福建省漳州三中2021届高三年第一次月考数学试题 (含答案和解析)
福建省漳州市2021届1月高三毕业班适应性测试数学试题及解析
学校: 准考证号: 姓名:（在此卷上答题无效）工作秘密★启用前漳州市2021届高三毕业班适应性测试（一）数学 答案（考试时间：120分钟；满分：150分）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题。
第Ⅰ卷（选择题60分）一．单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合{}3,2,1,2-=M ，{}2,2-=N ，下列结论成立的是A ．N M ⊆B ．∅=N MC ．M N M =D ．{}1=N C M 2．若复数321z i=+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面上对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，其终边上一点P 绕原点顺时针旋转π6到达点()3,4Q 的位置，则πsin 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ．35-B ．35C ．45-D ．454．已知F 为抛物线x y 82=的焦点，M 为抛物线上任意一点，点()4,4A ，则MF MA +的最小值为A ．6B ．24C ．52D ．45．原始的蚊香出现在宋代．根据宋代冒苏轼之名编写的《格物粗谈》记载：“端 午时， 贮浮萍，阴干，加雄黄，作纸缠香，烧之，能祛蚊虫．”如图，为某 校数学兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”，画法如下:在水平直线l 上取 长度为1的线段AB ，做一个等边三角形ABC ，然后以点B 为圆心，AB 为 半径逆时针画圆弧，交线段CB 的延长线于点D ，再以点C 为圆心，CD 为半 径逆时针画圆弧，交线段AC 的延长线于点E ，以此类推，当得到的“螺旋蚊 香”与直线l 恰有5个交点时，“螺旋蚊香”的总长度的最大值为 A ．π14 B ．356πC ．π24D ．π30 6．已知ABC ∆中，5==AC AB ，8=BC ，点O 是ABC ∆的重心，则=⋅AC BOA ．10B ．223 C ．13 D ．2297．正实数a ，b ，c 满足22=+-aa ，33=+b b ，4log 4=+c c ，则实数a ，b ，c 之间的大小关系为A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a c b <<8．正四面体ABCD 的体积为4，O 为其中心，正四面体EFGH 与正四面体ABCD 关于点O 对称，则这 两个正四面体公共部分的体积为 A ．3B ．83C ．2D ．43二．多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．）9．小王于2016年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小王选择了10年期每月还款数额相同的还贷方式，且截止2020年底，他没有再购买第二套房子.下图是2017年和2020年小王的家庭收入用 于各项支出的比例分配图：2017年各项支出 2020年各项支出根据以上信息，判断下列结论中不正确的是A ．小王一家2020年用于饮食的支出费用跟2017年相同B ．小王一家2020年用于其他方面的支出费用是2017年的3倍C ．小王一家2020年的家庭收入比2017年增加了1倍D ．小王一家2020年用于房贷的支出费用比2017年减少了10．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，若610S S =，则下列说法正确的是A ．80a =B ．160S =C ．若0d >，则8100a a +>D ．若0d <，则128a a <11．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，其外接圆半径为R ，内切圆半径为3=r ，满 足3cos cos cos RC c B b A a =++，ABC ∆的面积6=∆ABC S ，则 A ．4=++c b a B ．6=R C ．61sin sin sin =++C B A D ．312sin 2sin 2sin =++C B A12．已知函数||()sin x f x e x =，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是周期为2π的奇函数B ．()f x 在3,44⎛⎫-⎪⎝π⎭π上为增函数 C ．()f x 在(10,10)π-π内有21个极值点D ．ax x f ≥)(在⎥⎦⎤⎢⎣⎡40π，上恒成立的充要条件是1≤a第Ⅱ卷（非选择题90分）三．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．52x⎛ ⎝的展开式中，5x 的系数为_______．14．定义在R 上的偶函数)(x f y =，当0≤x 时，121)(+⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x f ，则不等式1)(lg >x f 的解集为_______．15．三棱柱111C B A ABC -中，CAB B B CC 平面平面⊥11，31π=∠CB C ，ACB ∆是等腰直角三角形，2π=∠ACB ，21==C C CB ，则异面直线11B A 与1AC 所成角的余弦值为_______．16．已知双曲线C ：12222=-by a x （0>a ，0>b ）的左、右焦点分别为F '，F ，以坐标原点O 为圆心，OF 为半径的圆交C 的一条渐近线于,A B 两点，且线段BF 被C 的另一条渐近线平分，则C 的离心率为_______；若C 的焦距为4，P 为C 上一点，且tan OFP ∠=PF 交C 于另一点Q ，则QF =_______． （本题第一空2分，第二空3分）四．解答题（本大题共6小题，共70分。
2021年福建省漳州市高考数学第一次质检试卷(一模) (解析版)
2021年福建省漳州市高考数学第一次质检试卷（一模）一、选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{x∈N|log2x＜3}，B＝{x|x≥3}，则A∩B＝（）A．{4，5，6，7}B．{4，5，6，7，8}C．{3，4，5，6，7}D．{2，3，4，5，6，7，8}2．已知i为虚数单位，复数z满足z（1+2i）＝1+i2021，则＝（）A．B．C．D．3．若实数x，y满足约束条件，则z＝4x+3y的最大值为（）A．90B．100C．118D．1504．已知向量＝（2，3），＝（k，5），且＝3，则|2|＝（）A．4B．3C．5D．65．已知a2﹣3a+2＝0，则直线l1：ax+（3﹣a）y﹣a＝0和直线l2：（6﹣2a）x+（3a﹣5）y ﹣4+a＝0的位置关系为（）A．垂直或平行B．垂直或相交C．平行或相交D．垂直或重合6．函数y＝的图象可能是图中的（）A．B．C．D．7．已知sin（θ﹣）＝，则sin2θtanθ＝（）A．B．C．D．8．已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f′（x）﹣f（x）＞0，f（2021）＝e2021，则不等式f（lnx）＜的解集为（）A．（e6063，+∞）B．（0，e2021）C．（e2021，+∞）D．（0，e6063）二、选择题（共4小题）.9．在数列{a n}中，a2和a6是关于x的一元二次方程x2﹣bx+4＝0的两个根，下列说法正确的是（）A．实数b的取值范围是b≤﹣4或b≥4B．若数列{a n}为等差数列，则数列{a n}的前7项和为4bC．若数列{a n}为等比数列且b＞0，则a1＝±2D．若数列{a n}为等比数列且b＞0，则a2+a6的最小值为410．已知在正三棱锥P﹣ABC中，PA＝3，AB＝2，点D为BC的中点，下面结论正确的有（）A．PC⊥ABB．平面PAD⊥平面PBCC．PA与平面PBC所成的角的余弦值为D．三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为11．已知双曲线C1：＝1（a1＞0，b1＞0）的一条渐近线的方程为y＝x，且过点（1，），椭圆C2：＝1的焦距与双曲线C1的焦距相同，且椭圆C2的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线交C2于A，B两点，若点A（1，y1），则下列说法中正确的有（）A．双曲线C1的离心率为2B．双曲线C1的实轴长为C．点B的横坐标的取值范围为（﹣2，﹣1）D．点B的横坐标的取值范围为（﹣3，﹣1）12．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω∈N）在区间[﹣，]和[]上单调递增，下列说法中正确的是（）A．ω的最大值为3B．方程f（x）＝log2πx在[0，2π]上至多有5个根C．存在ω和φ使f（x）＝sin（ωx+φ）为偶函数D．存在ω和φ使f（x）＝sin（ωx+φ）为奇函数三、填空题（共4小题）.13．已知二项式（2x﹣）n的展开式的二项式的系数和为256，则展开式的常数项为．14．2020年新冠肺炎肆虐，全国各地千千万万的医护者成为“最美逆行者”，医药科研工作者积极研制有效抗疫药物，中医药通过临床筛选出的有效方剂“三药三方”（“三药”是指金花清感颗粒、连花清瘟颗粒（胶囊）和血必净注射液；“三方”是指清肺排毒汤、化湿败毒方和宜肺败毒方）发挥了重要的作用．甲因个人原因不能选用血必净注射液，甲、乙两名患者各自独立自主的选择一药一方进行治疗，则两人选取药方完全不同的概率是．15．如图，在梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，AB＝1，BC＝1，AD＝2．取AD的中点E，将△ABE沿BE折起，使二面角A﹣BE﹣C为120°，则四棱锥A﹣BCDE的体积为．16．定义关于x的曲线f（a，b，c）＝ax2+bx+c，则与曲线f（1，2，0）和f（﹣1，2，0）都相切的直线l的方程为，F（x）＝，已知a＞0，若关于x的方程F（x）＝f（0，a，0）有三个不同的实根，则a＝．四、解答题（共6小题）.17．已知各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，且2S2＝9a1﹣2，a3＝2a2+3a1．（Ⅰ）若等差数列{b n}满足b i＝a i（i＝1，2），求{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）若c n＝______，求数列{c n}的前n项和T n．在①+1；②；③这三个条件中任选一个补充到第（Ⅱ）问中，并对其求解．18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝c cos B+b．（Ⅰ）若c＝1，求△ABC面积的最大值；（Ⅱ）若D为BC边上一点，DB＝4，AB＝5，且＝﹣12，求AC．19．如图，四边形BEDC为正方形，AE⊥BE，AE＝BE，M，N分别是边DE，BE的中点，直线DE与平面ABE所成的角为．（Ⅰ）求证：DN⊥平面ACM；（Ⅱ）求二面角M﹣AC﹣B的余弦值．20．为迎接2020年国庆节的到来，某电视台举办爱国知识问答竞赛，每个人随机抽取五个问题依次回答，回答每个问题相互独立．若答对一题可以上升两个等级，回答错误可以上升一个等级，最后看哪位选手的等级高即可获胜．甲答对每个问题的概率为，答错的概率为．（Ⅰ）若甲回答完5个问题后，甲上的台阶等级数为X，求X的分布列及数学期望；（Ⅱ）若甲在回答过程中出现在第i（i≥2）个等级的概率为P i，证明：{P i﹣P i﹣1}为等比数列．21．已知函数f（x）＝lnx﹣x2+2x，g（x）＝x2+（a﹣2）+2．（Ⅰ）求函数f（x）的极值点；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+g（x）＝0至少有两个不相等的实根，求a的最大值．22．已知直线l：2x﹣y﹣4＝0与x轴交于点E，且＝，其中O为坐标原点，F为抛物线Ω：y2＝2px（p＞0）的焦点．（Ⅰ）求拋物线Ω的方程；（Ⅱ）若直线l与抛物线Ω相交于P，B两点（P在第一象限），直线PA，PC分别与抛物线相交于A，C两点，与x轴交于D，G两点，且E为DG中点，设直线PA，PC的斜率分别为k1，k2，求证：为定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求△PBC的面积的取值范围．参考答案一、选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{x∈N|log2x＜3}，B＝{x|x≥3}，则A∩B＝（）A．{4，5，6，7}B．{4，5，6，7，8}C．{3，4，5，6，7}D．{2，3，4，5，6，7，8}【分析】可求出集合A，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x∈N|0＜x＜8}＝{1，2，3，4，5，6，7}，B＝{x|x≥3}，∴A∩B＝{3，4，5，6，7}．故选：C．2．已知i为虚数单位，复数z满足z（1+2i）＝1+i2021，则＝（）A．B．C．D．【分析】由i4＝1，i2021＝（i4）505•i＝i，再利用复数的运算法则及共轭复数的定义即可得出．解：∵i4＝1，i2021＝（i4）505•i＝i，∴z（1+2i）＝1+i2021＝1+i，∴z＝＝＝，则＝，故选：B．3．