常微分教案
微分方程与常微分方程教案(强烈推荐)
微分方程与常微分方程教案(强烈推荐)1. 引言本教案旨在介绍微分方程和常微分方程的基本概念和解法方法，帮助学生理解和掌握微分方程的应用。
微分方程作为数学中重要的研究领域之一，具有广泛的应用背景，在物理、经济、工程等领域中都有着重要的作用。
通过本教案的研究，学生将能够理解微分方程的意义和解题方法，为进一步研究高级数学和应用数学打下坚实的基础。
2. 微分方程的概念与分类2.1 微分方程的定义微分方程是描述未知函数与其导数之间关系的方程。
它可以分为常微分方程和偏微分方程两大类。
2.2 常微分方程的分类常微分方程是指只包含未知函数及其导数的方程。
常微分方程可以分为一阶和高阶两类，其中一阶常微分方程包括可分离变量方程、线性方程和恰当方程等；高阶常微分方程包括二阶和以上阶数的常微分方程。
3. 常见的微分方程解法3.1 可分离变量方程的解法可分离变量方程是一类形如 $M(x)N(y)dx + P(x)Q(y)dy = 0$ 的一阶常微分方程，其中 $M(x)$、$N(y)$、$P(x)$、$Q(y)$ 是关于$x$ 或 $y$ 的函数。
可分离变量方程可以通过对方程进行变形和变量分离的方法求解。
3.2 线性方程的解法线性方程是一类形如 $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ 的一阶常微分方程，其中 $P(x)$、$Q(x)$ 是关于 $x$ 的函数。
线性方程可以通过求解定积分和应用特解的方法求解。
3.3 恰当方程的解法恰当方程是一类形如 $M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$ 的一阶常微分方程，其中 $M(x,y)$、$N(x,y)$ 是关于 $x$ 和 $y$ 的函数，并且满足 $\frac{{\partial M}}{{\partial y}} = \frac{{\partial N}}{{\partial x}}$。
恰当方程可以通过利用积分因子的方法求解。
4. 实际应用案例分析本节将通过介绍一些实际应用案例，展示微分方程在物理、经济和工程等领域的应用。
高等数学教案 第18课 常微分方程的基本概念、可分离变量微分方程
定义 4 用来确定任意常数的条件称为初始条件或初值条 件．
求一阶微分方程 y f (x ，y) 满足初始条件 y |xx0 y0 的特解 的问题，称为一阶微分方程的初值问题，记作
y f (x ，y) ，y来自|x x0y0
．
（5-7）
微分方程特解的图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线， 通解的图形是一族相互平行的曲线（有无数多条），称为积 分曲线族，如图 5-2 所示．
18 常微分方程的基本概念、可分离变量微分方程 第
课
课题 课时
教学目标
教学重难点 教学方法 教学用具 教学设计
教学过程
常微分方程的基本概念、可分离变量微分方程
2 课时（90 min）
知识技能目标： （1）掌握函数微分方程的基本概念。 （2）掌握可分离变量微分方程的解法。
思政育人目标：
由具体问题引出微分的定义，使学生体会到数学是源于生活的，是对实际问题的抽象 产生的，不是脱离实际生活的；引导学生养成独立思考和深度思考的 良好习惯；培 养 学 生 的 逻 辑 思 维 、 辩 证 思 维 和 创 新 思 维 能 力 ；树 立 学 生 实 事 求 是 、 一 丝 不 苟 的 科学精神；引导学生运用所学知识揭示生活中的奥秘，在实践中深化认识，达到 学以致用的目的。
教学重点：函数微分方程的基本概念
教学难点：可分离变量微分方程的解法
讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法
电脑、投影仪、多媒体课件、教材
第 1 节课：考勤（2 min）→知识讲解（33 min）→课堂测验（10 min） 第 2 节课：知识讲解（30 min）→课堂测验（10 min）→课堂小结（5 min）
其中 C 为任意常数．又因为曲线通过点 (0，1) ，代入上式，解 出C 1．
常微分方程第1章教案
