二次函数九大题型
二次函数 经典题型详解
二次函数经典题型详解
二次函数是数学中的一个重要概念，它在代数、几何和三角学中都有广泛的应用。
下面是一些经典的二次函数题型及其解答方法。
1. 求二次函数的解析式
题目：已知二次函数的图像经过点(1,0)，(2,0)和(3,4)，求这个二次函数的
解析式。
解法：设二次函数的解析式为 $y = a(x - 1)(x - 2)$，将点(3,4)代入解析式，得到 $4 = a(3 - 1)(3 - 2)$，解得 $a = 2$，所以这个二次函数的解析式为$y = 2(x - 1)(x - 2)$。
2. 求二次函数的顶点坐标和对称轴
题目：已知二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的对称轴为 $x = 1$，且经过点(0,3)，求这个二次函数的解析式。
解法：由于对称轴为 $x = 1$，所以顶点的横坐标为 1，设顶点坐标为$(1,m)$，将点 (0,3) 代入解析式 $y = a(x - 1)^2 + m$，得到 $3 = a(0 -
1)^2 + m$，解得 $a = 3 - m$，所以这个二次函数的解析式为 $y = (3 - m)(x - 1)^2 + m$。
3. 求二次函数的最大值或最小值
题目：已知二次函数 $y = x^2 - 2x$，求这个二次函数的最小值。
解法：由于 $a = 1 > 0$，所以这个二次函数的最小值为顶点的纵坐标，即$\frac{4ac - b^2}{4a} = \frac{4 \times 1 \times (-2) - (-2)^2}{4 \times 1} = -\frac{3}{4}$。
二次函数详解(附习题、答案)
⑵ 沿轴平移：向左（右）平移 个单位， 变成 （或 ）
四、二次函数 与 的比较
从解析式上看， 与 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即 ，其中 ．
五、二次函数 图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数 化为顶点式 ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 轴的交点 、以及 关于对称轴对称的点 、与 轴的交点 ， （若与 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
七、二次函数解析式的表示方法
1.一般式： （ ， ， 为常数， ）；
2.顶点式： （ ， ， 为常数， ）；
3.两根式： （ ， ， 是抛物线与 轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 轴有交点，即 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
向下
X=h
时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 ．
4. 的性质：
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
X=h
时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 ．
向下
X=h
时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 ．
三、二次函数图象的平移
二、二次函数的基本形式
1.二次函数基本形式： 的性质：
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 ．
初三二次函数压轴题题型归纳及方法
初三二次函数压轴题题型归纳及方法一、题型归纳初三二次函数压轴题主要包括以下几种题型：1. 解二次方程：给出一个二次方程，要求求出其解。
2. 求顶点坐标：给出一个二次函数，要求求出其顶点坐标。
3. 求零点：给出一个二次函数，要求求出其零点。
4. 求最值：给出一个二次函数，要求求出其最大值或最小值。
5. 综合应用：将上述各种题型结合起来进行综合应用。
