随机振动功率谱密度值

模态分析主要目的：
获得结构的固有频Biblioteka ,可避免共振现象的发生当外界激励力的频率等于振动系统的固有频率时， 系统发生共振现象。
模态是结构所固有的一种特性，它与本身的材料 特性，约束方式，结构形状有关，而与输入的加载形 式等激励形式无关。
单自由度系统频响函数分析 粘性阻尼系统
•强迫振动方程及其解
m x c x kx f
3.2.随机振动
离散系统回归方程：
y回 kx b
偏差：
y (kx b)
偏差平方期望：
E（2） E[( y kx b) 2 ]
求偏导：
E (2 ) 0 k
E (2 ) 0 b
偏差平方差期望值最小
2 2 2 2 [E(2 )]min y k 2 x y (1 xy )
X (iw)e iwt d ]dt

T0
lim
1 1 X (iw)[ 2T0 2







T0

lim
1 X (iw) X (i )d 2T0
1 2 X (iw) d 2T0

T0
lim
sx ( )dd


Sx（w）为功率谱密度
•解的形式（s为复数）及拉氏变换：
x Xe
st
..
.
(ms2 cs k ) x(s) f (s)
自由振动
m x c x kx 0
ms cs k 0
2
..
.
s1, 2 0 j 0 1 2
实部：衰减因子，反映系统阻尼 虚部：有阻尼系统的固有频率
1 S x ( ) 2


-
R ( )e i d
随机响应 输入自相关系数
Gin ( ) Rx ( )
经傅里叶变换，时域转换为频域
1 Gin ( ) S x ( ) 1 Gin ( ) S x ( ) 2 2

- -
i R ( )e d R ( )e i d
T0

T0 2 T0 2
1 X (-i ) X (i )eiw d 2T0
2

- T0
lim
X (i ) 2T0
e i d



-
S ( x)e i d
自相关函数是功率谱密度 函数的傅里叶变换
Rx ( )


-
S ( )ei d
由傅里叶变换可知：
阻尼比 范围（0－1） 内为欠阻尼 无阻尼固有频率
c /(2 km)
0 k / m
传递函数
H ( s)
x( s ) 1 2 f ( s) m s cs k
频率响应函数
s jw
H ( ) 1 m 2 jwc k
无阻尼时
H ( )
1 m 2 k
以电阻为例，单位电阻在T0时间，做的功

E( x )
2
T0 2 T0 2
x 2 (t ) d t
当T0较长时，平均功率为：
lim
T0

T0
1 T0 1 T0

T0 2 T0 2
x 2 (t )dt

lim

T0 2 T0 2
1 x(t )dt[ 2


X (i )eiwt d ]dt
系统传递函数 频率响应函数
H ( )
Gout () H () Gin ()
x(t ) x(t )d
iwt t t x(t )[ x(i )eiwt eii d ]dt d
T T0 0
1 2T0 0

T T0 0 2 2 T T0 0 2 2
lim lim

T0

T0 2 T0 2
T0 1 iwt x(i )ei [ 2 x ( t ) e dt]d T0 2T0 2
一、振动系统
定则系统 振动系统 随机系统 定则系统：
参量的变化规律可以用时间确定函数表述的振动系统
随机系统：
无法用时间的确定函数描述，而只能用有关统计性描述的 振动系统
二、随机振动
激励 随机激励（激励不能用确定描述函数表示） 定则激励
随机振动：受随机激励的系统称为随机振动，即使定则系 统 ，受随机激励也是随机振动 。
两时间段相隔

则：Rxy ( ) E[ x(t ) y(t )]
Rx ( ) E[ x(t ) y(t )]
样本函数时间的平均
Rxy ( ) lim Rx ( ) lim
T0
1 T0 1 T0

T0 2 T0 2
x(t ) y(t )d x(t ) x(t )d
如齿轮轴虽然是定则系统，但受随机激励是随机振动
随机激励 随机响应
齿轮轴
三、动力学分析
模态分析 动力学分析
谐响应分析
随机振动分析
3.1、模态分析
模态分析经典定义：将线性时不变系统 振动微分方程组中的物理坐标变换为模 态坐标，使方程组解耦，成为一组以模 态坐标及模态参数描述的独立方程，坐 标变换的变换矩阵为振型矩阵，其每列 即为各阶振型。
工程中把随机过程处理成零平均值
xy (t1 , t2 )
x (t1 , t2 )
E ( x1 y 2 )
x y
1
2
E ( x1 x2 )
x x
1
2
分子成为互相关函数和自相关函数：
Rxy (t1, t2 ) E( x1 y1 ) E[ x(t1 ) y(t2 )]
Rx (t1 , t2 ) E( x1 x2 ) E[ x(t1 ) x(t2 )]
式中
xy
E{[ x E ( x)][y E ( y)]}
x y
两个随机变量可以看做两个不同随机过程取出的
xy (t1 , t2 )
E{[ x E ( x)][y E ( y)]}
x y
式中：x1 x(t1 ), y2 y(t2 ) 若两个随机过程从同一个随机过程取 出 E{[ x1 E ( x1 )][x2 E ( x2 )]} x (t1 , t2 ) x1 x2
傅里叶函数的时移性质
1 X (t ) 2 π



x(i )e it d

1 X (t ) 2 π


x (i )e i ( t ) d
Rx ( ) lim x lim
T T0 0
1 T0 0

T T0 0 2 2 T T0 0 2 2
T0
T0 2 T0 2
功率谱密度（PSD）（Power Spectral Density） 单位频带上的功率，当波的频谱密度乘以一个适 当的系数后将得到每单位频率波携带的功率。
由傅里叶变换可知：
X (i ) x(t )e
it
dt
1 it X (t ) x(i )e d 2 π