改进单纯形法PPT课件
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第五章单纯形优化设计法课件
空间的活动范围。
3. 目标函数是设计变量的函数，是设计中所追求的目 标。如：产率，回收率，分离度等。 在优化设计中，用目标函数的大小来衡量设计方案的 优劣，故目标函数也可称评价函数。 目标函数的一般表示式为：
f(x)f(x1,x2,...xn)
优化设计的目的就是要求所选择的设计变量使目标 函数达到最佳值，即使：
事实上，n+1个点的选取，一般只需先确定一个初始点 x0=（x01,x02,…,x0n）T，其中x01,x02,…,x0n分别为n个因 素的某一初始水平。然后对每一因素，根据经验确定 一个步长，即该因素相对于初始水平变化的幅度。 譬如考虑pH这一因素，若初始水平为pH=7.0，步长为 0.5，则表示pH这一因素从7.0起按0.5的间距改变pH值 来进行试验。 如果再考虑反应温度，假定初始水平为40oC，步长为5 度，则表示温度从40度起按5度的间距改变温度进行试 验。
各条边长相等的单纯形叫正规单纯形。 如：当n＝2时，等边三角形就是正规单纯形。
在n维空间中单纯形的每个顶点可以用对应的坐标表示，
如二维空间的单纯形的三个顶点可用三角形的坐标表示：
可行域：凡满足所有约束条件的设计点，它在设计空间的活动范围。
（x ,x ），（x ,x ），（x ,x ）。 三维空间的单纯形就是四面体，
0.2588a
3
0.9428a
0.2357a
4
0.9256a
0.2185a
5
0.9121a
0.2050a
6
0.9011a
0.1940a
7
0.8918a
0.1847a
8
0.8839a
0.179a
10
0.8709a
2.2 改进的单纯形法和对偶问题
ì 4 x + 3x ≤ 120 1 2 ï ï s.t. í 2 x1 + x2 ≤ 50 ï x1 ≤0, x2 ≤0 ï î
该模型称为原模型LP的对偶规划DLP。
8
2.2.2 对偶问题
这样两个线性规划问题就是一对对偶问题。
称其中一个为原问题（LP问题），另一个为 对偶问题（DLP问题）。
由于它们内在的联系，可以根据其中一个模 型，写出其对偶问题的模型。
2.2.2 对偶问题
2 对偶问题的一般数学模型 由例 2.4 可知，线性规划原问题和其对偶规划 问题之间有很多联系。 例如，原问题是求目标函数最大化，则对偶问 题即求目标函数最小化；原问题目标函数的系 数变成对偶问题的右边项，原问题的约束的右 边项变为对偶问题目标函数的系数，即对偶问 题的系数矩阵是原问题系数矩阵的转置。
min f = 440 y1 - 100 y2 + 200 y3 ì2 y1 - 6 y2 + 5 y3 ³ 3, ï ï3y1 + 4 y2 + 3y3 ³ 4, í ï6 y1 + y2 + y3 ³ 6, ï î y1, y2 ³ 0, y3
18
2.2.2 对偶问题
2 对偶问题的一般数学模型 原问题的模型如果表 示如下： 则相应的对偶问题的 一般模型表示如下：
16
对偶问题和原问题的转换
' '' y , y 3 3 y1 , y2 这里 和 一样都是不同的决策变量，为了表示这两个 y'3, y''3 决策变量都来源于原问题的第三个约束条件，记为 。 ' '' y 3 y 3 因为在该对偶问题中 和 的系数只相差一个符号，我们可 ' y3 以把上面的对偶问题化为： y '' 3
运筹学讲义-单纯形方法(ppt 78页)
为变量xj关于基B的判别数，j=1,2, -------, n。
7 2020/11/2
五、 单纯形方法
2、判别向量与判别数： （的b）判λ别N=向CN量-C，BB其-1中N为任对一应分基量Bλ的j=c所j-C有BB非-1基Aj变量XN 为-非---基-, 变n。量xj关于基B的判别数，j=m+1,m+2, ----（c）所有基变量的判别向量是零向量，所有基变
（一）人工变量消除法——M法 2、M法的辅助线性规划问题：
原问题：
Max z=c1x1+c2x2+……+cnxn s.t. a11x1+a12x2+……+a1nxn=b1 a21 x1+ a22x2+…… +a2nxn =b2
