数学建模案例分析--最优化方法建模2生产计划的制定
数学建模优化类问题例子
数学建模优化类问题例子数学建模是一种解决实际问题的方法，通过数学模型对问题进行描述，运用数学方法进行分析和求解。
在优化类问题中，数学建模的目标是通过最小化或最大化某个指标来找到问题的最优解。
在以下的例子中，我将介绍几个典型的优化问题。
1.生产计划优化假设一个公司生产两种不同的产品，每个产品的成本、销售价格和市场需求都不同。
公司希望通过合理调整两种产品的生产量，以最大化利润。
为了达到这个目标，我们可以建立一个数学模型，考虑到每种产品的成本、销售价格和市场需求，以及公司能够生产的总产量限制。
然后，可以使用线性规划等数学方法，求解出最优的生产计划，使得公司利润最大化。
2.路线规划优化考虑一个物流公司要在不同的城市之间进行货物运输，每个城市之间的距离不同，同时还考虑到交通拥堵情况。
公司希望通过合理规划运输路线，以最小化整体运输成本和时间。
为了达到这个目标，我们可以建立一个数学模型，考虑到每个城市之间的距离、交通拥堵情况以及运输成本。
然后，可以使用图论等数学工具，求解出最优的路线规划，使得运输成本和时间最小化。
3.资源分配优化考虑一个学校要为不同的课程安排教师以及教学资源，每个课程的需求和教学资源的供应不同。
学校希望通过合理分配教师和教学资源，以最大化学生的学习效果。
为了达到这个目标，我们可以建立一个数学模型，考虑到每个课程的需求和教学资源的供应，以及教师的专业能力。
然后，可以使用线性规划等数学方法，求解出最优的资源分配方案，使得学生的学习效果最大化。
4.物资库存优化考虑一个零售商要管理不同种类的商品库存，每个商品的销售量和订货周期不同，同时还考虑到库存成本和仓储空间的限制。
零售商希望通过合理管理库存，以最小化库存成本和避免缺货。
为了达到这个目标，我们可以建立一个数学模型，考虑到每个商品的销售量、订货周期以及库存成本和仓储空间的限制。
然后，可以使用动态规划等数学方法，求解出最优的库存管理方案，使得库存成本最小化同时避免缺货。
生产计划的合理安排 数学建模
生产计划的合理安排摘要图表分析法是在实际问题的建模中应用最广泛的模型之一，它涉及面广，内容丰富，解决问题的范围越来越广。
本文讨论的是如何安排生产计划去实现该厂获利最大的问题。
对于第一问采用详细分析，而后两问，由于不是该题研究的重点问题，采用个别举例的方法。
一. 问题的重述某厂生产甲乙两种口味的饮料，每百箱饮料需用原料6千克，工人10名，可获利10万元，每百箱乙饮料需用原料5千克，工人20名，可获利9万元。
今工厂共有原料60千克，工人150名，又由于其他条件限制，甲饮料产量不超过8百箱。
问题：1. 如何安排生产计划，即两种饮料各生产多少，能够使该厂获利达到最大。
2. 若投资0.8万元可增加原料1千克，是否应该做这项投资。
3. 若每百箱甲饮料可增加1万元，是否改变这项计划。
二.模型的合理假设1.假设该厂的饮料生产以百箱为单位，精确到0.5个单位。
2.假设该厂生产甲饮料数量始终不超过8百箱。
三.模型的建立与求解1.设该厂生产甲饮料x箱，乙饮料箱y时，该厂所获的利益Z最大。
由题意知：目标函数 max Z = 10 x + 9 y6x+5y<=60 (1)10x+20y<=150 (2)x<=8 (3)单位：万元由图表知，当x=7.5,y=3时，maxZ=102万元为该厂可获得的最大效益。
2.当投资4万元时，可增加原料5千克，则x=8,y=3时，maxZ=107-4=103万元为最大效益，可以看出，增加1万元利润；当投资8万元时，可增加原料10千克，则x=8,y=3.5时,maxZ=111.5-8=103.5万元为最大效益，可以看出，增加1.5万元利润。
