单纯形法小结
运筹学单纯形法
运筹学单纯形法
运筹学单纯形法，又称单纯性法，是一种用于求解线性规划问题的数学方法，它在运筹学中发挥着重要作用。
它主要应用于决策及资源分配问题，可以帮助决策者更好地把握资源的优化配置，并寻求最优解。
单纯性法是以线性规划问题作为理论基础，它是将该问题转化为一系列形如Ax=b的线性方程组的运筹学方法。
在这个方程组通过调整方程中的系数和右面常数而变换为形如Cx≤d的不等式形式，而这种不等式系统称为单纯性约束条件。
单纯性法从不等式中寻找一系列基向量，并通过改变基向量来实现改变不等式的求解方程之间的关系，从而求出最优解的问题。
传统的单纯性法分为有界单纯性和无界单纯性两种情形。
无界单纯性以简单费用曲线方法、扩展的简单费用曲线方法和增广次数法三大类。
有界单纯性主要是对对角单纯性和非对角单纯性这两类单纯性系统分别使用不同的方法进行求解。
单纯性求解方法在线性规划问题求解中具有重要应用，它能通过求解线性规划问题中的一系列互不相关的子问题来求出最优解。
使用该方法，可以以最少的成本达到最优的收益，它包括费用最低优化、网络流优化、全格研究和数学优化模型等。
单纯形法专业知识讲座
转(2)
从环节(2)-(5)旳每一种循环，称为一次单纯形迭代.
24
单纯形表计算环节举例 给定线性规划问题
例1 Max z = 50x1 + 30x2 4x1+3x2 ≤ 120
s.t 2x1+ x2 ≤ 50 x1，x2 ≥ 0
Max z = 50x1 + 30x2
4x1+ 3x2 + x3
= 120
数
0 CN CB B1 N
16
单纯形表
相应于基B旳单纯形表: (2.15)-(2.17)旳表格形式
cj
c1
… cm
cm+1
…
cn
CB XB b
x1
… xm
xm+1
…
xn
I
c1 x1 b’1
1
…0
a’1,m+1
…
a’1n
1
c2 x2 b’2
0
…0
a’2,m+1
…
a’2n
2
…
…
…
…
cm xm b’m
5
B2 = ( P3 P4 P2 )
z= 0 + 40 x1 + 50 x2 ④ x3 + 2x2 = 30 - x1 ①
x4 + 2x2 = 60 – 3x1 ② 2x2 = 24 - x5 ③
Max z = 40 x1 +50 x2
x1 +2x2 +x3
=30
3x1 +2x2 +x4 =60
2x2
由最小θ比值法求：
θ= min
b’i
a'i,m+k
二次规划
L( x, λ) = f (x) + ∑ λ j g j (x)
j =1
m
(1) (2) (3) (4) (5)
f (x) + ∑ λ j g j (x) = 0 (梯度条件) 梯度条件)
j =1
m
g j ( x) ≤ 0
(约束条件) 约束条件) (松弛互补条件) 松弛互补条件) (非负条件) 非负条件) (正则条件或约束规格) 正则条件或约束规格)
f (x) = ci
g1 (x) = 0
x
*
f (x(0) ) x (k ) g 2 (x) = 0 x(0)
f (x(k ) )
x1
T 搜索方向满足; 搜索方向满足; f ( x)
P < 0 ,即; f ( x ) T P > 0 π f (x)T 与 P 夹角; α < 夹角;
2
am,m +1 am,m + 2
B = (p1p 2 , , p r , , p m )
f = f 0 + (c k z k ) x k
1 0 0 1 0 0 0 x1 0 x2 + 1 xm
k
B
C
XB x1 a1n b1 a1n xm b2 = xm +1 amn bm XC xn
二次规划: 二次规划:不等式约束问题的有效集法
二次规划: 二次规划:其它算法简介
�
′ a1k ′ ark x ≥ 0 k ′ amk
x B = ( x1 x2 , , xr , , xm ) B = (p1p 2 , , p r , , p m )
x B = ( x1 x2 , , xk , , xm ) B = (p1p 2 , , p k , , p m )
第二章单纯形法总结
得到解（0，0，0，5，4）T，y1+y2=9 选择x2为替换变量，替换y2：
- 2 3 2 2，行1-行2，行22 行3 行 2 得到解（0，2，0，1，0）T，y1+y2=1 2
0 1 0
1 1
1 0 -1
-1 1 2 0
1 2 2 -1
①
给出①的一个基解X=（XB，XN），令C=（CB，CN），则： x0=CBXB+CNXN ② XB=B-1b-B-1NXN ③ X0=CBB-1b-（CBB-1N-CN）XN ④ 若④中取XN=0，则： X0=CBB-1b是基可行解X=（XB，XN）的目标函数值。
