辅助圆问题
2024年中考数学总复习第一部分考点精讲第六单元圆微专题辅助圆问题
图①
微专题 辅助圆问题
情形2：∠C为锐角
动点轨迹：如图②，点C在以点O为圆心，圆心角为360°－2α 的优弧 AB 上运动(不含A，B两点)；
图②
微专题 辅助圆问题
情形3：∠C为钝角
动点轨迹：如图③，点C在以点O为圆心，圆心角为(360°－2α) 的劣弧 AB上运动(不含A，B两点).
解：这四个点所在的圆如解
例7题图
图所示．
例7解题图
【判断依据】__圆__内__接__四__边__形__的__对__角__互__补______．
微专题 辅助圆问题
二阶 利用辅助圆求最值 方法一 点圆最值(2021.10、17，2020.17)
方法解读
已知平面内一定点D和⊙O，点E为⊙O上一动点，设点O与点D 之间的距离为d，⊙O的半径为r.
微专题 辅助圆问题
(2)异侧型：如图③，由点A，B，C，D构成的四边形中，若∠D ＋∠B＝180°，则A，B，C，D四点共圆，∠A＋∠C＝180°.
提示：可用反证法证明 图③
微专题 辅助圆问题
例6 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为平面内一点，
∠ADC＝∠BAC，过点C作CD的垂线，
ห้องสมุดไป่ตู้
微专题 辅助圆问题
位置关系 点D在⊙O内
点D在⊙O上
点D在⊙O外
图示
DE的最大值 此时点E的位置
DE的最小值
d＋r
2r
d＋r
连接DO并延长交⊙O于点E
r－d
0
d－r
此时点E的位置 连接OD并延长 点E与点D重合 连接OD交⊙O
人教版九年级数学上册《构造辅助圆解决几何问题》PPT
E
D F
解：∵∠ABC =90°，
BE平分∠ABC，
B
C
∴∠ABE =45°.
∴∠ACE=∠ABE =45°.
三、利用“四点共圆”构造辅助圆
例3 如图，四边形ABCD为矩形,BE平分∠ABC, 交AD于点F,∠AEC =90°.
(1)A、B、C、E四点共圆吗？
(2)求∠ACE的度数；
(3)求证：BE⊥ED .
A
E
D F
证明：连接BD.
∵四边形ABCD是矩形，
∴A、B、C、D四点共圆，
B
C
并且BD是直径.
又∵A、B、C、E四点共圆，
∴A、B、C、D、E五点共圆.
∴∠BED为直角，即BE⊥ED.
三例、3 利如用图“，四四点边共形圆A”BC构D造为辅矩助形圆,BE平分∠ABC, 交AD于点F,∠AEC =90°.
纵观例题及其变式，其共同之处都存在着同一个结 构，如图所示，即共端点的三条等线段，它让我们联想到 “所有到定点的距离等于定长的点都在以定点为圆心、定 长为半径的同一个圆上”
建立模型：遇等线（共端点），作辅圆
拓展训练
1. 在平面直角坐标系xoy中，已知点A（-2,0），B(0,3)， 在坐标轴上找一点P，使得△ABP是等腰三角形，则这样的点共 有 ８ 个．
一、利用圆的定义来构造辅助圆
变式：（2019江西九江模拟） 如图，已知AB＝AC＝AD， ∠CBD＝2∠BDC68° B.88° C.90° D.112°
解题策略： 利用圆的定义构造圆 （圆可以看成是所有到定点的距离等于定长的点的集合）
一、利用圆的定义来构造辅助圆
通过构造辅助圆，巧妙地将线段的最值问
题转化为圆外一点与圆上的点的最大距离与最
中考数学复习讲义课件 中考考点全攻略 第六单元 圆 小专题5 辅助圆问题
2．圆内接四边形对角互补，因此遇到四边形 ABCD中的动点问题，若满足其中一组对角角度之 和等于180°，可考虑作它的外接圆解题．如图3， 在四边形ABCD中，满足∠ABC＋∠ADC＝180°， 可知四边形ABCD有外接圆⊙O，其圆心O为任意 一组邻边的垂直平分线的交点(点O为AB和BC垂直 平分线的交点)．
【经典母题】 如图，△ABC为等边三角形，AB＝2.若P为△ABC内 一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度 的最小值为_______.