……
am1x1+am2x2+……+amnxn=bm x1,x2, ……,xn ≥ 0
函数值Z/ >0，则原问题无解。 [证明]（请同学们自己做一做）。 （3）辅助问题在最优基B下目标函数的值Z/=0，此时有 两种情况：第一种情况，若辅助问题的最优基B对应的 基变量中无人工变量，则该最优基也是原问题的可行 基，这时候只要在单纯形表中去掉人工变量所在的列 和最后一行，即可得到原问题的初始可行单纯形表。
9 2020/11/2
五、 单纯形方法
（三）单纯形方法：表上作业法
1、单纯形表的构造
方法1：C-CBB-1A=(CB,CN)-CBB-1(B,N) =(0,CN-CBB-1N)
两边同乘上X得：
（C-CBB-1A）X= (0,CN-CBB-1N)X，化简得： Z=CBB-1b+(CN-CBB-1N) XN
3 X2 1.5 0.5 1 0.25 0
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五、 单纯形方法
2、判别向量与判别数： （的b）判λ别N=向CN量-C，BB其-1中N为任对一应分基量Bλ的j=c所j-C有BB非-1基Aj变量XN 为-非---基-, 变n。量xj关于基B的判别数，j=m+1,m+2, ----（c）所有基变量的判别向量是零向量，所有基变
（一）人工变量消除法——M法 2、M法的辅助线性规划问题：
原问题：
Max z=c1x1+c2x2+……+cnxn s.t. a11x1+a12x2+……+a1nxn=b1 a21 x1+ a22x2+…… +a2nxn =b2
……
am1x1+am2x2+……+amnxn=bm x1,x2, ……,xn ≥ 0
函数值Z/ >0，则原问题无解。 [证明]（请同学们自己做一做）。 （3）辅助问题在最优基B下目标函数的值Z/=0，此时有 两种情况：第一种情况，若辅助问题的最优基B对应的 基变量中无人工变量，则该最优基也是原问题的可行 基，这时候只要在单纯形表中去掉人工变量所在的列 和最后一行，即可得到原问题的初始可行单纯形表。
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五、 单纯形方法
（三）单纯形方法：表上作业法
1、单纯形表的构造
方法1：C-CBB-1A=(CB,CN)-CBB-1(B,N) =(0,CN-CBB-1N)
两边同乘上X得：
（C-CBB-1A）X= (0,CN-CBB-1N)X，化简得： Z=CBB-1b+(CN-CBB-1N) XN
3 X2 1.5 0.5 1 0.25 0
《改进单纯形法》课件
寻找更优解。
3
终止
判断终止条件，结束迭代，得到最优解 或无界解。
案例分析
生产调度问题
通过实际案例分析，我们将展示 改进单纯形法在生产调度问题中 的应用，解决效率和成本优化的 挑战。
供应链优化
我们将研究供应链优化问题，并 演示改进单纯形法如何帮助企业 实现最优的运输和仓储安排，提 高整体效益。
投资组合优化
单纯形法的原理
在这一节中，我们将深入了解单纯形法的数学原理，包括基本可行解、人工 变量、进入与离开的规则等。
改进单纯形法的引入
在这一节中，我们将介绍为什么需要对传统单纯形法进行改进，以及改进单 纯形法的出发点和目标。
算法流程
1
初始化
设置初始基本可行解，初始化单纯形表。
迭代
2
根据单纯形表的状态，进行迭代操作，
《改进单纯形法》PPT课 件
欢迎来到本次《改进单纯形法》PPT课件！在这个演示中，我将与大家分享单 纯形法及其改进算法，帮助大家更好地理解并应用于实际问题中。
导言
在这一节中，我们将介绍线性规划的基本概念，为了更好地理解单纯形法的 原理和改进算法的必要性。
什么是单纯形法
在这一节中，我们将详细介绍单纯形法作为线性规划中求解最优解的方法，探讨其优点形法在金融 领域中的应用，帮助投资者实现 最大化的收益。
总结和展望
在这一节中，我们将对单纯形法及其改进算法进行总结，并展望未来的发展 方向和应用领域。
2_改进单纯形法
j B B 1 2 3 4 3 4 3 2 1 2
( B 1b)i min 1 ( B Pk )i
•
