湖北省武汉市八年级(上)期中数学试卷

八年级（上）期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列手机屏幕解锁图案中，不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2.下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（）A. 3cm，4cm，8cmB. 8cm，7cm，15cmC. 5cm，5cm，11cmD. 13cm，12cm，20cm3.如图，盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其不变形，这种做法的根据是（）A. 两点之间，线段最短B. 三角形的稳定性C. 长方形的四个角都是直角D. 四边形的稳定性4.在△ABC中，到三边距离相等的点是△ABC的（）A. 三边垂直平分线的交点B. 三条角平分线的交点C. 三条高的交点D. 三边中线的交点5.下列各组条件中，能够判定△ABC≌△DEF的是（）A. ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠FB. AB=DE，BC=EF，∠A=∠DC. ∠B=∠E=90∘，BC=EF，AC=DFD. ∠A=∠D，AB=DF，∠B=∠E6.如图，已知AB=AC=BD，则∠1与∠2的关系是（）A. 3∠1−∠2=180∘B. 2∠1+∠2=180∘C. ∠1+3∠2=180∘D. ∠1=2∠27.等腰三角形的一个角为40°，则它的底角的度数为（）A. 40∘B. 70∘C. 40∘或70∘D. 80∘8.如图，∠1=∠2，要证明△ABC≌△ADE，还需补充的条件是（）A. AB=AD，AC=AEB. AB=AD，BC=DEC. AB=DE，BC=AED. AC=AE，BC=DE9.如图，坐标平面内一点A（2，-1），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 510.如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（）A. m+n>b+cB. m+n<b+cC. m+n=b+cD. 无法确定二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.在平面直角坐标系中，点P（-4，3）关于y轴的对称点坐标为______．12.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，则这个多边形的边数是______．13.以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是______．14.如图，△ABC中，AB=8，BC=10，AC=7，∠ABC和∠ACB的平分线交于点I，IE⊥BC于E，则BE的长为______．15.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点E，与CD相交于点F，H是边BC的中点，连接DH与BE相交于点G，若GE=3，则BF=______．16.定义：如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线，在△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D 在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，请写出∠C所有可能的度数______．三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）17.如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF与DE交于点G，求证：GE=GF．18.如图，在△ABC中，∠A=50°，O是△ABC内一点，且∠ABO=20°，∠ACO=30°，求∠BOC的度数．19.如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC=BE，AD=BC，CF平分∠DCE．试探索CF与DE的位置关系，并说明理由．20.如图所示，在平面直角坐标系中，A（-1，5）、B（-1，0）、C（-4，3）（1）求出△ABC的面积；（2）在图形中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标；（3）是否存在一点P到AC、AB的距离相等，同时到点A、点B的距离也相等．若存在保留作图痕迹标出点P的位置，并简要说明理由；若不存在，请说明理由．21.如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D，E分别在AB，BC上，且AD=BE，BD=AC，过E作EF⊥AB于F．（1）求证：∠FED=∠CED；（2）若BF=52，直接写出CE的长为______．22.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=α，∠BCD=180°-α，BD平分∠ABC．（1）如图，若α=90°，根据教材中一个重要性质直接可得DA=CD，这个性质是______ （2）问题解决：如图，求证AD=CD；（3）问题拓展：如图，在等腰△ABC中，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，求证：BD+AD=BC．23.阅读下列材料，然后解决问题：和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题．（1）如图1，在△ABC中，若AB=12，AC=8，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE，把AB、AC、2AD集中在△ABE中．利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是______；（2）问题解决：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC+∠ADC=180°，E、F分别是边BC，边CD上的两点，且∠EAF=12∠BAD，求证：BE+DF=EF．（3）问题拓展：如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，点D是△ABC外角平分线上一点，DE⊥AC交CA延长线于点E，F是AC上一点，且DF=DB．求证：AC-AE=12AF．24.如图，在平面直角坐标系中，A（-3，0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上．（1）如图，若∠BAO=60°，∠BCO=40°，BD、CE是△ABC的两条角平分线，且BD、CE交于点F，直接写出CF的长______．（2）如图，△ABD是等边三角形，以线段BC为边在第一象限内作等边△BCQ，连接QD并延长，交y轴于点P，当点C运动到什么位置时，满足PD=23DC？请求出点C的坐标；（3）如图，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP 的最小值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、不是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2.