若实数x，y满足约束条件，则z＝4x+3y的最大值为（）A．90B．100C．118D．150【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论．【解答】解:作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分（含边界）所示，目标函数z＝4x+3y可转化为直线y＝﹣x+z，由图可知当直线经过点A时，z取得最大值，联立，解得点A(16,18)，所以z max＝4×16+3×18＝118，故选：C．4．已知向量＝（2，3），＝（k，5），且＝3，则|2|＝（）A．4B．3C．5D．6【分析】根据可得出2k+15＝3，解出k＝﹣6，然后即可求出的坐标，进而可求出的值．解：∵，∴，解得k＝﹣6，∴，，∴．故选：C．5．已知a2﹣3a+2＝0，则直线l1：ax+（3﹣a）y﹣a＝0和直线l2：（6﹣2a）x+（3a﹣5）y ﹣4+a＝0的位置关系为（）A．垂直或平行B．垂直或相交C．平行或相交D．垂直或重合【分析】由a2﹣3a+2＝0，得a＝1或a＝2．当a＝1时，两直线垂直；当a＝2时，两直线重合．解：因为a2﹣3a+2＝0，所以a＝1或a＝2．当a＝1时，l1：x+2y﹣1＝0，斜率为k1＝﹣,l2：4x﹣2y﹣3＝0，斜率为k2＝2,∵k1k2＝﹣1,∴两直线垂直；当a＝2时，l1：2x+y﹣2＝0，l2：2x+y﹣2＝0，两直线重合．故选：D．6．函数y＝的图象可能是图中的（）A．B．C．D．【分析】先判断函数是偶函数，然后利用分式性质判断函数的单调性，进行排除即可．解：因为y＝为偶函数，故排除选项B，D；易知y＝＝在（0，+∞）上单调递增，故排除选项C，故选：A．7．已知sin（θ﹣）＝，则sin2θtanθ＝（）A．B．C．D．【分析】由已知利用诱导公式可求得cosθ的值，利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可化简求解．解：由sin（θ﹣）＝，得cosθ＝﹣，则sin2θtanθ＝＝2sin2θ＝2（1﹣cos2θ）＝2×（1﹣）＝．故选：B．8．已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f′（x）﹣f（x）＞0，f（2021）＝e2021，则不等式f（lnx）＜的解集为（）A．（e6063，+∞）B．（0，e2021）C．（e2021，+∞）D．（0，e6063）【分析】设F(x)＝，得到函数F(x)在R上单调递增，F(2021)＝1，不等式转化为F(lnx)＜F(2021)，求出不等式的解集即可．解：由题可设F(x)＝，∵f′（x）﹣f（x）＞0，则F′(x)＝＞0，∴函数F(x)在R上单调递增，F(2021)＝＝1，将不等式f(lnx)＜转化为•＝•＜，可得F(lnx)＜1，即F(lnx)＜F(2021)，∴lnx＜2021，∴0＜x＜e6063，∴不等式f（lnx）＜的解集为(0,e6063)，故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．在数列{a n}中，a2和a6是关于x的一元二次方程x2﹣bx+4＝0的两个根，下列说法正确的是（）A．实数b的取值范围是b≤﹣4或b≥4B．若数列{a n}为等差数列，则数列{a n}的前7项和为4bC．若数列{a n}为等比数列且b＞0，则a1＝±2D．若数列{a n}为等比数列且b＞0，则a2+a6的最小值为4【分析】由题意利用韦达定理、基本不等式、等差数列和等比数列的性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．解：因为关于x的一元二次方程x2﹣bx+4＝0有两个根，所以△＝b2﹣4×1×4≥0，解得b≤﹣4或b≥4，故选项A正确；若数列{a n}为等差数列，且a2+a6＝b，则S7＝＝＝，故选项B错误；若数列{a n}为等比数列且b＞0，由可得a2＞0，a6＞0，所以，a1＞0，∴a2+a6＝b≥2＝4，当且仅当a2＝a6＝2时，等号成立，故选项C错误，选项D正确，故选：AD．10．已知在正三棱锥P﹣ABC中，PA＝3，AB＝2，点D为BC的中点，下面结论正确的有（）A．PC⊥ABB．平面PAD⊥平面PBCC．PA与平面PBC所成的角的余弦值为D．三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为【分析】对于AB．如图，连接PD，AD，可得PD⊥BC，AD⊥BC，利用线面、面面垂直的判定与性质定理即可判断出正误；对于C．∠APD为PA与平面PBC所成的角，在△APD中，根据余弦定理可得cos∠APD，即可判断出正误；对于D．取△ABC的重心为O1，连接PO1，设外接球的球心为O，半径为R，连接AO，在Rt△AOO1中，可得R2＝+，解得R，即可判断出正误．解：对于AB．如图，连接PD，AD，易得PD⊥BC，AD⊥BC，∵AD∩PD＝D，∴BC⊥平面APD，∵BC⊂平面PBC，∴平面APD⊥平面PBC，∴PA⊥BC，同理PC⊥AB，故选项A，B正确；对于C．∠APD为PA与平面PBC所成的角，在△APD中，PD＝＝2，AD＝＝，根据余弦定理得cos∠APD＝＝，故选项C错误；对于D．取△ABC的重心为O1，连接PO1，设外接球的球心为O，半径为R，连接AO，在Rt△AOO1中，可得R2＝+，解得R＝，故选项D错误，故选：AB．11．已知双曲线C1：＝1（a1＞0，b1＞0）的一条渐近线的方程为y＝x，且过点（1，），椭圆C2：＝1的焦距与双曲线C1的焦距相同，且椭圆C2的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线交C2于A，B两点，若点A（1，y1），则下列说法中正确的有（）A．双曲线C1的离心率为2B．双曲线C1的实轴长为C．点B的横坐标的取值范围为（﹣2，﹣1）D．点B的横坐标的取值范围为（﹣3，﹣1）【分析】根据双曲线C1渐近线的方程为，及过点（1，可得双曲线C1的方程为4x2﹣＝1，从而求得椭圆C2焦点F1（﹣1，0），F2（1，0），设A（1，y1）（y1＞0），可得直线AB的方程为y＝，联立，根据韦达定理可得x B＝﹣＝﹣3+，即可求解．解：双曲线C1：＝1（a1＞0，b1＞0）的一条渐近线的方程为，则可设双曲线C1的方程为x2﹣＝λ，∵过点（1，），∴1﹣＝λ，解得，∴双曲线C1的方程为4x2﹣＝1，即﹣＝1，可知双曲线C1的离心率e＝，实轴的长为1，故选项A正确，选项B错误；由可知椭圆C2：＝1的焦点F1（﹣1，0），F2（1，0），不妨设A（1，y1）（y1＞0），代入＝1得+＝1，∴y1＝，直线AB的方程为y＝，联立，消去y并整理得（a2+3）x2+2（a2﹣1）x﹣3a2﹣1＝0，根据韦达定理可得1•x B＝﹣，可得x B＝﹣＝﹣3+，．又a2＞1，∴a2+3＞4，1＜2，∴﹣3＜x B＜﹣1，故选项C错误，选项D正确，故选：AD．12．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω∈N）在区间[﹣，]和[]上单调递增，下列说法中正确的是（）A．ω的最大值为3B．方程f（x）＝log2πx在[0，2π]上至多有5个根C．存在ω和φ使f（x）＝sin（ωx+φ）为偶函数D．存在ω和φ使f（x）＝sin（ωx+φ）为奇函数【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．解：由函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω∈N）在区间[﹣，]和[]上单调递增，可得当周期T最小时，＝＝﹣＝，∴ω＝3，满足条件．当周期T最大时，＝＝﹣，∴ω＝1，满足条件．∴ω＝1，2，3 都可，故A正确；若方程f（x）＝log2πx在[0，2π]上的根最多，则函数f（x）＝sin（ωx+φ）的周期最小，即ω＝3，画出两个函数的图象，由图中可知至多有五个交点，故选项B正确；因为函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω∈N）在区间[﹣，]上单调递增，故不可能存在ω和φ使f（x）为偶函数，故选项C错误；当ω＝2和φ＝0时，f（x）＝sin2x为奇函数，满足题意，故选项D正确，故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知二项式（2x﹣）n的展开式的二项式的系数和为256，则展开式的常数项为112．【分析】先利用二项式系数的性质求得n，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．解：∵二项式（2x﹣）n的展开式的二项式的系数和为2n＝256，∴n＝8，则展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•28﹣r•x12﹣2r，令12﹣2r＝0，求得r＝6，故常数项为•22＝112，故答案为：112．14．2020年新冠肺炎肆虐，全国各地千千万万的医护者成为“最美逆行者”，医药科研工作者积极研制有效抗疫药物，中医药通过临床筛选出的有效方剂“三药三方”（“三药”是指金花清感颗粒、连花清瘟颗粒（胶囊）和血必净注射液；“三方”是指清肺排毒汤、化湿败毒方和宜肺败毒方）发挥了重要的作用．甲因个人原因不能选用血必净注射液，甲、乙两名患者各自独立自主的选择一药一方进行治疗，则两人选取药方完全不同的概率是．【分析】将三药分别记为A，B，C三方分别记为a，b，c，选择一药一方的基本事件共有9个组合，求出两名患者选择药方完全不同的情况的种数和两名患者可选择的药方的种数，由此能求出两人选取药方完全不同的概率．解：将三药分别记为A，B，C三方分别记为a，b，c，选择一药一方的基本事件如表所示，共有9个组合，A B Ca{A，a}{B，a}{C，a}b{A，b}{B，b}{C，b}c{A，c}{B，c}{C，c}则两名患者选择药方完全不同的情况有m＝＝24（种），两名患者可选择的药方共有n＝＝54（种），所以两人选取药方完全不同的概率是P＝．故答案为：．15．如图，在梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，AB＝1，BC＝1，AD＝2．取AD的中点E，将△ABE沿BE折起，使二面角A﹣BE﹣C为120°，则四棱锥A﹣BCDE的体积为．【分析】取BE的中点H，连接AH，CH，则∠AHC为二面角A﹣BE﹣C的平面角，从而∠AHC＝120°，过点A作CH的垂线，交CH的延长线于点KV A﹣BCDE＝，由此能求出结果．解：梯形ABCD的面积S＝＝，，S BCDE＝＝1，如图，取BE的中点H，连接AH，CH，AH⊥BE，CH⊥BE，∴∠AHC为二面角A﹣BE﹣C的平面角，∴∠AHC＝120°，过点A作CH的垂线，交CH的延长线于点K，则AH＝,AK＝AH sin60°＝＝，所以V A﹣BCDE＝＝＝．故答案为：．16．定义关于x的曲线f（a，b，c）＝ax2+bx+c，则与曲线f（1，2，0）和f（﹣1，2，0）都相切的直线l的方程为y＝2x，F（x）＝，已知a＞0，若关于x的方程F（x）＝f（0，a，0）有三个不同的实根，则a＝8．【分析】由已知可得F1（x）＝f（1，2，0）与F2（x）＝f（﹣1，2，0），分别求导数，得到F1′（0）与F2′（0），再求出F1（0）与F2（0），即可求得与曲线f（1，2，0）和f（﹣1，2，0）都相切的直线l的方程；写出分段函数F（x））＝，再求出f（0，a，0），联立方程组，利用判别式大于等于0求得a的范围，进一步分析可得满足条件的a值．解：令，，知F1′（x）＝2x+2在R上单调递增，F2′（x）＝﹣2x+2在R上单调递减，F1（0）＝F2（0）＝0，且F1′（0）＝F2′（0）＝2，即两函数有一个公共点，两曲线有过该点的公切线，公切线方程为y＝2x；∵，∴，令g（x）＝f（0，a，0）＝ax，由，整理可得x2+ax+a＝0，由△＝a2﹣4a≥0，可得a≥4或a≤0，则a≥4；由，整理可得x2﹣ax+2a＝0，由△＝4a2﹣8a≥0，可得a≥8或a≤0，则a≥8．若方程F（x）＝f（0，a，0）有三个根，则直线y＝ax与F（x）的图象有三个交点，得当y＝ax（a＞0）与F（x）左侧图象相交于F（x）右侧图象相切时，方程F（x）＝f （0，a，0）有三个不同的实根，则a＝8．故答案为：y＝2x；8．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，且2S2＝9a1﹣2，a3＝2a2+3a1．（Ⅰ）若等差数列{b n}满足b i＝a i（i＝1，2），求{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）若c n＝______，求数列{c n}的前n项和T n．在①+1；②；③这三个条件中任选一个补充到第（Ⅱ）问中，并对其求解．【分析】（Ⅰ）利用等比数列的通项公式与求和公式求出a1和q，得到数列{a n}的通项公式，再求出对应等差数列{b n}的前两项和公差，即可得数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）根据已知条件进行整理，得出数列{c n}的通项公式，进而利用裂项相消法即可求解．解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，则q＞0．∵2S2＝9a1﹣2，∴2a2＝7a1﹣2，①∵a3＝2a2+3a1，∴q2﹣2q﹣3＝0，解得q＝3（舍负），代入①得a1＝2，a2＝6，∴a n＝2•3n﹣1；则b1＝a1＝2，b2＝a2＝6，②设数列{b n}的公差为d，∴d＝b2﹣b1＝6﹣2＝4，则b n＝2+4（n﹣1）＝4n﹣2；（Ⅱ）选择①：∵b n＝4n﹣2，∴b n+1＝4n+2，则c n＝+1＝+1＝﹣+1，∴T n＝（﹣+﹣+…+﹣）+n＝﹣+n＝．