( B 1b) r ( B Pk )i 0, 1 ( B Pk ) r (5)计算B1－1，XB1＝B1－1 b
1
或
b' min i a'i k
标准化得： max Z=6 x1＋8 x2 2 x1十x2十x3＝12 x1十4x2十x4＝20 xj≥0
• 求解：
CB 0 0 0 8 6 8 Cj XB x3 x4 σ x3 x2 σ x1 x2 σ b 12 20 7 5 4 4
max Z=6 x1＋8 x2 2 x1十x2十x3＝12 x1十4x2十x4＝20 xj≥0
－1＝ 1 - 1
4 1 4
正是x3、x4在第二步迭代表中的系数
CB 0 0 0 8 6 8 Cj XB x3 x4 σ x3 x2 σ x1 x2 σ b 12 20 7 5 4 4 6 x1 2 1 6 7/4 1/4 4 1 0 0 8 x2 1 4 8 0 1 0 0 1 0 0 0 θ x3 x4 1 0 12/1=12 0 1 20/4=5 0 0 1 －1/4 7/(7/4)=4 0 1/4 5/(1/4)=20 0 －2 4/7 －1/7 2/7 －1/7 －16/7 －10/7
第二步迭代中： 基变量 XB=(x3、x2) 基矩阵 B2＝（P3、P2）＝
1 0
1 4
B2 B2
－1
→ 1
0
1 1 4 0
0
0 1 1 0
0 1 1 0
1 - 4 1 4
max Z=6 x1＋8 x2 2 x1十x2十x3＝12 x1十4x2十x4＝20 xj≥0
( B 1b)i min 1 ( B Pk )i
•
( B 1b) r ( B Pk )i 0, 1 ( B Pk ) r (5)计算B1－1，XB1＝B1－1 b
1
或
b' min i a'i k
标准化得： max Z=6 x1＋8 x2 2 x1十x2十x3＝12 x1十4x2十x4＝20 xj≥0
• 求解：
CB 0 0 0 8 6 8 Cj XB x3 x4 σ x3 x2 σ x1 x2 σ b 12 20 7 5 4 4
max Z=6 x1＋8 x2 2 x1十x2十x3＝12 x1十4x2十x4＝20 xj≥0
－1＝ 1 - 1
4 1 4
正是x3、x4在第二步迭代表中的系数
CB 0 0 0 8 6 8 Cj XB x3 x4 σ x3 x2 σ x1 x2 σ b 12 20 7 5 4 4 6 x1 2 1 6 7/4 1/4 4 1 0 0 8 x2 1 4 8 0 1 0 0 1 0 0 0 θ x3 x4 1 0 12/1=12 0 1 20/4=5 0 0 1 －1/4 7/(7/4)=4 0 1/4 5/(1/4)=20 0 －2 4/7 －1/7 2/7 －1/7 －16/7 －10/7
第二步迭代中： 基变量 XB=(x3、x2) 基矩阵 B2＝（P3、P2）＝
1 0
1 4
B2 B2
－1
→ 1
0
1 1 4 0
0
0 1 1 0
0 1 1 0
1 - 4 1 4
max Z=6 x1＋8 x2 2 x1十x2十x3＝12 x1十4x2十x4＝20 xj≥0
二4_单纯形法的进一步讨论精品PPT课件
4
s.t.
x
1
,
x1 x1 x2
,x
3
,
3 x2 x2
x4
0
x4 20 10
对第二个约束添加
人工变量 x5 ，对第 三个约束添加人工
变量 x6 . 对目标函数 添加 -Mx5 -Mx6
单纯形法的进一步讨论
max w 2 x1 3 x2 Mx5 Mx6
0.5 x1 0.25 x2 x3
单纯形法的进一步讨论
• 举例
用大 M 法求解下列线性规划问题
min z 2 x1 3 x 2
0.5 x1 0.25 x 2 4
s.t.
x
1
,
x1 x1 x2
0
3 x2 x2
20 10
解: 把原问题化为标准型
max w 2 x1 3 x 2
0.5 x1 0.25 x 2 x 3
第 II 阶段：
将第 I 阶段计算得到的最终表除去人工变量，经整理后得到 的单纯形表作为第 II 阶段的初始单纯形表，继续用单纯形法 求解以求得原问题的最优解。
单纯形法的进一步讨论
• 举例
用两阶段法求解下列线性规划问题
max z 3 x1 4 x2
2x1 x2 6
s.t.
