信号与系统连续时间信号的抽样及重建
信号与系统连续时间信号的抽样及重建
o
TS
t
信号与系统
一、信号抽样
信号抽样从连续信号到离散信号的桥梁，也是对信号 进行数字处理的第一个环节。
f (t )
fs (t )
A/D
f ( n)
量化编码
p( t )
数字 滤波器
g( n)
D/ A
g(t )
周期 信号
需解决的问题： f s (t ) 是否可以包含了 f (t ) 的全部信息？ 也就是 f s (t ) 能否不失真地恢复 f (t )
m=300则奈奎斯特角频率为2 m=600
信号与系统
信号与系统
信号与系统
信号与系统
三、连续时间信号的重建
在满足抽样定理的条件下，可用一截止频率为 m c s 的理想低通滤波器，即可从抽样信号 fs(t) 中无失真恢复原连 续信号 f (t) 。 f s t Fs 1
f(t)
若抽样脉冲是周期矩形脉 冲，则这种抽样称为周期矩形 脉冲抽样。也称为自然抽样。
连续信号
o
t
p(t)
f t
p t
抽样信号
f s t
o
TS
fS(t)
t
抽样脉冲
o TS t
抽样信号:
f s t f t pt
信号与系统
2、周期矩形脉冲抽样
连续信号
p(t ) G (t nTs ) 在矩形脉冲抽样情况下，抽样 n f (t信号频谱也是周期重复，但在重复 ) f s (t ) 过程中，幅度不再是等幅的，而是 p (t ) f s (t ) f (t ) p(t ) f (t ) G (t nTs ) 受到周期矩形脉冲信号的傅立叶系 抽样脉冲 n 数的加权。
18实验三信号抽样及信号重建一、...
信号与系统实验指导教程****大学*****学院/院系年月日目录实验一信号的基本运算 0一、实验目的 0二、实验原理 0三、实验内容及步骤 (10)四、实验报告要求 (10)实验二周期信号的傅里叶级数及Gibbs现象 (11)一、实验目的 (11)二、实验原理及方法 (11)三、实验内容和要求 (16)四、实验报告要求 (17)实验三信号抽样及信号重建 (18)一、实验目的 (18)二、实验原理及方法 (18)三、实验内容及步骤 (24)四、实验报告要求 (24)实验四信号系统仿真 (25)一、实验目的 (25)二、实验原理 (25)三、实验内容及步骤 (28)四、实验报告要求 (29)实验一 信号的基本运算一、实验目的1、熟悉掌握常用的用于信号与系统时域仿真分析的MATLAB 函数。
2、掌握用MATLAB 描述连续时间信号和离散时间信号的方法，能够编写MATLAB 程序进行仿真。
3、熟悉实现各种信号的时域变换和运算的原理和方法，并在MATLAB 环境下仿真。
4、利用延拓的方法将时限信号变成一个周期函数。
5、利用MATLAB 的卷积工具实现两个信号的卷积运算。
二、实验原理1、在《信号与系统》课程中，单位阶跃信号u(t) 和单位冲激信号δ(t) 是二个非常有用的信号。
它们的定义如下,0)(1)(≠==⎰∞-∞=t t dt t t δδ 1.1(a)⎩⎨⎧≤>=0,00,1)(t t t u 1.1(b) 这里分别给出相应的简单的产生单位冲激信号和单位阶跃信号的扩展函数。
产生单位冲激信号的扩展函数为：function y = delta(t) dt = 0.01;y = (u(t)-u(t-dt))/dt;产生单位阶跃信号的扩展函数为：% Unit step functionfunction y = u(t)y = (t>=0); % y = 1 for t > 0, else y = 0请将这二个MA TLAB 函数分别以delta 和u 为文件名保存在work 文件夹中，以后，就可以像教材中的方法使用单位冲激信号δ(t) 和单位阶跃信号u(t)。
信号与系统课程设计信号的抽样与恢复-.
