意角的变换，尽量出现特殊角．[解](1)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°＝12(sin 90°－sin 50°)－12(cos 60°－cos 40°)＝14－12sin 50°＋12cos 40°＝14－12sin 50°＋12sin 50°＝14.(2)原式＝cos 10°cos 30°cos 50°cos 70°＝32cos 10°cos 50°cos 70°＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(cos 60°＋cos 40°)·cos 70°＝38cos 70°＋34cos 40°cos 70°＝38cos 70°＋38(cos 110°＋cos 30°)＝38cos 70°＋38cos 110°＋316＝316.积化和差公式的功能与关键(1)功能：①把三角函数的一种形式(积的形式)转化为另一种形式(和差的形式).②将角度化为特殊角求值或化简，将函数式变形以研究其性质.(2)关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数.1.求sin 220°＋cos 250°＋sin 20°cos 50°的值．[解] 原式＝1－cos 40°2＋1＋cos 100°2＋12(sin 70°－sin 30°)＝1＋12(cos 100°－cos 40°)＋12sin 70°－14 ＝34＋12(－2sin 70°sin 30°)＋12sin 70° ＝34－12sin 70°＋12sin 70°＝34.【例2】已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13，求sin(α＋β)的值．[思路探究]利用和差化积公式，对所求式子进行变形，利用所给条件求解．[解]∵cos α－cos β＝1 2，∴－2sin α＋β2sinα－β2＝12. ①又∵sin α－sin β＝－1 3，∴2cos α＋β2sinα－β2＝－13. ②∵sin α－β2≠0，∴由①②，得－tan α＋β2＝－32，即tanα＋β2＝32.∴sin(α＋β)＝2sinα＋β2cosα＋β2 sin2α＋β2＋cos2α＋β2＝2tanα＋β21＋tan2α＋β2＝2×321＋94＝1213.和差化积公式应用时的注意事项(1)在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名，若是高次函数，必须用降幂公式降为一次.(2)根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑：①运用公式之后，能否出现特殊角；②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项.(3)为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把某些常数当作三角函数值才能应用公式，如12－cos α＝cosπ3－cos α.1.解决与三角形有关问题时应注意哪些隐含条件的应用？[提示]注意三角形中的隐含条件的应用，如A＋B＋C＝π，a＋b>c等．2.在△ABC中有哪些重要的三角关系？[提示]在△ABC中的三角关系：sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C，sin A＋B2＝cosC2，cosA＋B2＝sinC2，sin(2A＋2B)＝－sin 2C，cos(2A＋2B)＝cos 2C．【例3】在△ABC中，求证：sin A＋sin B－sin C＝4sin A2sinB2cosC2.[思路探究]利用和差化积进行转化，转化时要注意A＋B＋C＝π.[解]左边＝sin(B＋C)＋2sin B－C2·cosB＋C2＝2sin B＋C2cosB＋C2＋2sinB－C2cosB＋C2＝2cos B＋C2⎝⎛⎭⎪⎫sinB＋C2＋sinB－C2＝4sin A2sinB2cosC2＝右边，∴原等式成立．证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更论证等方法，使等式两端的“异”化为“同”，分式不好证时，可变形为整式来证.2.在△ABC中，求证：sin A＋sin B＋sin C＝4cos A2cosB2·cosC2.[证明]由A＋B＋C＝180°，得C＝180°－(A＋B)，即C2＝90°－A＋B2，∴cosC2＝sinA＋B2.∴sin A＋sin B＋sin C＝2sin A＋B2·cosA－B2＋sin(A＋B)＝2sin A＋B2·cosA－B2＋2sinA＋B2·cosA＋B2＝2sin A＋B2⎝⎛⎭⎪⎫cosA－B2＋cosA＋B2＝2cos C2·2cosA2·cos⎝⎛⎭⎪⎫－B2＝4cos A2cosB2cosC2，∴原等式成立．1.公式的记忆和差化积公式记忆口诀：“正和正在前，正差正后迁；余和一色余，余差翻了天．”(正代表sin α，余代表cos α)2.公式的应用注意公式的应用条件、各种三角恒等变换公式以及公式之间的相互推导.1.sin 75°－sin 15°的值为( ) A ．12 B ．22 C ．32D ．－12B [sin 75°－sin 15°＝2cos75°＋15°2sin 75°－15°2＝2×22×12＝22.故选B ．]2.函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6cos x 的最大值为( )A ．12B ．14C ．1D ．22B [∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6cos x＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6－x ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－12＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－14. ∴函数y 的取最大值为14.]3.已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝15，则sin αcos β＝________. 1330 [sin αcos β＝12sin(α＋β)＋12sin(α－β)＝12×23＋12×15＝1330.] 4．化简下列各式： (1)cos A ＋cos (120°＋B )＋cos (120°－B )sin B ＋sin (120°＋A )－sin (120°－A )；(2)sin A ＋2sin 3A ＋sin 5Asin 3A ＋2sin 5A ＋sin 7A.[解](1)原式＝cos A ＋2cos 120°cos Bsin B ＋2cos 120°sin A＝cos A －cos B sin B －sin A ＝2sin A ＋B 2sin B －A 22cos A ＋B 2sin B －A2＝tan A ＋B 2.(2)原式＝(sin A＋sin 5A)＋2sin 3A (sin 3A＋sin 7A)＋2sin 5A＝2sin 3A cos 2A＋2sin 3A 2sin 5A cos 2A＋2sin 5A＝2sin 3A(cos 2A＋1)2sin 5A(cos 2A＋1)＝sin 3Asin 5A.。