【答案】D【解析】解：A、3+4＜8，故以这三根木棒不可以构成三角形，不符合题意；B、8+7=15，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；C、5+5＜11，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；D、12+13＞20，故以这三根木棒能构成三角形，符合题意．故选：D．根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即两短边的和大于最长的边，即可作出判断．本题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．3.【答案】B【解析】解：在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，则分成了两个三角形，利用了三角形的稳定性．故选：B．在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，则分成了两个三角形，据此即可判断．本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．4.【答案】B【解析】解：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知：三角形中到三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．故选：B．题目要求到三边的距离相等，观察四个选项看哪一个能够满足此要求，利用角的平分线的性质判断即可选项D是可选的．本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质；要对选项逐个验证．5.【答案】C【解析】解：如图：A、不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；B、不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；C、符合直角三角形全等的判定定理HL，即能推出△ABC≌△DEF，故本选项正确；D、不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；故选：C．全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，直角三角形全等还有HL，根据以上定理判断即可．本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，直角三角形全等还有HL．6.【答案】A【解析】解：∵AB=AC=BD，∴∠B=∠C=180°-2∠1，∴∠1-∠2=180°-2∠1，∴3∠1-∠2=180°．故选：A．根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠1和∠C之间的关系，再根据三角形外角的性质可得∠1和∠2之间的关系．本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，三角形内角和定理以及三角形外角的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，弄清角之间的数量关系是解决问题的关键，本题难度适中．7.【答案】C【解析】解：当40°为顶角时，底角为：（180°-40°）÷2=70°．40°也可以为底角．故选：C．等腰三角形中相等的角叫底角，另外一个角叫顶角，所以本题有两种情况．本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形中有两个相等的角，叫做底角．8.【答案】D【解析】解：∵∠1=∠2，∴∠C=∠E，∴当AE=AC，DE=BC时，可根据“SAS”判断△ABC≌△ADE．故选：D．根据三角形内角和定理，由∠1=∠2，然后根据“SAS”对各选项进行判断．本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．9.【答案】C【解析】解：如上图：①OA为等腰三角形底边，符合符合条件的动点P有一个；②OA为等腰三角形一条腰，符合符合条件的动点P有三个．综上所述，符合条件的点P的个数共4个．故选：C．根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①OA为等腰三角形底边；②OA为等腰三角形一条腰．本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；利用等腰三角形的判定来解决实际问题，其关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．10.【答案】A【解析】解：在BA的延长线上取点E，使AE=AC，连接EP，∵AD是∠A的外角平分线，∴∠CAD=∠EAD，在△ACP和△AEP中，，∴△ACP≌△AEP（SAS），∴PE=PC，在△PBE中，PB+PE＞AB+AE，∵PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，∴m+n＞b+c．故选：A．在BA的延长线上取点E，使AE=AC，连接EP，证明△ACP和△AEP全等，推出PE=PC，根据三角形任意两边之和大于第三边即可得到m+n＞b+c．本题主要考查三角形全等的证明，全等三角形的性质，三角形的三边关系，作辅助线构造以m、n、b、c的长度为边的三角形是解题的关键，也是解本题的难点．11.【答案】（4，3）【解析】解：点P（-4，3）关于y轴的对称点坐标为（4，3），故答案为：（4，3）．根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．本题考查了关于y轴的对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．12.【答案】7【解析】【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360°，与边数无关．设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式（n-2）•180°与外角和定理列出方程，求解即可．【解答】解：设这个多边形的边数为n，根据题意，得（n-2）×180°=3×360°-180°，解得n=7．故答案为7．13.【答案】30°或150°【解析】解：如图1，∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，∴AB=BC=CD=AD=AE=DE，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，∠AED=∠ADE=∠DAE=60°，∴∠BAE=∠CDE=150°，又AB=AE，DC=DE，∴∠AEB=∠CED=15°，则∠BEC=∠AED-∠AEB-∠CED=30°．如图2，∵△ADE是等边三角形，∴AD=DE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∴DE=DC，∴∠CED=∠ECD，∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=90°-60°=30°，∴∠CED=∠ECD=（180°-30°）=75°，∴∠BEC=360°-75°×2-60°=150°．故答案为：30°或150°．分等边△ADE在正方形的内部和外部两种情况分别求解可得．本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．14.【答案】112【解析】解：如图作△ABC的内切圆，切点分别为E，F，G，∵BE=BF，AF=AG，CE=CG，∴BE==，故答案为．