辅助圆 解题精讲
从江苏高考试题谈辅助圆在解题中的运用
知识篇易混知识巧辨析高考使用 2020年5月从江#高％试题谈题中的01■江苏省六合高级中学2019年高考江苏卷第4题考查的是天体运动，好多考生感到比较“东方红一号”运 行速率时有困难，若作一辅助圆，则可顺利攻克这一难点。
同样，当求解其他一些物理问题感到困惑时，通过作辅助圆也会有“豁然开 朗”的感觉，使问题迎刃而解。
现举例剖析可借助辅助圆进行求解的物理问题。
1.借助“轨道圆”求解天体运动问题。
天体绕行星沿圆形轨道做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，则G 十=% —，<2 <蒋天林(特级教师)轨道上)，即'% >'3。
答案:B点评:求解本题 的关键是画出变轨前的“轨道圆％,以便解得'=-该圆形轨道称为“轨道圆'! !(2019年高考江苏卷)％970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆形轨道绕地球运动。
如图％所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为 '%、'2，近地点到地心的距离为厂，地球比较'％、'3的大小。
2.借助“等时圆”求解时间问题。
在一竖直圆面内，从竖直直径上端沿不同方向放置一些长短不同的光滑弦，下端都在同一竖直圆周上，则物体从静止开始沿不同弦从上端滑到下端，所用时间相等。
该圆 称为“等时圆'! 2 一间新房要盖屋顶，为了使下落的雨滴能够以 最短的 时间淌离屋顶(屋顶的底边长度相同)，则所盖屋顶的顶角应为如图 3所示四种情况中的(假设雨滴沿屋顶下淌时是在光滑的斜坡上由静止下滑)( )-质量为$，引力常量为G 。
贝1]()。
A. B.C.图3D.解析：作等时圆O 如图4所示A 点为A. '% >'2 ,'%解析：由题意知“东方红一号”在近地点的速率大于在远地点的速率，即'% >'2 "设“东方红一号”在轨道半径为 < 的圆形轨道上运行的速率为'3，根据万有引力提供向心力斜面与圆弧分别交于圆的最低点，将四个斜面画在一起，它们的底边是AB ，使得'CAB = %5°， 'DAB = 30°，'EAB =45°,'"AB = 60°,四个N 、D 、$、"四点。
高中物理力学辅助圆法
高中物理力学辅助圆法
在高中物理力学中，辅助圆法（也称为向心力法）是一种常用的解题方法，适用于求解物体沿着圆形轨迹运动时所受的向心力、离心力等问题。
具体步骤如下：
1. 画出物体所在的圆形轨迹，并标明物体的运动方向。
2. 标出物体所受的所有力，包括向心力、重力、摩擦力等。
3. 将所有力沿着圆形轨迹的切线和半径分解，得到切向分量和径向分量。
4. 对于切向分量，根据牛顿第二定律F=ma，可得出物体在切向方向上的加速度。
5. 对于径向分量，根据圆周运动公式a=v/r，可得出物体在径向方向上的加速度。
6. 根据圆周运动公式v=rω和a=rα，可以求出物体的角速度ω和角加速度α。
7. 根据物体所受的力学条件，如恒定速率、匀加速、平衡等，可以求出未知量，如向心力大小、摩擦系数等。
需要注意的是，在使用辅助圆法时，需要将所有力分解成切向分量和径向分量，并且要注意角速度和角加速度的正负符号。
此外，还需要掌握圆周运动的相关公式，以便进行计算。
辅助圆 (解题精讲
5、如图,在等腰梯形ＡBCD中,AB∥ＣD,AB=9９8,CD＝1001,AD=１９９9,点P在线段ＡD上,满足条件得∠BPC=90°得点Ｐ得个数为()
A、0Ｂ.1Ｃ.2１D.不小于3得整数
(全国初中数学联赛题)
三·四点共圆
1·若有一个四边形对角互补,则四边形得四个顶点四点共圆。
【例3】如图;已知H就是△ＡＢＣ三条高得交点,连结DＦ,DE,EＦ,求证:H就是△DEF得内心。
6。如图,AＤ、ＢE就是锐角三角形得两条高,Ｓ△AＢＣ=1８,S△DEC=2,则CＯSC等于( )
Ａ.3B、C.D.
