福建省厦大附中、漳州三中、三中分校、漳州五中2018-2019学年八年级(下)期中数学试卷 解析版

2018-2019学年八年级（下）期中数学试卷一．选择题（共10小题）1．下列式子从左到右变形是因式分解的是（）A．a2+4a﹣21＝a（a+4）﹣21 B．a2+4a﹣21＝（a﹣3）（a+7）C．（a﹣3）（a+7）＝a2+4a﹣21 D．a2+4a﹣21＝（a+2）2﹣252．若a＞b，则下列不等式中，不一定成立的是（）A．a+3＞b+3 B．﹣a＜﹣b C．a2＞b2D．3．下列命题的逆命题是真命题的是（）A．两直线平行，同旁内角互补B．对顶角相等C．如果a＝b，那么a2＝b2D．四边形是多边形4．如图，已知函数y＝kx+b图象如图所示，则不等式kx+b＜0的解集为（）A．x＜4 B．x＞4 C．x＜5 D．x＞55．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（）A．一锐角和斜边对应相等B．两条直角边对应相等C．斜边和一直角边对应相等D．两个锐角对应相等6．若多项式x2﹣ax﹣1可分解为（x﹣2）（x+b），则a+b的值为（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣17．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′．若∠CC′B′＝32°，则∠B的大小是（）A．32°B．64°C．77°D．87°8．若线段AB∥y轴，且AB＝3，点A的坐标为（2，1），现将线段AB先向左平移1个单位，再向下平移两个单位，则平移后B点的坐标为（）A．（1，2）B．（1，﹣4）C．（﹣1，﹣1）或（5，﹣1）D．（1，2）或（1，﹣4）9．如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（）A．3cm2B．4cm2C．4.5cm2D．5cm210．如图，在平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA＝2，以PB为边作等边△PBM，则线段AM的最大值为（）A．3 B．5 C．7 D．二．填空题（共6小题）11．分解因式：x3﹣4x＝．12．点P（﹣4，3n+1）与Q（2m，﹣7）关于原点对称，则m+n＝．13．若m＝n﹣1，则m2﹣2mn+n2的值是．14．用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b．”第一步应假设．15．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为．16．对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的中位数，用max{a，b，c}表示这三个数中最大的数．例如：M{﹣2，﹣1，0}＝﹣1；max{﹣2，﹣1，0}＝0，max{﹣2，﹣1，a}＝根据以上材料，解决下列问题：若max{3，5﹣3x，2x﹣6}＝M{1，5，3}，则x的取值范围为．三．解答题（共9小题）17．分解因式（1）x3﹣6x2+9x；（2）a2（x﹣y）+4（y﹣x）．18．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E．（1）若AC＝12，BC＝15，求△ABD的周长；（2）若∠B＝20°，求∠BAD的度数．20．△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．（1）作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1，并直接写出A1、B1、C1各点的坐标；（2）将△A1B1C1向右平移4个单位，作出平移后的△A2B2C2．21．如图：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF，证明：（1）CF＝EB．（2）AB＝AF+2EB．22．随着人们生活质量的提高，净水器已经慢慢走入了普通百姓家庭，某电器公司销售每台进价分别为2000元、1700元的A、B两种型号的净水器，下表是近两周的销售情况：销售时段销售数量销售收入A种型号B种型号第一周3台5台18000元第二周4台10台31000元（1）求A、B两种型号的净水器的销售单价；（2）若电器公司准备用不多于54000元的金额再采购这两种型号的净水器共30台，求A种型号的净水器最多能采购多少台？23．已知方程组的解满足x为非正数，y为负数．（1）求m的取值范围；（2）化简：|m﹣3|﹣|m+2|；（3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x＜2m+1的解为x＞1．24．已知一次函数y1＝（a﹣1）x﹣2a+1，其中a≠1．（1）若点（1，﹣）在y1的图象上，求a的值；（2）当﹣2≤x≤3时，若函数有最大值2，求y1的函数表达式；（3）对于一次函数y2＝（m+1）（x﹣1）+2，其中m≠﹣1，若对一切实数x，y1＜y2都成立，求a，m需满足的数量关系及a的取值范围．25．如图（1），Rt△AOB中，∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝2，∠AOB的平分线OC交AB于C，过O点作与OB垂直的直线ON．