初高中数学衔接课 一元二次方程根与系数的关系
2018高中数学初高中衔接读本专题2.2根与系数的关系韦达定理高效演练学案_1103
第2讲 根与系数的关系（韦达定理）现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用,而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系,在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着重要应用、本专题将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等进行讲述。
【知识梳理】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为:x x ==所以:1222b b b x x a a a-+--+=+=-,221222()422(2)4b b b ac cx x a a a a a-+----⋅=⋅=== 定理:如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ,那么:1212,b cx x x x a a+=-=说明:一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现,所以通常把此定理称为”韦达定理”、上述定理成立的前提是0∆≥、 【高效演练】1.若12x x ， 是一元二次方程2230x x -=- 的两个根,则12·x x 的值是( ) A 、2 B 、－2 C 、4 D 、－3【解析】:方程的两根为1x ,2x ,根据题意得123cx x a==-、故选D 、 【答案】D 、2、若α,β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根,则α2+β2的值为（）A. 5B. 7C. 9D.10【解析】∵α,β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根,∴α+β=2,αβ=﹣3,∴α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=22﹣2×（﹣3）=10、故选D、【答案】D3、关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根同为负数,则( )A. p＞0且q＞0B. p＞0且q＜0C. p＜0且q＞0D. p＜0且q＜0【解析】试题解析:设x1,x2是该方程的两个负数根,则有x1+x2＜0,x1x2＞0,∵x1+x2=-p,x1x2=q∴-p＜0,q＞0∴p＞0,q＞0、故选A、【答案】A4.方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根,且满足x1＋x2＝x1x2,则m的值是( )A. －2或3B. 3C. －2D. －3或25.规定:如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）有两个实数根,且其中一个根是另一个根的2倍,则称这样的方程为“倍根方程”、现有下列结论: ①方程2280x x +-=是倍根方程；②若关于x 的方程220x ax ++=是倍根方程,则a =±3；③若关于x 的方程260ax ax c -+=（a ≠0）是倍根方程,则抛物线26y ax ax c =-+与x 轴的公共点的坐标是（2,0）和（4,0）；④若点（m ,n ）在反比例函数4y x=的图象上,则关于x 的方程250mx x n ++=是倍根方程、上述结论中正确的有（ ）A 、①②B 、③④C 、②③D 、②④ 【解析】③关于x 的方程260ax ax c -+=（a ≠0）是倍根方程,∴x 2=2x 1,∵抛物线26y ax ax c =-+的对称轴是直线x =3,∴抛物线26y ax ax c =-+与x 轴的交点的坐标是（2,0）和（4,0）,故③正确；④∵点（m ,n ）在反比例函数4y x =的图象上,∴mn =4,解250mx x n ++=得x 1=﹣2m,x 2=﹣8m,∴x 2=4x 1,∴关于x 的方程250mx x n ++=不是倍根方程；故选C 、 【答案】C 、6.已知关于x 的一元二次方程230x x --=的两个实数根分别为,αβ,则()()11αβ--=__________.【解析】∵关于x 的方程: 230x x --=的两个实数根分别为αβ、, ∴13αβαβ+==-，,∴()()()1113113αβαβαβ--=-++=--+=-. 【答案】-37.若方程210x x --=的两实根为a 、b ,则11ab+的值为_______。
一元二次方程-走进新高一初升高数学完美衔接课