8。如图,已知△ABC中,AH就是高,AT就是角平分线,且TD⊥ＡB,TＥ⊥ＡＣ。
求证:(１)∠AＨＤ=∠AHＥ;(2)(陕西省竞赛题)
１在凸四边形ABCＤ得BC边上取两点E,F,Ｅ比F离B更近,如果∠BＡE=CDF∠EＡF＝∠FDE证明:∠FAC=∠EDB
5五点共圆(7４56)
【例7】如图,已知在凸四边形ABCDＥ中,∠BAE＝３,BＣ=CD=DＥ,且∠BCＤ=∠CDE=.求证:∠BAC=∠ＣAＤ＝∠DAK,
(全国初中数学联赛题)
课外训练
A组
１.如图,正方形ABCD得中心为O,面积为1９8９cｍ２,P为正方形内一点,且∠OPB=4５°,ＰA:PB=5:14,则PB得长为、
2如图在ABＣ中,AB＝AＣ,D就是BC边上任意一点就是C点关于直线AD得对称点,B与AＤ交与P试问当D在ＢC(除BC中点外)上运动时,AＤ·AP得值有何变化?请加以证明。
3等边ＡＢＣ中,D,E分别就是BＣ,ＣＡ边上得点,且BD=CＥ=CD。连接BE,ＣＤ交于P,证明:CP垂直AD。
３.运用四点共圆得判定方法:(1)若一个四边形得一组对角互补,则它得四个顶点共圆。
初中数学竞赛精品标准教程及练习66辅助圆
初中数学竞赛精品标准教程及练习66辅助圆辅助圆是数学竞赛中一个重要的几何概念，在初中数学竞赛中也有相应的考察。
辅助圆是指在解决一个几何问题时，引入一个与原图形相关的圆，通过利用圆的性质来简化问题或推导出解决问题的关键步骤。
在这篇文章中，我们将介绍一些常见的辅助圆构造和应用，并通过练习题来帮助读者更好地理解和应用辅助圆的方法。
一、辅助圆的定义和性质辅助圆有以下几个关键性质：1.辅助圆的圆心和半径与原图形的一些关键元素有关；2.通过辅助圆，我们可以推导出一些关键的几何关系；3.辅助圆一般是在原图形的内部或外部构造的。
二、辅助圆的常见构造和应用1.内切圆和外接圆辅助圆中最常见的是内切圆和外接圆的构造。
当我们在几何问题中遇到一个三角形时，我们可以构造三角形的内切圆和外接圆来帮助我们解决问题。
内切圆是指与三角形的三边都相切的圆，其圆心与三角形内心重合，半径为内切圆半径。
我们可以利用内切圆的性质来简化问题，比如求三角形的面积、周长和角度等。
外接圆是指与三角形的三个顶点都在同一圆上的圆，其圆心为三角形的外心，半径为外接圆半径。
通过外接圆的性质，我们可以简化问题，比如求三角形的面积、周长和角度等。
2.相切圆和割圆除了内切圆和外接圆，我们还可以构造其他的辅助圆来解决问题。
相切圆是指与图形的其中一边或一些点相切的圆，通过相切圆的性质，我们可以求出一些关键的几何关系。
割圆是指与图形相交于一点，并且与图形的一些边相切的圆，通过割圆的构造和性质，我们可以推导出一些几何关系。
3.切线圆和中位线圆除了上述常见的辅助圆外，还有一些其他类型的辅助圆。
切线圆是指与图形的一些边相切的圆，并且与图形的其他边都有公共点。
中位线圆是指与图形的一条中位线相切的圆，通过中位线圆的构造，我们可以得到一些关键的几何关系。
三、辅助圆的练习题1.【例题】在三角形ABC中，角BAC=60°，O为三角形的内心。
设OC与AB的交点为D，求证：BD=AB-BD。
精心构造辅助圆,解决问题少困难
精心构造辅助圆 解决问题少困难圆是几何中具有美学价值的一种图形，不仅曲线光滑圆润，美丽迷人，是美好象征的化身，而且几何性质众多，在解决诸多数学问题中，显示出非常重要的作用，有圆的参与，将会使一个比较困难的问题简单起来，所以，在解决一些与圆有关的问题中，要深入挖掘圆的信息，精心构造辅助圆，利用圆的几何性质和圆的方程，发挥出圆的价值，让这些问题迎刃而解，实现“精心构造辅助圆，解决问题少困难”的理想目标.一、利用方程，构造圆在平面上涉及动点轨迹的问题中，直接求解问题比较困难时，可以先考虑建立直角坐标系，特别是有垂直条件与对称条件时，就更要考虑解析法，求出动点的轨迹方程，如果满足圆方程的结构特点，就可以构造圆，让圆的几何性质闪耀光彩，使问题得到解决.例1. （2016届北京西城期末理科）如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =.如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得=PE PF λ⋅成立，那么λ的取值范围是（ ）（A ）(0,7)（B ）(4,7)（C ）(0,4)（D ）(5,16)- 图1解：以D 为坐标原点，DC 所在直线建立直角坐标系，设点(,)P x y ，则点(0,4),(6,4)E F ，所以(0,4),=(6-x,4-y)PE x y PF =--，由=PE PF λ⋅得动点P 的轨迹方程是：22(3)(4)9x y λ-+-=+，所以动点P 的轨迹是一个以（3,4）为圆心， 9λ+为半径的圆，所以“在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得=PE PF λ⋅成立”等价于“圆与正方形四条边有且仅有6个不同交点”，当且仅当3913λ<+<，解得：04λ<<，所以选C.评析：通过解析法揭穿了动点P 的几何意义，为实现问题的转化起到了桥梁作用，通过几何背景的分析，抽象代数特征，促使问题圆满解决，其间，由代数方程，构造了一个圆，将原问题转化为直线与圆的位置关系讨论，从而建立起了不等式，实现了向量问题坐标化，几何问题代数化的转化目标.