广东省佛山市2016届高三教学质量检测数学理试题18291867
2016年广东省佛山市禅城区高三上学期期中数学试卷含解析答案(理科)
2015-2016学年广东省佛山市禅城区高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[1，2） B．[﹣1，1]C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1]2．（5分）“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i4．（5分）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需要将函数y=sin4x的图象（）个单位．A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移5．（5分）若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（）A．2 B．3 C．4 D．56．（5分）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数7．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3 B．4 C．5 D．68．（5分）已知与均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题P1：|+|＞1⇔θ∈[0，）；P2：|+|＞1⇔θ∈（，π]；P3：|﹣|＞1⇔θ∈[0，）；P4：|﹣|＞1⇔θ∈（，π]；其中的真命题是（）A．P1，P4B．P1，P3C．P2，P3D．P2，P49．（5分）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（）A．5 B．6 C．7 D．810．（5分）甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有（）A．20种B．30种C．40种D．60种11．（5分）设a，b，c均为正数，且2a=log a，（）b=log b，（）c=log 2c，则（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c12．（5分）若函数f（x）=x3﹣3x+a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．[﹣2，2]C．（﹣∞，﹣1）D．（1，+∞）二、填空题.本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数f（x）=x2，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于．14．（5分）设实数x，y满足条件则z=2x﹣y的最大值是．15．（5分）一艘货船以15km/h的速度向东航行，货船在A处看到一个灯塔P在北偏东60°方向上，行驶4小时后，货船到达B处，此时看到灯塔P在北偏东15°方向上，这时船与灯塔的距离为km．16．（5分）已知函数f（x）=x2e﹣x，则f（x）的极大值为．三、解答题.17．（12分）已知{a n}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n﹣a n}为等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和．18．（12分）如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=．（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长．19．（12分）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min．（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望．20．（12分）某机床厂2001年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）使用若干年后，对机床的处理方案有两种：方案一：当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；方案二：当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．选修4—1：几何证明选讲22．（10分）如图，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM 的中点N，作割线NAB，交圆于A、B两点，连接PA并延长，交圆O于点C，连续PB交圆O于点D，若MC=BC．（1）求证：△APM∽△ABP；（2）求证：四边形PMCD是平行四边形．选修4—：4极坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xoy中，设P（x，y）是椭圆上的一个动点．（1）写出椭圆的参数方程；（2）求S=x+y的最大值．选修4—5：不等式选:讲24．设函数f（x）=|x+2|+|x﹣2|，x∈R，不等式f（x）≤6的解集为M．（1）求M；（2）当a，b∈M时，证明：3|a+b|≤|ab+9|．2015-2016学年广东省佛山市禅城区高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[1，2） B．[﹣1，1]C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1]【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≥0，解得：x≥3或x≤﹣1，即A=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），∵B=[﹣2，2），∴A∩B=[﹣2，﹣1]．故选：D．2．（5分）“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由cos2α=cos2α﹣sin2α，∴“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件．故选：A．3．（5分）=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【解答】解：==﹣（1+i）=﹣1﹣i，故选：D．4．（5分）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需要将函数y=sin4x的图象（）个单位．A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移【解答】解：因为函数y=sin（4x﹣）=sin[4（x﹣）]，要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位．故选：B．5．（5分）若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），∴+=1（a＞0，b＞0），所以a+b=（+）（a+b）=2++≥2+2=4，当且仅当=即a=b=2时取等号，∴a+b最小值是4，故选：C．6．（5分）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数【解答】解：函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），函数的定义域为（﹣1，1），函数f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=﹣f（x），所以函数是奇函数．排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f（0）=0；x=时，f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln3＞1，显然f（0）＜f（），函数是增函数，所以B错误，A正确．故选：A．7．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：a m=S m﹣S m﹣1=2，a m+1=S m+1﹣S m=3，﹣a m=1，所以公差d=a m+1S m==0，m﹣1＞0，m＞1，因此m不能为0，得a1=﹣2，所以a m=﹣2+（m﹣1）•1=2，解得m=5，另解：等差数列{a n}的前n项和为S n，即有数列{}成等差数列，则，，成等差数列，可得2•=+，即有0=+，解得m=5．）=﹣2，又一解：由等差数列的求和公式可得（m﹣1）（a1+a m﹣1m（a1+a m）=0，（m+1）（a1+a m+1）=3，可得a1=﹣a m，﹣2a m+a m+1+a m+1=+=0，解得m=5．故选：C．8．（5分）已知与均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题P1：|+|＞1⇔θ∈[0，）；P2：|+|＞1⇔θ∈（，π]；P3：|﹣|＞1⇔θ∈[0，）；P4：|﹣|＞1⇔θ∈（，π]；其中的真命题是（）A．P1，P4B．P1，P3C．P2，P3D．P2，P4【解答】解：由，得出2﹣2cosθ＞1，即cosθ＜，又θ∈[0，π]，故可以得出θ∈（，π]，故P3错误，P4正确．由|+|＞1，得出2+2cosθ＞1，即cosθ＞﹣，又θ∈[0，π]，故可以得出θ∈[0，），故P2错误，P1正确．故选：A．9．（5分）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：∵m为正整数，由（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，以及二项式系数的性质可得a=，同理，由（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，可得b==．再由13a=7b，可得13=7，即13×=7×，即13=7×，即13（m+1）=7（2m+1），解得m=6，故选：B．10．（5分）甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有（）A．20种B．30种C．40种D．60种【解答】解：根据题意，要求甲安排在另外两位前面，则甲有3种分配方法，即甲在星期一、二、三；分3种情况讨论可得，甲在星期一有A42=12种安排方法，甲在星期二有A32=6种安排方法，甲在星期三有A22=2种安排方法，总共有12+6+2=20种；故选：A．11．（5分）设a，b，c均为正数，且2a=log a，（）b=log b，（）c=log 2c，则（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c【解答】解：在平面直角坐标系中画出函数y=2x，y=log x，y=（）x，y=log 2x图象，如图：可得a＜b＜c．故选：C．12．（5分）若函数f（x）=x3﹣3x+a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．[﹣2，2]C．（﹣∞，﹣1）D．（1，+∞）【解答】解∵f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），当x＜﹣1时，f′（x）＞0；当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0，∴当x=﹣1时f（x）有极大值．当x=1时，f（x）有极小值，要使f（x）有3个不同的零点．只需，解得﹣2＜a＜2．故选：A．二、填空题.本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数f（x）=x2，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于．【解答】解：由已知，矩形的面积为4×（2﹣1）=4，阴影部分的面积为=（4x﹣）|=，由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于；故答案为：．14．（5分）设实数x，y满足条件则z=2x﹣y的最大值是1．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：联立可得．即A（1，1）由图可知：当过点A（1，1）时，2x﹣y取最大值1．故答案为：115．（5分）一艘货船以15km/h的速度向东航行，货船在A处看到一个灯塔P 在北偏东60°方向上，行驶4小时后，货船到达B处，此时看到灯塔P在北偏东15°方向上，这时船与灯塔的距离为30km．【解答】解：如图，依题意有AB=15×4=60，∠MAB=30°，∠AMB=45°，在△AMB中，由正弦定理得=，解得BM=30（km），故答案为30．16．