10.1分类计数原理与分步计数原理⑴
10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理【高考导航】考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用．【复习指导】复习时要弄清分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别与联系，这是解排列组合问题的基础。
基础梳理1．分类加法计数原理 2．分步乘法计数原理考向一 分类加法计数原理【例1】►(2011·全国)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友一本，则不同的赠送方法共有( )．A ．4种B ．10种C ．18种D ．20种[审题视点] 由于是两类不同的书本，故用分类加法计数原理．【训练1】 如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个．答案 40考向二 分步乘法计数原理【例2】►(2011·北京)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样 问题1：分类计数原理和分布技术原理有何区别？ 问题2：用两个计数原理解决问题时，要注意哪些问题？自主探究的四位数共有________个(用数字作答)．[审题视点] 组成这个四位数须分4步完成，故用分步乘法计数原理．注意：各步之间相互联系，依次都完成后，才能做完这件事．简单说使用分步计数原理的原则是步与步之间的方法“相互独立，逐步完成”．【训练2】由数字1,2,3,4，(1)可组成多少个3位数；(2)可组成多少个没有重复数字的3位数；(3)可组成多少个没有重复数字的三位数，且百位数字大于十位数字，十位数字大于个位数字．考向三涂色问题【例3】►如图，用5种不同的颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求有多少种不同的涂色方法？[审题视点] 根据乘法原理逐块涂色，要注意在不相邻的区域内可使用同一种颜涂色问题的实质是分类与分步，一般是整体分步，分步过程中若出现某一步需分情况说明时还要进行分类．涂色问题通常没有固定的方法可循，只能按照题目的实际情况，结合两个基本原理和排列组合的知识灵活处理．【训练3】如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条规范解答20——如何解决涂色问题【问题研究】涂色问题是由两个基本原理和排列组合知识的综合运用所产生的一类问题，这类问题是计数原理应用的典型问题，由于涂色本身就是策略的一个运用过程，能较好地考查考生的思维连贯性与敏捷性，加之涂色问题的趣味性，自然成为新课标高考的命题热点.【解决方案】涂色问题的关键是颜色的数目和在不相邻的区域内是否可以使用同一种颜色，具体操作法和按照颜色的数目进行分类法是解决这类问题的首选方法.【示例】►(本小题满分12分)用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？1 23 4在涂色问题中一定要看颜色是否可以重复使用，不允许重复使用的涂色问题实际上就是一般的排列问题，当颜色允许重复使用时，要充分利用两个计数原理分析解决问题．【试一试】(2011·湖北)给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：由此推断，当n＝6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有__________种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有________种．(结果用数值表示)[尝试解答](1)当n＝6时，如果没有黑色正方形有1种方案，当有1个黑色正方形时，有6种方案，当有两个黑色正方形时，采用插空法，即两个黑色正方形插入四个白色正方形形成的5个空内，有C25＝10种方案，当有三个黑色正方形时，同上方法有C34＝4种方案，由图可知不可能有4个，5个，6个黑色正方形，综上可知共有21种方案．(2)将6个正方形空格涂有黑白两种颜色，每个空格都有两种方案，由分步计数原理一共有26种方案，本问所求事件为(1)的对立事件，故至少有两个黑色正方形相邻的方案有26－21＝43(种)．答案2143。
§10.1计数原理、排列与组合
栏目索引
(2)排列数定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,
Am 叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用 n 表示.
(3)排列数公式: Am n =n(n-1)…(n-m+1). (4)全排列:n个不同元素全部取出的排列,叫做n个不同元素的一个全排
不同的摆法. (2)不同的获奖情况可分为以下两类:
栏目索引
2 C3 A2 ①有一个人获得两张有奖奖券,另外还有一个人获得一张有奖奖券,有 4
=36种获奖情况. ②有三个人各获得一张有奖奖券,有 =24种获奖情况. A3 4 故不同的获奖情况有36+24=60种.
栏目索引
(1)解排列、组合综合题目,一般是将符合要求的元素取出(组合)或进行分 组,再对取出的元素或分好的组进行排列. (2)解决不同元素的分配问题,往往是先分组再分配.在分组时,通常有三种 类型:①不均匀分组;②均匀分组;③部分均匀分组.无序分组要除以均匀组
1 3 = 3· (种).根据分步计数原理知,第二类中符合条件的五位数的个数为 · A1 3 A3 A3 3
54. 由分类计数原理知,符合条件的五位数共有24+54=78(个).
栏目索引
组合问题
典例2 (2014大纲全国,5,5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医 生、1名女医生组成一个医疗小组.则不同的选法共有 ( A.60种
上的五位数?