信号与系统课程设计题目：信号的抽样与恢复学生姓名：院（系、部）：机电工程学院指导教师：2012年12月24日至2012年12月28日摘 要本设计是运用MATLAB 编程来实现抽样定理及其信号恢复的仿真并能在建立的图形用户界面上显示出相应的仿真结果。
目的在于能够熟练的应用MATLAB 软件来建立友好的用户界面，通过界面来显示原始信号、抽样信号以及恢复后仿真的信号。
本设计通过产生一个连续时间信号并生成其频谱，然后对该连续信号抽样，并对抽样后的频谱进行分析，最后通过设计低通滤波器滤出抽样所得频谱中多个周期中的一个周期频谱，并显示恢复后的时域连续信号。
信号恢复，滤波器的参数需要很好的设置，以实现将抽样后的信号进行滤波恢复原连续信号。
通过MATLAB 软件中的信号分析的方法来验证抽样定理的正确性。
关键词：抽样与恢复；滤波器 ；MATLAB1 设计任务与要求（1）用MATLAB 实现常用连续信号 （2）用MATLAB 实现常用离散信号（3）根据以下三种情况用MATLAB 实现)(t Sa 的信号及恢复并求出两者误差，分析三种情况下的结果。
由于函数)(t Sa 不是严格的带限信号，其带宽m ω可根据一定的精度要求做一近似。
①)(t Sa 的临界抽样及恢复：,1=m ω，m c ωω=，m i s p T ω/4.2=； ②)(t Sa 的过抽样及恢复： 1=m ω，m c ωω1.1=，m i s p T ω/5.2=③)(t Sa 的欠抽样及恢复： 1=m ω，m c ωω=，m i s p T ω/5.2=。
2 原理分析和设计图1 总框架图2.1连续信号的抽样定理连续信号是指自变量的取值范围是连续的，且对于一切自变量的取值，除了有若干个不连续点以外，信号都有确定的值与之对应。
严格来说，MATLAB 并不能处理连续信号，而是用等时间间隔点的样值来近似表示连续信号。
当抽样时间间隔足够小时，这些离散的样值就能较好地近似连续信号。
《信号与系统实验》信号的采样与恢复(抽样定理)实验一
《信号与系统实验》信号的采样与恢复（抽样定理）实验一、实验目的1、了解电信号的采样方法与过程以及信号恢复的方法。
2、验证抽样定理。
二、实验设备1、信号与系统实验箱2、双踪示波器三、原理说明1、离散时间信号可以从离散信号源获得，也可以从连续时间信号抽样而得。
抽样信号f s(t)可以看成连续f(t)和一组开关函数s (t)的乘积。
s (t)是一组周期性窄脉冲，见实验图5-1，T s(t)称为抽样周期，其倒数f s(t)= 1/T s称为抽样频率。
图5-1 矩形抽样脉冲对抽样信号进行傅立叶分析可知，抽样信号的频率包括了原连续信号以及无限个经过平移的信号频率。
平移的频率等于抽样频率f s(t)及其谐波频率2f s、3f s》》》》》》。
当抽样信号是周期性窄脉冲时，平移后的频率幅度(sinx)/x规律衰减。
抽样信号的频谱是原信号频谱周期的延拓，它占有的频带要比原信号频谱宽得多。
2、正如测得了足够的实验数据以后，我们可以在坐标纸上把一系列数据点连起来，得到一条光滑的曲线一样，抽样信号在一定条件下也可以恢复到原信号。
只要用一截止频率等于原信号频谱中最高频率f n的低通滤波器，滤除高频分量，经滤波后得到的信号包含了原信号频谱的全部内容，故在低通滤波器输出可以得到恢复后的原信号。
3、但原信号得以恢复的条件是f s 2B，其中f s为抽样频率，B为原信号占有的频带宽度。
而f min=2B为最低抽样频率又称“柰奎斯特抽样率”。
当f s<2B时，抽样信号的频谱会发生混迭，从发生混迭后的频谱中我们无法用低通滤波器获得原信号频谱的全部内容。
在实际使用中，仅包含有限频率的信号是及少的，因此即使f s=2B，恢复后的信号失真还是难免的。
图5-2画出了当抽样频率f s>2B（不混叠时）f s<2B（混叠时）两种情况下冲激抽样信号的频谱。
t f(t)0F()t 0m ωm ω-(a)连续信号的频谱Ts t 0f s (t)F()t0m ωm ω-s ω-s ω（）(b)高抽样频率时的抽样信号及频谱 不混叠图5-2 冲激抽样信号的频谱实验中f s >2B 、f s =2B 、f s <2B 三种抽样频率对连续信号进行抽样，以验证抽样定理——要使信号采样后能不失真地还原，抽样频率f s 必须大于信号频率中最高频率的两倍。
连续时间信号的抽样与量化信号与系统ppt课件
Ts
fs 2 fm 是最低允许的抽样频率 , 称为“奈奎斯 特抽样频率”
§5.3 频率混叠效应和信号抽样 频率的选择
由时域抽样定理可知，为了保证不因抽样而造成 信号信息的丢失，被抽样的信号应是带限的，且要求 1 2 f 抽样频率 （ T 2 f）。当这两个条件得不到满足， T 抽样信号频谱的频谱将由相互重叠的 F [ j( n s )] （n 0， ）进行叠加而成，如图所示，显然，在这 1， 2， L 种情况下无论采用什么样的滤波器也不可能从 f s (t ) 中 完整地提取出原始信号 f (t ) 。这种由于信号在时域上 的抽样而造成信号在频域上的频谱混叠称作频率混叠 效应。
抽样信号: f s t f s t f t pt
pt P ,
f s t Fs
1 Fs F P 2π
更关心f s t 中有无 f t 的全部信息，必须考虑f s t 的频 谱结构。
n
F n
s
2．冲激抽样信号的频谱
f (t) 1 F
o p(t )
(1)
t
o m m
P ...
