人教版 九年级数学讲义 反比例函数在几何图形中的应用(含解析)

第19讲 反比例函数在几何图形中的应用知识定位讲解用时：2分钟A 、适用范围：人教版初三，基础一般B 、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们首先复习反比例函数相关的概念、图像以及性质，重点学习反比例函数在几何图形中的应用，能够结合不同的几何图形应用反比例函数知识进行问题转化，这也是本节课的重点和难点，希望学生能够熟练掌握分析过程，并进行求解。

知识梳理讲解用时：25分钟反比例函数的定义1. 定义：一般地，形如x ky =（k 为常数，0≠k ）的函数称为反比例函数，x k y =还可以写成1-=kx y 2. 反比例函数解析式的特征： （1）等号左边是函数y ，等号右边是一个分式，分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1； （2）比例系数k≠0； （3）一般情况下，自变量x 的取值为一切非零实数； （4）一般情况下，函数y 的取值是一切非零实数（1）图像的画法：描点法① 列表：应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数② 描点：由小到大的顺序③ 连线：从左到右光滑的曲线（2）反比例函数的图像是双曲线，x k y =（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交 （3）反比例函数x k y =（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是： 如图，设点P （a ，b ）是双曲线x k y =上任意一点，作PA⊥x 轴于A 点，则⊥PAO 的面积是||21k ；由双曲线的对称性可知，P 关于原点的对称点Q 也在双曲线上，作QC⊥PA 的延长线于C ，则⊥PQC 的面积为k 2。

课堂精讲精练【例题1】如果等腰三角形的面积为10，底边长为x ，底边上的高为y ，则y 与x 的函数关系式为（ ）。

A ．y=B ．y=C ．y=D ．y=【答案】A【解析】本题考查了根据实际问题抽象出反比例函数解析式，⊥等腰三角形的面积为10，底边长为x ，底边上的高为y ， ⊥21xy=10，⊥y 与x 的函数关系式为：xy 20=，故选：C 。

讲解用时：2分钟 解题思路：利用三角形面积公式得出21xy=10，进而得出答案 教学建议：表示出三角形面积表达式即可。

难度：2 适应场景：当堂例题 例题来源：绥化模拟 年份：2018【练习1】已知一菱形的面积为12cm 2，对角线长分别为xcm 和ycm ，则y 与x 的函数关系式为 。

【答案】xy 24= 【解析】本题考查了根据实际问题抽象出反比例函数解析式，由题意得：y 与x 的函数关系式为x x y 242=⨯=菱形面积，故本题答案为：xy 24=。

讲解用时：2分钟解题思路：根据菱形面积=对角线的积⨯21，可列出关系式x x y 242=⨯=菱形面积。

教学建议：熟记菱形面积与对角线之间的关系。

难度：2 适应场景：当堂练习 例题来源：邵阳县校级月考 年份：2017秋【例题2】 如图，是双曲线x y 6=，xy 2=在第一象限内的图象，直线AB⊥x 轴分别交双曲线于A 、B 两点，则⊥AOB 面积为（ ）。

A ．4 B ．3 C ．2D ．1 【答案】C【解析】本题主要考查了反比例函数的性质，⊥A 在反比例函数线x y 2=上，⊥⊥OAC 的面积是21×2=1， 同理⊥OBC 的面积是21×6=3，则⊥AOB 面积为S ⊥OBC ﹣S ⊥OAC =3﹣1=2， 故选：C 。

讲解用时：3分钟解题思路：根据反比例函数的几何意义，反比例函数xk y =上一点P ，过p 作y 轴的垂线PC ，则⊥OPC 的面积是21|k|，据此即可求解。

教学建议：表示出三角形面积与反比例函数k 之间的关系。

难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：南岗区校级二模 年份：2016【练习2】 如图，双曲线xk y =经过点A （2，2）与点B （4，m ），则⊥AOB 的面积为（ ）。