选择②：∵b n＝4n﹣2，b1＝2，则b1+b2+…+b n＝＝＝2n2，∴c n＝＝＝＝﹣，∴T n＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝；选择③：由（Ⅰ）知a n＝2•3n﹣1；∴S n＝＝3n﹣1．∴c n＝＝＝（﹣）．∴T n＝（﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝．18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝c cos B+b．（Ⅰ）若c＝1，求△ABC面积的最大值；（Ⅱ）若D为BC边上一点，DB＝4，AB＝5，且＝﹣12，求AC．【分析】（Ⅰ）根据正弦定理求出角C，再根据余弦定理及基本不等式求出ab的最大值，即可确定三角形的面积的最大值；（Ⅱ）首先求出cos B，再求出sin B，再在△ADC中利用正弦定理即可求出AC的长．解：（Ⅰ）根据a＝c cos B+b及正弦定理，可得sin A＝sin C cos B+sin B，即sin（B+C）＝sin C cos B+sin B，可得sin B cos C+cos C sin B＝sin C cos B+sin B，∵sin B≠0，∴cos C＝．∵0＜C＜π，∴C＝．根据余弦定理可得：c2＝a2+b2﹣2ab cos C≥2ab﹣ab＝ab，∴ab≤1，当且仅当a＝b时等号成立，∴△ABC的面积为ab•sin C×1×＝，∴△ABC的面积的最大值为．（Ⅱ）由＝﹣12可得＝5×4×cos（π﹣B）＝﹣12，∴cos B＝，0＜B＜π，∴sin B＝．在△ABC中，利用正弦定理可得＝，即AC＝＝．19．如图，四边形BEDC为正方形，AE⊥BE，AE＝BE，M，N分别是边DE，BE的中点，直线DE与平面ABE所成的角为．（Ⅰ）求证：DN⊥平面ACM；（Ⅱ）求二面角M﹣AC﹣B的余弦值．【分析】（Ⅰ）先证明∠AED为直线DE与平面ABE所成角，得到△ADE为等边三角形，再证明DN⊥AM，DN⊥CM，最后由线面垂直的判定定理得证；（Ⅱ）分别取AE，AB的中点为O，P，连接DO，PO，以O为原点建立空间直角坐标系，求出平面ACM和平面ABC的法向量，再利用空间向量夹角公式求解二面角的余弦值即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵AE⊥BE，BE⊥DE，AE∩DE＝E，AE、DE⊂平面ADE，∴BE⊥平面ADE，∴平面ABE⊥平面ADE，∴点D在平面ABE的射影在线段AE上，∴∠AED为直线DE与平面ABE所成的角，即∠AED＝，又AE＝BE＝DE，∴△ADE为等边三角形，连接AM，DN，∵M为DE的中点，∴AM⊥DE，∵BE⊥平面ADE，AM⊂平面ADE，∴BE⊥AM，又BE∩DE＝E，BE、DE⊂平面BCDE，∴AM⊥平面BCDE，∵DN⊂平面BCDE，∴AM⊥DN，∵CD＝DE，DM＝EN，∠CDE＝∠DEN＝，∴△CDM≌△DEN，∴∠DMC＝∠END，∴∠DMC+∠EDN＝，∴DN⊥CM，∵CM∩AM＝M，CM、AM⊂平面ACM，∴DN⊥平面ACM．（Ⅱ）解：分别取AE，AB的中点为O，P，连接DO，PO，则OP∥BE，由（Ⅰ）知，BE⊥平面ADE，∴OP⊥平面ADE，∴OP⊥AE，∵△ADE为等边三角形，∴DO⊥AE，∵BE⊥平面ADE，DO⊂平面ADE，∴BE⊥DO，又BE∩AE＝E，BE、AE⊂平面ABE，∴DO⊥平面ABE，∴DO⊥OP，∴OP，OA，OD两两垂直，故以O为原点，OP，OA，OD所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，设OA＝1，则A（0，1，0），P（1，0，0），D（0，0，），E（0，﹣1，0），B（2，﹣1，0），N（1，﹣1，0），∴＝（2，﹣2，0），＝＝（0，1，），设平面ABC的法向量为＝（x，y，z），则，即，不妨设z＝﹣1，则＝（，，﹣1），由（Ⅰ）可得＝（1，﹣1，）为平面ACM的一个法向量，∴cos＜，＞＝＝＝，由图知，二面角M﹣AC﹣B的平面角为锐角，∴二面角M﹣AC﹣B的余弦值为．20．为迎接2020年国庆节的到来，某电视台举办爱国知识问答竞赛，每个人随机抽取五个问题依次回答，回答每个问题相互独立．若答对一题可以上升两个等级，回答错误可以上升一个等级，最后看哪位选手的等级高即可获胜．甲答对每个问题的概率为，答错的概率为．（Ⅰ）若甲回答完5个问题后，甲上的台阶等级数为X，求X的分布列及数学期望；（Ⅱ）若甲在回答过程中出现在第i（i≥2）个等级的概率为P i，证明：{P i﹣P i﹣1}为等比数列．【分析】（Ⅰ）首先确定X的所有可能取值，根据概率公式分别求出对应发生的概率，列出分布列，即可求出数学期望；（Ⅱ）根据已知的关系，求出P i+1与P i，P i﹣1的关系式，再通过化简和等比数列的定义求解即可．解：（Ⅰ）依题意可得，X可取5，6，7，8，9，10，P（X＝5）＝＝，P（X＝6）＝＝，P（X＝7）＝＝，P（X＝8）＝＝，P（X＝9）＝＝，p（x＝10）＝＝，则X的分布列如表所示．X5678910PE（X）＝5×+6×+7×+8×+9×+10×＝，证明：（Ⅱ）处于第i+1个等级有两种情况：由第i等级到第i+1等级，其概率为；由第i﹣1等级到第i+1等级，其概率为；所以P，所以P，所以数列{P i﹣P i﹣1}为等比数列．21．已知函数f（x）＝lnx﹣x2+2x，g（x）＝x2+（a﹣2）+2．（Ⅰ）求函数f（x）的极值点；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+g（x）＝0至少有两个不相等的实根，求a的最大值．【分析】（Ⅰ）对函数求导，根据导函数正负判断函数的单调性，确定函数的极值点即可；（Ⅱ）根据f（x）+g（x）＝0，可以分离出参数a，构造新函数，求导确定新函数的最值，进而确定参数a的最大值．解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．f′（x）＝﹣3x+2＝＝．令f′（x）＝0，得x＝1或x＝﹣（舍）．当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，∴f（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，∴f（x）单调递减，则当x＝1时，函数f（x）取得极大值，故函数f（x）的极大值点为x＝1，不存在极小值点．（Ⅱ）由f（x）+g（x）＝0可得lnx+x2+ax+2＝0，所以﹣a＝+x+（x＞0）．设F（x）＝+x+，则F′（x）＝．令h（x）＝x2﹣lnx﹣1．则h′（x）＝2x﹣＝，令h′（x）＝0，可得x＝或x＝﹣（舍）．所以h（x）在（0，）上，h′（x）＜0，h（x）单调递减；在（，+∞）上，h′（x）＞0，h（x）单调递增，所以函数h（x）的最小值为h（）＝（）2﹣ln﹣1＜0．又h（1）＝0，所以当x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，又当x＝时，h（）＝（）2﹣ln﹣1＞0，因此必存在唯一x0∈（，），使得h（x0）＝0，当x变化时，h（x），F′（x），F（x）的变化情况如表：x（0，x0）x0（x0，1）1（1，+∞）h（x）+0﹣0+F′（x）+0﹣0+F（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增当x＝x0时，F（x）有极大值F（x0），当x＝1时，F（x）有极小值F（1）．又F（1）＝3，F（）＝＜F（1），且当x→+∞时，F（x）→+∞，所以F（1）≤﹣a≤F（x0），可得﹣F（x0）≤a≤﹣F（1）时，直线y＝﹣a与函数y＝F（x）至少有两个交点，所以a的最大值为﹣3．22．已知直线l：2x﹣y﹣4＝0与x轴交于点E，且＝，其中O为坐标原点，F为抛物线Ω：y2＝2px（p＞0）的焦点．（Ⅰ）求拋物线Ω的方程；（Ⅱ）若直线l与抛物线Ω相交于P，B两点（P在第一象限），直线PA，PC分别与抛物线相交于A，C两点，与x轴交于D，G两点，且E为DG中点，设直线PA，PC的斜率分别为k1，k2，求证：为定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求△PBC的面积的取值范围．【分析】（Ⅰ）先求出点E的坐标，进而求出点F的坐标，从而即可求出抛物线方程；（Ⅱ）把直线和抛物线方程联立，解得P，B的坐标，再通过设点D，G的坐标，表示出k1，k2，再代入求出定值即可；（Ⅲ）先表示出直线PC的方程，得到点C的坐标以及点C到直线PB的距离，从而表示出△PBC的面积，再根据定点的切线方程求参数的取值范围，进而确定面积的取值范围．解：（Ⅰ）由已知得E（2，0），F为OE的中点，所以F（1，0）．故抛物线Ω的方程为y2＝4x．（Ⅱ）证明：联立，解得P（4，4），B（1，﹣2），由E为DG的中点得＝．设D（2﹣t，0），G（2+t，0），其中t＞0．则k1＝，k2＝．所以＝1，即为定值．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知直PC的方程为y﹣4＝（x﹣4），即4x﹣（2﹣t）y﹣4t﹣8＝0，可得C，故点C到直线PB的距离d＝．设过点P的抛物线的切线方程为y﹣4＝k（x﹣4），联立得ky2﹣4y+16﹣16k＝0，由△＝0，得k＝，所以切线方程为x﹣2y+4＝0，令y＝0，得x＝﹣4，所以要使过P点的直线与抛物线有两个交点，则有0＜t＜6，又|PB|＝＝3，所以△PBC的面积：＝，即0＜S△PBC＜54，故△PBC的面积的取值范围为（0，54）．。
福建省漳州市2021届高三第一次教学质量检测(一模)数学试题(含答案)
（2）①选择第一个条件
∴ bn = 4n − 2 ， bn+1 = 4n + 2
cn
=
4 bnbn+1
+1
=
(4n
−
4 2)(4n
+
2)
+1
=
1 4n −
2
−
1 4n +
2
+1
（5 分） （7 分）
Tn = c1 + c2 + c3 +…+ cn−1+ cn
= (1 − 1) +1+(1 − 1 ) + 1+ ( 1 − 1 ) + 1+…+ ( 1 − 1 ) +1+ ( 1 − 1 ) + 1
= 2n(n +1) 2n +1
（10 分）
②选择第二个条件
bn = 4n − 2 ， b1 = 2 ，
b1
+
b2
+
b3
+…+
bn−1
+
bn
=
n(b1 + 2
bn
)
=
n(2
+
4n 2
−
2)
=
2n2
（7
分）
cn =
(b1
+
b2
+
b3
+
2n …bn -1
+
bn
)(n
+ 1)
=
2n2
2n × (n
+ 1)
13.112 14. 4 15. 16 16.y=2x 8 （第一空 2 分，第二空 3 分）
福建高三高中数学月考试卷带答案解析
福建高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.如图，设全集，，，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．B．C．D．2.若命题：；命题：，则下列结论正确的是（）A．为假命题B．为假命题C．为假命题D．为真命题3.已知函数，则（）A．B．C．D．4.某工厂对一批新产品的长度（单位：）进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为（）A．B．C．D．5.函数的大致图象为（）6.已知是以为圆心的单位圆上的动点，且，则（）A．B．C．D．7.如图所示的程序框图输出的结果是，则判断框内应填的条件是（）A．B．C．D．8.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的表面积是（）A．B．C．D．9.已知满足，且目标函数的最小值为，则实数的值是（）A．B．C．D．10.已知双曲线（）的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．11.已知函数的部分图象如图所示，是边长为的等边三角形，为了得到的图象，只需将的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位12.如图，已知正方体的棱长为4，点，分别是线段，上的动点，点是上底面内一动点，且满足点到点的距离等于点到平面的距离，则当点运动时，的最小值是（）A．B．C．D．二、填空题1.已知是虚数单位，复数的模为．2.如图，在平行四边形中，点在边上，若在平行四边形内部随机取一个点，则点取自内部的概率是．3.在中，已知，，那么的值是．4.定义：分子为1且分母为正整数的分数叫做单位分数．我们可以把1拆分为无穷多个不同的单位分数之和．例如：，，，依此方法可得：，其中，则．三、解答题1.（本小题满分12分）已知等差数列的前项和为，公差，，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，，第项，，按原来顺序组成一个新数列，记该数列的前项和为，求的表达式．2.（本小题满分12分）如图，平面为圆柱的轴截面，点为底面圆周上异于的任意一点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若为的中点，求证：平面．3.（本小题满分12分）某校高一数学兴趣小组开展竞赛前摸底考试．甲、乙两人参加了5次考试，成绩如下：第一次第二次第三次第四次第五次（Ⅰ）若从甲、乙两人中选出1人参加比赛，你认为选谁合适？写出你认为合适的人选并说明理由；（Ⅱ）若同一次考试成绩之差的绝对值不超过分，则称该次考试两人“水平相当”．