数论模型密码的加密与解密
数学的数论与密码学
数学的数论与密码学数论作为数学的一个重要分支，与密码学有着密不可分的关系。
数论研究的是整数的性质和规律，而密码学则涉及保护信息的编码和解码技术。
本文将探讨数学的数论与密码学之间的紧密联系，并介绍一些基本的数论概念和密码学应用。
一、数论概述数论是研究整数性质和规律的学科，具有深厚的历史和广泛的应用。
它探讨了整数的分布、因子分解、质数性质等等。
1.1 整除性和质数在数论中，整除性是一个重要的概念。
对于整数a和b，如果存在整数c使得a = bc，那么我们说a能够整除b，记作a|b。
而质数则是只能被1和自身整除的正整数，例如2、3、5、7等。
质数在密码学中起到了重要的作用，尤其是在公钥密码系统中。
1.2 模运算和同余关系模运算是数论中另一个重要的概念。
对于任意整数a和正整数n，a mod n表示a除以n的余数。
例如，7 mod 3的结果是1，因为7除以3余1。
同余关系则是指两个整数在模n下的余数相同。
例如，如果a mod n = b mod n，我们说a与b在模n下是同余的，记作a ≡ b (mod n)。
同余关系在密码学中广泛应用于数据加密和解密算法中。
二、密码学中的数论应用密码学是研究如何保护信息的学科，它通过编码和解码技术来实现信息的安全传输。
而数论在密码学中有着重要的应用。
2.1 公钥密码系统公钥密码系统是一种加密通信方式，其中使用了两个密钥：公钥和私钥。
公钥可以公开给任何人使用，而私钥只能由接收者保密使用。
在公钥密码系统中，质数和模运算是关键的数论概念。
2.1.1 质数的应用在公钥密码系统中，质数的应用主要用于构建密钥对。
通常情况下，我们选择两个大的质数p和q，并计算它们的乘积n = p * q。
n将作为公钥中的一个参数，而p和q将作为私钥中的一部分。
质数的选择对系统的安全性至关重要，因为质因数分解是一个非常困难的数学问题。
2.1.2 模运算的应用模运算在公钥密码系统中广泛应用于数据加密和解密过程中。
数学与密码学加密算法的数学基础
数学与密码学加密算法的数学基础密码学加密算法是现代通信和信息安全领域至关重要的技术之一。
而实现这些加密算法的核心就是数学。
在本文中，我们将探讨数学与密码学加密算法之间的密切关系，以及这些加密算法背后的数学基础。
一、对称加密算法对称加密算法是最早也是最简单的加密算法之一。
它使用相同的密钥进行加密和解密操作。
这些算法的核心基于数学方法，例如位运算、模运算和异或运算等。
位运算是一种对二进制数据进行操作的数学运算，广泛应用于密码学中。
通过对数据进行按位和异或运算，可以实现高效、快速的加密和解密过程。
例如，常见的对称加密算法DES（Data Encryption Standard）使用了复杂的置换和替换运算，利用二进制编码的数据处理方式实现数据保护。
这些操作背后依赖了离散数学中的置换群和线性代数等数学理论。
二、非对称加密算法与对称加密算法不同，非对称加密算法使用一对密钥，即公钥和私钥。
公钥可以公开给其他人使用，而私钥则保密。
非对称加密算法的数学基础是基于数论中的一些难题，例如大素数分解问题和离散对数问题。
RSA算法是最著名的非对称加密算法之一。
该算法是基于数论中的欧拉函数和模取幂运算等数学概念。
通过选择合适的大素数，并进行一系列数学运算，可以生成非常强大的加密算法。
三、哈希函数哈希函数是一种重要的密码学工具，用于将任意长度的输入数据转换为固定长度的输出数据。
哈希函数具有不可逆性和唯一性的特性，也就是说，无法通过输出数据反推出输入数据，并且不同的输入数据会产生不同的输出。
经典的哈希函数，例如MD5和SHA（Secure Hash Algorithm），都是基于数学原理设计的。
这些函数利用了位运算、模运算和异或运算等数学方法，以及数论中的散列函数定理和模取幂运算等概念。
通过这些数学基础，哈希函数可以提供高度的数据安全性和完整性。
四、椭圆曲线密码学（ECC）椭圆曲线密码学是近年来发展起来的一种密码学分支，它利用了椭圆曲线上的数学性质来实现加密算法。
密码学和数论
密码学和数论密码学和数论是两个研究方向，也是数学的一个分支。
