数学实验—Hill密码的加密、解密与破译
Hill密码的加密
Hill 密码的加密、解密和破译 实验报告吴林柱 5100309888实验任务2、利用所介绍的Hill 密码体制原理，根据所给定的26个英文字母的乱序表值（见表），设计与Hill 4密码体制的加密、解密与破译框图并建立必要的计算机程序。
设英文26个字母以下的乱序表与Z 26中的整数对应： A B C D E F G H I J K L M 5 23 2 20 10 15 8 4 18 25 0 16 13 N O P Q R S T U V W X Y Z 731196122421171422119（1）设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4116109485105965968A ，验证矩阵A 能否作为Hill 4，用框图画出你的验算过程，并编写相应的计算机程序。
（2）设明文为HILL CRYPTOGRAPHIC SYSTEM IS TRADITIONAL 。
利用上面的表值与加密矩阵给此明文加密，并将得到的密文解密。
画出加密与解密过程的框图并编写相应的计算机程序。
（3）已知在上述给定值下的一段密文为JCOWZLVBDVLEQMXC ，对应的明文为DELAY OPERATIONSU 。
能否确定对应的加密矩阵？给出你的判断过程。
4、如下的密文据表10.1以Hill 加密，密文为VIKYNOTCLKYRJQETIRECVUZLNOJTUYDI MHRFITQ 。
已获知其中相邻字母LK 表示字母KE ，试破译这份密文。
5、找出元素属于Z 26的所有可能的Hill 密码加密矩阵。
若截获了如下一段密文UTCQCVFOYQUVMGMGULFOLEYHDUDOPEASWXTIFBAMWT 且知他是根据表10.1按Hill 密码 体制加密的，能否破译？实验解答2、（1）由定义可知，元素属于Z m 的方阵A 模m 可逆的充要条件是，m 和det A 没有公共素因子。
因此，框图如下：求矩阵A 的行列式 det A 若det A 与26没有公共素因子，则A 可用。
Hill算法实验报告
}
注意：其中的bs为各小矩阵的行列式的值。
以上两段代码为关于如何进行逆矩阵转换的具体实现。
4.输入与输出：
本算法的输入为如下三项：
a. 已知明密文对每对的字符个数；
b. 已知的明文对（若干）；
c. 与之相对应的密文对。
本算法的输出为如下三项：
a. 行代换后的明文矩阵；
b. 明文矩阵的逆矩阵；
c. 最终解得的密钥矩阵K。
5.最终运行结果：
输入如下所述：
已知明密文对每对的字符个数：2
已知的明文：fr，与之相对的密文：PQ；
已知的明文：id，与之相对的密文：CF；
输出为下图所示：
出现的问题以及解决方案：
问题1：所做出的密钥矩阵K中元素的数值是小数。
解决方案：由于忽视了每次矩阵的mod26计算，造成了最终得出的密钥矩阵K中的小数。
只需对每一个被除数每次+26直到除尽即可。
最后统一进行mod 26直到最简。
实验十-Hill密码的加密、解密与破译
else
for i=1:25
if mod(i*D,26)==1
break
end;
end;
invD=i;
Y=mod(D*inv(P)*invD,26);
end;
Y=mod(C*Y,26);
y=true
运行结果：y=[25 9 20 19 ;2 16 17 13;3 17 16 22;14 23 10 2]
miwen(k)=dxzm(b);
end
mw0='';
for k=1:n
mw0(k)=miwen(k);
end
disp(['密文是',mw0])
执行结果：
密文是：BFQYYXRBSGTDPJJZXK
（3）
function Y=invmod(C,P)
D=det(P);
D=round(D)
if gcd(D,26)~=1
2.学习掌握线Hill密码体制的加密、解密和破译过程.
