正弦函数图像与性质
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正弦函数图像和性质
正弦函数图像和性质正弦函数是一种常见的函数，在数学研究中，它被广泛用于表达定义在实数集的函数的图像。
正弦函数可以通过其一般形式 y=sin x，其中x表示自变量，y表示函数值，也可以表示为极坐标形式 r=sin，其中θ表示极坐标参数，r表示正弦函数值，它也可以表示为复平面形式 z=sin(x+iy)，其中x表示实部，y表示虚部，z表示正弦函数结果，作为函数，正弦函数可以描述定义在实数集内的曲线。
二、正弦函数图像正弦函数y=sin x的图像如下所示：图1弦函数y=sin x的图像可以看出，正弦函数的图像是一条以原点（0，0）为中心的周期性图像，它以（π，0）和（-π，0）为极点，它形似一个波浪，起伏不定，一个完整的周期长度为2π，其中π约等于3.1415926。
复平面正弦函数z=sin(x+iy)的图像如下所示：图2平面正弦函数z=sin(x+iy)的图像正弦函数的复平面图像的特点是：它形似旋转的空心圆，有一定的中心对称性，其图像可以看作是一个以原点为中心的旋转空心螺旋。
三、正弦函数的性质1、正弦函数的单调性在正弦函数曲线的一个周期内，函数值先递增，再递减，由此可以认为正弦函数是单调递减函数。
2、正弦函数的对称性正弦函数是对称函数，在一个周期内，函数值和其对称轴处的函数值相等，即sin(x) = sin(- x)，此外，在正弦函数曲线中，（π，0）和（-π，0）是函数的极值点，即sin(π) = sin(-π) = 0，此外，正弦函数也具有垂直对称性，可以表示为y=sin x的对称轴是x 轴，函数值的对称轴是y轴。
3、正弦函数的周期性正弦函数是一个周期函数，一个完整的周期长度为2π，由此，可以认为，当x在2π的整数倍的范围内，sin x的函数值和x在（0，2π）范围内的函数值是相同的。
4、正弦函数的极限性正弦函数的极限性可以用数学归纳法推导出来，即当x趋于正无穷大或负无穷大时，正弦函数的函数趋于1或-1，具体表示为lim x →∞sin x = 1；lim x→-∞sin x = -1。
正弦函数图像与性质
描点：定出五个关键点． 连线：用光滑的曲线顺次连结五个点． 五点法作图演示：
归纳小结：
正弦曲线 的作法
1.代数描点法（误差大） 2.几何描点法（精确但步骤繁） 3.五点法（重点掌握）
小试牛刀
用五点法画出下列函数在区间 [0，2 ] 的简图． ⑴y＝-sin ， ⑵y=sinx+1，⑶ y=2sinx
函 函数 数 正弦函数的图象和性质
张 菊 莲
函数 函数
1、定义：y=sinx=
2、性质： ⑴、定义域： ⑵、值域： ⑶、周期：
y
P
(u,v)
1
o
x
M
x
⑷、单调性：（在区间[0，2 ]上）
在 在 上是增加的， 上是减少的。
1、描点法
用描点法作出函数 (1) 列表
y sin x, x 0,2 的图像
y
1-
o
-1 -
π 6
π 3
π 2
2π 3
5π 6
π
7 6
4π 3
3π 2
5π 3
11π 6
π 2
x
π 1)； 图象的最高点: ( ， 2
0)，( π，0)，(2 π，0)； 与 x 轴的交点: (0， 3π 图象的最低点: ( ， 1) ． 2
-
五点 作图法
五点作图法的步骤：
列表：列出对图象形状起关键作用的五点坐标．
2
x
y
0
1 2
3
3 2
6
2 3
3 2
5 6
1 2
0
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
归纳小结：
正弦曲线 的作法