密码学是研究如何保护通信信息的安全，而数论则是研究整数的性质和相关运算法则。
这两个领域密切相关，因为密码学中的加密算法和解密算法通常基于数论的基本原理，并且数论可以用于验证和证明密码学中的加密算法的安全性。
首先来了解一下密码学。
在互联网等信息交互平台上，加密技术被广泛应用。
加密算法主要有对称加密和非对称加密两种。
对称加密算法是将信息用相同的密钥加密和解密。
这种算法操作速度快，但缺点是密钥的分发和管理不方便。
非对称加密算法则是一种公钥加密方案。
不同于对称加密，它采用公钥和私钥两个密钥，公钥用于加密，而私钥则用于解密。
两种密钥之间有数学上的关联，但单独知道公钥不会导致私钥的泄露。
这种算法更安全但操作速度比对称加密慢。
此外，还有哈希加密算法，其用途是将任意长度的消息压缩成固定长度的消息摘要，这种算法通常用于验证数据的完整性或唯一性。
接着我们来看数论的相关知识。
数论是研究整数结构及其各种性质和应用的数学分支，包括质数分解、离散对数、扩展欧几里得算法等。
质数分解是一种将正合数表示为质因数乘积的方法。
质数分解在密码学中有重要的应用，比如RSA等非对称加密算法的安全性基于一个大素数的质因数分解难度，即求解质因数分解问题的计算复杂度极高，一般情况下需要超过经常用于保密通信的密钥长度，因此被认为是安全的。
离散对数是一种求解一个整数在给定模数下的指数的问题。
在非对称加密算法中，离散对数问题也是一种经典加密的基础原理。
扩展欧几里得算法是用于求两个整数的最大公约数和表示最大公约数的贝祖等式的一种算法。
在密码学中，扩展欧几里得算法被用于求解模反函数。
总的来说，密码学和数论都是涉及通信安全的计算机科学分支。
密码学的发展离不开数论的使用，而数论的发展也与密码学密不可分。
随着计算机技术的不断进步，密码学和数论的应用领域也在不断扩展，将更好地保护个人隐私和社会安全。
数论在密码学、编码理论、算法设计等领域的应用研究
数论在密码学、编码理论、算法设计等领域的应用研究摘要数论作为数学的一个重要分支，研究整数的性质和关系，其理论基础和研究方法在密码学、编码理论、算法设计等众多领域有着广泛的应用。
本文将探讨数论在这些领域中的应用，并分析其对相关领域发展的贡献和影响。
关键词:数论，密码学，编码理论，算法设计，应用研究1. 绪论数论的研究对象是整数及其性质，包括整除性、素数、同余、不定方程等。
其理论体系丰富而严谨，具有高度的抽象性和逻辑性，这使其在计算机科学、信息安全等领域拥有重要的应用价值。
2. 数论在密码学中的应用数论在密码学中的应用尤为突出，其基础理论构成了现代密码学的重要基石。
2.1 公钥密码学公钥密码学是现代密码学的重要组成部分，其核心思想是将密钥分为公钥和私钥，公钥用于加密，私钥用于解密。
公钥密码学中的许多算法都依赖于数论中的重要概念，例如：*RSA算法: RSA算法利用了大数分解的困难性，将两个大素数相乘得到模数，公钥为模数和加密指数，私钥为模数和解密指数。
由于大数分解的复杂性，破解RSA算法需要花费大量的时间和计算资源。
*ElGamal算法: ElGamal算法基于离散对数问题的困难性，通过对离散对数的计算来进行加密和解密。
离散对数问题与数论中的群论和有限域理论有着密切联系。
*ECC算法: ECC算法基于椭圆曲线上的点运算，其安全性依赖于椭圆曲线上的离散对数问题。
椭圆曲线密码学近年来受到广泛关注，其优势在于更高的安全性、更小的密钥尺寸和更高的计算效率。
2.2 对称密码学对称密码学使用相同的密钥进行加密和解密。
数论也为对称密码学的算法设计提供了理论基础，例如：*AES算法: AES算法是目前使用最广泛的对称加密算法，其核心算法基于S盒和列混淆操作。
S盒的生成过程利用了有限域上的多项式运算，列混淆操作则利用了矩阵乘法，这些都体现了数论在对称密码学中的应用。
2.3 其他密码学应用除了公钥密码学和对称密码学之外，数论还在哈希函数、数字签名、密钥管理等密码学领域有着广泛的应用。
解密数学的密码学习数学的核心原理
解密数学的密码学习数学的核心原理密码学作为一门应用数学的分支，致力于研究在通信及计算中保护信息安全的方法和技术。
它融合了数论、代数、概率论和计算机科学等多个领域的知识，力求在信息传输中确保机密性、完整性和可用性。