从而减少了解题的困难程度. 例2.直线:(2)l y k x =+与曲线2:465C y x x =----有且仅有两个不同公共点.求实数k 的取值范围.解：由曲线2:465C y x x =----的方程可以构造出半圆：22(3)(+4)4x y -+=且4y ≤-. E FD P C A BE FD P C A B x y 图2如图所示：要使直线l 与曲线C 有且仅有2个公共点，则需AB AC k k k <≤其中AB 为半圆的切线，(1,4)C -，半圆的圆心到直线:(2)l y k x =+的距离是2342202372,211k kd k k ++-±==⇒=+由图可知：20237=21AB k --，43AC k =- 所以实数k 的取值范围是202374(,]213--- 评析：解决本题的关键是由曲线C 的方程构造半圆，然后由图形抽象代数条件，完全回避了探究较复杂的一元二次方程在区间[1,5]上有两个不等实根的条件.所以在解决解析几何的问题时，一定要分析曲线方程的结构特点，抓住构造几何图形的机会，将会让图形闪耀光辉.相关问题：1.（2019届北京昌平区高三上期末理科）设点12,F F 分别为椭圆22:195x y C +=的左、右焦点，点P 是椭圆上任意一点，若使得12PF PF m ⋅=成立的点恰好是4个，则实数m 的值可以是（ ） BA ．B ．C ．5D ．8 2.（2019届北京西城区高三上期末理科） 设双曲线22: 13y C x -=的左焦点为F ，右顶点为A . 若在双曲线C 上，有且只有2个不同的点P 使得=PF PA λ⋅成立，则实数λ的取值范围是____． （-2,0）二、利用定义，构造圆圆的定义是：在平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.即动点满足一定点和一定长的轨迹可以生成圆，在解决问题的过程中，如能构造出这样的几何条件，就可以构造辅助圆，将原问题转化为圆的问题求解，可能使复杂问题简单化.例3. 设直线：，圆，若在圆C 上存在两点，在直线 上存在一点M ，使得，则的取值范围是（ ）A. [18,6]-B. [652,652]-+C. [16,4]-D. [652,652]---+解：考虑极端情形：当,MP MQ 是圆C 的切线时，如果此时的M 点轨迹与直线有公共点，那 么对于,MP MQ 不都是圆C 的切线时，都能在直线上存在符合条件的M 点.所以“在圆C 上存 在两点，在直线上存在一点M ，使得”等价于“当,MP MQ 是圆C 的切线时，M 点的轨迹与直线有公共点”.而当,MP MQ 是圆C 的切线时，易证：四边形MPCQ 是正方形，所 以MC 的长是定值2，且C 为定点，因此，动点M 的轨迹是以C 为圆心，2为半径的圆， C 123l 340x y a 22 (2)2C x y ：,P Q l 90PMQ a l l ,P Q l 90PMQ l AD C B即M 点的轨迹方程是22(2)4x y -+=，直线2164a ≤⇒-≤≤，所以选C.评析：根据极端性原理，抓住几何条件构造点M 的圆轨迹是解决本题的关键，而构造圆的关键在于构造定值（即半径）与配套的定点（即圆心），所以在解决解析几何问题时，要时刻关注定值的出现于定点的出现，特别是在解决有关椭圆、双曲线问题中，要紧扣椭圆、双曲线定义，关注定值的相关信息与定点的相关信息.例4.过点(1,2)P --作圆22:(3)(4)1C x y -+-=的两切线,PA PB ,其中，,A B 为切点，求直线AB 的方程.解：由圆的切线性质可知：=PA PB ，所以由圆的定义可知：,A B 在以PA 为直径，P 为圆心的圆上，=PA PB =于是可得圆P 的方程：22(1)(2)52x y +++=，将圆C 的方程与圆P 的方程相减可得公共弦AB 所在的直线方程为：812710x y +-=评析：本题的解决中利用了等长线段构造辅助圆，从而出现了两圆公共弦的大好时机.具有一个公共定点的等长线段的另一个端点在一个圆上，这就是圆定义的灵活运用，在解决问题中要注意这些信息.相关问题：已知椭圆C: 22143x y +=的左右焦点分别是12,F F ,点P 是椭圆C 上的动点，N 是线段1F P 的延长线上一点，点M 是2NPF ∠的平分线上一点，且20PM F M ⋅=,直线:34150l x y --=与x 轴、y 轴交点分别为,A B ，求ABM ∆面积的最大值. 1258三、利用垂直，构造圆圆有一个重要性质是：直径上的圆周角是直角.反过来说，直角三角形的直角顶点在以斜边为直径，斜边中点为圆心的圆上，这显然是一个真命题.这也是构造辅助圆的依据，所以当垂直条件出现时，要注意辅助圆的构造，可能使原问题转化为圆的问题，从而获得解题思路. 例5. 已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4解：由于，所以可以构造一个圆：点P 在以AB 为直径的圆上，记此圆为圆O ，点P 又在圆C 上，所以“圆上存在点，使得”等价于“圆O 与圆C 有公共点”， 所以1146m CO m m -≤≤+⇒≤≤，所以的最大值为6.选B.