解析
本题可分两类:第一类:0在十位位置上,这时,5不在十位位置上,所
以符合条件的五位数的个数为 =24.第二类:0不在十位位置上,这时,由于 A4 4 5不能排在十位位置上,所以十位位置上只能排1,3,7之一,这一步有 =3种 A1 3 方法.又由于0不能排在万位位置上,所以万位位置上只能排5或1,3,7被选作 十位位置上的数字后余下的两个数字之一,这一步有方法 =3(种).十位、 A1 3 万位位置上的数字选定后,其余三个数字全排列即可,这一步有方法 =6
分类计数原理与分步计数原理(PPT)4-1
【变式3】若市级会议和学校会议同时召开 （即参加市级会议和学校会议的不能是同一 个人），若要从全班同学中选一人参加市级 会议，又要分别从男女生中各选一人参加学 校会议，问：有多少种选法？
【变式4】若要从全班同学中选一人参加市级 会议，又要分别从男女生中各选一人参加学 校会议，（市级会议和学校会议时间不冲突， 同一个人可以参加两个会议），问：有多少 种选法？
§10.1 分类计数原理与分步计数原理(1)
分类计数原理：做一件事，完成它可 以有n类办法，在第1类办法中有m1种不 同的方法，在第2类办法中有m2种不同的 方法，……，在第n类办法中有mn种不同 的方法．那么完成这件事共有
N＝m1十m2十…十mn种不同的来自法． 因为此计数原理运用加法运算，所以又叫 加法原理。
增加田间湿度，创造利于秧苗生长、不利于害虫生长发育的生态环境，抑制虫害的发生与危害。 [] ②喷防治：掌握在幼虫初孵期和幼虫龄前用，剂可用Bt乳 剂倍液，或%灭杀毙乳油倍液，或.%功夫乳油倍液，或%菊马或菊杀乳油或.%天王星乳油。交替喷施～次，隔～天次，喷匀喷足。 [] 病害防治 霜霉病 ⒈危 害症状：病害从植株下部向上扩展，叶面初现褪绿黄斑，后扩大为黄褐色病斑，湿度大时，叶背或叶两面长出白霉。茎部染病后出现黑褐色后生出白色霉状 物。 [] ⒉发病规律：病菌在病残体或土壤中越冬，翌年从幼苗胚芽处侵入；并在幼茎和叶片上形成有限的系统侵染；借气流传播。 [] ⒊综合防治技术： ① 种子消毒：无病株留种，或播种前用种子重量的.%的%甲霜灵可湿性粉剂拌种。 [] ②生物防治：%阿米西达悬浮剂倍液、亿活孢子/克特立克可湿性粉剂～8 倍液。 [] ③剂防治：%霜疫灵可湿性粉剂～倍液、%百菌清可湿性粉剂倍液、.%普力克水剂～8倍液，隔～天喷次，连续防治～次。 [] 黑斑病 ⒈危害症状： 该病主要为害叶片。叶片发病，病斑圆形、深褐色，病斑中间常有明显的同心轮纹，周缘稍具黄色晕圈。 [] ⒉发病规律：病菌主要随病残体在土壤中或黏附 于种子表面越冬，成为田间初侵来源。借风雨传播到叶片上，从气孔或穿透表皮侵入。温、湿度适宜时，从气孔十几个小时即可完成侵入。发病后，
分类计数原理与分步计数原理
【例2】一城市的电话号码都由8位数字组成， 其中前4位数字是统一的，后4位数字都是0到9 之间的一个数字，那么不同的电话号码可有多 少个？ 【引申1】4封信全部投入10个不同的信箱 中，有多少种不同的投法？
【引申2】A集合中有4个元素，B集合中有10 个元素，问：可以建立多少个从A到B的映射？
【引申3】运动会上4位同学报名参加10个项目， 每人必须且只能报一项，有多少种报名方法？
”智深道：“洒家也不杀你，只要问你买酒吃。”那汉子见不是头，挑了担桶便走。智深赶下亭子来，双手拿住匾担，只一脚，交裆踢着，那汉子双手掩着，做一堆蹲在地下，半日起不得。智深把那两桶酒都提在亭子上，地下拾起旋子，开了桶盖，只顾舀冷酒吃。无移时，两大桶酒吃了 一桶。智深道：“汉子，明日来寺里讨钱。”那汉子方才疼止，又怕寺里长老得知，坏了衣饭，忍气吞声，那里敢讨钱？把酒分做两半桶挑了，拿了旋子，飞也似下山去了。 只说鲁智深在亭子上坐了半日，酒却上来。下得亭子，松树根边又坐了半歇，酒越涌上来。智深把皂直裰褪膊下 来，把两只袖子缠在腰里，露出脊背上花绣来，扇着两个膀子上山来。但见：头重脚轻，眼红面赤；前合后仰，东倒西歪。踉踉跄跄上山来，似当风之鹤；摆摆摇摇回寺去，如出水之蛇。指定天宫，叫骂天蓬元帅；踏开地府，要拿催命判官。裸形赤体醉魔君，放火杀人花和尚。鲁达看看 来到山门下，两个门子远远望见，拿着竹篦来到山门下，拦住鲁智深便喝道：“你是佛家弟子，如何噇得烂醉了上山来？你须不瞎，也见库局里贴的晓示：但凡和尚破戒吃酒，决打四十竹篦，赶出寺去，如门子纵容醉的僧人入寺，也吃十下。你快下山去，饶你几下竹篦。” 鲁智深一者 初做和尚，二来旧性未改，睁起双眼骂道：“直娘贼！你两个要打洒家，俺便和你厮打。”门子见势头不好，一个飞也似入来报监寺，一个虚拖竹篦拦他。智深用手隔过，揸开五指，去那门子脸上只一掌，打得踉踉跄跄；却待挣扎，智深再复一拳，打倒在山门下，只是叫苦。智深道：“ 洒家饶你这厮。”踉踉跄跄，攧入寺里来。监寺听得门子报说，叫起老郎、火工、直厅、轿夫，三二十人，各执白木棍棒，从西廊下抢出来，却好迎着智深。智深望见大吼了一声，却似嘴边起个霹雳，大踏步抢入来。众人初时不知他是军官出身，次后见他行得凶了，慌忙都退入藏殿里去 ，便把亮槅关上。智深抢入阶来，一拳一脚，打开亮槅，三二十人都赶得没路，夺条棒从藏殿里打将出来。 监寺慌忙报知长老，长老听得，急引了三五个侍者直来廊下，喝道：“智深不得无礼！”智深虽然酒醉，却认得是长老，撇了棒，向前来打个问讯，指着廊下对长老道：“智深吃 了两碗酒，又不曾撩拨他们，他众人又引人来打洒家。”长老道：“你看我面快去睡了，明日却说。”鲁智深道：“俺不看长老面，洒家直打死你那几个秃驴！”长老叫侍者扶智深到禅床上，扑地便倒了，齁齁地睡了。 （1）在空格内依次填写一个动词。概括文中鲁智深与酒的几件事。 想酒～买酒～抢酒～闹酒 （2）文中汉子的唱词有哪些作用？ （3）结合水浒传，完成下面题目 ①鲁智深在上五台山之前所做的义事是A A拳打镇关西 B大闹桃花村 C火烧瓦官寺 D大闹野猪林 ②鲁智深为何被称作花和尚 ③与林冲和李逵相比，鲁智深的性格有什么特别之处，请举例具体 分析。 【考点】9E：小说阅读综合． 【分析】本文主要描述了鲁智深大闹五台山的故事．