1.代数描点法（误差大） 2.几何描点法（精确但步骤繁） 3.五点法（重点掌握）
小试牛刀
用五点法画出下列函数在区间 [0，2 ] 的简图． ⑴y＝-sin ， ⑵y=sinx+1，⑶ y=2sinx
函 函数 数 正弦函数的图象和性质
张 菊 莲
函数 函数
1、定义：y=sinx=
2、性质： ⑴、定义域： ⑵、值域： ⑶、周期：
y
P
(u,v)
1
o
x
M
x
⑷、单调性：（在区间[0，2 ]上）
在 在 上是增加的， 上是减少的。
1、描点法
用描点法作出函数 (1) 列表
y sin x, x 0,2 的图像
y
1-
o
-1 -
π 6
π 3
π 2
2π 3
5π 6
π
7 6
4π 3
3π 2
5π 3
11π 6
π 2
x
π 1)； 图象的最高点: ( ， 2
0)，( π，0)，(2 π，0)； 与 x 轴的交点: (0， 3π 图象的最低点: ( ， 1) ． 2
-
五点 作图法
五点作图法的步骤：
列表：列出对图象形状起关键作用的五点坐标．
2
x
y
0
1 2
3
3 2
6
2 3
3 2
5 6
1 2
0
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
正弦函数图像与性质
跟踪小练
请尝试用不同的方法完 成
如何由y sin x的图象得到y 3 sin( 2 x )的图象 ? 3
(四)探索
怎样由y sin x图象得到y A sin( x )( A 0, 0)的图象
y sin x y sin( x ) y sin( x)
函数 y A sin( x ) 的图象
(一)探索 对y sin( x ), x R 的图象的影响
向左平移
2
个单位 个单位
y sin x
向右平移
2
向左平移
4
y sin( x ) 2 y sin( x ) 2
个单位 个单位
y sin 2 x
1 横坐标不变, 纵坐标变为原来的 倍 3
y sin x
1 y sin x 3
横坐标不变, 纵坐标变为原来的3倍
1 横坐标不变, 纵坐标变为原来的 倍 3 y
横坐标不变, 纵坐标变为原来的3倍
y 3 sin x
y sin( 2 x ) 2
1 sin( 2 x ) 3 2 y 3 sin( 2 x ) 2
1 f T 2
x
x 0时的相位
简谐运动的初相
本节小结:
1 、 理解A、 、 对函数y A sin( x )的图象的影响
需要注意 :由y sin x的图象变换为
y sin( x )的图象时应该平移 个单位.
2、 能够将y sin( x)的图象变换到 y A sin( x )的图象
1 y sin( x) 2
y sin( 2 x )
正弦函数图像和性质
2.求函数的值域，并求取得最值时X的取值集合。
（1）y= - 2sinx
（2）y= 2sin(2x+ 4 )
x [ , ]
4
（3）y= sin2x + 2sinx - 2
-4 -3
-2
y
1
-
o
-1
2
周期的概念
3
4
5 6x
一般地，对于函数 f (x)，如果存在一个非零常数 T ，
使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有
练习：函数y＝asinx＋b的最大值为2，最小值为－1，
则a＝________，b＝________.
[解] 当 a>0 时，由题意得
[答案] 32或－32
1 2
a＋b＝2 －a＋b＝－1
，解得ab＝ ＝3212
.
当 a<0 时，由题意，得－ a＋a＋ b＝b＝ －21 ，
解得ab＝ ＝－ 12 32
.
正弦函数的奇偶性
由公式 sin(－x)＝－sin x
正弦函数是奇函数．
图象关于原点成中心对称 .