综上所述，可以看出，因为条件所限，所获的的利益变化不大，虽然增加，但对于该厂而言，我个人认为不应该做这项投资。
3.当甲饮料获利可增加1万元时，则x=8,y=2时，maxZ=106万元，增加4万元利润，所以应该改变原生产计划。
四.模型的优缺点分析1本模型简单易懂，条理清晰。
最优生产计划安排 数学 模型
最优生产计划安排摘要优化问题可以说是人们在工程技术、经济管理和科学研究等领域中最常遇到的一类问题。
如调度人员要在满足物质需求和装载条件下安排成从各供应点到各需求点的运量和路线，是运输总费用最低；公司负责人需根据生产成本和市场需求确定产品价格。
针对优化问题可以通过建立优化模型确定优化目标和寻求的决策。
一般讲，一个经济管理问题凡满足以下条件就能够建立线性规划模型： (1) 要求解问题的目标函数能用数值指标来反映，且为线性函数； (2) 存在多种方案及有关数据；(3) 要求达到的目标是在一定约束条件下实现的，这些约束条件可以用线性等式或不等式来描述。
问题重述某厂生产三种产品I ，II ，III 。
每种产品要经过B A ,两道工序加工。
设该厂有两种规格的设备能完成A 工序，它们以21,A A 表示；有三种规格的设备能完成B 工序，它们以321,,B B B 表示。
产品I 可在B A ,任何一种规格设备上加工。
产品II 可在任何规格的A 设备上加工，但完成B 工序时，只能在1B 设备上加工；产品III 只能在2A 与2B 设备上加工。
已知在各种机床设备的单件工时，原材料费，产品销售价格，各种设备有效台时以及满负荷操作时机床设备的费用如下表，要求安排最优的生产计划，使该厂利润最大。
附表一基本假设与符号说明基本假设：每一类产品在A 工序加工的产品总量等于B 工序加工产品的总量，即每一件产品都经过完整的程序成为真正的成品而不是半成品。
符号说明：设产品I 在21,A A 321,,B B B 上加工的数量分别为11x 、12x 、13x 、14x 、15x；产品II 在21,A A ，1B 上加工的数量分别为212223,,x x x；产品III 在21,A B 上加工的数量分别为3234,x x 。
问题的分析运用数学建模方法处理一个优化问题，首先应确定优化的目标是什么，寻求的决策是什么，决策受到哪些条件的限制，然后用数学工具（变量、常量、函数等）表示它们。
关于生产最优化的数学建模
关于生产最优化的数学模型摘要在现代化生产过程中，生产部门面临的突出问题之一，便是如何选取合理的生产率.生产率过高，导致产品大量积压，使流动资金不能及时回笼；生产率过低，产品不能满足市场需要，使生产部门失去获利的机会.可见，生产部门在生产过程中必须时刻注意市场需求的变化，以便适时调整生产率，获取最大收益.[关键字] 效益最小损耗Matlab工具一引言——问题重述与分析1.1问题重述某生产厂家年初要制定生产策略，已预知其产品在年初的需求量为a=6万单位，并以b=1万单位/月速度递增.若生产产品过剩，则需付单位产品单位时间（月）的库存保管费C2=0.2元；若产品短缺，则单位产品单位时间的短期损失费C3=0.4元.假定生产率每调整一次带有固定的调整费C1=1万元，问：工厂应如何制定当年的生产策略，使工厂的总损失最小？1.2问题分析在商品生产过程中，生产率过高，会导致产品大量积压，影响资金的周转，使流动资金不能及时回笼；生产率过低时，产品不能满足市场需要，使生产部门失去获利的机会。
可见，为尽量减少工厂损失，生产部门在生产过程中，必须考虑到市场需求的因素，时刻注意市场需求的变化，从而制定出使工厂总损失最小的生产策略。
我们可以把此类求工厂总损失最小生产策略问题转化为最短路问题的多阶段决策问题。