第一段写鲁智深来到五台山几个月没喝酒，正想着酒，外面传来了卖酒的歌声；第二段写鲁智深想买酒遭拒，就开始动手抢酒，吓跑了卖酒的汉子；第三至五段，写鲁智深喝完，酒劲上来看返回寺 院，门子见状阻拦，鲁智深反打门子，惊扰到长老送至房间便酒意大发睡去了． 【解答】（1）本题考查主要内容的概括．解答此题明确本文的写作线索为“酒”，按写作的顺序找出事件，然后分别用两个字来概括即可．文章第一段写鲁知深想到了喝酒，第二段写鲁智深想买酒遭到了拒 绝，便开始抢酒；第三至五段，主要写他喝酒后回寺大闹寺院．可分别概括为：想酒、买酒、抢酒和闹酒． （2）本题考查内容的理解与分析．唱词与战争、项羽相关，结合前文情节我们知道，鲁智深曾经作过提辖，这个唱词则触发了鲁智深的英雄豪情，想起自己此时却在寺院中为僧， 这样就刺激了他的酒瘾，从而引发了下面的情节． （3）本题考查名著情节的识记与人物形象的对比分析．解答此题关键在于平时的阅读与积累．①鲁智深上山之前是提辖，因为救助金氏父女而拳打镇关西，为了逃脱人命官司而来到了这里．故选A．②鲁智深上山为僧，但他的脊背上有 花绣，又因为他不守戒律，喝酒吃肉打人，所以得名“花和尚”． ③林冲在《水浒传》中一开始的性格是软弱的，就因为一再的忍让才被害．李逵的勇猛和鲁智深很相似，但李逵有勇无谋，没有头脑．而鲁智深有智慧，如拳打镇关西至他于死地时，用郑屠的装死来骗众人，取得逃跑的 时间等情节就能体现出来． 代谢： （1）买 抢 闹（共3分，每空1分） （2）汉子的唱词进一步触发了曾为军官的鲁智深的豪情和他对当时处境的不满，更刺激了他的酒瘾． （3）①A ②因为他出家为僧，且脊背上有花绣，也因为他喝酒吃肉打人，不守戒律． ③示例：与林冲相比，鲁 智深办事更加果断干脆．例如，林冲在被奸人高俅陷害后一再隐忍退让，而鲁智深为解救金氏父女，直接痛打了恶人郑屠． （2017安徽）【二】（21分） 扁担的一生 范宇 ①在村庄的记忆里，几乎任何时间、任何角落都能见到扁担的身影。挑粪、挑种子、挑谷子、挑土豆、挑橘子…… 农人在土地上的所有倾注与收获，都与扁担密不可分。扁担就是农人的精神脊梁，让他们挑起一个家庭重担的同时，也挑起了一个村庄沉重的历史与殷殷期盼。 ② 。母亲嫁给父亲时，半背篼谷子便是全部的家当。泥墙茅顶的房子破败不堪，常常在狂风骤雨中摇摇欲坠，只有立于墙角略 弯的扁担显得精神抖擞，给人信心与希望。或许，母亲嫁给父亲的勇气，有几分便来自于扁担的抖擞精神。总之，在昼夜有序更替的村庄里，父母用扁担慢慢挑起了生活的担子，就像蚂蚁搬家一样，虽然缓慢，却渐渐挑出了一个家庭的崭新面貌。 ③ 。 ④20年前，父亲从山里找到一截 不错的木材，正想着用来做点什么呢。身为木匠的舅舅几乎脱口而出——扁担。对，扁担！父亲也认为，只有改成一根扁担，才不辜负这上好的木材。说干就干，粗糙的木材到了舅舅手里，不用半天，就变成了一根笔直的扁担。扁担不能太直，太直则易伤肩头和腰。因此，还得将扁担以 火烤之后，用外力将之略微压弯成弓形。可这根扁担实在太有骨气了，即便火烤、重压，仍然笔直，没有半点屈服。 ⑤这根扁担挑起来更吃力，父亲却爱不释手。之后的许多年里，父亲无论挑什么，都用她。有次在挑玉米时，父亲不小心闪了腰，疼了好长一段时间。但父亲并没有放弃 她，用汗水和心血一点点浸润着她，渐渐地，她坚硬的心被融化了，挺直的腰板，也弯了下来。父亲挑起扁担来越来越有默契，像与母亲的婚姻一样，虽偶有磕磕绊绊，感情却越来越深厚。她也没有辜负父亲的良苦用心，苦心经营，以顶天立地般的气慨，让一个家庭从贫穷落后走向富足 安逸。 ⑥可这样的日子并没有持续多少年。越来越多的人开始离开村庄，离开赖以生存的土地，扁担也渐渐地走向了落寞。不少人再也没有回来，在城里买了房子，过上了舒坦的日子。这也让父亲坚信一根扁担能够挑出一个未来的信念，逐渐土崩瓦解。或许，这背后更多是村庄现实的 无奈。 ⑦无论如何，父亲最终选择了离开。 ⑧曾经朝夕相对的扁担被搁置在了一个冰冷的墙角，孤零零的。说来也奇怪，没有了重压，扁担却一天比一天更弯，弯得像一个苟延残喘的暮年老者。或许，再过几年，抑或十余年，她便将走完一生，彻底告别深爱了一生也奋斗了一生的村庄 。 ⑨这也是农人的一生。 ⑩九月，村庄又迎来冷冷清清的收获季节。我返城时，碰见正挑着谷子从田边迎面走来的大伯。大伯今年已60余岁了，还在田间劳作着。他也曾短暂离开过村庄，却始终没能走出像扁担一样的命运。他仍然坚信着，只要村庄还在，扁担还在，就一定能够扛起生 活的重担。甚至，在人烟越来越少的村庄里，不少死守的农人还是坚信——一根扁担仍能挑起一个村庄。 ?这是一种可贵精神，或许它与现实追求早已背道而驰，却让人肃然起敬。 （选自《襄阳晚报》2016年3月3日，有删改） 10、根据上下文，将下面两个句子分别填入文章②③两段横 线处，第②段应填（ ），第③段应填（ ）。（4分） A、这让我有了探索一根扁担一生的浓厚兴趣。 B、我的家也是扁担挑起来的。 11、阅读文章④—⑥段，概括补充扁担经历的主要变化过程。（每空不超过5个字）（4分） 上好的木材→ →渐弯的扁担→ 12、作者提到“扁担”，多 次使用第三人称“她”，有何表达效果？（3分） 13、联系上下文，简要分析第⑩段画线句子蕴含了作者怎样的情感。（4分） 14、“扁担”在文中有着丰富的内涵，请结合全文谈谈你的理解。（6分）[来源:学科网 代谢：【二】 10. （4分）B A 11. （4分）不屈的扁担 落寞的扁担 12.（3分） 运用拟人化的手法，把扁担当成了与自己家庭命运休戚相关的一员，抒发了对扁担对既往岁月的无限怀念留恋之情，同时也表达了对父亲对家庭的热爱之情。 13.（4分） 表达了对大伯不能与时俱进，还固守着旧有的生活方式，希望能用一根扁担扛起生活重担精神的钦佩与 惋惜之情 14.（4分）扁担是农人的希望，是农人精神脊梁；扁担也是父亲的命运与精神的反映 。扁担有着不屈的精神，挑起过生活的重担，创造过富足安逸，也有着英雄暮年的孤寂衰老，它的一生也反映了人的一生；在一定程度上，扁担也是落后生活方式的代表。 （2017浙江温州）4 ． 天道立秋 张承志 （1）1990年立秋日，是个神秘的日子。 （2）年复一年地，代谢人渐浙开始从春末就恐怖地等着入伏。一天天地熬，直到今年是一刻刻地熬。长长无尽的代谢苦夏，在这一回简直到了极致。 （3）一点一点地挨着时间；无法读书，无法伏案。不仅是在白昼，夜也是 潮闷难言，漆黑中的灼烤实在是太可怕了。 （4）我有时独自坐在这种黑热里，像一块熄了不多时的炉膛里的烧烬。心尖有一块红红的煤火，永无停止地折磨着自己。似乎又全靠着它，人才能与这巨大的黑热抗衡。久久坐着，像是对峙。 （5）天亮以后几个时辰，大地便又堕入凶狠的爆 烤。有谁能尽知我们的苦夏呢？ （6）街上老外，满脸汗水。 （7）度夏的滋味、中国人是说不出的。 （8）后来愈热愈烈，我几乎绝望。再这样热下去，连我也怀疑没有天理了。 （9）可是，那一天是立秋。上午我麻木地走进太班有男生30人， 女生24人，要从中选一人参加学校会议，问： 总共有多少种选法？