实验环境
MatlabR2012b
实验内容：
实际问题：(1)甲方收到与之有秘密通信来往的乙方的一个密文信息，密文内容：QSIUYSBACPGZSAVCOVKPEWCPADKPPABUJCQLYXQEZAACPP
按照甲方与乙方的约定，他们之间的密文通信采用Hill2密码。密钥为二阶矩阵 。且汉语拼音的26个字母与0～25之间的整数建立一一对应的关系，称之为字母的表值，具体的表值见表10.1.问这段密文的原文是什么？
1.（1）
disp('输入密钥矩阵的为数');
n=input('');
disp('输入密钥矩阵（按行输入）');
hill密码加密例题
hill密码加密例题Hill密码是一种基于线性代数的密码算法，它使用矩阵运算来进行加密和解密。
下面我将给出一个Hill密码加密的例题，并从多个角度进行全面解答。
假设我们要加密的明文是："HELLO"，并且我们选择使用2x2的密钥矩阵进行加密。
密钥矩阵可以表示为：K = [[2, 3],。
[1, 4]]现在，我们将按照Hill密码的加密步骤来进行加密：步骤1: 明文转化为数字。
首先，我们需要将明文转化为对应的数字。
通常可以使用字母表来进行映射，比如A对应0，B对应1，以此类推。
在这个例题中，我们使用A=0，B=1，C=2，...，Z=25的映射方式。
所以，"HELLO"可以转化为[7, 4, 11, 11, 14]。
步骤2: 分组。
然后，我们将数字分组，每个组的长度与密钥矩阵的行数相同。
在这个例题中，由于密钥矩阵是2x2的，所以我们将数字分组为[[7, 4], [11, 11], [14]]。
步骤3: 矩阵乘法。
接下来，我们将每个分组与密钥矩阵进行矩阵乘法运算。
对于每个分组，我们将其转化为一个行向量，并与密钥矩阵进行乘法运算。
在这个例题中，第一个分组[7, 4]与密钥矩阵K进行乘法运算，得到的结果为[2, 29]。
步骤4: 取模运算。
然后，我们对矩阵乘法的结果进行取模运算，通常取模26。
这是因为我们使用了26个字母的字母表。
在这个例题中，对于矩阵乘法的结果[2, 29]，我们进行取模26运算，得到[2, 3]。
步骤5: 数字转化为密文。
最后，我们将取模运算的结果转化为对应的字母。
在这个例题中，[2, 3]对应的字母是"C"和"D"。
所以，加密后的密文为"CD"。
综上所述，使用2x2的密钥矩阵K对明文"HELLO"进行Hill密码加密后得到的密文为"CD"。
从多个角度来看，Hill密码的加密过程涉及到了线性代数的矩阵运算，包括矩阵乘法和取模运算。
实验报告书-Hill密码体系
3
disp('输入密钥，按行输入'); A=[]; for i=1:n for j=1:n A(i,j)=input(''); end end if gcd(det(A),26)~=1 error('密钥矩阵模 26 不可逆，无法实现 Hill 密码'); end disp('输入所要加密的明文（A-Z） ：'); message1=input('','s'); %translate 函数功能为 返回 A*message1 message2=translate(A,message1,n); disp(['加密后密文为：',message2]); break; case 2 %输入密钥 disp('输入密钥矩阵的阶数：'); n=input(''); disp('输入密钥，按行输入'); A=[]; for i=1:n for j=1:n A(i,j)=input(''); end end X=[1 0 9 0 21 0 15 0 3 0 19 0 0 0 7 0 23 0 11 0 5 0 17 0 25 0]; %按顺序存放 1-25 的 模 26 的倒数,0 代表无倒数 d=mod(det(A),26); %求矩阵的行列式并对 26 取模 if d==0 x=0; else x=X(d); end AA=[];%AA 为 A 的模 26 逆矩阵 if x==0 %判断矩阵是否模 26 可逆 error('密钥矩阵模 26 不可逆，无法实现 Hill 密码'); end B=det(A)*inv(A); %A 的伴随矩阵 AA=mod(round(x*B),26); disp('A 的模 26 的逆矩阵为 AA：'); disp(AA);