第一章 绪论定义：指含有未知量的等式. 代数方程：2210x x -+=1=，3121x x x--=+ 超越方程：sin cos 1x x +=，221x e x x =+-以上都是一元方程，一般形式可以写成()0F x =二元方程2210x y +-=的一般形式可以写成(,)0F x y =，同理三元方程22210x y z ++-=等等根据对未知量施加的运算不同进行方程的分类，高等数学的运算主要是微分和积分运算一、引例例1：已知一曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任一点(,)M x y 处的切线的斜率为2x ，求这曲线的方程.解：设所求曲线的方程为()y f x =，由题意1d 2(1)d 2(2)x y x x y =⎧=⎪⎨⎪=⎩由（1）得2d y x x =⎰，即2y x C =+ （3）把条件“1x =时，2y =，”代入上式（3）得221C =+，1C ∴= 把1C =代入式（3），得所求曲线方程：21y x =+例2：列车在平直道路上以20m/s （相当于72km/h ）的速度行驶，当制动时列车获得加速度20.4m /s -.问开始制动后需要多长时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？解：设列车在开始制动后t s 时行驶了s m.根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数()s s t =应满足关系式00220d 0.4(4) d d 20(5)d 0*t t t s ts v t s ===⎧=-⎪⎪⎪==⎨⎪⎪=⎪⎩（）把式（4）两端积分一次，得1d 0.4d s v t C t ==-+ （6）把式（6）两端再积分一次，得2120.2s t C t C =-++（7）,这里12C C 、都是任意常数. 把条件020t v==代入式（6）得120C =. 把条件00t s ==代入式（7）得20C =.把12,C C 的值代入式（6）及式（7）得0.420v t =-+（8）20.220s t t =-+（9）在式（8）中令0v =，得到列车从开始制动到完全停住所需的时间20500.4t ==（s ） 再把50t =代入式（9），得到列车在制动阶段行驶的路程s =20.2502050-⨯+⨯ = 500 (m). 二、微分方程的基本概念微分方程：联系自变量、未知函数以及它的导数的关系式.例如d 2d y x x =，22d 0.4 d s t =-，224T T x t∂∂=∂∂，2222220T T T x y z ∂∂∂++=∂∂∂ 常微分方程： 只含一个自变量的微分方程. d 2d y x x =，22d 0.4 d s t =- 偏微分方程：自变量的个数为两个或两个以上的微分方程. 224T T x t∂∂=∂∂，2222220T T T x y z ∂∂∂++=∂∂∂ 微分方程的阶数：微分方程中出现的最高阶导数的阶数.一阶常微分方程的一般形式为：(,,)0F x y y '=称为一阶隐式方程(,)y f x y '=称为一阶显式方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=称为微分形式的一阶方程n 阶隐式方程的一般形式为()(,,,,)0n F x y y y '=L （*）n 阶显式方程的一般形式为 ()(1)(,,,,)n n y f x y y y -'=L高阶微分方程：二阶及二阶以上的微分方程.如果（*）的左端为(),,n y y y'L 及的一次有理整式，则称（*）为n 阶线性微分方程，否则是非线性微分方程. 例如：22d y dy y t dt dt+= 是二阶非线性微分方程，而22d 0.4 d s t =-是一个二阶的线性微分方程.微分方程的解：代入微分方程能使该方程成为恒等式的函数叫做该微分方程的解.确切地说，设函数()y x ϕ=在区间I 上有n 阶连续导数，如果在区间I 上，(),(),(),,()0n F x x 'x x ϕϕϕ⎡⎤=⎣⎦L ，那么函数()y x ϕ=就叫做微分方程()(,,,,)0n F x y y'y =L 在区间I 上的解. 称(,)()0x y y x ϕΦ=-=为（*）的隐式解.例如：2y x C =+叫做微分方程d 2d y x x=的解，则2y x C -=或20y x C --=叫做微分方程d 2d y x x=的隐式解 通解：把含有n 个独立的任意常数12,,,n c c c L 的解12(,,,,)n y x c c c ϕ=L 称为方程（*）的通解.（如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解.）定解问题：求方程满足定解条件的求解问题.定解条件分为初始条件和边界条件，相应的定解问题分为初值问题和边值问题.