第7课时分式与分式方程
分式与分式的运用
分式的概念及运算一、知识梳理知识点1：. 分式：一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB叫做分式。
三个热点：①有意义；②无意义；③值为0知识点2：1．分式的基本性质：2．分式的变号法则：知识点3：分式的运算1．确定最简公分母的方法：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.二、例题（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义【例题1】、下列代数式中：y x yx y x y x ba b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有：.题型二：考查分式的三个热点【例题2】、当x有何值时，下列分式①有意义；②无意义；③值为0？（1）42||2--x x（2）232+x x （3）3||6--x x【例题3】、若2||323x x x ---的值为零，则x 的值是．MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=bab a b a b a =--=+--=--题型三：考查分式的值为正、负的条件【例题4】、（1）当x为何值时，分式x-84为正；（2）当为何值时，分式为负；（3）当为何值时，分式为非负数.（二）分式的基本性质及有关题型题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例题5】、不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数. （1） （2）题型二：分数的系数变号【例题6】、不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）yx yx --+-（2）ba a ---（3）题型三：化简求值题【例题7】、已知：，求y xy x yxy x +++-2232的值.x 2)1(35-+-x x x 32+-x x y x y x 41313221+-ba ba +-04.003.02.0ba ---511=+yx【例题8】、已知：，求的值.三）分式的运算题型一：通分【例题9、将下列各式分别通分.（1）；（2）；（3）；（4）题型二：约分【例题10】、约分：（1）；（3）；（3）2244xy yx x--+21=-xx221xx+cbacababc225,3,2--abbbaa22,--22,21,1222--+--xxxxxxx aa-+21,2 322016xyyx-nmmn--22题型三：分式的混合运算化简求值题【例题11】、计算：化简22424422x x xx x x x ⎛⎫--+÷ ⎪-++-⎝⎭，其结果是（ ） A ．82x --B ．82x - C ． D ．题型四：【例题12】、先化简，再求值4421642++-÷-x x x x ，其中 x = 3 ．题型五：求待定字母的值【例5】若111312-++=--x N x M x x ，试求NM ,的值.三、课堂练习1.要使分式有意义，则x 应满足的条件是（ ） A ．1x ≠B ．1x ≠-C ．0x ≠D ．1x >2.若分式33x x -+的值为零，则x 的值是（ ） A ．3 B ．3- C ．3± D ．03.化简222a b a ab -+的结果为（ ）A ．b a -B ．a b a -C ．a b a +D ．82x -+82x +11x +b -4.化简的结果是（ ） A ． B ． C ．2a b - D ．2b a+5.计算22()ab a b-的结果是（ ）A ．aB ．bC ．1D ．－b6.学完分式运算后，老师出了一道题“化简：23224x xx x +-++-”小明的做法是：原式；小亮的做法是：原式；小芳的做法是：原式． 其中正确的是（ ）A ．小明B ．小亮C ．小芳D ．没有正确的7．化简的结果是（ ） A ．2a b -- B ．2b a - C ．2a b - D ．2b a +二、填空题1．当时，分式无意义．2. a 、b 为实数，且ab =1，设P =，Q =，则PQ （填“＞”、“＜”或“＝”）．3．某单位全体员工在植树节义务植树240棵．原计划每小时植树a 棵。
《分式方程》分式PPT课件 图文
③ 检验:把x1= -3,代入最简公分母,
x(x-2)=-3(-3-2)= 15 ≠0;
把x2= 2 ,代入最简公分母, x(x-2)= 2(2-2) =0
∴x= 2 是增根,舍去. ∴原方程的根是x= -3 .
练
(填空)1、解方程:
x1 6 0 x2 x22x
7
一 解:·方·程·两·边·同·乘·以·最·简·公·分·母 x(x-2),
左边= 331112
,
右边=
1 2
.
∵ 左边=右边
∴ 原方程的根是 x=3.
检验
例2
解分式方程
x15x9 x1 x21
解 方程两边同乘以最简公分母(x＋1)(x－1),
得 （x-1)2 =5x+9 解整式方程,得 x1=－1, x2=8
x2-2x+1=5x+9 X2-7x-8=0 (x+1)(x-8)=0
一元二次方程
1、2(x－1)=x＋1; x2＋x-20=0; x+2y=1…
整式方程: 方程两边都是整式的方程.