（5分）已知函数f（x）=x2e﹣x，则f（x）的极大值为．【解答】解：∵f（x）=x2e﹣x，∴f′（x）=2xe﹣x﹣x2e﹣x=e﹣x（2x﹣x2），令f′（x）=0，解得x=0或x=2，令f′（x）＞0，可解得0＜x＜2；令f′（x）＜0，可解得x＜0或x＞2，故函数在区间（﹣∞，0）与（2，+∞）上是减函数，在区间（0，2）上是增函数．∴x=2极大值点，f（2）=，故f（x）的极大值为，故答案为：．三、解答题.17．（12分）已知{a n}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n﹣a n}为等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和．【解答】解：（1）∵{a n}是等差数列，满足a1=3，a4=12，∴3+3d=12，解得d=3，∴a n=3+（n﹣1）×3=3n．设等比数列{b n﹣a n}的公比为q，则q3===8，∴q=2，∴b n﹣a n=（b1﹣a1）q n﹣1=2n﹣1，∴b n=3n+2n﹣1（n=1，2，…）．（2）由（1）知b n=3n+2n﹣1（n=1，2，…）．∵数列{a n}的前n项和为n（n+1），数列{2n﹣1}的前n项和为1×=2n﹣1，∴数列{b n}的前n项和为n（n+1）+2n﹣1．18．（12分）如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=．（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长．【解答】解：（1）在△ABC中，∵cos∠ADC=，∴sin∠ADC====，则sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=sin∠ADC•cosB﹣cos∠ADC•sinB=×﹣=．（2）在△ABD中，由正弦定理得BD==，在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+CB2﹣2AB•BCcosB=82+52﹣2×8×=49，即AC=7．19．（12分）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min．（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望．【解答】解：（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，∵事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，∴事件A的概率为（Ⅱ）由题意可得ξ可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min）事件“ξ=2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”（k=0，1，2，3，4），∴，∴即ξ的分布列是∴ξ的期望是20．（12分）某机床厂2001年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）使用若干年后，对机床的处理方案有两种：方案一：当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；方案二：当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由．【解答】解：（1）由题意，根据第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，可得（2分）（2）方案一：∵（2分）∵，当且仅当时，即x=7 时等号成立故到2007年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利为12×7+30=114 万元．（2分）方案二：y=﹣2x2+40x﹣98=﹣2（x﹣10）2+102 （1分）当x=10 时y max=102故到2010年，盈利额达到最大值，工厂共获利为102+12=114 万元．（2分）盈利额达到的最大值相同，而方案一所用的时间较短，故方案一比较合理．（1分）21．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意知f（0）=2，g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4，而f′（x）=2x+a，g′（x）=e x（cx+d+c），故b=2，d=2，a=4，d+c=4，从而a=4，b=2，c=2，d=2；（Ⅱ）由（I）知，f（x）=x2+4x+2，g（x）=2e x（x+1）设F（x）=kg（x）﹣f（x）=2ke x（x+1）﹣x2﹣4x﹣2，则F′（x）=2ke x（x+2）﹣2x﹣4=2（x+2）（ke x﹣1），由题设得F（0）≥0，即k≥1，令F′（x）=0，得x1=﹣lnk，x2=﹣2，①若1≤k＜e2，则﹣2＜x1≤0，从而当x∈（﹣2，x1）时，F′（x）＜0，当x∈（x1，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，x1）上减，在（x1，+∞）上是增，故F（x）在[﹣2，+∞）上的最小值为F（x1），而F（x1）=﹣x1（x1+2）≥0，x≥﹣2时F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．②若k=e2，则F′（x）=2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），从而当x∈（﹣2，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，+∞）上是增，而F（﹣2）=0，故当x≥﹣2时，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．③若k＞e2时，F′（x）＞2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），而F（﹣2）=﹣2ke﹣2+2＜0，所以当x＞﹣2时，f（x）≤kg（x）不恒成立，综上，k的取值范围是[1，e2]．选修4—1：几何证明选讲22．（10分）如图，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM 的中点N，作割线NAB，交圆于A、B两点，连接PA并延长，交圆O于点C，连续PB交圆O于点D，若MC=BC．（1）求证：△APM∽△ABP；（2）求证：四边形PMCD是平行四边形．【解答】证明：（Ⅰ）∵PM是圆O的切线，NAB是圆O的割线，N是PM的中点，∴MN2=PN2=NA•NB，∴=，又∵∠PNA=∠BNP，∴△PNA∽△BNP，∴∠APN=∠PBN，即∠APM=∠PBA，．∵MC=BC，∴∠MAC=∠BAC，∴∠MAP=∠PAB，∴△APM∽△ABP…（5分）（Ⅱ）∵∠ACD=∠PBN，∴∠ACD=∠PBN=∠APN，即∠PCD=∠CPM，∴PM∥CD．∵△APM∽△ABP，∴∠PMA=∠BPA∵PM是圆O的切线，∴∠PMA=∠MCP，∴∠PMA=∠BPA=∠MCP，即∠MCP=∠DPC，∴MC∥PD，∴四边形PMCD是平行四边形．…（10分）选修4—：4极坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xoy中，设P（x，y）是椭圆上的一个动点．（1）写出椭圆的参数方程；（2）求S=x+y的最大值．【解答】解：（1）∵P（x，y）是椭圆上的一个动点，令x=cosθ，则y=sinθ，故椭圆的参数方程为．（2）由于S=x+y=cosθ+sinθ=2sin（θ+），故S=x+y的最大值为2．选修4—5：不等式选:讲24．设函数f（x）=|x+2|+|x﹣2|，x∈R，不等式f（x）≤6的解集为M．（1）求M；（2）当a，b∈M时，证明：3|a+b|≤|ab+9|．【解答】解：（1）不等式即|x+2|+|x﹣2|≤6，而|x+2|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到﹣2、2对应点的距离之和，﹣3和3对应点到﹣2、2对应点的距离之和正好等于6，故不等式的解集为M=[﹣3，3]．（2）要证3|a+b|≤|ab+9|，只要证9（a+b）2≤（ab+9）2，即证：9（a+b）2﹣（ab+9）2=9（a2+b2+2ab）﹣（a2•b2+18ab+81）=9a2+9b2﹣a2•b2﹣81=（a 2﹣9）（9﹣b 2）≤0，而由a ，b ∈M ，可得﹣3≤a ≤3，﹣3≤b ≤3，∴（a 2﹣9）≤0，（9﹣b 2）≥0，∴（a 2﹣9）（9﹣b 2）≤0成立， 故要证的不等式3|a +b |≤|ab +9|成立．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 图象定义域 R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< 变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数。
广东省佛山市顺德区李兆基中学2016届高三上学期第二次月考数学试卷(理科)
2015-2016学年广东省佛山市顺德区李兆基中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1．已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，，则( )A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B2．若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=( )A．﹣1 B．0 C．1 D．23．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是( )A．y=x3 B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+1 D．y=2﹣|x|4．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )A．（￢p）∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∨（￢q）5．若函数f（x）=3x+3﹣x与g（x）=3x﹣3﹣x的定义域均为R，则( )A．f（x）与g（x）均为偶函数 B．f（x）为奇函数，g（x）为偶函数C．f（x）与g（x）均为奇函数 D．f（x）为偶函数，g（x）为奇函数6．“”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的( )A．充分非必要条件B．充分必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件7．已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x﹣1）的定义域为( ) A．（﹣1，1）B．（0，）C．（﹣1，0）D．（，1）8．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是( )A．B．C．D．9．设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式的解集为( )A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣1，0）∪（0，1）10．设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=( ) A．﹣B．﹣C．D．11．已知函数y=f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=lgx，则的值等于( ) A．B．C．lg2 D．﹣lg212．下列几个命题：①方程x2+（a﹣3）x+a=0有一个正实根，一个负实根，则a＜0；②函数y=+是偶函数，但不是奇函数；③设函数y=f（x）定义域为R，则函数y=f（1﹣x）与y=f（x﹣1）的图象关于y轴对称；④一条曲线y=|3﹣x2|和直线y=a（a∈R）的公共点个数是m，则m的值不可能是1．其中正确的是( )A．（1）（2） B．（1）（4） C．（3）（4） D．（2）（4）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.请将答案填在答题卡相应位置.13．若f（x）=x2+bx+c，且f（1）=0，f（3）=0，则f（x）=__________．14．给出下列四个命题：①命题“若α=β，则cosα=cosβ”的逆否命题；②“∃x0∈R，使得x02﹣x0＞0”的否定是：“∀x∈R，均有x2﹣x＜0”；③命题“x2=4”是“x=﹣2”的充分不必要条件；④p：a∈{a，b，c}，q：{a}⊆{a，b，c}，p且q为真命题．