评析：从垂直条件出发，构造了一个辅助圆，实现了将原问题转化为两圆位置关系的转化目标，使问题轻松获解，其间表现出辅助圆的重要作用. l ()()22:341C x y -+-=(),0A m -()(),00B m m >C P 90APB ∠=m 90APB ∠=C P 90APB ∠=m例6.过点(0,4)P 的直线l 交椭圆22:14x C y +=于不同两点,A B （A 在PB 之间），O 为坐标原点.当90PAO ∠=，求直线l 的斜率.解：按照通常用到的方法，将直角用斜率之积为-1或用向量的数量积为0写出坐标关系，再用直线与曲线联立，出韦达定理，代入求值.但是在直角中不涉及,A B 两点坐标，只涉及A 点的坐标，所以直曲联立与韦达定理不好使.基于此，需要变换思路，由直角构造圆，点A 在PO 为直径的圆上，于是得到下列解法：设00(,)A x y ，则2200(2)4x y +-=，220044x y +=，消去0x 得：002,23y y ==-（舎），0x =l的斜率是24k -=24k -== 评析：由此题的解答可见：由垂直条件构造辅助圆是构造方程的主要依据，这种方法仅是直曲联立用韦达定理方法的补充，不能迷信它.比如将本题的条件90PAO ∠=改为90AOB ∠=，就没有必要构造辅助圆了，直接用斜率之积为-1或用向量的数量积为0，写出坐标关系，直曲联立出韦达定理，代入求值比较简单.相关问题：设点P 是双曲线22:1169x y C -=上一点，12,F F 是双曲线C 的左右焦点，且120PF PF ⋅=,求点P 到x 轴的距离. 95四、利用换元，构造圆由于圆的方程是特殊的二元二次方程，特殊性表现在两个方面：一是没有两元的交叉项，二是两元的二次项系数相等。
初中数学解题中辅助圆的应用探析
初中数学解题中辅助圆的应用探析【摘要】初中数学解题中辅助圆的应用探析是指在初中数学学习中，如何运用辅助圆来更好地解决数学问题。
本文从辅助圆在解决初中数学问题中的作用、如何帮助解决几何问题、在三角形和圆的性质证明中的应用等方面展开探讨。
通过分析辅助圆在简化数学解题中的作用，探讨了辅助圆的重要性和如何提高学生辅助圆运用的能力。
未来, 辅助圆在数学学习中仍有广阔的发展空间，对学生提出更高要求。
深入研究和探索辅助圆的应用，对于提升学生数学解题能力和数学学习的深度和广度都具有积极的意义。
【关键词】初中数学、解题、辅助圆、探析、作用、几何问题、三角形、圆的性质证明、简化、重要性、学生能力、未来发展。
1. 引言1.1 初中数学解题中辅助圆的应用探析在初中数学学习中，辅助圆是一个非常重要的概念。
它可以帮助我们更好地理解和解决各种数学问题，特别是在几何学和圆的性质证明中起着至关重要的作用。
本文将从辅助圆在解决初中数学问题中的作用、如何帮助解决几何问题、在三角形中的应用、在圆的性质证明中的应用以及如何简化数学解题等方面进行探讨。
在数学解题中，辅助圆可以起到辅助的作用，通过构造辅助圆来简化问题。
特别是在解决几何问题中，我们经常会使用辅助圆来构造辅助线，辅助角度等，从而推导出问题的解答。
在三角形中，辅助圆可以帮助我们证明三角形的各种性质，如中线、高线等。
在圆的性质证明中，辅助圆也扮演着非常重要的角色，通过构造切线、相交角、相等弧等，来证明圆的各种性质。
通过掌握辅助圆的使用方法，我们可以更快更准确地解决数学问题，提高解题效率。
初中数学解题中辅助圆的应用至关重要，对学生的数学能力以及理解能力都有很大的提升作用。
希望学生们能够认识到辅助圆的重要性，多加练习，提高自己的辅助圆运用能力，为今后的数学学习打下良好的基础。
展望未来，辅助圆在数学学习中的应用必将更加广泛，我们应该不断探索其更多的应用领域，拓展我们的数学思维。
2. 正文2.1 辅助圆在解决初中数学问题中的作用在初中数学解题中，辅助圆是一个非常重要的工具，它可以帮助我们更好地理解和解决各种数学问题。
初数-构造辅助圆解题教法解析
■七 口工 思路： .1 ADCB^AFCB ADAB^ADAF InllSlll FD=BD=FB zDBF=60° zCBD=30° izUlE^ Example
在平面直角坐标系中，已知A (-3, 0) , B (1, 0),点P
在y轴上，且4ABP为直角三角形，NAPB=90° .请问满
足条件的点P有几个？并求出它们的坐标.
思路：作以AB为直径的圆，P在圆 与y轴的交点上，根据圆的定义和 勾股定理即可求P坐标
例题 Example
二、作三角形的外接 园
总结：直角三角形斜边即为直角三 角形外接圆半径
求证：ZCPO=ZDPO.
思路：切线长定理可知，OA^AP,
AM±OP,可得AM2=OM・MP,由
相交弦定理可知CM.MD=AM. MB, 因此可得CM.MD=OM.MP,所以C、
圆，由CO=BO即
Example
三、运用四点共圆的判定方法构造辅助 国 （不在11月月考范围内）
总结：若四边形A5CD的一组对边A3、DC的延长线相交于居
LilI心角关系定理：同B0或等国中, “知一推二”
周角定理及推论
1 .圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
2 .推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等.