2、 x 1 1 x 0 ;x x 1 1 1 2 ;x 1 1 1 y 1 ;x x 1 1 5 x x 2 1 9
分式方程：方分程母中 含只 有含 未有 知分 数式 的或 方整程式. ,且
你总该记得，有一个黄昏，白马湖上的 黄昏， 在你那 间天花 板要压 到头上 来的， 一颗骰 子似的 客厅里 ，你和 我读着 竹久梦 二的漫 画集。 你告诉 我那篇 序做得 有趣， 并将其 大意译 给我听 。我对 于画， 你最明 白，彻 头彻尾 是一条 门外汉 。但对 于漫画 ，却常 常要像 煞有介 事地点 头或摇 头；而 点头的 时候总 比摇头 的时候 多—— 虽没有 统计， 我肚里 有数。 那一天 我自然 也乱点 了一回 头。 点头之余，我想起初看到一本漫画，也 是日本 人画的 。里面 有一幅 ，题目 似乎是 《aa子 爵b泪》 （上两 字已忘 记）， 画着一 个微侧 的半身 像：他 严肃的 脸上戴 着眼镜 ，有三 五颗双 钩的泪 珠儿， 滴滴答 答历历 落落地 从眼睛 里掉下 来。我 同时感 到伟大 的压迫 和轻松 的愉悦 ，一个 奇怪 的矛盾 ！梦二 的画有 一幅— —大约 就是那 画集里 的第一 幅—— 也使我 有类似 的感觉 。那幅 的题目 和内容 ，我的 记性真 不争气 ，已经 模糊得 很。只 记得画 幅下方 的左角 或右角 里，并 排地画 着极粗 极肥又 极短的 一个“ ！”和 一个“ ？”。 可惜我 不记得 他们哥 儿俩谁 站在上 风，谁 站在下 风。我 明白（ 自己要 脸）他 们俩就 是整个 儿的人 生的谜 ；同时 又觉着 像是那 儿常常 见着的 两个胖 孩子。 我心眼 里又是 糖浆， 又是姜 汁，说 不上是 什么味 儿。无 论如何 ，我总 得惊异 ；涂呀 抹的几 笔，便 造起个 小世界 ，使你 又要叹 气又要 笑。叹 气虽是 轻轻的 ，笑虽 是微微 的，似 一把锋 利的裁 纸刀， 戳到喉 咙里去 ，便可 要你的 命。而 且同时 要笑又 要叹气 ，真是 不当人 子，闹 着玩儿 ！
2025年九年级中考数学一轮复习课件：第7讲分式方程
－50＝
B.
＋50＝
D.
A.
C.
－50＝
＋50＝
16.[工作量问题](2024·达州)甲、乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和
乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工.甲为了追上乙的进度，加工的速度是
( B )
.×
＝0.75
A.0.98×5＝0.75x
B.
C.0.75×5＝0.98x
.×
D.
＝0.98
－
＋
20.(2023·呼和浩特)甲、乙两船从相距150km的A，B两地同时匀速沿江出发相向而行，
甲船从A地顺流航行90km时与从B地逆流航行的乙船相遇.甲、乙两船在静水中的航速
C.m＜3
D.m＜3且m≠－2
B)
分式方程的根或增根
考查角度1：根据分式方程的根求值
－
6.已知x＝3是分式方程
−
＝2的解，那么实数k的值为(
－
A.－1
B.0
C.1
D.2
7.若关于x的分式方程 ＝
有解，则字母a的取值范围是(
－
A.a＝5或a＝0
B.a≠0
C.a≠5
D )
D.a≠5且a≠0
两名程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入2 640个数
据.已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.这两名操作员每分钟各
能输入多少个数据?设乙每分钟能输入x个数据，根据题意列方程正确的是( D )
分式方程
分式方程概念总汇1、分式方程的定义分母里含有未知数的方程叫分式方程。
说明：（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量。
（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程。
2、分式方程的解法（1）解分式方程的基本思想把分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。
（2）解分式方程的一般方法和步骤第一步：去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。
第二步：解这个整式方程。
第三步：验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根。
说明：（1）分式方程必须验根；增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零。
（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。
当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。
3、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题，它与学习一元一次方程时列方程解应用题的基本思路和方法是一样的，不同的是，表示关系的代数式是分式而已。
一般地，列分式方程(组)解应用题的一般步骤：第一步：审清题意；第二步：设未知数；第三步：根据题意找等量关系，列出分式方程；第四步：解分式方程，并验根；第五步：检验分式方程的根是否符合题意，并根据检验结果写出答案．方法引导一、解分式方程的方法例1、与异分母相关的分式方程解方程=难度等级：A解：7x=5（x－2），解得x=－5经检验，x=－5是原分式方程的根。
第7课时：分式方程的应用1
第17章 分式（第7课时）姓 名：学习课题：分式方程的应用学习目标：1、学会列分式方程解应用题（列表法）；2、理解检验的必要性，并会进行检验；学习重点：可化为一元一次方程的分式方程的解法。