初高中衔接教材一元二次方程1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般式：.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的.（1时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3时，一元二次方程没有实数根.5.一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）如果一元二次方程的实数根分别为、，则，.一元二次方程的根的判别式都成立，主要应用有以下几个：（1）不需要解方程就可以判定方程根的情况；（2）根据系参数的性质确定根的范围；（3）解与根有关的证明题；（4）已知方程的一个根，不需要解方程求另一个根与参数系数；（5）已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；（6）已知方程两个根，求以方程两根或其代数式为根的一元二次方程.例1：根的判别式的应用（1）（2）【解答】（1）两个不相等的实数根；（2）两个实数根.【解析】（1）在中，，，∴方程有两个不相等的实数根；（2）方程是一元二次方程，常数项为0，无论取任何实数，均为非负数，，故方程有两个实数根.例2：根的判别式的逆运用关于的一元二次方程.（1）k为何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）k为何值时，方程有两个相等的实数根？（3）k为何值时，方程没有实数根？【解答】见解析.（1）∵方程有两个不相等的实数根，，即，解得；（2）∵方程有两个相等的实数根，，即，解得（3）∵方程没有实数根，，即，解得.例3：通过根的判别式推理论证求证：关于的方程没有实数根.【解答】见解析【解析】∵不论m取任何实数，，∴，巩固练习一．选择题1．已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，则方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为（）A．1，5B．﹣1，3C．﹣3，1D．﹣1，52．的实数根的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个3．若x为任意实数，且M＝（7﹣x）（3﹣x）（4﹣x2），则M的最大值为（）A．10B．84C．100D．1214．已知x，y为实数，且满足x2﹣xy+4y2＝4，记u＝x2+xy+4y2的最大值为M，最小值为m，则M+m＝（）A B．C D二．填空题5．若关于x的方程（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是．6．若方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2＝0有实根，则＝7．已知，则的值等于．8．对于一切正整数n，关于x的一元二次方程x2﹣（n+3）x﹣3n2＝0的两个根记为a n、b n，则＝．9．已知a是方程x2﹣2013x+1＝0一个根，求a2﹣2012a的值为．三．解答题10．当m为整数时，关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0是否有有理根？如果有，求出m的值；如果没有，请说明理由．11．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣0．（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．12．已知实数a，b，c满足：a2+b2+c2+2ab＝1，又α，β为方程（a+b）x2﹣（2a+c）x﹣（a+b）＝0的值．13．已知关于x的方程（1﹣2k）x2﹣x﹣1＝0（1）若此方程为一元一次方程，求k的值．（2）若此方程为一元二次方程，且有实数根，试求k的取值范围．14．今年奉节脐橙喜获丰收，某村委会将全村农户的脐橙统一装箱出售．经核算，每箱成本为40元，统一零售价定为每箱50元，可以根据买家订货量的多少给出不同的折扣价销售．（1）问最多打几折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%？（2）该村最开始几天每天可卖5000箱，因脐橙的保鲜周期短，需要尽快打开销路，减少积压，村委会决定在零售价基础上每箱降价3m%m%；为了保护农户的收益与种植积极性，政府用“精准扶贫基金”给该村按每箱脐橙m元给予补贴进行奖励，结果该村每天脐橙销售的利润为49000元，求m的值．15．某汽车专卖店经销某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为15万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．（1）当售价为22万元/辆时，求平均每周的销售利润．（2）若该店计划平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价．