A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】B【解析】本题考查了反比例函数性质以及多边形面积公式等知识点， 过A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，如图， ⊥双曲线xk y =经过点A （2，2），⊥k=2×2=4， 而点B （4，m ）在x y 4=上，⊥4•m=4，解得m=1， 即B 点坐标为（4，1），⊥S ⊥AOB =S ⊥AOC +S 梯形ABDC ﹣S ⊥BOD =21OC•AC+21×（AC+BD ）×CD ﹣21×OD×BD =21×2×2+21×（2+1）×（4﹣2）﹣21×4×1 =3．故选：B 。

讲解用时：5分钟解题思路：过A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，把点A （2，2）代入双曲线x k y =确定k 的值，再把点B （4，m ）代入双曲线xk y =，确定点B 的坐标，根据S ⊥AOB =S ⊥AOC +S 梯形ABDC ﹣S ⊥BOD 和三角形的面积公式与梯形的面积公式进行计算即可。

教学建议：表示出多边形面积与反比例函数k 之间的关系。

难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：牡丹江 年份：2017秋【例题3】如图，在直角坐标系中，有菱形OABC ，A 点的坐标是（10，0），双曲线)0(>=x xk y 经过点C ，且OB•AC=160，则k 的值为（ ）。

A ．40B ．48C ．64D ．80 【答案】 B【解析】此题考查了反比例函数与菱形的性质、勾股定理以及坐标与图形性质等知识点，⊥四边形OABC 是菱形，OB 与AC 为两条对角线，且OB•AC=160， ⊥菱形OABC 的面积为80，即OA•CD=80，⊥OA=OC=10，⊥CD=8，在Rt⊥OCD 中，OC=10，CD=8，根据勾股定理得：OD=6，即C （6，8），则k 的值为48，故选：B 。

讲解用时：5分钟解题思路：过C 作CD 垂直于x 轴，交x 轴于点D ，由菱形的面积等于对角线乘积的一半，根据已知OB 与AC 的乘积求出菱形OABC 的面积，而菱形的面积可以由OA 乘以CD 来求，根据OA 的长求出CD 的长，在直角三角形OCD 中，利用勾股定理求出OD 的长，确定出C 的坐标，代入反比例解析式中即可求出k 的值。

教学建议：关键是表示出C 点的坐标，显然是要过C 作CD 垂直于x 轴。

难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：渝北区自主招生 年份：2014【练习3】如图，平行四边形ABOC 中，对角线交于点E ，双曲线)0(<=k xk y 经过C 、E 两点，若平行四边形ABOC 的面积为10，则k 的值是（ ）。

A ．﹣B ．﹣C ．﹣4D ．﹣5【答案】B【解析】本题是平形四边形与反比例函数的综合应用，设E 的坐标是（m ，n ），则mn=k ，⊥平行四边形ABOC 中E 是OA 的中点，⊥A 的坐标是：（2m ，2n ），C 的纵坐标是2n ，把y=2n 代入)0(<=k x k y 得：x=n k 2，即C 的横坐标是：n k 2， ⊥OB=AC=n k 2﹣2m ，OB 边上的高是2n ， ⊥（nk 2﹣2m ）•2n=10，即k ﹣4mn=10， ⊥k ﹣4k=10，解得：k=310-，故选：B 。

讲解用时：8分钟解题思路：设E 的坐标是（m ，n ），则mn=k ，平行四边形ABOC 中E 是OA 的中点，则A 的坐标是：（2m ，2n ），C 的纵坐标是2n ，表示出C 的横坐标，则可以得到AC 即OB 的长，然后根据平行四边形的面积公式即可求得k 的值。

教学建议：根据E 点的坐标表示出AC 的长度。

难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：丹徒区校级模拟 年份：2018【例题4】如图，反比例函数图象在第一象限的分支上有一点C （1，3），过点C 的直线y=kx+b 〔k ＜0〕与x 轴交于点A 。