2 x1 x1
单纯形法的进一步讨论
如何求解下面的问题???
min z 2x 1 3x 2
0.5x 1 0.25x 2 4
s.t.
x1 x1
3x 2 20 x 2 10
x1, x 2 0
(1) 大M法 (2) 两阶段法
如何识别没有可行解的线性规划问题???
单纯形法的进一步讨论
1 大 M 法 (Big M Method)
最优化方法之单纯形法PPT课件
3 5
4 2
1 0
0 1
9 8
x3 9 3x1 0 x4 8 5x1 0
x1 3
x1 1.6
第5页/共76页
x1取min3,1.6 1.6,
即x4 0 x4出基
得到新基
3 5
1
0
• 迭代（求新的基本可行解）
3 4 1 0 9
5
2
0
1
8
主元素
3 4 1 0 9
1
25 0
s.t 3x1 4x2 x3 9
5x1 2x2 x4 8
x1, x2 , x3 , x4 0
• 找初始基可行解
系数的增广矩阵
取初始可行基为B1
1
0
0 1
3 4 1 0 9
A
5
2
0
1
8
得基可行解 X (0) (0 0 9 8)T
目标函数值 z(0) 0
• 判断是否最优解?能否找到另一个基可行解使目标函数 值下降?
x3
3 14
x4
3 2
x1
-
1 7
x3
2 7 x4 1
x2
3 2
5 14
x3
3 14
x4
x1
1
1 7
x3
-
2
7
x4
代入目标函数：
z
17.5
5 14
x3
25 14
x4
最优解： X * (1 1.5 0 0)T z* 17.5
第10页/共76页
X (0) (0 0 9 8)T z(0) 0
x1, x2 , x3 , x4 , x5 0
zj cj cBB1Pj cj
03.4修正单纯形法演示课件
2 2
Z2C 2 P 2C 20M2M 1 1 1M 10
0 0
Z4C 4 P 4C 40 M2M 1 1 0M 0
0 ▪ 比较检验数大小，选取x2为调入变量，接下去寻找调出变量。22
迭代1（6）
1 0 12 2
P 2B1P 2 0
1
211
x5 x6
0 0 1 0 0 x3
第四节 修正单纯形法
1
单纯形法的解题思路（一）
▪ 在单纯形法计算过程中，我们的目的是求出问题 的最优解，判断是否得到最优解的原则是检验数 的符号，当求最大值时，要求Zj-Cj≥0；当求最 小值时，要求Zj-Cj≤0。如果不满足条件，可根 据Zj-Cj的大小找出主元列（∣Zj-Cj∣最大者）， 找出主元列Pj*后，再计算Qi，而后，根据Qi大小 找出主元行（Qi最小者），主元列所对应变量为 调入变量，主元行所对应的变量为调出变量，调 换基变量后，再重新计算检验数进行判断。
2 0 1 0 0 0 1
C 3 1 100M M 7
用单纯形法的表格形式解题
8
Cj 段
↓
0
1
M
M
Zj-Cj
0
2
M
1
Zj-Cj
0
3
1
1
Zj-Cj
-3
4
1
1 Zj-Cj
→
0
-3
1
1
0
0
M
M
Qi 注
基
b
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
x5
11
1
-2
1
0
1
0
0
2
单纯形法的解题思路（二）
Z2C 2 P 2C 20M2M 1 1 1M 10
0 0
Z4C 4 P 4C 40 M2M 1 1 0M 0
0 ▪ 比较检验数大小，选取x2为调入变量，接下去寻找调出变量。22
迭代1（6）
1 0 12 2
P 2B1P 2 0
1
211
x5 x6
0 0 1 0 0 x3
第四节 修正单纯形法
1
单纯形法的解题思路（一）