16．某商店将进货价为8元/件的商品按10元/件售出，每天可售200件，通过调查发现，该商品若每件涨0.5元，其销量就减少10件．（1）请你帮店主设计一种方案，使每天的利润为700元．（2）将售价定为多少元时，能使这天利润最大？最大利润是多少元？17．每年九月是开学季，大多数学生会购买若干笔记本满足日常学习需要，校外某文具店老板开学前某日去批发市场进货，购进甲乙丙三种不同款式的笔记本共950本，已知甲款笔记本的进价为2元/本，乙款笔记本的进价是4元/本，丙款笔记本的进价是6元/本．（1）本次进货共花费3300元，并且甲款的笔记本数量是乙款笔记本数量的2倍，请问本次购进丙款笔记本多少本？（2）经过调研发现，甲款笔记本、乙款笔记本和丙款笔记本的零售价分别定为4元/本、6元/本和10元/本时，每天可分别售出甲款笔记本30本，乙款笔记本50本和丙款笔记本20本．如果将乙款笔记本的零售元（a＞25），甲款笔记本和丙款笔记本的零售价均保持不变，那么乙款笔记本每天的销售量将下降a%，丙款笔记本每天的销售量将上升%，甲款笔记本每天的销量仍保持不变；若调价后每天销售三款笔记本共可获利260元，求a的值．18．某水果批发商场经营一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要尽量减少库存，那么每千克应涨价多少元？19．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫降价1元，那么商场平均每天可多售出2件，若商场想平均每天盈利达1200元，那么每件衬衫应降价多少元？20．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润为120元，为了扩大销量，尽快减少库存，超市准备适当降价，据测算，若每箱降价2元，则每天可多售出4箱．（1）如果要使每天销售该饮料获利14000元，则每箱应降价多少元．（2）每天销售该饮料获利能达到14500元吗？若能，则每箱应降价多少？若不能，请说明理由．21．某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，如果要使产量增加15.2%，且所种桃树要少于原有桃树，那么应多种多少棵桃树？22．某商店准备进一批季节性小家电，单价40元，经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量减少10个．因受库存影响，每批次进货个数不得超过180个．商店若准备获利2000元，则应进货多少个？定价多少元？。
一元二次的根与系数的关系讲解
一元二次的根与系数的关系讲解一元二次方程，听起来是不是有点高深？别担心，今天我们就来轻松聊聊它的根与系数的关系，让数学变得更亲民，顺便让你对这个公式有个更深的了解。
1. 一元二次方程的基础知识1.1 方程的样子首先，一元二次方程的标准形式是 ( ax^2 + bx + c = 0 )。
听起来像是天书，但其实这就像是我们的日常生活，有点复杂却又很普通。
这里的 ( a )、( b )、和 ( c ) 就是方程的系数，分别代表不同的“角色”。
记住哦，( a ) 不能等于零，因为那样就变成了一元一次方程了。
1.2 方程的根接下来，咱们来聊聊根。
方程的根就是能让方程成立的 ( x ) 值，也就是那些“救世主”。
一元二次方程的根可以通过求根公式来找到，公式是：。
x = frac{b pm sqrt{b^2 4ac{2a 。
看，这个公式是不是有点吓人？但其实，简单的说就是，我们用系数来计算 ( x )的值，得出根。
2. 根与系数的关系2.1 根的和与积好啦，咱们现在进入重点了。
根与系数的关系有两个重要的概念：根的和和根的积。
根的和是 ( x_1 + x_2 = frac{b{a )，根的积是 ( x_1 cdot x_2 = frac{c{a )。
这就像是人生中的搭档，两个根在方程里一起工作，和谐又有趣。
比如说，假设你有两个好朋友，他们的性格互补，一个内向，一个外向，正好平衡了你们的生活。
2.2 实际应用那么，这些公式有什么实际用处呢？想象一下，你在做生意，或者计划一个活动，常常会遇到需要计算最佳方案的情况。
通过一元二次方程的根与系数关系，你能找到最优解。
就像找到了通往成功的“密码”，让你事半功倍。
3. 总结与思考3.1 乐趣无穷的数学数学其实是个充满乐趣的世界，像是拼图一样，只要你找到合适的拼块，就能看到完整的画面。
一元二次方程就像是其中的一块拼图，让我们看到数字背后的奥秘。
3.2 保持好奇心所以，不要害怕数学的复杂性！保持好奇心，多去探究，才能真正理解它的魅力。
新高考 初高中衔接第6讲 一元二次方程根与系数的关系(原卷版+解析版)
