圆锥曲线定点、定直线、定值问题
圆锥曲线中的定点、定直线、定值问题
圆锥曲线中的定点、定直线、定值问题例题分析1、已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．2、已知椭圆C的离心率e =，长轴的左右端点分别为()12,0A -，()22,0A 。
（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线1x my =+与椭圆C 交于P 、Q 两点，直线1A P 与2A Q 交于点S 。
试问：当m 变化时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。
3、已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小1，离心率为e =（1）求椭圆E 的方程；（2）过点()1,0作直线l 交E 于P 、Q 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点M ，MP MQ ⋅为定值？若存在，求出这个定点M 的坐标；若不存在，请说明理由﹒4、已知椭圆的焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线24x y =的焦点，离心率e =F 作与坐标轴不垂直的直线l ，交椭圆于A 、B 两点。
（1）求椭圆的标准方程；（2）设点(,0)M m 是线段OF 上的一个动点，且()MA MB AB +⊥，求m 的取值范围；（3）设点C 是点A 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得C 、B 、N 三点共线？若存在，求出定点N 的坐标，若不存在，请说明理由。
课堂练习1．抛物线y ＝ax 2与直线y ＝kx ＋b (k ≠0)交于A ，B 两点，且此两点的横坐标分别为x 1，x 2，直线与x 轴交点的横坐标是x 3，则恒有( )A ．x 3＝x 1＋x 2B ．x 1x 2＝x 1x 3＋x 2x 3C ．x 1＋x 2＋x 3＝0D ．x 1x 2＋x 2x 3＋x 3x 1＝0 2．已知A ，B ，C 三点在曲线y ＝x 上，其横坐标依次为1，m,4(1<m <4)，当△ABC 的面积最大时，m 等于( )A ．3 B.94 C.52 D.323．过抛物线y 2＝2px (p >0)上一定点M (x 0，y 0)(y 0≠0)，作两条直线分别交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，当MA 与MB 的斜率存在且倾斜角互补时，则y 1＋y 2y 0等于( )A ．－2B ．2C ．4D ．－44．已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和的最小值是( )A ．5B ．8 C.17－1 D.5＋25．已知点M 是抛物线y 2＝4x 上的一点，F 为抛物线的焦点，A 在圆C ：(x －4)2＋(y －1)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值为________．6．若抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，动点P 在曲线y 2＝－4x (y ≥0)上，则△P AB 的面积的最小值为________．7． 已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点为F (0，2)，且长轴长与短轴长的比是2：1.(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 上在第一象限的一点P 的横坐标为1，过点P 作倾斜角互补的两条不同的直线P A ，PB 分别交椭圆C 于另外两点A ，B ，求证：直线AB 的斜率为定值；(3)在(2)的条件下，求△P AB 面积的最大值．8．已知定点C (－1,0)及椭圆x 2＋3y 2＝5，过点C 的动直线与椭圆相交于A ，B 两点，在x 轴上是否存在点M ，使MA →·MB →为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．9．已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(－2，0)、(2，0)，离心率是63.直线y ＝t 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，以线段MN 为直线作圆P ，圆心为P .(1)求椭圆C 的方程；(2)若圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标；(3)设Q (x ，y )是圆P 上的动点，当t 变化时，求y 的最大值．10．已知定点0,0()M x y 在抛物线m ：22y px =（p ＞0）上，动点,A B m ∈且0MA MB ⋅=．求证：弦AB 必过一定点．。
高考数学复习：圆锥曲线的定点、定值、定直线
高考数学复习：圆锥曲线的定点、定值、定直线【热点聚焦】纵观近几年的高考试题，圆锥曲线的定点、定值、定直线问题是热点之一.从命题的类型看，主要是大题.一般说来，考查直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系问题，综合性较强，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长、面积、参数、几何量为定值，或定点在某直线上、定直线过某点等.难度往往大些.【重点知识回眸】（一）定值问题1.定义：定值问题是指虽然圆锥曲线中的某些要素（通常可通过变量进行体现）有所变化，但在变化过程中，某个量的值保持不变即为定值.2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．3.常见定值问题的处理方法：（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数.4.定值问题的处理技巧：（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向.（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢（3）巧妙利用变量间关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算（二）定点问题1.求解圆锥曲线中的定点问题的两种思路：(1)特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关.(2)直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组()0g()0f x y x y =⎧⎨=⎩，，；③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，则可以特殊解决.2.求解圆锥曲线中的定点问题的方法（1）确定题目中的核心变量（此处设为k ）（2）利用条件找到k 与过定点的曲线(),0F x y =的联系，得到有关k 与,x y 的等式（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点()00,x y ，使得无论k 的值如何变化，等式恒成立.此时要将关于k 与,x y 的等式进行变形，直至易于找到00,x y .常见的变形方向如下：①若等式的形式为整式，则考虑将含k 的项归在一组，变形为“()k ⋅”的形式，从而00,x y 只需要先让括号内的部分为零即可②若等式为含k 的分式，00,x y 的取值一方面可以考虑使其分子为0，从而分式与分母的取值无关；或者考虑让分子分母消去k 的式子变成常数（这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化，但通常选择容易观察到的形式）3.一些技巧与注意事项：（1）面对复杂问题时，可从特殊情况入手，以确定可能的定点（或定直线）.然后再验证该点（或该直线）对一般情况是否符合.属于“先猜再证”.（2）有些题目所求与定值无关，但是在条件中会隐藏定点，且该定点通常是解题的关键条件.所以当遇到含参数的方程时，要清楚该方程为一类曲线（或直线），从而观察这一类曲线是否过定点.尤其在含参数的直线方程中，要能够找到定点，抓住关键条件.例如：直线:1l y kx k =+-，就应该能够意识到()11y k x =+-，进而直线绕定点()1,1--旋转.（三）定直线问题探求圆锥曲线中的定直线问题的两种方法：方法一是参数法，即先利用题设条件探求出动点T 的坐标(包含参数)，再消去参数，即得动点T 在定直线上；方法二是相关点法，即先设出动点T 的坐标为(x，y)，根据题设条件得到已知曲线上的动点R 的坐标，再将动点R 的坐标代入已知的曲线方程，即得动点T 在定直线上．【典型考题解析】热点一定值问题【典例1】已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．（Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM QO λ= ，QN QO μ= ，求证：11λμ+为定值．【典例2】如图，已知抛物线2:4C x y =，过点(0,2)M 任作一直线与C 相交于,A B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）.(1)证明：动点D 在定直线上；(2)作C 的任意一条切线l （不含x 轴）与直线2y =相交于点1N ，与（1）中的定直线相交于点2N ，证明：2221||MN MN -为定值，并求此定值.【典例3】已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 且斜率为43的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，B 在x 轴的上方，且点B 的横坐标为4.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）设点P 为抛物线C 上异于A ，B 的点，直线PA 与PB 分别交抛物线C 的准线于E ，G 两点，x 轴与准线的交点为H ，求证：HG HE ⋅为定值，并求出定值.【典例4】已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫ ⎪⎝⎭两点．(1)求E 的方程；(2)设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH = ．证明：直线HN 过定点．【典例5】已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅= ，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.【典例6】已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．【总结提升】动直线l 过定点问题的常见思路设动直线方程(斜率存在)为y ＝kx ＋t ，由题设条件将t 用k 表示为t ＝mk ，得y ＝k(x ＋m)，故动直线过定点(－m,0)．【典例7】设椭圆的焦点在x 轴上（Ⅰ）若椭圆的焦距为1，求椭圆的方程；（Ⅱ）设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上第一象限内的点，直线交轴与点，并且，证明：当变化时，点在某定直线上.【典例8】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是()11,0F -，()21,0F ，点()0,A b ，若12AF F △的内切圆的半径与外接圆的半径的比是1:2．(1)求椭圆C 的方程；(2)过C 的左焦点1F 作弦DE ，MN ，这两条弦的中点分别为P ，Q ，若0DE MN ⋅= ，证明：直线PQ 过定点．【典例9】设12,F F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左､右两个焦点，O 为坐标原点，若点P 在双曲线C 的右支上，且1122,OP OF PF F == 的面积为3.(1)求双曲线C 的渐近线方程；(2)若双曲线C 的两顶点分别为()()12,0,,0A a A a -，过点2F 的直线l 与双曲线C 交于M ，N 两点，试探究直线1A M 与直线2A N 的交点Q 是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由.1．已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点.2．在平面直角坐标系中，动点(),M x y 与定点()5,0F 的距离和M 到定直线16:5l x =的距离的比是常数54，设动点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设()2,0P ，垂直于x 轴的直线与曲线C 相交于,A B 两点，直线AP 和曲线C 交于另一点D ，求证：直线BD 过定点.3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为32，右焦点F.