《圆锥曲线中的定点与定值问题)教学设计
21x x -=12)y x m ++不妨设1y y <221m ++
又2093x -tan 2(3x β=
(0,)2
πα∈ 2αβ∴=
综上，存在常数动点P 恒成立回顾分析解题过程，归纳定值问题的解决策略：
（四）
小
结结合本节课所学内容，谈谈你的收获，与学生一起总结：
1、数学知识：
2、思想与方法：
特殊到一般、类比、化归、设参的原则
（五）
布
置
作
业1、（2016格致三模22）
已知抛物线2
:2(0)
C y px p
=>，过点(,0) (0)
M a a≠与
x轴不垂直的直线l与C交于
11
()
A x y,、
22
()
B x y
、两点。
设A
关于x轴的对称点为D，求证：直线BD过定点。
2、（2017金山一模19）已知椭圆C以原点为中心，左焦
点F的坐标是)0,1
(-，长轴长是短轴长的2倍，直线l与椭
圆C交于点A与B，且B
、
A都在x轴上方，满足
︒
=
∠
+
∠180
OFB
OFA
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）对于动直线l，是否存在一个定点，无论OFA
∠如何
变化，直线l总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标，
若不存在，请说明理由。
3、（2017黄浦二模20）
设椭圆
M:
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的
左顶点为A、中心为O，
若椭圆M过点
11
(,)
22
P-，
且AP PO
⊥．
（1）求椭圆M的方程；
（2）若△APQ的顶点Q也在椭圆M上，试求△APQ面积
的最大值；
（3）过点A作两条斜率分别为
12
,k k的直线交椭圆M于,D E
两点，且
12
1
k k=，求证：直线DE恒过一个定点．
这六道
作业题
分别选
自上海
各区模
拟考，有
很强的
代表性，
一方面，
让学生
练习课
上分析
问题的
思路和
计算能
力，另一
方面，通
过这些
题目的
选取，让
学生感
受圆锥
曲线中
的这类
问题在
x
y。
2021-2022年高三数学 第57课时 圆锥曲线的定点、定值、范围和最值问题教案
2021年高三数学第57课时圆锥曲线的定点、定值、范围和最值问题教案教学目标：会处理动曲线（含直线）过定点的问题；会证明与曲线上动点有关的定值问题；会按条件建立目标函数，研究变量的最值问题及变量的取值范围问题，注意运用“数形结合”“几何法”求某些量的最值.（一）主要知识及主要方法：在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题一种思路是进行一般计算推理求出其结果；另一种是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的.如果试题以客观题形式出现，特殊方法往往比较奏效.对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决.解析几何的最值和范围问题，一般先根据条件列出所求目标的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角函数最值法等求出它的最大值和最小值.问题1．（广东）在平面直角坐标系中，抛物线上异于坐标原点的两不同动点、满足．（Ⅰ）求得重心的轨迹方程；（Ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．问题2．已知椭圆上的两个动点及定点，为椭圆的左焦点，且，，成等差数列.求证：线段的垂直平分线经过一个定点；设点关于原点的对称点是，求的最小值及相应的点坐标.问题3．（全国Ⅱ）已知抛物线的焦点为，、是抛物线上的两动点，且（）．过、两点分别作抛物线的切线，设其交点为．（Ⅰ）证明为定值；（Ⅱ）设的面积为，写出的表达式，并求的最小值．问题4．直线：和双曲线的左支交于、两点，直线过点和线段的中点，求在轴上的截距的取值范围.（四）课后作业：已知椭圆（）的右焦点为，过作直线与椭圆相交于、两点，若有，求椭圆离心率的取值范围.过抛物线的顶点任意作两条互相垂直的弦、，求证：交抛物线的对称轴上一定点.如图，在双曲线的上支上有三点，，，它们与点的距离成等差数列.求的值；证明：线段的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标.（六）走向高考：（重庆）已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别为的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点.（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）若直线：与椭圆及双曲线都恒有两个不同的交点，且与的两个交点和满足（其中为原点），求的取值范围.（江西）是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值为（重庆）如图，中心在原点的椭圆的右焦点为，右准线的方程为：. 求椭圆的方程；在椭圆上任取三个不同点，使133221FP P FP P FP P ∠=∠=∠ 证明：为定值，并求此定值.(全国Ⅰ）已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，斜率为且过椭圆右焦点的直线交椭圆于、两点，与共线。
圆锥曲线中的定点、定值问题(教师)
圆锥曲线中的定点、定值问题【方法归纳】定值问题是解析几何中的一种常见问题，基本的求解思想是：先用变量表示所需证明的不变量，然后通过推导和已知条件，消去变量，得到定值，即解决定值问题首先是求解非定值问题，即变量问题，最后才是定值问题．求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．如：定点问题①探索直线过定点时，可设出直线方程为，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．②根据条件化为恒等式，求出定点.【典例分析】【定点问题】【例1】（2012.福建卷）如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相较于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．【解析】（Ⅰ）∵过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．∴4a=8，∴a=2 ∵e=，∴c=1 ∴b2=a2-c2=3 ∴椭圆E的方程为．法一：法二：取k=0，m=，此时P（0，），Q（4，），y kx m=+,k m22221(b0)x yaa b+=>>12以PQ为直径的圆为（x-2）2+（y-）2=4，交x轴于点M1（1，0）或M2（3，0）取k=，m=2，此时P（1，），Q（4，0），以PQ为直径的圆为（x-）2+（y-）2=，交x轴于点M3（1，0）或M4（4，0）故若满足条件的点M存在，只能是M（1，0），证明如下∵∴故以PQ为直径的圆恒过x轴上的定点M（1，0）解法3：(导数求切线斜率)【定直线问题】【例2】（2013.安徽卷）设椭圆的焦点在轴上(Ⅰ)若椭圆的焦距为1,求椭圆的方程;(Ⅱ)设分别是椭圆的左、右焦点,为椭圆上的第一象限内的点,直线交轴与点,并且,证明:当变化时,点在某定直线上.解: (Ⅰ).(Ⅱ) .由.12-32523445162222:11x yEa a+=-xE E12,F F P E2F P y Q11F P F Q⊥a p13858851,12,122222222=+=⇒+-==->xxacaacaa，椭圆方程为：),(),,),,0(),,(),0,(),0,(2221mcQFycxPFmQyxPcFcF-=-=-（则设)1,0(),1,0()1,0(12∈∈⇒∈⇒>-yxaa⎩⎨⎧=++=-⊥=+=)()(,//).,(),,(112211mycxcycxcmQFPFQFPFmcQFycxPF得：由所以动点P 过定直线.【定曲线问题】【例3】（2014·福建卷） 已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1：y ＝2x ，l 2：y ＝－2x .(1)求双曲线E 的离心率．(2)如图16，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l 1，l 2于A ，B 两点(A ，B 分别在第一、四象限)，且△OAB 的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由．解：(1)因为双曲线E 的渐近线分别为y ＝2x ，y ＝－2x ，所以b a ＝2，所以c 2－a 2a＝2，故c ＝5a ，从而双曲线E 的离心率e ＝ca＝ 5.(2)由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a2＝1.设直线l 与x 轴相交于点C .当l ⊥x 轴时，若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点，则|OC |＝a ，|AB |＝4a .又因为△OAB 的面积为8， 所以12|OC |·|AB |＝8，因此12a ·4a ＝8，解得a ＝2， 此时双曲线E 的方程为x 24－y216＝1.