其中真命题的序号是__________．（填写所有真命题的序号）15．在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“⊕”：当a≥b时，a⊕b=a；当a＜b时，a⊕b=b2．则函数f（x）=（1⊕x）•x﹣（2⊕x），x∈[﹣2，2]的最大值等于__________（其中“•”和“﹣”仍为通常的乘法和减法）16．已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对于任意x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有．给出下列命题：①f（3）=0；②直线x=﹣6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为增函数；④函数y=f（x）在[﹣9，9]上有四个零点．其中所有正确命题的序号为__________（把所有正确命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．坐标系与参数方程极坐标系中，已知圆心C，半径r=1．（1）求圆的直角坐标方程；（2）若直线与圆交于A，B两点，求弦AB的长．18．定义域为R的函数f（x）满足：对于任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且当x＞0时f（x）＜0恒成立．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（2）证明f（x）为减函数；若函数f（x）在[﹣3，3]上总有f（x）≤6成立，试确定f（1）应满足的条件；（3）解关于x的不等式，（n是一个给定的自然数，a＜0）19．如图，在△ABC中，AD是的∠A的平分线，圆O经过点A与BC切于点D，与AB，AC相交于E、F，连结DF，DE．（Ⅰ）求证：EF∥BC；（Ⅱ）求证：DF2=AF•BE．20．已知函数f（x）的图象与函数h（x）=x++2的图象关于点A（0，1）对称．（1）求f（x）的解析式；（2）若g（x）=f（x）•x+ax，且g（x）在区间[0，2]上为减函数，求实数a的取值范围．21．某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．（1）设一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数p=f（x）的表达式；（2）当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？22．已知函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a＞0时，求函数f（x）在[1，2]上最小值．2015-2016学年广东省佛山市顺德区李兆基中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1．已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，，则( )A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B【考点】并集及其运算；一元二次不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用；集合．【分析】根据一元二次不等式的解法，求出集合A，再根据的定义求出A∩B和A∪B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x＞0}={x|x＞2或x＜0}，∴A∩B={x|2＜x＜或﹣＜x＜0}，A∪B=R，故选B．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，以及并集的定义，属于基础题．2．若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=( )A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】复数相等的充要条件．【专题】数系的扩充和复数．【分析】首先将坐标展开，然后利用复数相等解之．【解答】解：因为（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，所以4a+（a2﹣4）i=﹣4i，4a=0，并且a2﹣4=﹣4，所以a=0；故选：B．【点评】本题考查了复数的运算以及复数相等的条件，熟记运算法则以及复数相等的条件是关键．3．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是( )A．y=x3 B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+1 D．y=2﹣|x|【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】常规题型．【分析】首先由函数的奇偶性排除选项A，然后根据区间（0，+∞）上y=|x|+1=x+1、y=﹣x2+1、y=2﹣|x|=的单调性易于选出正确答案．【解答】解：因为y=x3是奇函数，y=|x|+1、y=﹣x2+1、y=2﹣|x|均为偶函数，所以选项A错误；又因为y=﹣x2+1、y=2﹣|x|=在（0，+∞）上均为减函数，只有y=|x|+1在（0，+∞）上为增函数，所以选项C、D错误，只有选项B正确．故选：B．【点评】本题考查基本函数的奇偶性及单调性．4．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )A．（￢p）∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∨（￢q）【考点】复合命题的真假．【分析】先判断命题p和命题q的真假，命题p为真命题，命题q为假命题，再由真值表对照答案逐一检验．【解答】解：不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而¬p为假命题，¬q为真命题，所以A、B、C均为假命题，故选D．【点评】本题考查复合命题的真值判断，属基本题．5．若函数f（x）=3x+3﹣x与g（x）=3x﹣3﹣x的定义域均为R，则( )A．f（x）与g（x）均为偶函数 B．f（x）为奇函数，g（x）为偶函数C．f（x）与g（x）均为奇函数 D．f（x）为偶函数，g（x）为奇函数【考点】函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】首先应了解奇函数偶函数的性质，即偶函数满足公式f（﹣x）=f（x），奇函数满足公式g（﹣x）=﹣g（x）．然后在判断定义域对称性后，把函数f（x）=3x+3﹣x与g（x）=3x ﹣3﹣x代入验证．即可得到答案．【解答】解：由偶函数满足公式f（﹣x）=f（x），奇函数满足公式g（﹣x）=﹣g（x）．对函数f（x）=3x+3﹣x有f（﹣x）=3﹣x+3x满足公式f（﹣x）=f（x）所以为偶函数．对函数g（x）=3x﹣3﹣x有g（﹣x）=3﹣x﹣3x=﹣g（x）．满足公式g（﹣x）=﹣g（x）所以为奇函数．所以答案应选择D．【点评】此题主要考查函数奇偶性的判断，对于偶函数满足公式f（﹣x）=f（x），奇函数满足公式g（﹣x）=﹣g（x）做到理解并记忆，以便更容易的判断奇偶性．6．“”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的( )A．充分非必要条件B．充分必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次方程的根的分布与系数的关系．【专题】简易逻辑．【分析】利用充分必要条件的判断法判断这两个条件的充分性和必要性．关键看二者的相互推出性．【解答】解：由x2+x+m=0知，⇔．（或由△≥0得1﹣4m≥0，∴．），反之“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”必有，未必有，因此“”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的充分非必要条件．故选A．【点评】本题考查充分必要条件的判断性，考查二次方程有根的条件，注意这些不等式之间的蕴含关系．7．已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x﹣1）的定义域为( ) A．（﹣1，1）B．（0，）C．（﹣1，0）D．（，1）【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】原函数的定义域，即为2x﹣1的范围，解不等式组即可得解．【解答】解：∵原函数的定义域为（﹣1，0），∴﹣1＜2x﹣1＜0，即，解得0＜x＜．∴函数f（2x﹣1）的定义域为（0，）．故选B．【点评】考查复合函数的定义域的求法，注意变量范围的转化，属简单题．8．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是( )A．B．C．D．【考点】函数的图象与图象变化．【专题】压轴题；数形结合．【分析】由已知中汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，汽车的行驶路程s看作时间t的函数，我们可以根据实际分析函数值S（路程）与自变量t（时间）之间变化趋势，分析四个答案即可得到结论．【解答】解：由汽车经过启动后的加速行驶阶段，路程随时间上升的速度越来越快，故图象的前边部分为凹升的形状；在汽车的匀速行驶阶段，路程随时间上升的速度保持不变故图象的中间部分为平升的形状；在汽车减速行驶之后停车阶段，路程随时间上升的速度越来越慢，故图象的前边部分为凸升的形状；分析四个答案中的图象，只有A答案满足要求，故选A【点评】从左向右看图象，如果图象是凸起上升的，表明相应的量增长速度越来越慢；如果图象是凹陷上升的，表明相应的量增长速度越来越快；如果图象是直线上升的，表明相应的量增长速度保持不变；如果图象是水平直线，表明相应的量保持不变，即不增长也不降低；如果图象是凸起下降的，表明相应的量降低速度越来越快；如果图象是凹陷下降的，表明相应的量降低速度越来越慢；如果图象是直线下降的，表明相应的量降低速度保持不变．9．设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式的解集为( )A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣1，0）∪（0，1）【考点】奇函数．【专题】压轴题．【分析】首先利用奇函数定义与得出x与f（x）异号，然后由奇函数定义求出f（﹣1）=﹣f（1）=0，最后结合f（x）的单调性解出答案．【解答】解：由奇函数f（x）可知，即x与f（x）异号，而f（1）=0，则f（﹣1）=﹣f（1）=0，又f（x）在（0，+∞）上为增函数，则奇函数f（x）在（﹣∞，0）上也为增函数，当0＜x＜1时，f（x）＜f（1）=0，得＜0，满足；当x＞1时，f（x）＞f（1）=0，得＞0，不满足，舍去；当﹣1＜x＜0时，f（x）＞f（﹣1）=0，得＜0，满足；当x＜﹣1时，f（x）＜f（﹣1）=0，得＞0，不满足，舍去；所以x的取值范围是﹣1＜x＜0或0＜x＜1．故选D．【点评】本题综合考查奇函数定义与它的单调性．10．设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=( ) A．﹣B．﹣C．D．【考点】奇函数；函数的周期性．【专题】计算题．【分析】由题意得=f（﹣）=﹣f（），代入已知条件进行运算．【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，故选：A．【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值．11．已知函数y=f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=lgx，则的值等于( )A．B．C．lg2 D．﹣lg2【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【专题】计算题．【分析】根据题意先求出=﹣2，再根据奇函数的性质知=﹣f （2），代入解析式进行求解．【解答】解：∵当x＞0时，f（x）=lgx，∴=lg=﹣2，则=f （﹣2），∵函数y=f（x）是奇函数，∴=﹣f（2）=﹣lg2，故选D．【点评】本题考查了利用函数奇偶性求函数的值，对于多层函数值问题，需要从内到外的顺序进行逐层求解，结合奇函数的关系式进行求解，考查了分析和解决问题能力．12．下列几个命题：①方程x2+（a﹣3）x+a=0有一个正实根，一个负实根，则a＜0；②函数y=+是偶函数，但不是奇函数；③设函数y=f（x）定义域为R，则函数y=f（1﹣x）与y=f（x﹣1）的图象关于y轴对称；④一条曲线y=|3﹣x2|和直线y=a（a∈R）的公共点个数是m，则m的值不可能是1．