由上述次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，求恰有一次摸底考试两人“水平相当”的概率．4.（本小题满分12分）若函数的图象与直线为常数)相切，并且切点的横坐标依次构成公差为的等差数列．（Ⅰ）求及的值；（Ⅱ）求函数在上所有零点的和．5.（本小题满分14分）已知函数．（Ⅰ）求证：曲线在点处的切线在轴上的截距为定值；（Ⅱ）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．福建高三高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.如图，设全集，，，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】图中阴影部分所表示的集合是,选．【考点】1．集合的表示方法；2．集合的基本运算．2.若命题：；命题：，则下列结论正确的是（）A．为假命题B．为假命题C．为假命题D．为真命题【答案】A【解析】因为命题：是真命题，命题：是假命题，所以为假命题．选．【考点】1．存在性量词与全称量词；2．简易逻辑联结词．3.已知函数，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，选．【考点】1．分段函数；2．对数计算．4.某工厂对一批新产品的长度（单位：）进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】产品的中位数出现在概率是的地方．自左至右各小矩形面积依次为，设中位数是，则由得，，选．【考点】1．频率分布直方图；2．中位数．5.函数的大致图象为（）【答案】C【解析】由可知，函数为偶函数，图象关于轴对称，排除，又时，，时，，所以排除，选．【考点】1．函数的奇偶性；2．函数的图象．6.已知是以为圆心的单位圆上的动点，且，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知，，所以，，故选．【考点】1．平面向量的概念；2．平面向量的数量积．7.如图所示的程序框图输出的结果是，则判断框内应填的条件是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】执行程序框图，的值依次为，的值依次为，由于计算得到后，得到，所以判断框内应填的条件应是，选【考点】算法与程序框图．8.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的表面积是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，底面等腰三角形底边长为，高为，棱锥的高为，有一个侧面垂直于底面，另两个侧面全等，边长分别为，所以几何体的表面积为，选．【考点】1．三视图；2．几何体的表面积．9.已知满足，且目标函数的最小值为，则实数的值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】考察表示的平面区域，平移直线，为使取得最小值，须其经过直线的交点，所以选．【考点】简单线性规划的应用．10.已知双曲线（）的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】不妨取的渐近线，即与圆相切，则有，所以，选．【考点】1．双曲线的几何性质；2．直线与圆的位置关系．11.已知函数的部分图象如图所示，是边长为的等边三角形，为了得到的图象，只需将的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【答案】A【解析】依题意可知，，，所以，，由于，所以为了得到的图象，只需将的图象向左平移个长度单位，选．【考点】1．；2．三角函数图象变换．12.如图，已知正方体的棱长为4，点，分别是线段，上的动点，点是上底面内一动点，且满足点到点的距离等于点到平面的距离，则当点运动时，的最小值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为点是上底面内一动点，且点到点的距离等于点到平面的距离，所以，点在连接中点的连线上．为使当点运动时，最小，须所在平面平行于平面,,选【考点】1．平行关系；2．垂直关系；3．几何体的特征．二、填空题1.已知是虚数单位，复数的模为．【答案】【解析】因为所以其模为．另法：【考点】1．复数的四则运算；2．复数的概念．2.如图，在平行四边形中，点在边上，若在平行四边形内部随机取一个点，则点取自内部的概率是．【答案】【解析】这是几何概型概率的计算问题．设平行四边形中, ,边上的高为，则平行四边形的面积为，的面积为，故点取自内部的概率是．【考点】1．几何概型；2．平面图形的面积．3.在中，已知，，那么的值是．【答案】【解析】由已知及正弦定理得，又，所以由余弦定理得．【考点】正弦定理、余弦定理的应用．4.定义：分子为1且分母为正整数的分数叫做单位分数．我们可以把1拆分为无穷多个不同的单位分数之和．例如：，，，依此方法可得：，其中，则．【答案】【解析】因为依此类推可得：所以，．【考点】1．归纳推理；2．裂项相消法．三、解答题1.（本小题满分12分）已知等差数列的前项和为，公差，，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，，第项，，按原来顺序组成一个新数列，记该数列的前项和为，求的表达式．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）依题意得，解得即得到数列的通项公式；（Ⅱ）由已知得，应用“分组求和法”，分别求等差数列、等比数列的和即可．试题解析：（Ⅰ）依题意得2分解得 4分即 6分（Ⅱ）由已知得： 8分10分12分【考点】1．等比数列；2．等差数列；3．数列的求和．2.（本小题满分12分）如图，平面为圆柱的轴截面，点为底面圆周上异于的任意一点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若为的中点，求证：平面．【答案】证明：见解析．【解析】证明：（Ⅰ）由为的直径，点为上的任意一点，可得；又圆柱中，底面可得，得证．（Ⅱ）两种思路：一是，取中点，连结、,为的中点，应用三角形中位线定理得,且；又圆柱中，,且,推出为平行四边形，得到即得证．二是，连结、,为的中点，为的中点，应用三角形中位线定理得到平面，又圆柱中，,且，得出为平行四边形，得到，推出平面后即得证．试题解析：证明：（Ⅰ）因为为的直径，点为上的任意一点2分又圆柱中，底面,即 4分而平面 6分（Ⅱ）（法一）取中点，连结、,因为为的中点，中，,且 8分又圆柱中，,且,为平行四边形 10分11分而平面，平面平面 12分（Ⅱ）证明：（法二）连结、,为的中点，为的中点中，而平面，平面平面 8分又圆柱中，,且为平行四边形而平面，平面平面 10分平面平面平面平面 12分【考点】1．垂直关系；2．平行关系．3.（本小题满分12分）某校高一数学兴趣小组开展竞赛前摸底考试．甲、乙两人参加了5次考试，成绩如下：（Ⅰ）若从甲、乙两人中选出1人参加比赛，你认为选谁合适？写出你认为合适的人选并说明理由；（Ⅱ）若同一次考试成绩之差的绝对值不超过分，则称该次考试两人“水平相当”．由上述次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，求恰有一次摸底考试两人“水平相当”的概率．【答案】（Ⅰ）答案一：，从稳定性角度选甲合适．答案二：乙的成绩波动大，有爆发力，选乙合适．（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）思路一：计算答案一：从稳定性角度选甲合适．答案二：乙的成绩波动大，有爆发力，选乙合适． 6分思路二：根据甲次摸底考试成绩中只有次，甲摸底考试成绩不低于的概率为；乙次摸底考试成绩中有次不低于，乙摸底考试成绩不低于的概率为．所以选乙合适．（Ⅱ）依题意知次摸底考试，“水平相当”考试是第二次，第三次，第五次，记为．“水平不相当”考试是第一次，第四次，记为．列出从这次摸底考试中任意选取次有共种情况．恰有一次摸底考试两人“水平相当”包括共共种情况．试题解析：（Ⅰ）解法一：依题意有2分3分4分答案一：从稳定性角度选甲合适． 6分（注：按（Ⅱ）看分数的标准，5次考试，甲三次与乙相当，两次优于乙，所以选甲合适． 6分）答案二：乙的成绩波动大，有爆发力，选乙合适． 6分解法二：因为甲次摸底考试成绩中只有次，甲摸底考试成绩不低于的概率为； 2分乙次摸底考试成绩中有次不低于，乙摸底考试成绩不低于的概率为． 5分所以选乙合适． 6分（Ⅱ）依题意知次摸底考试，“水平相当”考试是第二次，第三次，第五次，记为．“水平不相当”考试是第一次，第四次，记为．从这次摸底考试中任意选取次有共种情况． 9分恰有一次摸底考试两人“水平相当”包括共共种情况． 10分次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，恰有一次摸底考试两人“水平相当”概率． 12分【考点】1．平均数，方差;2．古典概型；3．运算数据处理能力、运算求解能力、应用意识及化归转化思想、或然与必然思想．4.（本小题满分12分）若函数的图象与直线为常数)相切，并且切点的横坐标依次构成公差为的等差数列．（Ⅰ）求及的值；（Ⅱ）求函数在上所有零点的和．【答案】（Ⅰ），; （Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）化简得到=，由已知即得解；（Ⅱ）由（Ⅰ）知得到，根据得到求和即得．试题解析：（Ⅰ）因为=== 3分依题意得函数的周期为且，， 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知 8分又 10分所有零点的和为 12分【考点】1．等差数列的性质；2．和差倍半的三角函数；3．三角函数图象和性质．5.（本小题满分14分）已知函数．（Ⅰ）求证：曲线在点处的切线在轴上的截距为定值；（Ⅱ）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）定值；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）求导数，计算得到切线方程为，令，得证；（Ⅱ）利用转化与化归思想，转化得到对时恒成立，记，应用导数研究函数的单调性，建立不等式得解．试题解析：（Ⅰ），， 3分切线方程为， 4分令，得为定值 5分（Ⅱ）由对时恒成立，得对时恒成立，即对时恒成立，7分记，，若，，在上为增函数，10分若，则当时，，为减函数，则当时，，为增函数，， 12分令，则，显然是增函数，，即不合题意． 13分综上，实数的取值范围是． 14分【考点】1．导数的几何意义;2．应用导数研究函数的单调性、最值；3．转化与化归思想．。
福建省漳州市2021届新高考数学一模考试卷含解析
福建省漳州市2021届新高考数学一模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知平行于x 轴的直线分别交曲线2ln 21,21(0)y x y x y =+=-≥于,A B 两点，则4AB 的最小值为（ ） A ．5ln 2+ B ．5ln 2- C ．3ln 2+ D ．3ln 2-【答案】A 【解析】 【分析】设直线为1122(0),(,)(,)y a a A x y B x y =>，用a 表示出1x ，2x ，求出4||AB ，令2()2ln f a a a =+-，利用导数求出单调区间和极小值、最小值，即可求出4||AB 的最小值． 【详解】解：设直线为1122(0),(,)(,)y a a A x y B x y =>，则1ln 21a x =+，11(ln 1)2x a ∴=-， 而2x 满足2221a x =-，2212a x +∴= 那么()()22211144()4ln 122ln 22a AB x x a a a ⎡⎤+=-=--=+-⎢⎥⎣⎦设2()2ln f a a a =+-，则221()a f a a -'=，函数()f a 在0,2⎛ ⎝⎭上单调递减，在2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以min min 42()25ln 2AB f a f ===+⎝⎭故选：A ． 【点睛】本题考查导数知识的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导确定函数的最小值是关键，属于中档题．2．在棱长为2的正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，P 为A 1D 1的中点，若三棱锥P−ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A ．12π B ．21π2C ．41π4D ．10π【答案】C 【解析】 【分析】取B 1C 1的中点Q ，连接PQ ，BQ ，CQ ，PD ，则三棱柱BCQ−ADP 为直三棱柱，此直三棱柱和三棱锥P−ABC 有相同的外接球，求出等腰三角形QBC 的外接圆半径，然后利用勾股定理可求出外接球的半径 【详解】如图，取B 1C 1的中点Q ，连接PQ ，BQ ，CQ ，PD ，则三棱柱BCQ−ADP 为直三棱柱，所以该直三棱柱的六个顶点都在球O 的球面上，QBC ∆的外接圆直径为52sin 2QB r QCB ==∠，球O 的半径R 满足22241()216AB R r =+=，所以球O 的表面积S=4πR 2=41π4， 故选：C.【点睛】此题考查三棱锥的外接球半径与棱长的关系，及球的表面积公式，解题时要注意审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题.3．