若存在满足条件的双曲线E ，则E 的方程只能为x 24－y 216＝1.以下证明：当直线l 不与x 轴垂直时，双曲线E ：x 24－y 216＝1也满足条件．设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，依题意，得k >2或k <－2，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－mk，0.记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y ＝2x 得y 1＝2m 2－k ，同理得y 2＝2m 2＋k .由S △OAB ＝12|OC |·|y 1－y 2|，得 12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－m k ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m2－k －2m 2＋k ＝8，解得联立⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-==-=-+=-⇒=+-⇒22222222222222111.))((c a a c y x a y a x c y x y c x c x y x y x y x y x y y x x -=∴∈∈±=⇒=+-++-⇒1)1,0(),1,0(.)1(1121222222222 01=-+y x即m 2＝4||4－k 2＝4(k 2－4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24－y 216＝1得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2－16＝0.因为4－k 2<0，所以Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋16)＝－16(4k 2－m 2－16)． 又因为m 2＝4(k 2－4)，所以Δ＝0，即l 与双曲线E 有且只有一个公共点．因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.方法二：(1)同方法一．(2)由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a2＝1.设直线l 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 依题意得－12<m <12.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y ＝2x 得y 1＝2t 1－2m ， 同理得y 2＝－2t 1＋2m .设直线l 与x 轴相交于点C ，则C (t ，0)．由S △OAB ＝12|OC |·|y 1－y 2|＝8，得12|t |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2t 1－2m ＋2t 1＋2m ＝8.所以t 2＝4|1－4m 2|＝4(1－4m 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，x 2a 2－y 24a2＝1得(4m 2－1)y 2＋8mty ＋4(t 2－a 2)＝0. 因为4m 2－1<0，直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当Δ＝64m 2t 2－16(4m 2－1)(t 2－a 2)＝0， 即4m 2a 2＋t 2－a 2＝0, 即4m 2a 2＋4(1－4m 2)－a 2＝0，即(1－4m 2)(a 2－4)＝0， 所以a 2＝4，因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.方法三：(1)同方法一．(2)当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．依题意得k >2或k <－2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，4x 2－y 2＝0得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2＝0， 因为4－k 2<0，Δ>0，所以x 1x 2＝－m 24－k2，又因为△OAB 的面积为8，所以12 |OA |·|OB |· sin∠AOB ＝8，又易知sin∠AOB ＝45，所以25x 21＋y 21·x 22＋y 22＝8，化简得x 1x 2＝4.所以－m 24－k2＝4，即m 2＝4(k 2－4)．由(1)得双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2－y 24a2＝1得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2－4a 2＝0. 因为4－k 2<0，直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋4a 2)＝0， 即(k 2－4)(a 2－4)＝0，所以a 2＝4， 所以双曲线E 的方程为x 24－y 216＝1.当l ⊥x 轴时，由△OAB 的面积等于8可得l ：x ＝2，又易知l ：x ＝2与双曲线E ：x 24－y 216＝1有且只有一个公共点．综上所述，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.【定量问题】【例4】（2014·江西卷） 如图17所示，已知双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a >0)的右焦点为F ，点A ，B 分别在C 的两条渐近线上，AF ⊥x 轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA (O 为坐标原点)． (1)求双曲线C 的方程；(2)过C 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)的直线l ：x 0xa 2－y 0y ＝1与直线AF 相交于点M ，与直线x ＝32相交于点N .证明：当点P 在C 上移动时，|MF ||NF |恒为定值，并求此定值．解：(1)设F (c ，0)，因为b ＝1，所以c ＝a 2＋1.由题意，直线OB 的方程为y ＝－1a x ，直线BF 的方程为y ＝1a (x －c )，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c2，－c 2a .又直线OA 的方程为y ＝1ax ，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，c a ，所以k AB ＝c a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 2a c －c 2＝3a .又因为AB ⊥OB ，所以3a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1，解得a 2＝3，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)由(1)知a ＝3，则直线l 的方程为x 0x3－y 0y ＝1(y 0≠0)，即y ＝x 0x －33y 0(y 0≠0)． 因为直线AF 的方程为x ＝2，所以直线l 与AF 的交点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2x 0－33y 0，直线l 与直线x ＝32的交点为N 32，32x 0－33y 0，则|MF |2|NF |2＝（2x 0－3）2（3y 0）214＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 0－32（3y 0）2＝（2x 0－3）29y 204＋94（x 0－2）2＝43·（2x 0－3）23y 20＋3（x 0－2）2. 又P (x 0，y 0)是C 上一点，则x 203－y 20＝1，代入上式得|MF |2|NF |2＝43·（2x 0－3）2x 20－3＋3（x 0－2）2＝43·（2x 0－3）24x 20－12x 0＋9＝43，所以|MF ||NF |＝23＝233，为定值．【例5】（2013.江西卷）如图,椭圆经过点离心率,直线的方程为. (1) 求椭圆的方程;(2) 是经过右焦点的任一弦(不经过点),设直线与直线相交于点,记的斜率分别为问:是否存在常数,使得?若存在求的值;若不存在,说明理由.解:(1)由在椭圆上得, ①依题设知,则 ②②代入①解得.故椭圆的方程为.(2)方法一:由题意可设的斜率为, 则直线的方程为 ③代入椭圆方程并整理,得,设,则有④在方程③中令得,的坐标为.从而. 