二、方法1. 解二次方程（1）将方程化为标准形式ax²+bx+c=0；（2）判断Δ=b²-4ac的正负性：如果Δ>0，则有两个不相等的实数根；如果Δ=0，则有两个相等的实数根；如果Δ<0，则无实数根，但可以得到一对共轭复数根；（3）根据公式x1=(-b+√Δ)/2a和x2=(-b-√Δ)/2a求得解。
2. 求顶点坐标（1）将二次函数化为标准形式y=ax²+bx+c；（2）利用公式x=-b/2a求得顶点的横坐标；（3）将横坐标代入原函数中求得顶点的纵坐标。
3. 求零点（1）将二次函数化为标准形式y=ax²+bx+c；（2）令y=0，解出方程ax²+bx+c=0；（3）根据解出的方程，用上述方法求出零点。
4. 求最值（1）将二次函数化为标准形式y=ax²+bx+c；（2）如果a>0，则函数有最小值，最小值为y0=c-b²/4a，顶点坐标为(-b/2a,y0)；如果a<0，则函数有最大值，最大值为y0=c-b²/4a，顶点坐标为(-b/2a,y0)。
5. 综合应用综合应用题目一般会给出一个实际问题，并要求利用二次函数进行建模和求解。
解决这类题目需要结合实际情况进行分析，并运用上述各种方法进行计算和推导。
三、注意事项1. 在解二次方程时，需要注意判别式Δ的正负性，以确定是否有实数根。
2. 在求顶点坐标时，需要注意顶点横坐标的符号和范围。
3. 在求零点时，需要注意解方程的过程和方法，并判断是否存在实数根。
二次函数九种类型
将军饮马最常见的三大模型
类型三
3. 如图，在∠OAB内有两点P、Q，在OA和OB各找一个点M、N， 使得四边形PMNQ周长最短（题眼）。 一般做法：题目中PQ距离 固定。所以只是求PM+MN+QN的最短距离。最终P’Q’+PQ即为所 求最短周长。M、N即为所求的点。 理由：作完对称后，由于 P’M=PM，Q’N=QN，所以 PM+MN+QN=P’M+MN+Q ’N。所以就化成了求P’到Q’ 的最短距离，所以相连即 可。
【自主探究】
如何求图中阴影部分的面积？
y
y E B x A O D 图二 y P A x
O
A
O
B
x
C 图一 y D O 图三 C
B
x
图四
【自主探究】
如何求图中阴影部分的面积？
M y
y
D
C
E N O A x
B O E x
图五
图六
【反思归纳】
（1）一般取在
坐标轴 上的线段为底边.
（2）三边均不在坐标轴上的三角形及不规则 多边形需把图形 转化 。即采用割或补的 方法把它转化成易于求出面积的图形.
初中二次函数经典题型
初中二次函数经典题型
初中二次函数的经典题型包括求解二次方程、求顶点、判断开口方向等。
以下是其中几个题型及解析：
1. 求解二次方程：
题目：解方程2x^2 - 5x + 3 = 0。
解析：可以使用因式分解、配方法或求根公式等方法来解这个方程。
其中，求根公式是一种常用的方法。
根据求根公式，对于一般形式的二次方程ax^2 + bx + c = 0，它的解为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
将方程2x^2 - 5x + 3 = 0带入公式，可以求得x的解。
2. 求顶点：
题目：求二次函数y = 3x^2 + 4x - 2的顶点坐标。
解析：二次函数的顶点坐标可以通过公式x = -b / (2a)和将x带入函数中得到y来求解。
将函数y = 3x^2 + 4x - 2带入公式，可以求得x的值，然后将x带入函数中计算得到y的值，从而得到顶点坐标。
3. 判断开口方向：
题目：判断二次函数y = -2x^2 + 3x - 1的开口方向。
解析：二次函数的开口方向可以通过二次项的系数a来判断。
如果a > 0，则开口向上；如果a < 0，则开口向下。
对于函数y = -2x^2 + 3x - 1，由于二次项的系数a = -2小于0，所以开口方向是向下的。
这些是初中二次函数的一些经典题型及解析。
通过理解和掌握这些题型的解法，可以提高对二次函数的理解和应用能力。
同时，还可以通过做更多的练习题来巩固和提高解题技巧。
二次函数知识点总结和题型总结
二次函数知识点总结和题型总结y=ax^2+bx+c，则最值为-(b^2-4ac)/(4a)）二次函数是高中数学中的重要内容之一，它的基本形式为y=ax^2+bx+c。
其中，a、b、c均为常数，且a不等于0.二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向和顶点坐标与a的符号有关。
