[理学]多元函数积分法及其应用

如果点集 E 的点都是内点，
则称 E 为开集.
P
例如，E1 {(x, y)1 x2 y2 4}
即为开集．
E
如果点 P 的任一个邻域内既有属于 E 的点，
也有不属于 E 的点（点 P 本身可以属于E ，也
可以不属于 E ），则称 P 为 E 的边界点．
E 的边界点的全体称为 E 的边界．
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二、二元函数定义
设D 是平面上的一个点集，如果对于每个点
P( x, y) D，变量z 按照一定的法则总有确定的值和 它 对 应 ， 则 称 z 是 变 量 x, y 的 二 元 函 数 ， 记 为 z f ( x, y)（或记为z f (P) ）.
定义域—D；值域—{z\ z = f (x,y), (x,y)D} 自变量—x,y；因变量—z。 类似地可定义三元及三元以上函数．
解: 与一元函数类似. 就是要求使这个式子有意义 的平面上的点的集合.
x + y > 0. 故 定义域 D = {(x, y)| x + y > 0}
如图
y
D
x+y=0
y > –x
(不包括直线
x + y = 0)
o
x
例2 求 f ( x, y) arcsin(3 x2 y2 ) 的定义域． x y2
z f ( x, y)当 x x0， y y0时的极限， 记为 lim f ( x, y) A
x x0 y y0
（或 f ( x, y) A ( 0)这里 | PP0 |）.
说明：
（1）二元函数的极限也叫二重极限 lim f ( x, y); x x0 y y0
U(P0, ) P | PP0 |
P0
( x, y) | ( x x0 )2 ( y y0 )2 .
（2）区域
设 E 是平面上的一个点集，P 是平面上的 一个点．如果存在点P 的某一邻域U(P) E ， 则称 P 为 E 的内点. E 的内点属于 E .
§9－1 多元函数的基本概念
三、二元函数的极限
一、 二元函数的极限
定 义 1 设 函 数 z f (x, y) 的 定 义 域 为 D, P0 ( x0 , y0 )是其聚点，如果对于任意给定的正
0
数 ，总存在正数 ，使得当点 P(x, y) D (P0 , ) 时，都有| f ( x, y) A | 成立，则称 A 为函数
上册我们研究了一元函数(一个自变量的函数)及 其微分.但在许多实际问题中, 常常会遇到一个变量 依赖于多个变量的情形, 这就提出了多元函数的概 念以及多元函数的微分和积分问题.
本章将在一元函数微分的基础上, 讨论多元函数 的微分法及其应用.讨论中以二元为主, 所得到的概 念、性质和结论均可推广到二元以上的多元函数.
y
{( x, y) | 1 x2 y2 4}
有界闭区域；
o
x {( x, y) | x y 0}
无界开区域．
(3) 聚点
若对任意给定的 ,点P 的去心
E
邻域
内总有E 中的点 , 则
称 P 是 E 的聚点.
说明： 内点一定是聚点； 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E(因为聚点可以为 E 的边界点 )
P
设 D 是开集．如果对于D内
任何两点，都可用折线连结起来， E
且该折线上的点都属于D ，则称
开集 D 是连通的．

从几何上看, 所谓 E 是连通集, 是指 E 是 连成一片的. E 中的点都可用折线连接.
y
y
1
o
x
x+y=0
o
1x
x2 + y2 = 1
连通的开集称为区域或开区域．
y
例如，{(x, y) | 1 x2 y2 4}.
为二元函数的图形. （如下页图）
二元函数的图形通常是一张曲面.
例如, z sin xy 图形如右图.
z
o
x
例如, x2 y2 z2 a2 左图球面.
y D {(x, y) x2 y2 a2}.
单值分支: z a2 x2 y2 z a2 x2 y2.
§9－1 多元函数的基本概念
一、平面点集的基本知识 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性
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一、平面点集的基本知识
（1）点的邻域
设P0 ( x0 , y0 )是xoy 平面上的一个点， 是某 一正数，与点P0 ( x0 , y0 )距离小于 的点P( x, y) 的全体，称为点P0 的 邻域，记为U (P0 , ) ，
解
3 x2 y2 1
x y2 0
2 x2 y2 4

x

y2
所求定义域为 D {(x, y) | 2 x2 y2 4, x y2}.
Байду номын сангаас
二元函数z f ( x, y) 的图形
设函数z f ( x, y)的定义域为D ，对于任意 取定的P( x, y) D，对应的函数值为 z f ( x, y)，这样，以x 为横坐标、y 为纵坐 标、z 为竖坐标在空间就确定一点M ( x, y, z)， 当x 取遍D 上一切点时，得一个空间点集 {( x, y, z) | z f ( x, y), ( x, y) D}，这个点集称
o
x
开区域连同它的边界一起称为闭区域. y
例如，{(x, y) | 1 x2 y2 4}.
o
x
对于点集 E 如果存在正数 K ，使一切点 P E 与某一定点 A 间的距离 AP 不超过 K ，
即 AP K
对一切 P E 成立，则称 E 为有界点集，否 则称为无界点集． 例如，
当n 2时，n 元函数统称为多元函数.
多元函数中同样有定义域、值域、自变量、 因变量等概念.
每个二元函数都有定义域, 对于从实际问题提出的 函数, 可以从实际问题的具体意义确定定义域.对于用 数学式子表示的函数, 我们约定其定义域就是使该数学 式子有意义的那些自变量值的全体.
例1. 求 z = ln (x + y)的定义域 D , 并画出D的图形.