注意到共线,则有,即有.2222+=1(>>0)x y C a b a b ：3(1,),2P 1=2e l =4x C AB F P AB l M ,,PA PB PM 123,,.k k k λ123+=.k k k λλ3(1,)2P 221914a b +=2a c =223bc =2221,4,3c a b ===C 22143x y +=AB k AB (1)y k x =-223412x y +=2222(43)84(3)0k x k x k +-+-=1122(,),(,)A x yB x y 2212122284(3),4343k k x x x x k k -+==++4x =M (4,3)k 121231233331222,,11412y y k k k k k x x ---====----,,A F B AFBF k k k ==121211y ykx x ==--所以⑤④代入⑤得, 又,所以.故存在常数符合题意. 方法二:设,则直线的方程为:,令,求得, 从而直线的斜率为,联立 ,得,则直线的斜率为:,直线的斜率为:,所以,故存在常数符合题意.【突破提高】1212121212123331122()1111212y y y y k k x x x x x x --+=+=+-+------1212122322()1x x k x x x x +-=-⋅-++22122222823432214(3)8214343k k k k k k k k k k -++=-⋅=---+++312k k =-1232k k k +=2λ=000(,)(1)B x y x ≠FB 00(1)1y y x x =--4x =003(4,)1y M x -PM 0030212(1)y x k x -+=-0022(1)1143y y x x x y ⎧=-⎪-⎪⎨⎪+=⎪⎩0000583(,)2525x y A x x ---PA 00102252(1)y x k x -+=-PB 020232(1)y k x -=-00000123000225232122(1)2(1)1y x y y x k k k x x x -+--++=+==---2λ=1.若AB 是过椭圆中心的一条弦,M 是椭圆上任意一点,且AM ,BM 与坐标轴不平行,,分别表示直线AM ,BM 的斜率,则=( )A. B. C. D.【解析】本题可用特殊值法．不妨设弦AB 为椭圆的短轴．M 为椭圆的右顶点，则A (0，b )，B (0，－b )，M (a ，0)．所以．故选B ．2．设e 1，e 2分别为具有公共焦点F 1与F 2的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足1·2＝0，则e 21＋e 22e 1e 22的值为________． 解析：设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，|F 1F 2|＝2c ， 由题意得|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，||PF 1|－|PF 2||＝2a 2， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝2a 21＋2a 22. 又∵1·2＝0，∴PF 1⊥PF 2. ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即2a 21＋2a 22＝4c 2.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 2＝2，即1e 21＋1e 22＝2，即e 21＋e 22e 1e 22＝2.3.过抛物线：（＞0）的焦点作直线交抛物线于两点，若线段与的长分别为，则的值必等于（ ）．A ．B ．C ．D ．解法1：（特殊值法） 令直线与轴垂直，则有：，所以有解法2：（参数法） 如图1，设，且，分别垂直于准线于．，抛物线（＞0）的焦点，准线．∴ ：又由，消去得， ∴，22221(b 0)x y a a b +=>>PFPF PF PF m 2y ax =a F l ,P Q PF FQ ,p q 11p q --+2a 12a 4a 4a l x l 14y a =12p q a ⇒==114p q a --+=11(,)P x y 22(,)Q x y PM QN ,M N 114p PM y a ==+214q QN y a ==+2y ax =a 1(0,)4F a 14y a =-l 14y kx a =+l m x 222168(12)10a y a k y -++=212122121,216k y y y y a a ++==∴∴．4.已知点P 是双曲线 (a ＞0,b ＞0)右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，H 为△PF 1F 2的内心。
高中数学_圆锥曲线中的定点定值问题教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计【学习目标】1、知识与技能目标：通过实物感知空间点、线、面之间的相互关系以及相互之间的位置关系；2、过程与方法目标：通过让学生举实例、观察几何体等探究点、线、面之间的关系；3、情感、态度与价值观：通过运动的观点讨论点、线、面、体之间的相互关系培养学生会从多角度，多方面观察和分析问题，体会将理论知识和现实生活建立联系的快乐，从而提高学生学习数学的兴趣.【学习重点、难点】1、重点：从运动的观点初步认识点线面体之间的生成关系和位置关系；2、难点：通过几何体的直观图观察其基本元素间的关系以及注意到空间中的存在既不平行也不相交的直线.教学方法：学-议-导-练课前设计：（1）提前印发学案，自学质疑课要求学生通过问题的引导先认真阅读题意，独立思考，借助于微课完成自学质疑学案。
（2）不明白的地方通过小组合作讨论完善，不明白的做记录训练展示课上攻破.教学过程一、定值问题1、已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上任意一点P ，点M （0,b ）,N(0,-b)在椭圆上，求证：PN PM k k ⋅为定值。
设计：通过问题提出的形式，引导学生分析条件，转化为可解决问题的条件，突出关键条件的挖掘，及时给予总结。
思考：1.能否考虑特殊点P 求出定值？2.若P 为任意点时，PN PM k k ⋅怎么表示？3.曲线上的点满足怎样的关系式？能否借助此关系消去其中的未知量？二、定点问题2、 如图，已知AOB 的一个顶点为抛物线22y x 的顶点O ，A,B 两点都在抛物线上，且OA 垂直OB ；求证：直线AB 与抛物线的对称轴相交于定点.设计：通过问题提出的形式，引导学生分析条件，转化为可解决问题的条件，注重方法思路的分析，重视一题多解，注重运算技巧的点拨()()()222221212212143)4(3k k m m x x mk x x k m kx m kx y y +-=+++=++=1.求证直线AB 与抛物线对称轴交于定点说明直线AB 斜率无论怎么变化都是围绕一定点转动，能否先考虑特殊情况求出定点。
圆锥曲线中的定点问题教案
圆锥曲线中的定点问题教案师：高考对圆锥曲线的综合考查主要体现在三个方面：1.圆锥曲线中的定点、定值问题2．圆锥曲线中的存在性问题3.圆锥曲线中含参数的取值范围问题今天这节课我们一起来探讨圆锥曲线中的定点问题。
首先请同学们来看这样一个问题：引例:过椭圆C:22143x y +=上的一个点A(-2,0)作两条互相垂直的直线AM 、AN,与椭圆交于M,N 两点，试问直线MN 是否过定点,若过定点，求出定点坐标;若不过定点，请说明理由.请学生讲解题思路，并给出相应学生的解题过程。
小结：解法一是直接设直线方程，根据已知，求直线特征。
解法二是通过求点坐标，来确定直线方程。
这两种解法是我们解决一系列直线过定点问题的通性通法，它们最终的思路就是求出直线方程。
当然，对于解析几何的问题，我们不仅仅要会求，还要会思考。
这里是过椭圆的左顶点做两条互相垂直的直线，可以得到MN 过定点，那如果将点A 改为椭圆上的任意一个定点，结论还会不会成立呢？（几何画板演示）推广一：点A 为椭圆上任一定点，以上结论仍然成立。
也就是说这个结论与点A 在椭圆上的哪个位置是无关的。
那既然与点A 所在的位置无关，又是什么原因导致直线MN 是过定点的呢？生：是直线AM 与AN 垂直这个限制条件也就是1AM AN k k ⋅=-如果AM AN k k ⋅为其它常数，即AM AN k k a ⋅=，这个结论是否依然成立？（回顾嘉兴二模） 推广二：AM AN k k a ⋅=⇒直线MN 过定点对于这两种推广的证明，都可以采用我们刚才所讲的两种方法去证明，留给大家课后思考。
刚才我们探讨的点A 都是在椭圆上，如果点A 不在椭圆上，引出探究一：探究一：过点R(-3,0)作一条直线与椭圆C: 22143x y +=交于C 、D 两点,点C 关于x 轴的对称点为E,证明直线DE 过定点4,03S ⎛⎫-⎪⎝⎭给学生思考几分钟证法一：设1122(,),(,)D x y E x y ，则22(,)C x y -直线DE 的方程为y kx b =+代入223412x y +=得到222(34)84120k x kbx b +++-=212122284123434kb b x x x x k k -∴+=-⋅=++ ,,C D R 三点共线 212112************(3)(3)33(3)(3)23()()6(3)(3)CR DR y y y x y x k k x x x x kx x k x x b x x bx x -+++∴-=-=-+++++++++=-++22124180(34)(3)(3)k b k x x -==+++ 则24180k b -= 34k b ∴=∴直线DE 的方程为3(1)4y b x =+，∴直线过定点4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭证法二：设直线CD 的方程证法三：利用D 、E 、S 三点共线进行证明前面我们一起探讨了椭圆中的直线过定点问题，如果我们推广到双曲线或抛物线，结论会不会仍然成立呢？(全国大纲卷I)已知抛物线C:24y x =的焦点为F,过点K(-1,0)的直线l 与C 相交于A 、B 两点,点A 关于x 轴的对称点为D.证明：点F 在直线BD 上。