(1)求双曲线C 的方程；(2)若12,A A 分别是C 的左､右顶点，过F 的直线与C 交于,M N 两点（不同于12,A A ）.记直线12,A M A N 的斜率分别为12,k k ，请问12k k 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.4．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点为()11,0F -，上、下顶点分别为A ，B ，190AF B ∠=︒．(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆上有三点P ，Q ，M 满足OM OP OQ =+uuu r uu u r uuu r ，证明：四边形OPMQ 的面积为定值．5．已知动圆M 过定点()2,0A ，且在y 轴上截得的弦长为4，圆心M 的轨迹为曲线L ．(1)求L 的方程；(2)已知点()3,2B --，()2,1C ，P 是L 上的一个动点，设直线PB ，PC 与L 的另一交点分别为E ，F ，求证：当P 点在L 上运动时，直线EF 恒过一个定点，并求出这个定点的坐标．6．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，一个焦点1F 与抛物线2y =-的焦点重合．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线:l y kx m =+交C 于,A B 两点，直线1F A 与1F B 关于x 轴对称，证明：直线l 恒过一定点．7．在直角坐标系xOy 中，已知定点(0,1)F ，定直线:3l y =-，动点M 到直线l 的距离比动点M 到点F 的距离大2．记动点M 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线？(2)设0(2,)P y 在C 上，不过点P 的动直线1l 与C 交于A ，B 两点，若90APB ∠=︒，证明：直线1l 恒过定点．8．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设F 为椭圆C 的左焦点，M 为直线3x =-上任意一点，过F 作MF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q ．证明：OM 经过线段PQ 的中点N ．（其中O 为坐标原点）9．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，短轴长为2.(1)求E 的方程；(2)过点()4,0M -且斜率不为0的直线l 与E 自左向右依次交于点B ，C ，点N 在线段BC 上，且MB NBMC NC =，P 为线段BC 的中点，记直线OP ，ON 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k 为定值.10．已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的右焦点为F ，过点F 作一条直线交C 于R ，S 两点，线段RS，C的离心率为2．(1)求C 的标准方程；(2)斜率不为0的直线l 与C 相交于A ，B 两点，(2,0)P ，且总存在实数R λ∈，使得PA PB PF PA PB λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭ ，问：l 是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标11．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，圆O ：222x y a +=，过F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 和圆O.(1)求C 的方程；(2)过圆O 上一点P （不在坐标轴上）作C 的两条切线1l ，2l ，记1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，直线OP 的斜率为3k ，证明：()123k k k +为定值.12.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点()2,1A ．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．。
圆锥曲线定点、定直线、定值问题精编版
定点、定直线、定值专题1、已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l :y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．【标准答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>3,1a c a c +=-=，22,1,3a c b ===221.43x y ∴+= (II)设1122(,),(,)A x y B x y ，由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->.212122284(3),.3434mk m x x x x k k-⇒+=-⋅=++22221212121223(4)()()().34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -⋅=+⋅+=+++=+以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 1AD BD k k ⋅=-，1212122y yx x ∴⋅=---， (最好是用向量点乘来)1212122()40y y x x x x +-++=，2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k --+++=+++，2271640m mk k ++=，解得1222,7km k m =-=-，且满足22340k m +->. 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27k m =-时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0).7综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2(,0).72、已知椭圆C的离心率e =，长轴的左右端点分别为()1A 2,0-，()2A 2,0。
2022年高考数学专题圆锥曲线中的“三定问题”(定点、定值、定直线)
圆锥曲线中的“三定问题”（定点、定值、定直线）1．定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等.2．定点问题解决步骤：①设直线代入二次曲线方程，整理成一元二次方程；②根与系数关系列出两根和及两根积；③写出定点满足的关系，整体代入两根和及两根积；④整理③所得表达式探求其恒成立的条件．3．探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．4．存在型定值问题的求解，解答的一般思路如下：①确定一个(或两个)变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示；②将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量)，然后进行化简，看能否得到一个常数．5．求定线问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定直线，再证明这条线与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定直线．1．在平面直角坐标系xOy 中，已知动点P 到 0,1F 的距离比它到直线2y 的距离小1． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点F 的直线与曲线C 交于A ，B 两点， 2,1Q ，记直线QA ，QB 的斜率分别为1k ，2k ，求证：1211k k为定值．2．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2．（1）求抛物线的方程；（2）过点P（1，1）作两条动直线l1，l2分别交抛物线于点A，B，C，D．设以AB为直径的圆和以CD为直径的圆的公共弦所在直线为m，试判断直线m是否经过定点，并说明理由．3．已知椭圆22221(0)x y a b a b 的一个焦点到双曲线2212x y 渐近线的距离为3，且点2M 在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）若四边形ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线AC 、BD 过原点O ，直线AC 和BD 的斜率之积－22b a，证明：四边形ABCD 的面积为定值．4．已知点(1,2)P 在抛物线2:2C y px 上，过点(0,1)Q 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A 、B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）设O 为原点，QM QO ，QN QO uuu r uuu r ，试判断11+ 是否为定值，若是，求11+ 值；若不是，求11+的取值范围．5．已知双曲线的对称中心在直角坐标系的坐标原点，焦点在坐标轴上，双曲线的一条渐近线的方程为4,6，过双曲线上的一点P（P在第一象限）作斜率不为l，l与直线y ，且双曲线经过点x 交于点Q且l与双曲线有且只有一个交点．1（1）求双曲线的标准方程；（2）以PQ为直径的圆是否经过一个定点？若经过定点，求出定点的坐标；若不经过定点，请说明理由．6．已知双曲线C ：22221x y a b 0,0a b 的两条渐近线互相垂直，且过点D．（1）求双曲线C 的方程；（2）设P 为双曲线的左顶点，直线l 过坐标原点且斜率不为0，l 与双曲线C 交于A ，B 两点，直线m 过x 轴上一点Q （异于点P ），且与直线l 的倾斜角互补，m 与直线PA ，PB 分别交于,M N （,M N 不在坐标轴上）两点，若直线OM ，ON 的斜率之积为定值，求点Q 的坐标．7．已知椭圆2222:1x y C a b，离心率为12，过椭圆左焦点1F 作不与x 轴重合的直线与椭圆C 相交于M ，N 两点，直线m 的方程为2x a ，过点M 作ME 垂直于直线m 交直线m 于点E ． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）①求证线段EN 必过定点P ，并求定点P 的坐标；②点O 为坐标原点，求OEN 面积的最大值．22a b 122一点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设(,)R s t 是椭圆C 上的一动点，由原点O 向22()()4x s y t 引两条切线，分别交椭圆C 于点,P Q ，若直线,OP OQ 的斜率均存在，并分别记为12,k k ，求证：12k k 为定值．22a b 12221:()1F x c y 与圆222:()9F x c y 相交，两圆交点在椭圆E 上．（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线l 不经过 0,1P 点且与椭圆E 相交于,A B 两点，若直线PA 与直线PB 的斜率之和为2 ，证明：直线l 过定点．10．已知抛物线2:4C y x 的焦点为F ，斜率为k 的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，与x 轴交于 ,0P a （1）当1k ，3a 时．求AF BF 的值；（2）当点P 、F 重合时，过点A 的圆 2220x y r r 与抛物线C 交于另外一点D ．试问直线BD 是否过x轴上的定点Q ？若是，请求出点Q 坐标；若不是，请说明理由．11．已知抛物线22(0)y px p 上一点 4,t 到其焦点的距离为5． （1）求p 与t 的值；（2）过点 21M ,作斜率存在的直线l 与拋物线交于,A B 两点（异于原点O ），N 为M 在x 轴上的投影，连接AN 与BN 分别交抛物线于,P Q ，问：直线PQ 是否过定点，若存在，求出该定点，若不存在，请说明理由．12．已知抛物线 21:20C y px p 的焦点是椭圆 22222:10x y C a b a b的右焦点，且两条曲线的一个交点为 000,2p E x y x，若E 到1C 的准线的距离为53，到2C 的两焦点的距离之和为4．（1）求椭圆2C 的方程；（2）过椭圆2C 的右顶点的两条直线1l ，2l 分别与抛物线1C 相交于点A ，C ，点B ，D ，且12l l ，M 是AC 的中点，N 是BD 的中点，证明：直线MN 恒过定点．13．已知抛物线C ： 220y px p 的焦点到准线的距离是12．