将③和④写成矩阵形式 ： x 0 C B B 1b C B B 1 N C N X N X 1 B 1b B N B
引进新记号 x 0 xB0 , X B ( xB1 , xB2 xBm )T , 用R表示N中各列的下标集合， S {B1，B2， ，Bm }表示S中各列的下标集合 令 y 00 C B B1b y10 Y0 （ 1 ） ， B b y mc y0 j C B B1Pj c j y1 j Yi （ ） ， j R B1Pj y mj
单纯形法初始基本可行解的选择：
1、若原线性规划问题中所有约束条件均为≤形式，则松弛变 量可作为初始基本可行解。 2、若原线性规划问题中所有约束条件包括≥或=形式，则需 要人工变量法求得初始基本可行解。 标准型中最能引起目标函数值Z变化的非基变量为首选。
单纯形法入基变量的选择：
单纯形法的代数理解
结果分析：
可以看出只需要90根原料，其中，方案1需要10根，方案2需要 50根，方案4需要30根，即可达到要求，此时总剩余废料最小， 为16m。 附：
2、总结
通过本次学习加深了我对单纯形法的进一步理解， 利用matlab程序求解线性规划问题，在生活中有不 少问题都是线性规划问题。例如本次实验中的钢材 下料问题，学习用已学习的知识解决实际问题是我 们的最终目标。
单纯形法的步骤和最优解
步骤
1 把线性规划问题的约束方程组表达成典范型方程组，找出 welcome to use these PowerPoint templates, New 基本可行解作为初始基可行解。 Content design, 10 years experience 2 若基本可行解不存在，即约束条件有矛盾，则问题无解。 3 若基本可行解存在，从初始基本可行解作为起点，根据最 优性条件和可行性条件，引入非基变量取代某一基变量，找
实验数据和分析：
根据题意，可以列出以下8种可能的切割方案，其目标是使 总剩余的废料最小。设分别代表采用切割方案的套数，表示 总剩余的废料，则上述问题的线性规划如下：
在,0,0;0,2,1,0,3,2,1, 0;1,0,1,3,0,2,3,4]; b=[100,100,100]’; c=[0.1,0.3,0.9,0,1.1,0.2,0.8,1.4]; [x,f]=zuiyouhua(A,b,c) Matlab输出内容： x=10 50 0 30 0 0 0 0 f=-16
单纯形法的代数理解
物流131 Sars流感队
队长：邵香滢 队员：姜春云 崔海霞 石 榴 田 震
关于单纯形法
单纯形法的简介 单纯形法的步骤和最优解 单纯形法典例分析 单纯形法的应用
单纯形法原理 单纯形表
单纯形法原理单纯形表单纯形法原理与单纯形表的详实解析在数学领域中，特别是在线性规划问题的研究中，单纯形法是一种十分重要的求解方法。
它是由美国数学家乔治·丹齐格在1947年提出的一种迭代算法，用于解决具有多个变量和约束条件的优化问题。
本文将围绕单纯形法的原理和单纯形表这两个核心概念进行详细的解析。
一、单纯形法原理单纯形法的基本思想是通过一系列可行解逐步逼近目标函数的最大值或最小值。
这些可行解形成一个点集，称为单纯形。
每次迭代过程中，算法都会选择一个新的顶点作为下一个单纯形的顶点，这个新的顶点应该使目标函数有所改进。
重复这一过程，直到达到最优解或者满足停止准则为止。
单纯形法的步骤如下：1. 构造初始单纯形：首先，需要找到一个包含至少两个可行解的多边形，这就是初始单纯形。
2. 判断是否达到最优解：如果当前顶点的目标函数值已经是全局最优解，那么算法结束。
3. 选择换入变量：如果当前顶点不是最优解，那么需要选择一个非基变量来替换基变量。
这个被选中的非基变量应该是能够使目标函数最大化的变量。
4. 计算换出变量：确定了换入变量后，需要计算相应的换出变量。
这可以通过解一个线性方程组来实现。
5. 更新单纯形：用新选出的变量替换旧的变量，得到新的单纯形。
6. 回到第二步，继续判断是否达到最优解。
二、单纯形表单纯形表是单纯形法的重要工具，它记录了单纯形法每一步的详细信息。
每个列代表一个基变量，而每个行则代表一个约束条件。
表中还包括目标函数的系数、常数项以及松弛变量和剩余变量的系数。
在单纯形表中，每一行代表一个约束条件，包括它的系数、常数项以及松弛变量和剩余变量的系数。
每一列则代表一个基变量，包括它的系数和该变量对应的值。
在每一步迭代过程中，单纯形表都会被更新以反映当前的解状态。
通过观察单纯形表的变化，我们可以清楚地看到迭代过程是如何进行的，以及如何通过调整基变量来改进目标函数的值。
总结来说，单纯形法是一种有效的解决线性规划问题的方法，其核心在于构造并不断更新单纯形表，通过迭代寻找最优解。