高三总复习数学课件 圆锥曲线中的定点、定值问题
定点问题
考向 1 参数法求证定点问题的一般思路 (1)把直线或者曲线方程中的变量 x，y 当作常数看待，把常量当作未知数，将方程 一端化为 0，即化为 kf(x，y)＋g(x，y)＝0 的形式(这里把常量 k 当作未知数)． (2)既然过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部 等于 0，这样就得到一个关于 x，y 的方程组，即fgxx，，yy＝＝00，. (3)这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点，即满足fgxx，，yy＝＝00， 的点(x0，y0)为直线或曲线所过的定点．
[解] (1)抛物线 y2＝8x 的准线为 x＝－2， 所以 F(－2,0)，即 c＝2， 又因为椭圆 C 经过点 A( 6，1)，
则a62＋b12＝1， 解得 a2＝8，b2＝4， a2＝b2＋c2，
所以椭圆 C 的方程为x82＋y42＝1． (2)证明：由(1)知，A1(－2 2，0)，A2(2 2，0)， 所以 l1：x＝－2 2，l2：x＝2 2， 联立x82＋y42＝1， 消 y 得(2k2＋1)x2＋4ktx＋2t2－8＝0，
(2020·全国Ⅰ卷)已知 A，B 分别为椭圆 E：xa22＋y2＝1(a>1)的左、右顶点，G 为 E 的上顶点，―A→G ·―G→B ＝8．P 为直线 x＝6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C，PB 与 E 的另一交点为 D．
(1)求 E 的方程； (2)证明：直线 CD 过定点． [解] (1)由题意得 A(－a,0)，B(a,0)，G(0,1)． 则―A→G ＝(a,1)，―G→B ＝(a，－1)． 由―A→G ·―G→B ＝8 得 a2－1＝8，即 a＝3． 所以 E 的方程为x92＋y2＝1．
直线过定点问题的解题模型
圆锥曲线中的定点、定值问题讲义-2023届高三数学二轮专题复习
专题复习：圆锥曲线中的定点、定值问题一、方法指导圆锥曲线是高考数学中的重点和难点，其中定点问题更是难点中的难点。
通过对近几年高考数学试卷的分析，可以发现圆锥曲线定点问题一直是高频考点，且题目难度较大，对学生的数学思维和解题能力要求较高。
因此，在高三二轮复习中，学生需要加强对圆锥曲线定点问题的复习，掌握其解题方法和技巧。
二、知识梳理圆锥曲线的定义和性质直线与圆锥曲线的位置关系圆锥曲线的定点问题及其解法三、方法总结直接法：通过联立直线和圆锥曲线的方程，消元后得到一元二次方程，再利用根与系数的关系进行求解。
这种方法适用于直线过定点但不与x轴平行的情况。
参数法：引入参数来表示直线的斜率或截距，再通过参数的取值范围来确定定点。
这种方法适用于直线过定点且与x轴平行或重合的情况。
反证法：假设定点不是坐标原点，则过该定点的直线与圆锥曲线有两个交点。
根据韦达定理，这两个交点的横坐标之和等于两倍的定点横坐标，这与题意矛盾。
因此，定点必须是坐标原点。
这种方法适用于直线过定点且与x轴垂直的情况。
由特殊到一般法如果要解决的问题是一个定值（定点）问题，而题设条件又没有给出这个定值（定点），那么我们可以这样思考：由于这个定值（定点）对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定值（定点），明确了解决问题的目标，然后进行一般情况下的推理证明.3.利用推论解题推论1过圆锥曲线上的任意一点P（x0，y0）作互相垂直的直线交圆锥曲线于点A，B，则直线AB必过一定点（等轴双曲线除外）.推论2过圆锥曲线的准线上任意一点P作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB必过焦点.推论3过圆锥曲线外一点P作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB已知且必过定点.推论4过圆锥曲线上的任意一点P（x0，y0）作斜率和为0的两条直线交圆锥曲线于A，B两点，则k AB为定值.推论5设点A，B是椭圆x 2a2+y2b2=1（a>b>0）上关于原点对称的两点，点P是该椭圆上不同于A，B两点的任意一点，直线PA，PB的斜率分别是k1，k2，则k1·k2=-b 2a2推论6过圆锥曲线的焦点F的直线（斜率存在）交圆锥曲线于P，Q两点，PQ的中垂线交x轴于点M，则MFPQ=e2，e为圆锥曲线的离心率.推论7过圆锥曲线的焦点F的直线交圆锥曲线于A，B两点，过点A，B分别作较近准线l 的垂线AA1，BB1，垂足分别为点A1，B1，设准线l与焦点所在轴交于点P，M为PF中点，则（1）AA1与BB1过点M;（2）A1F+B1F为定值.一、动直线过定点1、齐次式：例1、椭圆C :x 24+y 2=1，C (0，1)，设直线l 不过点P ，且与C 交于A 、B 两点，若k PA +k PB =−1，证明：直线l 过定点.2、参数法：例2、（2021·湖北襄阳市高三期末）已知A ，B 分别为椭圆()222:11x C y a a+=>的左､右顶点，P 为C 的上顶点，8AP PB ⋅=. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()6,0作关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 分别交椭圆于()11,M x y 与()22,N x y ，且12x x ≠，证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标.3、特殊到一般例2、（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭两点．(1)求E 的方程；(2)设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．4、待定系数法例3、椭圆C ：22143x y +=左右顶点分别为A 、B ，k ≠0的直线与C 交于M 、N 两点，K BM =2K AN ，证明：直线过定点，并求出该定点.解：A (−2，0) B (2，0)设直线：y =kx +b (k ≠0) M (x 1，y 1) N (x 2，y 2) 直线与曲线联立得：(3+4k 2)x 2+8kbx +4b 2−120 则x 1x 2=4b 2−123+4k 2x 1+x 2=−8kb3+4k 2K BM =2K AN 所以y 1x1−2= 2y 2x 2−2x 2y 1+2y 1=2x 1y 2−4y 2即k x 1x 2−(4k +b )x 2+2(b −k )x 1−6b =0代入得：−12b 2k −8k 2b −12k −18b −(6k +8k 3+9b +12k 2b )x 2=0待定系数有：{−12b 2k −8k 2b −12k −18b =06k +8k 3+9b +12k 2b =0得(2k −b )(2k +3b ) =0若b =2k ,则过定点(−2，0)，不成立； 若−3b =2k ,则过定点(23，0)，成立.5、y 1−y 2或x 1−x 2型例4、已知双曲线C ：x 23−y 2=1,过(3，0)的直线l 交C 于P 、Q 两点，过P 作直线x =1的垂线，垂足为A ，证明：AQ 过定点解：当l 斜率不存在时P (3，√2) Q (3，−√2) 或P (3，−√2) Q (3，√2)过P 作x =1垂线：A (1，√2)或A(1，−√2)此时AQ ：y =√2x −2√2或y = −√2x +2√2 过定点(2，0) 当l 斜率存在时 l ：y =k (x −3) P (x 1，y 1) Q (x 2，y 2) 与双曲线联立得：(1−3k 2)x 2+18k 2x −27k 2−3=0 有x 1x 2=−27k 2−31−3k 2x 1+x 2=−18k 21−3k 2AQ :y =y 1+y 2x 2−1x −x 2(y 2−y 1)x 2−1+y 2令y =0 x =y 2−x 2y 1y 2−y 1= −kx 1x 2+4kx 2−3k2−x 1)=−x 1x 2+4x 2−3x 2−x 1= 27k 2=31−3k 2−3+4x 2−(x 1+x 2−2x 2)= 36k 21−3k 2+4x 218k 21−3k 2+2x 2=2过定点（2，0）二、动点在定直线上的问题例3、（2021·山东威海市高三期末）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为1,,2A B 分别是它的左、右顶点，F 是它的右焦点，过点F 作直线与C 交于,P Q (异于,A B )两点，当PQ x ⊥轴时，APQ ∆的面积为92.（1）求C 的标准方程;（2）设直线AP 与直线BQ 交于点M ，求证:点M 在定直线上.