（1）求抛物线方程；（2）设点 ,1P m 是该抛物线上一定点，过点P 作圆O ： 2222x y r （其中01r ）的两条切线分别交抛物线C 于点A ，B ，连接AB ．探究：直线AB 是否过一定点，若过，求出该定点坐标；若不经过定点，请说明理由．14．已知抛物线 2:20C y px p 的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，O 为坐标原点，OMF 是以OF 为底边的等腰三角形，且OMF 的面积为 （1）求抛物线C 的方程．（2）过点F 作抛物线C 的两条互相垂直的弦AB ，DE ，设弦AB ，DE 的中点分别为P ，Q ，试判断直线PQ 是否过定点．若是，求出所过定点的坐标；若否，请说明理由．15．如图，已知抛物线 2:20C y px p 与圆 22:412M x y 相交于A ，B ，C ，D 四点．（1）若8OA OD ，求抛物线C 的方程；（2）试探究直线AC 是否经过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．16．已知抛物线 2:20C y px p 上一点01,4y到焦点的距离为54．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）若点A ，B 为抛物线位于x 轴上方不同的两点，直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，且满足1212444k k k k ，求证：直线AB 过定点．17．如图，已知抛物线2:2(0)C y px p 与圆22:(4)12M x y 相交于A ，B ，C ，D 四点． （1）若以线段AD 为直径的圆经过点M ，求抛物线C 的方程；（2）设四边形ABCD 两条对角线的交点为E ，点E 是否为定点？若是，求出点E 的坐标；若不是，请说明理由．18．设双曲线22221x y a b ，其虚轴长为（1）求双曲线C 的方程；（2）过点 3,1P 的动直线与双曲线的左右两支曲线分别交于点A 、B ，在线段AB 上取点M 使得AM APMB PB，证明：点M 落在某一定直线上．19．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b 的左右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，离心率为e ，且点(e ，3)，b )都在双曲线C 上． （1）求双曲线C 的标准方程；（2）若A ，B 是双曲线C 上位于x 轴上方的两点，且AF 1//BF 2．证明：1211AF BF 为定值．20．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b2，1F ，2F为其左右焦点，Q 为其上任一点，且满足120QF QF，122QF QF ．（1）求双曲线C 的方程；（2）已知M ，N 是双曲线C 上关于x 轴对称的两点，点P 是C 上异于M ，N 的任意一点，直线PM 、PN 分别交x 轴于点T 、S ，试问：||||OS OT 是否为定值，若不是定值，说明理由，若是定值，请求出定值（其中O 是坐标原点）．21．已知双曲线 2222:10,0x y C a b a b ，四点13M ， 2M ，32,3M ，43M中恰有三点在C 上． （1）求C 的方程；（2）过点 3,0的直线l 交C 于P ，Q 两点，过点P 作直线1x 的垂线，垂足为A ．证明：直线AQ 过定点．22．已知动点P 与定点(1,0)F 的距离和它到定直线:4l x 的距离之比为12，记P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）过点(4,0)M 的直线与曲线C 交于,A B 两点，,R Q 分别为曲线C 与x 轴的两个交点，直线,AR BQ 交于点N ，求证：点N 在定直线上．23．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ： 22210xy a a的左右顶点为A ，B ，上顶点K 满足3AK KB ．（1）求C 的标准方程：（2）过点 1,0的直线与椭圆C 交于M ，N 两点．设直线MA 和直线NB 相交于点P ，直线NA 和直线MB 相交于点Q ，直线PQ 与x 轴交于S ．①求直线PQ 的方程； ②证明：SP SQ 是定值．24．已知椭圆C ： 222210x y a b a b ，左、右顶点分别为1A ，2A ，上、下顶点分别为1B ，2B ，四边形1122A B A B 的面积为（1）求椭圆C 的方程；（2）过点 0,1D 且斜率存在的直线与椭圆相交于E ，F 两点，证明：直线2EB ，1FB 的交点G 在一定直线上，并求出该直线方程．25．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b的左，右顶点分别为A 、B ，点F 是椭圆的右焦点，3AF FB uu u r uu r ，3AF FB． （1）求椭圆C 的方程；（2）不过点A 的直线l 交椭圆C 于M 、N 两点，记直线l 、AM 、AN 的斜率分别为k 、1k 、2k ．若 121k k k ，证明直线l 过定点，并求出定点的坐标．26．已知O 为坐标原点，椭圆2222Γ:1(0)x y a b a b 的右顶点为A ，动直线1:(1)l y x m 与相交于,B C 两点，点B 关于x 轴的对称点为B ，点B 到 的两焦点的距离之和为4．（1）求 的标准方程；（2）若直线B C 与x 轴交于点M ，,OAC AMC 的面积分别为12,S S ，问12S S 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．。
圆锥曲线定点、定直线、定值问题
定点、定直线、定值专题1、已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l :y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．【标准答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>3,1a c a c +=-=，22,1,3a c b ===221.43x y ∴+= (II)设1122(,),(,)A x y B x y ，由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->.212122284(3),.3434mk m x x x x k k-⇒+=-⋅=++22221212121223(4)()()().34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -⋅=+⋅+=+++=+以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 1AD BD k k ⋅=-，1212122y yx x ∴⋅=---， (最好是用向量点乘来)1212122()40y y x x x x +-++=，`2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k --+++=+++，2271640m mk k ++=，解得1222,7km k m =-=-，且满足22340k m +->. 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27k m =-时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0).7综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2(,0).72、已知椭圆C的离心率e =，长轴的左右端点分别为()1A 2,0-，()2A 2,0。
圆锥曲线定值,定点
过圆锥曲线上定点和斜率和积为定值直线，则直线过定点（一）一般性推论：过圆锥曲线上一定点产生的两条直线斜率和积为定，则另外两点的连线过定点。
数学表达：若点定一上线曲锥圆为点定过线直值定者或值定⎩⎨⇒⎧∙=+=P k k k k PA PB PA PB AB点定一上线曲锥圆为值定者或值定点定过线直⎩⎨⇒∙=+=⎧P k k k k PA PB PA PB AB 其次法的使用要点：“齐次”即次数相等的意思，例如=++x cy f ax bxy 22)(称为二次齐式，即二次齐次式的意思，因为f x )(中每一项都是关于x 、y 的二次项。
当圆锥曲线遇到斜率之和或者斜率之积的问题，可以先平移图形，将公共点平移到原点，注意平移口诀是“左加右减，上减下加”，注意此处因为是在y 同侧进行加减，故为“上减下加”，而我们以往记的“上加下减”都是在y 的异侧。
例如要证明直线AP 与AQ 的斜率之和或者斜率之积为定值，可将公共点A 平移到原点，设平移后的直线为+=mx ny 1（为什么这样设？因为这样齐次化能更加方便解题），与圆锥曲线方程联立，一次项乘以+mx ny ，常数项乘以+mx ny 2)(，构造++=ay bxy cx 022，然后等式两边同时除以x 2（前面注明x 不等于0），得到⎝⎭⎪++=⎛⎫x x a b c y y 02，化简为++=ak bk c 02，可以直接利用韦达定理得出斜率之和或者斜率之积，即可得出答案，如果是过定点题目，还需要还原直线，之前如何平移，现在就如何反平移回去。
解题的方法步骤为： （1）平移直线； （2）联立方程并齐次化； （3）同除x 2：（4）利用韦达定理证明，如果过定点，还需要还原直线。
优点；大大减小了计算量，提高准确率，缺点：+=mx ny 1不能表示过原点的直线。
一． 构造法解整式问题在抛物线中的应用引题：证明：已知直线l 与抛物线 ２ｐ （ｐ＞０，ｐ为常数）交于点A ，B 两点，若OA ⊥OB,则直线l 恒过定点（2p,0）设,B(x ,y )）x ,y （A 1122，⊥⇒∙=∙=-x x OA OB k k y y OA OB 11212设AB 直线方程为+=mx ny 1（截距式的变形式可以表示任意直线，该种设法可以利用１的妙用，快速制作齐次式）联立⎩=⎨⎧+=y pxmx ny 212第一步：构造齐次式-∙+=⇒--=y px ny pnxy pmx 2(mx )0y 220222易知A ，B 两点不与O 点重合，所以ｘ ０令则==y p 0,x 2，所以直线过定点(2p,0) 常规证明方法（略）例1：（2017•新课标Ⅰ文）设A ，B 为曲线C ：y ＝上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．第一步：平移抛物线，将抛物线沿→M O 方向平移，及左移２个单位，下移１个单位，及抛物线方程变为=+-y 4(x 2)112化简得+-x x 42联立方程=0⎩⎧+=-⎨-y y mx m x x 4142第二步：构造齐次式--∙-=⇒+-+=x mxy my 4(x y)m(x y)0(14m)x 840222，第四步平移回去：右２，上１，=-++=+y x x 28171．（2020春•江西月考）过抛物线E：y2＝2px（p＞0）上一点M（1，﹣2）作直线交抛物线E于另一点N．（Ⅰ）若直线MN的斜率为1，求线段|MN|的长；（Ⅱ）不过点M的动直线l交抛物线E于A，B两点，且以AB为直径的圆经过点M，问动直线l是否恒过定点．如果有求定点坐标，如果没有请说明理由．题型拓展：２．（2021•齐齐哈尔一模）已知抛物线C1：y2＝2px（p＞0）的焦点F是椭圆C2：x2+2y2＝1的一个顶点．（1）求抛物线C1的方程；（2）若点P（1，2），M，N为抛物线C1上的不同两点，且PM⊥PN．求证：直线MN过定点．斜率和积为定值，直线过定点问题在椭圆中的数学模型建立k k PA PB ⋅=定值或者k k PA PB +=定值，直线过定点，P 点坐标之间的转化证明 将椭圆C 按向量--x y ,00)(平移得椭圆C x x ay y b'+++=2222:001)()(又点P x y ,00)(在椭圆xa yb+=22221上，所以x a y b +=2222001，代入上式得+++=a b a b x y x y x y 022********①。
圆锥曲线中的定点, 定值问题
(2) 当点 P 异于点 B 时，求证：OP OQ 为定值.
2
2
即kx1＋m＋kx2＋m＝0. x1－1 x2－1
化简得 2kx1x2＋(m－k)(x1＋x2)－2m＝0，
所以 2k·2m2－2－4kmm－k－2m＝0， 2k2＋1 2k2＋1
整理得 m＝－2k.
故直线 MN 的方程为 y＝k(x－2)，
因此直线 MN 过定点，该定点的坐标为(2,0).
x2 2.如图，椭圆 E： a2
y2 b2
1(a b 0) 的左焦点为 F1 ，右焦点为 F2 ，离心率 e
1 2
，
过 F1 的直线交椭圆于 A, B 两点，且 △ABF2 的周长为 8．
（Ⅰ）求椭圆 E 的方程．
（Ⅱ）设动直线 l：y=kx+m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P，且与直线 x 4 相交于点 Q．试
解得 n＝2k 或 n＝2k. 7
当 n＝2k 时，直线 MN 的方程为 y＝k(x＋2)，过点 A，与题意不符，舍去；
当
n＝2k
பைடு நூலகம்
时，n2－4k2－3<0，直线
MN
的方程为 y＝k
x＋2 7
，显然过点
Q
－2，0 7
.