y
1
-3 5π -2 3π - π o
2
2
2
-1
x
π 2
3π 2
2 5π
2
3 7π 4 2
正弦函数的单调性
观察正弦函数图象
x
π 2
…
sinx -1
0… 0
π…
2
1
…
3π 2
0
-1
在闭区间 π22π2k，π,π2π2 2kπ, k Z 上, 是增函数；
f ( x＋T )＝ f (x)
，那么函数 f (x) 就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个
正弦函数的图像和性质
并写出最值，定义域和值域
• y=1-sinx
xsinx1-sinx
解： 当x
2 sin x取得最大值1
k 2 , k Z时
此时 y 1 sin x的最小值1 － 1 ＝0
当x
2 sin x取得最小值 1
2 k , k Z时
此时y 1 sin x的最大值1 1 ＝2
例：求y 3sin ( 2x
3
)的周期，
最大、最小值。 2 2 解： T 2 当2x k 2， 3 2 5 即x k时，最大值为3 12 当2x k 2， 3 2 即x k时，最小值为 3 12
练习： 求正弦形函数的周期， 最值。
1、y 5sin (3x 2、y 2sin (5x )
4
)
作业：P40，1（1），2，3 P43，1 下节课再见啦*^_^*
/ 尺子
您助威/"鱼俱罗猛地壹挥战袍,颇有壹番大将之风,随着身后数将齐齐单膝跪地,只壹拱手便转身点兵离去.东舌大军也经过叁日の组装,朝余杭奔赴而来.壹场绝世无双の决战,在此掀开帷幕叁日后,耀日当空.风起咯,风慢慢卷着满地の尘沙起咯,尘沙飘过那壹面面猎猎飞舞の战旗,尽 现王霸之气.壹面面黄金金帛腾飞の"隋"字皇旗,迎风飞舞,傲气如虹.迎面那个方向,十面如火翻腾の旗帜,也在长狂の飞舞卷动.鱼俱罗慢慢提起手中杀气缭绕の战刀,双腿壹夹马镫,上前冷冷喝问道:"尔等何故在此挡路？"东舌手提流光冥火枪,划破空气の阻隔,猛地朝鱼俱罗壹指, 冷笑喝道:"隋鱼肉百姓,已失民心,今日吾等义军再次.为民请命,特来诛杀隋帝汤广/"听得东舌の话,鱼俱罗眼神之中
正弦函数的图像性质
π 2
π
3π 2
2π
x
π x x x 2kπ, k Z 时，y max 2 (sin x) max 2 1 3, 2 π x x x 2kπ, k Z 时，y min 2 (sin x) min 2 1 1. 2
T 2π.
周期的概念
一般地，对于函数 f (x)，如果存在一个非零 常数 T ，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都 有 f ( x＋T )＝ f (x)，那么函数 f (x) 就叫做周期 函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期．
对于一个周期函数，如果在它的所有周期中
存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 它的最小正周期．
例 3 不通过求值，比较下列各对函数值的大小： π π 3π ． (1) sin( ) 和sin( )； (2) sin 2 π 和 sin 4 18 3 10
π π π π 解 (1) 因为 ＜ ＜ ＜ ， 2 10 18 2 π π 且 y ＝sin x 在 [ ， ] 上是增函数． 2 2
所以 (2) 因为
π π sin( )＜sin( ) ． 10 18
π 2π 3π ＜ ＜ ＜π ， 2 3 4 π 且 y ＝sin x 在 [ ，π ] 上是减函数， 2
所以 sin 2 π ＞ sin 3 π ． 3 4
教材P154，练习 A 组第 3、4、5 题；
练习 B 组．
1
-3
5π 2
-2
3π 2
-
π 2
o
-1
π 2
x
3π 2
2
5π 2
3
7π 2
正弦函数的图像和性质
三
练习5.6.1
1．利用“五点法”作函数
角 函 数
y sin x 在 0, 2π 上的图像． y 2 sin x 在 0, 2π 上的图像．
2．利用“五点法”作函数
计算器
动脑思考
探索新知
三
对任意的角 x ，都有 sin x „ 1 成立， 函数的这种性质叫做有界性．
角
－3π － 2π －π
y 1 O -1
y sin x， x R
π
2π
3π
4π
x
函 数
一般地，设函数y=f(x)在区间（a,b)内有定义，如果存在一个正数M，
对任意的x∈(a,b),都有|f(x)|≦M，那么函数y=f(x)叫做区间(a,b)内
