上海市沪教版(五四制)六年级第一学期第三章比和比例：比的意义和性质讲义
沪教版六年级数学讲义 第14讲 比例及其性质
第14讲 比例及其性质【学习目标】比例及其性质是六年级数学上学期第三章第1节的内容．重点是理解比例的意义和比例的有关概念，掌握比例的性质．难点是根据比例的基本性质正确地进行比例的有关运算，为之后学习利用比例的基本性质解决相关的实际问题做好准备．【基础知识】一：比例的相关概念1.比例a 、b 、c 、d 四个量中，如果a : b = c : d ，那么就说a 、b 、c 、d 成比例，也就是表示两个比相等的式子叫做比例．比例a : b = c : d 也可以表示为a cb d=． 其中a 、b 、c 、d 分别叫做第一、二、三、四比例项． 2.比例外项和比例内项如果a : b = c : d ，那么第一比例项a 和第四比例项b 叫做比例外项，第二比例项b 和第三比例项c 叫做比例内项． 3.比例中项对于一个比例而言，如果两个比例内项相同，即a : b = b : c ，那么把b 叫做a 和c 的比例中项．二：比例的基本性质1.比例的基本性质如果::a b c d =或a cb d=，那么ad bc =．反之，如果a 、b 、c 、d 都不为零，且ad bc =，那么::a b c d =或a c b d=． 两个外项的积等于两个内项的积．【考点剖析】考点一：比例的相关概念例1．在比例9 : 12 = 3 : 4中，9是第______比例项，3是第______比例项，9和4叫做____________，12和3叫做____________． 【难度】★【答案】一；三；比例外项；比例内项．【解析】若::a b c d =，则a b c d ，，，对应成比例，其中a b c d ，，，分别叫做第一、二、 三、四比例项，a d ，也叫比例外项，b c ，也叫比例内项．【总结】考查比例的定义．例2．比例4263=中，比例内项是______，比例外项是______．【难度】★【答案】6和2；4和3．【解析】若::a b c d=，则a cb d=，所以比例内项是b c，，比例外项是a d，．【总结】考查比例的定义．例3．在比例1 : 3 = 3 : 9中，3可以叫做第______比例项，也可以叫做______比例项，还可以叫做1和9的____________．【难度】★【答案】二，三；比例中项．【解析】若一个比例式的两个内项相同时，即::ca b b=，我们就把b叫做,a c的比例中项．【总结】考查比例中项的定义．例4．下列说法中正确的是（）A．由两个比组成的式子叫做比例B．2、0.4、0.8、4能组成比例式C．1与0.1的比值是10 : 1D．如果两个正方形的边长之比是2 : 5，那么它们的面积之比是2 : 5【难度】★【答案】B【解析】由两个比值相等的比构成的式子叫做比例；1与0.1的比值是10，而不是10:1；正方形的面积比是边长的平方比．【总结】考查比和比例的相关概念．例5．下列四组数中，不能组成比例的是（）A．1、2、4、8 B．1、9、3、3C．1、0.3、5、1.5 D．2、4、6、8【难度】★★【答案】D【解析】四个量,,,a b c d，能组成两个比值相等的式子，则这四个量可以组成比例，所以D 选项是不能组成比例的．【总结】考查比例的定义．例6．判断下列各组数能否写出比例，如果能组成比例，请写出比例式．（1）2，3，4，6 （2）1，2，2，4（3）0.1，0.3，0.5，1.5 （4）12，13，14，15【难度】★★【答案】（1）可以，如2:34:6=；（2）可以，如1:22:4=；（3）可以，如0.1:0.30.5:1.5=；（4）不可以构成比例．【解析】四个量,,,a b c d，能组成两个比值相等的式子，则这四个量可以组成比例．【总结】考查比例的定义．例7．用2、4、6再配一个比这三个数都大的数______，就能使四个数组成比例．【难度】★★【答案】12．【解析】添加一个数，使得它与2、4、6构成比例，这个数有三种情况，（1）:24:6x=，解得43x=；（2）2:4:6x=或2:4:6x=，解得3x=；（3）2:46:x=中的12x=，需要运用比例的基本性质：内项积等于外项积求解x，最大的数是12．【总结】考查比例的基本性质．例8．下列说法中错误的是（）A．如果两个比的比值相等，那么这两个比一定可以组成比例B．如果四个数a、b、c、d能组成比例，则::a b c d=C．已知::a b c d=，则::a cb d=D．若:33:a b=，则9a b=【难度】★★【答案】B【解析】如果四个数a、b、c、d能组成比例，则组成的比例情况不唯一，所以B是不正确的，C、D选项可以用比例的基本性质解释．【总结】考查比例的基本概念及基本性质．例9．写出三个不同的比，使得它们都能和2 : 5组成比例式．【难度】★★【解析】答案不唯一，只要这个比的最简整数比是2:5即可．【总结】考查比例的定义．比，等同于算式中等号左边的式子，是式子的一种（如：a:b）；比例，由至少两个称为比的式子由等号连接而成，且这两个比的比值是相同（如：a:b=c:d）。
比和比例沪教版六年级第三章知识点
比和比率 ( 沪教版六年级第三章知识点)比的观点： a,b 是两个数或许两个同类的量,为了把b和a对比较,将a和b相除,叫做aa和 b 的比 ,记作 a:b 或写成b,此中 b≠0；读作 a 比 b 或 a 与 b 的比 .比值：在 a： b 中 ,a 叫做比的前项 ,b 叫做比的后项 ,前项 a 除此后项 b 所得的商叫做比值 . （比值是一个数 ,能够用分数、小数或整数表示 .）比和比值的差别：从意义上看 ,比表示两个数的运算,而比值是结果；从写法上看 ,比一定有前、后项 ,且都是数 ,能够是整数、小数或分数；而比值自己就是一个数,能够是整数、小数或分数 ,若写成分数必定假如最简分数 .用比的方法 ,能够知道 a 是 b 的几倍（几分之几）注意： 1 、比表示两个量的关系,比值是数值 ,不含比号 .（注意划分比和比值）2、求两个同类量的比值时,假如单位不一样 ,一定把这两个量化成同样的单位 .3、比是有序的 ,比的前项、后项不可以颠倒 .4、比值能够是整数、小数,也能够是分数 .5、假如把比写成分数形式,在约分时 ,分母中出现“ 1”表示比的后项 ,不行省略不写 .6、小数比化为最简整数比,先把比的前项和后项化成整数,再来化简 .