其中正确的是( )A．（1）（2） B．（1）（4） C．（3）（4） D．（2）（4）【考点】命题的真假判断与应用．【专题】阅读型；数形结合；分析法；简易逻辑．【分析】①根据一元二次方程有异号根的判定方法可知①正确；②求出函数的定义域，根据定义域确定函数的解析式y=0，故②错误；③举例说明知③错误；④画出函数的图象，根据图象可知④正确．【解答】解：①令f（x）=x2+（a﹣3）x+a，要使x2+（a﹣3）x+a=0有一个正实根，一个负实根，只需f（0）＜0，即a＜0即可，故①正确；②函数的定义域为{﹣1，1}，∴y=0既是奇函数又是偶函数，故②错误；③举例：若y=x（x∈R），则f（x﹣1）=x﹣1与f（1﹣x）=1﹣x关于y轴不对称，故③错误；④根据函数y=|3﹣x2|的图象可知，故④正确．∴正确的是：①④．故选：B．【点评】本题考查了函数图象的对称变化和一元二次方程根的问题，以及函数奇偶性的判定方法等基础知识，考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力，是基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.请将答案填在答题卡相应位置.13．若f（x）=x2+bx+c，且f（1）=0，f（3）=0，则f（x）=x2﹣4x+3．【考点】函数的值．【专题】计算题；函数思想；待定系数法；函数的性质及应用．【分析】由已知条件利用待定系数法能求出f（x）．【解答】解：∵f（x）=x2+bx+c，且f（1）=0，f（3）=0，∴，解得b=﹣4，c=3，∴f（x）=x2﹣4x+3．故答案为：x2﹣4x+3．【点评】本题考查函数解析式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意待定系数法的合理运用．14．给出下列四个命题：①命题“若α=β，则cosα=cosβ”的逆否命题；②“∃x0∈R，使得x02﹣x0＞0”的否定是：“∀x∈R，均有x2﹣x＜0”；③命题“x2=4”是“x=﹣2”的充分不必要条件；④p：a∈{a，b，c}，q：{a}⊆{a，b，c}，p且q为真命题．其中真命题的序号是①④．（填写所有真命题的序号）【考点】函数奇偶性的判断．【专题】阅读型；集合思想；分析法；简易逻辑．【分析】①利用原命题与逆否命题的等价关系，因此只要判定原命题是否正确即可；②命题q：“∃x0∈R，使得x02﹣x0＞0”的否定是：“∀x∈R，均有x2﹣x≤0”，因此是假命题．③“x=﹣2”⇒“x2=4”，反之不成立，即可得出；④利用元素与集合、集合之间的关系即可判断出．【解答】解：①命题“若α=β，则cos α=cos β”正确，因此其逆否命题也正确，是真命题；②命题q：“∃x0∈R，使得x02﹣x0＞0”的否定是：“∀x∈R，均有x2﹣x≤0”，因此是假命题．③命题“x2=4”是“x=﹣2”的必要而不充分条件，因此不正确；④p：a∈{a，b，c}，q：{a}⊆{a，b，c}，p且q为真命题，正确．综上可知：只有①④是真命题．故答案为：①④．【点评】本题考查了简易逻辑的有关知识，属于基础题．15．在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“⊕”：当a≥b时，a⊕b=a；当a＜b时，a⊕b=b2．则函数f（x）=（1⊕x）•x﹣（2⊕x），x∈[﹣2，2]的最大值等于6（其中“•”和“﹣”仍为通常的乘法和减法）【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】根据题中给出的定义，分当﹣2≤x≤1时和1＜x≤2时两种情况讨论，从而确定函数的解析式．结合一次函数和三次多项式函数的单调性分别算出最大值，再加以比较即可得到函数f（x）的最大值．【解答】解：①当﹣2≤x≤1时，∵当a≥b时，a⊕b=a，∴1⊕x=1，2⊕x=2∴（1⊕x）x﹣（2⊕x）=x﹣2，可得当﹣2≤x≤1时，函数f（x）=（1⊕x）•x﹣（2⊕x）的最大值等于﹣1；②当1＜x≤2时，∵当a＜b时，a⊕b=b2，∴（1⊕x）x﹣（2⊕x）=x2•x﹣（2⊕x）=x3﹣（2⊕x）=x3﹣2，可得当1＜x≤2时，此函数f（x）=（1⊕x）•x﹣（2⊕x）当x=2时有最大值6．综上所述，函数f（x）=（1⊕x）•x﹣（2⊕x）的最大值等于6故答案为：6【点评】本题给出新定义，求函数f（x）的最大值．着重考查了对新定义的理解和基本初等函数的性质，考查了分类讨论的数学思想和分析解决问题的能力，属于中档题．16．已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对于任意x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有．给出下列命题：①f（3）=0；②直线x=﹣6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为增函数；④函数y=f（x）在[﹣9，9]上有四个零点．其中所有正确命题的序号为①②④（把所有正确命题的序号都填上）【考点】函数的零点；函数单调性的判断与证明；函数的周期性；对称图形．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）、赋值x=﹣3，又因为f（x）是R上的偶函数，f（3）=0．（2）、f（x）是R上的偶函数，所以f（x+6）=f（﹣x），又因为f （x+6）=f （x），得周期为6，从而f（﹣6﹣x）=f（﹣6+x），所以直线x=﹣6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴（3）、有单调性定义知函数y=f（x）在[0，3]上为增函数，f（x）的周期为6，所以函数y=f （x）在[﹣9，﹣6]上为减函数．（4）、f（3）=0，f（x）的周期为6，所以：f（﹣9）=f（﹣3）=f（3）=f（9）=0．【解答】解：①：对于任意x∈R，都有f （x+6）=f （x）+f （3）成立，令x=﹣3，则f （﹣3+6）=f（﹣3）+f （3），又因为f（x）是R上的偶函数，所以f（3）=0．②：由（1）知f （x+6）=f （x），所以f（x）的周期为6，又因为f（x）是R上的偶函数，所以f（x+6）=f（﹣x），而f（x）的周期为6，所以f（x+6）=f（﹣6+x），f（﹣x）=f（﹣x﹣6），所以：f（﹣6﹣x）=f（﹣6+x），所以直线x=﹣6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴．③：当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有所以函数y=f（x）在[0，3]上为增函数，因为f（x）是R上的偶函数，所以函数y=f（x）在[﹣3，0]上为减函数而f（x）的周期为6，所以函数y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为减函数．④：f（3）=0，f（x）的周期为6，所以：f（﹣9）=f（﹣3）=f（3）=f（9）=0函数y=f（x）在[﹣9，9]上有四个零点．故答案为：①②④．【点评】本题重点考查函数性质的应用，用到了单调性，周期性，奇偶性，对称轴还有赋值法求函数值．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．坐标系与参数方程极坐标系中，已知圆心C，半径r=1．（1）求圆的直角坐标方程；（2）若直线与圆交于A，B两点，求弦AB的长．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（1）由圆心C，可得圆心，即，半径r=1，即可得到圆的标准方程．（2）把直线代入圆的方程化为：．可得根与系数的关系．利用|AB|=|t1﹣t2|=即可得出．【解答】解：（1）由圆心C，可得圆心，即，半径r=1，∴圆的方程为．即．（2）直线与x轴相交于点P（﹣1，0）．把此方程代入圆的方程化为：．∴，．∴|AB|=|t1﹣t2|===．∴．【点评】本题考查了把参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程、利用参数方程解决弦长问题，属于中档题．18．定义域为R的函数f（x）满足：对于任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且当x＞0时f（x）＜0恒成立．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（2）证明f（x）为减函数；若函数f（x）在[﹣3，3]上总有f（x）≤6成立，试确定f（1）应满足的条件；（3）解关于x的不等式，（n是一个给定的自然数，a＜0）【考点】抽象函数及其应用；函数奇偶性的判断；函数恒成立问题．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）令x=y=0求出f（0），再令x=﹣y即可判断出奇偶性．（2）利用函数单调性的定义，设任意x1，x2∈R且x1＜x2，结合已知不等式比较f（x1）和f（x2）的大小，即可判断出单调性．由单调性可求出f（x）在[﹣3，3]上的最大值为f（﹣3），已知不等式可转化为f（﹣3）≤6，再由已知建立f（﹣1）和f（﹣3）的联系即可．（3），∴f（ax2）﹣f（a2x）＞n[f（x）﹣f（a）]，由已知得：f[n（x﹣a）]=nf（x﹣a）∴f（ax2﹣a2x）＞f[n（x﹣a）]，由（2）中的单调性转化为ax2﹣a2x＜n（x﹣a）．即（x﹣a）（ax﹣n）＜0，按照二次不等式两根的大小进行分类讨论解不等式即可．【解答】解：（1）由已知对于任意x∈R，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）恒成立令x=y=0，得f（0+0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0令x=﹣y，得f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）=0∴对于任意x，都有f（﹣x）=﹣f（x）∴f（x）是奇函数．（2）设任意x1，x2∈R且x1＜x2，则x2﹣x1＞0，由已知f（x2﹣x1）＜0（1）又f（x2﹣x1）=f（x2）+f（﹣x1）=f（x2）﹣f（x1）（2）由（1）（2）得f（x1）＞f（x2），根据函数单调性的定义知f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数．∴f（x）在[﹣3，3]上的最大值为f（﹣3）．要使f（x）≤6恒成立，当且仅当f（﹣3）≤6，又∵f（﹣3）=﹣f（3）=﹣f（2+1）=﹣[f（2）+f（1）]=﹣[f（1）+f（1）+f（1）]=﹣3f（1），∴f（1）≥﹣2．又x＞1，f（x）＜0，∴f（1）∈[﹣2，0），∴f（ax2）﹣f（a2x）＞n[f（x）﹣f（a）]∴f（ax2﹣a2x）＞nf（x﹣a），由已知得：f[n（x﹣a）]=nf（x﹣a）∴f（ax2﹣a2x）＞f[n（x﹣a）]，∵f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数∴ax2﹣a2x＜n（x﹣a）．即（x﹣a）（ax﹣n）＜0，∵a＜0，∴，讨论：①当，即，解集为：或x＜a}②当a=即时，原不等式解集：③当＜a＜0时，即﹣＜a＜0时，原不等式的解集为．【点评】本题考查抽象函数的奇偶性和单调性的判断和应用：解不等式，及分类讨论思想，综合性强，难度较大．19．如图，在△ABC中，AD是的∠A的平分线，圆O经过点A与BC切于点D，与AB，AC相交于E、F，连结DF，DE．（Ⅰ）求证：EF∥BC；（Ⅱ）求证：DF2=AF•BE．【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．【专题】选作题；立体几何．【分析】（Ⅰ）证明EF∥BC，只需证明∠FDC=∠EFD，利用圆的切线的性质可得；（Ⅱ）证明DF2=AF•BE，只需证明△AFD∽△DEB．【解答】证明：（Ⅰ）因为BC是圆O的切线，所以∠FDC=∠FAD，又因为∠EAD=∠EFD，且∠EAD=∠FAD，所以∠FDC=∠EFD，所以EF∥BC．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）连接ED，△AFD，△DEB中，∠EDB=∠EAD=∠FAD，∠BED=∠DFA，所以△AFD∽△DEB，所以，又因为DE=DF，所以DF2=AF•BE．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考查三角形的相似，考查圆的切线性质，考查学生分析解决问题的能力，正确判断三角形相似是关键．20．已知函数f（x）的图象与函数h（x）=x++2的图象关于点A（0，1）对称．（1）求f（x）的解析式；（2）若g（x）=f（x）•x+ax，且g（x）在区间[0，2]上为减函数，求实数a的取值范围．