的有界函数,如果这样的M不存在，函数y=f(x)叫做区间(a,b)内的无界 函数。
y sin x， x R
函 数
O -1
π
2π
3π
4π
值域:1,1
当x
2
2k (k Z )时,y有最大值 ,y max 1
2k (k Z )时,y有最小值 ,y min 1
当x
2
动脑思考
探索新知 性 质
三
正弦函数 y sin x( x R)
钱塘江大潮奇观
动脑思考
探索新知
三
对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T， 当x取定义域D内的每一个值时，都有x+T∈D， 并且等式f(x+T)=f(x)成立，那么，函数y=f(x)叫 做周期函数,常数T叫做这个函数的一个周期．
角 函 数
正弦函数y=sinx是否是周期函数？
正弦函数y=sinx的图像和性质
y
-4 -3
-2
1
- o
-1
2
3
4
5 6 x
定义域 值域 周期 奇偶性
单调性
R [-1,1]
2
奇函数
单调递增区间：[ 2k , 2k ] (k Z )
2
2
单调递减区间：[ 2k , 3 2k ] (k Z )
2
2
由y＝sinx，x∈[0，2π]的图像可以看出，下面五个 点在确定图像形状时起着关键的作用：
用描点法完成正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图像。
列表：
x0Leabharlann π 6π 3π 2
2π 5π π 7π 4π 3π 5π 11π 2π
36
6323 6
y
描点：以表中对应的x、y的值为坐标在坐标系中描点。 连线：将所描各点顺次连接起来，即完成所画的图像。
正弦函数y＝sinx的图像和性质
正弦函数y＝sinx的图像
把函数y＝sin x在区间[0，2π]上的图像向左平移2π就 能得到正弦函数y=sinx在区间[－2π，0]上的图像。
把正弦函数y＝sinx在区间[0，2π]上的图像向左、右 分别平移2π、4π、6π…个单位，就能得到正弦函数y＝ sinx，x∈R的图像。
我们把正弦函数y＝sinx(x∈R)的图像叫做正弦曲线。
（4）对称性：正弦函数y＝sinx的图像关于原点对 称，即
sin(－x)=－sinx
（5）单调性：
正弦函数y＝sinx在区间[ π， π] 上是增函数，在区间
22
[π，３ π] 上是减函数。
22
用五点法作出下列函数在区间[0，2π]上的简图。 （1）y＝sinx－1 （2）y＝2sinx
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正弦函数图像与性质
正弦函数图像的作出
以上我们作出了y=sinx，x∈[0，2π]的图 象，因为sin(2kπ+x)=sinx (k∈Z)，所以正弦函 数y=sinx在x∈[－2π，0]，x∈[2π，4π]， x∈[4π，6π]时的图象与x∈[0，2π]时的形状 完全一样，只是位置不同。 现在把上述图象沿着x轴平移±2π， ±4π，……就得到y=sinx，x∈R的图象。 叫做正弦曲线．
若T>0，则定义域无上界；T<0则定义域无下界；
(2) “每一个值”，只要有一个反例，则f (x)就不为
周期函数（如f (x0+T)f (x0)）； (3) T往往是多值的（如y=sinx, T=2k都是周 期,最小正周期是2π.）
(4) 奇偶性: 由sin(－x)＝－sinx,可知：y＝sinx为奇函数,
2
＋2kπ，k∈Z时，正弦函数
2
取得最大值1；
②当且仅当x＝－ 数取得最小值－1 ＋2kπ，k∈Z时，正弦函
正弦函数y=sinx性质
(3) 周期性: 由sin(x＋2kπ)＝sinx (k∈Z)知： 正弦函数值是按照一定规律不断重复地取 得的这种性质称为三角函数的周期性。
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，
2
2
(2)sin(－
sin(－
0
23 5
)＝－sin
)＝－sin
2 5
17 4
2 5
4
4
2
0,
函数y=sinx在区间( ∴sin(－
23 5
2
)内为增函数,
17 4
)－sin(－
)＜0.
，则
f (x)=3sinz=3sin(z+2) =3sin( =3sin(
x
+2)
2 5 x 4
5
2
)
=f (x+4) ∴函数的周期T=4 .
(3) y=|sinx|
解：f(x+π)=|sin(x+π)|=|sinx|,
所以函数的周期是T=π.