[解析] ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2. ∵∠PAB＝∠ACP， ∴∠PAC＋∠ACP＝60°，∴∠APC＝120°，
[思维方法] 根据线段BA与线段BQ关于线段BP所 在的直线对称可知，点Q在以点B为圆心，AB长为 半径的圆上运动，即点Q的运动轨迹是一段圆弧， 然后画出草图，再矩形的性质求出∠ABQ＝120°， 再由矩形的性质和轴对称性可知，△BOQ≌△DOC， 最后根据S阴影部分＝S四边形ABQD－S扇形ABQ ＝S四边形ABOD＋S△BOQ－S扇形ABQ可求出答 案．
小专题5辅助圆问题
类型一 定点定长作圆 方法解
读 平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定， 则点B的轨迹在以点A为圆心，AB长为半径的圆上 (如图1)．依据的是圆的定义：圆是所有到定点的 距离等于定长的点的集合．
推广：如图2，点E为定点，点F为线段BD上的动 点(不含点B)，将△BEF沿EF折叠得到△B′EF，则点 B′的运动轨迹为以点E为圆心，以线段BE为半径的 一段圆弧．若遇到求最值问题，可利用两点间线段 最短或垂线段最短解决。
12．如图，正方形ABCD的边长为4，等边△EFG内 接于此正方形，且E，F，G分别在边AB，AD， BC上，若AE＝3，求EF的长．
专题(十)一辅助圆定长定角问题
假期作业专题（十）——辅助圆定长定角问题 姓名_____________学号_________ 知识点：当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的轨迹是一段圆弧。
方法：①见定长，定角（如图中的AB 是定长，AB 所对的角是一个定值）②知定圆，找圆心（当直角时定长是直径），现“圆”形。
例题赏析：如图，在矩形ABCD 中，AD=12，AB=10，且在矩形内部存在一动点P ，使得PC PD ⊥，连接BP ，试求BP 的最小值。
分析：由已知条件可得无论P 移动到什么位置时，始终保持︒=∠90DPC ，所以可知CD 是定长，DPC ∠是定角，可知点P 在以CD 是直径的圆上运动解：如图，以CD 为直径作圆O ，可知点P 在左侧的半圆上运动，当点B 、P 、O 共线时，BP 的值最小。
︒=∠90BCD ，521==CD CO 1312522=+=∴BO8513=-=-=∴OP BO BP例2：如图，ABC ∆为等边三角形，AB=2，若P 为ABC ∆内一动点，且满足ACP PAB ∠=∠，求点P 的运动的路径长。
分析：因为ACP PAB ∠=∠，所以︒=∠+∠=∠+∠60PAB CAP ACP CAP︒=︒-︒=∠∴12060180APC ，从而可得AC 为定长，APC ∠为定角，可得点P 的运动轨迹为定圆。
解：如图，︒=∠120APC ，可得︒=∠-︒=∠1202360APC AOC作AC OE ⊥，可得121==AC AE ，︒=∠30OAE ， 通过勾股定理可得：332=OA （过程省略了） 所以点P 的运动路径长为：9343322360120ππ=⨯⨯练习1：已知等腰直角三角形ABC 中，︒=∠90C ，AC=BC=4，D 为线段AC 上一动点，连接BD ，过点C 作BD CH ⊥于点H ，连接AH ，求AH 的最小值。
练习2：如图，ABC ∆为等边三角形，AB=2，若P 为ABC ∆内一动点，且满足ACP PAB ∠=∠，求线段PB 的长度的最小值。
辅助圆三大类
目标：解决中考填空压轴题，部分大题压轴 对象：中考尖子105/120，圆相关知识全部学完 三种圆： 一：圆定义（等线段，共端点）+例题1 二：三点共圆（定线段对定角度）+例题2 三：四点共圆（对角互补、同弦等角）+例题3、 例题4
前言： 辅助圆是一种思想，是一个 工具！不利用辅助圆我们照样可 以完成题目，但是利用辅助圆可 以使得我们更方便快捷解题！
辅助圆基本类型： 一、利用定义：等线段，共端 点
例题1：在边长为2的菱形中，∠A=60°，M是AD边上的 中点，N是AB边上的一个动点，将△AMN沿着MN所在直线 翻折，得到△A’MN,连接A’C,则A’C的最小值是多少?