已知过点(1,1)P 且与曲线3y x =相切的直线的条数有（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C 【解析】 【分析】设切点为()00x ,y ，则300y x =，由于直线l 经过点()1,1，可得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点0x 处的切线斜率，建立关于0x 的方程，从而可求方程． 【详解】若直线与曲线切于点()()000x ,y x 0≠，则32000000y 1x 1k x x 1x 1x 1--===++--， 又∵2y'3x =，∴200y'x x 3x ==，∴2002x x 10--=，解得0x 1=，01x 2=-， ∴过点()P 1,1与曲线3C :y x =相切的直线方程为3x y 20--=或3x 4y 10-+=， 故选C ． 【点睛】本题主要考查了利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，求解曲线的切线的方程，其中解答中熟记利用导数的几何意义求解切线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．4．若函数()ln f x x x h =-++，在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任取三个实数a ，b ，c 均存在以()f a ，()f b ，()f c 为边长的三角形，则实数h 的取值范围是（ ）A ．11,1e ⎛⎫--⎪⎝⎭ B ．11,3e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．11,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．()3,e -+∞【答案】D 【解析】 【分析】利用导数求得()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小，根据三角形两边的和大于第三边列不等式，由此求得h 的取值范围. 【详解】()f x 的定义域为()0,∞+，()'111x f x x x-=-+=，所以()f x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，在()1,e 上递增，()f x 在1x =处取得极小值也即是最小值，()1ln111f h h =-++=+，1111ln 1f h h e e e e ⎛⎫=-++=++ ⎪⎝⎭，()ln 1f e e e h e h =-++=-+，()1f f e e ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 所以()f x 在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()1f e e h =-+.要使在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任取三个实数a ，b ，c 均存在以()f a ，()f b ，()f c 为边长的三角形，则需()()()f a f b f c +>恒成立，且()10f >，也即()()()max min f a f b f c +>⎡⎤⎣⎦，也即当1a b ==、c e =时，()()21e f f >成立， 即()211h e h +>-+，且()10f >，解得3h e >-.所以h 的取值范围是()3,e -+∞. 故选：D 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查恒成立问题的求解，属于中档题.5．如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱1111ABCD A B C D -中，点P 是平面1111D C B A 内一点，则三棱锥P BCD -的正视图与侧视图的面积之和为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A 【解析】 【分析】根据几何体分析正视图和侧视图的形状，结合题干中的数据可计算出结果. 【详解】由三视图的性质和定义知，三棱锥P BCD -的正视图与侧视图都是底边长为2高为1的三角形，其面积都是11212⨯⨯=，正视图与侧视图的面积之和为112+=， 故选：A. 【点睛】本题考查几何体正视图和侧视图的面积和，解答的关键就是分析出正视图和侧视图的形状，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题.6．定义两种运算“★”与“◆”，对任意N n *∈，满足下列运算性质：①2★2018=1，2018◆11=；②（2n ）★2018=[2(22)n +★]2018 ，2018◆(1)2(2018n +=◆)n ，则（2018◆2020）（2020★2018）的值为( ) A ．10112 B ．10102C ．10092D ．10082【答案】B 【解析】 【分析】根据新运算的定义分别得出2018◆2020和2020★2018的值，可得选项. 【详解】 由（2n ）★2018=[2(22)n +★]2018 ，得（2n +2）★2018=(122n ★)2018， 又2★2018=1，所以4★12018=2，6★212018=2⎛⎫ ⎪⎝⎭，8★312018=2⎛⎫ ⎪⎝⎭，L ，以此类推，2020★2018()21010=⨯★20181010110091122-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又2018◆(1)2(2018n +=◆)n ，2018◆11=，所以2018◆22=，2018◆232=，2018◆342=，L ，以此类推，2018◆202020192=，所以（2018◆2020）（2020★2018）10092019101012=22⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，故选：B. 【点睛】本题考查定义新运算，关键在于理解，运用新定义进行求值，属于中档题. 7．已知f （x ）=ax 2+bx 是定义在[a –1，2a]上的偶函数，那么a+b 的值是A ．13-B ．13 C ．12-D ．12【答案】B 【解析】 【分析】依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f （﹣x ）=f （x ），且定义域关于原点对称，a ﹣1=﹣2a ，即可得解. 【详解】根据偶函数的定义域关于原点对称，且f （x ）是定义在[a –1，2a]上的偶函数， 得a –1=–2a ，解得a=13，又f （–x ）=f （x ）， ∴b=0，∴a+b=13．故选B ． 【点睛】本题考查偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f （﹣x ）=f （x ）；奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称，定义域区间两个端点互为相反数．8．已知关于x sin 2x x m π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭在区间[)0,2π上有两个根1x ，2x ，且12x x π-≥，则实数m 的取值范围是（ ） A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．[)1,2C ．[)0,1D ．[]0,1【答案】C 【解析】【分析】先利用三角恒等变换将题中的方程化简，构造新的函数2sin()6y x π=+，将方程的解的问题转化为函数图象的交点问题，画出函数图象，再结合12x x π-≥，解得m 的取值范围. 【详解】由题化简得3sin cos x x m +=，2sin()6m x π=+，作出2sin()6y x π=+的图象，又由12x x π-≥易知01m ≤<． 故选：C. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，方程的根的问题，利用数形结合法，求得范围.属于中档题. 9．函数()y f x =在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的大致图象如图所示，则()f x 可能是（ ）A ．()ln sin f x x =B ．()()ln cos f x x =C ．()sin tan f x x =-D ．()tan cos f x x =- 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊值及函数的单调性判断即可； 【详解】解：当0x =时，sin00=，ln sin0无意义，故排除A ；又cos01=，则(0)tan cos0tan10f =-=-≠，故排除D ； 对于C ，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan 0x >，所以()sin tan f x x =-不单调，故排除C ； 故选：B 【点睛】本题考查根据函数图象选择函数解析式，这类问题利用特殊值与排除法是最佳选择，属于基础题. 10．在ABC ∆中,,A B C ∠∠∠所对的边分别是,,a b c ，若3,4,120a b C ︒==∠=，则c =（ ）A ．37B ．13C D【答案】D 【解析】 【分析】直接根据余弦定理求解即可． 【详解】解：∵3,4,120a b C ︒==∠=，∴2222cos 9161237c a b ab C =+-=++=，∴c = 故选：D ． 【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，属于基础题． 11．已知函数321()(0)3f x ax x a =+>．若存在实数0(1,0)x ∈-，且012x ≠-，使得01()()2f x f =-，则实数a 的取值范围为（ ） A ．2(,5)3B ．2(,3)(3,5)3⋃ C ．18(,6)7D ．18(,4)(4,6)7⋃ 【答案】D 【解析】 【分析】首先对函数求导，利用导数的符号分析函数的单调性和函数的极值，根据题意，列出参数所满足的不等关系，求得结果. 【详解】()22f x ax x '=+，令()0f x '=，得10x =，22x a=-．其单调性及极值情况如下：x2,a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭2a-2,0a⎛⎫- ⎪⎝⎭0 ()0,∞+()f x'+ 0 _ 0 +()f x Z极大值]极小值Z若存在0111,,022x⎛⎫⎛⎫∈--⋃-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得()012f x f⎛⎫=-⎪⎝⎭，则()21221112aaf f⎧-<-⎪⎪⎪->-⎨⎪⎪⎛⎫-<-⎪ ⎪⎝⎭⎩（如图1）或3122a a-<-<-（如图2）．（图1）（图2）于是可得()18,44,67a⎛⎫∈⋃⎪⎝⎭，故选：D.【点睛】该题考查的是有关根据函数值的关系求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性与极值，画出图象数形结合，属于较难题目.12．若31nxx⎫⎪⎭的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为（）A．85 B．84 C．57 D．56【答案】A【解析】 【分析】先求n ，再确定展开式中的有理项，最后求系数之和. 【详解】解：1nx ⎫⎪⎭的展开式中二项式系数和为256 故2256n =，8n =88433188r r r rr r T C xxC x---+==要求展开式中的有理项，则258r =，，则二项式展开式中有理项系数之和为：258888++=85C C C 故选：A 【点睛】考查二项式的二项式系数及展开式中有理项系数的确定，基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
福建高三高中数学月考试卷带答案解析
福建高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设（是虚数单位），则（）A．B．C．D．2.“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3.函数y＝＋lg（2x－1）的定义域是（）A．B．C．D．4.函数在上的最大值和最小值是（）A．、B．、C．、D．、5.设等差数列的前n项和为,若,,则当取最小值时, 等于（）A．6B．7C．8D．96.函数的图像的一条对称轴是（）A．B．C．D．7.在正方体中，异面直线与所成角为（）A．B．C．D．8.某几何体的三视图如图所示,它的体积为（）A．B．C．D．9.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为，腰和上底均为的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A．B．C．D．10.已知等差数列的公差为,若成等比数列, 则（）A．B．C．D．11.等比数列的各项均为正数，且，则（）A．5B．9C．D．1012.已知函数的周期为2，当时，那么函数的图象与函数的图象的交点共有（）A．10个B．9个C．8个D．7个二、填空题1.向量，，若与平行，则等于______2.在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于 _____．3.已知数列满足则=________4.已知数列各项为正，为其前项和，满足，数列为等差数列，且，求数列的前项和________三、解答题1.（本题满分12分）已知函数（1）若，且，求的值；（2）求函数的最小正周期及单调递增区间．2.（本题满分12分）如图,在四棱锥中,，四边形为平行四边形,,,（1）若为中点，求证：∥平面（2）求三棱锥的体积3.（本题满分12分）．已知等差数列满足：数列的前n项和为．（1）求及；（2）令，求数列的前n项和．4.（本题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。