3 .推论2:半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
4 .推论3:如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角
思路：连DF, EF,寻找PD、PE、PF之间的
・关系，证明△PDF-Z\PFE,而发现P、D、B、
中考复习讲义：三种构造辅助圆解题的模型
中考热点:三种构造辅助圆解题的模型一、问题导读“圆”是一个完美的图形，在初中数学中具有丰富内容，其中大部分是与角度相关性质，如在圆周角中能轻易找到，等角和直角并与圆心角联系也比较紧密，通过在图形中构造辅助圆往往能获得意想不到的效果，如果题目中出现了以下条件：三点及三点以上到同一点距离相等，作辅助圆；同一侧有相等的角，或者需要构造出相等的角时，作辅助圆；若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆．在这些情况下，借助圆去解决一些问题都是非常好的一个选择，下面举例说明这三种构造辅助圆解题的模型应用。
二、典例精析类型1 根据共端点等线段模型，根据圆的定义构造圆1.如图，已知OA＝OB＝OC，且∠AOB＝k∠BOC，则∠ACB是∠BAC的（）A．k/2倍 B．k倍 C．2k D．1/k【分析】由OA＝OB＝OC，得到A，B，C在以O为圆心的同一个圆上，则∠AOB＝2∠ACB，∠BOC＝2∠BAC，而∠AOB＝k∠BOC，即可得到∠ACB＝k∠BAC．【解答】∵OA＝OB＝OC，∴A，B，C在以O为圆心的同一个圆上，如图，∴∠AOB＝2∠ACB，∠BOC＝2∠BAC，而∠AOB＝k∠BOC，即2∠ACB＝k2∠BAC，∴∠ACB＝k∠BAC．故选：B．2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E 为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（）A．1.5 B．1.2 C．2.4 D．以上都不对【分析】先依据勾股定理求得AB的长，然后依据翻折的性质可知PF＝FC，故此点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FP⊥AB时，点P到AB的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用相似三角形的性质求解即可．【解答】如图所示：当PE∥AB．在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴由勾股定理可求得AB＝10，由翻折的性质可知：PF＝FC＝2，∠FPE＝∠C＝90°．∵PE∥AB，∴∠PDB＝90°．由垂线段最短可知此时FD有最小值．又∵FP为定值，∴PD有最小值．又∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADF，∴△AFD∽△ABC．∴AF/AB=DF/BC，即4/10=DF/8，解得：DF＝3.2．∴PD＝DF﹣FP＝3.2﹣2＝1.2．故选：B．3.如图2所示,在凸四边形ABCD中,AB=BC=BD,∠ABC=80°,则∠ADC的度数为____度【解析】∵AB＝BC＝BD，得到A，C，D在以B为圆心的同一个圆上，∴∠ACD=1/2∠ABD, ∠DAC=1/2∠DBC,∵∠ABC=∠ABD +∠DBC =80°,∴∠ACD+∠DAC=1/2∠ABD+1/2∠DBC=1/2(∠ABD+∠DBC)= 1/2×80°=40°,∴∠ADC＝180°﹣（∠DAC+∠ACD）＝180°﹣40°＝140°．故答案为：140．4. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，若∠BAC＝25°，∠CAD＝75°，则∠BDC＝度，∠DBC＝_____度．【解析】法一：∵AB＝AC＝AD，∴点B，C，D在以A为圆心的圆上，∵∠BAC＝25°，∴∠BDC＝1/2∠BAC＝12.5°，∵∠CAD＝75°，∴∠DBC＝1/2∠CAD＝37.5°．故答案为：12.5，37.5．法二：∵AB＝AC＝AD，∴∠ADB＝∠ABD，∠ACB＝∠ABC，∠ADC＝∠ACD，∵∠BAC＝25°，∠CAD＝75°，∴∠ACB＝（180°﹣25°）÷2＝77.5°，∠DAB＝∠DAC+∠CAB＝100°，∠ADC＝∠ACD＝（180°﹣75°）÷2＝52.5°，∴∠ADB＝（180°﹣100°）÷2＝40°，∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝52.5°﹣40°＝12.5°，∠DCB＝∠DCA+∠ACB＝52.5°+77.5°＝130°，∴∠DBC＝180°﹣∠DCB﹣∠BDC＝180°﹣130°﹣12.5°＝37.5°．∴∠BDC＝12.5°，∠DBC＝37.5°．类型2 直角模型，依据直径所对的圆周角是直角，构造三角形的外接圆解题5. 如图所示，矩形ABCG与矩形CDEF全等，点BCD在一条直线上，∠APE的顶点P在线段BD上移动，使得∠APE为直角的点P的个数是_____个．【分析】∵∠APE的顶点P在线段BD上移动，且∠APE为直角，∴点P也在以AE为直径的⊙O的圆上运动；∴以AE为直径作⊙O，⊙O与BD的交点即为所求．【解答】∵点BCD在一条直线上，∠APE的顶点P在线段BD上移动，∠APE为直角，∴点P在以AE为直径的⊙O的圆上运动，∴点P就是⊙O与BD的交点，由图示知，BD与⊙O有2个交点．故答案为：2．【点评】本题主要考查了圆周角定理：直径所对的圆周角是直角．解答该题时，采用了“数形结合”的数学思想．