7
综上，直线 MN 一定经过 x 轴上一定点 Q
－2，0 7
.
例 2.
已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的离心率 e＝
其中 c＝ a2－b2，
椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1(－c,0)，F2(c,0)．
又∵点 F2 在线段 PF1 的中垂线上， ∴|F1F2|＝|PF2|，∴(2c)2＝( 3)2＋(2－c)2， 解得 c＝1，∴a2＝2，b2＝1. ∴椭圆的方程为x2＋y2＝1.
专题22 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题 微点1 圆锥曲线中的定点问题试题及答案
专题22 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题微点1 圆锥曲线中的定点问题专题22 圆锥曲线中的定点、定值、定值线问题 微点1 圆锥曲线中的定点问题 【微点综述】定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题．证明直线（曲线）过定点的基本思想是是确定方程，即使用一个参数表示直线（曲线）方程，根据方程的成立与参数值无关得出,x y 的方程组，以方程组的解为坐标的点就是直线（曲线）所过的定点．核心方程是指已知条件中的等量关系． 一、圆锥曲线中的定点问题一般情况下，若方程(),0f x y =中含有一个或者多个参数，当x 取某个常数0x 时，求得的y 也是一个与参数无关的常数0y ，这样就可以说方程(),0f x y =对应的曲线经过定点()00,x y ．有时圆锥曲线中的定点问题，可以充分考虑几何性质，从特殊情况出发，对可能的定点有初步的判断，争取确定出定点，这样可以转化为有方向、有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口． 二、处理定点问题两个基本策略：（1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．（2）特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．三、解题流程与方法总结 1．单参数法①设动直线PM 方程为y ＝k （x －x0）＋y0；①联立直线与椭圆（抛物线），解出点M 的坐标为（A （k ），B （k ）），同理（由核心方程代换），得出点N 的坐标为（C （k ），D （k ））；①写出动直线MN 方程，并整理成kf （x ，y ）＋g （x ，y ）＝0；①根据直线过定点时与参数没有关系（即方程对参数的任意值都成立），得到方程组①方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点．2．双参数法①设动直线MN方程（斜率存在）为y＝kx＋t；①由核心方程得到f（k，t）＝0（常用韦达定理）；①把t用k表示或把k用t表示，即kf（x，y）＋g（x，y）＝0（或tf（x，y）＋g（x，y）＝0）；①根据直线过定点时与参数没有关系（即方程对参数的任意值都成立），得到方程组①方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点．四、典型例题精析1．直线过定点问题（1）直线过定点问题的解题模型（2）求解动直线过定点问题，一般可先设出直线的一般方程：y kx b=+，然后利用题中条件整理出,k b的关系，若(),b km n m n=+为常数，代入y kx b=+得()y k x m n=++，则该直线过定点(),m n-．1．已知椭圆C：2222=1x ya b+（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，P4（1，C上.（①）求C的方程；（①）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.2．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，点()0,1P 和点(),A m n (0)m ≠都在椭圆C 上，直线P A 交x 轴于点M ．(1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）．(2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由． 例3．（2022届黑龙江省哈尔滨市高三上学期检测）3．已知抛物线的顶点为原点，焦点F 在x 轴的正半轴，F 到直线20x y -+=的距离为点()()000,0N x y y >为此抛物线上的一点，52NF =.直线l 与抛物线交于异于N 的两点A ，B ，且2NA NB k k ⋅=-. (1)求抛物线方程和N 点坐标；(2)求证：直线AB 过定点，并求该定点坐标.4．如图所示，设椭圆M ：22221(0)x y a b a b +=>>的左顶点为A ，中心为O ，若椭圆M 过点11(,)22P -，且AP ①OP ．(1)求椭圆M 的方程；(2)若①APQ 的顶点Q 也在椭圆M 上，试求①APQ 面积的最大值；(3)过点A 作两条斜率分别为k 1，k 2的直线交椭圆M 于D ，E 两点，且k 1k 2＝1，求证：直线DE 过定点．例5．（2022届北京大学附属中学高三12月月考）5．已知点()11,0F -，()21,0F ，曲线C 上的动点M 满足12122MF MF F F +=． (1)求曲线C 的方程；(2)若直线1MF 与曲线C 相交于另一点N ，当直线MN 不垂直于x 轴时，点M 关于x 轴的对称点为P ，证明：直线PN 恒过一定点．6．椭圆C 的焦点为()1F ，)2F ，且点)M在椭圆C 上．过点()0,1P 的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，点B 关于y 轴的对称点为点D （不同于点A ）．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)证明：直线AD 恒过定点，并求出定点坐标． 2．圆过定点问题圆过定点问题的常见类型是以AB 为直径的圆过定点P ，求解思路是把问题转化为PA PB ⊥，也可以转化为0PA PB ⋅=例7．（2022届广西“智桂杯”高三上学期大联考）7．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为(10)F ，，与x 轴不重合的直线l 过焦点F ，l 与椭圆C 交于A ，B 两点，当直线l 垂直于x 轴时，3AB =.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设椭圆C 的左顶点为P ，PA ，PB 的延长线分别交直线4x =于M ，N 两点，证明：以MN 为直径的圆过定点. 3．与定点问题有关的基本结论（1）若直线l 与抛物线22y px =交于点,A B ，则OA OB ⊥⇔直线l 过定点()2,0P p ； （2）若直线l 与抛物线22y px =交于点,A B ，则OA OB k k m ⋅=⇔直线l 过定点()P p +；（3）设点()2002,2P pt pt 是抛物线22y px =上一定点，,M N 是该抛物线上的动点，则PM PN ⊥⇔直线MN 过定点()20022,2Q p pt pt +-．（4）设点()00,A x y 是抛物线22y px =上一定点，,M N 是该抛物线上的动点，则AM AN k k m ⋅=⇔直线MN 过定点002,p P x y m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； （5）过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左顶点P 作两条互相垂直的直线与该椭圆交于点,A B ，则PA PB ⊥⇔直线AB 过点()2222,0a a b Q a b ⎛⎫- ⎪- ⎪+⎝⎭；（6）过椭圆()222210,0x y a b a b-=>>的左顶点P 作两条互相垂直的直线与该椭圆交于点,A B ，则PA PB ⊥⇔直线AB 过点()2222,0a a b Q a b ⎛⎫+ ⎪- ⎪-⎝⎭；（7）设点(),P m n 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>上一定点，点A ，B 是椭圆C 上不同于P 的两点，若()0PA PB k k λλ+=≠，则直线AB 过定点2222,n b m m n a λλ⎛⎫--- ⎪⎝⎭；（8）设点(),P m n 是双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>一定点，点A ，B 是双曲线C 上不同于P 的两点，若()0PA PB k k λλ+=≠，则直线AB 过定点2222,n b m m n a λλ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭．例8．（2022届海南华侨中学高三上学期月考）8．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点()0,1M -是椭圆的一个顶点，12F MF △是等腰直角三角形. (1)求椭圆的方程；(2)过点M 分别作直线,MA MB 交椭圆于,A B 两点，设两直线的斜率分别为12,k k ，且124k k +=，求证：直线AB 过定点1,12⎛⎫⎪⎝⎭.例9．（2022届辽宁省名校联盟高三上学期12月联考）9．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点0(,4)M x 在C 上，且52p MF =． (1)求点M 的坐标及C 的方程；(2)设动直线l 与C 相交于,A B 两点，且直线MA 与MB 的斜率互为倒数，试问直线l 是否恒过定点？若过，求出该点坐标；若不过，请说明理由． 【强化训练】10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>(2,0)在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点(1,0)P 的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于A 、B 两点，设点B 关于x 轴对称点为B '. 直线AB '与x 轴的交点Q 是否为定点？请说明理由.11．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点⎛ ⎝⎭ (1)求椭圆C 的方程．(2)直线()1(0)y k x k =≠-与椭圆C 交于A ，B 两点，点M 是椭圆C 的右顶点．直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于点P ，Q ，试问以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标．若不是，说明理由． 12．已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）． （①）求抛物线C 的方程及其准线方程；（①）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．13．双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的一条渐近线l 的倾斜角为π6，过左、右焦点1F ，2F 分别作l 的垂线，两垂足间的距离为 (1)求双曲线C 的方程；(2)过点P （1，0）且斜率不为0的直线1l 与双曲线C 交于M ，N 两点，记N 关于x 轴的对称点为Q ，证明直线MQ 过x 轴上的定点． （2022届河南省焦作市高三上学期开学考试）14．在PAB 中，已知()2,0A -、()2,0B ，直线PA 与PB 的斜率之积为34-，记动点P 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)设Q 为曲线C 上一点，直线AP 与BQ 交点的横坐标为4，求证：直线PQ 过定点. （2022届陕西省西安市高三上学期模拟）15．已知与圆22:(1)3C x y ++=相切的直线l ，过抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点F ，且直线l 的倾斜角为23π. (1)求抛物线E 的方程；(2)直线1l 与抛物线E 交于点A ，B 两点，且A ，B 关于直线y x =+对称，在12y x=-上是否存在点N ，使得以AB 为直径的圆恰好过点N ，若存在，求出点N 的坐标；否则，请说明理由.（2022届河南省名校联盟高三上学期阶段性测试）16．已知椭圆22:143x y C +=的右焦点为F ，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．(1)若AM MB =，且直线l 的斜率为4，求直线OM (点O 为坐标原点)的斜率． (2)若直线FA ，FB 的斜率互为相反数，且直线l 不与x 轴垂直，探究：直线l 是否过定点?若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．