初始条件：用于确定通解中任意常数的条件，称为初始条件.例如0x x =时，0y y =，0y'y'=.一般写成00x x y y ==，00x x y y =''= 初值问题：求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题.例如求微分方程(,)y'f x y =满足初始条件00x x y y ==的特解的问题，记为00(,)x x y f x y y y ='=⎧⎪⎨=⎪⎩ 特解：确定了通解中的任意常数以后，就得到微分方程的特解，即不含任意常数的解. 例如例1中21y x =+是式（1）的特解.一般地，初值问题为()(1)(1)(1)000000(,,,,)0(),(),,()n n n F x y y y y x y y x y y x y --'⎧=⎪⎨'===⎪⎩L L 定义：一阶微分方程(,)dy f x y dx=的解()y x ϕ=是Oxy 平面上的一条曲线，将它称为微分方程的积分曲线；而方程的通解(,)y x c ϕ=对应于Oxy 平面上的一族曲线，称为方程的积分曲线族；满足初始条件00()y x y =的特解就是通过点00(,)x y 的一条积分曲线.定义：设函数(,)f x y 的定义域为D ，在D 内每一点(,)x y 处，画上一小线段，使其斜率恰好为(,)f x y ，将这种带有小线段的区域D 称为由方程所规定的方向场.在方向场中，方向相同的点的几何轨迹称为等斜线.微分方程的等斜线方程为(,)f x y k =例（P28习题7）：微分方程22234'x y y xy -=，证明其积分曲线关于坐标原点(0,0)成中心对称的曲线，也是微分方程的积分曲线.证：设:(),[,]L y f x x a b =∈是微分方程的一条积分曲线，则满足22234['()]()(),[,]x f x f x xf x x a b -=∈ 而L 关于(0,0)成中心对称曲线':()(),[,],[,]L y f x F x x b a x a b =--=∈---∈， 所以有'()'()F x f x =-, [,]x b a ∈--当[,]x b a ∈--,[,]x a b -∈,可知22234()['()]()()x f x f x xf x ----=--即 22234['()]()()x F x F x xF x -=所以()F x 满足微分方程，故()F x 为微分方程的积分曲线.并且相对于L 关于原点(0,0)成中心对称曲线.三、微分方程的产生和发展常微分方程有着深刻而生动的实际背景，它从生产实践与科学技术中产生，又成为现代科学技术分析问题与解决问题的强有力工具.该课程是与微积分一起成长起来的学科，是学习泛函分析、数理方程、微分几何的必要准备，本身也在工程力学、流体力学、天体力学、电路振荡分析、工业自动控制以及化学、生物、经济等领域有广泛的应用.300多年前， Newton 与Leibniz 奠定微积分基本思想的同时,就正式提出了微分方程的概念. 1676年微分方程最早出现在Leibniz 写给Newton 的一封信中，常微分方程的发展主要分为三个阶段：1.初期发展期17世纪中期到18世纪末期，常微分方程研究的中心问题是如何求出通解的表达式. 代表人物莱布尼兹（德1646-1716）、牛顿（英1642-1727）2.基本理论奠定期19世纪初期到19世纪末期,主要研究解的定性理论与稳定性问题.代表人柯西Cauchy （法1789-1857）、刘维尔Liouville （法1809-1882）3.现代理论发展期19世纪末期-现在，进入新的阶段,定性上升到理论,进一步发展分为解析法、几何方法、数值方法.代表人物庞加莱Poincare（法1854-1912）、李雅普诺夫Lyapunov（俄1857-1918）。
高中数学备课教案解常微分方程组的方法总结
高中数学备课教案解常微分方程组的方法总结高中数学备课教案：解常微分方程组的方法总结一、引言常微分方程组是高中数学中重要的内容之一，其解法包含了多种方法。
本文将对解常微分方程组的几种常见方法进行总结和讨论，并提供相应的例题进行说明。
二、方法一：变换法变换法是解常微分方程组的一种常见方法，通过引入新的变量来将方程组转化为更简单的形式进行求解。
具体步骤如下：1. 假设方程组为：dx/dt = f(x, y)dy/dt = g(x, y)2. 引入新的变量：u = φ(x, y)v = ψ(x, y)3. 计算新的变量的导数：du/dt = (∂φ/∂x)*(dx/dt) + (∂φ/∂y)*(dy/dt)dv/dt = (∂ψ/∂x)*(dx/dt) + (∂ψ/∂y)*(dy/dt)4. 将方程组转化为关于u和v的形式：du/dt = Φ(u, v)dv/dt = Ψ(u, v)5. 求解转化后的方程组，并将u和v转化为x和y。