【第6讲】 一元二次方程根与系数的关系【第6讲】 一元二次方程根与系数的关系【基础知识回顾】知识点1 一元二次方程的根的判断式一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+=(1) 当240b ac ->时，右端是正数，方程有两个不相等的实数根：2b x a-±=(2) 当240b ac -=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：1,22b x a=- (3) 当240b ac -<时，右端是负数．因此，方程没有实数根．由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：24b ac ∆=-知识点2 一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：x x ==所以：12b x x a+=+=-，221222()422(2)4b b b ac cx x a a a a a-+---⋅=⋅===韦达定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：1212,b cx x x x a a+=-=【合作探究】探究一 ∆与根个数之间的关系【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：(1) 22310x x -+=(2) 24912y y +=(3) 25(3)60x x +-=【解析】：(1)2 (3)42110∆=--⨯⨯=>，∴ 原方程有两个不相等的实数根．(2) 原方程可化为：241290y y -+=2 (12)4490∆=--⨯⨯=，∴ 原方程有两个相等的实数根．(3) 原方程可化为：256150x x -+=2 (6)45152640∆=--⨯⨯=-<，∴ 原方程没有实数根．归纳总结：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．【练习1-1】已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相等的实数根(3)方程有实数根；(4) 方程无实数根．【解析】：2(2)43412k k ∆=--⨯⨯=-(1) 141203k k ->⇒<； (2) 141203k k -=⇒=；(3) 141203k k -≥⇒≥；(4) 141203k k -<⇒<．【练习1-2】已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值． 【解析】：可以把所给方程看作为关于x 的方程，整理得：22(2)10x y x y y --+-+= 由于x 是实数，所以上述方程有实数根，因此：222[(2)]4(1)300y y y y y ∆=----+=-≥⇒=，代入原方程得：22101x x x ++=⇒=-．综上知：1,0x y =-=探究二 一元二次方程的根与系数的关系【例2-1】若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +；(2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．【解析】：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=-(1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---= (2)121212112220072007x x x x x x +-+===- (3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-(4) 12||x x -====归纳总结：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．【练习2】若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根．（1）求| x 1－x 2|的值； （2）求221211x x +的值；（3）x 13＋x 23． 【解析】：∵x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根，∵1252x x +=-，1232x x =-． （1）∵| x 1－x 2|2＝x 12+ x 22－2 x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－4 x 1x 2＝253()4()22--⨯-＝254＋6＝494，∵| x 1－x 2|＝72．（2）22221212122222221212125325()2()3()2113722439()9()24x x x x x x x x x x x x --⨯-+++-+=====⋅-．（3）x 13＋x 23＝(x 1＋x 2)( x 12－x 1x 2＋x 22)＝(x 1＋x 2)[ ( x 1＋x 2) 2－3x 1x 2] ＝(－52)×[(－52)2－3×(32-)]＝－2158． 