辅助圆基本类型： 二、三点共圆：定线段对定角 度ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例题2：在△ABC中，∠C=45° ，AB=2，求△ABC，面积的最 大值.
辅助圆基本类型： 三、四点共圆：对角互补，同弦等 角
∠A+∠C=180°
∠D=∠C
例题3：如图，等边△PQR内接于正方形ABCD，其中，点 P、Q、R分别在边AD、AB、DC上，M是QR的中点，求证： 不论等边△PQR怎样运动，点M为不动点.
例题4：如图点E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E 做DE的垂线交∠ABC的外角平分线与点F； 求证：FE=DE
精心构造辅助圆,解决问题少困难
精心构造辅助圆 解决问题少困难圆是几何中具有美学价值的一种图形，不仅曲线光滑圆润，美丽迷人，是美好象征的化身，而且几何性质众多，在解决诸多数学问题中，显示出非常重要的作用，有圆的参与，将会使一个比较困难的问题简单起来，所以，在解决一些与圆有关的问题中，要深入挖掘圆的信息，精心构造辅助圆，利用圆的几何性质和圆的方程，发挥出圆的价值，让这些问题迎刃而解，实现“精心构造辅助圆，解决问题少困难”的理想目标.一、利用方程，构造圆在平面上涉及动点轨迹的问题中，直接求解问题比较困难时，可以先考虑建立直角坐标系，特别是有垂直条件与对称条件时，就更要考虑解析法，求出动点的轨迹方程，如果满足圆方程的结构特点，就可以构造圆，让圆的几何性质闪耀光彩，使问题得到解决.例1. （2016届北京西城期末理科）如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =.如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得=PE PF λ⋅成立，那么λ的取值范围是（ ）（A ）(0,7)（B ）(4,7)（C ）(0,4)（D ）(5,16)- 图1解：以D 为坐标原点，DC 所在直线建立直角坐标系，设点(,)P x y ，则点(0,4),(6,4)E F ，所以(0,4),=(6-x,4-y)PE x y PF =--，由=PE PF λ⋅得动点P 的轨迹方程是：22(3)(4)9x y λ-+-=+，所以动点P 的轨迹是一个以（3,4）为圆心， 9λ+为半径的圆，所以“在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得=PE PF λ⋅成立”等价于“圆与正方形四条边有且仅有6个不同交点”，当且仅当3913λ<+<，解得：04λ<<，所以选C.评析：通过解析法揭穿了动点P 的几何意义，为实现问题的转化起到了桥梁作用，通过几何背景的分析，抽象代数特征，促使问题圆满解决，其间，由代数方程，构造了一个圆，将原问题转化为直线与圆的位置关系讨论，从而建立起了不等式，实现了向量问题坐标化，几何问题代数化的转化目标.从而减少了解题的困难程度. 例2.直线:(2)l y k x =+与曲线2:465C y x x =----有且仅有两个不同公共点.求实数k 的取值范围.解：由曲线2:465C y x x =----的方程可以构造出半圆：22(3)(+4)4x y -+=且4y ≤-. E FD P C A BE FD P C A B x y 图2如图所示：要使直线l 与曲线C 有且仅有2个公共点，则需AB AC k k k <≤其中AB 为半圆的切线，(1,4)C -，半圆的圆心到直线:(2)l y k x =+的距离是2342202372,211k kd k k ++-±==⇒=+由图可知：20237=21AB k --，43AC k =- 所以实数k 的取值范围是202374(,]213--- 评析：解决本题的关键是由曲线C 的方程构造半圆，然后由图形抽象代数条件，完全回避了探究较复杂的一元二次方程在区间[1,5]上有两个不等实根的条件.