三、方法二：特征方程法特征方程法是解常微分方程组的另一种重要方法，通过求解特征方程来得到方程组的通解。
具体步骤如下：1. 假设方程组为：dx/dt = f(x, y)dy/dt = g(x, y)2. 将方程组写成矩阵形式：X' = AX其中，X = [x, y], A = [[∂f/∂x, ∂f/∂y], [∂g/∂x, ∂g/∂y]]3. 求解特征方程：det(A - λI) = 0其中，λ为特征值，I为单位矩阵。
4. 求解特征方程得到的特征值，并代入公式：X = c1*e^(λ1*t)*v1 + c2*e^(λ2*t)*v2其中，c1、c2为常数，v1、v2为特征向量。
5. 根据初值条件确定常数c1和c2，并得到方程组的特解。
四、方法三：欧拉法欧拉法是解常微分方程组的一种近似求解方法，通过使用差分逼近来计算方程组的数值解。
具体步骤如下：1. 假设方程组为：dx/dt = f(x, y)dy/dt = g(x, y)2. 将时间区间等分成若干小段：Δt = (b - a) / N其中，a、b为时间区间的起点和终点，N为等分的段数。
常微分方程教案
常微分方程教案一、引言常微分方程是数学中的重要分支，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
本教案旨在介绍常微分方程的基本概念、解法以及应用，帮助学生掌握解常微分方程的方法，并了解其在实际问题中的应用。
二、基本概念1. 常微分方程的定义常微分方程是指只依赖于一个独立变量的函数的导数与该函数本身构成的方程。
常微分方程通常以形如 dy/dx = f(x,y) 的形式表示，其中 f(x,y) 是已知函数。
2. 常微分方程的阶数常微分方程的阶数是指方程中最高阶导数的阶数。
一阶方程仅涉及一阶导数，二阶方程涉及到一阶和二阶导数，依此类推。
3. 常微分方程的解常微分方程的解是指满足方程的函数或函数组。
解可以由解析法得到，也可以通过数值方法进行近似求解。
三、解常微分方程的方法1. 可分离变量法可分离变量法适用于能够将方程表示为 dy/dx = g(x)h(y) 的情况。
通过分离变量并积分得到解。
2. 齐次方程法齐次方程法适用于能够将方程表示为 dy/dx = f(y/x) 的情况。
通过变量代换和分离变量的方法求解。
3. 线性方程法线性方程法适用于能够将方程表示为 dy/dx + P(x)y = Q(x) 的情况。
通过使用积分因子和积分求解。
4. 恰当方程法恰当方程法适用于能够将方程表示为 M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0的情况。
通过使用判别式和积分求解。
5. 变量替换法变量替换法适用于通过变量替换将高阶微分方程转化为一阶方程的情况。
通过适当选择替换变量，将高阶方程转化为一阶常微分方程。
四、常微分方程的应用1. 物理学中的应用常微分方程在物理学中有着广泛的应用。
例如，运动学中的运动方程、电路中的电流方程、振动系统中的运动方程等都可以用常微分方程进行建模和求解。
2. 工程学中的应用常微分方程在工程学中也有着重要的应用。
例如，电力系统中的电压和电流的变化、控制系统中的系统稳定性分析等都可以通过常微分方程进行建模和分析。
常微分方程教案设计
常微分方程教案设计。
对于大多数学生来说，学习常微分方程是一项具有挑战性的任务，而教师的教学能力和教案设计对于学生的学习效果有着至关重要的影响。
在本文中，我们将讨论常微分方程教案设计的重要性以及如何构建一个富有创意和实用性的教学计划。
我们需要明确一个真理，那就是好的教学计划是成功的关键。
常微分方程是一门基础性课程，因此，好的教学计划不仅要包括课程的核心内容，还要把握学生的基础知识。
教师应当精心设计课程大纲、课堂讲义以及配套的练习题，以便于学生们深入理解和掌握所授知识。
在设计教学计划的过程中，教师应当坚定自己的教学立场，充分发挥自身专业特长，用大量的实际例子和其他应用领域中的案例帮助学生掌握和应用微分方程的方法和技巧。
同时，教师也应该时刻关注学生的学习进程，以便及时调整教学方向，保证学生的学习效率。
在设计教学计划的时候，教师需要考虑学生们的学习兴趣。