单纯形法计算要点
单纯形法计算要点学习单纯形法这么久，今天来说说关键要点。
首先我理解，单纯形法是用来求解线性规划问题的。
最开始接触的时候，我真的是一头雾水，什么松弛变量啊，基变量啊，感觉像一锅乱粥。
那从哪里说起呢？我总结单纯形法的第一步就是要把线性规划问题转化为标准型，这就好比整理房间，要把东西都归置到该放的地方。
例如有个线性规划问题是求最大值，约束条件有小于等于也有大于等于的不等式，那么我们就得引入松弛变量和剩余变量，让它们都变成等式形式，这就是标准型了。
我之前就在这一步老犯错，把变量的引入规则记错，后来多做些题，反复看概念才好点。
接着就是找初始可行基，这就像是找一个出发点。
比如一个方程组，我们要从里面挑出一组可以作为起始计算的变量组合作为基变量，这个挑选过程不是乱选的，是有规则的。
然后就是进行迭代计算了。
这一步是整个单纯形法的核心也是最让人迷糊的部分。
在每次迭代的时候，要确定入基变量和出基变量。
我理解确定入基变量就是找哪个非基变量进来能让目标函数值上升得最快，就像一群人里选跑步最快的去比赛一样。
而出基变量就有点复杂了，要考虑这个入基变量加入后，会跟哪些基变量产生限制关系，确定让哪个基变量出去。
这里的计算容易出错，而且算起来还挺繁琐，我开始的时候老是算错正负号之类的。
我觉得可以多做几个简单的例题，一步一步分析入基出基变量的确定过程，这样能加深理解。
对了还有pivot操作，这个操作就是在确定了入基出基变量之后，对系数矩阵进行的变换操作。
这一步就像是给这个计算甘蓝重新调整布局一样。
在学习单纯形法的时候，参考资料也很重要。
我推荐《运筹学基础及应用》这本书，里面对单纯形法有很详细的讲解还有大量的例子。
另外网上也有很多名校的公开课资源，比如MIT的公开课，老师会对一些步骤进行详细的剖析。
单纯形法的计算要点很多，我也还在不断学习的过程中，感觉多做练习题是提高运算能力和理解要点的非常有效的方法。
-单纯形法计算中的几个问题
(1-37)
将（1-36）逐个代入(1-37)并整理得到
1 2
Ac
1 2
Ap
1 2
AH
0
1 4
Ac
3 4
Ap
1 4
AH
0
3 4
Bc
1 4
Bp
1 4
BH
0
1 2
Bc
1 2
Bc
1 2
BH
0
表1-15表明这些原材料供应数量的限额,加入到产品A、B、D的 原材料C总量每天不超过100kg，P的总量不超过100kg，H总量不 超过60kg。由此
§1-7.单纯形法计算中的几个问题
一、单纯形法计算中的几个问题 1.目标函数极小化时解的最优性判别
对于目标函数值极小化的线性规划问题，这时只需以 所有检验数作为判别表中解是否最优的标志。 2.退化
按最小比值来确定换出基的变量时，有时出现存在 两个以上相同的最小比值，从而使下一个表的基可行解 中出现一个或多个基变量等于零的退化解。退化解的出 现原因是模型中存在多余的约束，使多个基可行解对应 同一顶点。当存在退化解时，就有可能出现迭代计算的 循环，尽管可能性极其微小。为避免出现计算的循环， 1974年勃兰特（Bland）提出了一个简便有效的规则：
单价(元/kg) 50
35
D
不限
25
原材料名称
C P H
每天最多供应量(kg) 单价(元/kg)
100
65
100
25
60
35
解 如以 A表c 示产品A中C的成分，Ap 表示产品A中P的成分，依次
类推。有(1-36)
Ac
1 2
A, Ap
1 4
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cj - zj
0
0
0
-1/2
-1/2
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max z c1 x1 c2 x2 c3 x3 x1 2 x2 x3 b1 s.t.2 x1 x2 3 x3 2b2 x1 , x2 , x3 0
• 四、已知线性规划问题
用单纯形法求解得最终单纯形表如下,表中x4x5为松弛变量
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单纯形法小结
– 目标函数
max Z min Z 不需要处理 令： Z Z ,求 maxZ
松弛变量 : 0 加入变量的系数 剩余变量 : 0 人工变量 : M
• 单纯形法计算步骤框图
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引进松弛变量、人工变量 列出初始单纯行表 计算非基变量各列 检验数σj 所有 σj≤0 否 是 基变量中 有人工变量 是 无可行解 无界解 否 某非基变量 检验数为0 是 无穷多解 否