17．过点(0,2)D 的任一直线l 与抛物线220C :x py(p )=＞交于两点,A B ，且4OA OB =-． (1)求p 的值．(2)已知,M N 为抛物线C 上的两点，分别过,M N 作抛物线C 的切线12l l 和，且12l l ⊥，求证：直线MN 过定点．（2022届上海市进才中学高三上学期12月联考）18．在平面直角坐标系xOy 中，动点M 到直线4x =的距离等于点M 到点(1,0)D 的距离的2倍，记动点M 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)已知斜率为12的直线l 与曲线C 交于A 、B 两个不同点，若直线l 不过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线PA PB 、的斜率分别为PA PB k k 、，求PA PB k k +的值；(3)设点Q 为曲线C 的上顶点，点E 、F 是C 上异于点Q 的任意两点，以EF 为直径的圆恰过Q 点，试判断直线EF 是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．19．在平面直角坐标系xOy 中，M 为直线y ＝x －2上一动点，过点M 作抛物线C ：x 2＝y 的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ，N 为AB 的中点． (1)证明：MN ①x 轴．(2)直线AB 是否恒过定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由． （2022届广东省茂名市五校联盟高三上学期联考）20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F .，点P 在y 轴正半轴上，12PF F △为直角三角形且面积等于2. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知斜率存在且不为0的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，当点A 关于y 轴的对称点在直线PB 上时，直线l 是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过，请说明理由. （2022届江苏省南通市高三上学期期末）21．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：22x a －22y b＝1(a 、b 为正常数．．)的右顶点为A ，直线l 与双曲线C 交于P 、Q 两点，且P 、Q 均不是双曲线的顶点，M 为PQ 的中点．(1)设直线PQ 与直线OM 的斜率分别为k 1、k 2，求k 1·k 2的值；(2)若AMPQ ＝12，试探究直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；否则，说明理由．22．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，当l x ⊥轴时，2AB =. (1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 交y 轴于点D ，过点D 且垂直于y 轴的直线交抛物线C 于点P ，直线PF 交抛物线C 于另一点Q .①是否存在定点M ，使得四边形AQBM 为平行四边形？若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，请说明理由. ①求证：QAF QBF S S △△为定值.参考答案：1．(1) 2214x y +=.(2)证明见解析.【详解】试题分析：（1）根据3P ，4P 两点关于y 轴对称，由椭圆的对称性可知C经过3P ，4P 两点.另外由222211134a b a b +>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上.因此234,,P P P 在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C 的方程；（2）先设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，再设直线l 的方程，当l 与x 轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设l ：y kx m =+（1m ≠），将y kx m =+代入2214x y +=，写出判别式，利用根与系数的关系表示出x 1+x 2，x 1x 2，进而表示出12k k +，根据121k k +=-列出等式表示出k 和m 的关系，从而判断出直线恒过定点.试题解析：（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点. 又由222211134a b a b +>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上. 因此222111314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩. 故C 的方程为2214x y +=.（2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t，（t，.则121k k +==-，得2t =，不符合题设.从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）.将y kx m =+代入2214x y +=得()222418440kx kmx m +++-=由题设可知()22=16410k m ∆-+>.设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841km k -+，x 1x 2=224441m k -+.而12121211y y k k x x --+=+ 121211kx m kx m x x +-+-=+ ()()12121221kx x m x x x x +-+=.由题设121k k +=-，故()()()12122110k x x m x x ++-+=. 即()()22244821104141m km k m k k --+⋅+-⋅=++.解得12m k +=-. 当且仅当1m >-时，0∆>，欲使l ：12m y x m +=-+，即()1122m y x ++=--， 所以l 过定点（2，1-）点睛:椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简.2．(1)2212x y +=，点M 的坐标为,01m n ⎛⎫⎪-⎝⎭ (2)存在，(0,Q【分析】（1）根据椭圆的离心率以及过点P (0，1)，可以得出a ，b ，c 的方程，求出2a ，2b 得出椭圆的方程．（2）设点Q 的坐标是()00,Q y ，由条件OQM ONQ ∠=∠转化到正切值的关系，进而转化为斜率求得0y ． （1）由题意知，代入点()0,1P ，得2101b+=，①21b =．2212c a =，则2212c a =．由222a b c =+，得2222a b ==．①椭圆C 的方程是2212x y +=．由点()0,1P 和(),A m n 的坐标，得出直线P A 的方程为11n y x m-=+． 令0y =，得1m x n =-，①点M 的坐标为,01m n ⎛⎫⎪-⎝⎭． （2）点(),A m n 在椭圆上，有2212m n +=． 点B 的坐标为(,)m n -，直线PB 的方程为11n y x m+=+-． 令0y =，得1m x n =+，①点N 的坐标为,01m n ⎛⎫⎪+⎝⎭． 设点Q 的坐标是()00,Q y ，则()001tan 1mm n OQM y n y -∠==-，00(1)tan 1y n y ONQ m m n+∠==+． ①OQM ONQ ∠=∠，①tan tan OQM ONQ ∠=∠，即00(1)(1)n y mn y m+=-．①2222022221112m m m y n n m ====--．①0y =点Q的坐标为(0,，①在y轴上存在点(0,Q ，使得OQM ONQ ∠=∠． 3．(1)22y x =，()2,2N (2)证明见解析，定点()3,2-【分析】（1）设抛物线的标准方程为22y px =，利用点到直线距离公式可求出p ，再利用焦半径公式可求出N 点坐标；（2）设直线的方程为x ty b =+，与抛物线联立，利用韦达定理计算2NA NB k k ⋅=-，可得,t b 关系，然后代入直线方程可得定点.【详解】（1）设抛物线的标准方程为22y px =，0p >，其焦点为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭= ①1p =所以抛物线的方程为22y x =.0522p NF x ∴=+=，所以02x =，所以24y =. 因为00y >，所以02y =，所以()2,2N .（2）由题意知，直线的斜率不为0，设直线的方程为x ty b =+（t R ∈），联立方程22,,y x x ty b ⎧=⎨=+⎩得2220.y ty b --=设两个交点211,2y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2y B y ⎛⎫⎪⎝⎭（12y ≠±，22y ≠±）.所以21212Δ480,2,2,t b y y t y y b ⎧=+>⎪+=⎨⎪=-⎩ 所以NA NBk k ⋅=()()122212122242222222y y y y y y --==-++--， 即()()()12121222242442y y y y y y b t ++=+++=-++=-整理得23b t =+，此时()24460t t ∆=++>恒成立，此时直线l 的方程为23x ty t =++，可化为()32x t y -=+， 从而直线过定点()3,2-.4．(1)22113y x +=． 14(3)证明见解析【分析】（1）根据题意可得kAP ·kOP ＝－1，可求出a ，再由椭圆M 过点P ，将点P 坐标代入椭圆方程可求出2b ，从而可求出椭圆方程，（2）求出直线AP 的方程，设cos Q θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，再求出点Q 到直线AP 的距离，从而可表示出①APQ 面积，再利用三角函数的性质可求得结果，（3）解法1：单参数法，由题意易得，直线AD 的方程为y ＝k 1（x ＋1），代入x 2＋3y 2＝1，可求出点D 的坐标，同理求出点E 的坐标，从而可表示出直线DE 的方程，从而可求得结果，解法2：设直线DE 的方程为x ＝ty ＋s ，将其代入x 2＋3y 2＝1，利用根与系数关系，再由k 1k 2＝1，可求出s ，从而可求得结果.【详解】（1）由AP ①OP ，可知kAP ·kOP ＝－1． 又点A 的坐标为（－a ，0），所以112211122a ⋅=--+-，解得a ＝1．又因为椭圆M 过点P ，所以211144b+=，解得213b =，所以椭圆M 的方程为22113y x +=． （2）由题意易求直线AP 的方程为01110122y x -+=--+，即x －y ＋1＝0．因为点Q 在椭圆M上，故可设cos Q θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，又AP =所以1112464APQSπθ⎛⎫==++ ⎪⎝⎭， 当π2π(Z)6k k θ+=∈，即π2π(Z)6k k θ=-∈时，cos 16πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，APQS14． （3）法一：单参数法由题意易得，直线AD 的方程为y ＝k 1（x ＋1），代入x 2＋3y 2＝1，消去y ，得2222111(31)6310k x k x k +++-=，设D （xD ，yD ），则212131(1)31D k x k --⋅=+，即21211313D k x k -=+，所以2111221113211313D k k y k k k ⎛⎫-=+= ⎪++⎝⎭．设E （xE ，yE ），同理可得22221313E k x k -=+，222213E k y k =+．又k 1k 2＝1且k 1≠k 2，可得211k k =且k 1≠±1， 所以211221132,33E E k kx y k k -==++， 所以112211122211122112231323133(1)313E D DEE D k k y y k k k k k k x x k k k --++===---+-++ 故直线DE 的方程为21112221112213133(1)13k k k y x k k k ⎛⎫--=- ⎪+++⎝⎭．令y ＝0，可得22112211133(1)21313k k x k k -+=-=-++． 故直线DE 过定点（－2，0）． 法二：双参数法设D （xD ，yD ），E （xE ，yE ）．