当a大于0时，抛物线开口向上，顶点坐标为(-b/2a。
c-b^2/4a)，对称轴为x=-b/2a；当a小于0时，抛物线开口向下，顶点坐标为(-b/2a。
c-b^2/4a)，对称轴为x=-b/2a。
而最值则可以根据解析式直接求出。
除了基本形式外，二次函数还有其他形式，如y=a(x-h)^2+k和y=ax^2+c。
它们的图像形态、顶点坐标、对称轴和最值也有相应的规律。
对于二次函数的题目，需要根据题目中给出的条件确定函数的具体形式，然后再利用对称轴、顶点、最值等性质解决问题。
练时要多做一些不同形式的二次函数题目，熟练掌握各种形式的性质和解题方法。
同时，也要注意二次函数的概念、基本形式和常见变形的记忆，以便在解题时能够迅速确定函数的形式。
1.若二次函数y=ax^2+bx+c的最值为k，则a>0且最值点为(-b/2a,k)。
2.已知抛物线经过坐标原点，即y=0时，x=0，则代入抛物线方程可得m=0.3.抛物线y=x^2+3x的顶点坐标为(-3/2,-9/4)，位于第二象限。
4.代入点(2,0)可得a=3/2，顶点坐标为(2/3,-1/4)，距离原点的距离为14/3.5.若直线y=ax+b不经过二、四象限，则抛物线y=ax^2+bx+c开口向上，对称轴是y轴。
6.二次函数y=mx^2+(m-1)x+m-1的最小值为1/4，代入可得m=3/2.7.平移步骤：确定抛物线的顶点坐标，然后根据平移规律进行平移。
8.抛物线y=x^2+4x+9的对称轴为x=-2，开口向上，顶点坐标为(-2,1)。
9.抛物线y=2x^2-12x+25的开口向上，顶点坐标为(3,1)。
二次函数的考试常见题型
⼆次函数的考试常见题型⼆次函数的考试常见题型1.已知⼆次函数y=x2+4x．(1)⽤配⽅法把函数化为y=a(x-h)2+k(其中a，h，k都是常数且a≠0)的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标(2)求函数图象与x轴的交点坐标．2.⼆次函数y=12(x-4)2+5的图象的开⼝⽅向、对称轴、顶点坐标分别是？3.已知⼀抛物线与x轴的交点是A(-2，0)、B(1，0)，且经过点C(2，8)．(1)求该抛物线的解析式；(2)求该抛物线的顶点坐标．题型⼆、抛物线的平移1.(⽢肃兰州中考题)已知函数y=2x2的图象是抛物线，若抛物线不动，把x 轴、y轴分别向上、向右平移2个单位长度，那么在新坐标系下抛物线的解析式是？2.(上海中考题)在直⾓坐标平⾯内，⼆次函数图象的顶点为A(1，-4)，且过点B(3，0)(1)求该⼆次函数的解析式．(2)将该⼆次函数图象向右平移⼏个单位长度，可使平移后所得图象经过坐标原点?并直接写出平移后所得图象与x轴的另⼀个交点的坐标．3.抛物线y=12x2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得的抛物线表达式是？4.函数y=-2(x-1)2-1的图象可以由函数y=-2(x+2)2+3的图象先向____平移_____个单位长度，再向____平移_____个单位长度⽽得到.5.已知⼆次函数y=x2-bx+1(-1≤b≤1)，当b从-1逐渐变化到1的过程中,它所对应的抛物线位置也随之变动．下列关于抛物线移动⽅向的描述中，正确的是( )A.先往左上⽅移动，再往左下⽅移动B.先往左下⽅移动，再往左上⽅移动C.先往右上⽅移动，再往右下⽅移动题型三、⼆次函数图象的画法1.(⼴东梅州中考题)已知⼆次函数图象的顶点是(-1，2)，且过点（0，32）(1)求⼆次函数的表达式，并在图中画出它的图象；(2)求证：对任意实数m，点M(m，-m2)都不在这个⼆次函数的图象上．2. (安徽中考题)抛物线y=-x2+(m-1)x+m与y轴交于(0,3)点，(1)求出m的值并画出这条抛物线．。
初中数学二次函数常考题型