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化成标准型：
cj
CB
-M -M
0
0 x2 4 2
0 x3 2 0 2M-1 1/2 -1
1/2-M
0 x4 -1 0 M -1/4 1/2
M/23/4
0 x5 0 -1 M 0 -1
-M
-M x6 1 0 0 1/4 -1/2
3/41/2M
-M x7 0 1 0 0 1
0
θ
XB
f 4
g h 0
2 i -7
-1 1 j
上页
1/2 1/2 k
下页
0 1 l
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解：
c X j B x x5 c
4
j
zj
3 f 4
6 1
b
b 2 -1 a 3
x1
x2
c 4 3 -1 2 5 i -7
x
d -2 e 2 2 -1 1 j 5
3
x1
x5
cj z j
g=1 h=0
1 g 0 h 0
唯一 最优解
找出最大的正检验数σk 存在 aik>0 是
i bi / aik 令 l min{i }
找出主元素alk
否
对所有aik 0计算
迭代运算:1.用非基变量xk替换基变量xl
2.对主元行 第l行 ,令bl / alk bl , alj / alk alj
lj 4.表中其他行列元素, 令aij alk aik aij , bi ablkl aik bi
c/2=2 c=4
0 1 0 b=2 1/2 0 1/2 1 k L -3/2 0
1 0 0
x4 x
5
-2a-1=-7 1=-1+e d/2=-1 a=3 e=2 d=-2
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* X • 二、LP问题max z=CX, AX=b，X≥0，如
是该问题的最优解，又 0为某一常数， 分别讨论下列情况时最优解的变化。 （1）目标函数变为 max z CX （2）目标函数变为 max z (C I ) X C （3）目标函数变为 max z X 约束条件变为 AX b
3 c 4 d
Q3 (0,9 / 4)
2
k=-5/2
k c / d (c 0, d 0)
5 c 3 2 d 4 c 5 d 2
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Q2 (1,3 / 2)
1 o
k=-3/4
1
Q1 (8 / 5,0) 2
3/41/2M
8 4/5
cj - zj
-3 -2 x2 x1 9/5 4/5
0 1
1 0
3/5 -2/5
-3/10 1/5
1/10 -2/5
3/10 -1/5
M+1/2
-1/10 2/5 M+1/2
cj - zj
0
0
0
-1/2
-1/2
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min w x6 x7
两阶段法：
x1 4 x2 2 x3 x4 x6 8 s.t.3 x1 2 x2 x5 x7 6 x , x , x 0 1 2 3 max w x6 x7 x1 4 x2 2 x3 x4 x6 8 s.t.3 x1 2 x2 x5 x7 6 x , x , x 0 1 2 3
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大M法，第一步转化成标准型：
max z 2 x1 3x2 x3 0 x4 0 x5 Mx6 Mx7 x1 4 x2 2 x3 x4 x6 8 s.t.3x1 2 x2 x5 x7 6 x , x , x 0 1 2 3
-M x7 0 1 0 0 1
0
θ
CB
-M -M
XB
x6 x7
b
x4
x5 0
8 6
-1 0 M -1/4 1/2
M/23/4
2 3
-1 M 0 -1
-M
cj - zj
-3 -M x2 x7 2 2
4M-2 6M-3 1/4 5/2
5/2M5/4
2M-1 1/2 -1
1/2-M
1 0
0
1/4 -1/2
第二步建表：
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结论：所有的检验数都小于等于零，而其中非基变量x3 所对应检验数 c 3 0, 且存在系数a13 0, 所以x3可作为基
j
换入得到另一个最优解，即该LP问题具有无穷多最优解。
-2 x1 1 3
-3 x2 4 2
-1 x3 2 0
0
0
-M x6 1 0 0
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续