解:（1）由题意知12c a =，所以2a c =，又222a b c =+， 所以3b c =当PQ x ⊥轴时，APQ 的面积为92， 所以()212922b ac a +⋅=解得21,c =所以224,3a b ==，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）由（1）知()1,0F ，设直线PQ 的方程为1x my =+，与椭圆22143x y +=联立，得()2234690m y my ++-=.显然0∆>恒成立. 设1122(,),(,)P x y Q x y ， 所以有12122269,3434m y y y y m m +=-=-++ ()* 直线AP 的方程为()112+2y y x x =+，直线BO 的方程为()2222y y x x =--， 联立两方程可得，所以()()121222+22y y x x x x +=-- ()()121212212121213232221my y x y my y y x x y x y my my y y ++++=⋅==---- 由()*式可得()121232y y y y m=+， 代入上式可得()()1212121221339222233322232y y y y x y y x y y y y +++==-+-=++， 解得4,x = 故点M 在定直线4x =上.三、其他曲线过定点例4、（2021·湖北武汉市高三月考）设P 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>上异于长轴顶点A 1，A 2的任意一点，过P 作C 的切线与分别过A 1，A 2的切线交于B 1，B 2两点，已知|A 1A 2|=4，椭圆C 的离心率为12. （1）求椭圆C 的方程；（2）以B 1B 2为直径的圆是否过x 轴上的定点？如果过定点，请予以证明，并求出定点；如果不过定点，说明理由.解：（1）由题可知122412A A a c e a ⎧==⎪⎨==⎪⎩，解得2,1a c ==，由222a b c =+得23b =， 椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）设00(,)P x y ，由于P 是异于长轴顶点12,A A 的任意一点，故切线斜率存在.设过P 的椭圆的切线为y kx b =+，联立方程22143y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(34)84120k x kbx b +++-=，222(8)4(34)(412)0kb k b ∆=-+-=，得2234b k =+，由002200143y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 所以()220034y kx k -=+，则()22200004230x k y x k y --+-=，即222000016290y k y x k x ++=所以()200430y k x +=，则034x k y =-解得过P 点的切线方程为()000034x y y x x y -=--，即000334x x y y y =-+ 由于分别过12,A A 的切线分别为2,2x x =-=， 解得12,B B 的坐标为0012006363(2,),(2,)22x x B B y y +--.在x 轴上取点(),0M t ，则010632,2x MB t y ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，020632,2x MB t y ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭， 所以2220122369414x MB MB t t y -⋅=-+=-. 当1t =±时，120MB MB ⋅=.所以，以12B B 为直径的圆过x 轴上的定点为12(1,0),(1,0)F F -.二、例题讲解例1A ，B 是抛物线y 2＝2px (p >0)上的两点，且OA ⊥OB (O 为坐标原点)，求证： (1)A ，B 两点的横坐标之积，纵坐标之积分别都是定值； (2)直线AB 经过一定点．例2如图，直线y ＝12x 与抛物线y ＝18x 2－4交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与直线y ＝－5交于Q 点． (1)求点Q 的坐标；(2)当P 为抛物线上位于线段AB 下方(含A ，B )的动点时，求△OPQ 面积的最大值．例3如图，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是抛物线y 2＝2px (p >0)上的相异两点，Q ，P 到y 轴的距离的积为4，且OP →·OQ →＝0. (1)求该抛物线的标准方程；(2)过Q 的直线与抛物线的另一交点为R ，与x 轴的交点为T ，且Q 为线段RT 的中点，试求弦PR 长度的最小值．三、课时练习1．已知λ∈R ，则不论λ取何值，曲线C ：λx 2－x －λy ＋1＝0恒过定点( ) A ．(0，1) B ．(－1，1) C ．(1，0) D ．(1，1)2．若AB 是过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)中心的一条弦，M 是椭圆上任意一点，且AM 、BM 与两坐标轴均不平行，k AM 、k BM 分别表示直线AM 、BM 的斜率，则k AM ·k BM ＝( )A ．－c 2a 2B ．－b 2a 2C ．－c 2b 2D ．－a 2b23．直线y ＝kx －1与椭圆x 24＋y 2a＝1相切，则k ，a 的取值范围分别是( )A ．a ∈(0，1)，k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12B ．a ∈(0，1]，k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12 C ．a ∈(0，1)，k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．a ∈(0，1]，k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12 4．已知点P 是抛物线y 2＝4x 上的点，设点P 到抛物线的准线的距离为d 1，到圆(x ＋3)2＋(y－3)2＝1上一动点Q 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．32＋15．抛物线y 2＝12x 与直线3x －y ＋5＝0的最近距离为______．6．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3，0)，|AM →|＝1，且PM →·AM →＝0，则|PM →|的最小值是____．7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，左顶点为A ，若|F 1F 2|＝2，椭圆的离心率为e ＝12.(1)求椭圆的标准方程；(2)若P 是椭圆上的任意一点，求PF 1→·PA →的取值范围；(3)直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆相交于不同的两点M ，N (均不是长轴的顶点)，AH ⊥MN ，垂足为H ，且AH →2＝MH →·HN →，求证：直线l 恒过定点．。
圆锥曲线中的定点,定值问题
圆锥曲线中的定点，定值问题天台中学 张丽君教学目标：（1）知识目标：以直线和椭圆，抛物线为载体，结合其他条件，探究直线或曲线过定点问题，圆锥曲线中定值问题，体会数形结合，从特殊到一般，转化化归思想在解题中的指导作用。
（2）能力目标：培养学生分析能力，逻辑推理能力，运算能力；（3）情感目标：培养学生善于观察，胆大心细，锲而不舍，不畏艰难的品质。
教学重点与难点：（1）重点：探究直线或曲线过定点问题，圆锥曲线中定值问题，体会数形结合，从特殊到一般，转化化归思想在解题中的指导作用。
（2）难点：培养学生善于观察，胆大心细，锲而不舍，不畏艰难的品质。
教学内容：一．解读高考高考对本节知识的考查主要以如下形式呈现：（1）以解答题的形式考查，以直线和椭圆，抛物线为载体，结合其他条件，探究直线或曲线过定点问题，试题的设计往往不是单纯的数字问题，而是含有一个或多个参数。
（2）以解答题的形式出现，从圆锥曲线的概念入手，求某些定值问题，其实质是考查直线与椭圆，抛物线的位置关系，在一元二次方程，函数，向量，数列等知识交汇处命题，考查学生的逻辑推理能力，计算能力。
二．热身训练练习1. 已知A,B 分别是椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右顶点，对于椭圆C 上异于A,B 的点P ，则=⋅PB PA k k （ C ）A. 22a bB. 22b aC. 22a b -D. 22ba - 分析：由答案的唯一性，P 取特殊点短轴端点时即可快速求得答案。
变式 （1）若椭圆上的点 A,B 关于原点O 对称； ( C )（2） 椭圆改为双曲线12222=-by a x 。
（ P 趋向无穷远处 ，即可求得答案为 A )练习2. 已知直线L 与抛物线)0(22>=p px y 有异于原点O 的两个不同的交点A, B.若=⋅OB OA k k -1，则直线L 必过定点——分析：由对称性知，定点必为X 轴上一点，再取L 垂直X 轴时的位置，解得A(2p,2p),故定点为(2p,0)。
(完整版)圆锥曲线中的定点和定值问题(毛玉峰)