6. 已知：如图，直尺的宽度为2，A、B两点在直尺的一条边上，AB＝6，C、D两点在直尺的另一条边上．若∠ACB＝∠ADB＝90°，则C、D两点之间的距离为_____．【分析】由∠ACB＝∠ADB＝90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径，可得A，B，C，D 在以AB为直径的圆上，C，D即是此圆与直尺的交点，设E为AB中点，可得EC是半径为3，然后作EF⊥CD交CD于F，根据垂径定理可得：CD＝2CF，然后由勾股定理求得CF的长，继而求得答案．【解答】设E为AB中点，∵∠ACB＝∠ADB＝90°，∴A，B，C，D在以AB为直径的圆上，连接DE，CE，则CE＝DE＝1/2AB＝3，作EF⊥CD交CD于F，∴CD＝2CF，∵AB∥CD，∴EF＝2，在Rt△CFE和Rt△DFE中，CF＝√5，∴CD＝2√5．故答案为：2√5．【点评】此题考查了圆周角定理，垂径定理以及勾股定理等知识．此题拿度适中，解题的关键是由∠ACB＝∠ADB＝90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径，得到A，B，C，D 在以AB为直径的圆上．7. 已知Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是AB边上的动点（与点A、B不重合），Q是BC边上的动点（与点B、C不重合）（1）如图，当PQ∥AC，且Q为BC的中点时，求线段CP的长；（2）当PQ与AC不平行时，△CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ的长的取值范围；若不可能，请说明理由．【分析】（1）根据平行线等分线段定理得到点P是斜边的中点，再直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，要求线段CP的长，只需根据勾股定理求得AB的长．（2）若PQ与AC不平行，则要使△CPQ成为直角三角形．只需保证∠CPQ＝90°．根据直径所对的圆周角是直角，则分析以CQ为直径的圆和斜边AB的公共点的情况：一是半圆和AB相切；二是半圆和AB相交．首先求得相切时CQ的值，即可进一步求得相交时CQ 的范围．【解答】（1）在Rt△ABC中∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝13；∵Q是BC的中点，∴CQ＝QB；又∵PQ∥AC，∴AP＝PB，即P是AB的中点，∴Rt△ABC中，CP＝13/2．（2）当AC与PQ不平行时，只有∠CPQ为直角，△CPQ才可能是直角三角形．以CQ为直径作半圆D，①当半圆D与AB相切时，设切点为M，连接DM，则DM⊥AB，且AC＝AM＝5，∴MB＝AB﹣AM＝13﹣5＝8；设CD＝x，则DM＝x，DB＝12﹣x；在Rt△DMB中，DB＝DM+MB，即（12﹣x）＝x+8，解之得x＝10/3，∴CQ＝2x＝20/3；即当CQ＝20/3且点P运动到切点M位置时，△CPQ为直角三角形．②当20/3＜CQ＜12时，半圆D与直线AB有两个交点，当点P运动到这两个交点的位置时，△CPQ为直角三角形③当0＜CQ＜20/3时，半圆D与直线AB相离，即点P在AB边上运动时，均在半圆D外，∠CPQ＜90°，此时△CPQ不可能为直角三角形．∴当20/3≤CQ＜12时，△CPQ可能为直角三角形．8.已知平面直角坐标系中两定点A(-1,0),B(4,0),抛物线y=ax+bx-2过点A,B,顶点为C,点P(m,n)为抛物线上一点,其中n<0.(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标;(2)当∠APB为钝角时,求m的取值范围.【分析】（1）利用待定系数法求出解析式，再利用x＝0得出y的值即可得出C点坐标．（2）因为AB为直径，所以当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，进而得出m的取值范围；]解:(1) （1）∵抛物线y＝ax+bx﹣2（a≠0）过点A，B，∴a-b-2=0, 16a+4b-2=0，解得：a=1/2, b=-3/2，∴抛物线的解析式为：y＝1/2x﹣3/2x﹣2，当x＝0时，y＝﹣2，∴C（0，﹣2）；(2)∵A(-1,0),B(4,0),抛物线与y轴的交点D的坐标为(0,-2),如图，抛物线的对称轴与x轴的交点为M(3/2,0),∵AD=1+2=5,AB=(4+1) =25,BD=4+2=16+4=20,则AD+BD=AB,由勾股定理的逆定理,知△ABD是直角三角形,∠ADB=90°,以M为圆心,以MA为半径作圆,则☉M经过点D,则☉M内抛物线上的所有的点都可以是P点,且使∠APB为钝角,根据抛物线及圆的对称性,☉M与抛物线的另一个交点坐标为(3,-2),则满足条件的m的取值范围为:-1<m<0或3<m<4.类型3 四点共圆模型(1)若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆；(2)动点对定线段所张的角为定值.9. 如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，m），点B的坐标为（0，n），其中m＞n＞0．点P为x轴正半轴上的一个动点，当∠APB达到最大时，直接写出此时点P的坐标________．【解析】当以AB为弦的圆与x轴正半轴相切时，对应的∠APB最大，根据垂径定理和勾股定理即可求解．当以AB为弦的圆与x轴正半轴相切时，作CD⊥y轴，连接CP、CB．∵A的坐标为（0，m），点B的坐标为（0，n），10. 