为了吸引学生，我们可以通过提问、讨论和演示各种微分方程的物理、生物、化学及其他应用领域中的问题来激发学生的兴趣，并使他们对所学知识更加投入。
此外，我们还需要为学生们提供充分的资源进行自我研究和学习，这样能够加强学生的自主学习能力。
教师可以通过引导学生使用学习笔记、索引以及其他可用的学习资源来有效地增强学生的记忆能力和知识应用技巧。
教师和学生之间的互动和互动活动也是教学活动中最重要的部分。
教师应当以友好而专业的方式与学生沟通，并鼓励学生积极参加课堂讨论和其他学习活动。
这种交流不仅有利于学生更深入地理解所学知识，还可以增进教师与学生之间的互信与合作关系。
常微分方程教案设计是一项挑战性的任务，要求教师具有扎实的教育基础和深厚的专业知识。
在教案设计过程中，教师需要充分考虑课程大纲、课堂讲义以及配套的练习题等各个方面，并注重教学立场和学生的学习兴趣。
此外，为了有效增强学生的自主学习能力，教师还需要为学生提供充足的资源和互动活动。
只有这样，我们才能为学生打造一个富有效果的教学环境，让学生们真正地深入掌握常微分方程知识，并用所学知识在实践中获得成功。
(完整word版)常微分方程教案2
河北民族师范学院课程教案
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c c是任意常数
c
()
P x dx
c e⎰
c c
=,。
4)
c
c是任意的常数，整理后
10）
方程（2.9）如果（2.10）中允许
包含在（2.10）中
代回原来的变量，得到原方程的通解为
c c
1,
c c
=
c
c c 是任意的常数
()()dx P x dx P x dx
dx c ce e dx
-⎫
+⎪⎭⎰⎰+ 2.32)
这就是方程(2.28这种将常数变易为待定函数的方法，通常称为常数变易法。
实际上常数变易法也是一2.29）可将方程（）化为变量分离方程。
非齐线性方程的通解是它对应的齐线性方程的通解与它的某个特解之和1(1)x n x ++的通解
c
)c c是任意的常数
例2 求方程
解原方程改写为
c
-
c y
ln) c是任意的常数，另外也是方程的解.
特别的，初值问题
+
()
y Q x 的解为
0()x
x P d ce
ττ
⎰+）一阶非齐线性方程（2.28）的任两解之差必为相应的齐线性方程3）的非零解，而，其中c 为任意常数。
常微分方程教案(东北师大版)1_7高阶可降阶方程
第一章 初等积分法
§1.7 高阶可降阶方程
一、类型1
方程形式：
F (x, y(k), y(k+1), · · · , y(n)) = 0 (k ≥ 1)
解法：设y(k) = z，原方程化为
F (x, z, z′, · · · , z(n−k)) = 0
求解，得通解 z = z(x, C1, · · · , Cn−k)
P 49 1, 2, 4, 5, 7
通讯作者：席伟
5
email:teacherxi@
C2 2x + C1 √ y = C2 2x + C1 + C3
例：求解方程
(y − x)y′′ + y′2 − 2y′ = 1 − sin x
解：原方程化为
(yy′)′ − (xy′)′ − y′ = (x + cos x)′
通讯作者：席伟
4
email:teacherxi@
dx
y arcsin = b ± x
a
y = a sin(b ± x)
通讯作者：席伟
2
email:teacherxi@
沈阳化工学院
或 三、恰当导数方程
y = C1 sin x + C2 cos x
方程形式：
F (x, y, y′, · · · , y(n)) = 0
若存在ϕ，满足
解：设y′ = p，代入，得
pp′′ − p′2 = 2p′2
方程两端同乘
1 p2
，化简，得
( p′ )′ = 2( p′ )2
p
p
积分，得 积分，得 解得 即，有 积分， C1
1 ln|p| = − 2 ln|2x + C1| − ln|C2|
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2、教学关键点与教学逻辑关系分析：
教学关键点：常数变易法
这种方法是一阶微分方程的初等解法，也是初等积分法中的重要方法。
教 常数变易也是一种变量代换，所不同的是要代换的是线性齐次方程通解当中的
任意常数而得名，最终仍然是解决一个变量分离方程，只是要特别注意其通解
学 的形式和结构，这是第四章和第五章的解的理论基础。
学 类型方程在解决思路中用到了最普遍的变量代换法，仍然得到一个变量分离方
程，这是最根本的解决方向；只是要特别注意变量分离时可能会产生特解，注
方 意其特解与通解的关系。