计算各阶段的最小损耗，即为它们之间的权值。
设每个顶点代表各月，且以每个顶点为转折点进行生产策略调整，求出每个阶段的最小损耗，最后，使用Matlab 软件求出最短的路径，此路径即为使工厂损失最小的生产策略。
二 模型假设2.1符号的假设和说明(i=1,2…12；)：第i 月月初x13：第12个月月末弧x x a i i +-(111,212≥≥≥+≥i a i )：从i 月至1-+a i 月不调整生产策略；s xxai i+-(111,212≥≥≥+≥i a i )：从i 月至1-+a i 月库存保管费和短期损失费的最小值以及第a i +月的调整费用之和;s x xi13-(111≥≥i )：从i 月至12 月库存保管费和短期损失费的最小值；s ：工厂一年的总损失；X ：不调整前每月生产X 万单位； Yi ：i 月库存保管费和短期损失费；符号说明2.2问题的假设1)市场的需求量严格按照年初的需求量为a=6万单位，并以b=1万单位/月速度递增。
某工业生产过程数学建模优化方案
某工业生产过程数学建模优化方案随着科技的进步和工业化的发展，工业生产过程中的数学建模优化方案变得越来越重要。
通过数学建模和优化分析，可以提高生产效率，降低成本，改善产品质量等。
本文将就某工业生产过程的数学建模优化方案进行探讨。
首先，我们需要对该工业生产过程进行详细的调研和分析。
例如，了解该过程的工艺流程、原材料的使用情况、设备的运行状况、主要的生产指标等。
通过这些基础信息的收集，我们可以更好地理解该生产过程以及存在的问题。
接下来，我们需要选择合适的数学建模方法。
常见的数学建模方法包括线性规划、整数规划、动态规划等。
在选择数学建模方法时，需要考虑到生产过程的特点和要解决的问题。
例如，如果我们想要优化某个生产过程的产量，可以考虑使用线性规划方法，建立产量与原材料使用、设备运行时间等之间的数学模型。
建立数学模型后，我们需要进行参数估计和模型验证。
参数估计是指确定数学模型中的各个参数的取值。
这涉及到对实际生产环境的数据采集和统计分析。
例如，我们可以通过对生产过程中原材料的消耗情况进行记录和分析，来确定模型中原材料消耗的参数值。
模型验证是指通过与实际生产数据的对比来检验数学模型的有效性和准确性。
只有在参数估计和模型验证完成后，我们才能进一步进行优化方案的设计和实施。
在设计优化方案时，我们需要结合已建立的数学模型和相关的生产约束条件。
例如，如果生产过程有特定的物料配比要求或设备运行时间限制，我们需要在数学模型中将这些约束条件考虑进去。
然后，我们可以通过对数学模型进行求解，得到最优的生产策略。
最后，我们需要将优化方案转化为实际的操作指南，包括具体的工艺操作步骤、设备调整参数等。
除了设计优化方案，我们还需要对其进行跟踪和评估。
通过收集实际生产数据和监测生产指标，我们可以对优化方案的效果进行评估。
同时，如果发现优化方案并没有达到预期的效果，我们可以进行调整和优化，以进一步改进生产过程。
总之，数学建模优化方案在工业生产过程中具有重要的应用价值。
数学建模——生产计划的制定
其欧拉方程为 F − d F = 0 & x x
dt
k2 2k1
x(0) = 0, x(T ) = Q
k 2 2 4 k1 Q − k 2 T 2 x(t ) = t + t 4k1 4k1T
模型讨论
理论最优解
根据实际生产计划的意义，必须满足下面的条件：
∀t ∈ [ 0, T ] , x(t ) ≥ 0, x′(t ) ≥ 0
ts
如何求？
2.以哪种方式转换？
问题：
1.转换点
ts
如何求？
令f (t ) = λ (t ) g (t ) − e
f (t ) = 0 ⇔
−δ t
, 则f (ts ) = 0.