▪ 在单纯形法计算过程中，我们的目的是求出问题 的最优解，判断是否得到最优解的原则是检验数 的符号，当求最大值时，要求Zj-Cj≥0；当求最 小值时，要求Zj-Cj≤0。如果不满足条件，可根 据Zj-Cj的大小找出主元列（∣Zj-Cj∣最大者）， 找出主元列Pj*后，再计算Qi，而后，根据Qi大小 找出主元行（Qi最小者），主元列所对应变量为 调入变量，主元行所对应的变量为调出变量，调 换基变量后，再重新计算检验数进行判断。
2 0 1 0 0 0 1
C 3 1 100M M 7
用单纯形法的表格形式解题
8
Cj 段
↓
0
1
M
M
Zj-Cj
0
2
M
1
Zj-Cj
0
3
1
1
Zj-Cj
-3
4
1
1 Zj-Cj
→
0
-3
1
1
0
0
M
M
Qi 注
基
b
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
x5
11
1
-2
1
0
1
0
0
2
单纯形法的解题思路（二）
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单纯形法的矩阵描述
设线性规划问题可以用如下矩阵形式表示：
目标函数 max z=CX 约束条件 AX≤b 非负条件 X≥0
将该线性规划问题的约束条件加入松弛变 量后，得到标准型：
max z=CX+0Xs AX+IXs=b
X，X s≥0
其中，I 是m×m单位矩阵。
若以Xs为基变量，并标记成XB，可将系数矩阵(A，I) 分为 (B，N) 两块。B是基变量的系数矩阵，N是非基变量
XB, XN 0
(2 1) (2 2) (2 3)
将（2-2）式移项及整理后得到：
BXB bN1 XN1 S2XS2; XB B1bB1N1XN1 B1S2Xs2;
目标函数： z CBB1b(CN1 CBB1N1)XN1 (CS2 CBB1I)XS
令非基变量=0，由上式得到：
基可行解:
X(1)
a(2) 23
0
0
a(2) m3
a(2) 1m
a(2) 2m
a(2) mm
重复以上的步骤，直到获得:
1
Em
E2E1A
1
A1
1
可见，En…E2E1=A-1。
用这方法可以求得单纯形法的基矩阵B的逆矩阵B-1
以例1为例进行计算。
max z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5
P(1) 2
2
a11(/12)a/2(12a) 2(12)
(2)
am(12)
/
a(1) 22
然后构造含有（2）列，而其他列都是单位列的矩阵:
1
E2
0
a (1) 12
/
a (1) 22
1
/
a (1) 22
0
0
0
a (1) m2
/
a (1) 22
1
可得到:
1
E2
E1
A
0
0 1
a(2) 13
C
B
B
1
X
N1
X N2
单纯形表中的数据:
基变量
非基变量
等式右边
系数矩阵 检验数
XB B 1B 1
0
XN B1N1 CN1 CBB1N1
Xs B1 CBB1
RHS B1b CBB1b
小结
1）掌握矩阵的运算； 2）理解基矩阵的作用； 3）了解矩阵运算与单纯表的关系。
改进单纯形法
求解线性规划问题的关键是计算B-1 。 以下介绍一种比较简便的计算B-1的方法。
X X
N1 S2
;
相应有:
系数矩阵A
B N
;其中N
N1 S2
;
松弛变量：XS
XS1 XS2
基变量 非基变量
线性规划问题可表示为：
目标函数:
max z CB XB CN XN CB XB CN1 X N1 CS2 XS2
约束条件:
BXB NXN BXB N1X N1 S2 XS2 b 非负条件:
x1 2x2 x3 8
s.t.