... o TS fS (t ) ... o T S
E ... t 相 乘 ... t 卷 积 ... s ... s o
s
n
n
Ts
2
n s Fs Sa F n s Ts n 2 n s Sa F n s Ts n 2
频谱结构
f (t) 1
5.2.2 冲激序列抽样
【课程思政优秀案例】《信号与系统》：连续时间信号的时域抽样
课程思政优秀案例——《信号与系统》：连续时间信号的时域抽样一、课程和案例的基本情况课程名称：信号与系统授课对象：电子信息类专业本科二年级学生课程性质：专业核心课程课程简介：我们已进入以信息化和智能化为主要特征的新工科时代，信号与系统课程是电子信息类专业重要的专业基础课程，为相关专业提供了重要的基础理论。
该课程主要阐述信号的时域分析和变换域分析，以及信号与系统的作用机理。
该课程具有“原理深厚、方法多元、应用广泛”等特点，蕴含了丰富的课程思政元素，课程思政与课程教学深度融合，启发了学生的辩证思维能力，熏陶了学生的科学探索精神，厚植了学生的家国情怀。
思想价值引领贯穿于课程教学全过程，课程教学改革取得了显著成效，形成了“名课程、名教材、名团队”协同推进的良好格局。
该课程囊括了各类课程称号（图1）。
图1 课程教学改革成果课程教学改革和建设水平处于全国领先地位，示范引领，为推进全国信号与系统课程建设发挥了重要作用。
牵头组织成立了覆盖全国50多所高校的“信号处理课程群”虚拟教研室，牵头撰写了“全国信号与系统课程思政教学指南”。
建设了该课程的中文和英文MOOC，选学人数约30万。
编著的教材发行20多万册，被全国200多所高校选用。
应邀在全国性教学会议做大会特邀报告20多次，在40多所高校做专题报告。
案例简介：该案例的教学内容为“连续时间信号的时域抽样”，处于课程教学的中间阶段，紧随连续信号和离散信号的时域分析和频域分析。
主要阐述“为何要进行信号抽样、信号抽样的理论分析、抽样定理的本质内容、抽样定理的工程应用”，其为连续信号的数字化分析与处理提供了理论支撑，是课程教学的重点内容之一。
没有信息化就没有现代化，而信息化的基础是数字化。
信号的时域抽样正是阐述信号数字化的基本原理和方法，其架设了现实的模拟世界与虚拟的数字世界之间的桥梁，为信息化和智能化奠定了重要的理论基础。
本讲内容的教学目标：知识传授：※了解信号的时域抽样对信息化时代的重要意义；※理解信号时域抽样定理的基本原理和本质内容；※掌握实际工程应用中常见信号的时域抽样方法。
连续时间信号的抽样及频谱分析-时域抽样信号的频谱--信号与系统课设
1 引言随着科学技术的迅猛发展，电子设备和技术向集成化、数字化和高速化方向发展，而在学校特别是大学中，要想紧跟技术的发展，就要不断更新教学和实验设备。
传统仪器下的高校实验教学，已严重滞后于信息时代和工程实际的需要。
仪器设备很大部分陈旧，而先进的数字仪器(如数字存储示波器)价格昂贵不可能大量采购，同时其功能较为单一，与此相对应的是大学学科分类越来越细，每一专业都需要专用的测量仪器，因此仪器设备不能实现资源共享，造成了浪费。
虚拟仪器正是解决这一矛盾的最佳方案。
基于PC 平台的虚拟仪器，可以充分利用学校的微机资源，完成多种仪器功能，可以组合成功能强大的专用测试系统，还可以通过软件进行升级。
在通用计算机平台上，根据测试任务的需要来定义和设计仪器的测试功能，充分利用计算机来实现和扩展传统仪器功能，开发结构简单、操作方便、费用低的虚拟实验仪器，包括数字示波器、频谱分析仪、函数发生器等，既可以减少实验设备资金的投入，又为学生做创新性实验、掌握现代仪器技术提供了条件。
信号的时域分析主要是测量测试信号经滤波处理后的特征值，这些特征值以一个数值表示信号的某些时域特征，是对测试信号最简单直观的时域描述。