【例2-2】已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数． 【解析】：法一 设这两个数分别是x ，y ，则{412x y xy +==-1126x y =-⎧⇒⎨=⎩或2262x y =⎧⎨=-⎩．因此，这两个数是－2和6．法二 由韦达定理知，这两个数是方程x 2－4x －12＝0的两个根．解方程得：x 1＝－2，x 2＝6．所以，这两个数是－2和6．【例2-2】关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值． (1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =． 【解析】：(1) ∵方程两实根的积为5∴ 222121[(1)]4(1)034,412154k k k k x x k ⎧∆=-+-+≥⎪⎪⇒≥=±⎨⎪=+=⎪⎩ 所以，当4k =时，方程两实根的积为5． (2) 由12||x x =得知： ①当10x ≥时，12x x =，所以方程有两相等实数根，故302k ∆=⇒=； ②当10x <时，12120101x x x x k k -=⇒+=⇒+=⇒=-，由于302k ∆>⇒>，故1k =-不合题意，舍去．综上可得，32k =时，方程的两实根12,x x 满足12||x x =． 探究三 一元二次方程的根的范围【例3-1】若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围．【解析】：设x 1，x 2是方程的两根，则x 1x 2＝a －4＜0， ∵且Δ＝(－1)2－4(a －4)＞0． ∵ 由∵得 a ＜4， 由∵得 a ＜174 ．∵a 的取值范围是a ＜4．【例3-2】一元二次方程有两个实根，一个比3大，一个比3小，求的取042=+-a x x a值范围。
一元二次方程根和系数的关系公式
一元二次方程根和系数的关系公式一元二次方程根和系数的关系公式是我们学习中不可忽视的一部分知识，大家说是不是有点眼花缭乱呢？不要怕，我来帮你理清楚这个有些迷糊的概念。
首先，我们先来看看一元二次方程是什么东东。
我们都知道，方程就是数学中的等式，而一元二次方程就是包含一个未知数的二次方程。
它的一般形式是ax² + bx + c = 0，其中a、b、c分别是方程的系数，而就是我们需要找的根！那么问题来了，这个方程到底有几个根呢？有人说有2个，有人说有1个，甚至还有人说没有根！哎呀呀，听得我头都大了。
别急，我慢慢说。
一元二次方程的根的个数和它的判别式有着密切的关系。
什么？判别式？别害怕，其实就是一个计算公式而已。
想要知道一个方程有几个根，我们只需计算出判别式的值，记作Δ。
Δ = b² 4ac。
听到了吗？Δ就像是一个测量器，告诉我们根的情况。
这个Δ可以分为三种情况来看。
第一种情况，Δ > 0。
当判别式大于0时，哈哈，方程有两个实数根！一正一负的根，简直像是分身乏术，两个根分别是 x1 和 x2。
不信？试试用公式x1 = (b + √Δ) / 2a，x2 = (b √Δ) / 2a 计算一下，绝对是这么回事的。
第二种情况，Δ = 0。
当判别式等于0时，嘘，安静，方程只有一个实数根！你可能会问，有什么特点呢？呵呵，很简单，这个根是重根，就像一道美味的可乐饼，弹牙又过瘾。
只需用公式 x = b / 2a，一口锅不够，重根就来一个。
第三种情况，Δ < 0。
当判别式小于0时，额，方程可就没那么好说了，竟然没有实数根！这时候有人可能会伤心地问，那难道没根吗？别着急，我们的数学家可不会让方程无根之地！他们发现了一个神奇的复数，虚数i，在这里担任英雄的角色。
这个方程的两个根是x1 = (b + √(Δ)i) / 2a 和x2 = (b √(Δ)i) / 2a。
是不是觉得自己像进入了数学的幻境，捉迷藏一般，找到了根的存在？不过，还是要提醒一下，复数根在现实生活中可没啥用处，只是数学家玩的花招罢了。
初中数学一元二次方程根与系数的关系的教学设计及反思
1．学生已学习用求根公式法解一元二次方程，。
2．本课的教学对象是初中三年级学生，学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，
3．在教学初始，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的根底上掌握一元二次方程根与系数的关系。
④当a≠0，b2-4ac≥0时，x1+x2=，x1x2=。
⑤当a≠0，c=0时，方程必有一根为0。
学生交流探讨
本设计采用“实践——观察——发现——猜测——证明〞的过程，使学生既动手又动脑，且又动口，教师引导启发，防止注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系，表达学生的主体学习特性，培养了学生的创新意识和创新精神。
4、局部学生在学习了这一关系后感觉到了它的强大的解题的作用，可以激发学生进一步去探索其他规律的欲望。
教学目标