案
4
云南师范大学数学学院
课程名称 常微分方程
教师教学周日记
日期
章节名称 第 2 章：一阶微分方程的初等解法
第 2.1 节：变量分离方程和变量变换
（2）积分因子的选取
方
对于只与 x 或只与 y 有关的积分因子的选取可根据公式进行，但对于与二
者都有关的积分因子要使用“分项组合观察法”，要求熟记一些二元连续函数
案 的全微分求积公式
8
云南师范大学数学学院
课程名称 常微分方程
教师教学周日记
日期
章节名称 第 2 章：一阶微分方程的初等解法 第 2.3 节：恰当方程和积分因子
法 1、一般公式推导通解；法 2、直接由初值解公式推导；法 3、分项组合观
察法。按公式推导思路鲜明，严谨，学生易接受，分项组合法灵活需熟练。
9
云南师范大学数学学院
教师周教学方案
课程名称 常微分方程
教学周数 第五周 2 课时
第 2 章：一阶微分方程的初等解法 第 2.4 节：一阶隐式方程与参数表示
1、教学内容： 2.4.1 可解出 y（或 x）的方程 本章小结
一、微分方程课程建立背景
1、课程发展简史 2、课程背景实例分析
二、常微分方程课程基本概念
三、本课程的主要学习任务及要求
教 2、教学关键点与教学逻辑关系分析：
通过介绍本课程的背景和概念，让学生明了课程研究内容，了解常微分方
学 程的研究对象和思想，明确课程研究目的和任务、要求。
布置教学参考书。
方
希望学生在学习过程中认真阅读教材，对教材中的定义和定理要认真体
学
原方程通解为：G（y) = F (x) + C
另外使得g (y) = 0的解也是原方程的特解，这个解有可能包含在通解中。
日
记
5
云南师范大学数学学院
教师周教学方案
课程名称 常微分方程
教学周数 第三周 2 课时
第 2 章：一阶微分方程的初等解法
第 2.2 节：线性方程和常数变易法
1、教学内容：
2.2 线性方程与常数变易法
（1）就 y 解出的类型： y = f (x, y′) 令 y′ = p 化为 y = f (x, p) ，再对 x 求导得
p
=
fx
+
fp
dp 为 dx
x,p 的一阶显式方程，从而得到通解，通解的三种情况。
例 1、 求y′3 + 2xp − y = 0的解。（注意p = 0时的y = 0为特解。）
教 例 2、 求y = y′2 − xy′ + x2 的解。（注意 p=0 时 y = x2 包含于通解中，另外通解
教
由全微分方程成立充要条件
M
y
=
N x ，设
u
为（
1）的原函数，
⎧U x ⎨⎩U y
=M =N
因此
学由
Ux = M
对
x
积
分
有
∫ ∫ 日
u=
x x0
Mdx + ϕ( y),再由uy
=
N得
x x0
∂M ∂y
dx + ϕ′( y)
=
N⇒
∫ ∫ x ∂N dx + ϕ′( y) = N ⇒ ϕ( y) =
x0 ∂x
教师教学周日记
日期
章节名称 第 2 章：一阶微分方程的初等解法 第 2.4 节：一阶隐式方程与参数表示
教 四种类型一阶隐式方程 学 (1) y = f (x, y′); (2)x = f (y, y′); (3)F (x, y′) = 0; (4)F (y, y′) = 0的求解。 关 键 点
（纪录有意义的一个教学过程，教师的教学得失及学生课堂表现等）
教 学 关 解的存在唯一性定理叙述及其证明 键 点
（纪录有意义的一个教学过程，教师的教学得失及学生课堂表现等）
大量一阶方程一般不能用初等解法求出其通解，对初值问题的研究归结为 2 个问题：初值问题的解是否存在？如果存在是否唯一？
如：方程 y′ = 2 y 过点（0，0）的解并不唯一，因此有必要提此定理。
2.4.2 不显含 y（或 x）的方程
2、教学关键点与教学逻辑关系分析：
隐式方程 F (x, y, y′) = 0 不能解出 y′ 的情况，或者解出 y′，而其表达式相当复 教 杂的情况下，宜采用引进参数的办法使之变为导数已解出的方程类型，是本节
要讨论的主要思想。本节当中的四种类型： 学
(1) y = f (x, y′);(2)x = f ( y, y′);(3)F (x, y′) = 0;(4)F (y , y ′) = 0 都是以参数 y′ = p 代
教 （1）恰当方程成立的充要条件 学 （2）积分因子的选取 关 键 点
（纪录有意义的一个教学过程，教师的教学得失及学生课堂表现等）
2.3.1 恰当方程
Mdx + Ndy = 0, (1) 若du(x, y) = Mdx + Ndy = uxdx + uy dy,则（1）化为du = 0,得通解 u(x, y) = C.