【考点】函数的图象；函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）利用函数关于点A（0，1）对称，求出函数的解析式．（2）利用二次函数的图象和性质得到对称轴与区间的关系．【解答】解：（1）设f（x）上的任意一点为（x，y），则点（x，y）关于A（0，1）对称点为（﹣x，2﹣y），代入h（x）=x++2，得2﹣y=﹣x﹣+2，即y=x+．所以f（x）=x+．（2）g（x）=f（x）•x+ax=（x+）x+ax=x2+ax+1，对称轴为，要使函数g（x）在区间[0，2]上为减函数，则，即a≤﹣4．所以实数a的取值范围a≤﹣4．【点评】本题主要考查函数的图象和解析式的求法，以及一元二次函数的图象和性质，比较综合．21．某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．（1）设一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数p=f（x）的表达式；（2）当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？【考点】函数模型的选择与应用；二次函数在闭区间上的最值．【专题】应用题．【分析】（1）根据题意，函数为分段函数，当0＜x≤100时，p=60；当100＜x≤600时，p=60﹣（x﹣100）×0.02=62﹣0.02x．（2）设利润为y元，则当0＜x≤100时，y=60x﹣40x=20x；当100＜x≤600时，y=（62﹣0.02x）x﹣40x=22x﹣0.02x2，分别求出各段上的最大值，比较即可得到结论．【解答】解：（1）当0＜x≤100时，p=60；当100＜x≤600时，p=60﹣（x﹣100）×0.02=62﹣0.02x．∴p=（2）设利润为y元，则当0＜x≤100时，y=60x﹣40x=20x；当100＜x≤600时，y=（62﹣0.02x）x﹣40x=22x﹣0.02x2．∴y=当0＜x≤100时，y=20x是单调增函数，当x=100时，y最大，此时y=20×100=2 000；当100＜x≤600时，y=22x﹣0.02x2=﹣0.02（x﹣550）2+6 050，∴当x=550时，y最大，此时y=6 050．显然6050＞2000．所以当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6050元．【点评】本题考查分段函数，考查函数的最值，解题的关键是正确写出分段函数的解析式，属于中档题．22．已知函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a＞0时，求函数f（x）在[1，2]上最小值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）的导数，令导数大于0求出函数的增区间，令导数小于0，求出函数的减区间（Ⅱ）a＞0时，用导数研究函数f（x）在[1，2]上的单调性确定出最小值，借助（Ⅰ）的结论，由于参数的范围对函数的单调性有影响，故对其分类讨论，【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域是（0，+∞）∵f（x）=lnx﹣ax∴f′（x）=﹣a当a≤0时，f′（x）＞0，函数在定义域上是增函数；当a＞0时，令导数为0解得x=，当x＞时，导数为负，函数在（，+∞）上是减函数，当x＜时，导数为正，函数在（0，）上是增函数（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论知当[1，2]⊆[，+∞）时，即a≥1时，函数函数f（x）在[1，2]上是减函数，故最小值为f（2）=ln2﹣2a当[1，2]⊆（0，]时，即0＜a＜时，函数函数f（x）在[1，2]上是增函数，故最小值为f（1）=﹣a当∈[1，2]时，函数f（x）在[1，]上是增函数，在[，2]上是减函数，故最小值为min{f（1），f（2）}【点评】本题考查用导数研究函数的单调性，解题的键是理解并掌握函数的导数的符号与函数的单调性的关系，此类题一般有两类题型，一类是利用导数符号得出单调性，一类是由单调性得出导数的符号，本题属于第一种类型．本题的第二小问是根据函数在闭区间上的最值，本题中由于参数的存在，导致导数的符号不定，故需要对参数的取值范围进行讨论，以确定函数在这个区间上的最值．。
2016年佛山市普通高中高三教学质量检测
2016年佛山市普通高中高三教学质量检测（二）第Ⅰ卷选择题（共44分）本卷共11个小题，每小题4分每小题4分，在第小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
2014年11月18日，“丝绸之路经济带”的国际货运铁路线“义新欧”正式开通，列车从“小商品之都”浙江义乌出发，21天后于北京时间18点到达西班牙马德里。
2015年2月22日，满载“年货”的回程班列又抵达义乌。
读图回答1-3题。
1.“义新欧”开通后，义乌的小商品在欧洲市场竞争力增强的原因是：A．商品质量更加优良B．物流综合成本降低C．欧洲消费市场扩大D．商品生产成本减少2.回程班列给义乌人带来的“年货”最可能是：A．奶制品、咖啡B．箱包、家居饰品C．红酒、橄榄油D．柠檬汁、电脑桌3.首趟“义新欧”班列从义乌开往马德里：A．出发当天义乌的日出方向为东南B．经过俄罗斯境内落叶林郁郁葱葱C．到达马德里时太阳直射点在澳大利亚盆地D．往返行程总距离不可能超过一万千米“千湖沙漠”国家公园位于巴西东北部滨海地区,沙丘从海岸边一直向内延伸50公里，洁白的新月形沙丘链镶嵌着上千个晶莹剔透、水位季节变化明显的湖泊。
读图回答4-6题。
4．关于“千湖沙漠”中沙丘的形成原因，其解释可信的是：A．沿岸地区寒流的减湿作用导致气候干旱B．副热带高气压带控制，多炎热干旱天气C．雨林大量被砍伐，信风长期吹蚀裸露地表D．河流携带到河口的泥沙被海风吹向陆地5．图中众多湖泊的主要补给水源是：A．地下水B．海水C．河流水D．雨水6．图中新月形沙丘：A．缓坡大致朝向东方B．1-4月移动速度快C．陡坡风力大于缓坡D．缓坡降水多于陡坡城市绿心是指主要承担城市中心生态功能和游憩功能的绿色空间。
有学者提出：打造长江中游城市群“绿心”，探索城市组团绿心空间结构的新型城镇化之路。
读下图，回答7-8题。
7．图中“绿心”区域适合布局的产业活动是：A．公园绿地B．园艺苗圃C．商贸中心D．交通枢纽8．打造长江中游城市群“绿心”将会：A．保持原有地貌形态不变B．增强城市“热岛效应”C．出现城市“空心化”现象D．增加区域的地下径流量读长江中下游平原某地区的等高线示意图，回答9～11题。
2016年广东省佛山市高考数学二模试卷(理科)(解析版)
9． （5 分）执行如图所示的程序框图，若输出的 i 的值为 12，则①、②处可填入的条件分 别为（ ）
A．S＞384，i＝i+1 C．S＞3840，i＝i+1
B．S≥384，i＝i+2 D．S≥3840，i＝i+2 ）
10． （5 分）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（
A．
B．
C．
8． （5 分） 现从男、 女共 8 名学生干部中选出 3 名同学 （要求 3 人中既有男同学又有女同学） 分别参加全校“资源” 、 “生态”和“环保”三个夏令营活动，共有 270 种不同的安排， 那么 8 名学生中男、女同学的人数分别是（ A．男同学 1 人，女同学 7 人 C．男同学 3 人，女同学 5 人 ） B．男同学 2 人，女同学 6 人 D．男同学 4 人，女同学 4 人
广东李先生 2016 年 1 月购买一辆价值 20 万元的新车， 根据以上信息， 试估计该车辆在 2017 年 1 月续保时应缴的商业险保费（精确到元） ，并分析车险新政是否总体上减轻了车主负 担， （假设车辆下一年与上一年都购买相同的商业车险产品进行续保） 19． （12 分）如图，在直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中，∠BAD＝60°，AB＝BD，BC＝CD． （1）求证：平面 ACC1A1⊥平面 A1BD； （2）当 BC⊥CD 时，直线 BC 与平面 A1BD 所成的角能否为 45°？并说明理由．
D．2
11． （5 分）已知双曲线 C 的两条渐近线为 l1，l2，过右焦点 F 作 FB∥l1 且交 l2 于点 B，过 点 B 作 BA⊥l2 且交于 l1 于点 A，若 AF⊥x 轴，则双曲线 C 的离心率为（ A． B． C．
佛山市2016届普通高中高二年级教学质量检测(理数)
佛山市2016届普通高中高二年级教学质量检测数学（理科）本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟， 注意事项：1．答卷前，考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目．2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷和答题卡交回．参考公式：①柱体的体积公式Sh V =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．②锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 为柱体的底面积，h 为锥体的高．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 经过两点)3,(),3,(m m B m A --的直线的倾斜角为︒30，则=m ( )A ． 3-B ． 53-C ． 31-D ． 12． 命题“022,0200≤++∈∃x x R x ”的否定是( )A ． 022,2≤++∈∀x x R xB ． 022,2>++∈∀x x R xC. 022,0200>++∈∃x x R xD ． 022,0200≥++∈∃x x R x3． 己知点),,(c b a M 是空间直角坐标系xyz O -中的一点，则与点M 关于z 轴对称的点的坐标是( ) A ． ),,(c b a --B ． ),,(c b a --C. ),,(c b a --D ． ),,(c b a ---4． 两圆034:221=+-+x y x C 和0334:222=+++y y x C 的位置关系是( )A ． 相离B ． 相交C ． 内切D. 外切5． “3=a ”是“直线032=++a y ax 和直线7)1(3-=-+a y a x 平行”的( )A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件6． 己知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x x y ，则目标函数y x z -=2的最大值为( )A ． 3-B ． 5C ． 6D ． 77． 已知命题p ：“若直线a 与平面α内两条直线垂直，则直线a 与平面α垂直”，命题q ：“存在两个相交平面垂直于同一条直线”，则下列命题中的真命题为( ) A ．q p ∧B.q p ∨C ． q p ∨)(⌝D ． )(q p ⌝∧8． 下列命题中正确的个数是( )①如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行. ②若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行．③若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点． ④若直线l 上有无数个点不在平面α内，则.//αl A. 0 B. 1 C. 2 D. 39． 已知过球面上C B A 、、三点的截面和球心O 的距离等于球半径的一半，且2===CA BC AB ，则球O 的体积为( )A ．81256πB ．2764πC ．916πD ．34π 10. 已知圆4:22=+y x C 上恰有两个点到直线0:=+-m y x l 的距离都等于1，则实数m 的取值范围是( )A ． ]23,2()2,23[ --B ． )23,2[]2,23( -- C. ]23,2[]2,23[ --D ． )23,2()2,23( --11. 若直线03=-+by ax 与圆322=+y x 没有公共点，则过点),(b a M 的直线l 与椭圆13422=+y x 的公共点的个数是( ) A. 0 B. 1C. 2D. 1或212. 在平面直角坐标系xOy 中，己知圆4)3(:22=+-y x C ，点B A ,在圆C 上，且32||=AB ，则||OB OA +的最大值是( )A ． 8B ． 24C ． 4D ． 22二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分． 13. 抛物线24x y =的焦点坐标是 .14. 在正方体1111D C B A ABCD -中，点Q P 、分别在1111D C B A 、上，且11112,2QD Q C PB P A ==，则异面直线BP 与DQ 所成角的余弦值为 ．15. 己知一个空间几何体的三视图如图1所示，其三视图均为边长为1的正方形，则这个几何体的表面积为 ．