所以在解决解析几何的问题时，一定要分析曲线方程的结构特点，抓住构造几何图形的机会，将会让图形闪耀光辉.相关问题：1.（2019届北京昌平区高三上期末理科）设点12,F F 分别为椭圆22:195x y C +=的左、右焦点，点P 是椭圆上任意一点，若使得12PF PF m ⋅=成立的点恰好是4个，则实数m 的值可以是（ ） BA ．B ．C ．5D ．8 2.（2019届北京西城区高三上期末理科） 设双曲线22: 13y C x -=的左焦点为F ，右顶点为A . 若在双曲线C 上，有且只有2个不同的点P 使得=PF PA λ⋅成立，则实数λ的取值范围是____． （-2,0）二、利用定义，构造圆圆的定义是：在平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.即动点满足一定点和一定长的轨迹可以生成圆，在解决问题的过程中，如能构造出这样的几何条件，就可以构造辅助圆，将原问题转化为圆的问题求解，可能使复杂问题简单化.例3. 设直线：，圆，若在圆C 上存在两点，在直线 上存在一点M ，使得，则的取值范围是（ ）A. [18,6]-B. [652,652]-+C. [16,4]-D. [652,652]---+解：考虑极端情形：当,MP MQ 是圆C 的切线时，如果此时的M 点轨迹与直线有公共点，那 么对于,MP MQ 不都是圆C 的切线时，都能在直线上存在符合条件的M 点.所以“在圆C 上存 在两点，在直线上存在一点M ，使得”等价于“当,MP MQ 是圆C 的切线时，M 点的轨迹与直线有公共点”.而当,MP MQ 是圆C 的切线时，易证：四边形MPCQ 是正方形，所 以MC 的长是定值2，且C 为定点，因此，动点M 的轨迹是以C 为圆心，2为半径的圆， C 123l 340x y a 22 (2)2C x y ：,P Q l 90PMQ a l l ,P Q l 90PMQ l AD C B即M 点的轨迹方程是22(2)4x y -+=，直线2164a ≤⇒-≤≤，所以选C.评析：根据极端性原理，抓住几何条件构造点M 的圆轨迹是解决本题的关键，而构造圆的关键在于构造定值（即半径）与配套的定点（即圆心），所以在解决解析几何问题时，要时刻关注定值的出现于定点的出现，特别是在解决有关椭圆、双曲线问题中，要紧扣椭圆、双曲线定义，关注定值的相关信息与定点的相关信息.例4.过点(1,2)P --作圆22:(3)(4)1C x y -+-=的两切线,PA PB ,其中，,A B 为切点，求直线AB 的方程.解：由圆的切线性质可知：=PA PB ，所以由圆的定义可知：,A B 在以PA 为直径，P 为圆心的圆上，=PA PB =于是可得圆P 的方程：22(1)(2)52x y +++=，将圆C 的方程与圆P 的方程相减可得公共弦AB 所在的直线方程为：812710x y +-=评析：本题的解决中利用了等长线段构造辅助圆，从而出现了两圆公共弦的大好时机.具有一个公共定点的等长线段的另一个端点在一个圆上，这就是圆定义的灵活运用，在解决问题中要注意这些信息.相关问题：已知椭圆C: 22143x y +=的左右焦点分别是12,F F ,点P 是椭圆C 上的动点，N 是线段1F P 的延长线上一点，点M 是2NPF ∠的平分线上一点，且20PM F M ⋅=,直线:34150l x y --=与x 轴、y 轴交点分别为,A B ，求ABM ∆面积的最大值. 1258三、利用垂直，构造圆圆有一个重要性质是：直径上的圆周角是直角.反过来说，直角三角形的直角顶点在以斜边为直径，斜边中点为圆心的圆上，这显然是一个真命题.这也是构造辅助圆的依据，所以当垂直条件出现时，要注意辅助圆的构造，可能使原问题转化为圆的问题，从而获得解题思路. 例5. 