比、分数和除法三者之间的关系是：名称差别联系比2:3表示两个前项（：）后项比值数的关系比号除法2÷3表示一种被除数（÷）除数商运算除法分数2表示一种分子（─）分母分数值3数即：比的前项相当于分数的分子和除法中的被除数；比的后项相当于分数的分母和除法中的除数；比值相当于分数的分数值和除法中的商.除法商不变性质：被除数和除数同时乘以或许除以同样的数（0 除外）它们的商不变.分数的基天性质：分数的分子与分母都乘以或许都除以同一个不为零的数, 所得的分数与原分数的大小相等.比的基天性质： 比的前项和后项同时乘以或许除以同样的数（0 除外） ,比值不变 .能够化为最简整数比 .注意：1、整数比的化简就是用比的前项和后项同时除以它们的最大公因数 ,直至两个前项和后项互素；2、分数比的化简能够把比式当作除式 ,直接进行分数除法运算（假如用除法化简的结果是整数 ,那么分母 1 不可以省略 ,把商化成比的形式）；3、小数比的化简先把比的前项和后项化成整数 ,再来化简；4、带有单位的比的化简 ,先把单位一致后在化简.最简整数比 是指比的前项与后项都是整数且它们互素.（比中的各数除了 1 以外 ,没有其他的公因数 ,这样的比称为最简整数比.）在化最简整数比时 ,若比的各项都是整数 ,只要每项除以各项的最大公因数 , 即化为最简整数比；若比项中出现分数（或小数） ,那么先化成整数比 ,在除以各项的最大公因数 .三项连比的性质1、假如 a ： b=m ： n ；b ： c=n ：k, 那么 a ： b ：c=m ： n ： ka b c2、假如 k ≠0,那么 a ： b ： c=ak ： bk ： ck= k ： k ：k注意： 1 、三个数（或多个数）的比也是有序的.2 、一般的 ,假如 a ： b=m ：n,b ： c=p ： q,（此中 n ≠0,p ≠0,q ≠0,n,p 互素） ,那么连比a ：b ： c=mp ：np ： nq 在求三个数的连比时,就是要把两个比中同样字母所对应的项上的数化成同样的数,而后再写出连比的形式 .写连比时要注意三个数字的前后次序 .比率尺 =图上距离：实质距离比率比率： a 、b 、 c 、d 四个量中 ,假如 a ： b=c ： d,那么就说a 、b 、c 、d 成比率 ,也就是表示两个比相等的式子叫做比率 .（此中 a、b 、 c、 d 分别叫做第一、二、三、四比率项 ,第一比率项 a 和第四比率项 d 叫做比率外项；第二比率项 b 和第三比率项 c 叫做比率内项 .）假如两个比率内项同样,即 a ： b=b ： c,那么把 b 叫做 a 和 c 的比率中项 .比率的基天性质：（内项之积等于外项之积）a c即 ,假如 a ：b=c ： d 或b d,那么 ad=bc, 反之 ,假如 a、 b 、 c、 d 都不为零 ,且 ad=bc, 那么a ca ： b=c ： d 或bd .a c比率的基天性质可进行比率变形,常用的变形有：b da b互换两内项得：c d1、d c互换两外项得：b a2、d b同时互换两个内、外项得：c a3、百分比n百分比：把两个数目的比值写成100的形式,称为百分数,也叫做百分比或百分率,记作20n%, 读作百分之n.符号“ % ” ,叫做百分号 .比如 20% 就是100,读作百分之二十.百分数是一种特别的倍数关系,一个特别的比,它的后项是一个固定的数100, 所以又称为百分率或百分比.因为百分数是分母为100 的特别分数 ,既能直观的反应部分与整体的关系,又便于比较 ,所以在工农业生产和生活中运用比较宽泛.分数既能够表示一个数,也能够表示两个数的比；百分数只好表示两个数的比,后边不可以带单位名称 .小数化成百分数：小数化成百分数,将小数点向右移两位,同时在右边增添百分号.3 / 5百分数化成小数：将百分号前的数字的小数点向左移两位,同时去掉后边的百分号.（分数化成小数不可以除尽用“≈” ,小数化成百分数用“=” .）百分比的实质应用及格人数及格率100总人数％合格产品数合格率100产品总数％增添的产量增产率100本来的产量％实质出勤人数出勤率100应当出勤人数％得票数得票率100总的投票数％增添的数增添率100本来的基数％盈余100售价 -成本100盈余率成本成本％ =％损失100成本 -售价100损失率成本成本％ =％恩格尔系数食品花费支出总数100花费支出总数％一个百分点相当于1%, 它是剖析百分比增减改动的一种表现形式.九五折就是原价的95%一成相当于10%利息 =本金×利率×期数等可能事件概率：关于一个随机事件 A 我们把表示其发生可能性大小的数值称为随机事件 A 发生的概率 ,记为 P（A）发生的结果数P= 全部等可能的结果数（ P 是概率的英文单词probability首字母）。
2016年秋季沪教版五四制六年级数学上学期3.1、比的意义教案3
3.4（2）百分比的意义教学目标1.会把百分数化成小数、分数，反之也能把小数、分数化成百分数;2.尝试多角度分析问题、解决问题，并经历对解题过程的反思，丰富和积累对具体问题的操作探究的经验；3.通过与他人交流合作，培养语言表达能力和协作精神。
教学重点与难点掌握百分数、小数、分数的互化,方法合理并计算准确。
教学用具准备多媒体设备教学过程设计第二课时一、复习旧知识，提出新问题1．什么是百分数？2．百分数是一个怎样的分数？3．能否把百分数化成以前学过的小数、分数？讨论：百分数、分数、小数三数之间有何区别和联系？二、探索新知：例1．将下列百分数化成最简分数。
62% 55% 37.5% 125%[说明]把百分数化成最简分数时，先将百分数写成分母是100的分数，再进行约分。
若不能直接进行约分，则先将分子分母利用分数的基本性质扩大相同的倍数后再进行约分。
试一试：你能否把小数0.4化成百分数呢？例2．将下列小数或整数化成百分数0.47 0.028 2.73 0.3 1[说明]1．试一试的安排目的在于通过学生自主思考，锻炼其探索能力。