16. 己知F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点，若以F 为圆心的圆034:22=+-+x y x C 与双曲线的渐近线相切，则双曲线的标准方程为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分10分）如图2，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，请在此正方体中取出四个顶点构成一个三棱锥，满足三棱锥的四个面都是直角三角形，并求此三棱锥的体积．18.（本小题满分12分）圆心为C 的圆经过点)2,0(A 和点)0,2(B ，且圆心C 在直线042:1=--y x l 上． (Ⅰ)求圆C 的方程；(Ⅱ)求直线0843:2=-+y x l 被圆C 截得的弦的长度．19.（本小题满分12分）如图3，在三棱柱111C B A ABC -中，侧棱垂直于底面，各棱长均为2，D 为线段11C B 中点．(Ⅰ)证明：//1AC 平面;1BD A(Ⅱ)求1BB 与平面BD A1所成角的正弦值．20.（本小题满分12分）已知动圆C 过点)1,0(F ，圆心C 在x 轴上方，且到点F 的距离比到x 轴的距离大1． (Ⅰ)求动圆圆心C 的轨迹E 的方程；(Ⅱ)设B A 、是曲线E 上两个不同的动点，过B A 、分别作曲线E 的切线，两切线相交于P 点，且BP AP ⊥，求||AB 的最小值．21.（本小题满分12分）如图4，在直角梯形ABCD 中，4,2,===⊥CD AD AB AD AB ，点E 为CD 中点，将三角形ABD 沿BD 翻折．(Ⅰ)证明：在翻折过程中，始终有BD AE ⊥；(Ⅱ)当32=AC 时，求二面角C BD A --的大小．22.（本小题满分12分）平面直角坐标系xOy 中，过椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 右焦点的直线l ：k kx y -=交C 于B A ,两点，P 为AB 的中点，当1=k 时OP 的斜率为.21-(Ⅰ)求C 的方程；(Ⅱ)x 轴上是否存在点Q ，使得k 变化时总有BQO AQO ∠=∠，若存在请求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（每题5分，共60分）二、填空题（每题5分，共20分）13．⎪⎭⎫ ⎝⎛161,014．5415．33+16．1322=-y x三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分10分） 【解析】在正方体的一个面上取三个点构成的直角三角形作为三棱锥的底面，如ABD ∆；取对面上与直角三角形锐角顶点正对的顶点，作为三棱锥的顶点，即点11D B 、，可得两个符合条件的三棱锥ABD D -1和三棱锥ABD B -1．（取出的三棱锥一定用到正方体的一条体对角线．）……7分 三棱锥的体积.611211312=⨯⨯⨯=V……10分18.（本小题满分12分）【解析】(Ⅰ)解法1：AB 的中点为)1,1(，斜率为1-，则AB 的垂直平分线为.x y =……2分联立⎩⎨⎧=--=042y x xy ，解得圆心C 的坐标为).4,4(……5分半径52)24()04(22=-+-=r ，所以圆C 的方程为.20)4()4(22=-+-y x……7分解法2：设圆C 的方程为.022=++++F Ey Dx y x……1分由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=----=++=++04)2()2(2024024E D F D F E ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=1288F E D ，故所求圆C 的方程为.0128822=+--+y x y x……7分(Ⅱ)圆心到2l 的距离为.443|84443|22=+-⨯+⨯=d……9分所以弦长的一半为2162022=-=-d r ，于是直线2l 被圆C 截得的弦的长度为4.……12分19.（本小题满分12分）【解析】(Ⅰ)连接1AB ，交B A 1于点F ，连接,DF 11C AB ∆中，F D ,分别为111,C B B A 中点，所以.//1AC DF…………2分因为⊂DF 平面BD A 1，⊂/1AC 平面BD A 1 所以//1AC 平面.1BD A…………4分(Ⅱ)方法1：如图，作BD H B ⊥1，垂足为,H因为⊥1BB 平面111C B A ，⊂D A 1平面111C B A ，所以,11BB D A ⊥又111C B D A ⊥，且1111B C B BB = ，⊂111,C B BB 平面C C BB 11，所以⊥D A 1平面.11C C BB……6分因为⊂H B 1平面C C BB 11，所以,11D A H B ⊥又BD H B ⊥1，且D BD D A = 1，⊂BD D A ,1平面,1BD A 所以⊥H B 1平面BD A 1，所以BH B 1∠为1BB 与平面BD A 1所成的角.……8分在BD B Rt 1∆中，.55sin 11==∠BDD B BH B ……11分 因此1BB 与平面BD A 1所成角的正弦值为⋅55...12分 方法2：取AB 中点O ，连接.CO因为⊥1AA 平面ABC ，⊂CO 平面ABC ，所以.1AA CO ⊥又因为AB CO ⊥，且A AB AA = 1，⊂AB AA ,1面11ABB A ，所以，⊥CO 平面11ABB A ． (6)分如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系xyz O -如图所示，则),0,0,1(),0,2,1(1-B A⎪⎭⎫ ⎝⎛--3,2,21),0,2,1(1D B ，所以，).0,2,0(,23,2,21),0,2,2(11=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==BB BD BA …8分 设平面BD A 1的法向量),,(z y x n =，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001n BA n ，得⎪⎩⎪⎨⎧=++=+023221022z y x y x ，解得,3⎩⎨⎧=-=xz xy 令1=x ，得),3,1,1(-=n…………10分设直线1BB 与平面BD A 1所成角大小为θ，则,55|||||cos |sin 11=⋅==BB n BB n θ 所以，1BB 与平面BD A 1所成角的正弦值为.55…………12分20.（本小题满分12分）【解析】(Ⅰ)设动圆C 的圆心坐标为),(y x ，点C 到x 轴的距离为,y……1分 由题意知：1||=-y CF 即)0(1)1(22>=--+y y y x……2分化简得)0(42>=y y x ，即动圆圆心C 的轨迹E 的方程为).0(42>=y y x ……4分(Ⅱ)设),(,4,,4,00222211y x p x x B x x A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，直线AP 的斜率为,k联立⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-=221144)(x y x x x k y ，消去y 得0442112=-+-x kx kx x……6分由0)4(4)4(2112=--=∆x kx k 得21x k =，同理BP 的斜率为,22x……7分 因为BP AP ⊥，所以421-=x x……8分 直线AB的斜率为4211x x k +=，直线AB的方程为.144)(42121121++=+-+=x x x x x x x x y……9分 联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=2141xy x k y ，消去y 得,04412=--x k x……10分得1214k x x =+，421-=x x ，所以).1(44)(1||2212212+=-+⋅+=k x x x x k AB ...11分所以当0=k 时，||AB 的最小值4. ……12分21.（本小题满分12分）【解析】(Ⅰ)在梯形ABCD 中，连接,BE 因为2,==⊥AD AB AD AB ，所以22=BD 又221==DC DE ，CD AB //，所以四边形ABDE 为正方形，在梯形ABCD 中，连接AE 交BD 于F ，则BD AE ⊥……2分翻折过程中，始终有,,BD EF BD AF ⊥⊥又F EF AF = ，所以⊥BD 面AEF ，又⊂AE 面AEF ，所以AE BD ⊥ ……5分 (Ⅱ)翻折前，四边形ABDE 为正方形，即有,,2CD BE BE ⊥= 所以,2222=+=EC BE BC在BCD ∆中，,16)22()22(22222CD BC BD ==+=+ 所以BC BD ⊥……6分因为BC EF //，所以BD EF ⊥，翻折之后，仍有,BD EF ⊥ 又BD AF ⊥，所以AFE ∠为二面角C BD A --的平面角，……8分因为2=AD ，32,4==AC DC ，所以222DC AC AD =+，即,AC AD ⊥因为E 为DC 的中点，所以.221==CD AE ……10分在AFE ∆中，2,221,222====-=AE BC EF BF AB AF所以222AF EF AE +=，即有AF EF ⊥……11分 所以二面角C BD A --为90.……12分22.（本小题满分12分）【解析】(Ⅰ)因为k kx y l -=:过定点)0,1(，所以.1,122+==b a c……1分当1=k 时，直线k kx y l -=:，联立⎪⎩⎪⎨⎧=++-=1112222b y b x x y ，设),,(),,(2211y x B y x A化简得.01)1(2)12(4222=-++-+b x b x b……3分则12)1(22221++=+b b x x ，于是122212)1(2222222121+-=-++=-+=+b b b b x x y y ……4分 所以AB 中点P 的坐标为)12,121(2222+-++b b b b OP 的斜率为21122-=+-b b ，所以.2,1==a b……5分 从而椭圆C 的方程为.1222=+y x……6分(Ⅱ)假设存在点Q 设坐标为)0,(m ，联立,1222⎪⎩⎪⎨⎧=+-=y x k kx y 化简得：.0224)12(2222=-+-+k x k x k……7分所以.1222,1242221.221+-=+=+k k x x k k x x……8分直线AQ 的斜率m x yk AQ -=11，直线BQ 的斜率.22mx yk BQ -= ……9分))((12)2(2))((]2))(1(2[)1()1(2122121212211m x m x k m k m x m x m x x m x x k m x x k m x x k k k BQAQ --+-=--+++-=--+--=+……10分当2=m 时，0=+BQ AQ k k ，所以存有点)0,2(Q ，使得.BQO AQO ∠=∠ ……12分。
[定稿试题]2016年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)理科数学试题
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5 2 7. 某学校 10 位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责,每次献爱心活动均需该组织 4 位同学 参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给 4 位同学,且所发信息都能收
3 1
B. 2 C.
3
D.
到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为( A.
点( E 、 F 与 A 点不重合),且满足 AE AF . (Ⅰ) 求椭圆的标准方程； (Ⅱ) O 为坐标原点,若点 P 满足 2OP OE OF ,求直线 AP 的斜率的取值范围.
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21.(本小题满分 12 分) 设常数 0, a 0 ,函数 f x (Ⅰ) 当 a
2
,
9 7 7 8 10 2 5 7 8 9 11 3 4
图4
3
86 、 95 、 103 、 109 、 118 ,试问此打印设备是否需要进一步调试,为什么?
参考数据: P 2 Z 2 0.9544 , P 3 Z 3 0.9974 , 0.9544 0.87 ,
)
2 5
B.
12 25
C.
16 25
D.
4 5
高三教学质量检测（一）理科数学试题 第 1 页 共 4 页
8. 已知 tan x
1 ,则 sin 2 x ( 2 4 1 B. 5 9 D. 10
)
开始
1 A. 10 3 C. 5
为( A． 3 C． 5 )
a 0, S 1
a 3?