1、知识目标：要求学生在理解的根底上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差。
2、能力目标：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜测、证明等数学活动过程，开展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。
问题4.在方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕中，a、b、c的作用吗？
①二次项系数a是否为零，决定着方程是否为二次方程；
②当a≠0时，b=0，a、c异号，方程两根互为相反数；
③当a≠0时，△=b2-4ac可判定根的情况；
④当a≠0，b2-4ac≥0时，x1+x2=，x1x2=。
⑤当a≠0，c=0时，方程必有一根为0。
初高中数学衔接-一元二次方程
1.4一元二次方程在初中，一元二次方程的应用相对广泛，是初中数学压轴题运算的基本要求。
学习一元二次方程，我们主要学习一元二次方程的有关定义、解一元二次方程的方法、一元二次方程根的判别式的应用以及一元二次方程的实际应用。
在高中，一元二次方程也将是重点；我们将着重考虑用“十字交叉相乘法”解一元二次方程；“韦达定理”的应用以及根的判别式。
一、温故1、一元二次方程的有关定义：一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程。
一元二次方程的解（根）：能使得等式左右两边成立的未知数的值。
2、解一元二次方程的有关方法：①直接开平方法；②配方法；③公式法；④因式分解法3、根的判别式的应用在一元二次方程中，根的判别式是用来判断根的个数；或者是根据根的个数利用根的判别式来求参数的值。
巩固训练：一．选择题（共7小题）1．下列方程①2210x x --=；②20ax bx c ++=；③21350x x+-=；④20x -=；⑤()2212x y -+=；⑥()()213x x x --=；⑦()2210a a x a ++-=；⑧1x =-其中一元二次方程共有（）个．A ．1B ．2C ．3D ．42．关于x 的方程()221360m m m x mx ----+=是一元二次方程，则它的一次项系数是（）A ．﹣1B ．1C ．3D ．3或﹣13．若关于x 的一元二次方程()2215230m x x m m +++--=的常数项为0，则m的值等于（）A ．0B ．﹣1C ．﹣1或3D ．34．关于x 的一元二次方程230ax bx -+=的一个根为2x =，则代数式843a b -+的值为（）A ．﹣3B ．3C ．6D ．95．若关于x 的方程240x x k -+=的一个根为2，则k 的值为（）A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣26．若关于x 的方程2690kx x -+=有实数根，则k 的取值范围是（）A ．1k <B ．1k ≤C ．1k <或0k ≠D ．1k ≤或0k ≠7．关于x 的一元二次方程210x ax +-=的根的情况是（）A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根注意点：1、利用直接开平方法；等式两边只能同时为非负数。
一元二次方程根与系数的关系
《发现一元二次方程根与系数的关系》说课稿路桥实验中学郑萍芳一、教材分析：《发现一元二次方程根与系数的关系》是九年级上册第二十二章的观察与思考中的一个选学内容，。
它是学生在学习了一元二次方程的各种解法及根的判别式之后，来进一步揭示根与系数的关系。
学好本节内容学生今后在处理有关一元二次方程的问题时，就会多一些思路和方法，而且许多时候比直接用根的定义求解方便简洁得多。
而且学好本节内容，对高中进一步学习解析几何具有重要作用，解析几何中凡是涉及到线段中点、对称、直线和二次曲线的相交等问题，都要用到根与系数的关系。
同时本节学习内容本身是探究性学习的好素材，里面有许多探究性的因素可挖掘。
与原教材相比，本节内容新教材的着眼点在于探究性学习，以探究性学习来发展学生的思维能力。
基于以上思考，我认为本节课虽是选学内容，但它具有非常好的教学价值，很值得学生学习。
二、教学目标根据教材的内容及其在教材体系中的作用和地位，确定本节课的教学目标如下：1、知识目标：经历探索一元二次方程根与系数的关系的过程，学生最终要能说出一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根x1，x2与系数a、b、c的关系并学会简单运用。
2、能力目标让学生通过“一元二次方程根与系数关系”的探索，体会“观察—归纳—猜想—证明”的数学思想方法，以及在这一过程中培养学生语言归纳和表达的能力。
3、情感目标：结合数学家的故事培养学生勇于探索的精神并渗透一元二次方程根与系数关系的简单美、和谐美。
为了实现以上教学目标，确定本节课的教学重点是：一元二次方程根与系数的关系探究过程及其推导。