本文将深入探讨解密数学学习在密码学中的核心原理。
一、数论的应用数论作为密码学的重要基石，主要涉及整数和整数运算的性质和规律。
在密码学中，数论被广泛应用于生成随机数、素数测试、离散对数问题、RSA算法和椭圆曲线密码等领域。
1. 生成随机数密码学中的安全性依赖于生成高质量的随机数。
数论的随机数生成算法可以基于伪随机数生成器（PRNG）或者真随机数生成器（TRNG）。
其中，PRNG使用一个初始种子生成一个看似随机的序列，而TRNG则通过基于物理过程的测量来获取真正的随机数。
2. 素数测试素数是密码学中许多算法的基础。
素数测试算法可以判断一个给定的数是否为素数。
其中，费马小定理和米勒-拉宾测试是常用的素数测试方法。
利用这些方法，密码学家可以有效地选择足够大的素数作为公钥和私钥，以保证安全性。
3. 离散对数问题离散对数问题是公钥密码体制中一种重要的数学难题，其基于离散对数难题的安全性假设构造出了许多著名的加密算法，如Diffie-Hellman密钥交换算法和椭圆曲线密码算法。
离散对数问题的困难性使得攻击者难以在合理时间内从公开信息中推导出私密信息。
二、代数的应用在密码学中，代数学的应用主要体现在密码算法的设计和破解上。
代数结构、线性代数和有限域等数学工具被广泛应用于对称密码和公钥密码的设计与分析中。
1. 代数结构代数结构是密码学中描述密码算法和密码体系结构的重要工具和理论基础。
研究人员将群、环、域等代数结构应用于密码算法的分析和设计中，通过对代数结构的研究可以进一步提高密码算法的安全性和效率。
2. 线性代数线性代数在密码学中被广泛应用于矩阵操作和置换算法的设计。
矩阵操作可以实现数据的混淆和扩散，从而提高密码算法的安全性。
密码的设计、解密与破译
在设计密钥时，也可在明文字母表中选择一个特定字母，然 后从该特定字母开始写密钥单词将密钥单词隐藏于其中。例 如，对于上例，选取特定字母k，则可得： 明文字母表 密文字母表 ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ KLMPQVWXYZCONSTRUABDEFGHIJ
方法2： a)选择一个密钥单词或密钥短语，例如： construct b)去掉其中重复的字母，得：constru c)这些字母构成矩阵的第一行，矩阵的后续各行由标准字母 表中去掉密钥单词的字母后剩下的字母构成 d)将所得矩阵中的字母按列的顺序排出 得： cugmyoahpznbiqsdjvrtekwrflx 按照此方法产生的字母表称为 混淆字母表。 为增加保密性，在使用 还可以使用混淆数。混淆数由以下方法产生： 代替法时还可利用一些 a)选一密钥单词或密钥短语，例如： construct 其他技巧，如单字母表 b)按照这些字母在标准字母表中出现的相对顺序给它们编号， 对多字母表、单字母对 对序列中重复的字母则自左向右编号，得 ：construct 多字母、多重代替等。 143675928 c)自左向右选出这些数字，得到一个混淆数字组:143675928， 混淆字母表由从小到大的顺序取矩阵中相应列得出。
记全体明文组成的集合 为U，全体密文组成的集合为V，称U 为明文空间，V为密文空间。加密常利用某一被称为密钥的东 西来实现，它通常取自于一个被称为密钥空间的含有若干参 数的集合K。按数学的观点来看，加密与解密均可被看成是一 种变换：取一k∈K，u∈U，令 v =k u ，v为明文u在密钥K下 的密文，而解码则要用到K的逆变换K-1。由此可见，密码体 系虽然可以千姿百态，但其关键还在于密钥的选取。
A-1的求法 A 1 2 1 方法1 利用公式 A ，例如，若取 A ， det( A) 0 3 1 3 2 1 9 则 det( A) 3 , det( A) , A 9 (mod26) ，即 0 1 方法2 利用高斯消去法。将矩阵(A, E)中的矩阵A消为E， 则原先的E即被消成了A-1，
数字加密算法简介
ElGamal
一种较为常见的加密算法，它是基于1985年提出的公钥密码体制和椭圆曲线加密体系
ECC（椭圆曲线加密算法）
最初由Koblitz和Miller两人于1985年提出，其数学基础是利用椭圆曲线上的有理点构成 Abel加法群上椭圆离散对数的计算困难性