Hill密码
--1
B=A （mod m）
12
例： A={ 0 3 }
18
B ={ 0 9 }
有AB = E(mod m)
--1
A可逆， A= B A模ｍ可逆的判定：
A模ｍ可逆的充要条件是，ｍ和|Ａ|没有公共素 数因子。
证明：如果ａｂ＝１（ｍｏｄ ｍ）称ａ模ｍ可逆，ｂ
收到的加密消息。尽管加密消息的办法众所周知，但只
有那些指定的人才能解开它们。这种想法基于这样的事
实：存在数秒内能找到非常大的素数（譬如100位长） 以及使它们相乘的方法，但是，用已知的算法，即使用 最快的计算机也需要数年的时间来分解具有200位的整数。
（2）因此，收到这个消息的人，找到两个较大的素 数p和 q (p，q保密)。
找出元素属于Z26 的所有可能的Hill2 密码加密矩阵，若 截获了如下一段密文
UTCQCVFOYQUVMGMGULFOLEYHDUHOPEASWXTI
FBAMWT 且已知它是根据表1，且按 Hill2 密码体制加密，你能否将 其解密？
六：RSA公钥加密方案。 1：原理 （1）这是一种每个人都公开知道如何解开他或她所
72 mod 85=13 M
6：任务： （1）：当n=85，r=3时用RSA方案确定发送电文
CHINA。 （2）：当p=5，q=17，r=3时用RSA方案对接收52和
72解密。 （3）：在RSA方案中，当p=5，q=17，r=5时，确定s
的值；问如取r=4来解密，能否可行？
m为1，r 的这个幂指数的前一个的幂 的 mod m就是s 。
4
3
例：r = 3 ， m = 16 有3 = 1（mod 16） 则有s = 3
Hill密码的加密、解密与破译
一、问题背景和实验目的
保密通讯在军事、政治、经济斗争和竞争中的重 要性是不言而喻的．他采用的一种方式是：将原来的信 息(称为 明文) 经过加密，变成密文之后发送出去，使 敌方即使得到密文也读不懂，而合法的接收者收到密文 之后却可以按照预先约定好的方法加以解密，再翻译成 明文．而敌方却要千方百计从密文破译出明文来．一方 如何编制密码使之不易被破译，另一方则要找到其弱点 加以破译，这就构成了密码学的主要内容．
a (modm)(modm) a a (mod m ) a (mod m ) 1 2 1 2 * *
模运算意义下的矩阵逆概念
定义１ 对于一个元素属于集合Gm的n阶方阵A,若 存在一个元素属于Gm的方阵B,使得 A B=B A=E(mod m) x 则称A为模m可逆,B为A的模 m的逆矩阵,记为 1 A B= (mod)。 定义2 对Gm的一个整数x，存在Gm的一个整数y， 使得xy＝１（mod m），则称y为x的乘法逆(或 1 者称为倒数)，记y= （x mod m）。 可以证明，如果x与m无公共素数因子，则x有唯 一的模m倒数 。
加 密 过 程 的 具 体 步
A乘以 ,得一新的2维列向量 Aa ,由 的两个分量反查字母表值得到的两 个字母即为密文字母。
骤
例如 明文为 SHUXUEJIANMOJINGSAI ， 加密矩阵为A=1 2 0 3Fra bibliotek 。
密文为
IX QT EO BA CP QS BA BU UC AA 在查字母表时利用了模运算概念 关于模运算有如下运算律
1
据此我们不加证明地给出如下命题： 命题 元素属于Gm的方阵A模m可逆的充要条件 是: m和detA没有公因子。易见，所选加密矩阵 必须符合模A可逆的条件。
Hill 密码的加密、解密与破译
Z m = {0,1, 2,⋯ , m − 1} 称为模m的剩余集
设 a , b 为两个整数，