学习难点：对应用题的理解。
学习过程：一、准备练习1、货车行驶25千米与小车行驶35千米所用的时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为x 千米/小时，依题意列方程正确的是( )A 、25x ＝35x －20B 、25x －20＝35xC 、25x ＝35x ＋20D 、25x ＋20＝35x2、分式方程的解答，区别于整式方程的是 。
二、要点突破例1 轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同.已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度.分析：如果设轮船在静水中航行的速度是x 千米/时，水流的速度是3千米/时，则轮船在顺水中航行的速度是 千米/时；轮船在顺水中航行的速度是 千米/时，先完成表格后解题。
解：设轮船在静水中航行的速度是x 千米/时，由题意得： 380+x ＝360-x 方程两边同乘以（x ＋3)(x －3），得 80(x －3)＝60(x ＋3) 解之得：x ＝21 经检验，x ＝21是原方程的解且符合题意。
答：轮船在静水中的速度为21千米/时例2 某校招生录取时，为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩数据分别由两位程序操作员各向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致.已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.问这两个操作员每分钟各能输入多少名学生的成绩？解： 分析：小结：列表法是列方程(组)解应用题的常用方法之一，把已知条件和所求未知纳入表格，从而找出各种数量之间的关系；三、自我检测1、供电局的电力维修工要到30千米远的郊区进行电力抢修.技术工人骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载着所需材料出发，结果他们同时到达.已知抢修车的速度是摩托车的1.5倍，求这两种车的速度.路程 速度 时间 顺水 80 x ＋3 380+x 逆水 60 x －3 360-x 总量 速度 时间 甲 乙2、一台电子收报机，它的译电效率相当人工译电效率的75倍，译电3 000个字比人工少用2小时28分.求这台收报机与人工每分钟译电的字数.3、某大商场家电部送货人员与销售人员人数之比为1:8，今年由于家电销售明显增多，家电部从销售人员中抽调了22人去送货，结果送货人员与销售人员人数之比为2:5，求这个商场家电部原来各有多少人为送货人员和销售人员？4、甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路驶向C城．已知A、C两城的距离为450千米，B、C两城的距离为400千米，甲车比乙车的速度快10千米/时，结果两辆车同时到达C城．求两车的速度．5、学校在假期内对教室内的黑板进行整修，需在规定日期内完成．如果由甲工程小组做，恰好按期完成；如果由乙工程小组做，则要超过规定日期3天．结果两队合作了2天，余下部分由乙组独做，正好在规定日期内完成，问规定日期是几天？。
如何理解分式方程和分式方程的根
如何理解分式方程和分式方程的根学习分式方程和求解分式方程的根时，容易产生一些模糊的认识，要真正弄懂学好，应注意以下几点：1. 分式方程是分母含未知数的有理方程。
这告诉我们：①分式方程是形式上的定义。
如方程12=xx 与1=x 是不同的两个方程，前者为分式方程，后者为整式方程。
②分式方程强调分母是含未知数而不是含有字母，这与分式定义中分母规定不一定。
如关于x 的方程221m x m -=+，它不是分式方程，而是整式方程。
③分式方程是有理方程。
如方程1=x x 不是分式方程。
2. 解分式方程时，去分母的方法不一定要乘最简公分母，但乘以最简公分母意义在于它不仅能使去分母具有可行性，同时演算简洁，有时还可减少增根个数。
如：解方程112212=++++x x x x ，若方程两边乘以)12)(1(2+++x x x ，解得1±=x ，而1-=x 为增根；若方程两边乘以122++x x ，解得1=x 为原方程的根。
3. 分式方程与它变形之后的整式方程的关系表现在：一方面，分式方程的根是从整式方程中求出来的，它一定是整式方程的根。
但整式方程的根不一定是分式方程的根，若是它的根的条件是要使分母不为零。
另一方面，分式方程的要求解要依靠整式方程，只不过其中排除分母不为零这一因素。
如关于x 的方程111=++x k 的解为负数，求k 的范围。
分式方程变形后得整式方程为k x =，若整式方程解为负时，则0<k 。
但分式方程解为负数时，不仅0<k 且01≠+x 即0<k 且1-≠k 。
4. 解分式方程时常常出现增根，我们要全面认识它。
①分式方程增根产生的原因是在分式方程左右两边乘的最简公分母为了零。
如分式方程21152=+x 一定不会产生增根，因为最简公分母0)1(22≠+x 。
②使最简公分母为零的未知数的值均可能是增根，且增根也只可能在这些值中。
如分式方程xx x x x x 12122+=+-+，0=x 与1-=x 均有可能为它的增根，解后知增根为1-=x 。
分式及分式方程
《分式及分式方程》教材分析一、课标要求课程总目标和学段目标不再缀述，本章内容《课标》要求如下：1.了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分，能进行简单的分式加减乘除运算。
2.能根据具本问题中的数量关系列出分式方程，体会分式方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。
3.能理解可化为一元一次方程的分式方程的分式方程。