2．因为学生已经学过小数化成分数这一知识点，所以很可能出现以下情况：把小数0.4先化成分数4/10，再利用分数的基本性质化成分母是100的分数40/100，从而得到0.4=40%3．引导学生观察： 从自己得到的结论中观察小数点的移动情况。
4．学生自主小结：小数化成百分数时，添加百分号并将小数点往右移两位。
当位数不够时应用零补足例3．将下列百分数化成小数或整数。
40.2% 125.2% 0.52% 200%[说明]1．例2与例3是两个互逆的过程。
2．学生自主小结：百分数化成小数时：去除百分号并将小数点往左移两位。
当位数不够时应用零补足。
例4．将下列分数化成百分数。
41 85 57 31[说明]1．将例4的题目要求作了变动，不限制方法，拓宽学生思路2．学生归纳：根据不同的分数的特点，采用合理的方法把分数化成百分数3．把分数化成百分数时，一般把分数先化成小数，再把小数化成百分数。
03-第三章-比和比例-六年级(上)-知识点汇总-沪教版
第三章比和比例3.1比的意义1、将a与b相除叫a与b的比，记作a：b，读作a比b2、求a与b的比，b不能为零3、a叫做比例前项，b叫做比例后项，前项a除以后项b的商叫做比值4、求两个同类量的比值时，如果单位不同，先统一单位再做比5、比值可以用整数、分数或小数表示3.2 比的基本性质1、比的基本性质是比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（0除外），比值不变2、利用比的基本性质，可以把比华为最简整数比3、两个数的比，可以用比号的形式表示，也可以用分数的形式表示4、三项连比性质是：如果a：b=m：n，b：c=n：k，那么a：b：c=m：n：k如果k≠0，那么a：b：c=ak：bk：ck=ak：bk：ck5、将三个整数比化为最简整数比，就是给每项除以最大公约数；将三个分数化为最简整数比，先求分母的最小公倍数，再给各项乘以分母的最小公倍数；将三个小数比化为最简整数比先给各项同乘以10,100,1000等，化为整数比，再化为最简整数比6、求三项连比的一般步骤是：（1）寻找关联量，求关联量对应的两个数的最小公倍数（2）根据毕的基本性质，把两个比中关联量化成相同的数（3）对应写出三项连比3.3 比例1、a（第一比例项）：b（第二比例项）= c（第三比例项）：d（第四比例项）；其中a、d叫做比例外项，b、c叫做比例内项2、如果两个比例内项（外项）相同，即a：b=b：c，那么b叫做a、c的比例中项3、利用比例的基本性质，可以把比例方程转化化为我们常见的形式ad=bc，简单的说，就是内项之积等于外项之积4、列方程解应用题的一般书写步骤分四步：（1）设未知数（2）列方程（3）解方程（4）答5、列比例方程时，一定要注意对应关系，一定要注意同类量的单位要对应统一3.4 百分比的意义1、表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，表示n ％，读作百分之……2、把百分数化为小数3、 把小数化为百分数3.5 百分比的应用1、 三个关键词：是，占，的2、 一条主线：求部分占全体的百分数；3、 三类情景：一般文字题，统计图和统计表，恩格尔系数4、 赢利问题的两个基本公式： 售价－成本=赢利 赢利率=赢利／成本×100％；在售价、成本和赢利三个量中，只要知道其中的两个量，就可以计算出赢利率5、 打折问题的一个基本公式：原（售）价×折数=现（售）价；在原价、现价和折数三个量中，只要知道其中两个量，就可以计算出第三个量6、 亏损时赢利意义相对的量：赢利=售价－成本，亏损=成本－售价7、 银行利息的结算和本金、利率和期数有关（注意：贷款利息不纳税）利息=本金×利率×期数；利息税=利息×20％；税后本息和=本金＋税后利息=本金＋利息－利息税=本金＋利息×（1－20％）增长率=增长的量／原来的基数×100％3.6 等可能事件1、 从实际生活中感悟那些事件是可能事件，哪些事件是不可能事件2、 可能性的大小可以用一个真分数或百分数表示第三章 比和比例（90分钟， 100分）一、 填空题 （每题3分，共36分）1．求比值：15∶151=. 2．求比值：0.2kg ∶120g=..3．化简：54∶65=. 4．化简：117∶78∶51=.5．2+0.25%= .6．已知：x ∶y =2∶3，y ∶z =6∶5，则x ∶y ∶z =.7．一幅地图，图上20厘米表示实际距离10千米，这幅地图的比例尺是8．某人看书，看了全书20%，还剩240页没看，这本书共有页.9．如果6a ＝５ｂ，那么a ：ｂ＝_____： ____.10．一件衣服打八折后便宜32元，这件衣服原价是元.11. 已知：,5135.7:=x 那么x = . 12. 12个型号相同的杯子，其中一等品有7个，二等品有3个，三等品有2个.从中任意取1个，取到二等品的可能性的大小是 .二、选择题 (3分×4=12分)13．下列各比中，能与12∶6组成比例的是 （ ）（A ）1∶2; （B ）2∶1; （C ）0.4∶2; （D ）0.1∶0.5.14．把4.5、7.5、21 、 103这四个数组成比例，其内项的积是 （ ）. （A ）1.35 （B ）3.75 （C ）33.75 （D ）2.2515．在一幅地图上，量得A 、B 两城市距离是7厘米，这幅地图的比例尺是1∶500000，那么A 、B 两城市之间的实际距离是 （ ）（A ）3．5千米 （B ）150千米 （C ）35千米 （D ）350千米16．某商品打九折后，价格是a 元，则原价是 （ ）（A ）0．9a 元 （B ）a （1-0.9）元 （C ）9.0a 元 （D ）9.01-a 元 三、化简连比(3分×3＝9)17．已知x ∶y =2∶3，x ∶z =21∶32，求x ∶y ∶z 的最简整数比.18．解比例（1）x =54∶215 （2）x ∶∶153121=四、解答题(6分×6+7分=43分)19．飞机每小时飞行480千米，汽车每小时行驶60千米，飞机飞行214小时的路程，汽车要行使多少小时？（用解比例的方法）20.小红读一本书,第一天读完后,已读的和未读的页数比是1∶5,第二天又读了30页, 已读的和未读的页数比变为3∶5,问这本书有多少页?21．某工厂去年计划生产小轿车320辆，实际生产360辆，求该厂去年的增产率。