若直线DE 垂直于y 轴，则xE ＝－xD ，yE ＝yD ，此时221222111133D E D D D E D D y y y y k k x x x y =⋅===++-与题设矛盾， 若DE 不垂直于y 轴，可设直线DE 的方程为x ＝ty ＋s ，将其代入x 2＋3y 2＝1，消去x ， 得（t 2＋3）y 2＋2tsy ＋s 2－1＝0，则22221,33D E D E ts s y y y y t t --+==++． 又12111(1)(1)D E D ED E D E y y y y k k x x ty s ty s =⋅==++++++， 可得（t 2－1）yDyE ＋t （s ＋1）（yD ＋yE ）＋（s ＋1）2＝0， 所以2222212(1)(1)(1)033s tst t s s t t ---⋅++⋅++=++， 2222(1)(1)(1)(2)(1)(3)0t s t s ts s t -⋅-++⋅-+++=，化简得(1)(24)0s s ++=， 解得s ＝－2或s ＝－1．又DE 不过点A ，即s ≠－1，所以s ＝－2．所以DE 的方程为x ＝ty －2． 故直线DE 过定点（－2，0）． 5．(1)22143x y +=；(2)证明见解析.【分析】（1）由题意得出12124MF MF F F +=>，根据椭圆的定义可知曲线C 是以1F ，2F 为焦点，长轴长为4的椭圆，从而可求出椭圆方程；（2）设直线MN 的方程为()1y k x =+或1x ty =-，把直线方程与椭圆方程联立，消元，写韦达；根据点M 的坐标写出点P 的坐标，从而求出直线PN 的方程，证明直线PN 与x 轴的交点为定点即可. （1）因为122F F =，12124MF MF F F +=>，所以曲线C 是以1F ，2F 为焦点，长轴长为4的椭圆， 所以2a =，1c =，b == 所以曲线C 的方程为22143x y +=． （2）解法一：因为直线MN 不与x 轴垂直，所以设直线MN 的方程为()1y k x =+由()221143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得()()2222348430k x k x k +++-=，因为点1F 在曲线C 内，所以0∆>恒成立，设()11,M x y ，()22,N x y ，则2122834k x x k +=-+，()21224334k x x k -=+． 因为点P 与点M 关于x 轴对称，所以()11,P x y -． 所以直线PN 的斜率2121+=-PN y y k x x ，直线PN 的方程是()211121y y y y x x x x ++=--．令0y =，得()211211212121x x y x y x y x xy y y y -+=+=++()()()211221112x k x x k x k x x ⋅++⋅+=++()12122122x x x x x x ++++=()2222224382343448234k k k k k k -⎛⎫⨯+- ⎪++⎝⎭==--++． 所以此时直线PN 过定点()4,0-．当直线MN 与x 轴重合时，直线PN 为x 轴，显然过点()4,0-． 综上所述，直线MN 恒过定点()4,0-．解法二：当MN 不与x 轴重合时，设直线MN 的方程为1x ty =-，由221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2234690t y ty +--=，()()()()2226434914410t t t ∆=--⨯+⨯-=+>．设()11,M x y ，()22,N x y ，设122634ty y t +=+，122934y y t =-+． 因为点P 与点M 关于x 轴对称，所以()11,P x y -． 所以直线PN 的斜率2121+=-PN y y k x x ，直线PN 的方程是()211121y y y y x x x x ++=-- 令0y =，得()()()211211112121111ty ty y x x y x xty y y y y ---⎡⎤-⎣⎦=+=+-++122121ty y y y =-+ 22923414634t t t t ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-=-+， 所以此时直线PN 过定点()4,0-．当直线MN 与x 轴重合时，直线PN 为x 轴，显然过点()4,0-． 综上所述，直线MN 恒过定点()4,0-．6．(1)22142x y +=(2)证明见解析，定点坐标为()0,2【分析】（1）计算1224a MF MF =+=，得到椭圆方程.（2）考虑斜率存在和不存在两种情况，联立方程得到根与系数的关系，通过特殊直线得到定点为2(0)Q ，，再计算斜率相等得到证明. （1）设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由已知得124c a MF MF ==+=.所以2a =，2222b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为22142x y +=. （2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1(0)y kx k =+≠．由221421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(21)420k x kx ++-=. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，22(,)D x y -，则()22122122Δ16821042122k k k x x k x x k x ⎧=++>⎪⎪⎪+=-⎨+⎪⎪=-⎪+⎩，特殊地，当A 的坐标为(2)0，时，12k =-，所以2423x =-，223x =-，143y =， 即24,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以点B 关于y 轴的对称点为24,33⎛⎫⎪⎝⎭D ，则直线AD 的方程为2y x =-+.当直线l 的斜率不存在时，直线AD 的方程为0x =.如果存在定点Q 满足条件，则为两直线交点2(0)Q ，， 111112111QA y y k k x x x ---===-，22221QD y k k x x -==-+-， 又因为121212112()2220.QA QD x x k k k k k k x x x x +-=-+=-=-= 所以QA QD k k =，即,,A D Q 三点共线，故直线AD 恒过定点，定点坐标为(0)2，． 7．(1)22143x y +=；(2)证明见解析.【分析】(1)根据给定条件结合椭圆通径的意义及222a b c =+计算即可得解.(2)设出直线l 方程，再与椭圆C 的方程联立，用点A ，B 的纵坐标表示出点M ，N 的纵坐标，然后借助韦达定理、向量数量积计算即可作答. （1）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点(1,0)F ，则半焦距1c =，当l x ⊥轴时，弦AB 为椭圆的通径，即22||b AB a=，则有223b a =，即232b a =， 而222a b c =+，于是得23102--=a a ，又0a >，解得2a =，b =所以椭圆C 的方程为：22143x y +=. （2）依题意，直线AB 不垂直于y 轴，且过焦点(1,0)F ，设AB 的方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由2234121x y x my ⎧+=⎨=+⎩得()2234690m y my ++-=，122634m y y m -+=+，122934y y m -=+， 因点(2,0)P -，则直线PA 的方程为11(2)2y y x x =++，令4x =，得116(4,)2y M x +， 同理可得226(4,)2y N x +，于是有122166),)22(3,(3,FM FN y y x x ==++，则()()()121212212121212663636999223339y y y y y y FM FN x x my my m y y m y y ⋅=+⋅=+=++++++++2222293636(9)349909183693434m m m m m -⋅⨯-+=+=+=--++++， 因此，FM FN ⊥，即F 在以MN 为直径的圆上， 所以以MN 为直径的圆过定点(1,0)F .【点睛】方法点睛：涉及过定点()00,x y 且不垂直于某条坐标轴的直线方程设法，若直线不垂直于x 轴，可设其方程为： ()00y y k x x -=-； 若直线不垂直于y 轴，可设其方程为：.()00x x m y y -=-. 8．(1)2212x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据题意列方程组求得,a b ，即可得到椭圆的标准方程； （2）设()()1122,,,A x y B x y ，分直线AB 斜率存在与不存在两种情况证明.当直线AB 的斜率存在时，设AB ：y kx m =+，联立椭圆方程消元后利用韦达定理及判别式求得22212122242221,,2121km m k m x x x x k k -+>+=-⋅=++，由124k k +=求得12k m =-，代入直线方程可证得直线过定点1,12⎛⎫⎪⎝⎭，再考虑直线AB 的斜率不存在时情况，易证得结果.（1）由题意可得2221b c b a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩，解得1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆的方程为2212x y +=.（2）设()()1122,,,A x y B x y .①当直线AB 斜率存在时，设直线AB 方程为y kx m =+， 联立2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222214220k x kmx m +++-=. 由()()()222222Δ16421228210k m k m k m =-+-=-+>，得2221k m +>.所以2121222422,2121km m x x x x k k -+=-⋅=++．所以12121212121111y y kx m kx m k k x x x x +++++++=+=+()1212214x xk m x x +=++=， 即2241km k m -=-，所以21km k m =--，即()()2122km k m km k m =--=--+， 所以12k m =-，所以11122k y kx m kx k x ⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭，所以直线AB 过定点1,12⎛⎫⎪⎝⎭.①当直线AB 斜率不存在时，()()1111,,,A x y B x y -，则11121111124y y k k x x x +-++=+==，所以112x =，则直线AB 也过定点1,12⎛⎫⎪⎝⎭.综合①①，可得直线AB 过定点1,12⎛⎫⎪⎝⎭.9．(1)M 的坐标为()4,4，C 的方程为24y x =； (2)直线l 过定点()0,4-.【分析】(1)利用抛物线定义求出0x ，进而求出p 值即可得解.(2)设出直线l 的方程x my n =+，再联立直线l 与抛物线C 的方程，借助韦达定理探求出m 与n 的关系即可作答.【详解】（1）抛物线2:2C y px =的准线：2px =-，于是得0522p p MF x =+=，解得02x p =， 而点M 在C 上，即2164p =，解得2p =±，又0p >，则2p =， 所以M 的坐标为()4,4，C 的方程为24y x =.（2）设()()1122,,,A x y B x y ，直线l 的方程为x my n =+，由24x my n y x=+⎧⎨=⎩消去x 并整理得：2440y my n --=，则()2160m n ∆=+>，124y y m +=，124y y n =-，因此，121222121212444444144444444MA MB y y y y k k y y x x y y ----⋅=⋅=⋅=⋅=--++--， 化简得()121240y y y y ++=，即4n m =，代入l 方程得4x my m =+，即()40x m y -+=，则直线l 过定点()0,4-，所以直线l 过定点()0,4-.【点睛】思路点睛：直线与圆锥曲线相交，直线过定点问题，设出直线的斜截式方程，与圆锥曲线方程联立，借助韦达定理求出直线斜率与纵截距的关系即可解决问题. 10．（1）2214x y +=；（2）()4,0Q .【分析】（1(2,0)在椭圆C上，由2222c e a a a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩求解；（2）设()()()()112222,,,,,,,0A x y B x y B x y Q n '-，直线AB 的方程为()()10y k x k =-≠，与椭圆方程联立，则直线AB '的方程()121112y y y y x x x x +-=--，令0y =，结合韦达定理求解. 