（1）求反比例函数的解析式；（2）当直线与反比例函数的图象在第一象限内的另一交点的横坐标为3时，求⊥COD 的面积。

【答案】（1）xy 3=；（2）4 【解析】考查反比例函数、一次函数的图象和性质，（1）⊥点C （1，3）在反比例函数图象上，⊥k=1×3=3，⊥xy 3=； （2）当x=3时，y=1，⊥D （3，1），⊥C （1，3）、D （3，1）在直线y=k 2x+b 上，⊥，⊥，⊥y=﹣x+4，令y=0，则x=4，⊥A （4，0），⊥S ⊥COA =21×4×3=6，S ⊥DOA =21×4×1=2， ⊥⊥COD 的面积=S ⊥COA ﹣S ⊥DOA =6﹣2=4．讲解用时：8分钟解题思路：第（1）问中由于点C （1，3）在反比例函数图象上，⊥K 1=1×3=3可求反比例函数的解析式；第（2）问由直线与反比例函数的图象在第一象限内的另一交点的横坐标为3，易求其解析式，进而求出直线与x 轴交点坐标，再用分割处理即可求出⊥COD 的面积。

教学建议：不规则三角形面积用割补法处理。

难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：黄冈模拟 年份：2016【练习4】已知：A （m ，2）是一次函数y=kx+b 与反比例函数y=x3（x ＞0）的交点。

（1）求m 的值； （2）若该一次曲线的图象分别与x 、y 轴交于E 、F 两点，且点A 恰为E 、F 的中点，求该直线的解析式；【答案】（1）m=23；（2）434+-=x y【解析】本题考查了一次函数的与反比例函数的综合知识，（1）⊥A （m ，2）是一次函数y=kx+b 与反比例函数y=x 3的交点， ⊥2=m 3，⊥m=23； （2）由（1）得A （23，2），⊥2=23k+b ， 由题意可知：A 是线段EF 的中点，且E （k b -，0）F （0，b ）则：A （2,2b k b -）， ⊥2b =2，即b=4，⊥k=34-， ⊥一次函数y=kx+b 的解析式为：434+-=x y 讲解用时：8分钟解题思路：第（1）问把点A 的横纵坐标代入反比例函数的解析式即可求得m 的值；第（2）问由A 点向两坐标轴作垂线，利用相似三角形的性质求得点E 、F 的坐标，利用待定系数法求得函数的解析式即可。

教学建议：熟记中点坐标公式是解决第（2）问的关键。

难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：泰山区模拟 年份：2016【例题5】在平面直角坐标系中，双曲线)0(121>-=x x k y 在第一象限的图象记为G 1。

（1）求k 的取值范围；（2）在第一象限另一个反比例函数)0(322>=x xy 的图象记作G 2，过x 轴正半轴上一点A 作垂直于x 轴的直线，分别交G 1、G 2于点P 、Q ，若k=2，PQ=7，求点A 的横坐标；【答案】（1）k ＞21；（2）31【解析】本题主要考查了反比例函数的性质、直线和双曲线的交点坐标的确定以及解不等式组等知识点，（1）⊥当x ＞0时，图象在第一象限，⊥2k ﹣1＞0，⊥k ＞21； （2）⊥k=2，⊥y 1=x3， 设A 点坐标为（m ，0），⊥P （m ，m 3）， ⊥反比例函数y 2=x 32（x ＞0），⊥Q （m ，m 32），⊥PQ=mm 323-， ⊥PQ=7，⊥m m 323-=7，⊥m=31， 经检验，符合题意，⊥点A 的横坐标为31； 讲解用时：10分钟解题思路：第（1）问利用反比例函数的性质即可得出结论；第（2）问利用待定系数法求出G 1的解析式，进而表示出点P 坐标，再表示出点Q 的坐标，最后用PQ=7建立方程求解即可。