初中数学二次函数常考题型一、二次函数y = ax2 + bx + c的图像经过点(1,0)和(0,3)，且开口向下，则a的取值范围是？A. a > 1B. a < 0C. 0 < a < 1D. a = 0（答案：B）二、二次函数y = x2 - 4x + m的顶点在x轴上，则m的值为？A. 2B. 4C. -4D. 6（答案：B）三、抛物线y = -2x2 + 4x - 5的对称轴是？A. x = -1B. x = 0C. x = 1D. x = 2（答案：C）四、二次函数y = ax2 + bx + c，当x = -2时，y有最大值3，且图像经过点(1,-1)，则a的值为？A. -1B. -2C. 1D. 2（答案：B）五、抛物线y = x2 - 2x + 1与y轴的交点坐标是？A. (0,1)B. (1,0)C. (0,-1)D. (-1,0)（答案：A）六、二次函数y = ax2 + bx + c的图像与x轴有两个交点，且这两个交点间的距离为4，若其中一个交点的横坐标为1，则另一个交点的横坐标为？A. -5B. -3C. 3D. 5（答案：D）七、二次函数y = (x - 1)2 - 4的最小值是？A. -4B. 0C. -3D. 1（答案：A）八、抛物线y = 2x2 - 4x + 5向上平移2个单位后，得到的新抛物线的解析式是？A. y = 2x2 - 4x + 3B. y = 2x2 - 4x + 7C. y = 2x2 - 4x + 10D. y = 2x2 + 7（答案：B）。
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二次函数九大题型
1. 函数的定义
二次函数是指形如y=ax2+bx+c的函数，其中a,b,c是常数且a≠0。
它是
一个二次多项式，其自变量x的最高次数为2。
二次函数通常用来描述曲线和抛
物线的形状。
2. 九大题型
2.1 基本形式
基本形式的二次函数是y=ax2，其中a是常数。
这种形式的二次函数图像是一
个开口朝上或朝下的抛物线，关于 y 轴对称。
2.2 平移变换
平移变换是通过改变二次函数的参数来改变其图像在坐标平面上的位置。
具体地说，对于二次函数y=ax2+bx+c，平移变换可以通过调整参数 b 和 c 来实现。
•当 b > 0 时，图像向左平移；
•当 b < 0 时，图像向右平移；
•当 c > 0 时，图像向上平移；
•当 c < 0 时，图像向下平移。
2.3 翻转变换
翻转变换是通过改变二次函数的参数来改变其图像在坐标平面上的方向。
具体地说，对于二次函数y=ax2+bx+c，翻转变换可以通过调整参数 a 来实现。
•当 a > 0 时，图像开口朝上；
•当 a < 0 时，图像开口朝下。
2.4 缩放变换
缩放变换是通过改变二次函数的参数来改变其图像在坐标平面上的大小。
具体地说，对于二次函数y=ax2+bx+c，缩放变换可以通过调整参数 a 的绝对值来实现。
•当 |a| > 1 时，图像纵向压缩；
•当 |a| < 1 时，图像纵向拉伸。
2.5 对称轴和顶点
对称轴是指二次函数图像的中心轴线，它与抛物线的开口方向垂直。
对称轴的方程。
顶点是抛物线的最低点
可以通过求解二次函数的一阶导数为零得到：x=−b
2a
（当 a > 0）或最高点（当 a < 0），它位于对称轴上。
2.6 零点和交点
零点是指二次函数图像与 x 轴相交的点。
求解零点可以将二次函数设置为零并解
方程得到：ax2+bx+c=0。
交点是指二次函数图像与其他直线或曲线相交的点。
2.7 极值和最值
极值是指二次函数图像的最高点（当 a > 0）或最低点（当 a < 0）。
极值可以通过求解二次函数的一阶导数为零得到。
最值是指二次函数在定义域内取得的最大值或最小值。
2.8 函数增减性
函数增减性是指二次函数在定义域内的增减情况。
具体地说，对于二次函数y=
ax2+bx+c：
•当 a > 0 时，函数在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增；
•当 a < 0 时，函数在对称轴左侧递增，在对称轴右侧递减。
2.9 零点个数和判别式
零点个数是指二次函数图像与 x 轴相交的点的个数。
零点个数可以通过判别式
b2−4ac来确定：
•当判别式大于零时，有两个不同的实根；
•当判别式等于零时，有一个重复的实根；
•当判别式小于零时，没有实根。
总结
通过对九大题型进行详细解释，我们可以更好地理解和应用二次函数。
二次函数不仅可以描述抛物线的形状，还可以通过平移、翻转和缩放变换来改变其图像的位置、方向和大小。
我们可以利用对称轴、顶点、零点、交点、极值、最值和增减性等特性来分析和解决与二次函数相关的问题。
同时，判别式也是一个重要的工具，它可以帮助我们确定二次函数是否有实根以及实根的个数。
希望本文对你理解二次函数九大题型有所帮助！。