【详解】（1）因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>(2,0)在椭圆C 上，所以2222c e a a a b c⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，所以椭圆C 的标准方程2214x y +=；（2）()()()()112222,,,,,,,0A x y B x y B x y Q n '-， 直线AB 的方程为()()10y k x k =-≠，联立()22114y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()2222148440k x k x k +-+-=， 由韦达定理得22121222844,1414k k x x x x k k -+=⋅=++， 直线AB '的方程为()121112y y y y x x x x +-=--， 令0y =，得()112122111212y x x x y x y n x y y y y -+=-+=++，又()()1122=1,=1y k x y k x --， 所以()()11212121121242y x x x x x x n x y y x x --+=-+==++-，所以直线AB '与x 轴的交点Q 是定点，其坐标是()4,0Q . 11．(1)2214x y +=(2)是，以线段PQ 为直径的圆过x轴上的定点(．【分析】（1）由椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点可求椭圆C 的方程；（2）直线(1)(0)y k x k =-≠代入椭圆方程，求出P ，Q 的坐标，利用以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点0(N x ,0)，则等价于0PN QN ⋅=恒成立，即可得出结论．【详解】（1）解：由题意得222221314c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2a =，1b =．①椭圆C 的方程是2214x y +=．（2）解：以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点．直线(1)(0)y k x k =-≠代入椭圆可得2222(14)8440k x k x k +-+-=． 设1(A x ,1)y ，2(B x ,2)y ，则有2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+．又因为点M 是椭圆C 的右顶点，所以点(2,0)M ． 由题意可知直线AM 的方程为11(2)2y y x x =--，故点11(0,2)2y x P --． 直线BM 的方程为22(2)2y y x x =--，故点222(0,)2y Q x --．若以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点0(N x ，0)，则等价于0PN QN =恒成立． 又因为0(PN x =,112)2y x -，0(QN x =,222)2y x -， 所以21201222022y y PN QN x x x ⋅=+⋅=--恒成立． 又因为212121224(2)(2)2()414k x x x x x x k --=-++=+，()()221212231114k y y k x x k -=--=+，所以22120012223022y y x x x x +⋅=-=--，解得0x = 故以线段PQ 为直径的圆过x轴上的定点(0)． 12．(①) 24x y =-，1y =； (①)见解析.【分析】(①)由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程；(①)联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令x =0即可证得题中的结论.【详解】(①)将点2,1代入抛物线方程：()2221p =⨯-可得：2p =，故抛物线方程为：24x y =-，其准线方程为：1y =. (①)很明显直线l 的斜率存在，焦点坐标为()0,1-，设直线方程为1y kx =-，与抛物线方程24x y =-联立可得：2440x kx +-=. 故：12124,4x x k x x +=-=-.设221212,,,44x x M x N x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12,44OM ON x x k k =-=-，直线OM 的方程为14x y x =-，与1y =-联立可得：14,1A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理可得24,1B x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 易知以AB 为直径的圆的圆心坐标为：1222,1x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，圆的半径为：1222x x -， 且：()1212122222x x k x x x x ++==，12222x x -==则圆的方程为：()()()2222141x k y k -++=+，令0x =整理可得：2230y y +-=，解得：123,1y y =-=， 即以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点()()0,3,0,1-.【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求解及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.13．(1)2213x y -=；(2)证明见解析.【分析】（1）根据渐近线的倾斜角可得3a b ，由已知及点线距离公式求参数，进而写出双曲线C 的方程；（2）设1l 为()1y k x =-且0k ≠、()11,M x y ，()22,N x y （12x x ≠），联立双曲线方程应用韦达定理、两点式求MQ k ，再由点斜式写出MQ 的方程，令0y =化简求x ，即可证明定点. （1）依题意，渐近线l 为by x a=，即0bx ay -=．由πtan 6b a ==3a b ．①1F ，2F 到渐近线lbcb c==，12OF OF c ==， ①两垂足间的距离为2a ==a =1b =． ①双曲线C 的方程为2213x y -=．（2）依题意，得直线1l 的斜率存在且不为0．设1l 为()1y k x =-且0k ≠，代入双曲线C 的方程中，消去y ，整理得()2222136330k xk x k -+--=．①直线1l 与双曲线C 交于两点，①()()()222221306413330k k k k ⎧-≠⎪⎨∆=---->⎪⎩，解得212k <且213k ≠． 设()11,M x y ，()22,N x y （12x x ≠），则()22,Q x y -，2122613k x x k +=--，21223313k x x k +=--，则()1212121212122MQ k x x k y y kx k kx k k x x x x x x +-+-+-===---， ①直线MQ 的方程为()()1211122k x x ky y x x x x +--=--，令0y =，则()()1121122y x x x x k x x k --=++-()()()()11212111222kx k x x k x x x kx k x x k---++-=+-()()221121211211222kx kx x kx kx kx kx x kx k x x k---+++-=+-()()12121222kx x k x x k x x k-+=+-222222336213136213k k k k k k k k k k ⎛⎫+-⋅--⋅ ⎪--⎝⎭=-⋅--33336663626k k k k k k --+==--+． ①直线MQ 过x 轴上的定点(3,0)． 14．(1)()221243x y x +=≠±；(2)证明见解析.【分析】（1）设点P 的坐标为(),x y ，利用斜率公式结合已知条件可求得曲线C 的方程，并注明2x ≠±；（2）设直线AP 与BQ 交点为()4,M m ，求出点P 、Q 的方程，对直线PQ 的斜率是否存在进行分类讨论，写出直线PQ 的坐标，即可得出直线PQ 所过定点的坐标. （1）解：设点P 的坐标为(),x y ， 直线PA 与PB 的斜率分别为2PA y k x =+，2PB yk x =-，其中2x ≠±， 由已知得3224y y x x ⋅=-+-，化简得22143x y +=，由已知得2x ≠±， 故曲线C 的方程为()221243x y x +=≠±. （2）证明：设直线AP 与BQ 交点为()4,M m ，则直线AP 的方程为()26my x =+， 由()22263412m y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得()222227441080m x m x m +++-=， 设(),P P P x y ，则224108227P m x m --=+，即2254227P m x m -=+，()2182627P P m my x m =+=+， 同理，直线BQ 的方程为()22my x =-，与椭圆方程联立，消去y 整理得()2222344120m x m x m +-+-=，设(),Q Q Q x y ，则2241223Q m x m -=+，即22263Q m x m -=+，()26223Q Q m m y x m -=-=+. 当3m ≠±时，直线PQ 的斜率为269P Q PQ P Qy y mk x x m -==---， 此时直线PQ 的方程为22226626393m m m y x m m m ⎛⎫-+=-- ⎪+-+⎝⎭， 化简得：()2619my x m =---，故直线PQ 过定点()1,0. 当3m =±时，可得1P Q x x ==，所以直线PQ 也过定点()1,0. 综上所述：直线PQ 过定点()1,0.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.15．(1)2x =(2)存在，(N -或N【分析】（1）根据点斜式设出直线方程，再由与圆相切求解即可；（2）利用点差法求出AB 中点M ，得出直线方程，再由圆的性质利用1||||2MN AB =求解即可. （1）抛物线焦点为(0,)2p，直线l斜率2tan 3k π==所以直线方程为2p y =+，由圆与直线相切可得，|22p =由0p >可解得p =所以抛物线方程为2x =. （2）设1111(,),(,)A x y B x y ，因为A ，B关于直线y x =+所以设AB 中点00(,)M x y在y x =+1k =-，由222211x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩相减可得，21211y y k x x -===--，所以1202x x x +==- 又00(,)M x y在y x =+所以0y =所以直线1l的方程为0x y +，联立抛物线消元得2120x +-=，121212x x x x ∴+=-=-，||AB ∴= 若存在点N 00(2,)y y -， 则1||||2MN AB =,即2200(2)48y y -+=，解得0y =0y =即存在点(N -或N 满足条件. 【点睛】方法点睛：存在性问题，一般假设符合条件的点存在，本题以以AB 为直径的圆恰好过点N ，可考虑,NA NB 垂直建立关系，也可考虑1||||2NM AB =建立关系求解. 16．(1)316-； (2)过定点，(4,0)﹒【分析】(1)由AM MB =值M 为AB 中点，由点差法即可得OM 的斜率；(2)根据椭圆对称性，结合已知条件可知l 过定点时，定点应该在x 轴上，设定点为(t ，0)，写出直线方程，联立直线与椭圆方程根据韦达定理得到根与系数的关系，再由直线FA ，FB 的斜率互为相反数列出方程，即可求得定点坐标﹒ （1）设()11,A x y ，()22,B x y ，依题意，M 为线段AB 的中点，①A ，B 在椭圆C 上，故221122221,431,43x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减可得()()()()12121212043x x x x y y y y +-+-+=，则()()()()12121212304y y y y x x x x +-+=+-， 故3404OM k +=，解得316OM k =-． （2）假设定点存在，根据椭圆对称性，可知该直线所过定点在x 轴上，设定点坐标为(,0)t ， 则直线l 的方程为()y k x t =-，联立22(),143y k x t x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()222223484120k x k tx k t +-+-=，则2122834k tx x k+=+，2212241234k t x x k -=+． 设直线FA ，FB 的斜率分别为1k ，2k ，由题可知(1,0)F ， 则12121211y yk k x x +=+-- ()()121211k x t k x t x x --=+--()()()()()()1221121111x t x x t x kx x --+--=--()()121212122(1)21x x t x x tkx x x x -+++=-++0=．即222222222222412882488682(1)20343434k t k t k t k t k t t k t t t k k k ----++⋅-++==+++，①2460t -+=，4t =， 即直线l 过定点(4,0)．【点睛】解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．17．(1)2p = (2)证明见解析【分析】(1) 设1122(,),(,)A x y B x y ，直线l 的方程为2y kx =+，与抛物线方程联立， 可求1212,x x x x +⋅，由4OA OB =-列方程求p 的值；(2) 设3344(,),(,)M x y N x y 利用导数的几何意义求切线12l l 和的方程，根据12l l ⊥可得344x x =-，化简直线MN 的方程，证明直线MN 过定点． （1）设1122(,),(,)A x y B x y ，直线l 的方程为2y kx =+，与抛物线方程联立，。