4.以根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。
根据《课标》要求，确定如下学习目标二、学习目标1. 经历用分式、分式方程表示现实情境中数量关系的过程，了解分式、最简分式、分式方程的概念，体会分式、分式方程的模型思想，进一步发展符号意识。
2.经历通过观察、归纳、类比、猜想，获得分式基本性质、分式乘除法则、分式加减法则的过程，发展合情推理的能力与代数式恒等变形能力，积累类比活动经验。
3.熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算，会求分式的值，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验分式方程的根，发展运算能力。
4.能解决一此与分式、分式方程有关的实际问题、发展分析问题、解决问题的能力和应用意识。
三、教析分析教材总设计了4节内容第一节：“认识分式”。
通过土地沙化、上海世博会等实例中存在的数量关系引入分式概念，体会分式的模型作用；通过类比分数的基本性质，理解分式的基本性质。
第二节“分式的乘除法”通过类比分数的乘除法则，获得分式乘除法的法则，并会用法则进行分式运算。
第三节“分式的加减法”。
通过类比分数加减法的法则，获得分式加减法的法则，并会用法则进行分式的运算。
第四节“分式方程”通过列出刻画行程、捐款等实例的方程，分析所列出的方程工共同特征，理解分式方程的概念，进而学习怎样解分式方程，并会用分式方程解决简单的实际问题。
四、教学建议1.要让学生充分经历字母表求实际问题中的数量关系的过程，发展学生的符号意识，体会模型思想。
在《课标》前言中就提到：在数学课程中应发展学生的符号意识，符号意识主要是指能够运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。
中考复习第7课时分式方程课件
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第7课时 点 聚 焦
考点1 分式方程的解法
2 1 1．把分式方程 ＝ 转化为一元一次方程时，方程两 x＋4 x 边需同乘( D ) A．x B．2x C．x＋4 D．x(x＋4) 1 2 2．方程 － ＝0的根是( D ) x－ 2 x－ 1 A．x＝－3 B．x＝0 C．x＝2 D．x＝3 x＋m 2 3．若关于x的方程 ＋ ＝2有增根，则m的值 x－2 2－x 是 0 .
考点聚焦 豫考探究 当堂检测
第7课时┃ 分式方程
解 析
(1)相等关系：甲工程队铺设350米所用的天数＝乙
工程队铺设250米所用的天数；(2)不等关系：完成该项工程 的工期不超过10天．
解
(1)设甲工程队每天能铺设x米，则乙工程队每天
能铺设(x－20)米． 350 250 根据题意得 x ＝ ，解得x＝70. x－20 经检验x＝70是原分式方程的解． 答：甲、乙工程队每天分别能铺设70米和50米．
完成此项工程需1.5x天． 1 1 1 根据题意，得x＋ ＝ ， 1.5x 36 解得x＝60， 经检验，知x＝60是方程的解且符合题意． 1．5x＝90. 故甲、乙两公司单独完成此项工程，各需60天，90天．
考点聚焦
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第7课时┃ 分式方程
变式题 [2011· 济宁] 某市在道路改造过程中，需要铺设 一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这 一工程.已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工 程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数 相同. (1)甲、乙工程队每天各能铺设多少米？ (2)如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两 工程队分配工程量(以百米为单位)的方案有几种？请你帮助 设计出来.
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第7课时 分式与分式方程
班级： 姓名： 组别： 评价：
1.掌握分式方程的概念.
2.理解分式方程产生增根的原因.
3.会列分式方程解应用题.
1.分式有无意义时求取值范围.
2.分式值为0时求未知数的值.
3.解分式方程.
4.分式的约分，通分.
5．分式的基本性质.
6. 列分式方程解应用题.
1：解分式方程：
（1）
143231=+--x x （2） 114112=---+x x x
1.同步训练P17.自我尝试1—12题（答案写在下面）
1.计算：)3
a a 3a a 3(+--·a 9a 2-＝ . 2.化简121112+-÷⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+a a a a 的结果是（ ） A ． 1+a B ． 11-a C ． a
a 1- D ． 1-a 3.在我市某一城市美化工程招标时，有甲乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，若有甲队单独先做20天，剩下的工程由甲乙合作24天可完成.
(1)乙队单独完成这项工作需要多少天？
（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元，若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成工程省钱，还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？。