将测试信号采集到计算机后，在测试VI 中进行信号特征值处理，并在测试VI 前面板上直观地表示出信号的特征值，可以给测试VI 的使用者提供一个了解测试信号变化的快速途径。
信号的特征值分为幅值特征值、时间特征值和相位特征值。
尽管测量时采集到的信号是一个时域波形，但是由于时域分析工具较少，所以往往把问题转换到频域来处理。
信号的频域分析就是根据信号的频域描述来估计和分析信号的组成和特征量。
频域分析包括频谱分析、功率谱分析、相干函数分析以及频率响应函数分析。
信号在时域被抽样后,他的频谱X(j )是连续信号频谱X(j )的形状以抽样频率为间隔周期重复而得到,在重复过程中幅度被p(t)的傅里叶级数Pn加权。
因为Pn只是n的函数,所以X(j )在重复的过程中不会使其形状发生变化。
信号与系统中抽样的概念
信号与系统中抽样的概念抽样是信号与系统中一个重要的概念。
在信号处理中，抽样是指对连续时间信号进行离散化处理，将连续时间信号转换为离散时间信号的过程。
抽样的目的是为了将连续时间信号转换为数字信号，使得信号可以通过数字方式进行存储、传输和处理。
抽样过程可以看作是在连续时间域上对信号进行定时取样。
抽样过程中，我们使用采样定理（奈奎斯特定理）来保证抽样后的信号不失真。
采样定理指出，为了避免信号采样引起的混叠现象，抽样频率必须大于等于原始信号中最高频率的两倍，也就是满足奈奎斯特频率。
在实际应用中，我们通常采用理想脉冲序列作为采样信号。
理想脉冲序列是一个周期为T的序列，每个周期内有一个脉冲，其他时间点上为零。
理想脉冲序列的傅里叶变换是一个周期序列（频率为1/T）的线性组合。
对连续时间信号x(t)进行抽样，可以通过将x(t)与理想脉冲序列进行卷积来实现。
即将x(t)乘以理想脉冲序列，然后对乘积信号进行积分。
抽样后得到的信号为离散时间信号x[n]，其中n为整数，表示采样时刻。
离散时间信号x[n]可以看作是连续时间信号x(t)在采样时刻的取样值。
为了重构x(t)，可以通过将x[n]与插值函数进行卷积来实现。
插值函数可以看作是理想脉冲序列的反变换，即将理想脉冲序列的傅里叶变换除以周期序列的傅里叶变换。
抽样引入了两个重要的参数，即采样间隔和采样频率。
采样间隔为采样时刻之间的时间间隔，采样频率为采样时刻之间的倒数，即采样频率等于1/采样间隔。
采样频率越高，采样精度越高，重构信号的失真越小。
但是，采样频率过高也会导致计算和存储的需求增加。
抽样过程中，还存在一个概念叫做抽样定理。
抽样定理指出，在有限频带B内的连续时间信号，可以通过以准确率误差小于ε的方式进行采样和重构，只需要满足采样频率f_s大于等于2B。
这是由带限信号在频域中没有重叠而导致的。
如果信号的频域存在重叠，则需要进一步提高采样频率以避免混叠现象。
在实际应用中，我们使用的信号不一定是有限频带的信号，因此在抽样过程中，可能会引入混叠现象。
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信号与系统
Y ()1 4G 2() ( 5 0 0 ) ( 5 0 0 ) ( 5 0 0 ) ( 5 0 0 )g H () 1 4G 2( 5 0 0 ) G 2( 5 0 0 ) ( 5 0 0 ) ( 5 0 0 )g H ()
1 4G2(1000)G2()G2()G2(1000)gH()
1 2G2()
因为
f(t) FG2()
所以
y(t) f (t) sint
2 2t
信号与系统
作业 （13-05-28）
P134 4-21 P153 4-23
信号与系统
四、频域抽样与频域抽样定理
f0 t