1 p p δ ( t −t ) = P (t ) = − ( − 1)e f δ δ g (t )
通常 2.以哪种方式转换？
ts dx ∫0 dt dt = ∫0 [−2 +
2 (1 + t )
1 2
1 2
]dt + ∫ (−2)dt , ∀t > ts
ts
t
x (t ) = 4(1 + t s ) + 96 − 2t
H
由自由边界条件
t =t f
= −ϕ t f
− δt f
λ (t f ) = e
x (t ) = 4(1 + t s ) + 96 − 2t
H = px (t )e −δt − λm(t ) + [λg (t ) − e −δt ]u(t )
⎧umax , λ g (t ) − e −δ t > 0 ⎪ 由于H关于u为线性函数，所以可见， u * (t ) = ⎨ 0, λ g (t ) − e −δ t < 0 ⎪ ⎩
数学建模在工业生产中的应用案例分析
数学建模在工业生产中的应用案例分析近年来，随着科技的不断发展和数学建模技术的日益成熟，数学建模在工业生产中的应用逐渐得到了广泛的关注和应用。
通过运用数学建模，工业生产过程中的一系列问题可以得到更加精确的解决方案，从而提高生产效率和降低成本。
本文将通过几个实际案例，探讨数学建模在工业生产中的应用和作用。
首先，我们来看一个关于物流调度的案例。
在现代工业生产中，物流调度是一个非常重要的环节。
如何最大限度地优化运输路径，提高物流效率，一直是企业和物流公司关注的焦点。
通过数学建模可以对物流网络进行建模，运用最优化算法进行路径规划和资源调度，从而实现最佳的物流调度方案。
例如，一家物流公司通过数学建模技术，对顾客需求进行分析，并通过模拟实验，找到了最佳的配送路线和配送时间，极大地提高了配送效率和顾客满意度。
接下来，让我们来讨论一个关于质量控制的案例。
在工业生产中，保证产品质量是企业的核心任务之一。
通过数学建模可以有效地控制生产过程中的质量问题。
例如，一家制造汽车零部件的企业通过使用数学建模技术，对生产线上的参数进行监测和调整，系统地分析和解决了产品质量不稳定的问题。
通过数学建模，企业不仅可以预测和控制产品的质量，还可以优化生产过程，提高产品的一致性和稳定性，降低废品率和返工率，从而提高企业的竞争力和市场份额。
另一个典型案例是关于工厂布局的优化。
一个科学合理的工厂布局对于提高生产效率和减少生产成本具有重要意义。
通过数学建模可以对工厂内部的空间利用进行优化。
例如，一个新建的制造工厂面临如何合理安排设备和工作区域的问题。
通过数学建模技术，可以模拟不同的布局方案，并通过评估生产效率和工人流动指标等指标，找到最佳的工厂布局方案。
这样不仅可以提高生产效率，还可以减少生产过程中的人力和物力资源的浪费。
最后，值得关注的是数学建模在供应链管理中的应用。
在现代工业生产中，供应链的优化对于降低成本和提高效率至关重要。
通过数学建模，可以对供应链进行建模和仿真，以最小化成本和提高供应链的可靠性。
数学建模-最优生产计划安排
最优生产计划安排关键词：最优解有效解弱有效解线性加权摘要：企业内部的生产计划有各种不同情况，从空间层次来看，在工厂级要根据外部需求和内部设备，人力，原料，等条件，以最大利润为目标制定生产计划，在车间级则要根据产品的生产计划，工艺流程，资源约束及费用参数等，以最小成本为目标制定生产批量计划。
从空间层次来看，若在短时间内认为外部需求和内部资源等随时间变化，可以制定但阶段的生产计划，否则就要制定多阶段深产计划。
本模型则仅考虑设备，工艺流程以及费用参数的情况下，通过线性规划来为企业求解最有生产方案。
I问题的提出：某厂生产三种产品I∏I I I每种产品要经过A、B两道工序加工。
设该厂有两种规格的设备能完成A工序，他们以A1、A2表示；有三种规格的设备能完成B工序，它们以B1、B2、B3表示，产品I可以在A、B任何一种规格设备上加工；产品∏可在任何一种规格的A设备上加工，但完成B工序时只能在B1设备上加工；产品I I I只能在A2与B2设备上加工。