圆锥曲线中的定点和定值问题泰兴市第二高级中学 毛玉峰圆锥曲线是解析几何的重要内容之一,是高考的重点考查内容.这部分知识综合性较强,对学生逻辑思维能力、计算能力等要求很高,特别是圆锥曲线中的定点与定值问题,此类问题主要涉及到直线、圆、圆锥曲线等方面的知识，渗透了函数、化归、数形结合等思想，是高考的热点题型之一. 【要点梳理】1.解析几何中，定点、定值问题是高考命题的一个热点，也是一个难点，解决这类问题基本思想是明确的，那就是定点、定值必然是在变化中所表现出来的不变量，所以可运用函数的思想方法，选定适当的参数，结合等式的恒成立求解，也就是说与题中的可变量无关。
2.椭圆中常见的定值结论：结论1：经过原点的直线l 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相交于,M N 两点，P 是椭圆上的动点，直线,PM PN 的斜率都存在，则PM PN k k g为定值22b a-. 结论2：已知,M N 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>两点，P 是,M N 的中点，直线,MN OP 的斜率都存在，则MN OP k k g 为定值22b a-.结论3：设,,A B C 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的三个不同点，,B C 关于x 轴对称，直线,AB AC 分别与x 轴交于,M N 两点，则OM ON g 为定值2a . 结论4：过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点00(,)P x y 上任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于,M N 两点，则直线MN 的斜率为定值2020b x a y .结论5：分别过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上两点00(,)P x y ，''00(,)Q x y 作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于,M N 两点，则直线MN 的斜率为定值2'002'00()()b x x a y y ++. 3. 定点问题：对圆锥曲线中定点的确定，通常设出适当的参数，求出相应曲线系（直线系）方程，利用定点对参变量方程恒成立的特点，列出方程（组），从而确定出定点或者也可以对参变量取特殊值确定出定点，再进行一般性证明.4. 定值问题：求证或判断某几何量是否为定值时，可引进适当的参变量，直接求出相应几何量的值，说明或证明其为定值（与参变量无关）. 下面结合具体例子加以说明.例1.已知圆221:(1)1C x y ++=和圆222:(4)4C x y -+=．（1）过圆心1C 作倾斜角为θ的直线l 交圆2C 于,A B 两点，且A 为1C B 的中点，求sin θ； （2）过点(,1)P m 引圆2C 的两条割线1l 和2l ，直线1l 和2l 被圆2C 截得的弦的中点分别为,M N .试问过点2,,,P M N C 的圆是否过定点（异于点2C ）？若过定点，求出该定点；若不过定点，说明理由； 【解析】（1）（解略）（2）依题意，过点2,,,P M N C 的圆即为以2PC 为直径的圆，所以(4)()(1)(0)0x x m y y --+--=，即22(4)40x m x m y y -+++-= 整理成关于实数m 的等式22(4)40x m x x y y -+-+-=恒成立 则224040x x x y y -=⎧⎨-+-=⎩，所以40x y =⎧⎨=⎩或41x y =⎧⎨=⎩ 即存在定点(4,1). 小结：本题列出了圆系方程，再整理成关于参变量的方程，列出方程组，得出定点。
圆锥曲线定值定点及探究性问题 教案-2022届高三上学期数学一轮复习
高三圆锥曲线定值定点及探究性问题（讲案）【教学目标】本节内容目标层级是否掌握圆锥曲线中直线横过定点问题★★★★☆☆圆锥曲线中定值问题★★★★☆☆圆锥曲线中探究性问题★★★★★☆一、圆锥曲线中直线横过定点问题1. 直线的点斜式方程：2. 定值问题：解析几何中的定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决.一般步骤如下：（1）选择适当的变量（2）把要证明的定值的量表示成上述变量的函数（3）把定值的量化成与变量无关的形式，从而证明是定值3. 定点问题：定点问题通常情况下要建立含参数的曲线方程，选取合适的坐标，使得此坐标适合该曲线方程且与参数无关4. 证明方法：（1）取参数为特值，确定“定点”“定值”，再进行证明（2）问题转化为证明代数式与变量无关【例题讲解】★☆☆例1：已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1；（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l y kx m =+:与椭圆C 相交于A B ,两点（A B ,不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点.求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】略22122y x =--216m mk ++当12m k =-时，l 的方程()2y k x =-，直线过点()20，，与已知矛盾； 9.设椭圆2222:11x y E a a +=-的焦点在x 轴上． （1）若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；（2）设1F ，2F 分别是椭圆E 的左，右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线2F P 交y 轴于点Q ，并且11F P FQ ⊥．证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．【答案】略将①代入椭圆E 的方程，由于()00,P x y 在第一象限解得2200,1x a y a ==-，即点P 在定直线1x y +=上设O 为坐标原点，动点M 在椭圆2212:x C y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，故P 满足2NP NM =．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ． 【答案】略()(000,,,,NP x x y NM y =-=由2NP NM =得0x =（2）由题意知()10,F -.设()()3,,,Q t P m n -，则()()()()31333,,,,,,,,OQ t PF m n OQ PF m tn OP m n PQ m t n =-=---⋅=+-==---由1OP PQ ⋅=得2231m m tn n --+-=， 又由（1）知222m n +=，故330m tn +-=所以0OQ PF ⋅=，即OQ PF ⊥又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F练1．设12,F F 分别是椭圆2222:1(0,0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，若P 是椭圆E 上的一动点，且12+PF PF 的最大值为1.(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线1x ky =-与椭圆E 交于,A B 两点，点A 关于x 轴的对称点为A '(A '与B 不重合)，则直线A B '与x 轴是否交于一个定点？若是，请写出该定点的坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由． 【答案】略12(PF PF ⋅=-为椭圆长轴端点时，12PF PF ⋅ 有最大值故直线A B ' 与x 轴交于定点(4,0)- 例2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，直线0x y -与以原点为圆心，以椭圆C 的短半轴长为半径的圆相切. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设M 是椭圆的上顶点，过点M 分别作直线MA MB 、交椭圆于A B 、两点，设两直线的斜率分别为12k k ，且124k k +=， 证明:直线AB 过定点1(,1)2--.【答案】略 （Ⅰ）椭圆由（Ⅱ）①若直线AB 的斜率不存在，设方程为0x x =，则点0000(,),(,)A x y B x y - ．②若直线AB 的斜率存在，设AB 方程为y kx m =+，依题意1m ≠± ．练2．已知抛物线2:2(0)C y px p =>过点(,2)M m ，其焦点为,2F MF =. (1)求抛物线C 的方程；(2)设E 为y 轴上异于原点的任意一点，过点E 作不经过原点的两条直线分别与抛物线C 和圆22:(1)1Fx y -+=相切，切点分别为,A B ，求证：直线AB 过定点． 【答案】略(2)设点(0,)(0)E t t ≠，由已知切线不为y 轴，设:EA y kx t =+， 联立24y kx ty x=+⎧⎨=⎩消去y ，可得222(24)0k x kt x t +-+=,①∵直线EA 与抛物线C 相切，222(24)40kt k t ∴∆=--= 设切点00(,)B x y ，则由几何性质可以判断点,O B 关于直线:EF y tx t =-+对称，则∴直线AB 恒过定点(1,0)F ，当1t =±时，(1,2),(1,1)A B ±±，此时直线AB 为1x =，过点(1,0)F ．综上，直线AB 恒过定点(1,0)F ．例3．平面直角坐标系xoy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率是32，抛物线2:2E x y =的焦点F 是C 的一个顶点.(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点,A B ，线段AB 的中点为D .直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M 。