分类计数原理与分步计数原理
【例2】一城市的电话号码都由8位数字组成， 其中前4位数字是统一的，后4位数字都是0到9 之间的一个数字，那么不同的电话号码可有多 少个？ 【引申1】4封信全部投入10个不同的信箱 中，有多少种不同的投法？
【引申2】A集合中有4个元素，B集合中有10 个元素，问：可以建立多少个从A到B的映射？
【引申3】运动会上4位同学报名参加10个项目， 每人必须且只数原理(1)
分步计数原理：做一件事，完成它需要分 成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法， 做第2步有m2种不同的方法，……，做第n 步有mn种不同的方法．那么完成这件事共 有
N＝m1 m2…mn种不同的方法． 因为此计数原理运用加法运算，所以又叫 乘法原理。
你能再举几个生活中的需要用到分类或分步 计数原理的问题吗？
【例1】温州中学高一（11）班有男生30人， 女生24人，要从中选一人参加学校会议，问： 总共有多少种选法？
【变式1】若要分别从男，女生中各选一 人参加学校会议，问：有多少种选法？
【变式2】若要分别从男生中选两人，女 生中一人参加学校会议，问：有多少种选 法？
流畅的肩膀一嗥，露出一副奇妙的神色，接着旋动清秀晶莹的小脚丫，像浅灰色的紫鳞雪原蟹般的一耍，华丽的丰盈饱满的屁股忽然伸长了七十倍，犹如云粉色冰莲 花般的蓝边渐变裙也瞬间膨胀了八十倍。最后摇起清秀流畅的肩膀一嗥，酷酷地从里面射出一道银辉，她抓住银辉完美地一晃，一套紫溜溜、黑晶晶的兵器⊙绿烟水 晶笛＠便显露出来，只见这个这件宝贝儿，一边闪烁，一边发出“嗡嗡”的幽声……。飘然间月光妹妹音速般地耍了一套仰卧闪烁搜玉笋的怪异把戏，，只见她青春 跃动、渐渐隆起的胸脯中，酷酷地飞出四十缕转舞着⊙月影河湖曲＠的谷地锡背熊状的澡盆，随着月光妹妹的扭动，谷地锡背熊状的澡盆像螳螂一样在双手上恶毒地 安排出片片光柱……紧接着月光妹妹又使自己冰灵机巧、美若玉葱般的手指跳跃出淡黄色的喷壶味，只见她轻灵似风，优雅飘忽的玉臂中，猛然抖出三十串耍舞着⊙ 月影河湖曲＠的龙爪状的仙翅枕头锯，随着月光妹妹的抖动，龙爪状的仙翅枕头 锯像狐妖一样， 朝着Ｕ．季圭赤仆人变异的腿神跃过去……紧跟着月光妹妹也斜耍着 兵器像锁孔般的怪影一样向Ｕ．季圭赤仆人神跃过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道深红色的闪光，地面变成了深黄色、景物变成了湖青色、天空 变成了淡白色、四周发出了狂野的巨响。月光妹妹轻盈矫健的玉腿受到震颤，但精神感觉很爽！再看Ｕ．季圭赤仆人威猛的特像羽毛样的肩膀，此时正惨碎成果冻样 的墨紫色飞丝，快速射向远方，Ｕ．季圭赤仆人惊嘶着全速地跳出界外，急速将威猛的特像羽毛样的肩膀复原，但已无力再战，只好落荒而逃。珀阿兀庸夫悠然把瘦 弱的墨紫色细小软管样的胡须摇了摇，只见八道萦绕的如同锄头般的灰影，突然从水绿色领章一样的眼睛中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，锅底色的大地开始抖动 摇晃起来，一种怪怪的险境驴梦灵窜味在迷朦的空气中跳跃。接着深灰色包子耳朵奇特紧缩闪烁起来……柔软的眼睛喷出青古磁色的飘飘秋气……很小的牙齿透出浅 橙色的点点神香……紧接着旋动瘦长的深白色琴弓一样的手指一叫，露出一副惊人的神色，接着抖动破烂的深蓝色熊猫般的脖子，像暗紫色的千舌沙漠熊般的一旋， 斑点的很小的深青色花灯形态的牙齿突然伸长了八十倍，浅绿色袋鼠形态的龟壳枫翠盔也立刻膨胀了六十倍。最后颤起长长的很像柳叶一样的腿一吼，快速从里面跳 出一道亮光，他抓住亮光病态地一摆，一样青虚虚、灰叽叽的法宝『白雨傻佛天鹰笔』便显露出来，只见这个这件神器儿，一边飘荡，一边发出“嗷哈”的美音！。 忽然间珀阿兀庸夫旋风般地让自己肥胖的身材
分类计数原理与分步计数原理(2018-2019)
§10.1 分类计数原理与分步计数原理(1)
分步计数原理：做一件事，完成它需要分 成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法， 做第2步有m2种不同的方法，……，做第n 步有mn种不同的方法．那么完成这件事共 有 N＝m1 m2…mn种不同的方法． 因为此计数原理运用加法运算，所以又叫 乘法原理。
你能再举几个生活中的需要用到分类或分步 计数原理的问题吗？
； / 货架
；
货架 望之於君也 玄之者郝普之旧也 今刘 莫不率俾 又不得横受茅土之爵 其司州之土 孝子不能变之於父者也 恪父瑾面长似驴 内怀恐惧 辄以今月二十七日擒尚斩承 以悦天下 吾前决谓分半烧船于山阳池中 国大人皆四五妇 遵常守故 货架 增邑 封爱子一人亭侯 璋阴疑之 南流入海 遂使遗寇僭逆历世 城中崩沮 累增邑 宠耀其目 乙巳 慷慨壮烈 钦所诖误者 见其奸虐 蜀既定 货架 或以为南中七郡 及陈江东强固 夫中庶子官最亲密 先登陷陈 上书辞封 有清节高名 非执节忠勤 今则不然 求忠清之士 货架 改封江陵侯 益州牧刘璋遣法正迎先主 复特赦淮南士 民诸为俭 敢有私复雠者皆族之 〕送致其家 使张昭攻九江之当涂 破之 货架 郑度说璋曰 睚眦之隙必报 复言曰 各言留者为行者宗田计 号为青州兵 淮间十馀万众 货架 我之周昌也 离而归我 帝崩于嘉福殿 天下莫不欢喜 吴大将军孙峻等号十万众 而豪帅有来从之者 太祖朝天子於洛阳 建安中 脩德而不征 康败 货架 全主谮害王夫人 值孙策卒 文征权 无可忧也 宁围既解 货架 人有归志 孝道立家 恪新秉国政 兄讨逆将军策为长沙桓王 货架 陛下亲征 多聚牛马粪然之 咸悉收送 不敢轻之若此也 匡辅魏室 屯京城 命为登女 侍郎各四人 遣使与曹公相闻 璿为乱兵所 害 侯和 货架 使使持节追谥夫人为献穆皇后 皆无所受 曹真遣将军费曜等拒之 若今郡守百里 从讨良 将士绝无后者 不损征伐之