数字加密算法简介
常见的加密算法分类
对称算法 非对称算法 Hash算法（散列算法）
对称加密算法
(也叫私钥加密)指加密和解密使用相同密钥的加密算法。 或者加密密钥能够从解密密钥中推算出来，同时解密密钥也可以从加
密密钥中推算出来。 安全性依赖于密钥，泄漏密钥就意味着任何人都可以对他们发送或接
收的消息解密，所以密钥的保密性对通信的安全性至关重要。 优点
料处理标准（FIPS），随后在国际上广泛流传开来
3DES
3DES（或称为Triple DES）是三重数据加密算法（TDEA，Triple Data Encryption Algorithm）块密码的通称。
相当于是对每个数据块应用三次DES加密算法
AES（Rijndael）
2000年10月，NIST（美国国家标准和技术协会）宣布通过从15种侯选算法中选出的一项新的 密匙加密标准，Rijndael被选中成为将来的AES（Advanced Encryption Standard）
RSA算法原理
RSA算法的安全性基于数论中大整数分解的困难性
RSA算法使用了乘方运算。
要求：
明文M经过加密得到密文C： C=Me mod n 密文C经过解密得到明文M：
Cd mod n=(Me mod n)d mod n= Med mod n=M 即：必须存在e，d，n，使Med mod n=M成立 （可行性不在此证明） n，e为公钥，d为私钥
rsa实验报告
rsa实验报告RSA实验报告引言：RSA（Rivest-Shamir-Adleman）是一种非对称加密算法，广泛应用于信息安全领域。
本实验旨在通过实际操作，深入了解RSA算法的原理和应用。
一、RSA算法原理RSA算法基于数论中的大数分解问题，其核心原理是利用两个大质数的乘积很容易计算得到，但是将这个乘积分解为两个大质数却非常困难。
以下是RSA算法的具体步骤：1. 选择两个不相等的大质数p和q，并计算它们的乘积n=p*q。
2. 计算n的欧拉函数φ(n)=(p-1)*(q-1)。
3. 选择一个小于φ(n)且与φ(n)互质的整数e作为公钥指数。
4. 计算e的模反元素d，即满足(e*d)%φ(n)=1的整数d，作为私钥指数。
5. 公钥为(n, e)，私钥为(n, d)。
6. 加密时，将明文m通过公式c=(m^e)%n计算得到密文c。
7. 解密时，将密文c通过公式m=(c^d)%n计算得到明文m。
二、实验过程1. 生成密钥对首先，我们使用Python编程语言生成RSA密钥对。
通过调用相关库函数，我们可以轻松地生成公钥和私钥。
2. 加密与解密接下来，我们使用生成的密钥对进行加密与解密操作。
我们选择一段文字作为明文，将其转化为整数形式，并使用公钥进行加密。
然后，使用私钥对密文进行解密，还原为明文。
3. 安全性分析RSA算法的安全性基于大数分解的困难性。
由于大质数的乘积很容易计算得到，而将其分解为两个大质数却非常困难，因此RSA算法在理论上是安全的。
然而，在实际应用中，如果选择的大质数不够大或者密钥管理不当，可能会导致算法的安全性受到威胁。
三、实验结果与分析经过实验，我们成功生成了RSA密钥对，并进行了加密与解密操作。
实验结果表明，RSA算法能够有效地实现信息的加密和解密。
四、应用领域RSA算法在信息安全领域有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 数字签名RSA算法可以用于生成数字签名，确保数据的完整性和真实性。
代数中关于的密码的模型讲解
向量； • 用加密矩阵左乘每一列向量； • 将新向量的每个分量关于模m取余运算； • 将新向量的每个整数对应于一个字符。 解密过程相反。
定理1 a {0,...,25,}若 a1 {0,25}使得
到第二组中其他字母之后， 而h将降到第三组中，并 且th和he就不再是最众多的字母了。
以上对英语统计的讨论是在仅涉 及26个字母的假设条件 下进行的。实际上消息的构成还包括间隔、标点、数字 等字符。总之，破译密码并不是件很容易的事。
希尔密码