沪教版六年级预初-比和比例的意义及应用
基本内容 比和比例的意义及应用知识精要（一） 比的意义比的意义：a 、b 是两个数或两个同类的量，为了把b 和a 相比较，将a 和b 相除，叫做a 与b 的比。
记作b a :，或写成ba，其中0≠b ；读作a 比b ，或a 与b 的比。
（其中a 叫做比得前项，b 叫做比的后项。
前项a 除以后项b 所得的商叫做比值） 比的基本性质：比得前项和后项同时乘以或除以相同的数（0除外），比值不变。
三项连比的性质：(1) 如果n m b a ::=，k n c b ::=，那么k n m c b a ::::=。
(2) 如果0≠k ，那么kck b k a ck bk ak c b a ::::::==。
例1. 从学校到上海书城，甲走了12小时，乙走了36分钟，则甲与乙平均速度的比值是多少？例2. 已知4:3:=b a ，6:5:=c b ，求c b a ::例3. 某仓库储存有粮食225顿，已知大米：面粉：杂粮=1:4:10，求大米、面粉、杂粮各有多少吨？例4. 甲、乙、丙三人从昆山同坐一辆出租车回家。
当行到全程的52时，甲下了车；当行到全程的53时，乙下了车；丙到终点才下车。
他们三人共付车费290元。
甲、乙、丙三人按路程的远近各付款多少元？（二） 比例的意义(1)表示两个比相等的式子叫比例。
组成比例的四个数都不能是0。
(3)比例的基本性质：在比例中，两个内项的乘积，等于两个外项的乘积 例如：180∶3=240∶4 两个内项相乘：3×240=720 两个外项相乘：180×4=720这两个乘积有相等的关系，如果把比例写成分数形式，等号两端的分子和分母分别交叉相乘，积也有这种关系，（4）如何判断两个比能否成比例：根据比例的意义和性质可以判断两个比能否组成比例 例5. 已知6是4和x 的比例中项，求x例6. 一个比例的两个内项互为倒数，一个外项是81，另一个外项是（ ） (5) 比例尺=图距：实际距离例7. 在比例尺是1：50000的地图上，A 、B 两地的图上距离是3厘米，那么A 、B 两地的实际距离是多少千米？例8. 将x 个物体按照:a b 的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两个人各自分配到的物体数量与x 的比分别为():a a b +和():b a b +，所以甲分配到______个，乙分配到例9. 两个类别A、B，元素的数量比为:a b(这里a b)，数量差为x，那么A的元素数量为______，B的元素数量为________拓展：例1. 已知甲、乙、丙三个数，甲的一半等于乙的2倍也等于丙的23，那么甲的23、乙的2倍、丙的一半，这三个数的比为多少？例2. 如下图所示，圆B与圆C的面积之和等于圆A面积的45，且圆A中的阴影部分面积占圆A面积的16，圆B的阴影部分面积占圆B面积的15，圆C的阴影部分面积占圆C面积的13．求圆A、圆B、圆C的面积之比．一、 填空题1. 2=()()183=2. 求比值，1.5小时：40分钟=3. 化成最简整数比，2：13：0.5= 4. 已知y x :=11:23，z y :=2：3，则z y x ::=5. 已知4：x =12：3，则x =_________6. 已知长方形的长和宽之比是4：3，长为16厘米，则宽为 厘米7. 已知8是23和x的比例中项，则x =____________ 8.25:36= ：15 9. 已知x 是y 的_______，则x y :=5:210. 100米赛跑中小明用了14秒，小杰用了16秒，则小明与小杰的速度之比是__________11. 若a 的3倍是的b 的13，则a ：b =________ 12. 若2：3=（4-x ）：5，则x =_________13. 如果,235x y z x yz x+===-那么___________ 14. 若整数x 能与3、4、6这三个数组成比例，那么x =__________二、 选择题15. 将一个比的前项扩大2倍，后项缩小2倍后，这个比的比值与原比值相比（ ） A.扩大了 B.缩小了 C.不变 D.无法确定 16. 下列四组数中，不能组成比例的是（ ） A.2，3，4，6 B.1，2，2，4 C.0.1，0.3，0.5，1.5 D.1111,,,234517. 10克盐完全溶解在100克水中，则盐与盐水的重量比是（ ） A.1：10 B.10：1 C.1:11 D.11:118. 若a ：b=3：2，且b 2=ac ，则b ：c=（ ）A.3：4B.2：3C.3：2D.4：319. 如图所示，阴影部分的面积占大圆面积的15，占小圆面积的13，则大、小圆面积之比是（）A.5：3B.3：5C.3：2D.4：3三、简答题20. 已知35yx y=+，求x：y21. 已知x：y=1.5：1，y：z=25:36，求x：y：z四、解答题22. 在一张比例尺是1：6000000的地图上，量得上海到北京的距离是18厘米，那么上海到北京的实际距离是多少千米？23. 用比例方法求解：小明父亲工作3天可以得到450元，他工作一个月可以得到多少报酬？（一个月按22个工作日计）24. 用一根长120厘米的铁丝围成一个长方体（不计接头损耗）。
上海市六年级(上)数学 暑假讲义 第13讲 比的意义与性质简单(解析版) -