4 4
x1 x2
x4 16 x5 12
x j 0, j 1, 2, 3, 4, 5
第1步：确定初始基，初始基变量;确定换入，换出变量 （1）确定初始基和初始基变量：
1
x3
B0P3, P4, P5 1 ; XB0 x4
1
x5
（2）计算非基变量的检验数，确定换入变量。
的系数矩阵。并同时将决策变量也分为两部分：
X
X X
B N
相应地可将目标函数系数C分为两部分：CB和CN，分 别对应于基变量XB和非基变量XN，并且记作:
C=（CB, CN）
若经过迭代运算后，可表示为：
基变量
X
B
X B1 X S1
可 包 含 原 基 变 量 和 松 弛 变 量
非基变量：X N
N0 CN0 CB0B01N0 (注意：N0 P1,P2 )
1 0 01 2
2, 3(0,0,0)0 1 04 0 2, 3对应x1,x2
0 0 10 4
换入变量
(3) 确定换出变量
表示选择>0的元素
m in B B 0 0 1 1 P b 2iiB 0 1 P 2 0 m in 8 2 ,1 0 6 ,1 4 2 3 对 应 x 5
RHS值
表示选用>0的分量
m in ((B B 11 P bj))ii (B1P j)i0 ((B B 11 P bj))ii
换入变量的系数向量
（3）单纯形表与矩阵表示的关系:
0 1
1
B 1N1
0 C N CB B 1N1
B 1b
C
B
B
1b
(2 7)
z
B 1
X
B
1 / a11 0
0
E1
21
/
a11
1
am1 / a11
1
可得到：
a21a11a a1 21 1
a22a12a a1 21 1
1
1
E1P1
0
;
E1A
0
a(1) 12
a(1) 22
0
0
a(1) m2
a(1) 1m
a(1) 2m
a(1) mm
而后以第2列的
a
( 2
1 2
)
为主元素，进行变换:
1
04 4
0
1
1/4 1 1/4
（6）计算RHS
1 1/2 8 2
B11b 1 0 1616
1/4 12 3
第1步计算结束后的结果:
基 B1 P3, P4, P2 ; 基变量 XB1 x3, x4, x2 T ; 非基变量 XN1 x1, x5 T ;
价值系数 C CB1 ,CN1 (0,0,3),(2,0)
设mn系数矩阵为A，求其逆矩阵时，可先从第1列开始。
a11 a12
A
a
21
a22
am1 am 2
a1m
a2m
amm
以a11为主元素, 进行变换：
主元素
a11
1/ a11
P1
a21
1
a21
/
a11
(1)
am1
am1 / a11
然后构造含有（1）列，而其他列都是单位列的矩阵
（4）基变换计算
将新的基 P3,P4,P2单位矩阵。计算：
2
1/2
1 1/2
P 20
10 ； 构 造 E1
1
0
4主 元 素
1/4
1/4
1 1/21 1 1/2
B11E1B0 1
1
0
1
1
0
1/4 1
1/4
（5）计算非基变量的系数矩阵
1
1 1/21 11/2
N 14 B 1 1N 1
B1b ;
0
目标函数的值: z CBB1b
（1）非基变量的系数表示为：
(C N1 - C B B -1 N 1 )
对应已用的检验数符号 : c j - z j ( j 1, 2 , , n )
检验数也可表示为： C - C B B -1 A 与 - C B B -1
（2）θ规则表示为：
计算非基变量的检验数，确定换入变量：
N1 CN1 CB1 B11N1 (注意：N1 P1, P5 )
1 0 1/ 2 1 0
设线性规划问题可以用如下矩阵形式表示：
目标函数 max z=CX 约束条件 AX≤b 非负条件 X≥0
将该线性规划问题的约束条件加入松弛变 量后，得到标准型：
max z=CX+0Xs AX+IXs=b
X，X s≥0
其中，I 是m×m单位矩阵。
若以Xs为基变量，并标记成XB，可将系数矩阵(A，I) 分为 (B，N) 两块。B是基变量的系数矩阵，N是非基变量
XB, XN 0
(2 1) (2 2) (2 3)
将（2-2）式移项及整理后得到：
BXB bN1 XN1 S2XS2; XB B1bB1N1XN1 B1S2Xs2;
目标函数： z CBB1b(CN1 CBB1N1)XN1 (CS2 CBB1I)XS
令非基变量=0，由上式得到：
基可行解:
X(1)
a(2) 23
0
0
a(2) m3
a(2) 1m
a(2) 2m
a(2) mm
重复以上的步骤，直到获得:
1
Em
E2E1A
1
A1
1
可见，En…E2E1=A-1。
用这方法可以求得单纯形法的基矩阵B的逆矩阵B-1
以例1为例进行计算。
max z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5
P(1) 2
2
a11(/12)a/2(12a) 2(12)
(2)
am(12)
/
a(1) 22
然后构造含有（2）列，而其他列都是单位列的矩阵:
1
E2
0
a (1) 12
/
a (1) 22
1
/
a (1) 22
0
0
0
a (1) m2
/
a (1) 22
1
可得到:
1
E2
E1
A
0
0 1
a(2) 13
C
B
B
1
X
N1
X N2
单纯形表中的数据:
基变量
非基变量
等式右边
系数矩阵 检验数
XB B 1B 1
0
XN B1N1 CN1 CBB1N1
Xs B1 CBB1
RHS B1b CBB1b
小结
1）掌握矩阵的运算； 2）理解基矩阵的作用； 3）了解矩阵运算与单纯表的关系。
改进单纯形法
求解线性规划问题的关键是计算B-1 。 以下介绍一种比较简便的计算B-1的方法。
X X
N1 S2
;
相应有:
系数矩阵A
B N
;其中N
N1 S2
;
松弛变量：XS
XS1 XS2
基变量 非基变量
线性规划问题可表示为：
目标函数:
max z CB XB CN XN CB XB CN1 X N1 CS2 XS2
约束条件:
BXB NXN BXB N1X N1 S2 XS2 b 非负条件:
x1 2x2 x3 8
s.t.