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（3）若目标函数变为 max z cx1 dx2 讨论c、d的值如何变化，使每个顶 点依次使目标函数达到最优。
解：化为标准型
max z 10x1 5 x2 9 3 x1 4 x2 x3 x4 8 5 x1 2 x2 x1 , x2 , x3 , x4 0
x1 x2 1 1/5 x2 1 x3 0 x4 3/5 x5 -1/5
x3
cj-zj
3
3/5
-7/10
0
0
1
0
-1/5
-3/5
2/5
-4/5
试计算确定c1、c2、c3和b1、b2的值。
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续
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x1
x2 2 1
x3 1 3
x4 1 0 0
x5 0 1 0
• 解：建立初始单纯形表,
x1 x2 1 1/5 x2 1 x3 0
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• 解： * * max z CX （a） X 仍为最优解， ； * （b）一般 X 不再是问题的最优解。 （c）最优解变为 X * ，目标函数值不变。
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三、考虑LP问题，分别用大M法和两阶段法求解
min z 2 x1 3x2 x3 x1 4 x2 2 x3 8 s.t.3x1 2 x2 6 x , x , x 0 1 2 3
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3/ 5 1/ 5 B 1/ 5 2 / 5
1
续
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• 五、设线性规划问题
max z 10 x1 5x 2 3x1 4 x 2 9 5 x1 2 x 2 8 x ,x 0 1 2
（1）分别用图解法和单纯形法求解； （2）对照指出单纯形表中的各基本可行 解对应图解法中可行域的哪一顶点。
x1 c z
j
x
3
21/5 8/5
j
0 1 0
0 1 0
14/5 2/5 1
1 0 0
-3/5 Q1 (8 / 5,0) 1/5 -2
5 10
x1 c z
j
x2
3/2 1
j
1 5/14 -3/14 Q2 (1,3 / 2) 0 -1/7 2/7 0 -5/14 -25/14
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max z cx1 dx 2
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c
d
>0
>0
=0 >0 >0 <0
>0 =0 <0 <0
c/d c/d>5/2 c/d=5/2 3/4<c/d<5/2 c/d=3/4 c/d<3/4 不限 --不限 不限
最优解的顶点 Q1 Q1,Q2 Q2 Q2,Q3 Q3 Q3 Q1 Q1 O
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单纯形法习题课
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单纯形法 小结
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基本概念
• 线性规划模型
– 三个要素：
• 决策变量、目标函数、约束条件
– 线性性
• 线性规划解的性质 – 线性规划问题的可行域是凸集。
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– 最优解必在顶点上得到。
• 线性规划求解方法
– 图解法 – 单纯形法
重点掌握 内容
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单纯形法小结
•一般线性规划问题的标准化及初始单纯形 法表.
x6 x7
b
8 6
x1 1 3
2 3
cj - zj
-3 -M x2 x7 2 2
4M-2 6M-3 1/4 5/2
5/2M5/4
1 0
0
8 4/5
cj - zj
-3 -2 x2 x1 9/5 4/5
0 1
1 0
3/5 -2/5
-3/10 1/5