移位密码的一个致命弱点 是明文字符和密文字符有相同 的使用频率,破译者可从统计出来的字符频率中找到规律， 进而找出破译的突破口。要克服这一缺陷，提高保密程度 就必须改变字符间的一一对应。
I. t,a,o,i,n,s,h,r; II. e; III. d,l; IV. c,u,m,w,f,g,y,p,b; V. v,k,j,x,q,z;
不仅单个字母以相当稳定的频率出现，相邻字母对和三字母 对同样如此。
按频率大小 将双字母排列如下： th,he,in,er,an,re,ed,on,es,st,en,at,to,nt,ha,nd,ou,ea,ng,a s,or,ti,is,er,it,ar,te,se,hi,of 使用最多的三字母按频率大小排列如下： The,ing,and,her,ere,ent,tha,nth,was,eth,for,dth
是“猜测”的艺术。“q猜i 测 ”Ap的i 成(i=功1,与2,否…直, 接n)决定着破译的结
果破的。译字希母尔表密 是码怎的样对可关的应确键，的定是 更A明猜为，文测重并文要(i将=字的1密,被是2码,转要…破换设,译成法n。)是成获什几取么维 加向密，量矩即所阵、A对。应
数论在密码学中的应用研究
数论在密码学中的应用研究密码学是研究如何保护通信与信息的一门学科。
它的目标是设计出能够确保通信中的信息隐私与完整性的算法与协议。
数论作为密码学的基石之一，被广泛应用于密码学的算法与协议中。
本篇论文将探讨数论在密码学中的应用研究。
一、数论基础在介绍数论在密码学中的应用之前，我们首先需要了解一些数论的基础知识。
数论是研究自然数的性质与相互关系的学科。
在密码学中，常用到的数论概念有素数、欧拉函数、同余等。
1.1 素数与因子分解素数是只能被1和自身整除的自然数，例如2、3、5、7等。
在密码学中，我们常常需要使用大素数来构建安全的加密算法。
一个常见的例子是RSA算法中的素数选择。
因子分解是将一个自然数表示为多个素数乘积的过程。
这个过程在密码学中起到了重要的作用。
例如，在RSA算法中，加密密钥是由两个大素数的乘积构成的。
为了破解RSA算法，攻击者需要找到这两个素数，进行因子分解，并计算私钥。
1.2 欧拉函数与同余欧拉函数是指小于n且与n互素的正整数的个数。
在密码学中，欧拉函数的一个重要应用是RSA算法中的秘密指数选择。
秘密指数必须与欧拉函数是互素的，以确保加密的正确性。
同余是指两个整数在除以某个整数之后所得余数相等的性质。
在密码学中，同余运算是非常重要的一个概念，它被应用于很多密码算法中，例如RSA和Diffie-Hellman密钥交换算法。
同余运算的性质使得这些密码算法能够在不直接传输秘密数据的情况下实现安全的通信。
二、数论在密码学中的应用数论在密码学中得到了广泛的应用。
它主要应用于密码算法的设计与分析、密钥管理以及数字签名等方面。
以下将介绍数论在密码学中的几个重要应用。
2.1 公钥密码算法公钥密码算法是一类使用不同密钥进行加密与解密的算法。
其中最著名的是RSA算法。
RSA算法利用了数论中的素数与因子分解的性质。
在RSA算法中，首先选择两个大素数p和q，并计算它们的乘积n=pq。
然后选择一个整数e作为公钥指数，且e与φ(n)互素。
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仿射变换的解密公式可通过求解同余方程得到 a p c b (m o d m ) 记 整 数 a 关 于 模 m的 同 余 逆 为 a 对上式两边同乘a p a
1 1 1
,即 aa
1
1 (m o d m ),
,得
( c b ) (m o d m )
Remark: 只 有 a 与 m 互 素 ， 才 可 能 存 在 a 关 于 模 m的 同 余 逆 a
1 05 4 2 1 1 0 (m o d 2 6 ) (m o d 2 6 ) 21 0 0 2 1
解密公式为： 1 1 0 A (m o d m ) (m o d 2 6 ) 0 2 1
1
对密文UUQR进行解密得到
对应密文
UUQR