福建省漳州市2021届高三数学第一次教学质量检测卷 理(含解析).doc
福建省漳州市2021届高三数学第一次教学质量检测卷 理（含解析）一、选择题：1.已知集合{}2|40A x x =->，102B x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ） A. {|2x x <-或}2x > B. {|2x x <-或12x ⎫>⎬⎭C. {}|2x x >D. {}|2x x <-【答案】B 【解析】 【分析】解出集合A 、B ，利用并集的定义可求出集合A B .【详解】{}{2402A x x x x =->=<-或}2x >，11022B x x x x ⎧⎫⎧⎫=<<=>⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，因此，{2A B x x ⋃=<-或12x ⎫>⎬⎭.故选：B.【点睛】本题考查并集的运算，同时也考查了一元二次不等式以及分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题. 2.已知复数z 满足2020(3)3z i i +=+，则z 的共轭复数z 的虚部为（ ）A.65B. 25-C.25i D.25【答案】D 【解析】 【分析】先利用复数的除法求出复数z ，利用共轭复数的概念可得出复数z ，由此可得出复数z 的虚部. 【详解】()505202041i i ==，在等式()202033z i i+=+两边同时除以3i +得()()()20204336233355i i z i i i i -+===-++-，6255z i ∴=+，因此，复数z 的虚部为25. 故选：D.【点睛】本题考查复数虚部的求解，涉及复数的除法以及共轭复数的概念，考查计算能力，属于基础题.3.已知某学校高一、高二、高三学生的人数如下表：利用分层抽样抽取部分学生观看演出，已知高一年级抽调15人，则该学校观看演出的人数为( ) A. 35 B. 45C. 60D. 80【答案】C 【解析】 【分析】根据分层抽样每人被抽到的概率相同，计算可得. 【详解】解：由高一年级抽调15人，可知150010015=，即每100人中选1个人，则该校观看演出的人数为()15002000250010060++÷=（人）， 故选：C ．【点睛】本题考查统计的相关知识，考查运算求解能力、数据处理能力，属于基础题． 4.已知,αβ是两个不重合的平面，a ，b 是两条不同的直线，可以断定αβ∥的条件是（ ）A. ,a α⊥b β⊥B. ,a α⊥,b β⊥a b ⊥C. ,a α⊥,b β⊥//a bD. ,a α//,b α//,a β⊂b β⊂【答案】C 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质定理以及面面垂直的判定定理对选项分别分析得答案． 【详解】解：由a α⊥，b β⊥无法得到//αβ，A 错误；由,a α⊥,b β⊥a b ⊥可得αβ⊥，B 错误；由,a α⊥,b β⊥//a b ，可得a α⊥，a β⊥，可知两平面同垂直于一条直线，则两平面是平行的，故C 正确；由,a α//,b α//,a β⊂b β⊂不一定得到//αβ，α，β还可能是相交，D 错误． 故选：C ．【点睛】本题考查空间中直线与平面、平面与平面的位置关系，考查学生的空间想象能力和思维能力，属于基础题．5.已知0.22log 0.2,2,sin 2a b c ===，则（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D.b c a <<【答案】B 【解析】 【分析】分别求出a ，b ，c 的大概范围，比较即可.【详解】因为22log 0.2log 10<=，0sin 21<<，0.20221>= 所以a c b <<. 故选：B【点睛】本题主要考查了指数，对数，三角函数的大小关系，找到他们大概的范围再比较是解决本题的关键，属于简单题.6.已知数列{}n a 为等比数列，且21064a a a =，数列{}n b 为等差数列，n S 为等差数列{}n b 的前n 项和，610,S S =67a b =，则9b =（ ） A.43B. 43-C. 83-D. 4-【答案】B 【解析】 【分析】设等差数列{}n b 的公差为d ，根据等比中项的性质可得64a =，即74b =，又610S S =则789100b b b b +++=，由下标和性质得7100b b +=，即可求出10b ，求出公差即可求得9b .【详解】解：设等差数列{}n b 的公差为d ，21064a a a =2664a a ∴=解得64a =，610S S =789100b b b b ∴+++=，则7100b b +=674a b ==104b ∴=- 1073448d b b ∴=-=--=-83d ∴=-978424233b b d ⎛⎫∴=+=+⨯-=- ⎪⎝⎭故选：B【点睛】本题考查等比数列与等差数列的通项公式与性质、等差数列的求和公式，考查运算求解能力、推理论证能力，属于基础题.7.若实数x ，y 满足22000x y x x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最大值是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线z x y =+，观察该直线在x 轴上截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即可.【详解】作出不等式组22000x y x x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩所表示的可行域，如下图中的阴影部分区域所示：则z 为直线z x y =+在x 轴上的截距，平移直线z x y =+，当该直线经过可行域的顶点()0,2A 时，直线z x y =+在x 轴上的截距最大， 此时z x y =+取得最大值，即max 022z =+=. 故选：C.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值，一般利用平移直线的方法找出最优解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.8.已知函数()sin cos 2020,f x x x x =++()g x 是函数()f x 的导函数，则函数()y g x =的部分图象是（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】求出函数()f x 的导函数即()g x 的解析式，可判断函数为奇函数，即可排除AB ，再由特殊值可排除C ，即可得解. 【详解】解：()sin cos 2020,f x x x x =++()()sin cos sin cos g x f x x x x x x x '∴==+-= ()()()cos cos g x x x x x g x -=--=-=-()g x ∴为奇函数，图象关于原点对称，故排除AB ；02g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos 03336g ππππ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，故排除C ；故选：D【点睛】本题考查函数的求导、函数图象的判断，考查推理论证能力，属于基础题. 9.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足3n n a S n +=+，则n a =（ ） A. 12n +B. 1112n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭C. 112n -+D.1122n -⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】当1n =时，求得1a ，当2n ≥时，1n n n a S S -=-，得到11122n n a a -=+，即可得到{}1n a -是以1为首项，12为公比的等比数列，求出{}1n a -的通项公式，即可得解. 【详解】解：3n n a S n +=+①，当1n =时，1113a S +=+解得12a =， 当2n ≥时，1113n n a S n --+=-+②，①减②得，()()11313n n n n a S a S n n --++=---++11122n n a a -+∴=()11121n n a a --=-∴ 则{}1n a -是以111a -=为首项，12为公比的等比数列， 1112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭-∴1112n n a -⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭故选：B【点睛】本题考查递推数列、等比数列的定义与通项公式，考查运算求解能力、化归与转化思想，属于基础题．10.已知F 为抛物线22y px =(0)p >的焦点，斜率大于0的直线l过点(1,P -和点F ，且交抛物线于A ，B 两点，满足||2||FA FB =，则抛物线的方程为（ ） A. 210y x = B. 26y x = C. 28y x = D. 24y x =【答案】A 【解析】 【分析】设直线l 的斜率为()0k k >，则直线的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与抛物线方程，消去x ，列出韦达定理，由||2||FA FB =则122y y =-即可求出k ，又由直线过点(1,P -，代直线方程求出p ，即可求出抛物线方程.【详解】解：由题意可知,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线l 的斜率为()0k k >，则直线的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程得222p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩消去x 整理得2220ky py kp --=，222440p k p ∆=+>，则122p y y k+=，212y y p =-， ||2||FA FB =122y y ∴=-，则22p y k-=，2222y p -=-，解得k =k =-（舍去），所以直线方程2p y x ⎫=-⎪⎭因为直线过点(1,P -，代入可得5p =，则抛物线的方程为210y x = 故选：A【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、抛物线的几何性质，考查运算求解能力、化归与转化思想，属于中档题．11.已知函数2()sin sin ()2f x x x x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭02πα<<时，1()3f α=，则cos2=α（ ）A. --C.36-D. 36±-【答案】C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换将函数化简为()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，因为1()3f α=，得到1sin 233πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，根据同角三角函数的基本关系求出cos 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭，再用两角差的余弦公式求出cos2α.【详解】解：由题可知2()sin sin ()22f x x x x ππ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭2cos sin 2x x x =+1sin 2cos 2)2x x =+ sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则1()sin 233f παα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 因为02πα<<，所以22333ππαπ-<-<， 所以由1sin 2033πα⎛⎫-=> ⎪⎝⎭可知0232ππα<-<，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭3=， 则cos 2cos 233ππαα⎡⎤⎛⎫=-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos 2cos sin 2sin 3333ππππαα⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1123=-36=-， 故选：C.