比的意义和比的基本性质是六年级数学上学期第三章第一节的内容，通过本讲的学习，同学们需要理解比和比值的意义、能区分比和比值、熟练地求解比和比值，同时要理清比与除法、分数等概念之间的联系和区别，也必须理解比的基本性质，并能熟练运用这个性质进行最简整数比的化简和连比的求解．1、 比和比值a 、b 是两个数或两个同类的量，为了把b 和a 相比较，将a 与b 相除，叫做a 与b的比．记作a : b ，或写成ab，其中0b ；读作a 比b ，或a 与b 的比．a 叫做比的前项，b 叫做比的后项． 前项a 除以后项b 所得的商叫做比值． 2、 比、分数和除法的关系比：前项：后项 = 比值；分数：分子分母= 分数值；除法：被除数÷除数 = 商． 比的前项相当于分数的分子和除式中的被除数； 比的后项相当于分数的分母和除式中的除数； 比值相当于分数的分数值和除式的商． 3、 比、分数和除法的区别 比是表示两个数关系的式子，分数是一个数，除法是一种运算．比的意义与性质内容分析知识结构模块一：比的意义知识精讲【例1】在5:4 1.25=中，5是比的______，1.25是比的______．【答案】前项；比值．【解析】:a b读作a b比，其中a叫做比的前项，b叫做比的后项，前项除以后项所得的商叫做比值．【总结】考查比和比值的意义．【例2】213=____÷3 =____ : 3．【答案】55；．【解析】由题意，得251535:333==÷=，分数的分子相当于除法的被除数，相当于比的前项，分数的分母相当于除法的除数，相当于比的后项．【总结】考查分数、除法、以及比之间的关系．【例3】某班有男生23人，女生22人，则男生人数与女生人数的比为______，女生人数与全班人数的比为______．【答案】23:22；22:45．【解析】注意审题即可，女生与全班人数之比为22:(2322)22:45+=．【总结】考查比的意义，及部分与整体的关系．【例4】求下列各个比的比值：（1）24 : 4；（2）15 : 25；（3）13:24；（4）11:0.52．【答案】（1）6；（2）35；（3）23；（4）3．【解析】比的前项除以后项所得的商是比值，注意比值的结果可以用分数也可以用小数表示，千万不能写成:a b的形式．【总结】考查比值的求法．例题解析2/ 14【例5】下列各数中，与3 : 2不相等的是（）A．1.5 B．23C．32D．128【答案】B【解析】已知33:22=，由题意B是不符的．【总结】考查分数的基本性质及比值的意义．【例6】如果甲数是乙数的5倍，那么甲数和乙数的比是______．【答案】5:1．【解析】若甲是乙的5倍，则甲：乙＝5:1．【总结】考查两数之比的表示方法．【例7】比的前项是38，比的后项是223，则它们的比值是______．【答案】964．【解析】由题意，得3238339 283838864÷=÷=⨯=．【总结】考查比值的意义．【例8】王奶奶买了2斤苹果用去10.8元，买了3斤梨用去12元，苹果与梨的单价比的比值是______．【答案】1.35．【解析】苹果单价：10.82 5.4÷=元，梨的单价：1234÷=元，苹果与梨的单价之比为275.4:4 5.44 1.3520=÷=或．【总结】考查比的基础应用．【例9】夏日炎炎，商店需调制一种夏日特饮：青柠雪碧，要求青柠汁与雪碧的质量之为1 : 200，这个比的意义是（）A．每200克饮料中含1克青柠汁B．每1克青柠汁配200克雪碧C．青柠汁比雪碧少199克D．雪碧比青柠汁多199克【答案】B【解析】青柠汁和雪碧的质量之比为1:200，是指1份青柠汁配200份雪碧，不一定指青柠汁一定是1克，雪碧一定是200克，另外，A选项应该是201克饮料中含有1克青柠汁．【总结】考查比的基本意义．【例10】求下列各个比的比值：（1）40分钟: 1.5小时；（2）16小时: 5天；（3）4千克: 500克；（4）20cm : 0.6m．【答案】（1）49；（2）215；（3）8；（4）13．【解析】求各项的比值，当两者单位不一样时，需要先统一单位，比如40分钟：1.5小时，需要统一为分钟，40分钟：90分钟＝49，其它都需要强调单位换算的进率．【总结】考查比值的意义．【例11】一个数的小数点向右移动三位，得到的数与原数的比是______．【答案】1000:1．【解析】一个数的小数点向右移动三位，这个数扩大1000倍，与原数之比为1000:1．【总结】考查小数点移动的意义．【例12】甲数是乙数的4倍，乙数是丙数的6倍，求甲数与丙数的比值．【答案】24．【解析】设丙数为1份，则乙数是6份，甲数是24份，所以甲数是乙数的24倍，甲与丙的比值为24．【总结】考查三个数之间的比的基础转换．模块二：比的基本性质知识精讲4/ 141、比的基本性质比的前项和后项同时乘以或者除以相同的数（0除外），比值不变．2、最简整数比比的前项和后项都是整数且互素，这样的比叫做最简整数比．注：题目中比的结果都必须化成最简整数比．3、三连比的性质1、如果::a b m n=，::b c n k=，那么::::a b c m n k=；2、如果0k≠，那么::::a b c ak bk ck=．【例13】化简下列各比：（1）6 : 10；（2）22:35；（3）0.7 : 0.9；（4）10.75:4．【答案】（1）3:5；（2）5:3；（3）7:9；（4）3:1．【解析】比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以同一个数（0除外），比值不变，运用于比的化简，比如要化简22:35，第一步是将比的前项和后项乘以分母的最小公倍数，化为整数比10:6，第二步将前项和后项的最大公因数约掉，化为最简整数比5:3．【总结】考查比的基本性质．【例14】把10克盐完全溶解在90克水中，则盐与盐水的质量之比是（）A．1 : 10 B．10 : 1 C．1 : 9 D．9 : 1【答案】A【解析】注意审题，盐水是盐和水的总和，盐比盐水为10:(1090)1:10+=．【总结】考查经典的盐和盐水的问题．例题解析6 / 14【例15】 甲数除以乙数的商是1.5，则甲数与乙数的最简整数比是____________． 【答案】3:2．【解析】甲数除以乙数的商就是甲数与乙数的比值，31.52=，因为:aa b b=，所以甲乙两数的最简整数比为3:2．【总结】考查比值与最简整数比之间的关系．【例16】 两个数的比值是43，则它们的最简整数比是______；如果比的前项与后项同时乘以3，它们的最简整数比是______．【答案】4:3；4:3．【解析】比值是一个最简分数时，分子就是比的前项，分母是比的后项，前项和后项同时乘以3，比值不变，最简整数比也不变．【总结】考查比值与最简整数比之间的关系，以及比的基本性质．【例17】 把下列连比化成最简整数比：（1）20 : 25 : 50；（2）258::369．【答案】（1）4:5:10；（2）12:15:16．【解析】（1）每一项都除以三项的最大公因数5，结果为4:5:10；（2）每一项都乘以分母的最小公倍数，结果为12:15:16．