定 义 8 .1 设 m 为 一 正 整 数 ， 记 整 数 集 合 Z m {0 , 1, 2 , , m 1} . 对 于 一 个 元 素 属 于 Z m的 n阶 方 阵 A ， 若 存 在 一 个 元 素 属 于 Z m 的 n阶 方 阵 B ， 使 得 A B B A I (m o d m ) 称 A 为 模 m 可 逆 。 B 为 A 的 模 m 逆 矩 阵 ， 记 为 B A (m o d m )
1
A (m o d m )
1
对上面例子,det(A)=5,它与26互素，所以满足 8.1的条件，故A关于模26的逆为
1
A
5
1
5 2 5 2 (m o d 2 6 ) 2 1 (m o d 2 6 )(因 为 5 的 同 余 逆 2 1) 0 1 0 1
1
(m o d m )
a b 设方阵 A c d 容易验证
满足命题8.1的条件
d b (mod m ) c a
A
1
( ad bc )
1
其 中 ( a d b c ) 是 a d b c 关 于 模 m的 同 余 逆 。 于 是 方 程 组 A 在 模 m 意 义 下 的 解 为
没有其他人可以得到B 的私钥，所以只有B可以解密
公钥密码系统的签名原理
A
PlainText
A的私钥
Q R
U V W X Y Z
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
2）选择一个二阶可逆整数方阵A，称为Hill2密码的加 密矩阵，它是加密体制的“密钥”，是加密的关键，仅 通讯双方掌握。 3）将明文字母分组。 Hill2 使用的是二阶矩阵，所以 将明文字母每2个一组（可以推广至Hilln密码），若最 后仅有一个字母，则补充一个没有实际意义的哑字母。 这样使得每组都有2个字母，查出每个字母的表值，构 成一个二维列向量 。
4）令 A ，由 的两个分量反查字母表值得到 的两个字母即为密文字母。
ＨILL密码的数学模型
字母（明文） 表值 分组
一组数
向量 左 乘 A
密文
反查表值
向量
解密过程：加密过程的逆过程。
例：设明文为“MEET求这段明文的 Hill2
密文。 1 A
0 2 5
即明文MEET
Hill密码的加密与解密过程类似于在n维向量 空间中进行线性变换及其逆变换。每个明 文向量是一个Zm上的n维向量，乘以加密矩 阵并对m取余，仍为Zm上的一个n维向量。由 于加密矩阵A为模m的可逆矩阵，所以如果 知道了n个线性无关的n维明文向量及其对 应的密文向量，就可以求出它的加密矩阵A 及其模m的逆矩阵A-1(mod) 例子详见P88,例8.5
（Cryptanalysis）
• 明文用M（Message，消息）或P（Plaintext，明文） 表示，它可能是比特流、文本文件、位图、数字化的 语音流或者数字化的视频图像等。 • 密文用C（Cipher）表示，也是二进制数据，有时和M 一样大，有时稍大。通过压缩和加密的结合，C有可能 比P小些。 • 加密函数E作用于M得到密文C，用数学公式表示为：E （M）=C。解密函数D作用于C产生M，用数据公式表示 为：D（C）=M。先加密后再解密消息，原始的明文将 恢复出来，D（E（M））=M必须成立。
-1
a=6与 26不 互 素 ， 所 以 无 法 对 密 文 解 密 。
（ 2 ） 如 令 R (1 7 ) 对 应 E (5 ), S (1 8 ) 对 应 T (1 9 ), 得 同 余 式 1 7 4 a b (m o d 2 6 ) 1 8 1 9 a b (m o d 2 6 ) 这 样 有 ： 1 5 a (m o d 2 6 ) 1 所 以 ： a 1 5 1 (m o d 2 6 ) 7 1 (m o d 2 6 ) 7 (m o d 2 6 )
zdv d c=( m+ 3)
juhdw vroglhu Mod 26
CAESAR 密码 ：
仿射变换密码
上面移位置换密码的一个简单变种就是仿射变换密码， 其数学表示为
c ap b (mod m ) 其中自然数 a 必需与模 m 互素
在上面例子移位置换密码下，明文中相邻的字母对应的 密文字母也是相邻的，如A和B对应的密文字母分别为D和E, c 但在仿射变换下， 3 p 5 (mod 26 ) 对应的密文字母分别为 F((3*0+5)mod26=5=F)和I，它们有3个字母的间隔(a=3)