已知各种机床设备的单件工时，原材料费，产品销售价格，各种设备有效台时以及满负荷操作时机床的设备费用，如下表所示，要求安排最优的生产计划，使厂方利润最大。
II问题分析：这个问题的目标是获利最大，有两个方面的因素，一是产品销售收入能否最大，二是设备费用能否最小。
我们要做的决策是生产计划，决策受到的限制有：原材料费，产品价格，各种设备有效台时以及满负荷操作时机床的设备费用。
显然这是一个多目标线性规划问题。
III问题假设1不允许出现半成品，即每件产品都必须经过两道工序。
2不考虑加工过程中的损失。
符号设定：设Z为净利润，Z1为产品销售纯收入，Z2为设备费用，iλ为权植，（i=1，2）且121=+λλ设经过工序A1、A2、B1、B2、B3加工的产品I 的数量依次为Xi1（i=1--5）； 设经过工序A1、A2、B1、B2、B3加工的产品∏的数量依次为Xi2（i=1--5）； 设经过工序A1、A2、B1、B2、B3加工的产品I I I 的数量依次为Xi3（i=1--5）。
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§2 生产计划的制定
企业内部生产计划的制定是一项非常复杂的工作，让我们简要地分这样几个层次加以讨论。
第一，在工厂一级，根据市场需求和人力、设备条件，以最大利润为目标制定产品生产计划；第二，在车间一级，根据产品生产计划、生产流程、资源约束以及费用参数等，以最小成本为目标，制定生产批量计划；第三，在车间内部，根据产品的加工时间和顺序，以完工时间最早或设备均衡生产为目标，给出各产品的作业排序。
此外，不论哪个层次，当目标不止一个时，将使问题更加复杂。
下面举例说明这些优化问题的建模过程。
例1 某厂有n 种产品n J J J ,,,21 ，单位数量产品的利润为n c c c ,,,21 ，根据市场调查，其需求不超过n q q q ,,,21 ，按照工厂生产能力，单位数量),,2,1(n i J i =所需人力资源为i a 1，所需设备资源为i a 2，所需原料为i a 3，而工厂的人力、设备、原料资源限制分别为321,,b b b ，问工厂在制定生产计划时应如何确定这n 种产品的产量。
这类优化问题建模的关键是确定决策变量、目标函数和约束条件，并用数学形式（符号、式子等）将它们表达出来。
决策变量应是问题要求确定的量——各产品的产量，记以n x x x ,,,21 。
目标函数显然应是总利润
∑==n
i i i x c C 1 （1）
人力、设备、原料及需求量的限制构成了约束条件
∑=≤n
i i
i b x a
111 （2）
∑=≤n
i i
i b x a
122 （3）
∑=≤n
i i
i b x a
1
33 （4）
n i x q x i i i ,,2,1,0, =≥≤ （5）
问题归结为在条件（2）~（5）下求n x x x ,,,21 ，使（1）式给出的∑==
n
i i
i x
c C 1
最大。
在运筹学中（1）~（5）称为线性规划，因为决策变量在目标函数和约束条件中都是线性的。
例2 工厂已经拟定了对某种产品的需求量，譬如10个时段（可以一周或一天为一时段）的需求分别为1021,,,d d d ，该产品的生产流程如图1，其中1是（最终）产品，2~6是它的零部件，箭头旁的数字是装配系数，如4个5装配1个3。
1至6统称项目。
现在考虑两种费用：生产准备费和贮存费。
如果某时段生产项目i ，则需准备费i s （与生产数量无关）；如果将以后时段对i 的需求也提前生产出来（目的在于节省准备费），则单位时段需贮存费i h （可看作资金的积压）。
假定各项目的生产能力都是无限的，即在一个时段内可以完成任意数量的生产，且各项目都不需要生产提前期。
试制订各项目的生产批量计划，即每个项目每时段各生产多少，使总费用最少。
决策变量是各项目在各时段的产量，记)10,,2,1;6,,2,1( ==j i x ij 为项目i 在时段j 的产量。