怎样正确理解根与系数的关系是本节课的难点．三、学情分析：1、认知方面：学生在前面根的判别式学习过程中已经进行了根的情况与系数关系的探索学习，这为学生对根与系数关系进行进一步的探究打下了基础；2、能力方面：九年级学生已具备一定的逻辑思维能力和探究学习能力；3、情感与学习风格方面：我所任教的两班学生，学习积极性较高，对探究性学习很感兴趣，但语言概括能力与合作交流能力有待加强．四、过程分析：1 ．创设情景发现问题(1) 教师提出：给同学们一个考老师的机会，你们可以任意给定两个整数根，老师能迅速给出它们对应的二次项系数为 1 的方程。
初高中数学衔接知识(一元二次方程根与系数的关系)
一、一元二次方程的根的判断式
【例3】已知实数 x , y 、满足 x 2 y 2 xy 2 x y 1 0 ， 试求 x , y 的值． 解：把方程看作是关于 x 的方程，整理得：
x 2 ( y 2) x y 2 y 1 0
由于 x 是实数，所以此方程有实数根，因此：
因此，这两个数是－2 和 6． 法二 由韦达定理知，这两个数是方程 x 2－4 x －12＝0 的两个根．
解方程得： x 1＝－2， x 2＝6． 所以，这两个数是－2 和 6．
二、一元二次方程的根与系数的关系
说明：务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满 足 0．
二、一元二次方程的根与系数的关系
【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：
(1)2 x 2 3 x 1 0 (2)4 y 2 9 12 y (3)5( x 2 3) 6 x 0
说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二 次方程的一般形式．
一、一元二次方程的根的判断式
【例2】已知关于的一元二次方程 3 x 2 2 x k 0 ，根据 下列条件，分别求出的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相 等的实数根 (3) 方程有实数根； (4) 方程无实数根．
说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形： x12 x22 ( x1 x2 )2 2x1 x2 ，
1 1 x1 x2 2 ， ( x1 x2 )2 ( x1 x2 )2 4x1 x2 ， | x1 x2 | ( x1 x2 ) 4 x1 x2 ， x1 x2 x1 x2
1 1 ； x1 x2
(3) ( x1 5)( x2 5) ；
初中数学解题方法｜根与系数的关系和完全平方公式
初中数学解题方法｜根与系数的关系和完全平方公式一、介绍在初中数学的学习中，根与系数的关系和完全平方公式是一个重要且基础的内容。
掌握了这两个概念和方法，可以帮助学生更好地解决代数题目，提高解题效率和准确率。
本文将分别介绍根与系数的关系和完全平方公式的相关知识，并共享解题方法，帮助学生更好地理解和运用这两个重要的数学概念。
二、根与系数的关系1. 什么是根与系数？在代数中，一个一元二次方程可以用一般形式表示为ax²+bx+c=0，其中a、b、c分别为二次项系数、一次项系数和常数项。
方程的根指的是能够使方程成立的未知数的值，不同的根可以使方程等式成立。
而系数则是指在方程中与未知数相关的常数。
2. 根与系数的关系根与系数之间存在着重要的关系，这一关系可以通过韦达定理来描述。
设一元二次方程ax²+bx+c=0的根为x₁和x₂，则有以下结论：（1）根的和与系数的关系x₁+x₂=-b/a根的和等于一次项系数b的相反数除以二次项系数a的负数。
（2）根的积与系数的关系x₁x₂=c/a根的积等于常数项c除以二次项系数a。
通过根与系数的关系，我们可以利用方程的系数来求解方程的根，或者根据已知的根来推导方程的系数，从而更好地理解方程的性质和特点。
三、完全平方公式1. 什么是完全平方公式？在代数运算中，完全平方公式是指一个代数式能够被一个一元二次不等式平方并展开成二次式的方法。
对于一元二次不等式(a+b)²，根据完全平方公式展开后得到a²+2ab+b²。
2. 完全平方公式的应用完全平方公式在代数运算中有着广泛的应用，尤其是在解决代数方程或不等式的过程中。
通过完全平方公式，我们可以将一个一元二次不等式进行因式分解，从而更好地理解并解决数学问题。
四、解题方法1. 根与系数的关系的解题方法（1）已知方程的系数求根当已知一元二次方程的系数时，我们可以通过根与系数的关系来求解方程的根。
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2 ax bx c 0 (a 0) 的两个根为： 一元二次方程
b b 2 4ac b b 2 4ac x1 , x2 2a 2a