已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4解：由于，所以可以构造一个圆：点P 在以AB 为直径的圆上，记此圆为圆O ，点P 又在圆C 上，所以“圆上存在点，使得”等价于“圆O 与圆C 有公共点”， 所以1146m CO m m -≤≤+⇒≤≤，所以的最大值为6.选B.评析：从垂直条件出发，构造了一个辅助圆，实现了将原问题转化为两圆位置关系的转化目标，使问题轻松获解，其间表现出辅助圆的重要作用. l ()()22:341C x y -+-=(),0A m -()(),00B m m >C P 90APB ∠=m 90APB ∠=C P 90APB ∠=m例6.过点(0,4)P 的直线l 交椭圆22:14x C y +=于不同两点,A B （A 在PB 之间），O 为坐标原点.当90PAO ∠=，求直线l 的斜率.解：按照通常用到的方法，将直角用斜率之积为-1或用向量的数量积为0写出坐标关系，再用直线与曲线联立，出韦达定理，代入求值.但是在直角中不涉及,A B 两点坐标，只涉及A 点的坐标，所以直曲联立与韦达定理不好使.基于此，需要变换思路，由直角构造圆，点A 在PO 为直径的圆上，于是得到下列解法：设00(,)A x y ，则2200(2)4x y +-=，220044x y +=，消去0x 得：002,23y y ==-（舎），0x =l的斜率是24k -=24k -== 评析：由此题的解答可见：由垂直条件构造辅助圆是构造方程的主要依据，这种方法仅是直曲联立用韦达定理方法的补充，不能迷信它.比如将本题的条件90PAO ∠=改为90AOB ∠=，就没有必要构造辅助圆了，直接用斜率之积为-1或用向量的数量积为0，写出坐标关系，直曲联立出韦达定理，代入求值比较简单.相关问题：设点P 是双曲线22:1169x y C -=上一点，12,F F 是双曲线C 的左右焦点，且120PF PF ⋅=,求点P 到x 轴的距离. 95四、利用换元，构造圆由于圆的方程是特殊的二元二次方程，特殊性表现在两个方面：一是没有两元的交叉项，二是两元的二次项系数相等。
巧解初中几何问题——以构造辅助圆为例
２０２３年１２月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀巧解初中几何问题以构造辅助圆为例◉江苏省靖江市外国语龙馨园学校㊀徐㊀乐㊀㊀圆是初中数学平面几何中非常重要的一个知识点,与初中数学中其他几何问题有着紧密的联系．所以在解决几何问题时,一些无法利用常规思路求解的综合问题可以尝试通过构造辅助圆的方式来解决．因此,在初中数学几何问题解题教学中,教会学生如何正确使用辅助圆来巧解几何问题是教师需要重点研究的问题．下面将通过例题对辅助圆的应用进行说明．１角的问题例１㊀在әA B C 中,A B ＝A C ,øA B C 的平分线交A C 于点D ,已知B C ＝B D ＋A D ,求øA 的度数．分析:根据题中所给已知条件,可以判定әA B C为等腰三角形,但是想要根据已知条件通过常规方式求øA 的度数存在一定困难．结合题中所给的角平分线,可以联想圆中共顶点的角的问题,作әA B D 的外图１接圆,与әA B C 的B C 边交于点E ,连接D E ,如图１．根据B D 是øA B C 的角平分线,可以知道A D ＝D E ,同时还能得到这个辅助圆为四边形A B E D 的外接圆．根据圆内接四边形的对角互补的性质可得øA B C ＝øE D C ,根据әA B C 为等腰三角形可知øA B C ＝øE D C ＝øC ,于是可得øB E D ＝２øC ,且әE D C 为等腰三角形．所以D E ＝C E ,则A D ＝D E ＝C E ,然后结合B C ＝B E ＋A D 得到B D ＝B E ,所以øB D E ＝øB E D ＝２øC ．这样就可以在әB D E 中计算øC 的度数,即１２øC ＋２øC ＋２øC ＝１８０ʎ,所以øC ＝４０ʎ,最后计算得出øA ＝１００ʎ．