a + − b (mod m) × + − b(mod m) (mod m) ×
简单的加密解密过程模型
发送者 明文 加密器 密文
普 通 信 道
接收者
明文
解密器 窃听、干扰
HILL2密码
明文分组(两个一组)，按组转换成密文 同一字母在不同组中所对应密码不同
HILL2密码的加密与解密
★ 假设要加密的明文是由26个字母所构成 ★ 将每个明文字母与 0 – 25 的一个数字建立
1–1对应关系，称为明文字母的表值
21 18 (mod 26) = 15 ⋅ 19 −18 (mod 26) −3 21 3 19 25 16 = 7 3
−1
20 3 21 18 1 17 A = (mod26) = 1 15 3 19 0 9
★ 通过加密矩阵得到 {β i }，而 β i
1 2 A= 0 3
★ 将明文字母依次按每两个字母一组查出其表
= Aα i (mod 26)
★ 查向量βi 的字母表值，即得到密文 ★ 利用加密矩阵的逆矩阵，由密文得到明文
αi = A βi
−1
关于模运算 （mon26）
模 m 等价 设 a , b为两个整数, 若 a − b = km, k ∈ Z 记作 a = b(mod m) 称 a 模 m 等价于b， 剩余集 运算律
密文向量
5 18 11 9 25 25 5 12 8 11 13 2 24 10 3 5 19 8
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二、 建立数学模型 2.加密过程：
黔南民族师范学院数学实验报告
(1).根据所给的明文把其进行依次逐对分组，然后再根据所给字母表值 写成一个数据的二阶矩阵 如 I 18 的形式，如果最后一组只有一个字母
H 4
则补充一个没有意义的哑字母。 （ 2 ） . 选 择 A1 作 为 加 密 矩 阵 即 加 密 矩 阵 的 密 钥 ， 然 后 用
明文 加密矩阵 密文 普通信道 敌方截获 加密矩阵的逆矩阵 明文
3. (1).把所截获的密文 SDJC 进行依次逐对分组，然后再根据所给字母表值 写成数据的二阶矩阵 1 : D 4
I 9 IJIA 的矩阵 1 : J 2 10 I 9 A 1 x2 所有按解密过程有 B * 1 1 和 B * 2 2 x4 S 19 J 10 2 : C 再给出对应明文 3
黔南民族师范学院数学实验报告 Y(i)=9; else error('请正确输入 A 到 Z 的字母') end end end function Y=letter_num(X) %按照数学实验书 P111 表 10.4 将字母转化为数字 %参数说明，输入项：X 由每个字母组成的字符串 % 输出项：Y 由每个数字组成的行向量 %例如 A B C D 对应的数字是 5 23 2 20 %其调用格式为：Y=letter_num('ABCD'). n=length(X); if rem(X,2)~=0 X(n+1)=X(n); n=n+1; end Y=zeros(1,n); for i=1:n if X(i)=='A' Y(i)=5; elseif X(i)=='B' Y(i)=23; elseif X(i)=='C' Y(i)=2; elseif X(i)=='D' Y(i)=20; elseif X(i)=='E' Y(i)=10; elseif X(i)=='F' Y(i)=15; elseif X(i)=='G' Y(i)=8; elseif X(i)=='H' Y(i)=4; elseif X(i)=='I'
验证矩阵 Ai(i = 1; 2; 3; 4)能否作为 Hill2 密码体制的加密矩阵. 2. 设明文为 HILL CRY PTOGRAPHIC SY STEM IS TRADITIONAL 利用上面的表 值, 任选一个加密矩阵 Ai 给此明文加密, 并将得到的密文解密. 画出加密与解密过程 的框图并编写相应的 Matlab 程序. 3.