课程实际背景清晰，与实际生活联系密切。
日
3、课程建立背景实例（物体冷却过程；镭的裂变；数学摆；R-L-C 电路；
课后练习 9）：教学目的在于了解方程建立背景，明确学习方向。学生反映接 记 受情况较好，但需熟悉一些普通物理和化学反应原理及规律才会建模。
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课程名称 常微分方程
和定理（破坏隐函数的唯一性条件）。学生对后两种方程容易混淆，尤其是方
程的标准类型与其变形不易一眼看出，容易出错。画图说明更直观，有条件可
在计算机上实现。
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课程名称 常微分方程
教学周数 第六周 4 课时
第 3 章：一阶微分方程的解的存在定理
第 3.1 节：解的存在唯一性定理和逐步逼近法
学 一个非常好的近似求解法。本章是重要的基本理论，对于微分方程近现代理论
的发展起到很大作用。学习本章要特别注意理解定理及其证明思想、证明步骤
方 等，尤其使五个证明步骤中用到的具体方法；另外定理的应用也是本章的重点。
案
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课程名称 常微分方程
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日期
章节名称 第 3 章：一阶微分方程的解的存在定理 第 3.1 节：解的存在唯一性定理和逐步逼近法
方
案
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课程名称 常微分方程
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日期
章节名称 第 2 章：一阶微分方程的初等解法
第 2.2 节：线性方程和常数变易法
教
学
关
常数变易法
键
点
（纪录有意义的一个教学过程，教师的教学得失及学生课堂表现等）
2.2 常数变易法
dy = p(x) y + q(x), (1)(非齐次方程） 先给出一般形式： dx
dy = p(x) y，（2）（齐次方程） dx
教
方程（2）的求解：变量分离法——复习 2-1
（1）的求解——常数变易法
学
联系（2）的通解结构，联想（1）也具有和（2）类似的特解，因此设
∫ y = C (x)e∫ p(x)dx 代入（1）求待定函数 C(x)得 y = e∫ p(x)dx (
q ( x )e − ∫
教学周数 第二周
第 2 章：一阶微分方程的初等解法
第 2.1 节：变量分离方程和变量变换；
1、教学内容：
2.1.1 变量分离方程 2.1.2 可化为变量分离方程的类型
4 课时
2、教学关键点与教学逻辑关系分析：
教学关键点：变量分离法
教
这是一阶微分方程的初等解法，也是初等积分法中最重要方法之一。其中
变量分离的思想是解决微分方程最重要的思想之一；而且其可化为变量分离的
2、教学关键点与教学逻辑关系分析：
（1）恰当方程成立的充要条件
其中充分性的证明即解决方程的解题步骤，要特别注意把握从
教
uMdx + uNdy
=
dU
= Ux dx + U y dy 推出
⎧U x ⎨⎩U y
=M =N
再由
My
=
Nx 解出 U 的分析思路
学 ——全微分求积。另外要注意在通解和初值问题的解的公式中初值点的选取。
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课程名称： 任课教师： 任课班级： 授课学期：
常微分方程
黄
炯
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课程名称 常微分方程
教学周数 第一周 2 课时
第 1 章：绪论
第 1.1 节——第 1.2 节：微分方程：某些物理过程的数学模型 基本概念
1、教学内容：
定理 3-1 解释与说明（如 M、h,LIP 条件等的取法。） 教 定理的证明思想：
学
步骤：1、求初值问题
⎧ ⎨ ⎩