圆锥曲线的一类定点、定值问题 精品教案
圆锥曲线的一类定点、定值问题 ----数学高考热点突破圆锥曲线是高中数学的重要内容，在近几年的高考中，有关圆锥曲线的定点、定值问题常有出现，该类问题知识综合性强，方法灵活，对运算能力和推理能力要求较高，是高中数学的一大重点和难点．定点、定值问题是探求“变化中不变的量”，因此需要从整体上把握问题中的条件信息，并注意挖掘问题中各个量之间的相互关系，恰当合理地运用基本数学思想方法求解问题．本节课通过一类圆锥曲线定点、定值问题的探究，尝试归纳总结高考中此类问题的常见策略．引例：设A 、B 为抛物线()220y px p =>上异于原点O 的不同两点，且0OA OB ⋅=，则 （1）A 、B 两点的横坐标之积为_______，纵坐标之积为_______； （2）直线AB 必过的定点坐标为_________．解法1：由已知，OA 斜率存在且不为0，设:OA y kx =，则1:OB y x k=-由22y kx y px =⎧⎨=⎩得222p x k py k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即222,p p A k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，同理可得()22,2B pk pk -，224,4A B A B x x p y y p ∴==- ①当1k ≠±时，22222212AB ppkk k k p k pk k+==--，故()22:221k AB y pk x pk k +=--，整理可得()2:21k AB y x p k =--，过定点()2,0p②当1k =±时，易得,A B 分别为()2,2p p 和()2,2p p -，故:2AB x p =，过定点()2,0p 综上，直线AB 过定点()2,0p ．解法2：设()22121212,,,22y y A y B y y y p p ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由0OA OB ⋅=得221212204y y y y p +=，12,0y y ≠222212121224,44y y y y p x x p p∴=-== ①当2212y y ≠时，21222112222AB y y p k y y y y p p -==+-，故211122:2y p AB y y x y y p ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，整理得 1212122:y y p AB y x y y y y =+++，()2121224:2py y p AB y x p y y =-∴=-+，过定点()2,0p②当2212y y =时，1212y y y y ≠∴=-，由2124y y p =-得,A B 分别为()2,2p p ±，:2AB x p =，过定点()2,0p ，综合①②知，直线AB 过定点()2,0p ．解法3：设:AB x my t =+联立22y px =得2220y pmy pt --= 22480p m pt ∆=+> 设()()1122,,,A x y B x y ，则12122,2y y pm y y pt +==-，由0OA OB ⋅=得12120x x y y +=，即221212022y y y y p p⋅+=12,0y y ≠222212121224,44y y y y p x x p p∴=-==，又122y y pt =-224pt p ∴-=-故2t p =-，此时2224160p m p ∆=+>:2AB x my p ∴=+，令0y =，得2x p =，故AB 过定点()2,0p ． 解法4：如图，由对称性可知，定点在x 轴上．当,OA OB 关于x 轴对称时，易知:2AB x p =，过()2,0p ，故猜想定点为()2,0C p ，下证,,A C B 三点共线．()()()()()()()()222112121221121212121212212121222+22222222222240,=22AC BCAC BC AC BC y y y y p y y y y x y x y py py p p k k x p x p x p x p x p x p y y y y p p y y p k k k k x p x p ------=-==------⎛⎫-+ ⎪⎝⎭==-∴-=--，同方法可得即故,,A C B 三点共线，直线AB 过定点()2,0p ．变式1：（将条件一般化）设A 、B 为抛物线()220y px p =>上位于x 轴两侧．．的点，且()OA OB a a ⋅=为大于零的常数(O 为原点)，则（1）A 、B 两点的横坐标之积为_______________，纵坐标之积为_______________； （2）直线AB 必过的定点坐标为___________________．解：设:AB x my t =+联立22y px =得2220y pmy pt --= 22480p m pt ∆=+>设()()1122,,,A x y B x y ，则12122,2y y pm y y pt +==-，由OA OB a ⋅=得1212x x y y a +=，即22121222y y y y a p p ⋅+=，即22221212440y y p y y p a +-=，解得12y y =，120y y<(122y y p p ∴=-+，(222121224y y x x p p==+，又122y ypt =-t p ∴=，此时(22480p m p p ∆=+>:AB x my p ∴=+()p ．学以致用1：已知F 为抛物线2y x =的焦点，点A 、B 在抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则三角形ABO 与三角形AFO 面积之和的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C.8解：设:AB x my t =+联立2y x =得20y my t --=240m t ∆=+>设()()1122,,,A x y B x y ，则12y y t =-，由2OA OB ⋅=得22121212122x x y y y y y y +=+=，解得122y y =-或121y y =（舍去）2t ∴-=-即2t =，此时280m ∆=+>:2AB x my ∴=+，过定点()2,0．()1121112242AFO ABO S S y y y ∆∆∴+=⋅⋅+⋅⋅+1298y y =+，由基本不等式得12938y y +≥==，当且仅当1298y y =且122y y =-，即1243,32y y ==-或1243,32y y =-=时，等号成立()min 3ABO AFO S S ∆∆∴+=，故选B ． 变式2：引例中，OA OB ⊥，即1OA OB k k ⋅=-．①若将此条件一般化为OA OB k k a ⋅=（a 为不为零的常数），则直线AB 是否过定点？ ②若改为OA OB k k a +=（a 为不为零的常数），则直线AB 是否过定点？ ③若0OA OB k k +=，则直线AB 有什么特征？解：设:AB x my t =+联立22y px =得2220y pmy pt --= 22480p m pt ∆=+> 设()()1122,,,A x y B x y ，则12122,2y y pm y y pt +==- ①由OA OBk k a ⋅=得1212y y a x x ⋅=12221222y y a y y p p∴⋅=2124p a y y ∴=2124p y y a ∴=又122y y pt =-242p pt a ∴=-解得2p t a =-2:p AB x my a ∴=-，故直线AB 过定点2,0p a ⎛⎫- ⎪⎝⎭． ②由OA OB k k a +=得1212y y a x x +=()121222121212222222222p y y y y p p p pm pma y y y y y y pt tp p+⋅∴+=+====-- 2pm t a ∴=-2:pm AB x my a ∴=-，即2p x m y a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故直线AB 过定点20,p a ⎛⎫⎪⎝⎭．③由0OA OB k k +=得12120y y x x +=()121222121212222022p y y y y p p y y y y y y p p+∴+=+==120y y ∴+=（也可由,A B 两点关于x 轴对称直接得到）20pm ∴=0m ∴=，此时:AB x t =，直线AB 始终垂直于x 轴．