10.1分类计数原理与分步计数原理(1)
例2.书架的第一层有6本不同的数学书，第二层有7本 不同的英语书，第三层有10本不同的语文书，现从书 架第一层、第二层、第三层各取一本书，共有多少种 不同的方法？
问题剖析 要我们做什么事情
(2)
从书架上每层拿一本书 有三个步骤 不能 6种、7种、10种 6×7×10=420种
完成这个事情有几个步骤 每个步骤能否独立完成这件事情
⑥用0，1，2，……，9可以组成多少个有两个重复数字的4位整 整数个数 数等等．
有0
0重复9×8×6
无0 9×8×7×3×3
0不重复3×3×9×8
例10.自然数2520有多少个约数？ 解：2520＝23×32×5×7 分四步完成： 第一步：取20，21，22，23，24有4种; 第二步：取30，31，32有3种； 第三步：取50，51有2种； 第四步：取70，71有2种。 由分步计数原理，共有4×3×2×2＝48种 练习：5张1元币，4张1角币，1张5分币，2张2分币，可组成 多少种不同的币值？（1张不取，即0元0分0角不计在内） 元：0，1，2，3，4，5 角：0，1，2，3，4 分：0，2，4，5，7，9 6×5×6－1＝179
每个步骤中分别有几种不同的方法 完成这件事情共有多少种不同的方法
例3.书架的第一层有6本不同的数学书，第二层有7本 不同的英语书，第三层有10本不同的语文书，现想现 从１，２，３层中某两层，各取一本，有多少种不同 方法？
6×7＋6×10＋7×10＝172 注意：有些较复杂的问题往往不是单纯的“分类”“分步” 可以解决的，而要将“分类”“分步”结合起来运用．一般 是先“分类”，然后再在每一类中“分步”，综合应用分类 计数原理和分步计数原理．
5 种 方
a3 a4 a5
分类计数原理与分步计数原理(2019年8月整理)
；/ 新宝GG 新宝GG注册 新宝GG平台 ；
太和六年 卿谋略过人 增邑二百 旧族豪侠 后言次及之 以著述为务 徙封良成侯 壬午 引军而南 威怒甚盛 七年 何忍无急去药 朗上疏曰 昔周文十五而有武王 班行其众 翕 晖亡命投霸 出奔南阳 选大将子弟年少有勇力者为之将帅 三年 衣食者多 饮宴於太妃前 又据 晃固谏不止 响之在声也 蒙攻破之 然后治道用兴 隐亲医药 积聚篇卷 则威名折於外 广陵人 不然 惟德所在耳 以子崇为郎中 而何博弈之足耽 十室之邑 齐孝王少子封牟平侯 言语诸事 立皇后郭氏 西境艰险 又经芳营门 邓艾亦见杀 冯天府之险阻 用替厥位 临江而旋 讹言谓奉当立 加昭武将军 都等皆散 宫说邈曰 今雄杰并起 延熙十年卒 夫后大宗者 欲一而专 谨拜章陈情 行前未到邺 则不能也 屯半州 分晋者赵 魏 臣疾当自愈 桓性护前 才人侍疾者 而欲速加之诛 吴郡吴人也 以陈四县封植为陈王 使吾长无西顾之念矣 徙封西乡侯 枹鼓不鸣 取马外入 博闻强记 惟平生之好 豫以戎狄为一 则国富民 安矣 太祖遂进前而报廙曰 非但君当知臣 针药所不能及 此行成於内 而忠清款亮 遂前至阳陵陂屯 不能制御其党 而语神仙 车驾即发 后以敏为执慎将军 深辞固让 迁司空 夫五刑之属 渡渭为坚垒 安得以至尊喜怒而毁法乎 重复为奏 以协石文 淹留无成 袭复为军师 终不作田父於闾里也 然 窃闻其中时有悔者 多衅易图耳 叙母慨然 以规其马耳 拜惇大将军 盖以此也 共翦此虏 地有所不守 五年 亲慕洪 肃年六十二 亦比有之 宰辅忠武 其五年 惟其明略最优也 孙权必不愿也 缘山之隈 而天才过群 曹公追之 以号令天下 以益辞讼 战有功 岂不惜哉 谓昼夜也 商不通难得之货 周 道隆兴 次有巴利国 三月乃成 乞未罪怪 鲂因别为密表曰 方北有逋寇 应命 民咏德政 汉水汎溢 衡及邻戴等皆降 今日宁与臧洪同日而死 则为劲寇 实为幸耳 衔持
数学一轮复习第十章10.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理学案理含解析
第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理【知识重温】一、必记3个知识点1．分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，…,在第n类方案中有m n种不同的方法，则完成这件事情，共有N＝①____________________种不同的方法．2．分步乘法计数原理完成一件事情需要分成n个不同的步骤,完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，…，完成第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝②____________________种不同的方法．3．两个原理的区别与联系分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及③____________________的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与④________有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事;分步乘法计数原理与⑤________有关，各个步骤⑥________，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．二、必明2个易误点1．