福建省漳州市第三中学2021届高三2020.2.18 开学考试

漳州三中2021届高三第五次月考数学科试卷（2021.2.18开学考试）（考试时间：120分钟；满分：150分）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。

第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题。

第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1．已知M ＝{x |y ＝x 2+1}，N ＝{y |y ＝x 2+1}，则M ∩（∁R N ）＝（ ） A ．∅B ．MC ．（﹣∞，1）D ．R2．设有两个命题p ：不等式a ee x x >+14的解集为R ；q ：函数x a x f )37()(--=在R 上是减函数，如果这两个命题中有且只有一个真命题，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．1≤a ＜2B ．2＜a ≤37 C ．2≤a ＜37 D ．1＜a ≤23．设双曲线12222=-by a x （a ，b ＞0）的两条渐近线的倾斜角分别为α，β，若β＝2α，则该双曲线的离心率为（ ）A ．332 B ．2 C ．3D ．24．O 为坐标原点，角θ的终边经过点P （3，m ）（m ＜0）且m 1010sin =θ，则OP 的单位向量为（ ） A ．（1，﹣1） B ．)1010,10103(- C ．)1010,10103(- D ．)1010,10103(-± 5．5))(2(y x y x ++的展开式中x 3y 3的系数为（ ） A ．10B ．20C ．30D ．406. 已知在△ABC 中，AB ＝BC ＝3，AC ＝4，设O 是△ABC 的内心，若n m +=，则m ：n ＝（ ） A ．5：3B ．4：3C ．2：3D ．3：47．已知z 均为复数，则下列命题不正确的是（ ） A ．若z ＝z ，则z 为实数B ．若z 2＜0，则z 为纯虚数C ．若|z +1|＝|z ﹣1|，则z 为纯虚数D ．若z 3＝1，则z ＝z 28．若函数f （x ）＝e x ﹣e ﹣x+sin x ﹣x ，则满足f （a ﹣2ln （|x |+1））+)2(2xf ≥0恒成立的实数a 的取值范围为（ ）A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,212ln 2 B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,412ln C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,47 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,23 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．如图是某正方体的平面展开图，则在这个正方体中,以下命题正确的是（ ） A ．AF 与BM 成60°角． B ．AF 与CE 是异面直线． C ．BN ⊥DE ．D ．平面ACN ∥平面BEM ．10．已知等腰直角三角形ABC 的直角顶点为C （3，3），点A 的坐标为（0，4），则点B 的坐标为（ ） A ．（2，0）B ．（6，4）C ．（4，6）D ．（0，2）11．已知函数f （x ）＝sin （3x ﹣φ），)22(πϕπ<<-的图象关于直线x ＝4π对称，则（ ） A ．函数y ＝f （x ）的图象向左平移12π个单位长度得到的图象关于原点对称 B ．函数y ＝f （x ）在[0，4π]上单调递增 C ．函数y ＝f （x ）在[0，2π]有且仅有3个极大值点 D ．若|f （x 1）﹣f （x 2）|＝2，则|x 1﹣x 2|的最小值为32π 12．设函数,22)(2cos 2cos x xx f --=则（ ）A ．f （x ）在)2,0(π单调递增 B ．f （x ）的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,23 C ．f （x ）的一个周期为π D ．)4(π+x f 的图象关于点)0,4(π对称第Ⅱ卷（非选择题90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量),1,2(-=a ),1,1(-=b 若,)(b b a ⊥+λ则实数=λ ．14．已知侧棱长为3的正四棱锥ABCD S -的所有顶点都在球O 的球面上，当该棱锥体积最大时，底面ABCD 的边长为 ，此时球O 的表面积为 ．15．已知椭圆1222=+y mx （m ＞1）的焦点为F 1，F 2，若在长轴21A A 上任取一点M ，过点M 作垂直于21A A 的直线交椭圆于点P ，若使得021<⋅PF PF 的点M 的概率为36，则m 的值为 ．16．2020是苏颂诞辰1000周年，苏颂发明的水运仪象台被誉为世界上最早的天文钟，水运仪象台的原动轮叫枢轮，是一个直径约3.4米的水轮，它转一圈需要30分钟，如图，当点已知P 从枢轮最高处随枢轮开始转动时，退水壶内水面位于枢轮中心下方1.19米处，此时打开退水壶出水口，壶内水位以每分钟0.017米的速度下降，将枢轮转动视为匀速圆周运动，则点P至少经过 分钟(结果取整数)进入水中。