【点睛】本题考查三角函数的诱导公式、三角恒等变换，考查运算求解能力、化归与转化思想，属于中档题.12.在外接球半径为4的正三棱锥中，体积最大的正三棱锥的高h =（ ） A.143B.134C.72D.163【答案】D 【解析】 【分析】设正三棱锥底面的边长为a ，高为h ，由勾股定理可得22234(4)3h a ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，则22183h h a -=，三棱锥的体积()23384V h h =-，对其求导，分析其单调性与最值即可得解.【详解】解：设正三棱锥底面的边长为a ，高为h ，根据图形可知22234(4)3h a ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，则22180,3h h a -=>08h ∴<<. 又正三棱锥的体积2133V h =)238h h h =-)2338h h =-， 则)23163V h h '=-， 令0V '=， 则163h =或0h =（舍去），∴函数)238V h h =-在160,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在16,83⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，∴当163h =时，V 取得最大值， 故选：D.【点睛】本题考查球与多面体的关系、三棱锥的体积公式、导数的综合应用，考查空间想象能力及运算求解能力，属于难题. 二、填空题：13.函数()2ln f x a x bx =+在点()1,1处的切线方程为4y x m =+，则a b +=______.【答案】3 【解析】 【分析】根据题意得出()()1114f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩，可得出关于a 、b 的方程组，解出这两个量，即可得出+a b 的值.【详解】()2ln f x a x bx =+，则()2af x bx x'=+， 由于函数()2ln f x a x bx =+在点()1,1处的切线方程为4y x m =+，则()()11124f b f a b ⎧='=⎪⎨=+=⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，因此，3a b +=.故答案为：3.【点睛】本题考查利用切线方程求参数的值，解题时要抓住以下两点：①切点处的导数值等于切线的斜率；②切点为函数与切线的公共点.考查计算能力，属于基础题. 14.已知二项式()n a b +的展开式中的二项式系数和为64,(21)n x +2012(1)(1)(1)n n a a x a x a x =+++++⋅⋅⋅++，则0a =________.【答案】1 【解析】 【分析】根据二项式系数求出n ，得二项式为6(21)x +，令1x =-即可求出0a 的值.【详解】解：由二项式()n a b +的展开式中的二项式系数和为64可知264,n=解得6n =，则6(21)(21)n x x +=+260126(1)(1)(1)a a x a x a x =+++++⋅⋅⋅++，令1x =-， 则01a =. 故答案为：1【点睛】本题考查二项式定理，考查运算求解能力.15.已知等边ABC 的边长为2，点G 是ABC 内的一点，且0AG BG CG ++=，点P 在ABC 所在的平面内且满足||1PG =，则||PA 的最大值为________.【答案】2313+ 【解析】 【分析】由0AG BG CG ++=，可知点G 为ABC 的重心，以AB 所在的直线为x 轴，中垂线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，表示出,,A B G 的坐标，设(,)P x y ，由||1PG =可知P 在以G 为圆心，1为半径的圆上，根据点与圆上的点的距离最值求出||PA 的最大值. 【详解】解：由0AG BG CG ++=，可知点G 为ABC 的重心. 以AB 所在的直线为x 轴，中垂线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则(1,0)A -，(1,0),B 3G ⎛ ⎝⎭.设(,)P x y ，由||1PG =可知P 为圆22313x y ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭上的动点，所以||PA的最大值为||113AG +==+.故答案为：13+ 【点睛】本题考查平面向量的线性运算、三角形重心的性质、圆的性质，考查数形结合思想与运算求解能力.16.已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的右焦点为F ，左顶点为A ，O 为坐标原点，以OF 为直径作圆交双曲线的一条渐近线于点P ，且||||PA PF =，则双曲线的离心率e =________.【答案】2 【解析】 【分析】由题意可知(c,0)F ，则以OF 为直径的圆的方程为22224c c x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，取其中一条渐近线by x a=，联立直线与圆的方程，求出P 的坐标，再由||||PA PF =即可得到a 、c 的关系式，求出双曲线的离心率.【详解】解：由题可知(,0),A a -(c,0)F ，双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，可取b y x a=， 以OF 为直径的圆的方程为22224c c x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，联立22224b y x a c c x y ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪-+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得2a x cab y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或00x y =⎧⎨=⎩（舍去） 可得2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭.由||||PA PF =，222222a ab a ab a c c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭可得22c a a c-=，即222,c ac a -=220,e e --=(2)(1)0e e ∴-+=，解得2e =或1e =-（舍去）， 故双曲线的离心率2e =. 故答案为：2【点睛】本题考查双曲线的定义与性质、圆的方程、直线与圆的位置关系，考查化归与转化思想及运算求解能力. 三、解答题：17.高三学生为了迎接高考，要经常进行模拟考试，锻炼应试能力，某学生从升入高三到高考要参加10次模拟考试，下面是高三第一学期某学生参加5次模拟考试的数学成绩表：（1）已知该考生的模拟考试成绩y 与模拟考试的次数x 满足回归直线方程ˆˆˆybx a =+，若高考看作第11次模拟考试，试估计该考生的高考数学成绩；（2）把这5次模拟考试的数学成绩单放在5个相同的信封中，从中随机抽取3份试卷的成绩单进行研究，设抽取考试成绩不等于平均值y 的个数为ξ，求出ξ的分布列与数学期望.参考公式：1221ˆn i ii ni i x y nx y bx nx ==-⋅=-∑∑()()()121,niii ni i x x y y x x ==--=-∑∑ˆˆa y bx=-. 【答案】（1）120分, （2）分布列见解析，期望为95【解析】 【分析】（1）计算出x 和y 的值，然后将表格中的数据代入最小二乘法公式求出b 和a 的值，可求出回归直线方程，然后将11x =代入回归直线方程计算即可；（2）由5次模拟考试的数学成绩有2次与平均成绩一致，即可得随机变量ξ的所有可能取值为1，2，3，分别计算出概率，列出分布列求出数学期望. 【详解】（1）由表可知1234535x ++++==，901001051051001005y ++++==，511902100310541055100i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯∑1525=，522222211234555ii x==++++=∑，则51522155i ii i i x y x yb x x==-⋅=-∑∑21525531005553-⨯⨯=-⨯ 2.5=，a y bx =-100 2.5392.5=-⨯=，故回归直线方程为 2.592.5y x =+. 当11x =时， 2.51192.5120y =⨯+=， 所以估计该考生的高考数学成绩为120分.（2）由题可知随机变量ξ的所有可能取值为1，2，3，则212335C C 3(1)C 10P ξ===；122335C C 3(2)C 5P ξ===；3335(3)110C P C ξ===，故随机变量ξ的分布列为：随机变量ξ的数学期望331()12310510E ξ=⨯+⨯+⨯95=. 【点睛】本题考查回归直线方程的计算、随机变量的分布列及数学期望，考查数据处理能力、运算求解能力，属于基础题．18.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足sin(2)22cos()sin A C A C A+=++.（1）当sin 2sin B A =时，求cos A 的值；（2）若D 为AC 的中点，且4,AC =2BD =，求ABC 的周长.【答案】（1）78，（2）4+ 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换将sin(2)22cos()sin A C A C A+=++化简为sin 2sin C A =，再由正弦定理将角化边，最后利用余弦定理即可求出cos A 的值.（2）设BDC α∠=，则BDA a π∠=-，在BDC ∆和BDA ∆中，分别利用余弦定理求出边a ，即可求出三角形的周长. 【详解】解：（1）由sin(2)22cos()sin A C A C A+=++可得sin(2)2sin 2sin cos()A C A A A C +=++，sin cos()cos sin()A A C A A C ∴+++2sin 2sin cos()A A A C =+⋅+， sin cos()cos sin()A A C A A C ∴-+++2sin A =，sin 2sin C A ∴=，由正弦定理可得2c a =.sin 2sin ,B A =2b a ∴=.则由余弦定理可得222cos 2b c a A bc +-=222(2)(2)222a a a a a+-=⨯⨯78=. （2）设BDC α∠=，则BDA a π∠=-.在BDC 和BDA 中，利用余弦定理可得2222cos BC DC BD DC BD α=+-⋅，2222cos()AB AD BD AD BD πα=+-⋅-，结合（1）可得22222222cos a α=+-⨯⨯，222(2)22222cos()a πα=+-⨯⨯-， 两式相加可得2516a =， 即455a =， 故ABC 的周长125244l a a =++=+. 【点睛】本题考查三角恒等变换、正弦定理、余弦定理，考查化归与转化的思想及运算求解能力，属于中档题．19.已知四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，PD ⊥平面ABCD ，且//,AB CD 2,CD AB =,AD CD ⊥AB AD =.（1）求证：BC ⊥平面PBD ；（2）若PB 与平面ABCD 所成的角为45︒，求二面角D -PC -B 的余弦值.【答案】（1）证明见解析，（2）12【解析】 【分析】（1）取CD 的中点E ，连接AE ，BE ，BD ，证明四边形ABED 为正方形，得到AE BD ⊥，再由线面垂直可得PD AE ⊥，即可证明AE ⊥平面PBD ，再证四边形ABCE 为平行四边形，即可得证.（2）以点D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值.【详解】解：（1）证明：取CD 的中点E ，连接AE ，BE ，BD .2,CD AB =AB DE ∴=.又,AB AD =AD DC ⊥，∴四边形ABED 为正方形，则AE BD ⊥.PD ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，PD AE ∴⊥.,PD BD D =PD ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD .AE ∴⊥平面PBD .,AB EC =//AB EC ，∴四边形ABCE 为平行四边形，//,BC AE ∴BC ∴⊥平面PBD .（2）PD ⊥平面ABCD ，PBD ∴∠为PB 与平面ABCD 所成的角，即45PBD ︒∠=，则PD BD =.设1AD =，则1,AB =2,CD =PD BD ==以点D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0),D (1,0,0),A 2),P (1,1,0)B ，(0,2,0)C.DA ⊥平面PDC ，∴平面PDC 的一个法向量(1,0,0)DA =.设平面PBC 的法向量()111,,m x y z =，(1,1,2),PB =(1,1,0)BC =-，则00PB m BC m ⎧⋅=⎨⋅=⎩11111200x y z x y ⎧+-=⎪⇒⎨-+=⎪⎩，取11x =，则2)m =. 