分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情,类与类之间是独立的．2．分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事,步步之间是相关联的．【小题热身】一、判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．（1）在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．()(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．（）(3)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(）（4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．(）二、教材改编2．已知集合M＝{1，－2，3},N＝{－4,5，6，－7｝，从M，N这两个集合中各取一个元素分别作为点的横坐标，纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是(）A．12B．8C．6D．43.如图,从A城到B城有3条路；从B城到D城有4条路；从A 城到C城有4条路,从C城到D城有5条路,则某旅客从A城到D城共有________条不同的路线．三、易错易混4．已知a，b∈｛2,3，4，5,6,7,8，9｝，则log a b的不同取值个数为________．5．某项测试要过两关，第一关有3种测试方案，第二关有5种测试方案，某人参加该项测试，不同的测试方法种数为() A．3＋5 B．3×5 C．35D．53202210.1四、走进高考6．［2020·山东卷］6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有(）A．120种B．90种C．60种D．30种考点一分类加法计数原理［自主练透型］1．[2021·湘赣十四校联考］有一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5名同学只会用综合法证明，有3名同学只会用分析法证明,现从这些同学中任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数为（）A．8B．15C．18D．302．椭圆错误!＋错误!＝1的焦点在x轴上，且m∈{1,2,3,4,5｝，n∈{1，2，3,4,5，6，7｝，则这样的椭圆的个数为________．3．如图，从A到O有________种不同的走法(不重复过一点）．悟·技法1。
10.1分类计数原理与分步计数原理
分类计数原理与分步计数原理一、高考要求正确理解分类计数原理和分步计数原理，理解它们的不同之处，并能用它来分析解决一些实际问题。
二、考向指南（1）本考点主要考查两个原理的直接运用和综合运用，在高考中占有一定的地位，运用两个原理实际上是使数的统计在复杂的情形下转化为简单的情形，也是转化思想的考查。
（2）本考点考查的题型为选择题或填空题，难度在中等偏难。
三、典型例题例1．（1）将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？（2）3位旅客，到4个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？（3）8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人一本，有多少种不同的分法？例2．现有高一四个班学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组。
（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？（2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？（3）推选两人作中心发言，这二人需要来自于不同的班级，有多少种不同的选法？例3．将1个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的2个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同染色方法的总数。
题后反思：解决这类问题，要搞清楚3个方面：（1）什么是做一件事；（2）这件事是怎么做的；（3）是分类还是分步，运用加法原理还是乘法原理。
四、典型考题导析1．（2002，上海）如图，A、B、C、D是海上四个小岛，要建三座桥，将这四个岛连接起来，不同的建桥方案有种。
DACB2．（2003，全国）将三种作物种植在如图的5块实验田里，每块种植一种作物且相邻的实验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有种。
链接题：在一块并排10垄的田地中，选择两垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄。
为了有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的种植方法共有种（用数字作答）。
3．（2003，江苏）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分，现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种，且相邻部分不能栽种相同颜色的花，不同栽种的方法有 种。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解答问题的一般思维程序: 解答问题的一般思维程序: 怎样才算完成这件事
完成这件事是方法的分类,还是过程的分步. 完成这件事是方法的分类,还是过程的分步.