【总结】考查三项比的化简．【例18】 比的前项扩大2倍，后项缩小2倍，这个比的比值（ ）A ．扩大4倍B ．缩小4倍C ．比值不变D ．以上说法都不正确【答案】A【解析】前项扩大2倍，比值扩大2倍，后项缩小2倍，比值也扩大2倍，综合起来，比值扩大4倍．【总结】考查比的前项和后项与比值的变化关系．【例19】以下说法中，正确的个数是（）（1）比的前项和后项乘以一个相同的数，比值不变；（2）女同学占全班人数的49，则女同学和男同学的人数之比为4 : 5；（3）把20克糖溶解在100克水中，糖与糖水的质量比为1 : 6；（4）25厘米和15米的比值是53；（5）在4 : 8中，如果前项加上8，要使比值不变，后项应加上8．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】理解比的基本性质，要强调乘以（或除以）同一个不为零的数，所以（1）不对；女生占全部人数的49，则男生占全部人数的59，则女生与男生之比为4:5，所以（2）是对的；把20克糖溶解在100克水中，糖与糖水之比为20:1201:6=，所以（3）是对的；25厘米和15米单位不一样，所以比值不是53，所以（4）不对；4:8的前项加上8，增加了2倍，要使比值不变，后项也要增加2倍，也就是应该加上16，所以（5）是不对的．【总结】考查比的意义及基本性质的相关概念．【例20】化简下列各比：（1）511:196；（2）60.3::35；（3）125毫升: 0.6升；（4）1.2米: 40厘米: 8分米．【答案】（1）4:3；（2）1:4:10；（3）5:24；（4）3:1:2．【解析】比的化简，运用的是比的基本性质，比如第（2）题，有分数有小数，可以统一为小数，也可以统一为分数，60.3::30.3:1.2:33:12:301:4:105===，当比的各项单位不一样时，需要给学生强调统一单位再化简，以及注意结果是最简整数比，比如第（4）题，1.2米：40厘米：8分米＝120厘米：40厘米：80厘米＝3：1：2．【总结】考查比的基本性质．【例21】根据已知条件求a : b : c．（1）a : b = 2 : 3，b : c = 3 : 4；（2）a : b = 2 : 3，b : c = 6 : 5；（3）a : b = 3 : 2，b : c =41:153．【答案】（1）::2:3:4a b c=；（2）::4:6:5a b c=；（3）::9:6:10a b c=．【解析】三项连比的化简，先确定两个比是最简整数比，再确定哪一项是关联项，关联项统一为最小公倍数，这样三项连比才是正确的结果；（1）:2:3a b=，:3:4b c=，b在两个比中都是占3份，所以三项比的结果直接写::2:3:4a b c=；（2）:2:3a b=，:6:5b c=，b在第一个比中占3份，在第二个比中占6份，利用比的基本性质统一第一个比:4:6a b=，所以::4:6:5a b c=；（3）第二个比不是最简整数比，化简41::13:553b c==，b在两个比中，一个占2份，一个占3份，统一为6份，第一个比化为:9:6a b=，第二个比化为:6:10b c=，所以::9:6:10a b c=．【总结】考查三项连比的化简方法，这是一个教学重难点．【例22】写同样多的作业，小智用12分钟，小方用15分钟，那么小智与小方速度的最简整数比是____________．【答案】5:4．【解析】小智的时间12分，效率为112，小方的时间为15分钟，效率为115，效率就是速度，所以小智与小方的速度之比为11:15:125:41215==，也可以给学生拓展相等的工作量，速度比是时间的反比．【总结】考查行程（工程）问题中速度比的求解．【例23】甲数的35等于乙数的14，甲乙两数的比为__________．【答案】5:12．【解析】这一题考查比例的应用，由题意，得3154=甲乙，所以13=:5:1245=甲：乙．【总结】考查等积式与比例式之间的转换．8/ 14【例24】一项工程，甲队单独做3天完成，乙队单独做5天完成，丙队单独做6天完成，那么甲、乙、丙三队的工作效率之比为_________________．【答案】10:6:5．【解析】甲单独完成一件工作，3天，所以甲每天完成13，同理，乙每天完成15，丙每天完成16，三个工作队的效率之比为111::10:6:5356=．【总结】考查工程问题中效率之比的求法．【例25】5克盐完全溶解在100克水中．（1）求盐与水的质量比；（2）求盐与盐水的质量比；（3）要配制520千克这样的浓度的盐水，需要盐多少千克？【答案】（1）1:20；（2）1:21；（3）52021千克．【解析】（1）盐：水＝5:1001:20=；（2）盐：盐水＝1:21；（3）盐占盐水的121，要配置520千克这样浓度的盐水，需要盐15205202121⨯=千克．【总结】考查“盐水”问题中的相关比的求解．【习题1】下列说法中，不正确的是（）A．5与3的比值是5 3B．除法中的被除数相当于比的前项、分数中的分子C．若:3:5a b=，则a = 3，b = 5D．前项和后项是互素的，那么它们的比是最简整数比【答案】C【解析】若:3:5a b=，a b，的取值可以有无数种情况，所以C选项是错误的．【总结】考查比的相关概念辨析．【习题2】六（2）班春游时，有1人请事假，2人请病假，实际45人参加，缺勤人数与全班人数的比是（）A．1 : 15 B．3 : 45 C．1 : 16 D．3 : 48【答案】C【解析】由题意，得缺勤人数是3人，全班人数是48人，所以缺勤人数与全部人数之比为3:481:16=．【总结】考查比的基础应用．【习题3】一段绳子，原长14米，一次用去了2.8米，余下的绳长与原来的绳长的最简整数比是______．【答案】4:5．【解析】由题意，得剩下11.2米，所以余下的与原长之比为11.2:14112:1404:5==．【总结】考查比的基本性质．随堂检测10/ 14【习题4】 一个比的前项是15，比值是114，则这个比的后项是______． 【答案】12． 【解析】比的后项＝比的前项除以比值，即1151124÷=． 【总结】考查比的前项、后项和比值之间的相互转换．