目标函数是生产准备费与贮存费之和，记)10,,2,1;6,,2,1( ==j i I ij 为项目i 在时段j 的贮存量，则总费用可表示为
∑∑==+=6
110
1)(i j ij i ij i I h y s Z （1）
其中 ⎩⎨
⎧=>=0,00
,1ij
ij ij x x y （2）
ij x 与ij I 的关系可表为以下的约束条件
10,,2,1,111,1 ==-+-j d I x I j j j j （3）
10,,2,1,6
,5,44,3,2,2332111, =⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧======-+-j i x i x i x i x i x I x I j j j j j ij ij j i （4）
图1
其他约束条件有
)10,,2,1;6,,2,1(0, ==≥j i I x ij ij （5）
6,,2,100, ==i I i （6）
问题归结为条件（2）~（6）下求)10,,2,1;6,,2,1( ==j i x ij ，使（1）式给出的Z 最小，这是无资源约束下多项目的生产批量模型。
因为目标函数中的ij y 取整数值0，1（一般ij x 和ij I 取值相当大，可视为实数），所以在运筹学中称为（混合）整数规划。
在模型中没有考虑项目的生产费用，这是因为需求必须满足，各时段生产量之和是个常数，只要各项目单位数量的生产费用不随时段改变，那么总的生产费用仍为常数，所以最优决策与这部分费用无关。
例3 如果例1给出的问题还要考虑下列因素，试重新求解。
1）要力争达到并超过去年的总利润M ；2）充分利用现有人力资源，但不希望增加劳动力；3）
1J 和2J 属同类产品，但1J 已老化，将退出市场，故1J 的产量不要超过2J 。
与例1只有一个目标不同，这里有3个目标，属于多目标决策问题，目标规划模型是解决这类问题的方法之一，其思路是首先引入一些新的决策变量，即对每个目标设一个正偏差变量和一个负偏差变量（指决策值与目标值间的偏差），然后利用权重系数，将多目标问题化为单目标问题，使这些偏差的总和尽量小。
对于本题，我们设利润超过M 的部分为正偏差+1d ，不足M 的部分为负偏差-1d ，人力资源
超过1b 的部分为正偏差+2d ，不足1b 的部分为负偏差-
2d ；1J 产量1x 超过2J 产量2x 的部分为正偏
差+3d ，不足部分为负偏差-3d 。
需要指出的是，由于决策值不可能既超过目标值，又未达到目标值，+k d ，-
k
d )3,2,1(=k 二者必有一个为零，且按定义，它们均为非负值。
按照问题的要求，在将这3个目标综合为单目标时，应使-
1d ，+
2d ，-
2d ，+
3d 尽量小（请注意，这里不应包括+
1d 和-3d ），设这3个目标的权重分别为321,,p p p ，并不妨令1321=++p p p ，
那么这个模型的目标函数为
+
-+-+++=3
322211)(d p d d p d p Z （1） 而原来由利润给出的目标函数（例1（1）式）变为约束条件
M d d x c n
i i i =-++
-
=∑111 （2）
原来的人力资源约束（例1（2）式）化为
∑=+
-=-+n
i i i b d d x a
1
1221 （3）
根据+3d ，-
3d 的定义还应有约束
03321=-+-+
-d d x x （4）
例1中的其他约束条件仍然成立
∑=≤n
i i
i b x a
122 （5）
∑=≤n
i i
i b x a
1
33 （6）
n i x q x i i i ,,2,1,0, =≥≤ （7）
最后，再加上+k d ，-
k
d )3,2,1(=k 的非负约束 +k d ，0≥-k d )3,2,1(=k （8）
目标规划模型归结为，在条件（2）~（8）下求n x x x ,,,21 和+k d ，-
k
d )3,2,1(=k ，使（1）式确定的Z 最小。
显然它仍属于线性规划的范畴。