动点P从点B出发沿折线BC﹣CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO﹣ON 以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动．（1）求OC、BC的长；（2）当t＝1时，求△CPQ的面积；（3）当P在OC上Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列式子从左到右变形是因式分解的是（）A．a2+4a﹣21＝a（a+4）﹣21 B．a2+4a﹣21＝（a﹣3）（a+7）C．（a﹣3）（a+7）＝a2+4a﹣21 D．a2+4a﹣21＝（a+2）2﹣25【分析】利用因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，进而判断得出即可．【解答】解；A、a2+4a﹣21＝a（a+4）﹣21，不是因式分解，故A选项错误；B、a2+4a﹣21＝（a﹣3）（a+7），是因式分解，故B选项正确；C、（a﹣3）（a+7）＝a2+4a﹣21，不是因式分解，故C选项错误；D、a2+4a﹣21＝（a+2）2﹣25，不是因式分解，故D选项错误；故选：B．2．若a＞b，则下列不等式中，不一定成立的是（）A．a+3＞b+3 B．﹣a＜﹣b C．a2＞b2D．【分析】根据“a＞b”，结合不等式的性质，分别分析各个选项，选出不一定成立的选项即可．【解答】解：A．a＞b，不等式两边同时加上3得：a+3＞b+3，即A项成立，B．a＞b，不等式两边同时乘以﹣1得：﹣a＜﹣b，即B项成立，C．a＞b，若a和b同为负数，则a2＜b2，即C项不一定成立，D．a＞b，不等式两边同时乘以得：，即D项成立，故选：C．3．下列命题的逆命题是真命题的是（）A．两直线平行，同旁内角互补B．对顶角相等C．如果a＝b，那么a2＝b2D．四边形是多边形【分析】分别写出各个命题的逆命题，根据平行线的判定定理、对顶角的概念、多边形的概念判断．【解答】解：A、两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，是真命题；B、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题；C、如果a＝b，那么a2＝b2的逆命题是如果a2＝b2，那么a＝b，是假命题；D、四边形是多边形的逆命题是多边形是四边形，是假命题；故选：A．4．如图，已知函数y＝kx+b图象如图所示，则不等式kx+b＜0的解集为（）A．x＜4 B．x＞4 C．x＜5 D．x＞5【分析】结合图象，写出直线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：当x＞4时，y＜0，所以不等式kx+b＜0的解集为x＞4．故选：B．5．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（）A．一锐角和斜边对应相等B．两条直角边对应相等C．斜边和一直角边对应相等D．两个锐角对应相等【分析】直角三角形全等的判定方法：HL，SAS，ASA，SSS，AAS，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．【解答】解：A、正确．符合AAS；B、正确．符合SAS；C、正确．符合HL；D、错误．要证两三角形全等必须有边的参与．故选：D．6．若多项式x2﹣ax﹣1可分解为（x﹣2）（x+b），则a+b的值为（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1【分析】根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，把（x﹣2）（x+b）利用多项式乘法法则展开即可求解．【解答】解：∵（x﹣2）（x+b）＝x2+bx﹣2x﹣2b＝x2+（b﹣2）x﹣2b＝x2﹣ax﹣1，∴b﹣2＝﹣a，﹣2b＝﹣1，∴b＝0.5，a＝1.5，∴a+b＝2．故选：A．7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′．若∠CC′B′＝32°，则∠B的大小是（）A．32°B．64°C．77°D．87°【分析】旋转中心为点A，C、C′为对应点，可知AC＝AC′，又因为∠CAC′＝90°，根据三角形外角的性质求出∠C′B′A的度数，进而求出∠B的度数．【解答】解：由旋转的性质可知，AC＝AC′，∵∠CAC′＝90°，可知△CAC′为等腰直角三角形，则∠CC′A＝45°．∵∠CC′B′＝32°，∴∠C′B′A＝∠C′CA+∠CC′B′＝45°+32°＝77°，∵∠B＝∠C′B′A，∴∠B＝77°，故选：C．8．若线段AB∥y轴，且AB＝3，点A的坐标为（2，1），现将线段AB先向左平移1个单位，再向下平移两个单位，则平移后B点的坐标为（）A．（1，2）B．（1，﹣4）C．（﹣1，﹣1）或（5，﹣1）D．（1，2）或（1，﹣4）【分析】先由AB∥y轴且AB＝3得出点B的坐标，再根据“横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减”可得答案．【解答】解：∵线段AB∥y轴，且AB＝3，其中点A的坐标为（2，1），∴点B的坐标为（2，4）或（2，﹣2），则线段AB先向左平移1个单位，再向下平移两个单位后B点的坐标为（1，2）或（1，﹣4）故选：D．9．