2
是
z log2 S
2016年佛山市第1次调研试题(文数)
2016年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数满足i 1i z =--，则在复平面内，z 所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知U =R ，函数()l n 1y x =-的定义域为M ，集合{}02N x x =<<，则()UMN =ð( )A ．(],0-∞B ．()0,1C ．[)1,2D ．[)2,+∞3．在等差数列{}n a 中，13a =，1033a a =，则{}n a 的前12项和12S =( )A ．120B ．132C ．144D ．1684．曲线C :ln y x x =在点()e,e M 处的切线方程为( )A ．e y x =-B ．e y x =+C ．2e y x =-D ．2e y x =+5．设变量,x y 满足10020015x y x y y -≤⎧⎪≤+≤⎨⎪≤≤⎩，则23x y +的最大值为( )A ．20B ．35C ．45D ．556．已知()()sin 2f x x ϕ=+的图象向右平移12π个单位后得到函数()g x 的图象，则“函数()g x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称”是“6πϕ=- ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知函数()()22ln e11xf x x x =+-+，()2f a =，则()f a -的值为( )A ．1B ．0C ．1-D ．2-8．已知sin cos θθ+=tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭( ) A ．12 B ．2C ．12±D ．2±9．若图1的框图所给的程序运行结果为20S =，那么判断框中应填入的关于k 的条件是( )A ．9k =？B ．8k ≤？C ．8k <？D ．8k >？10．某一简单几何体的三视图如图2所示，该几何体的外接球的表面积是( )A ．13πB ．16πC ．25πD ．27π11．已知1F ，2F 分别是双曲线C :22221x y a b-=(0,0a b >>)的左右两个焦点，若在双曲线C上存在点P 使1290F PF ∠=︒，且满足12212PF F PF F ∠=∠，那么双曲线C 的离心率为( ) A1B ．2CD12．若函数()()2e ln e 2xxf x x m =++-存在正的零点，则实数m 的取值范围为( )A．(-∞B．)+∞C ．(),e -∞D ．()e,+∞侧视图俯视图图2图1二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．从某班5位老师中随机选两位老师值班，有女老师被选中的概率为710，则在这5位老师中，女老师有_______人．14．在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别是c b a ,,，且B b cos 是A c C a cos ,cos 的等差中项，则B 的大小为_______．15．抛物线C :24y x =上到直线l :y x =距离为2的点的个数为________． 16．在等腰直角△ABC 中，90ABC ∠=︒，2AB BC ==，M 、N 为AC 边上两个动点，且满足MN =BM BN ⋅的取值范围为________．三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21n n a S =-(*n ∈N )． （1）求证：数列{}n a 为等比数列；（2）若()21n n b n a =+，求{}n b 的前n 项和n T ．:某射击爱好者想提高自己的射击水平，制订了一个训练计划，为了了解训练效果，执行训练计划前射击了10发子弹(每发满分为10.9环)，计算出成绩中位数为9.65环，总成绩为95.1环，成绩标准差为1.09环，执行训练计划后也射击了10发子弹，射击成绩茎叶图如图3所示:（1）请计算该射击爱好者执行训练计划后射击成绩的中位数、总成绩与标准差； （2）如果仅从已知的前后两次射击的数据分析，你认为训练计划对该射击爱好者射击水平的提高有无帮助？为什么？图30 3 6 7 8 84 88 89.10.8.7.如图4，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AAC C ⊥侧面11ABB A，1AC AA ==，1160AAC ∠=︒，1AB AA ⊥，H 为棱1CC 的中点，D 为1BB 的中点．（1）求证:1A D ⊥平面1AB H ； （2）若AB =，求三棱柱111ABC A B C -的体积．A BCA 1B 1C 1DH图4已知椭圆Γ的中心在原点，焦点在x轴，焦距为2倍．（1）求椭圆Γ的标准方程；P，过椭圆Γ左焦点F的直线l交Γ于A、B两点，若对满足条件的任意（2）设(2,0)⋅≤(λ∈R)恒成立，求λ的最小值．直线l，不等式PA PBλ设常数0a >，函数()2ln 1x f x a x x=-+． （1）当34a =时，求()f x 的最小值； （2）求证：()f x 有唯一的极值点．请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清楚题号．22．(本小题满分10分)选修41-:几何证明选讲如图5，四边形ABCD 是圆内接四边形，BA 、CD 的延长线交于点P ，且AB AD =，2BP BC =．（1）求证:2PD AB =；（2）当2BC =，5PC =时，求AB 的长．23．(本小题满分10分)选修44-:坐标系与参数方程选讲已知直线l 的方程为4y x =+，圆C 的参数方程为2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=+⎩(θ为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系． （1）求直线l 与圆C 的交点的极坐标；（2）若P 为圆C 上的动点，求P 到直线l 的距离d 的最大值．24．(本小题满分10分)选修45-:不等式选讲已知函数()2f x x a =-+，()4g x x =+，其中a ∈R ． （1）解不等式()()f x g x a <+；（2）任意x ∈R ，()()2f xg x a +>恒成立，求a 的取值范围．DCBAP图5参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，满分20分． 13． 2 14．3π15． 3 16． 3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【解析】(Ⅰ)当1n =时，1112121a S a =-=-，解得11a =；……………………1分 当2n ≥时，21n n a S =-，1121n n a S --=-，两式相减得12n n n a a a --=，…………………3分化简得1n n a a -=-，所以数列{}n a 是首项为1，公比为1-的等比数列． (5)分(Ⅱ)由(Ⅰ)可得()111n n a -=⨯-，所以()()1211n n b n -=+⋅-，下提供三种求和方法供参考: ………6分 [错位相减法]()()()()()121315171211n n T n -=⋅-+⋅-+⋅-+++⋅- n T -=()()()()()()1213151211211n nn n -⋅-+⋅-++-⋅-++⋅- …………………8分两式相减得()()()()()12123212121211n nn T n -=+⋅-+⋅-++⋅--+⋅- …………………9分()()()()1113221111n n n -⎡⎤---⎣⎦=+⨯-+⋅---…………………10分()()12212n n -=+⋅-+，…………………11分所以数列{}n b 的前n 项和n T ()()1111n n -=+⋅-+．…………………12分[并项求和法]当n 为偶数时，12n n b b -+=-，()22n nT n =⨯-=-；…………………9分当n 为奇数时，1n +为偶数，()()111232n n n T T b n n n ++=-=-+--+=+⎡⎤⎣⎦；………………11分综上，数列{}n b 的前n 项和n T ,2,n n n n -⎧=⎨+⎩为偶数为奇数．…………………12分[裂项相消法]因为()()()()()11211111n n nn b n n n --=+⋅-=⋅--+⋅-……………9分所以()()()()111121n T ⎡⎤⎡=⋅--⎣⎦⎣()()()1111n nn n -⎡⎤+⋅--+⋅-⎣⎦()()()()()01111111nnn n =⋅--+⋅-=--⋅+ 所以数列{}n b 的前n 项和n T ()()1111n n -=+⋅-+．…………………12分18．【解析】(Ⅰ)训练后成绩中位数为:9.59.79.62+=环， ……1分 总成绩为:7.88.89.09.39.69.79.89.810.410.895+++++++++=环 ……3分 平均成绩为:9.5环， ………… ……4分 方差为:()()()()22222222221.70.70.50.200.20.30.30.9 1.30.6410-+-+-+-++++++=，……6分标准差为:0.8环． ………………7分 (Ⅱ)[答案一]因为9.759.65>，95.195>，中位数与总成绩训练前都比训练后大，而这是衡量一个人平均射击水平的主要指标，……9分可见训练前的平均水平还比训练后的平均水平要好， ………………………………11分 故此训练计划对该射击爱好者射击水平的提高没有帮助． ………………………………12分[答案二]尽管中位数与总成绩训练后都比训练前稍小，但相差并不大，并无显著差异， ………9分而0.8 1.09<，训练后的标准差比训练前的标准差要小很多，成绩稳定性显著提高了，说明该射击爱好者心理素质更稳定了，这也是射击水平提高的表现． ………………………………11分故此训练计划对该射击爱好者射击水平的提高有帮助． (12)GMHDC 1B 1A 1CBA 分19．【解析】(Ⅰ)连结1AC ，因为1ACC ∆为正三角形，H 为棱1CC 的中点， 所以1AH CC ⊥，从而1AH AA ⊥，又面11AAC C ⊥面11ABB A ， 面11AAC C面11ABB A 1AA =，AH ⊂面11AAC C ，所以AH ⊥面11ABB A ，又1A D ⊂面11ABB A ，所以AH ⊥1A D …①，……2分设AB =，由1AC AA ==，所以12AC AA a ==，1DB a =，111111DB A B B A AA ==，又111190DB A B A A ∠=∠=︒，所以1111A DB AB A ∆∆，所以1111B AA B A D ∠=∠，又11190B A D AA D ∠+∠=︒， 所以11190B AA AA D ∠+∠=︒， 设11AB A D O =，则11A D AB ⊥…②，…………………5分由①②及1AB AH A =，可得1A D ⊥平面1AB H ．…………………6分(Ⅱ)方法一:取1AA 中点M ，连结1C M ，则1//C M AH ，所以1C M ⊥面11ABB A ．…………7分所以1111111133C AB A AB A V S C M -∆=⋅==，…………………10分 所以三棱柱111ABC A B C -的体积为1113C AB A V -=．…………………12分 方法二:取11A C 中点G ，连结AG ，因为11AA C ∆为正三角形，所以11AG AC ⊥， 因为面11AAC C ⊥面11ABB A ，面11AACC 面11ABB A 1AA =，11A B ⊂面11ABB A ，111A B AA ⊥，所以11A B ⊥面11AAC C ，又AG ⊂面11AAC C ，所以11A B AG ⊥，又11111AC A B A =，所以AG ⊥平面111A B C ，所以AG 为三棱柱111ABC A B C -的高，……9分经计算AG =111111111222A B C S A B AC ∆=⋅==，………………11分 所以三棱柱111ABC A B C -的体积111A B C V S AG ∆=⋅．………………12分20．【解析】(Ⅰ)依题意，a =，1c =，…………………1分解得22a =，21b =，所以椭圆Γ的标准方程为2212x y +=．…………………3分 (Ⅱ)设()()1122,,,A x y B x y ，所以()()()()112212122,2,22PA PB x y x y x x y y ⋅=-⋅-=--+，当直线l 垂直于x 轴时，121x x ==-，12y y =-且2112y =，此时()13,PA y =-，()()213,3,PB y y =-=--，所以()2211732PA PB y ⋅=--=．…………………6分 当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l :()1y k x =+，由()22122y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()2222124220k x k x k +++-=， 所以2122412k x x k +=-+，21222212k x x k -=+，…………………8分所以()()()21212122411PA PB x x x x k x x ⋅=-+++++()()()2221212124k x x k x x k =++-+++()()22222222241241212k k k k k k k -=+⋅--⋅++++2217221k k +==+()217131722221k -<+．…11分 要使不等式PA PB λ⋅≤(λ∈R )恒成立，只需()max172PA PBλ≥⋅=，即λ的最小值为172．……12分21．【解析】(Ⅰ)()()()22211x x x a f x x x +-'=-+()()322221x a x ax ax x +---=+………………2分 当34a =时，()()()()()23222149345634141x x x x x x f x x x x x -+++--'==++ ……………4分 由于0x >时，()22493041x x x x ++>+，DCBAP故当01x <<时，()0f x '<，()f x 递减，当1x >时，()0f x '>，()f x 递增， 即当1x =时，()f x 取极小值即最小值()112f =．……………………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知()()()322221x a x ax af x x x +---'=+，令()()3222g x x a x ax a =+---，要证()f x 有唯一的极值点，即证()g x 在()0,+∞上有唯一的变号零点．…………7分 事实上，()()23422g x x a x a '=+--，令()0g x '=，解得1x =2x =……9分其中10x <，20x >．因为()020g a '=-<，且()g x '的图像是开口向上的抛物线， 故在区间()20,x 上，()0g x '<，()g x 递减，所以()()200g x g a <=-<， 在区间()2,x +∞上，()0g x '>，()g x 递增， 因为()()3222g x x a x ax a =+---()()22xx a x x a a =-+--，所以()()()()221121120g a a a a a a +=+++-=+++>， 所以()()210g x g a ⋅+<，即()g x 在()0,+∞上有唯一零点． 