在初中数学几何问题中构造辅助线需要充分结合试题的情况来进行．本题中辅助圆的构造就是结合了本题所给定的角平分线的关系,根据相等的圆周角所对应的弧和弦长相等的性质来实现;然后通过辅助圆及相关线段关系来与相关角取得联系;最后利用三角形的性质求解．教师要对学生进行相应的引导,让学生掌握通过角的关系来构造辅助圆,进而借助辅助圆解决问题．２线段长度的问题图２例２㊀如图２所示,在R t әA B C中,A B ʅB C ,A B ＝６,B C ＝４,P 是R t әA B C 内部的一个动点,且满足øP A B ＝øP B C ,则线段C P 的最小值为(㊀㊀)．A．３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀B ．２C ．８１３１３D．１２１３１３图３分析:根据A B ʅB C 可以知道øA B C ＝９０ʎ,结合øP A B ＝øP B C 可得到øA P B ＝９０ʎ,所以әA B P 是直角三角形．根据直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半以及圆的直径所对的圆周角是９０ʎ,可知点P 在以A B 为直径的圆上．以A B 的中点O 为圆心,A B 为直径作圆,如图３所示．这样就可得到当P C 的值最小时,点P 正好在线段O C 上．因为A B ＝６,所以O B ＝３．在R t әO B C 中,B C ＝４,根据勾股定理得到O C ＝５,于是可求出P C 的最小值为２．所以正确答案是选项B ．例２的解题关键是需要判断点P 的轨迹,首先根据试题中所给定的关系得到øA P B ＝９０ʎ,结合直角三角形的性质和圆的性质很容易判断出点P 在以直线A B 为直径的圆上,然后就能够求解最小值．因此,在解题的过程中,只有认真分析题目条件,才能顺利找到解题思路．教师在进行解题教学时需要教会学生如何根据题目中所给定的已知条件来进行分析,从而找到解题思路．很多几何问题都是需要在解题的过程中才能够找到相应的解题思路,并不是通过对试题的观察就能得到解题思路的．因此结合已知条件来对试９７解法探究２０２３年１２月下半月㊀㊀㊀题中存在的关系进行分析,在解题的过程中发现解题思路,是解决问题最好的方式．教师需要引导学生先根据已知条件尝试找到解题的思路,进而解决问题．３三角形相似的问题例３㊀әA B C 中,A D 是øB A C 的外角平分线,交B C 的延长线于点D ,求证:B D D C ＝A BA C．分析:A B ,A C 是әA B C 的两条边,而B D ,D C则是线段B D 上的两条线段,根据所学的知识,要证明B D D C ＝A BA C ,线段成比例关系可以通过证明三角形相似来解决．因此需要将线段B A 延长至点F ,连接D F ,构建出әB A C ʐәB D F ,得到A B A C ＝B DD F,然后证明C D ＝D F 就可以了,从而将证明的关键转化为证明C D ＝D F ．结合题意,øB A C 的外角平分线交B C的图４延长线于点D ,如图４,根据例题１中的方式构造әA C D 的外接圆,B A 的延长线与圆交于点F ,连接D F ．根据圆的性质可以得到C D ＝D F ,通过相似三角形的证明就可以解决问题．几何问题中需要求证的结论存在线段比例关系或者线段等积关系时,都会涉及三角形相似或者全等的证明,通过构造圆为三角形相似或者全等提供条件,实现对问题的求解．在这个过程中,需要充分结合例题１和例题２中辅助圆构造的方式来找到相应的关系．４动点的问题图５例４㊀如图５所示,边长为３的等边三角形A B C ,D ,E 分别是B C ,A C 边上的两个动点,且B D ＝C E ,A D ,B E 交于点P ,求点P 的运动路径长和C P 的最小值．分析:首先需要对点P 的运动路径进行判定．