如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（）A．3cm2B．4cm2C．4.5cm2D．5cm2【分析】根据已知条件证得△ABP≌△EBP，根据全等三角形的性质得到AP＝PE，得出S＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，推出S△PBC＝S△ABC，代入求出即可．△ABP【解答】解：延长AP交BC于E，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠EBP，∵AP⊥BP，∴∠APB＝∠EPB＝90°，在△ABP和△EBP中，，∴△ABP≌△EBP（ASA），∴AP＝PE，∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，∴S△PBC＝S△ABC＝×9cm2＝4.5cm2，故选：C．10．如图，在平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA＝2，以PB为边作等边△PBM，则线段AM的最大值为（）A．3 B．5 C．7 D．【分析】因为△PBM是等边三角形，点P在圆心为A半径为2的⊙A上运动，推出点M 的运动轨迹也是圆，当点P1（4，0）时，点M与E重合，当P2（0，0）时，点M与F重合，易证点M所在的⊙O′的直径EF＝OP1＝4可得O′（，），利用点与圆的位置关系即可解决问题；【解答】解：如图，∵△PBM是等边三角形，点P在圆心为A半径为2的⊙A上运动，∴点M的运动轨迹也是圆，当点P1（4，0）时，点M与E重合，当P2（0，0）时，点M与F重合，易证点M所在的⊙O′的直径EF＝OP1＝4，O′（，），∴AO′＝3，当点M在AO′的延长线上时，AM的值最大，最大值为3+2＝5，故选：B．二．填空题（共6小题）11．分解因式：x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2）．【分析】应先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：x3﹣4x，＝x（x2﹣4），＝x（x+2）（x﹣2）．故答案为：x（x+2）（x﹣2）．12．点P（﹣4，3n+1）与Q（2m，﹣7）关于原点对称，则m+n＝ 4 ．【分析】直接利用关于原点对称点的性质分析得出答案．【解答】解：∵点P（﹣4，3n+1）与Q（2m，﹣7）关于原点对称，∴2m＝4，3n+1＝7，解得：m＝2，n＝2，则m+n＝4．故答案为：4．13．若m＝n﹣1，则m2﹣2mn+n2的值是 1 ．【分析】利用完全平方公式得到m2﹣2mn+n2＝（m﹣n）2，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：因为m＝n﹣1，所以m﹣n＝﹣1，所以m2﹣2mn+n2＝（m﹣n）2＝1．故答案为1．14．用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b．”第一步应假设a≤b．【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行判断即可．【解答】解：用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a ＞b．”第一步应假设a≤b，故答案为：a≤b．15．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为2﹣．【分析】过E作EG∥AB，交AC于G，易得AG＝EG，EF＝CF，依据△ABC∽△GEF，即可得到EG：EF：GF＝1：1：，故设EG＝k＝AG，则EF＝k＝CF，FG＝k，根据AC＝2，可得k+k+k＝，于是得到结论．【解答】解：过E作EG∥AB，交AC于G，则∠BAE＝∠AEG，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∴∠CAE＝∠AEG，∴AG＝EG，同理可得，EF＝CF，∵AB∥GE，BC∥EF，∴∠BAC＝∠EGF，∠BCA＝∠EFG，∴△ABC∽△GEF，∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，∴AC＝2，∴EG：EF：GF＝AB：BC：AC＝1：1：，设EG＝k＝AG，则EF＝k＝CF，FG＝k，∵AC＝2，∴k+k+k＝2，∴k＝（2﹣），∴EF＝k＝2﹣．故答案为：2﹣．16．对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的中位数，用max{a，b，c}表示这三个数中最大的数．例如：M{﹣2，﹣1，0}＝﹣1；max{﹣2，﹣1，0}＝0，max{﹣2，﹣1，a}＝根据以上材料，解决下列问题：若max{3，5﹣3x，2x﹣6}＝M{1，5，3}，则x的取值范围为≤x≤．【分析】由max{3，5﹣3x，2x﹣6}＝M{1，5，3}得，解之可得．【解答】解：∵max{3，5﹣3x，2x﹣6}＝M{1，5，3}＝3，∴，∴≤x≤，故答案为≤x≤．三．解答题（共9小题）17．分解因式（1）x3﹣6x2+9x；（2）a2（x﹣y）+4（y﹣x）．