b b 2 4ac b b 2 4ac b x1 x2 2a 2a a b b 2 4ac b b 2 4ac ( b )2 ( b 2 4ac )2 4ac c x1 x2 2 2 2a 2a (2a ) 4a a 说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家 韦达发现，所以通常把此定理称为韦达定理．上述定理成立的 前提是 0 ．
一、一元二次方程的根的判断式
【例2】已知关于的一元二次方程 3 x 2 2 x k 0 ，根据 下列条件，分别求出的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相 等的实数根 (3) 方程有实数根； (4) 方程无实数根．
2016年9月3日星期六
二、一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理）
说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形： x12 x22 ( x1 x2 )2 2x1 x2 ，
1 1 x1 x2 2 ， ( x1 x2 )2 ( x1 x2 )2 4x1 x2 ， | x1 x2 | ( x1 x2 ) 4 x1 x2 ， x1 x2 x1 x2
2016年9月3日星期六
二、一元二次方程的根与系数的关系
【例 4】若 x1 , x2 是方程 x 2 2 x 2009 0 的两个根，试求下列各式的值： (1) x12 x22 ； (2)
1 1 ； x1 x2
(3) ( x1 5)( x2 5) ；
(4) | x1 x2 | ．
(1) 当 b2 4ac 0 时，方程有两个不相等的实数根：
b b 2 4ac x 2a
2 b (2) 当 4ac 0 时，方程有两个相等的实数根：
x1,2
2
b 2a
根的判别式
b2 4ac
(3) 当 b 4ac 0 时，方程没有实数根．
2016年9月3日星期六
2016年9月3日星期六
现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次 方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的 判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函 数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节 将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进 行阐述．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2016年9月3日星期六
一、一元二次方程的根的判断式
【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：
(1)2 x 2 3 x 1 0 (2)4 y 2 9 12 y (3)5( x 2 3) 6 x 0
说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二 次方程的一般形式．
2016年9月3日星期六
一、一元二次方程的根的判断式
2 ax bx c 0 (a 0) ，用配方法将 一元二次方程 其变形为： b 2 b 2 4ac (x ) 2a 4a 2
x1 x22 x12 x2 x1 x2 ( x1 x2 ) ， x13 x23 ( x1 x2 )3 3x1 x2 ( x1 x2 ) 等等．韦达定理体现了整
体代换思想．
2016年9月3日星期六
二、一元二次方程的根与系数的关系 【例5】已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．
2016年9月3日星期六
二、一元二次方程的根与系数的关系
说明：务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满 足 0．
2016年9月3日星期六
二、一元二次方程的根与系数的关系
2016年9月3日星期六
x1 2 x2 6 x y 4 解：法一 设这两个数分别是 x ， y ，则 或 . xy 12 y1 6 y2 2
因此，这两个数是－2 和 6． 法二 由韦达定理知，这两个数是方程 x 2－4 x －12＝0 的两个根．
解方程得： x 1＝－2， x 2＝6． 所以，这两个数是－2 和 6．
解：由题意，由根与系数的关系得： x1 x2 2, x1 x2 2009 . (1) x12 x22 ( x1 x2 )2 2x1 x2 (2)2 2(2009) 4022 . (2)
1 1 x1 x2 2 2 . x1 x2 x1 x2 2009 2009
( x1 x2 ) 2 ( x1 x2 ) 2 4 x1 x2 (2) 2 4(2009) 2 2040 .
(3) ( x1 5)( x2 5) x1 x2 5( x1 x2 ) 25 2009 5(2) 25 1974 . (4) | x1 x2 |