- II -
Hill 密码的加密、解密与破译
可以判断，A1 和 A4 能作为加密矩阵。 2、2
求倒数的程序：
function b=Hill2_countdown(a) %在 mod 26 情况下求倒数 % if a==1 b=1; elseif a==3 b=9; elseif a==5 b=21; elseif a==7 b=15; elseif a==9 b=3; elseif a==11 b=19; elseif a==15 b=7; elseif a==17 b=23; elseif a==19 b=11; elseif a==21 b=5; elseif a==23 b=17; elseif a==25; b=25; else error('该数在 mod 26 下没有倒数')
黔南民族师范学院数学实验报告
end end
判断矩阵 A 是否为加密矩阵并求其逆矩阵：
function A1=Hill2_key(A) %判断 A 矩阵是否能作为加密矩阵并求逆矩阵 a=mod(det(A),26); if a==13|rem(a,2)==0 error('A 矩阵不能作为加密矩阵') end b=Hill2_countdown(a); A1=mod((b*[A(2,2) -A(1,2);-A(2,1) A(1,1)]),26); end
- IV -
Hill 密码的加密、解密与破译 elseif X(i)=='F' Y(i)=15; elseif X(i)=='G' Y(i)=8; elseif X(i)=='H' Y(i)=4; elseif X(i)=='I' Y(i)=18; elseif X(i)=='J' Y(i)=25; elseif X(i)=='K' Y(i)=0; elseif X(i)=='L' Y(i)=16; elseif X(i)=='M' Y(i)=13; elseif X(i)=='N' Y(i)=7; elseif X(i)=='O' Y(i)=3; elseif X(i)=='P' Y(i)=1; elseif X(i)=='Q' Y(i)=19; elseif X(i)=='R' Y(i)=6; elseif X(i)=='S' Y(i)=12; elseif X(i)=='T' Y(i)=24; elseif X(i)=='U' Y(i)=21; elseif X(i)=='V' Y(i)=17; elseif X(i)=='W' Y(i)=14; elseif X(i)=='X' Y(i)=22; elseif X(i)=='Y' Y(i)=11; elseif X(i)=='Z'
黔南民族师范学院
数学实验报告
题目
Hill 密码的加密、解密与破译
制作成员
李成燕 黎庭庭 孙礼磊
班级
学号 1105015152
任务
问题求解和程序设计 流程 建立数学模型 上机实Fra bibliotek结果的分析 与结论
11 数应（1） 班
110501535 1105015119
2013 年 5 月 26 日
Hill 密码的加密、解密与破译
- VI -
Hill 密码的加密、解密与破译 Y(i)=18; elseif X(i)=='J' Y(i)=25; elseif X(i)=='K' Y(i)=0; elseif X(i)=='L' Y(i)=16; elseif X(i)=='M' Y(i)=13; elseif X(i)=='N' Y(i)=7; elseif X(i)=='O' Y(i)=3; elseif X(i)=='P' Y(i)=1; elseif X(i)=='Q' Y(i)=19; elseif X(i)=='R' Y(i)=6; elseif X(i)=='S' Y(i)=12; elseif X(i)=='T' Y(i)=24; elseif X(i)=='U' Y(i)=21; elseif X(i)=='V' Y(i)=17; elseif X(i)=='W' Y(i)=14; elseif X(i)=='X' Y(i)=22; elseif X(i)=='Y' Y(i)=11; elseif X(i)=='Z' Y(i)=9; else error('请正确输入 A 到 Z 的字母')
(2).设一个二阶矩阵 B=
x1 x3
即有
19 x1 4 x 2 9 19 x3 4 x 4 10
和
10 x1 3 x 2 9 10 x3 3 x 4 1
然后解出结果后模掉 26 得出 B 即解密矩阵。 （3） .按照求出的 B， 把密文分组然后再根据所给字母表值写成一个数据 的二阶矩阵，然后左乘以 B 就可以得到明文。 三、 问题求解和程序设计流程 2、1 分别计算 4 个矩阵行列式的值为：3，22，4，21
Hill 密码的加密、解密与破译（A）
一、 实验目的
1. 复习线性代数, 矩阵, 线性空间与线性变换等概念和运算. 2. 熟悉 Hill 密码体制的加密, 解密和破译过程. 3. Hill 密码体制的加密, 解密和破译过程的 Matlab 编程实践.
实验问题
Hill2 密码的加密, 解密和破译 1.利用所介绍的 Hill2 密码体制原理, 根据给定的 26 个英文字母的乱序表值(表 A1) 表 A1: 26 个英文字母的乱序表值