【分析】（1）原式提取x，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：（1）原式＝x（x2﹣6x+9）＝x（x﹣3）2；（2）原式＝a2（x﹣y）﹣4（x﹣y）＝（x﹣y）（a2﹣4）＝（x﹣y）（a+2）（a﹣2）．18．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【分析】分别解两个不等式得到x＞1和x＞3，然后根据同大取大确定不等式组的解集．【解答】解：，解①得x＞1，解②得x＞3，所以不等式组的解集为x＞3，用数轴表示为：．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E．（1）若AC＝12，BC＝15，求△ABD的周长；（2）若∠B＝20°，求∠BAD的度数．【分析】（1）根据线段垂直平分线性质求出AD＝DC，求出△ABD周长＝AB+BC即可；（2）根据等腰三角形性质求出∠C，∠DAC，根据三角形内角和定理求出∠BAC，即可求出答案．【解答】解：（1）∵AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E，∴AD＝DC，∵AB＝AC＝12，∴△ABD的周长为AB+AD+BD＝AB+DC+BD＝AB+BC＝12+15＝27；（2）∵AB＝AC，∠B＝20°，∴∠C＝∠B＝20°，∴∠BAC＝180°﹣20°﹣20°＝140°，∵AD＝DC，∴∠DAC＝∠C＝20°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝140°﹣20°＝120°．20．△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．（1）作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1，并直接写出A1、B1、C1各点的坐标；（2）将△A1B1C1向右平移4个单位，作出平移后的△A2B2C2．【分析】（1）根据网格结构找出点A、B关于点C成中心对称的点A1、B1的位置，然后与点C1（点即C）顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出各点的坐标；（2）根据网格结构找出点A1、B1、C1向右平移4个单位的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可．【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示，A1（2，1），B1（1，3），C1（0，2）；（2）△A2B2C2如图所示．21．如图：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF，证明：（1）CF＝EB．（2）AB＝AF+2EB．【分析】（1）根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离＝点D到AC的距离即CD＝DE．再根据Rt△CDF≌Rt△EDB，得CF＝EB；（2）利用角平分线性质证明Rt△ADC≌Rt△ADE，AC＝AE，再将线段AB进行转化．【解答】证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC，在Rt△CDF和Rt△EDB中，，∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）．∴CF＝EB；（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD＝DE．在Rt△ADC与Rt△ADE中，，∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），∴AC＝AE，∴AB＝AE+BE＝AC+EB＝AF+CF+EB＝AF+2EB．22．随着人们生活质量的提高，净水器已经慢慢走入了普通百姓家庭，某电器公司销售每台进价分别为2000元、1700元的A、B两种型号的净水器，下表是近两周的销售情况：销售时段销售数量销售收入A种型号B种型号第一周3台5台18000元第二周4台10台31000元（1）求A、B两种型号的净水器的销售单价；（2）若电器公司准备用不多于54000元的金额再采购这两种型号的净水器共30台，求A种型号的净水器最多能采购多少台？【分析】（1）设A种型号的净水器的销售单价为x元/台，B种型号的净水器的销售单价为y元/台，根据总价＝单价×数量结合该公司近两周的销售情况表中的数据，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设采购A种型号的净水器m台，则采购B种型号的净水器（30﹣m）台，根据总价＝单价×数量结合采购金额不多于54000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【解答】解：（1）设A种型号的净水器的销售单价为x元/台，B种型号的净水器的销售单价为y元/台，根据题意得：，解得：．答：A种型号的净水器的销售单价为2500元/台，B种型号的净水器的销售单价为2100元/台．（2）设采购A种型号的净水器m台，则采购B种型号的净水器（30﹣m）台，根据题意得：2000m+1700（30﹣m）≤54000，解得：m≤10．答：A种型号的净水器最多能采购10台．23．已知方程组的解满足x为非正数，y为负数．