一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ) （其中 A 0, 0, x R ）的周期是
使得定义域内任意x，都有f(x＋T)＝f(x)，那么
函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个
函数的周期。
对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期 中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫
做f(x)的最小正周期。（有些周期函数没有最小正
周期）.
注意：
(1) 周期函数中，x定义域M，则必有x+TM, 且
3
)；
3
(2) y=3sin(
x 2
+
5
)
(3) y=|sinx|
解： (1) 令z= x)=sinz
3
即：f (2+z)=f (z) , f [(x+2)+ ]=f (x+ )
∴函数的周期T=2 .
(2) y=3sin(
x 2
5
5
)
解：令z=
x 2
因此正弦曲线关于原点O对称. (5)单调性
闭区间［－ ＋2kπ， ＋2kπ］(k∈Z)上都是增
2
2
函数，其值从－1增大到1； 闭区间［
2
＋2kπ，
3 2
＋2kπ］(k∈Z)上都是减
函数，其值从1减小到－1
例3：设sinx=t－3，x∈R，求t的取值范围。
解：因为－1≤sinx≤1,
所以－1≤t－3≤1,
由此解得2≤t≤4.
例4： 求使下列函数取得最大值的自变量x的
集合，并说出最大值是什么. (1) y＝sin2x，x∈R; (2) y=sin(3x+
4
) －1
解：(1) 令w＝2x，那么x∈R得Z∈R，且使函 数y＝sinw，w∈R，取得最大值的集合是 ｛w｜w＝ ＋2kπ，k∈Z｝
由2x＝w＝ 2 ＋2kπ，
T 2
例6：不通过求值，指出下列各式大于0还是
小于0, (1)sin(－
18
)－sin(－
10
17 4
)；
(2)sin(－
23 5
)－sin(－
)．
解：(1) ∵
2
10
18
2
且函数y＝sinx，x∈［－ ， ］是增函数
即sin(－
18
)－sin(－10 )＞0
解：在y轴上取点(0, 0.5)，过该点作x轴的平行线, 与正弦函数图象相交于点 不等式的解集是 { x | 2 k
(
1
6
, ) , ) ( 6 2 6 2
5
1
等，所以
5 6 ,k Z}
x 2k
正弦函数y=sinx性质
(1)定义域：y=sinx的定义域是实数集R (2)值域:正弦函数的值域是［－1，1］. ①当且仅当x＝
得x＝ 4 ＋kπ.
2
即 使函数y＝sin2x，x∈R取得最大值的x的
集合是｛x｜x＝ 4 ＋kπ，k∈Z｝
函数y＝sin2x，x∈R的最大值是1. (2) 当3x+ =2k+
4
2
即 x=
2 k 3
12
(kZ)时,
y的最大值为0.
例5：求下列三角函数的周期：
(1)y=sin(x+
正弦函数y=sinx，x∈R，的图象叫做正弦曲线．
例1 用五点法作下列函数的简图 (1) y=sinx，x∈[0，2π]， (2) y=1+sinx，x∈[0，2π]，
(1)
(2) y=1+sinx (x∈[0, 2 π])
例2 利用正弦函数的图象，求满足下列条 件的x的集合：sin
x 1 2
正弦函数图像的作出
以上我们作出了y=sinx，x∈[0，2π]的图 象，因为sin(2kπ+x)=sinx (k∈Z)，所以正弦函 数y=sinx在x∈[－2π，0]，x∈[2π，4π]， x∈[4π，6π]时的图象与x∈[0，2π]时的形状 完全一样，只是位置不同。 现在把上述图象沿着x轴平移±2π， ±4π，……就得到y=sinx，x∈R的图象。 叫做正弦曲线．
若T>0，则定义域无上界；T<0则定义域无下界；
(2) “每一个值”，只要有一个反例，则f (x)就不为
周期函数（如f (x0+T)f (x0)）； (3) T往往是多值的（如y=sinx, T=2k都是周 期,最小正周期是2π.）
(4) 奇偶性: 由sin(－x)＝－sinx,可知：y＝sinx为奇函数,
2
＋2kπ，k∈Z时，正弦函数
2
取得最大值1；
②当且仅当x＝－ 数取得最小值－1 ＋2kπ，k∈Z时，正弦函
正弦函数y=sinx性质
(3) 周期性: 由sin(x＋2kπ)＝sinx (k∈Z)知： 正弦函数值是按照一定规律不断重复地取 得的这种性质称为三角函数的周期性。
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，
2
2
(2)sin(－
sin(－
0
23 5
)＝－sin
)＝－sin
2 5
17 4
2 5
4
4
2
0,
函数y=sinx在区间( ∴sin(－
23 5
2
)内为增函数,
17 4
)－sin(－
)＜0.