设二面角D -PC -B 的平面角为θ，cos ||||m DA m DA θ⋅∴=2111=++⨯12=.由图可知二面角D -PC -B 为锐角， 故二面角D -PC -B 的余弦值为12. 【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定、直线与平面所成的角和二面角的计算，考查空间想象能力、运算求解能力，属于中档题．20.已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为1,F 2,F 122F F =，过点1F 且斜率2的直线和以椭圆的右顶点为圆心，短半轴为半径的圆相切. （1）求椭圆的方程；（2）椭圆的左、右顶点分为A ，B ，过右焦点2F 的直线l 交椭圆于P ，Q 两点，求四边形APBQ 面积的最大值.【答案】（1）22143x y +=，（2）6 【解析】 【分析】（1）依题意可得c ，即可求出过点1F且斜率为2的直线的方程，设以右顶点(,0)a 为圆心，b 为半径的圆的方程为222()x a y b -+=，根据直线与圆相切，即圆心到直线的距离等于半径得到方程组，解得.（2）设直线l 的方程为1x my =+，()11,,P x y ()22,Q x y ，联立直线与椭圆方程，消去x ，列出韦达定理，四边形APBQ 的面积121||2S AB y y =⨯⨯-，又12y y -=234S m=+t =，则2413S t t=+即可求出函数的最大值.【详解】解：（1）设椭圆的焦距为2c ，故由题可知22c =，则椭圆的左焦点1(1,0)F -，故直线方程为1)2y x =+， 以右顶点(,0)a 为圆心，b 为半径的圆的方程为222()x a y b -+=，则221b a b =-=⎩，220a a ⇒--=， 解得2a =或1a =-（舍去），故24,a =23b =，∴椭圆方程为22143x y +=.（2）设直线l 的方程为1x my =+，()11,,P x y ()22,Q x y ，联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2234690m y my ++-=，显然>0∆，则1226,34m y y m -+=+122934y y m =-+，12y y -==， 故四边形APBQ 的面积121||2S AB y y =⨯⨯-=.1t =≥，则22431t S t =+2413t t=+， 可设函数1()3f t t t =+，则21()30f t t '=->， ∴函数()f x 在[1,)+∞上单调递增，则134t t +≥，则2464S ≤=， 当且仅当0m =时等号成立，四边形APBQ 的面积取得最大值为6.【点睛】本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系，考查函数与方程的思想及运算求解能力，属于中档题．21.已知函数()22()log xf x a x x x=+-()a ∈R .（1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 的导函数()f x '在(1,4)上有三个零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为()2log ,e +∞，单调递减区间为()20,log e .（2）()22ln 2,(ln 2)e --【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域、导函数，当1a =时，即可求出函数()f x 的单调区间；（2）由22()(ln 21)ln 2x a f x x x x ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭，可知2log x e =为()f x '的一个零点，要使()f x '在(1,4)上有三个零点，即方程220ln 2x ax x +=在(1,4)上有2个不同的实数根，参变分离将问题等价转化为函数2ln 2()x g x x ⋅=-与直线y a =有2个交点，利用导数分析2ln 2()xg x x⋅=-的单调性与最值，即可得到a 的取值范围. 【详解】解：（1）()22()log xf x a x x x=+-22ln 221()1ln 2x x x f x a x x -⎛⎫'∴=+- ⎪⎝⎭22(ln 21)(ln 21)ln 2x x a x x x --=+ 22(ln 21)ln 2x a x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.当1a =时，221()(ln 21),ln 2x f x x xx ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭(0,)x ∈+∞，令()0f x '=，得ln 210x -=，则2log e x =，故当()20,log e x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 当()2log ,x e ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，故函数()f x 的单调递增区间为()2log ,e +∞，单调递减区间为()20,log e .（2）由22()(ln 21)ln 2x a f x x x x ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭，可知2log x e =为()f x '一个零点，则方程220ln 2x ax x +=在(1,4)上有2个不同的实数根，即2ln 2x a x⋅=-在(1,4)上有2个不同的实数根，问题等价于函数2ln 2()x g x x⋅=-与直线y a =有2个交点，()22ln 22ln 2()xx x g x x ⋅⋅-'=-22ln 2(1ln 2)x x x⋅-=， 令()0g x '=，则2log x e =，∴当()21,log e x ∈时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，当()2log e,4x ∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，max ()g x ∴()2log e g =2eln 2log e=-2(ln 2)e =-.(1)2ln 2,g =-(4)4ln 2g =-，且(1)(4)g g >，22ln 2(ln 2)e a ∴-<<-，故实数a 的取值范围为()22ln 2,(ln 2)e --.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，考查运算求解能力、函数与方程思想，属于难题．22.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=+.（1）写出曲线C 的直角坐标方程；（2）直线l的参数方程为1222x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且点()0,2P ，求PA PB +的值.【答案】（1）()()22125x y -+-=；（2【解析】 【分析】（1）在曲线C 的极坐标两边同时乘以ρ得22cos 4sin ρρθρθ=+，再由222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩可将曲线C 的极坐标方程化为普通方程；（2）设A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ，将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，列出韦达定理，由此可计算出1212t t t t PA B P =+-+==.【详解】（1）曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=+，即22cos 4sin ρρθρθ=+，将222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩代入上式，可得22240x y x y +--=， 所以曲线C 的直角坐标方程()()22125x y -+-=；（2）把直线l的参数方程1222x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入曲线C 的方程()()22125x y -+-=中，得240t t --=，显然>0∆，设A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ，则124t t =-，121t t +=， 因为点()0,2P 在直线l 上， 所以1212P t t t t A PB =+=-=+==【点睛】本题考查曲线的极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了直线参数方程几何意义的应用，对于这类问题，一般将直线的参数方程与曲线的普通方程联立，利用韦达定理进行求解计算，考查计算能力，属于中等题. 23.设函数()31f x x x =+--. （1）求不等式()23f x x ≥-的解集；（2）若函数()f x 的最大值为m ，且正实数a 、b 满足a b m +=，求1111a b +++的最小值. 【答案】（1）[)0,+∞；（2）23. 【解析】 【分析】（1）去绝对值，分3x <-、31x -≤≤-、1x >-三种情况解不等式()23f x x ≥-，由此可得出该不等式的解集；（2）由题意可得出4a b +=，进而得出()()1116a b +++=，然后将代数式1111a b +++与代数式()()116a b +++相乘，展开后利用基本不等式可求出1111a b +++的最小值.【详解】（1）因为()4,322,314,1x f x x x x -<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪>⎩，当3x <-时，由()23f x x ≥-可得出234x -≤-，解得2x ≥，此时x ∈∅；当31x -≤≤时，由()23f x x ≥-可得出2223x x +≥-，解得0x ≥，此时01x ≤≤； 当1x >时，由()23f x x ≥-可得出234x -≤，解得23x ≥-，此时1x >. 所以不等式()23f x x ≥-的解集为[)0,+∞；（2）根据（1）可知，函数()y f x =的最大值为4，即4a b +=，所以()()1116a b +++=.()()11111111111111611611b a a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫+=++++=+++⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭⎝⎭126⎛≥+ ⎝()122263=+=， 当且仅当2a b ==时，等号成立，所以1111a b +++的最小值为23. 【点睛】本题考查利用绝对值不等式的求解，同时也考查了基本不等式求和的最小值，考查分类讨论思想的应用与计算能力，属于中等题.。
福建高三高中数学月考试卷带答案解析
福建高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.在复平面内，复数对应的点的坐标在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.设全集U=R，集合，，则=（）A．B．C．D．3.右图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是（）A．20＋3πB．24＋3πC．20＋4πD．24＋4π4.在各项均为正数的数列中，对任意都有．若，则等于（）A．256B．510C．512D．10245.设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若、 m、n∥，则∥B．若m∥、n∥、∥，则∥nC．若m⊥、n∥、∥，则m n D．若∥n 、m∥、n∥，则∥6.设，是直角坐标平面内轴正方向上的单位向量，若,且则点的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．线段D．射线7.函数在区间上的图像如图所示，则的值可能是( )A．B．C．D．8.袋中装有m个红球和n个白球, ,现从中任取两球,若取出的两球是同色的概率等于取出的两球是异色的概率,则满足关系的数组的个数为( )A．3B．4C．5D．69.已知函数有两个零点、，则有（ ）A ．B ．C ．D ．10.如图，有6个半径都为1的圆，其圆心分别为O 1(0，0)，O 2(2，0)，O 3(4，0)，O 4(0，2)，O 5(2，2)，O 6(4，2)．记集合M ＝{⊙O i ｜i ＝1，2，3，4，5，6}．若A ，B 为M 的非空子集，且A 中的任何一个圆与B 中的任何一个圆均无公共点，则称 (A ，B ) 为一个“有序集合对”(当A ≠B 时，(A ，B ) 和 (B ，A ) 为不同的有序集合对)，那么M 中“有序集合对”(A ，B ) 的个数是（ ） A ．50 B ．54 C ．58 D ．60二、填空题1.已知有若干辆汽车通过某一段公路，从中抽取辆汽车进行测速分析，其时速的频率分布直方图如图所示，则时速在区间上的汽车大约有 辆.2.设若 ，则的值是 .3.(－)8的展开式中的系数为，则的值为 .4.已知函数和的图象的对称轴完全相同。