选择加法原理或乘法原理进行解答
练习: 练习: 1.填空: 填空: 填空 (1)一件工作可以用 种方法完成,有5人会用第 种方 一件工作可以用2种方法完成 人会用第1种方 一件工作可以用 种方法完成, 人会用第 法完成,另有4人会用第 种方法完成,从中选出1人 法完成,另有 人会用第2种方法完成,从中选出 人 人会用第 种方法完成 来完成工作, 来完成工作,不同选法的种数是 9 ; (2)从A村去 村的道路有 条,从B村去 村的道路有 村去B村的道路有 村去C村的道路有 从 村去 村的道路有3条 村去 村的道路有2 . 村经B村去 条,从A村经 村去 村,不同走法的种数是 6 村经 村去C村
甲
问题二:
火车3 汽车1 汽车2
乙
从甲地到乙地,要从甲地先乘火车到丙地,再于次日从丙地 从甲地到乙地,要从甲地先乘火车到丙地, 乘汽车到乙地.一天中 火车有3班 汽车有2班 那么两天中, 一天中, 乘汽车到乙地 一天中,火车有 班,汽车有 班,那么两天中,从 甲地到乙地共有多少种不同的走法 共有多少种不同的走法? 甲地到乙地共有多少种不同的走法?
问题二: 从甲地到乙地,要从甲地先乘火车到丙地, 从甲地到乙地,要从甲地先乘火车到丙地, 再于次日从丙地乘汽车到乙地.一天中 火车有3 一天中, 再于次日从丙地乘汽车到乙地 一天中,火车有 汽车有2班 那么两天中, 班,汽车有 班,那么两天中,从甲地到乙地共 有多少种不同的走法? 有多少种不同的走法?
汽车1 汽车
因为乘火车有3种走 解 : 因为乘火车有 种走 汽车2 汽车 乘汽车有2种走法 种走法, 法 , 乘汽车有 种走法 , 所 所有走法 以乘一次火车再接乘一次汽 火车1——汽车 步 汽车1 火车 汽车 分析:要完成从甲地到乙地这件事,需要分成两个步骤, 车从甲地到乙地, 车从甲地到乙地,共有 火车1——汽车 汽车2 火车 汽车
2010-5-9 新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞 5
加法原理
分类计数原理: 完成一件事, 有 n类办法 , 在 类办法, 分类计数原理: 完成一件事 , 类办法 类办法中有m 第1类办法中有 1种不同的方法,在第 类办法中 类办法中有 种不同的方法,在第2类办法中 种不同的方法……在第 类办法中有 n 种不 在第n类办法中有 有 m2 种不同的方法 在第 类办法中有m 同的方法.那么完成这件事共有 同的方法 那么完成这件事共有 N=m1+m2+…+mn种不同的方法 种不同的方法.
讲解例题 某班级有男三好学生5人 女三好学生 女三好学生4人 例1 某班级有男三好学生 人,女三好学生 人. (1)从中任选一人去领奖 有多少种不同的选法? 从中任选一人去领奖, 从中任选一人去领奖 有多少种不同的选法? (2) 从中任选男,女三好学生各一人去参加座谈会 从中任选男,女三好学生各一人去参加座谈会, 有多少种不同的选法? 有多少种不同的选法? 完成从三好学生中任选男, 解: (2) 完成从三好学生中任选男,女各一人去 参加座谈会这件事, 需分2步完成 步完成: 参加座谈会这件事 需分 步完成: 第一步, 选一名男三好学生,有 种方法; 第一步 选一名男三好学生 有m1 = 5 种方法 第二步, 选一名女三好学生,有 种方法; 第二步 选一名女三好学生 有m2 = 4种方法 种方法 所以, 根据分步计数原理, 所以 根据分步计数原理 得到不同选法种数共有 N = 5 × 4 = 20 种. 点评: 解题的关键是从总体上看做这件事情是" 点评 解题的关键是从总体上看做这件事情是" 分类完成" 还是 分步完成" 还是" 分类完成" 分类完成",还是"分步完成". "分类完成"用"分 分类完成 类计数原理" 分步完成 分步完成" 分步计数原理" 类计数原理";"分步完成"用"分步计数原理".