根据等边三角形的相关性质和B D ＝C E 可以得到әA B D ɸәB C E ,这样就得到øC B E ＝øB A D ,然后通过øC B E ＋øA B P ＝６０ʎ得到øB A P ＋øA B P ＝øA P E ＝６０ʎ,于是øA P B ＝１２０ʎ．可以发现在点D 和点E 移动的过程中,øA P B ＝１２０ʎ是恒成立的,所以可以认为点P 在A B 为弦的圆上．假设弦A B 所在圆的圆心为O ,连接O P ,O A ,O B ,根据圆的性质㊁әA B C 的边长为３可计算出圆O 的半径O A ＝３,然后计算出点P 的运动路径长度为２３３π,C P 的最小值为３．解:由A B ＝B C ,øA B D ＝øB C E ,B D ＝C E 得әA B D ɸәB C E ．由øC B E ＋øA B P ＝６０ʎ,得øB A P ＋øA B P ＝øA P E ＝６０ʎ．所以øA P B ＝１２０ʎ．故点P 的运动轨迹是以A B 为弦的圆上的一段弧．图６如图６所示,作әA B P 的外接圆,圆心为O ,连接O A ,O B ,O P ,O C ．由O A ＝O B ,A C ＝B C ,得әA O C ɸәB O C ．所以øO A C ＝øO B C ,øA C O ＝øB C O ＝１２øA C B ＝３０ʎ,øA O C ＝øB O C ＝１２øA P B ＝６０ʎ．故øO A C ＝９０ʎ．根据勾股定理,可得O A ＝３,O C ＝２３．所以,弦A B 所对的弧长为３ˑ２３π＝２３３π;当O ,P ,C 三点共线时,C P 最小,且最小值为３．在三角形的动点问题中,如果动点与一条线段所构成的角度固定,则说明这个动点的轨迹是以这个线段为弦的圆上的一段弧,通过这个关系可以构造辅助圆,然后利用圆的性质来求解问题．本题给定的是正三角形,当然不同的三角形中所呈现的关系可能会存在差别,但是本质没有变化．例如,在例题２中通过计算所得到的角度为９０ʎ的特殊角,这个辅助圆的圆心就在直角三角形的斜边上．例４中这个角度为１２０ʎ,圆心在三角形的外部,通过辅助圆来充分利用圆的相关性质,能够更好地对问题进行求解,实现问题的解决．本文中对辅助圆在初中数学平面几何中的应用进行了总结,并通过相关例题对其用法进行了说明．在初中数学平面几何问题中巧用辅助圆能够优化试题解法,实现快速求解．因此,教师在解题教学的过程中需要对学生进行有效地引导,让学生掌握辅助圆的应用,从而提升解题能力;提升数学素养．Z０８。
隐圆、辅助圆问题
上的动点，且点P不与B、M重全，将线段PA绕点P旋转2，得到线段PQ，
连接CQ并延长与射线BM 交于点D, 求CDB的大小(用含的代数式表示)
A
B
M
D
P
Q C
由BA BC、BM AC故PA PC PQ，点P、C、Q共圆，P为圆心
ACQ 1 APQ ，故BDQ 900
2
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2.等腰+半角
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隐圆、辅助圆问题
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数学 一.隐圆
• 隐圆指的是图中本有圆，只是被隐藏起来了。我们只需要找到，然后画出这个圆就好； • 隐圆是在静态图中存在的； •隐圆的分类： 1.等线段、共端点； 2.等腰 半角； 3.对角互补； 4.等角对等边
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1.等线段、共端点
条件：OA OB OC 结论：A、B、C共圆，O为圆心
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经典例题
如图，在三角形ABC 中，BA BC，BAC ，M是AC中点，P是线段BM
上的动点，且点P不与B、M重全，将线段PA绕点P旋转2，得到线段PQ，