在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA＝45°时，点C的坐标为_____．【分析】如解答图所示，构造含有90°圆心角的⊙P，则⊙P与y轴的交点即为所求的点C．注意点C有两个．【解答】设线段BA的中点为E，∵点A（4，0）、B（﹣6，0），∴AB＝10，E（﹣1，0）．（1）如答图1所示，过点E在第二象限作EP⊥BA，且EP＝1/2AB＝5，则易知△PBA为等腰直角三角形，∠BPA＝90°，PA＝PB＝5√2；以点P为圆心，PA（或PB）长为半径作⊙P，与y轴的正半轴交于点C，∵∠BCA为⊙P的圆周角，∴∠BCA＝1/2∠BPA＝45°，即则点C即为所求．过点P作PF⊥y轴于点F，则OF＝PE＝5，PF＝1，在Rt△PFC中，PF＝1，PC＝5√2，由勾股定理得：CF＝7，∴OC＝OF+CF＝5+7＝12，∴点C坐标为（0，12）；（2）如答图2所示，在第3象限可以参照（1）作同样操作，同理求得y轴负半轴上的点C坐标为（0，﹣12）．综上所述，点C坐标为（0，12）或（0，﹣12）．故答案为：（0，12）或（0，﹣12）．【点评】本题难度较大．由45°的圆周角联想到90°的圆心角是解题的突破口，也是本题的难点所在．11. 已知△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝2，D是边AB上一中点，将△CAD绕C逆时针向旋α得到△CEF，其点E是点A的对应点，点F是点D的对应点．DF与AE交于点M；当α从90°变化到180°时，点M运动的路径长为______．【分析】先证明A、D、M、C四点共圆，得到∠CMF＝∠CAD＝45°，即可推出点M在以AC 为直径的⊙O上，运动路径是弧CD，利用弧长公式即可解决问题．【解答】∵CA＝CE，CD＝CF，∴∠CAE＝∠CEA，∠CDF＝∠CFD∵∠ACD＝∠ECF，∴∠ACE＝∠DCF，∵2∠CAE+∠ACE＝180°，2∠CDF+∠DCF＝180°，∴∠CAE＝∠CDF，∴A、D、M、C四点共圆，∴∠CMF＝∠CAD＝45°，∴∠CMD＝180°﹣∠CMF＝135°．（补充：不用四点共圆的方法：由△OAC∽△ODM，推出△AOD∽△COM，推出∠OCM＝∠OAD，即可证明∠CMF＝∠CDM+∠DCM＝∠CAO+∠OAD＝∠CAD＝45°）∵O是AC中点，连接OD、CM．∵AD＝DB，CA＝CB，∴CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∵A、D、M、C四点共圆，∴当α从90°变化到180°时，点M在以AC为直径的⊙O上，运动路径是弧CD，【点评】本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、平行线的判定和性质、弧长公式、四点共圆等知识，解题的关键是发现A、D、M、C四点共圆，最后一个问题的关键，正确探究出点M的运动路径，记住弧长公式，属于中考压轴题．三、总结提升圆是我们初中阶段学习的唯一一个曲线图形，除了它本身的基本性质和计算常被考察到以外，还可以用作辅助线。
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第二十五讲 辅助圆
在处理平面几何中的许多问题时，常需要借助于圆的性质，问题才得以解决．
而我们需要的圆并不存在(有时题设中没有涉及圆；有时虽然题设涉及圆，但是此圆并不是我们需要用的圆)，这就需要我们利用已知条件，借助图形把需要的实际存在的圆找出来，添补辅助圆的常见方法 1．利用圆的定义添补辅助圆； 2．作三角形的外接圆；
3．运用四点共圆的判定方法：(1)若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆． (2)同底同侧张等角的三角形，各顶点共圆．
(3)若四边形ABCD 的对角线相交于P ，且PA ·PC=PB ·PD ，则它的四个顶点共圆． (4)若四边形ABCD 的一组对边AB 、DC 的延长线相交于P ，且PA ·PB ＝PC ·PD ，则它的四
个顶点共圆． 【例题求解】
一·利用圆的定义添加辅助圆
【例1】 如图，若PA=PB ，∠APB=2∠ACB ，AC 与PB 交于点P ，且PB=4，PD=3，则AD ·DC 等于( )
A ．6
B ．7
C ．12
D ．16
思路点拨 作出以P 点为圆心、PA 长为半径的圆，为相交弦定理的应用创设了条件．
注：到一个定点等距离的几个点在同一个圆上，这是利用圆的定义添辅助圆的最基本方法． 变式练习：如图，已知OA=OB=OC ，且∠AOB=k ∠BOC ，则∠ACB 是∠BAC 的( ) A ．k 2
1倍 B ．是k 倍 C ．k 2 D ．
k
1
二·作三角形的外接圆
【例2】 如图，在△ABC 中，AB=AC ，任意延长CA 到P ，再延长AB 到Q ，使AP=BQ ，求证：△ABC 的外心O 与A ，P ，Q 四点共圆．
思路点拨 先作出△ABC 的外心O ，连PO 、OQ ，将问题转化为证明角相等．
变式练习：
5．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=998，CD=1001，AD=1999，点P 在线段AD 上，满足条件的∠BPC=90°的点P 的个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2 1
D ．不小于3的整数
(全国初中数学联赛题)
1·若有一个四边形对角互补，则四边形的四个顶点四点共圆。
【例3】如图；已知H是△ABC三条高的交点，连结DF，DE，EF，求证：H是△DEF的内心．