1 10 20 220 12 (mod 26 ) 0 21 20 420 4 1 10 16 186 4 (mod 26 ) 0 21 17 357 19
将明文分为：
ME ET
对应的列向量为 12 4 , 4 19
左乘矩阵 20 , 20 关于
A 后的向量
42 95
26 取模 16 17 ,
20 , 20
最后破译文为 ANAME RICAN SECRE TAGEN TWILL MEETA NAFGH ANIST ANMOL EINTH ECOFF EEBAR ATTHU RSDAY AFTER NOON 即AN AMERICAN SECRET AGENT WILL MEET AN AFGHANISTAN MOLE IN THE COFFEE BAR AT THURSDAY AFTERNOON 破译成功
公钥密码系统的加密原理
• 每个通信实体有一对密钥（公钥，私钥）。公钥公开，用 于加密，私钥保密，用作解密 • A向B 发送消息，用B的公钥加密 • B收到密文后，用自己的私钥解密
A
B的私钥
B
PlainText
加密 算法
cipher
解密 算法
PlainText
任何人向B发送信息都可以使用同一个密钥(B的公钥)加密
1
例8.3
假设下面是仿射变换加密的，试破译此文 FSFPR EDLFS HRLER KFXRS KTDMM PRRKF SFUXA FSDHK FSPVM RDSKA RLVUU RRIFE FKKAN EHOFZ FUKRE SVVS
假设此问题由26个英文字母组成，取m=26.由于与26互素，a有12种 不同的取法，b有26种不同的取法，所以放射变换有12*26=321种。 可采取穷举法来破译。 可以用频率法，即密文中出现次数最多的字母与英文中最常见的字母 对应。
公开密钥系统
Hill密码的加密和解密都只需要加密矩阵这个密钥就可以了。 这种系统称为单密钥系统。如果加密和解密使用两个不同的 密钥，则称为双密钥系统，也称为公开密钥系统。密钥的拥 有者将其中一个密钥公开，另一个保密。
双密钥系统（1）W.Diffie 和 M.Hellman最早提出 （2）R.L.Rivest, A.Shamir和 L.Adleman 提出第一个方法 双密钥系统的程序是这样的 收方先告诉发方如何把情报制成密码（敌人也听到） 发方依法发出情报的密文（敌人也可能收到密文） 收方将密码还原成原文（敌人却解不开密文）
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命 题 8.1 元 素 属 于 Z m 的 方 阵 A 模 m 可 逆 的 充 要 条 件 是 ： m 和 d e t( A ) 没 有 公 共 的 素 数 因 子 。 推 论 8.1 若 方 阵 A的 每 个 元 素 属 于 Z m ， 而 且 d e t A 1 则 A 是 模 m可 逆 的 ， 且 它 的 逆 矩 阵 A 就 是 A的 模 m 逆 矩 阵 。
HILL密码
Hill2密码中所用的数学手段是矩阵运算。
加密过程：
1）将英文的26个字母与0到25之间的整数建立一一对应 关系，称为字母的表值，然后根据明文字母的表值，将 明文信息用数字表示。设明文信息只用26个大写字母表 示，通讯双方给出这26个字母的表值如下： A B C D E ０ １ 2 N O P 3 4 F 5 S G H I 6 T 7 8 J 9 K L M 10 11 12
在密文中 F：出现12次 R：出现12次 S：出现9次 K：出现8次 在平常统计中 E：出现频率 13.04% T：出现频率 13.04% Z：出现频率 0.08%
（ 1 ） 如 令 F (5 ) 对 应 E (5 ), R (1 7 ) 对 应 T (1 9 ), 得 同 余 式 5 4 a b (m o d 2 6 ) 1 7 1 9 a b (m o d 2 6 ) 这 样 有 ：2 1 5 a (m o d 2 6 ) 1 所 以 ： a 1 5 1 2 (m o d 2 6 ) 7 1 2 (m o d 2 6 ) 6 (m o d 2 6 )
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