，则
f (x)=3sinz=3sin(z+2) =3sin( =3sin(
x
+2)
2 5 x 4
5
2
)
=f (x+4) ∴函数的周期T=4 .
(3) y=|sinx|
解：f(x+π)=|sin(x+π)|=|sinx|,
所以函数的周期是T=π.
一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ) （其中 A 0, 0, x R ）的周期是
使得定义域内任意x，都有f(x＋T)＝f(x)，那么
函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个
函数的周期。
对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期 中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫
做f(x)的最小正周期。（有些周期函数没有最小正
周期）.
注意：
(1) 周期函数中，x定义域M，则必有x+TM, 且
3
)；
3
(2) y=3sin(
x 2
+
5
)
(3) y=|sinx|
解： (1) 令z= x)=sinz
3
即：f (2+z)=f (z) , f [(x+2)+ ]=f (x+ )
∴函数的周期T=2 .
(2) y=3sin(
x 2
5
5
)
解：令z=
x 2
因此正弦曲线关于原点O对称. (5)单调性
闭区间［－ ＋2kπ， ＋2kπ］(k∈Z)上都是增
2
2
函数，其值从－1增大到1； 闭区间［
2
＋2kπ，
3 2
＋2kπ］(k∈Z)上都是减
函数，其值从1减小到－1
例3：设sinx=t－3，x∈R，求t的取值范围。
解：因为－1≤sinx≤1,
所以－1≤t－3≤1,
由此解得2≤t≤4.
例4： 求使下列函数取得最大值的自变量x的
集合，并说出最大值是什么. (1) y＝sin2x，x∈R; (2) y=sin(3x+
4
) －1
解：(1) 令w＝2x，那么x∈R得Z∈R，且使函 数y＝sinw，w∈R，取得最大值的集合是 ｛w｜w＝ ＋2kπ，k∈Z｝
由2x＝w＝ 2 ＋2kπ，
T 2
例6：不通过求值，指出下列各式大于0还是
小于0, (1)sin(－
18
)－sin(－
10
17 4
)；
(2)sin(－
23 5
)－sin(－
)．
解：(1) ∵
2
10
18
2
且函数y＝sinx，x∈［－ ， ］是增函数
即sin(－
18
)－sin(－10 )＞0
解：在y轴上取点(0, 0.5)，过该点作x轴的平行线, 与正弦函数图象相交于点 不等式的解集是 { x | 2 k
(
1
6
, ) , ) ( 6 2 6 2
5
1
等，所以
5 6 ,k Z}
x 2k
正弦函数y=sinx性质
(1)定义域：y=sinx的定义域是实数集R (2)值域:正弦函数的值域是［－1，1］. ①当且仅当x＝
得x＝ 4 ＋kπ.
2
即 使函数y＝sin2x，x∈R取得最大值的x的
集合是｛x｜x＝ 4 ＋kπ，k∈Z｝
函数y＝sin2x，x∈R的最大值是1. (2) 当3x+ =2k+
4
2
即 x=
2 k 3
12
(kZ)时,
y的最大值为0.
例5：求下列三角函数的周期：
(1)y=sin(x+
正弦函数y=sinx，x∈R，的图象叫做正弦曲线．
例1 用五点法作下列函数的简图 (1) y=sinx，x∈[0，2π]， (2) y=1+sinx，x∈[0，2π]，
(1)
(2) y=1+sinx (x∈[0, 2 π])
例2 利用正弦函数的图象，求满足下列条 件的x的集合：sin
x 1 2