（1）求m的取值范围；（2）化简：|m﹣3|﹣|m+2|；（3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x＜2m+1的解为x＞1．【分析】首先对方程组进行化简，根据方程的解满足x为非正数，y为负数，就可以得出m的范围，然后再化简（2），最后求得m的值．【解答】解：（1）解原方程组得：，∵x≤0，y＜0，∴，解得﹣2＜m≤3；（2）|m﹣3|﹣|m+2|＝3﹣m﹣m﹣2＝1﹣2m；（3）解不等式2mx+x＜2m+1得（2m+1）x＜2m+1，∵x＞1，∴2m+1＜0，∴m＜﹣，∴﹣2＜m＜﹣，∴m＝﹣1．24．已知一次函数y1＝（a﹣1）x﹣2a+1，其中a≠1．（1）若点（1，﹣）在y1的图象上，求a的值；（2）当﹣2≤x≤3时，若函数有最大值2，求y1的函数表达式；（3）对于一次函数y2＝（m+1）（x﹣1）+2，其中m≠﹣1，若对一切实数x，y1＜y2都成立，求a，m需满足的数量关系及a的取值范围．【分析】（1）把（1，﹣）代入y1＝（a﹣1）x﹣2a+1中可求出a的值；（2）讨论：当a﹣1＞0，即a＞1时，根据一次函数的性质得到x＝3时，y＝2，然后把（3，2）代入y1＝（a﹣1）x﹣2a+1中求出a得到此时一次函数解析式；当a﹣1＜0，即a＜1时，利用一次函数的性质得到x＝﹣2时，y＝2，然后把（﹣2，2）代入y1＝（a﹣1）x﹣2a+1中求出a得到此时一次函数解析式；（3）先整理得到y2＝（m+1）x+m+1，再对一切实数x，y1＜y2都成立，则直线y1与y2平行，且y2在y1的上方，所以a﹣1＝m+1且﹣2a+1＜﹣m+1，从而得到a，m需满足的数量关系及a的取值范围．【解答】解：（1）把（1，﹣）代入y1＝（a﹣1）x﹣2a+1得a﹣1﹣2a+1＝﹣，∴a＝；（2）当a﹣1＞0，即a＞1时，则x＝3时，y＝2，把（3，2）代入y1＝（a﹣1）x﹣2a+1得3（a﹣1）﹣2a+1＝2，解得a＝4，此时一次函数解析式为y1＝3x﹣7；当a﹣1＜0，即a＜1时，则x＝﹣2时，y＝2，把（﹣2，2）代入y1＝（a﹣1）x﹣2a+1得﹣2（a﹣1）﹣2a+1＝2，解得a＝，此时一次函数解析式为y1＝﹣x+；（3）y2＝（m+1）（x﹣1）+2＝（m+1）x﹣m+1，∵对一切实数x，y1＜y2都成立，∴a﹣1＝m+1且﹣2a+1＜﹣m+1，∴a＝m+2且a＞﹣2且a≠1．25．如图（1），Rt△AOB中，∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝2，∠AOB的平分线OC交AB于C，过O点作与OB垂直的直线ON．动点P从点B出发沿折线BC﹣CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO﹣ON 以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动．（1）求OC、BC的长；（2）当t＝1时，求△CPQ的面积；（3）当P在OC上Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．【分析】（1）求出∠B，根据直角三角形性质求出OA，求出AB，在△AOC中，根据勾股定理得出关于OC的方程，求出OC即可；（2）如图1﹣1中，作CH⊥PQ于H．当t＝1时，P在BC上，Q在OC上，CQ＝OQ＝PC＝PB＝1，求出PQ，CH即可解决问题．（3）有三种情况：①OM＝PM时，求出OP＝2OQ，代入求出即可；②PM＝OP时，此时不存在等腰三角形；③OM＝OP时，过P作PG⊥ON于G，求出OG和QG的值，代入OG+QG＝t﹣2，即可求出答案．【解答】解：（1）∵∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝2，∴∠B＝30°，∴OA＝OB＝，由勾股定理得：AB＝3，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝30°＝∠B，∴OC＝BC，在△AOC中，AO2+AC2＝CO2，∴（）2+（3﹣OC）2＝OC2，∴OC＝2＝BC，∴OC＝2，BC＝2．（2）如图1﹣1中，作CH⊥PQ于H．当t＝1时，P在BC上，Q在OC上，CQ＝OQ＝PC＝PB＝1，∴PQ∥OB，∴∠CPQ＝∠B＝30°，∵CQ＝CP．CH⊥QP，∴QH＝PH，∴CH＝PC＝，AH＝PH＝CH＝，∴QP＝，∴S△PQC＝•PQ•CH＝××＝．（3）如图（2），∵ON⊥OB，∴∠NOB＝90°，∵∠B＝30°，∠A＝90°，∴∠AOB＝60°，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝30°，∴∠NOC＝90°﹣30°＝60°，①OM＝PM时，∠MOP＝∠MPO＝30°，∴∠PQO＝180°﹣∠QOP﹣∠MPO＝90°，∴OP＝2OQ，∴2（t﹣2）＝4﹣t，解得：t＝，②PM＝OP时，此时∠PMO＝∠MOP＝30°，∴∠MPO＝120°，∵∠QOP＝60°，∴此时不存在；③OM＝OP时，过P作PG⊥ON于G，OP＝4﹣t，∠QOP＝60°，∴∠OPG＝30°，∴GO＝（4﹣t），PG＝（4﹣t），∵∠AOC＝30°，OM＝OP，∴∠OPM＝∠OMP＝75°，∴∠PQO＝180°﹣∠QOP﹣∠QPO＝45°，∴PG＝QG＝（4﹣t），∵OG+QG＝OQ，∴（4﹣t）+（4﹣t）＝t﹣2，解得：t＝．综合上述：当t为或时，△OPM是等腰三角形．。