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定点、定直线、定值专题1、已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l :y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．【标准答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>3,1a c a c +=-=，22,1,3a c b ===221.43x y ∴+= (II)设1122(,),(,)A x y B x y ，由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->.212122284(3),.3434mk m x x x x k k-⇒+=-⋅=++22221212121223(4)()()().34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -⋅=+⋅+=+++=+以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 1AD BD k k ⋅=-，1212122y yx x ∴⋅=---， (最好是用向量点乘来)1212122()40y y x x x x +-++=，2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k --+++=+++，2271640m mk k ++=，解得1222,7km k m =-=-，且满足22340k m +->. 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27k m =-时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0).7综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2(,0).72、已知椭圆C的离心率e =，长轴的左右端点分别为()1A 2,0-，()2A 2,0。
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线x my 1=+与椭圆C 交于P 、Q 两点，直线1A P 与2A Q 交于点S 。
试问：当m 变化时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。
解法一：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为()2222x y 1a b 0a b +=>>。
…………………1分∵a 2=，c e a ==c =222b a c 1=-=。
……………… 4分∴椭圆C 的方程为222x y 14+=。
……………………………………… 5分（Ⅱ）取m 0,=得P ,Q 1,⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，直线1A P的方程是y =+ 直线2A Q的方程是y =交点为(1S . …………7分,若P 1,,Q ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，由对称性可知交点为(2S 4,. 若点S 在同一条直线上，则直线只能为:x 4=。
…………………8分以下证明对于任意的m,直线1A P 与直线2A Q 的交点S 均在直线:x 4=上。
事实上，由22x y 14x my 1⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()22my 14y 4,++=即()22m 4y 2my 30++-=，记()()1122P x ,y ,Q x ,y ，则1212222m 3y y ,y y m 4m 4--+==++。
………… 9分设1A P 与交于点00S (4,y ),由011y y ,42x 2=++得1016y y .x 2=+设2A Q 与交于点00S (4,y ),''由022y y ,42x 2'=--得2022y y .x 2'=- (10)1200126y 2y y y x 2x 2'-=-+-()()()()1221126y my 12y my 3x 2x 2--+=+-()()()1212124my y 6y y x 2x 2-+=+- ()()221212m 12mm 4m 40x 2x 2---++==+-，……12分 ∴00y y '=，即0S 与0S '重合，这说明，当m 变化时，点S 恒在定直线:x 4=上。
13分解法二：（Ⅱ）取m 0,=得P ,Q 1,⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，直线1A P的方程是y 直线2A Q的方程是y =交点为(1S . ………………………………………… 7分 取m 1,=得()83P ,,Q 0,155⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线1A P 的方程是11y x ,63=+直线2A Q 的方程是1y x 1,2=-交点为()2S 4,1.∴若交点S 在同一条直线上，则直线只能为:x 4=。
……………8分以下证明对于任意的m,直线1A P 与直线2A Q 的交点S 均在直线:x 4=上。
事实上，由22x y 14x my 1⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()22my 14y 4,++=即()22m4y 2my 30++-=，记()()1122P x ,y ,Q x ,y ，则1212222m 3y y ,y y m 4m 4--+==++。
………………9分 1A P 的方程是()11y y x 2,x 2=++2A Q 的方程是()22y y x 2,x 2=--消去y,得()()1212y yx 2x 2x 2x 2+=-+-…①以下用分析法证明x 4=时，①式恒成立。
要证明①式恒成立，只需证明12126y 2y ,x 2x 2=+-即证()()12213y my 1y my 3,-=+即证()12122my y 3y y .=+………………②∵()1212226m 6m2my y 3y y 0,m 4m 4---+=-=++∴②式恒成立。
这说明，当m 变化时，点S 恒在定直线:x 4=上。
解法三：（Ⅱ）由22x y 14x my 1⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()22my 14y 4,++=即()22m 4y 2my 30++-=。
记()()1122P x ,y ,Q x ,y ，则1212222m 3y y ,y y m 4m 4--+==++。
…………… 6分 1A P 的方程是()11y y x 2,x 2=++2A Q 的方程是()22yy x 2,x 2=-- ……7分由()()1122y y x 2,x 2y y x 2,x 2⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩得()()1212y y x 2x 2,x 2x 2+=-+- …………………9分即()()()()21122112y x 2y x 2x 2y x 2y x 2++-=+--()()()()21122112y my 3y my 12y my 3y my 1++-=+--1221212my y 3y y 23y y +-=+ 112211232m 2m 3y y m 4m 424.2m 3y y m 4--⎛⎫+-- ⎪++⎝⎭==-⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭………………………………12分这说明，当m 变化时，点S 恒在定直线:x 4=上。
……………… 13分3、已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值1，离心率为e（Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）过点()1,0作直线交E 于P 、Q 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点M ，MP MQ ⋅为定值？若存在，求出这个定点M 的坐标；若不存在，请说明理由﹒解：（I ）设椭圆E 的方程为2222x y 1a b +=,由已知得：a c 1c a⎧-=⎪⎨=⎪⎩ 。
2分a c 1⎧=⎪∴⎨=⎪⎩222b a c 1=-=∴椭圆E 的方程为22x y 12+=。
3分 （Ⅱ）法一：假设存在符合条件的点M(m,0)，又设1122P(x ,y ),Q(x ,y )，则：11221212MP (x m,y ),MQ (x m,y ),MP MQ (x m)(x m)y y =-=-⋅=-⋅-+2121212x x m(x x )m y y =-+++。
5分①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：y k(x 1)=-，则由22x y 12y k(x 1)⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得222x 2k (x 1)20+--= 2222(2k 1)x 4k x (2k 2)0+-+-=221212224k 2k 2x x ,x x 2k 12k 1-+=⋅=++ 7分222121212122k y y k (x 1)(x 1)k [x x (x x )1]2k 1=--=-++=-+ 所以22222222k 24k k MP MQ m m 2k 12k 12k 1-⋅=-⋅+-+++2222(2m 4m 1)k (m 2)2k 1-++-=+ 9分 对于任意的k 值，MP MQ ⋅为定值，所以222m 4m 12(m 2)-+=-，得5m 4=，所以57M(,0),MP MQ 416⋅=-； 11分②当直线l 的斜率不存在时，直线1212121l:x 1,x x 2,x x 1,y y 2=+===-由5m 4=得7MP MQ 16⋅=-综上述①②知，符合条件的点M 存在，起坐标为5(,0)4﹒ 13分法二：假设存在点M(m,0)，又设1122P(x ,y ),Q(x ,y ),则：1122MP (x m,y ),MQ (x m,y )=-=-1212MP MQ (x m)(x m)y y ⋅=-⋅-+=2121212x x m(x x )m y y -+++….5分①当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为x ty 1=+，由22x y 12x ty 1⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(t 2)y 2ty 10++-=1212222t 1y y ,y y t 2t 2--∴+=⋅=++ 7分 222212122121222t 2t t 22t 2x x (ty 1)(ty 1)t y y t(y y )1t 2t 2--++-+=+⋅+=+++==++ 221212222t 2t 44x x t(y y )2t 2t 2-+++=++==++ 222222t 24m 1MP MQ m t 2t 2t 2-+∴⋅=-+-+++2222(m 2)t 2m 4m 1t 2-+-+=+ 9分 设MP MQ ⋅=λ则2222(m 2)t 2m 4m 1t 2-+-+=λ+2222222(m 2)t 2m 4m 1(t 2)(m 2)t 2m 4m 120∴-+-+=λ+∴--λ+-+-λ=22m 202m 4m 120⎧--λ=⎪∴⎨-+-λ=⎪⎩5m 4716⎧=⎪⎪∴⎨⎪λ=-⎪⎩5M(,0)4∴ 11分 ②当直线l 的斜率为0时，直线l:y 0=，由5M(,0)4得：55257MP MQ (2)()2441616⋅=⋅=-=-综上述①②知，符合条件的点M 存在，其坐标为5(,0)4。