连接CQ并延长与射线BM 交于点D, 求CDB的大小(用含的代数式表示)
A
B
M
D
P
Q C
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经典例题
如图，在三角形ABC 中，BA BC，BAC ，M是AC中点，P是线段BM
ABC的外角平分线于点 F，求证： FE DE
D
C
A
E
F B
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经典例题
如图，E是正方形 ABCD 的边AB上的一点，过点 E作DE的垂线交
ABC的外角平分线于点 F，求证： FE DE
D
A
E
C
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辅助圆-路径
1.如图，平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的直角顶点C落在第二象限．其斜边两端点
A、B分别落在x轴、y轴上，且AB＝12cm，点C与点O的距离的最大值＝_______cm．
20．如图，正方形ABCD的边长为2，E为射线CD上一动点（不与C重合），以CE为边向正方形ABCD外作正方形CEFG，连接DG，直线BE、DG相交于点P，连接AP，则线段AP长度的取值范围是．
33．如图，在正方形ABCD中，BC＝2，E、F分别为射线BC，CD上两个动点，且满足BE ＝CF，设AE，BF交于点G，连接DG，则DG的最小值为．
24.在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），点B（0，2），点O（0，0）．△AOB
绕着O顺时针旋转，得△A′OB′，点A、B旋转后的对应点为A′、B′，记旋转
角为α．
（I）如图1，若α=30°，求点B′的坐标；
（△）如图2，若0°＜α＜90°，设直线AA′和直线BB′交于点P，求证：AA′△BB′；（△）若0°＜α＜360°，求（△）中的点P纵坐标的最小值（直接写出结果即可）．
24．（10分）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（4，0），点B（0，3），把△ABO绕点A顺时针旋转，得△AB′O′，点B，O旋转后的对应点为B′，O′．记旋转角为α．（Ⅰ）如图①，若α＝90°，求BB′的长；
（Ⅱ）如图②，若α＝120°，求点O′的坐标；
（Ⅲ）记K为AB的中点，S为△KO′B′的面积，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
24.（10分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（﹣2，0），
∠OAB=90°，∠AOB=30°，将△OAB绕点O按顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α≤150°），在旋转过程中，点A、B的对应点分别为点A′、B′．（Ⅰ）如图1，当α=60°时，直接写出点A′、B′的坐标；（Ⅱ）如图2，当α=135°时，过点B′作AB的平行线交AA′延长线于点C，连接BC，AB′．
①判断四边形AB′CB的形状，并说明理由，
②求此时点A′和点B′的坐标；
（Ⅲ）当α由30°旋转到150°时，（Ⅱ）中的线段B′C也随之移动，请求出B′C所扫过的区域的面积？（直接写出结果即可）．
28．在平面直角坐标系中，已知AO＝AB＝5，B（6，0）．
（1）如图1，求sin∠AOB的值；
（2）把△OAB绕着点B顺时针旋转，点O、A旋转后对应的点分别为M、N．
①当M恰好落在BA的延长线上时，如图2，求出点M、N的坐标；
②若点C是OB的中点，点P是线段MN上的动点，如图3，在旋转过程中，请直接写
出线段CP长的取值范围．。