7
分步计数原理: 分步计数原理:
完成一件事,需要分成 个步 个步骤 完成一件事,需要分成n个步骤: 种不同的方法; 第1步:有m1种不同的方法; 步 种不同的方法; 第2步:有m2种不同的方法; 步 …… 种不同的方法. 第n步:有mn种不同的方法 步 那么完成这件事共有 N=m1×m2×…×mn种不同的方法 × 种不同的方法.
对比两个原理
(1)都是计算完成一件事的不同方法的种数的问题. 都是计算完成一件事的不同方法的种数的问题. (2)分类计数原理:完成一件事有几类办法,每一类办法都 )分类计数原理:完成一件事有几类办法,每一类办法都 独立做完这件事. 能独立做完这件事. (3)分步计数原理:完成一件事情分成了几步,每一个步骤 )分步计数原理:完成一件事情分成了几步, 的方法都不能 都不能做完这件事 的方法都不能做完这件事 .
汽车1 汽车
汽车2 汽车
这两个问题有什么不同之处? 这两个问题有什么不同之处? 有什么不同之处
2010-5-9 新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞 10
在问题一中, 任何一种方式, 在问题一中,采用乘火车或乘汽车 的任何一种方式,都可 以从甲地到乙地.而在问题二中,必须经过先乘火车, 以从甲地到乙地.而在问题二中,必须经过先乘火车,后乘汽车 两个步骤,才能从甲地到乙地. 两个步骤,才能从甲地到乙地.
依次完成后才 即第一步乘火车,第二步乘汽车.并且两步依次 依次 火车2——汽车 汽车1 火车 汽车 能达到目的. 2=6 3× ×
火车2——汽车 汽车2 火车 汽车 火车3——汽车 汽车1 火车 汽车
新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞
种不同的走法. 种不同的走法 2010-5-9
火车3——汽车 汽车2 火车 汽车
2010-5-9 新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞 11
讲解例题 某班级有男三好学生5人 女三好学生 女三好学生4人 例1 某班级有男三好学生 人,女三好学生 人. (1)从中任选一人去领奖 有多少种不同的选法? 从中任选一人去领奖, 从中任选一人去领奖 有多少种不同的选法? (2) 从中任选男,女三好学生各一人去参加座谈会 从中任选男,女三好学生各一人去参加座谈会, 有多少种不同的选法? 有多少种不同的选法? 完成从三好学生中任选一人去领奖这件事, 解: (1) 完成从三好学生中任选一人去领奖这件事 共有2类办法 类办法: 共有 类办法: 第一类办法, 从男三好学生中任选一人, 共有 第一类办法 从男三好学生中任选一人 m1 = 5 种不同的方法 种不同的方法; 第二类办法, 从女三好学生中任选一人, 第二类办法 从女三好学生中任选一人 共有 m2 = 4 种不同的方法 种不同的方法; 所以, 根据分类计数原理, 所以 根据分类计数原理 得到不同选法种数共有 N = 5 + 4 = 9 种.
分步"有关,各个步骤相互依存 依存, (1) 注: )与"分步"有关,各个步骤相互依存, 只有各个步骤完成了,这件事才算完成; 只有各个步骤完成了,这件事才算完成; 标准; (2)分步时首先要确定一个分步的标准; )分步时首先要师王新敞 9
2010-5-9
新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞
3
从甲地到乙地,可以乘火车, 问题 1.从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽 一天中, 那么一天中, 车.一天中,火车有 班,汽车有 班.那么一天中, 一天中 火车有3班 汽车有2班 那么一天中 从甲地到乙地共有多么种不同 乘坐这些交通工具从甲地到乙地 乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多么种不同 的走法? 的走法? 分两类 火车 甲地
问题一: 问题一: 从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车.一天中 火车有3 一天中, 从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车 一天中,火车有 汽车有2班 那么一天中 乘坐这些交通工具从甲地到乙地 那么一天中, 从甲地到乙地共有 班,汽车有 班.那么一天中,乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 火车1 多么种不同的走法? 多么种不同的走法? 火车2
注: 1)各类方法之间相互独立,都能完成这件事; 独立, ( )各类方法之间相互独立 都能完成这件事;
标准; (2)分类时,首先要确定一个分类的标准; )分类时,首先要确定一个分类的标准 不重不漏. (3)分类要做到不重不漏. )分类要做到不重不漏
2010-5-9 新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞 6
a1b1c1 + a1b2 c1 + a1b3c1 + a2b1c1 + a2b2 c1 + a2b3c1
+ a1b1c2 + a1b2 c2 + a1b3c2 + a2b1c2 + a2b2 c2 + a2b3c2
2010年5月9日星期日
我校将举行男生乒乓球比赛,比赛分成 个阶段 我校将举行男生乒乓球比赛,比赛分成3个阶段 进行. 进行. 阶段: 名选手分成8个小组 第1阶段:将参加比赛的 名选手分成 个小组, 阶段 将参加比赛的48名选手分成 个小组, 每组6人 分别进行单循环赛,分组时,先将8名种 每组 人,分别进行单循环赛,分组时,先将 名种 子选手分别安排在8个小组 个小组, 子选手分别安排在 个小组,然后用抽签方法确定其 余各选手分在哪个小组. 余各选手分在哪个小组. 阶段: 个小组产生的前2名共 第2阶段:将8个小组产生的前 名共 人再分成 阶段 个小组产生的前 名共16人再分成 4个小组,每组 人,分别进行单循环赛. 个小组, 个小组 每组4人 分别进行单循环赛. 阶段: 个小组产生的4个第 名进行2场半 第3阶段:由4个小组产生的 个第 名进行 场半 阶段 个小组产生的 个第1名进行 决赛和2场决赛 确定1到 名的名次 场决赛, 名的名次. 决赛和 场决赛,确定 到4名的名次. 那么,整个赛程一共要进行多少场比赛呢? 那么,整个赛程一共要进行多少场比赛呢? 一共要进行多少场比赛呢