(二)整式、分式、二次根式

3 整式与分解因式

【知识梳理】

1.幂的运算性质：①同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即

n m n m a a a +=⋅（m 、n 为正整数）

；②同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即n m n m a a a -=÷（a≠0，m 、n 为正整数，m>n ）；③幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即n

n

n

b a ab =)(（n 为正整数）；④零指数：10=a （a≠0）；⑤负整数指数：n n a

a 1

=

-（a≠0，n 为正整数）； 2.整式的乘除法:

(1)几个单项式相乘除,系数与系数相乘除,同底数的幂结合起来相乘除. (2)单项式乘以多项式,用单项式乘以多项式的每一个项.

(3)多项式乘以多项式,用一个多_项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项. (4)多项式除以单项式,将多项式的每一项分别除以这个单项式.

(5)平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方， 即2

2))((b a b a b a -=-+；

(6)完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）

它们的积的2倍，即2

222)(b ab a b a +±=±

3.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式．

4.分解因式的方法：

⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． ⑵运用公式法：公式22()()a b a b a b -=+- ； 2222()a ab b a b ±+=±

5．分解因式的步骤：分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解． 6．分解因式时常见的思维误区：

⑴ 提公因式时，其公团式应找字母指数最低的，而不是以首项为准． ⑵ 提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉． (3) 分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等

【例题精讲】 【例1】下列计算正确的是（ ）

A. a ＋2a=3a 2

B. 3a －2a=a

C. a 2∙a 3=a 6

D.6a 2÷2a 2=3a 2 【例2】（2008年茂名）任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的

结果是（ ）

A ．m

B ．m

C ．m +1

D ．m -1

【例3】若2

320a a --=，则2

526a a +-= ． 【例4】下列因式分解错误的是( )

A ．2

2

()()x y x y x y -=+- B ．22

69(3)x x x ++=+ C ．2()x xy x x y +=+

D ．2

2

2

()x y x y +=+

【例5】如图7-①，图7-②，图7-③，图7-④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一

行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是________，第n 个“广”字中的棋子个数是________

【例6】给出三个多项式：

21212x x +-，21412x x ++，21

22

x x -．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．

【检测】

1.分解因式：39a a -= ， _____________

22

3=---x x x 2.对于任意两个实数对（a ，b ）和（c ，d ），规定：当且仅当a ＝c 且b ＝d 时， （a ，b ）=（c ，d ）．定义运算“⊗”：（a ，b ）⊗（c ，d ）=（ac －bd ，ad ＋bc ）．若（1，2）

⊗（p ，q ）=（5，0）

，则p ＝ ，q ＝ ． 3. 已知a=1.6⨯109，b=4⨯103，则a 2÷2b=( )

A. 2⨯107

B. 4⨯1014

C.3.2⨯105

D. 3.2⨯1014 ．

4.先化简，再求值：22

()()(2)3a b a b a b a ++-+-，其中22a b =-=．

5．先化简，再求值：22

()()()2a b a b a b a +-++-，其中133

a b ==-，．

4 分式与分式方程

【知识梳理】

1. 分式概念：若A 、B 表示两个整式，且B 中含有字母，则代数式

B

A

叫做分式． 2.分式的基本性质：（1）基本性质：（2）约分：（3）通分： 3．分式运算

4.分式方程的意义，会把分式方程转化为一元一次方程．

5.了解分式方程产生增根的原因，会判断所求得的根是否是分式方程的增根． 【思想方法】

1.类比（分式类比分数）、转化（分式化为整式）

2.检验

【例题精讲】

1．化简：222211

1x x x x x x

-+-÷-+

2．先化简，再求值： 22224242x x x x x x --⎛⎫

÷-- ⎪-+⎝⎭

，其中2x =

3．先化简1

1112

-÷-+x x

x ）（，然后请你给x 选取一个合适值,再求此时原式的值．

4．解下列方程（1）

013522=--+x

x x x （2）416

22222

-=-+-+-x x x x x

5．一列列车自2004年全国铁路第5次大提速后，速度提高了26千米/时，现在该列车从甲站到乙站所用的时间比原来减少了1小时，已知甲、乙两站的路程是312千米，若设列车提速前的速度是x 千米，则根据题意所列方程正确的是( )

A. B.

C. D.