(参考数据：81.05cos ,91.0152cos,98.015cos≈≈≈πππ)四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知各项均为正数的数列{a n }满足a n +2+22+n n a a ＝4a n +1﹣a n （n ∈N *），且a 1＝1，a 2＝4． （1）证明：数列{n a }是等差数列； （2）数列{124++n n a a n }的前项n 和为S n ，求证：S n ＜2．18．（12分）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2，CD ＝5，∠ABC ＝32π． （1）若AC ＝72，求梯形ABCD 的面积； （2）若AC ⊥BD ，求tan ∠ABD ．19．（12分）某单位招考工作人员，须参加初试和复试，初试通过后组织考生参加复试，共5000人参加复试，复试共三道题，第一题考生答对得3分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得5分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．（1）通过分析可以认为考生初试成绩X 服从正态分布),(2δμN ，其中μ＝64，2δ＝169，试估计初试成绩不低于90分的人数；（2）已知某考生已通过初试，他在复试中第一题答对的概率为43，后两题答对的概率均为32，且每道题回答正确与否互不影响．记该考生的复试成绩为Y ，求Y 的分布列及数学期望．附：随机变量X 服从正态分布),(2δμN ，P （δμδμ+<<-X ）＝0.6826， P （δμδμ22+<<-X ）＝0.9544，P （δμδμ33+<<-X ）＝0.9974．20．（12分）如图，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，P A ＝AD ＝2，M 、N 分别是A B ．PC 的中点． （1）求证：平面MND ⊥平面PCD ； （2）求点P 到平面MND 的距离．21．（12分）过抛物线外一点M 作抛物线的两条切线，两切点的连线段称为点M 对应的切点弦．已知抛物线为x 2＝4y ，点P ，Q 在直线l ：y ＝﹣1上，过P ，Q 两点对应的切点弦分别为AB ，CD ．（1）当点P 在l 上移动时，直线AB 是否经过某一定点，若有，请求出该定点的坐标；如果没有，请说明理由． （2）当AB ⊥CD 时，求线段PQ 长度的最小值，及此时点P ，Q 的坐标．22．（12分）已知函数x a a e e x f xx2)()(--=． （1）讨论)(x f 的单调性；（2）若0)(≥x f ，求a 的取值范围．漳州三中2021届高三第五次月考数学科试卷（2021.2.18开学考试）详解答案三、选择题1．解：M＝{x|y＝x2+1}＝R，N＝{y|y＝x2+1}＝[1，+∞），则M∩（∁R N）＝∁R N＝（﹣∞，1）故选：C．2．解：+≥2＝1，若命题p：不等式+＞a的解集为R成立，则a＜1，若命题q：函数f（x）＝﹣（7﹣3a）x在R上是减函数成立，则7﹣3a＞1，解得：a＜2，如果这两个命题中有且只有一个真命题，则或，解得：1≤a＜2，故选：A．3.解：如图，由题意可得，α+β＝π，∵β＝2α，∴3α＝π，即，则，∴b2＝3a2，则c2﹣a2＝3a2，可得．∴该双曲线的离心率为2．故选：D．4．解：∵角θ的终边经过点P（3，m）（m＜0）且，∴sinθ＝＝m，解得：m2＝1，又m＜0，∴m＝﹣1，故点P（3，﹣1），∴＝（3，﹣1），∴的单位向量为＝（，﹣），故选：B5.解：（x+2y）（x+y）5＝（x+2y）•（•x5+•x4y+…+•y5），展开式中x3y3的系数为+2＝30，选：C．6.解：如图所示，设三角形的三条内角平分线BD、AE、CF相交于点O．∵B，O，D三点共线，∴存在实数λ使得，∵AB＝BC＝3，O是△ABC的内心，∴BD平分AC，∴．∴，同理由C，O，F三点共线和角平分线的性质可得＝，∴，解得∴与＝m+n比较可得：m＝，，则m：n＝4：3．故选：B．7．解：对于A，设z＝a+bi（a，b∈R），由，可得a+bi＝a﹣bi，则2bi＝0，b＝0，∴z为实数，故A正确；对于B，设z＝a+bi（a，b∈R），则z2＝a2﹣b2+2abi＜0，∵z2＜0，∴a＝0，则z纯虚数，故B正确；对于C，当z＝0时，有|z+1|＝|z﹣1|，故C错误；对于D，由z3＝1，得z3﹣1＝0，即（z﹣1）（z2+z+1）＝0，可得z＝1或z＝，∴，故D正确．∴错误的是C．故选：C．8．解：函数f（x）＝e x﹣e﹣x+sin x﹣x，故函数f（x）的定义域是R，关于原点对称，且f（﹣x）＝e﹣x﹣e x+sin（﹣x）+x＝﹣（e x﹣e﹣x+sin x﹣x）＝﹣f（x），故函数f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（a﹣2ln（|x|+1））+f（）≥0恒成立，故f（a﹣2ln（|x|+1））≥﹣f（）＝f（﹣），由cos x∈[﹣1，1]，f′（x）＝e x+e﹣x+cos x﹣1≥2+cos x﹣1＝cos x+1≥0（当且仅当x＝0时“＝”成立），故函数f（x）在R单调递增，由f（a﹣2ln（|x|+1））≥f（﹣），故a﹣2ln（|x|+1）≥﹣，即a≥2ln（|x|+1）﹣，令g（x）＝2ln（|x|+1）﹣，欲使a≥2ln（|x|+1）﹣恒成立，则a≥g（x）max恒成立，g（﹣x）＝2ln（|﹣x|+1）﹣＝2ln（|x|+1）﹣＝g（x），且函数g（x）的定义域是R，关于原点对称，故函数g（x）是定义在R上的偶函数，故要求解g（x）在R上的最大值，只需要求解函数g（x）在[0，+∞）上的最大值即可，当x∈[0，+∞）时，g（x）＝2ln（x+1）﹣，故g′（x）＝﹣x＝﹣，故当x∈[0，1]时，x﹣1≤0，则g′（x）≥0，g（x）在[0，1]上递增，当x∈（1，+∞）时，x﹣1＞0，则g′（x）＜0，g（x）在（1，+∞）递减，故g（x）max＝g（1）＝2ln2﹣，故a≥2ln2﹣，故a的取值范围是[2ln2﹣，+∞），故选：A四、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。