E
E F0 ()
0
2 a 2
t
f1 t
E
2 0 2
b E0 F1
T 0 T
22
t
c
fs t
E
T 0 T
2
2
e
t
2 Ts
2 0 2
d E0 Fs
Ts
2 0 2
f
2 Ts
信号与系统
解：
y (t) f(t) s (t) s (t) h (t)
o
t
p(t)
(1) E
o TS
t
相
fs (t)
乘
o TS
t
F ()
1
mom
P()
(s )
s
o
s
卷
1/ Ts Fs ()
积
s om s
信号与系统
几点认识
1
n
0时, Fs
1 Ts
F,包
含 原 信 号 的 全 部,信 幅息 度
差Ts倍 。
2 Fs以s为周期的连,有 续谱 新的频率成 ,即F分的周期
奎斯特频率，把最大允许的抽样间隔
Ts
1 fs
1
2 f称m
为奈奎斯特间隔 。
信号与系统
时域抽样定理的图解：
f (t)
F ( )
0
t
m 0 m
fs (t)
(a) 连续信号的频谱
Fs ( )
0Ts
t
s m 0 m
s
f s (t ) (b) 高 抽 样 速 率 时 抽 样 信 号 的 频 谱 频F谱s (混) 叠
s
F s
1
Ts
o m s
性延拓。
s m
3若 接 一 个 理 想器 低其 ， 通增 滤益 波 smm
为Ts 截 止 频m率 c s m
滤 除 高 频 成 分现 ，原 即信 可号 重。
信号与系统
2、周期矩形脉冲抽样
f(t)
若抽样脉冲是周期矩形脉
冲，则这种抽样称为周期矩形
o
t
脉冲抽样。也称为自然抽样。
2 200
t
故00() m =100 则奈奎斯特角频率为2 m =200
信号与系统
1
②.F[Sa2(100t)]= 2
100
G200()
100
G200()
m =200则奈奎斯特角频率为2 m =400
③.F[Sa(100t)cos(200t)]= [
p(t)
连续信号 f t
抽样信号
fs t
o TS
t
fS(t)
抽样脉冲
pt
o TS
t
抽样 : fst信 ftp 号 t
信号与系统
2、周期矩形脉冲抽样
连续信号 在矩形脉抽冲样信抽号样情况下，p(t抽)样信 G(tnTs) f (t号) 频谱也是周fs期(t)重复，但在重复n过
程中，幅p(度t)不再是等幅的，而是受
100
G200(20)0+100
G200(20)0]
m =300则奈奎斯特角频率为2 m=600
信号与系统
信号与系统
信号与系统
信号与系统
三、连续时间信号的重建
在满足抽样定理的条件下，可用一截止频率为 mc的理 sm
想低通滤波器，即可从抽样信号 fs(t) 中无失真恢复原连续信
号 f (t) 。
2、周期矩形脉冲抽样
f (t)
o
p(t)
t
E
o Ts
t
fs (t)
相
乘
F ()
1
mom
P()
Es
幅2度 不再是等幅，
受到 周期矩形脉冲
s
E
o
F信 的s (s加号) 的权傅卷积立叶系数
Ts
o Ts
t
s om s
信号与系统
一、信号抽样
冲激抽样和矩形脉冲抽样是两种典型的抽样
➢在实际中通常采用矩形脉冲抽样。
说明：
f(nTs)SaC(tnTs) n
（1）信号可以展开成抽样函数的无穷级数，该级数的系数
等于抽样值；
（2）若在抽样信号的每个样点处，画出一个峰值为 f ( n Ts ) 的Sa函数波形，那么其合成信号就是原连续信号；
结论：只要已知各抽样值，就能唯一地确定出原信号。
信号与系统 三、连续时间信号的重建
0 Ts
t
s
0 m s
(c) 低抽样速率时抽样信号的频谱及频谱混叠
信号与系统
例：求①Sa(100t) ② Sa2(100t) ③Sa(100t)cos(200t)
的奈奎斯特角频率.