4 4
x1 x2
x4 16 x5 12
x j 0, j 1, 2, 3, 4, 5
第1步：确定初始基，初始基变量;确定换入，换出变量 （1）确定初始基和初始基变量：
1
x3
B0P3, P4, P5 1 ; XB0 x4
1
x5
（2）计算非基变量的检验数，确定换入变量。
的系数矩阵。并同时将决策变量也分为两部分：
X
X X
B N
相应地可将目标函数系数C分为两部分：CB和CN，分 别对应于基变量XB和非基变量XN，并且记作:
C=（CB, CN）
若经过迭代运算后，可表示为：
基变量
X
B
X B1 X S1
可 包 含 原 基 变 量 和 松 弛 变 量
非基变量：X N
N0 CN0 CB0B01N0 (注意：N0 P1,P2 )
1 0 01 2
2, 3(0,0,0)0 1 04 0 2, 3对应x1,x2
0 0 10 4
换入变量
(3) 确定换出变量
表示选择>0的元素
m in B B 0 0 1 1 P b 2iiB 0 1 P 2 0 m in 8 2 ,1 0 6 ,1 4 2 3 对 应 x 5
RHS值
表示选用>0的分量
m in ((B B 11 P bj))ii (B1P j)i0 ((B B 11 P bj))ii
换入变量的系数向量
（3）单纯形表与矩阵表示的关系:
0 1
1
B 1N1
0 C N CB B 1N1
B 1b
C
B
B
1b
(2 7)
z
B 1
X
B
1 / a11 0
0
E1
21
/
a11
1
am1 / a11
1
可得到：
a21a11a a1 21 1
a22a12a a1 21 1
1
1
E1P1
0
;
E1A
0
a(1) 12
a(1) 22
0
0
a(1) m2
a(1) 1m
a(1) 2m
a(1) mm
而后以第2列的
a
( 2
1 2
)
为主元素，进行变换:
1
04 4
0
1
1/4 1 1/4
（6）计算RHS
1 1/2 8 2
B11b 1 0 1616
1/4 12 3
第1步计算结束后的结果:
基 B1 P3, P4, P2 ; 基变量 XB1 x3, x4, x2 T ; 非基变量 XN1 x1, x5 T ;
价值系数 C CB1 ,CN1 (0,0,3),(2,0)
设mn系数矩阵为A，求其逆矩阵时，可先从第1列开始。
a11 a12
A
a
21
a22
am1 am 2
a1m
a2m
amm
以a11为主元素, 进行变换：
主元素
a11
1/ a11
P1
a21
1
a21
/
a11
(1)
am1
am1 / a11
然后构造含有（1）列，而其他列都是单位列的矩阵
（4）基变换计算
将新的基 P3,P4,P2单位矩阵。计算：
2
1/2
1 1/2
P 20
10 ； 构 造 E1
1
0
4主 元 素
1/4
1/4
1 1/21 1 1/2
B11E1B0 1
1
0
1
1
0
1/4 1
1/4
（5）计算非基变量的系数矩阵
1
1 1/21 11/2
N 14 B 1 1N 1
B1b ;
0
目标函数的值: z CBB1b
（1）非基变量的系数表示为：
(C N1 - C B B -1 N 1 )
对应已用的检验数符号 : c j - z j ( j 1, 2 , , n )
检验数也可表示为： C - C B B -1 A 与 - C B B -1
（2）θ规则表示为：
计算非基变量的检验数，确定换入变量：
N1 CN1 CB1 B11N1 (注意：N1 P1, P5 )
1 0 1/ 2 1 0