【习题5】 求下列各比的比值：（1）123:125； （2）3小时 : 150分．【答案】（1）52；（2）65． 【解析】（1）127753:125252=÷=；（2）63:150=1805小时分分:150分=． 【总结】考查比值的求解方法，注意结果不能写成:a b 的形式．【习题6】 化简下列各比：（1）511:163； （2）2平方米 : 4320平方厘米； （3）4:0.4:25 （4）120分 : 1.2小时 : 1小时20分钟．【答案】（1）11:8；（2）125:27；（3）2:1:5；（4）15:9:10．【解析】利用比的基本性质，化简比，注意结果的最简性即可，比如第（3）题， 4:0.4:20.8:0.4:28:4:202:1:55===； 比如第（4）题，120:1.2:120120:72:8015:9:10==分小时小时分分分分．【总结】考查比的基本性质及比的化简．【习题7】 比的前项是2.5，比的后项是5.25，如果比的前项增加1.5，那么比的后项增加______时，比值不变．【答案】3.15．【解析】首先这个比是2.5:5.25250:52510:21==，比值为1021，设比的后项增加x，根据比值不变，列方程1010 1.52121x+=+，解得 3.15x=．【总结】结合方程思想考查比的应用．【习题8】根据已知条件，求下列各比．（1）已知:15:4x y=，:5:12z y=，求::x y z；（2）已知11:1:223a b=，:2:3b c=，求::a b c．【答案】（1）::45:12:5x y z=；（2）::2:6:9a b c=．【解析】（1）统一字母y，:15:445:12x y==，:5:12z y=，所以::45:12:5x y z=；（2）∵11:1:223a b=，∴11232b a=⨯，即13a b=，∴:1:32:6a b==，又∵:2:36:9b c==，∴::2:6:9a b c=．【总结】考查比和比例的基本性质，以及三项连比的化简方法．【作业1】6和9这两个数的最大公因数与它们的最小公倍数的比是（）A．1 : 12 B．12 : 1 C．1 : 6 D．6 : 1【答案】C【解析】6和9的最大公因数是3，最下公倍数是18，两者之比为1：6．【总结】考查最大公因数和最小公倍数的求解．【作业2】一个比的前项是最小的素数，后项是最小的合数，这个比的比值是______．课后作业12/ 146 4.5 甲乙 【答案】12． 【解析】最小的素数是2，最小的合数是4，两者比值为12． 【总结】考查素数、合数的概念及比值求解．【作业3】 小正方形与大正方形的边长之比为2 : 5，则小正方形与大正方形的面积之比为____________．【答案】4:25．【解析】正方形面积之比是边长平方之比，所以面积比为4:25．【总结】考查正方形的面积之比与周长之比的关系．【作业4】 如图，甲、乙两个三角形的面积之比为____________．【答案】4:3．【解析】甲、乙两个三角形等高，所以面积比是底之比，6:4.560:454:3==． 【总结】考查共底等高型三角形的面积比问题．【作业5】 求下列各比的比值：（1）1.2 : 1.8；（2）2.4 m : 30 dm ．【答案】（1）23；（2）45． 【解析】比的前项除以后项所得的商是比值，求比值可以灵活变通，将比化为最简整数比:a b ，再写成a b 即为比值：（1）21.2:1.812:182:33===； （2）42.4:3024:3024:304:55m dm dm dm ====． 【总结】考查比值求解问题．14 / 14【作业6】 根据已知条件，求下列各比．（1）已知11::23x y =，:2:3z x =，求::x y z ； （2）已知()12::1:2:33x y z ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求::x y z ． 【答案】（1）::3:2:2x y z =；（2）::1:12:6x y z =．【解析】（1）先化简比：11::3:2;:2:323x y z x ===，关联项是x ，在两个比中都是占3份， 所以直接写三项连比为::3:2:2x y z =，需要学生认真审题；第（2）题，由题意得12:1:2(1)31:2:3(2)3x y y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由（1）得114::41:1233y x x y =⇒==； 由（2）得2:2:112:6z y y z =⇒==，所以::1:12:6x y z =．【总结】考查三项连比的化简，第（2）小题需要运用比例的基本性质．【作业7】 一个分数，分子和分母之和是100，如果分子加23，分母加32，新分数约分后是23，原来的分数是多少？ 【答案】3961． 【解析】设原来的分数为100x x -，由题意，得232100323x x +=-+，交叉相乘，解得39x =， 所以原来的分数为3961． 【总结】结合方程考查分数的基本性质。
六年级数学上册 3.1 比的意义教案 沪教版五四制
比的前项相当于分数的分子和除式中的被除数；
比的后项相当于分数的分母和除式中的除数；
比值相当于分数值和除式中的商；
比号相当于分数线和除式中的除号。
比、分数和除法三者之间的关系。
新课探索五
例：求下列各个比的比值：
（1）36：6
42 （2）15 ：7
（3）7.5cm：40mm； （4）18 秒：1.5 分。
新课探索三 苹果与橙子个数比是
，也可写成 。
2
橙子与苹果个数比是
，也可写成 。
长铅笔与短铅笔的长度比是
。
短铅笔与长铅笔的长度比是
。
请列举几个“比”的生活实例。
利用比的方法，可以知道 a 是 b 的几倍（或几分之几）。
新课探索四
比 分数
前项：后项＝比值 分子
分母 ＝分数值
除法
被除数÷除数＝商
观察：上表中，比、分数、除法三者之间有什么关系？
比的意义
课 题 3.1 比的意义
设计
教材章节分析：
依据 （注：只 在开始 新章节 教学课 必填）
课型
学生学情分析： 新授课
教 知 识 与 技 能 1 能理解比和比值的意义.