解：
f (t)
F()
200
100 100 t
2f()/200
2 200
100 100
2
200
F (t) 200
1
Ts
Pn
1抽2 样(t信)e-号jns的tdt频谱1 是 以 Ts Ts ωs 为周期等Ts幅地
2
重复
所以冲激抽样信号的频谱为
F s () 2 1 π F () T ()= n P n F ( n s ) T 1 sn F ( n s )
信号与系统
1、冲激抽样
f (t)
n
其中， s
2为 抽样角频率，
Ts
fs
1 Ts
为T抽s 样间隔 ，
为抽样频率
信号与系统
所以抽样信号的频谱为:
抽样信号的频谱是原连续 信号的频谱以抽样角频率
fs(t)f(t)p (t) F s()为 幅 间 度2 1 隔 受F 抽周(样期) 脉地P 冲延(序拓)列，的频傅谱
立叶系数加权。
➢但为了便于问题分析，当脉宽较窄时，往往可近似为 冲激抽样。
信号与系统
二、时域抽样定理
信号的采样 需解决 : 由 fs 的 f(s t)t 能 问 F s 否 与 题 fF t恢 的 复 关
第一个问题已经解决，第二个问题由时域抽样定理回答。
该定理从理论上回答了为什么可以用数字信号处理手段 解决连续时间信号与系统问题。抽样定理在通信系统、信息 传输理论、数字信号处理等方面占有十分重要的地位。
即 F()G2()
信号与系统
另外 s(t)cos500t
所以 S ( ) ( 5 0 0 ) ( 5 0 0 )
将 S (、) F (代 )入
Y() 2 1 2 1 F ()S() S() g H ()
Y () 1 4 G 2 () ( 5 0 0 ) ( 5 0 0 ) ( 5 0 0 ) ( 5 0 0 ) g H ()
信号与系统
时域抽样定理：一个频谱受限的信号 f (，t ) 如果频谱只占
据 的范m,围m ，则信号 可以用等f (间t ) 隔的抽样值
唯一地表f (示n T，s ) 只要抽样间隔
其中 f m为信号的最高频率
Ts
1 2 fm
或者说，抽样频率 f s满足条件 fs 2 fm
通常把满足抽样定理要求的最低抽样频率 fs 称2为fm奈
Y() 2 1 2 1 F ()S() S() g H ()
信号与系统
f(t)sintt 1Sa(t)
利用傅里叶正反变换对称性求 F ( )
G2(t) F 2Sa() 即 12G2(t) FSa()
由傅里叶正反变换对称性可知
Sa(t) F 2g 1 2G 2( )G 2()
所以 f(t)s in tt 1Sa(t) F G 2()
间只占据 (tm , tm ) 的范围，则信号 f (t)可以用等间隔的频率抽样值 F (n s )
唯一地表示，抽样间隔为 s ，它必须满足条件 Ts 2tm，其中
Ts
s 2
信号与系统
四、频域抽样与频域抽样定理
例：大致画出图所示周期矩形信号冲激抽样后信号的频谱。
f1 (t ) E
T 0 T
到周抽期样矩脉形冲 脉冲fs信(t)号的f(傅t)立p叶(t)系数 f(t)G (tnTs)
的加权。
n
周期矩形脉冲的傅立叶系数为
Pn
E
Ts
Sa(ns)
2
则抽样信号的频谱为
F s()= n P n F ( ns) E T sn S a (n 2 s)F ( ns)
信号与系统
四、频域抽样与频域抽样定理
矩形单脉冲信号的频谱
频域抽样 周期矩形信号的频谱 周期矩形信号
F0()
E
Sa2
F 1()2 E T m S a m 2 0 (m 0)
时域抽样 抽样间隔为 TS
频谱周期化，重复周期为 ωS＝2π/TS 。
Fs()T1s nF1(ns) T0EsnmSan20(ns m0)
f(t)f(nTs)SaC(tnTs)
n
f s t
Fs
0 Ts
t
s m 0 m
s
Ts