变式练习：如图，直线AB和AC与⊙O分别相切于B、C，P为圆上一点，P到AB、AC的距离分别为4cm、6cm，那么P到BC的距离为．
(全国初中数学联赛题)
思路点拨连DF，EF，寻找PD、PE、PF之间的关系，证明△PDF∽△PFE，而发现P、D、B、F与P、E、C、F分别共圆，突破角是解题的关键．
注：圆具有丰富的性质：(1)圆的对称性；
(2)等圆或同圆中不同名称量的转化；
(3)与圆相关的角；(4)圆中比例线段．
适当发现并添出辅助圆，就为圆的丰富性质的运用创造了条件，由于图形的复杂性，有时在图中并不需画出圆，可谓“图中无圆，心中有圆”．
2·同底同侧有相等顶角的三角形，则各顶点四点共圆（若能证明其两顶角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。
）
【例4】如图，在△ABC中，高BE、CF相交于H，且∠BHC=135°，G为△ABC内的一点，且GB=GC，∠BGC＝3∠A，连结HG，求证：HG平分∠BHF．
思路点拨经计算可得∠A=45°，△ABE，△BFH皆为等腰直角三角形，只需证∠GHB=∠GHF=°．
由∠BGC=3∠A=135°=∠GHC，得B、G、H、C四点共圆，运用圆中角转化灵活的特点证明．
注：许多直线形问题借助辅助圆，常能降低问题的难度，使问题获得简解、巧解或新解．变式练习：已知等腰三角形ABC，AB=AC，AD垂直BC于D，DE垂直AC于E，F是DE 中点，求证：AF垂直于BE。
3把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；
【例5】如图，P是⊙O外一点，PA和PB是⊙O的切线，A，B为切点，P O与AB交于点M，过M任作⊙O的弦CD．求证：∠CPO=∠DPO．
4把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四
【例6】如图，P 是⊙O 外一点，PA 切⊙O 于A ，PBC 是⊙O 的割线，AD ⊥PO 于D ．求证：CD
PC
PD PB =．
思路点拨 因所证比例线段不是对应边，故不能通过判定△PBD 与△PCD 相似证
明．PA 2
=PD ·PO=PB ·PC ，B 、C 、O 、D 共圆，这样连OB ，就得多对相似三角形，以此达到证明的目的．
注：四点共圆既是一类问题，又是平面几何中一个重要的证明方法，它和证明三角形全等和相似三角形有着同等重要的地位，这是因为，某四点共圆，不但与这四点相联系的条件集中或转移，而且可直接运．用圆的性质为解题服务． 5五点共圆（7456）
【例7】如图，已知在凸四边形ABCDE 中，∠BAE=3α，BC=CD=DE ，且∠BCD=∠CDE=α2180-ο．求证：∠BAC=∠CAD=∠DAK ，
(全国初中数学联赛题)
课外训练 A 组
1．如图，正方形ABCD 的中心为O ，面积为1989cm 2
，P 为正方形内一点，且∠OPB=45°，PA ：PB=5：14，则PB 的长为 ．
2．如图，在△ABC 中，AB=AC=2，BC 边上有100个不同的点P l 、P 2，…P 100，记C P BP AP m i i i i ⋅+=2（i=1，2，…100），则10021m m m +++Λ= ．
3．设△ABC 三边上的高分别为AD 、BE 、CF ，且其垂心H 不与任一顶点重合，则由点A 、B 、C 、D 、E 、F 、H 中某四点可以确定的圆共有( ) A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个
(2000年太原市竞赛题)
6．如图，AD 、BE 是锐角三角形的两条高，S △ABC = 18，S △DEC =2，则COSC 等于( ) A ．3 B ．3
1 C ． 32
D ．43
8．如图，已知△ABC 中，AH 是高，AT 是角平分线，且TD ⊥AB ，TE ⊥AC ．
求证：(1)∠AHD=∠AHE ；(2)CE
CH
BD BH =
(陕西省竞赛题)
1在凸四边形ABCD 的BC 边上取两点E,F ，E 比F 离B 更近，如果∠BAE=CDF ∠EAF=∠FDE 证明：∠FAC=∠EDB
2如图在∆ABC 中，AB=AC ，D 是BC 边上任意一点1C 是C C AD 交与P 试问当D 在BC （除BC 中点外）上运动时，AD ·AP 3等边∆ABC 中，D ，E 分别是BC,CA 边上的点，且BD=CE=
1
2
CD.CP 垂直AD 。
4如图,NS 是๏O 的直径，弦AB 垂直NS 于M ，P 为弧ANB 上异于N 的一点，PS 交AB 与R ，PM 的延长线交๏O 与Q ，求证：RS>MQ
C 组
1．如图，已知点P 是⊙O P
C
B
D
⊙O A 、B 两点，与ST 交于点C ．求证：
)11(211PB
PA PC += (国家理科实验班招生试题)
2．已知BE,CF 是锐角∆ABC 的两条高，求证：∠ABE 的平分线，∠ACF 的平分线与线段EF 的中垂线相交于一点。
3已知三角形ABC 中，∠ABC<∠ACB ，BD,CE 是角平分线，求证：CE<BD
4 ∆ABC 中，M 为AC 的中点，BH ⊥AC 于H ，AP,CQ 垂直于∠B 的平分线，垂足为P,Q 求证：M,H,P,Q 四点共圆。
参考答案例1 B
练习1 D
例2
练习2 C 例3
练习3
例4
练习4
例5
例6
例7
课外练习A组：
B组：
1
2
3
4
C组
1
2
3
4
证明：如图，不妨设∠BAC≥∠CBA，P在BQ上，延长AP交BC于D，依题设，A、D关于BQ 对称，P为AD为中点，又M为AC中点，故PM平行BC，∠QPM=∠QBC, 因 BH⊥HC，BQ⊥QC，故B、C、Q、H四点共圆，于是∠QHC=∠QBC=∠QPM,，可知H、M、P、Q四点共圆。