即()f x 在()0,+∞上有唯一的极值点，且为极小值点．……12分 22．【解析】(Ⅰ)因为四边形ABCD 是圆内接四边形， 所以PAD PCB ∠=∠，…………1分 又APD CPB ∠=∠，所以APDCPB ∆∆，PD ADPB CB=，...3分 而2BP BC =，所以2PD AD =，又AB AD =，所以2PD AB =．...............5分 (Ⅱ)依题意24BP BC ==，设AB t =，由割线定理得PD PC PA PB ⋅=⋅， (7)分即()2544t t ⨯=-⨯，解得87t =，即AB 的长为87．……………10分 23．【解析】(Ⅰ)直线l :4y x =+，圆C :()2224x y +-=，……………………1分联立方程组()22424y x x y =+⎧⎪⎨+-=⎪⎩，解得22x y =-⎧⎨=⎩或04x y =⎧⎨=⎩，……………………3分对应的极坐标分别为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，4,2π⎛⎫⎪⎝⎭． (5)分(Ⅱ)[方法1]设()2cos ,22sin P θθ+，则14d πθ⎛⎫==++ ⎪⎝⎭，当cos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，d 取得最大值2+……………………………………10分[方法2]圆心()0,2C 到直线l =2，所以P 到直线l 的距离d 的最大值为2……………………………………10分 24．【解析】(Ⅰ)不等式()()f x g x a <+即24x x -<+，………………………2分 两边平方得2244816x x x x -+<++，解得1x >-， 所以原不等式的解集为()1,-+∞．………………………5分(Ⅱ)不等式()()2f xg x a +>可化为224a a x x -<-++，………………………7分又()()24246x x x x -++≥--+=，所以26a a -<，解得23a -<<， 所以a 的取值范围为()2,3-．………………………10分。
广东省佛山市第一中学2016届高三第三次模拟考试数学(理)试题-Word版含答案
佛山市第一中学2016高考理科数学模拟题第I 卷一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．） 1、集合{2,3,5,7,11,13}A =，10{|0}3x B x x -=≥-，则RA B =A.{2,11,13}B.{2,3,11,13}C.{3,5,7}D.{5,7}2、记复数z 的共轭复数为z ，若(1)2z i i -=，则复数z 的虚部为 A. i B. 1 C. i - D. 1-3、《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何.”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布（ ）A.30尺B.90尺4、已知命题1p ：函数()x x f x e e -=-命题11221231:;:;:()q p p q p p q p ∨∧⌝∨是A.13,q qB.23,q qC.14,q qD.2,q 5、已知2log ,0()14,02x x x f x x >⎧⎪=⎨-≤⎪⎩ ，则[f f A.1- B.2 C.242-D.726、如图是某四面体ABCD 水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为1，则四面体ABCD 外接球的表面积为（ ） A.20π B.1256πC.25πD.100π 7、程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是 A.2 B.－12 C.－3 D.138、平面直角坐标系中，圆C 经过原点O ，点(8,0),(0,6)A B ，若圆C 的一条弦MN 的中点坐标为(5,4)D ，则MN 所在直线的方程为（ ）A ．10x y --= B. 90x y +-= C. 40y -= D. 43320x y +-=9、已知()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像，若有直线(0)y b b A =<< 与()y f x = 图像的三个相邻交点的横坐标恰好分别是2、4、8，则()y f x =的单调递增区间是（ ）（k Z ∈）A.[63,6]k k -B.[6,63]k k +C.[63,6]k k ππ-D.[6,63]k k ππ+ 10、某堆雪在融化过程中，其体积V （单位：3m ）与融化时间t （单位：h ）近似满足函数关系：31()(10)10V t H t =-（H 为常数），其图象如图所示. 记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为3(m /h)v . 那么瞬时融化速度最接近v 的时刻是图中的（ ） A.1t B.2t C.3t D.4t11、已知,E F 为双曲线1Γ：22221(0)x y a b a b -=<<的左右焦点，F 也是抛物线2Γ：22(0)y px p =>的焦点，且1Γ与2Γ交于不同的两点A 、B ，若5||4||AF BE =，则双曲线的离心率为（ ）A. 47-B. 43-C. 43+D. 47+ 12、已知函数2log ,0() (>0,1)610,a x x tf x a a x x x t<<⎧=≠⎨-+≥⎩，若0(2,3),,t y R ∀∈∃∈使得0()f x y =有三个不等实根，则实数a 的取值范围为（）A.(0,1)(1,3] B.(0,1)(1,3) C.(0,1)(2,)+∞ D.(0,1)(1,2]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13、52()a x x-的展开式中各项系数的和为32，则该展开式中的常数项是 .（用数字作答） 14、某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。
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2016年佛山市普通高中高三教学质量检测（一） 理科数学2016．1．18
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数z 满足i i z --=-1)1(，则=+|1|z （ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ． 2
2．已知=U R ，函数)1ln(x y -=的定义域为M ，}0|{2<-=x x x N ，则下列结论正确的是（ ）
A ．N N M =⋂
B ．φ=⋂)(N
C M U C ．U N M =⋃
D ．)(N C M U ⊆
3．已知a 、b 都是实数，那么“b a >”是“b a ln ln >”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件
4．若变量x ，y 满足⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤≤+≤≤-15020010y y x y x ，则y x 32+的最大值为（ ）
A ．20
B ．35
C ．45
D ．55
5．已知3
0π=
x 是函数)2sin()(ϕ+=x x f 的一个极大值点，则)(x f 的一个单调递减区间是（ ） A ．)32,6(ππ B ．)65,3(ππ C ．),2(ππ D ．),32(ππ 6．已知1F 、2F 分别是双曲线122
22=-b
y a x （0>a ，0>b ）的左、右两个焦点，若在双曲线上存在点P ，使得︒=∠9021PF F ，且满足12212F PF F PF ∠=∠，那么双曲线的离心率为（ ）
A ．13+
B ．2
C ．3
D ．2
5 7．某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到．则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为（ ）
A ．
52 B ．2512 C ．2516 D ．5
4 8．已知21tan =x ，则)4(sin 2π+x =（ ）
A ．101
B ．51
C ．53
D ．109
9．执行如图所示的程序框图，输出的z 值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
10．某一简单几何体的三视图如图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A ．π13
B ．π16
C ．π25
D ．π27
11．给出下列函数：①x x x f sin )(=；②x e x f x +=)(；③)1ln()(2x x x f -+=． 0>∃a ，使得0)(=⎰-a
a dx x f 的函数是（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．①②③
12．设直线t y =与曲线2)3(-=x x y 的三个交点分别为),(t a A 、),(t b B 、),(t c C ，且
c b a <<．现给出如下结论：
①abc 的取值范围是)4,0(；②2
22c b a ++为定值；③a c -有最小值无最大值．
其中正确结论的个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
二．填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分． 开始
1,0==S a n S S 2⋅= 1+=a a 输出s 结束
否S z 2log = 是 ?3>a
2 2
3 2 2 正视图 侧视图 第10题图 俯视图
9．53)1
(x x -展开式的常数项是 ．
10．已知向量)2,1(=a ，)0,1(=b ，)4,3(=c ，若λ为实数，c b a ⊥+)(λ，则λ的值为 ．
11．宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“菱草形段”第一个问题“今有菱草六百八十束，欲令‘落一形’捶（同垛）之，问底子（每层三角形边菱草束数，等价于层数）几何？”中探讨了“垛积术”中的落一形垛（“落一形”即是指顶上1束，下一层3束，再下一层6束，, 成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示第二层开始的每层菱草束数），则本问题中三角垛底层菱草总束数为 ．
16．在A B C ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，M 是BC 的中点，2=BM ，b c AM -=，则ABC ∆面积的最大值为 ．
三．解答题：本大题共8小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足23-=n n S a （∈n N *
）．
（1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）求数列}{n na 的前n 项和n T ．
18．（本小题满分12分）
未来制造业对零件的精度要求越来越高．3D 打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件．该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有发展空间．某制造企业向A 高校3D 打印实验团队租用一台3D 打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10件零件，
度量其内径的茎叶图如图（单位：m μ）
（1）计算平均值μ与标准差σ； （2）假设这台3D 打印设备打印出品的零件内径Z 服从正态分布),(2σμN ，该团队到工厂安装调试后，
试打了5个零件，度量其内径分别为（单位：m μ）：86、95、103、109、118，试问此打印设备是否需要进一步调试？为什么？ 9 7 7 8
10 2 5 7 8 9
11 3 4
参考数据：9544.0)22(=+<<-σμσμZ P ，9974.0)33(=+<<-σμσμZ P ，87.09544.03=，99.09974.04=，002.00456.02=．
19．（本小题满分12分）
如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面⊥C C AA 11侧面11A ABB ，AB AA AC 21==， ︒=∠6011C AA ，1AA AB ⊥，H 为棱 1CC 的中点，D 在棱1BB 上，
⊥D A 1面H AB 1．
（1）求证：D 为1BB 的中点；
（2）求二面角A D A C --11的余弦值．
20．（本小题满分12分） 已知椭圆Γ：122
22=+b
y a x （0>>b a ）的一个顶点为)0,2(A ，且焦距为2，直线l 交椭圆Γ于E 、F 两点（点E 、F 与点A 不重合），且满足AF AE ⊥．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）O 为坐标原点，若点P 满足OF OE OP +=2，求直线AP 的斜率的取值范围．
21．（本小题满分12分）
设常数0>λ，0>a ，x a x
x x f ln )(2
-+=λ． （1）当λ4
3=a 时，若)(x f 的最小值为0，求λ的值； （2）对于任意给定的正实数λ、a ，证明：存在实数0x ，当0x x >时，0)(>x f ．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时写清题号．
22．（本小题满分10分）
选修4—1：几何证明选讲
如图，四边形ABCD 是圆内接四边形，BA 、CD 的延长线交于点P ，且AD AB =，BC BP 2=．
A B 1A C 1B
1C
D
（1）求证：AB PD 2=；
（2）当2=BC ，5=PC 时，求AB 的长．
23．（本小题满分10分）
选修4—4：坐标系与参数方程选讲 已知直线l 的方程为4+=x y ，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+==θ
θsin 22cos 2y x （θ为参数），以原点为极
点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．
（1）求直线l 与圆C 的交点的极坐标；
（2）若P 为圆C 上的动点，求P 到直线l 的距离d 的最大值．
24．（本小题满分10分）
选修4—5：不等式选讲
已知函数a x x f +-=|2|)(，|4|)(+=x x g ，∈a R ．
（1）解不等式a x g x f +<)()(；
（2）任意∈x R ，2
)()(a x g x f >+恒成立，求a 的取值范围．
答案：
一．选择题 CDDCBC CABDBA
二．填空题
13．10- 14．11
3- 15．120 13．32 A B
C D
P。