学
2 能区分比和比值,会求比和比值
目 过 程 与 方 法 利用分数知识的迁移,理解比的意义,建立比与除法、分数等概念
标 之间的联系与区别，渗透转化思想，体会数学学习的基本方法。
小明投进球的次数 小明投球的总次数
62 ＝15 ＝5
小杰投进球的次数 小杰投球的总次数
＝150 ＝12
新课探索二（2） 为了比较 a,b 两个数或两个同类量，将 a 与 b 相除，叫做 a 与 b
的比（ratio）记作 a:b（或写成ab ），其中 b≠0，读作 a 比 b（或 a 与 b 的比）。
沪教版(上海)初中数学六年级第一3.1比的意义教学设计
本教学设计旨在帮助学生掌握比的概念和性质，培养其数学思维能力和实际应用能力，同时注重培养学生的情感态度与价值观，使学生在轻松愉快的氛围中学习数学，提高教学质量。
二、学情分析
在沪教版初中数学六年级第一学期的学习过程中，学生已经掌握了分数、小数的基本概念和运算方法，对比的概念有了初步的认识。在此基础上，他们对比的意义和性质的学习具备了一定的基础。然而，由于比的抽象性较强，学生在理解上可能存在一定的困难。因此，在教学过程中，需要关注以下几点：
2.实践应用题：结合生活实际，设计一道与比相关的实际问题，让学生运用比的知识解决。例如，让学生计算家庭成员的身高比，或者比较两种水果的价格比，从而培养学生的应用能力。
3.提高拓展题：选做课本第3.1节练习题4、5，这两题难度较高，旨在提高学生的思维能力和解决问题的能力。鼓励学有余力的学生挑战这类题目，充分挖掘他们的潜力。
1.你是如何理解比的定义的？
2.你能举例说明比的性质在实际生活中的应用吗？
3.你认为比的知识在解决实际问题中有哪些作用？
讨论过程中，我会巡回指导，关注每个小组的讨论情况，引导学生积极思考，充分发表自己的观点。讨论结束后，每组选一名代表进行汇报，分享本组的讨论成果。
（四）课堂练习
在课堂练习环节，我会设计以下几类题目：
4.设计分层练习，针对不同学生的学习水平，提供不同难度的题目，使每个学生都能在练习中巩固所学知识。
5.注重数学思维的培养，引导学生运用比的性质解决实际问题，提高学生的应用能力和创新意识。
6.教学过程中，关注学生的情感态度，营造轻松愉快的学习氛围，鼓励学生积极参与课堂活动。
7.教学评价多元化，结合课堂表现、作业完成情况、学生对比的概念理解程度不同，部分学生可能对“比”的含义理解不深，需要通过具体实例引导他们深入理解。
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比的意义和性质
【知识要点】
1. 比的概念：
a ，
b 是两个数或两个同类的量，为了把b 和a 相比较，将a 与b 相除叫做a 与b 的比；记作a:b 或写成
)0(≠b b a ，读作a 比b 或a 与b 的比。
2. 比值：
在a:b 中，a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。
前项a 除以后项b 所得的商叫做比值。
比值是一个数，可以用分数、小数或整数表示。
3. 比、分数、除法三者之间的关系：
4. 比的基本性质：
比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外），比值不变，即a:b=am:bm=)0)((:)(≠÷÷m m b m a .
5. 三项连比的性质：
（1）如果k n m c b a k n c b n m b a ::::,::,::===那么
（2）如果k
c k b k a ck bk ak c b a k ::::::,0==≠那么 【典型例题】
例1. 求下列各式的比值：
（1）15.0:9.0（2）吨千克：327200（3）5.0:311
（4）小时分钟4.0:48（5）200毫升：1升（6）平方米平方厘米3:450
例2. 自行车2小时行了16千米，飞机2秒钟行了1200米，自行车与飞机的速度之比是多少？
例3把下列各连比化成最简整数比：
（1）40:15:25 （2）2.8:2:0.8 （3）
2
12:2.1:45 例4. 根据下列条件，求a:b:c.
（1）已知a:b=3:5 b:c=5:8 (2) 已知a:b=3:5 b:c=7:8 【小试锋芒】
1. 比值相当于分数的_______，前项相当于分数的_________，后项相当于分数的_______.
2. 比的前项是32，比的后项是2
3，他们的比值是________.
3. 20cm ：1.2m 的比值是_________.
4. 27与8之比为_________.
5. 如果比的前项与后项相等，那么比值是_______.
6. 8
1:0.125化成最简整数比是________. 7. 如果x:y=4:5，x:z=4:7，那么x:y:z=_________.
如果x:y=0.2:1.2， y:z=1.5:0.4， 那么x:y:z=__________.
8. 如果两个数的比值为3
1，比的前项和后项同时缩小3倍，那么比值等于________. 9. 填空：30:25=_____：5 0.75:4.5 = 1：______
81 = 9:5 76厘米：57厘米=______:3
10. 判断题：
（1）比的前项和后项同时乘以相同的数，比值不变.（）
（2）甲数：乙数=7:3，就是甲数是7，乙数是3.（）
（3）0.25：4
1化简后的比是1.（） （4）35厘米和25米的比值是
57厘米.（） （5）5
1:41:3可以化简为3：5:4.（） 11.如果比的后项是
53，比值是2
12，那么比的前项是（） A. 23 B. 32 C. 256 D. 6
25 12.如果a 是b 的10
7，那么b 和a 的比为（） A.7：10 B.10：7 C.3：7 D. 731 13.根据下列条件，求x:y:z
（1）x:y=3:7， x:z=4:1 (2) x:y=0.2:0.3， y:z=
3
1:41 14. 把下列各连比化为最简整数比：
（1）12:20:28 （2）0.3:0.45:0.6
（3）
54:43:32（4）220克：5
1千克：0.02吨 15. 甲长方形的长是5，宽是长的107，乙长方形的长是7.5，宽是长的53.求： （1）甲长方形和乙长方形的长的比值；
（2）甲长方形和乙长方形的宽的比值；
（3）甲长方形和乙长方形的面积的比值
【大显身手】
1.某班有50名学生，其中男女生人数之比为2:3，则男生比女生少_______人。
2.若z y x 4
13121==，则x:y:z=________. 3.若a:b:c=1:3:4，a+c=20，则a+b+c 的值________.
4.在4:9中，如果前项加上4，要使比值保持不变，后项应该加上________.
5. 调制某种饮料要求浓缩汁与水的重量之比是1:1000，这个比的意义是（）
A.每1000克饮料中含有1克浓缩汁
B.每1克浓缩汁配入1000克水
C.浓缩汁比水少999克
D.水比浓缩汁多999克
6.化简下列比：
7.一项工程，甲队用15天完成，乙队用18天完成，求甲队与乙队所用时间之比，甲队与乙队的工作效率之比。