变式3：引例中0OA OB ⋅=即OA OB ⊥，若将点O 改为抛物线上的任意一定点00(,)M x y ，且有MA MB ⊥，则直线AB 是否还过定点？解：设:AB x my t =+，联立22y px =可得2220y pmy pt --=22480p m pt ∆=+> 设()()1122,,,A x y B x y ，则12122,2y y pm y y pt +==-，MA MB ⊥1MA MB k k ∴⋅=-102010201y y y y x x x x --∴⋅=---10202222001212222y y y y y y y y p p p p--∴⋅=---()()2102041p y y y y ∴=-++即()2212012041p y y y y y y =-+++22004122p pt y pm y ∴=--+⋅+整理可得22002240y pmy pt p +-+=20022y t my p p∴=++此时()222222000448164160p m y py p pm y p ∆=+++=++>200:22y AB x my my p p ∴=+++即()200202y m y y p x p ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭ 当00y y +=时，有20202y p x p +-=解得202,2y x p y y p=+=-，即002,x x p y y =+=-，故直线AB 过定点()002,x p y +-． 学以致用2：已知()()1,0,1,0B C -,P 是平面内一动点，且满足PC BC PB CB ⋅=⋅． （1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）已知点(,2)A m 在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE ，且AD AE ⊥，判断：直线DE 是否过定点？试证明你的结论．解：（1）设(),P x y 代入PC BC PB CB ⋅=⋅()()()21,2,021x y x =---⋅-=+1x =+，化简得24y x =，此为点P 的轨迹C 的方程．（2）将(),2A m 代入24y x =得1m =，故()1,2A ．设:DE x my t =+代入24y x =得2440y my t --=216160m t ∆=+>设()()1122,,,D x y E x y ，则12124,4y y m y y t +==-，AD AE ⊥1AD AE k k ∴⋅=-121222111y y x x --∴⋅=---1222122211144y y y y --∴⋅=---()()1216122y y ∴=-++即()121216124y y y y =-+++161484t m ∴=--++25t m ∴=+此时()22163280161640m m m ∆=++=++>:25DE x my m ∴=++即()()250m y x ++-= 由2050y x +=⎧⎨-=⎩得52x y =⎧⎨=-⎩，故直线DE 过定点()5,2-．变式4：类似地，将点O 改为抛物线上的任意一定点00(,)M x y ，是否还有变式2中类似的结论？例如：抛物线的两条弦MA 、MB 仍满足0MA MB k k +=，直线AB 还有类似的特征吗？试证明你的结论． 解：设:AB x my t =+联立22y px =得2220y pmy pt --= 22480p m pt ∆=+>设()()1122,,,A x y B x y ，则12122,2y y p m y y p t +==-0M A M B k k +=102010200y y y y x x x x --∴+=--()()()12010202222001210201020222202222p y y y y y y y p p y y y y y y y y y y y y p p p p++--∴+=+==++++--12020y y y ∴++= 0220pm y ∴+=0y m p ∴=-此时2048y pt ∆=+当0t >时0∆>0:y AB x y t p∴=-+ 当00y ≠时， 0AB pk y =-为定值；当00y =时，直线AB 的斜率不存在．综上，直线AB 的倾斜角为定值． 椭圆或双曲线中有没有以上类似抛物线的结论呢？我们来看：变式5：如图，已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的上顶点为()0,1A ，．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过点A 作圆()2221:r y x M =++()10<<r 的两条切线分别与椭圆C 相交于点,B D (不同于点A ).当r 变化时,试问直线BD 是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由．解：（Ⅰ）由已知可得,22212,12b ca b aa b c =⎧⎪⎪=⇒==⎨⎪⎪=+⎩，所求椭圆的方程为2214x y +=（Ⅱ）设切线方程为1y kx =+，则211k r k-=+，即()2221210r k k r --+-= ()22410r ∆=--> 设两切线,AB AD 的斜率为1212,()k k k k ≠，则是上述方程的两根，所以121k k ⋅=；由22114y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()221480k x kx ++= 设()()1122,,,B x y D x y ，则128014k x k -+=+ 12,k k所以211112211814,1414k k x y k k --==++，同理可得22211212222222212111888144,144144114k k k k k x y k k k k k -----=====++++⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 所以221122211111122114144141883414BDk k k k k k k k k k k ---+++==----++，于是直线BD 方程为2211122111141814314k k k y x k k k ⎛⎫-+--=-- ⎪++⎝⎭， ()222232111111112221111111111814120515331414333314k k k k k k k k y x x x k k k k k k k k ++--+--+∴=-+⋅+=-+=--+++即 21115:33k BD y x k +=-- 当0x =，得53y =-，故直线BD 过定点50,3⎛⎫- ⎪⎝⎭．解法2：由已知直线BD 斜率存在且不为0，设:BD y kx m =+联立2214x y +=得 ()222148440k xkmx m +++-= 226416160k m ∆=-+> 设()()1122,,,B x y D x y ，则2121222844,1414km m x x x x k k --+==++1212121111y y k k x x --⋅=∴⋅=()()1212111kx m kx m x x +-+-∴=可得()()()()2212121110k x x k m x x m -+-++-=()()()2222244811101414m km k k m m k k--∴-+-+-=++ 整理得23250m m --+=解得53m =-或1m =5:3BD y kx ∴=-或1y kx =+(舍去)，其过定点50,3⎛⎫- ⎪⎝⎭．思考：若改为14AB AD k k =，直线BD 有什么特征？改为1AB AD k k +=或0AB AD k k +=呢？试证明你的结论． 课后作业：1．已知点()0,m E 为抛物线x y 42=内的一个定点，过E 作斜率分别为21,k k 的两条直线交抛物线于点,,,A B C D ，且,M N 分别是,AB CD 的中点．（Ⅰ）若1=m ，121-=k k ，求EMN ∆面积的最小值； （Ⅱ）若121=+k k ，求证：直线MN 过定点． （Ⅰ）4；（Ⅱ）(),2m ．2．过直线250x y ++=上一动点(A A 不在y 轴上)作焦点为)0,2(F 的抛物线22y px =的两条切线,,M N 为切点,直线,AM AN 分别与y 轴交于点,B C ．（Ⅰ）求证：BF AM ⊥，并求ABC ∆的外接圆面积的最小值； （Ⅱ）求证：直线MN 恒过一定点． （Ⅰ）4920π；（Ⅱ）()5,8-． 3．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，焦点与短轴的两顶点的连线与圆2234x y +=相切． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点()1,0的直线l 与C 相交于,A B 两点，在x 轴上是否存在点N ，使得NA NB 为定值？如果有，求出点N 的坐标及定值；如果没有，请说明理由．（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）11135,0,864N NA NB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．。