如图作△ABC的内切圆，切点分别为E，F，G，根据切线长定理即可解决问题；本题考查角平分线的性质，三角形的内切圆，切线长定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15.【答案】6【解析】解：连接CG，∵BD=DC，H为BC中点，∴DH为BC垂直平分线，∴BG=CG，∴∠ABE=∠CBE=∠GCB，∵∠ABC=45°，∠ABE=∠CBE，∴∠EGC=∠CBE+∠GCB=45°，∵∠GEC=90°，∴∠ECG=45°=∠EGC，∴GE=CE=3．∵BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点E，∴AE=EC=3，∴AC=6，∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵∠ABC=45°，∴∠DCB=45°=∠DBC，∴BD=DC，在△BDF和△CEF中，∵∠BDC=∠BEC=90°，∠DFB=∠EFC，∴∠DBF=∠ECF，在△BDF和△CDA中∴△BDF≌△CDA（ASA），∴BF=AC=6；故答案为：6；求出BG=GC，求出∠EGC=∠ECG，推出CE=GE，进而利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．本题考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，关键是利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答．16.【答案】20°或40°【解析】解：设∠c=x°．①当AD=AE时，∵2x+x=30+30，∴x=20．②当AD=DE时，∵30+30+2x+x=180，∴x=40．所以∠C的度数是20°或40°．故答案20°或40°．用量角器，直尺标准作30°角，而后确定一边为BA，一边为BC，根据题意可以先固定BA的长，而后可确定D点，再标准作图实验--分别考虑AD为等腰三角形的腰或者底边，兼顾A、E、C在同一直线上，易得2种三角形ABC．根据图形易得x的值．本题考查了等腰三角形的判定和性质，学生学习的理解能力及动手创新能力，知识方面重点考查三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识，是一道很锻炼学生能力的题目．17.【答案】证明：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，∴BF=CE，在△ABF和△DCE中AB=DC∠B=∠CBF=CE∴△ABF≌△DCE（SAS），∴∠GEF=∠GFE，∴EG=FG．【解析】求出BF=CE，根据SAS推出△ABF≌△DCE，得对应角相等，由等腰三角形的判定可得结论．本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．18.【答案】解：延长BO交AC于E，∵∠A=50°，∠ABO=20°，∴∠1=50°+20°=70°，∵∠ACO=30°，∴∠BOC=∠1+∠ACO=70°+30°=100°【解析】延长BO交AC于E，根据三角形内角与外角的性质可得∠1=∠A+∠ABO，∠BOC=∠ACO+∠1，再代入相应数值进行计算即可．本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的外角的性质，关键是掌握三角形内角与外角的关系定理．19.【答案】解：CF⊥DE，CF平分DE，理由是：∵AD∥BE，∴∠A=∠B，在△ACD和△BEC中AD=BC∠A=∠BAC=BE，∴△ACD≌△BEC（SAS），∴DC=CE，∵CF平分∠DCE，∴CF⊥DE．【解析】根据平行线性质得出∠A=∠B，根据SAS证△ACD≌△BEC，推出DC=CE，根据等腰三角形的三线合一定理推出即可．本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识点，关键是求出DC=CE，主要考查了学生运用定理进行推理的能力．20.【答案】解：（1）如图，S△ABC=12×5×3=7.5；（2）如图所示，△A1B1C1即为所求，A1（1，5）、B1（1，0）、C1（4，3）；（3）如图所示，点P即为所求，∵点P到AC、AB的距离相等，∴点P在∠CAB平分线上，∵到点A、点B的距离也相等，∴点P在线段AB的垂直平分线上，∴点P为∠CAB平分线与线段AB的垂直平分线的交点．【解析】（1）根据三点的坐标作出△ABC，再根据三角形的面积公式求解可得；（2）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，再顺次连接即可得；（3）根据已知条件知点P为∠CAB平分线与线段AB的垂直平分线的交点，据此作图可得．本题考查的是作图-轴对称变换，熟知关于y轴对称的点的坐标特点及角平分线和中垂线的性质是解答此题的关键．21.【答案】5【解析】解：（1）连接CD，∵AC=BC，∠ACB=90，∴∠A=∠B=45°，在△ADC和△BED中，，∴△ADC≌△BED（SAS），∴DC=DE，∠DCA=∠EDB，∴∠ECD=∠CED∠DCA+∠ECD=∠EDB+∠FED=90°，∴∠FED=∠ECD，∴∠FED=∠CED；（2）作DH⊥EC于H，∵DC=DE，DH⊥EC，∴EH=HC=EC，∠EDH=∠CDH，∵DH∥AC，∴∠CDH=∠ACD，∴∠FDE=∠FDH，又EF⊥AB，EH⊥DH，∴EF=EH=EC，∵∠BFE=90°，∠B=45°，∴EF=BF=，∴EC=5，故答案为：5．（1）连接CD，利用SAS定理证明△ADC≌△BED，根据全等三角形的性质得到DC=DE，∠DCA=∠EDB，根据等角的余角相等证明；（2）作DH⊥EC于H，根据等腰三角形的性质得到EH=HC=EC，∠EDH=∠CDH，根据角平分线的性质得到EF=EH，计算即可．本题考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．22.【答案】角平分线上的点到角的两边距离相等【解析】解：（1）∵BD平分∠ABC，∠BAD=90°，∠BCD=90°，∴DA=DC（角平分线上的点到角的两边距离相等），故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等；（2）如图2，作DE⊥BA交BA延长线于E，DF⊥BC于F，∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，∴DE=DF，∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠EAD=180°，∴∠EAD=∠C，在△DEA和△DFC中，∴△DEA≌△DFC（AAS），∴DA=DC；（3）如图，在BC时截取BK=BD，连接DK，∵AB=AC，∠A=100°，∴∠ABC=∠C=40°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBK=∠ABC=20°，∵BD=BK，∴∠BKD=∠BDK=80°，即∠A+∠BKD=80°，由（2）的结论得AD=DK，∵∠BKD=∠C+∠KDC，∴∠KDC=∠C=40°，∴DK=CK，∴AD=DK=CK，∴BD+AD=BK+CK=BC．（1）根据角平分线的性质定理解答；（2）作DE⊥BA交BA延长线于E，DF⊥BC于F，证明△DEA≌△DFC，根据全等三角形的性质证明；（3）在BC时截取BK=BD，连接DK，根据（2）的结论得到AD=DK，根据等腰三角形的判定定理得到KD=KC，结合图形证明．本题考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．23.【答案】2＜AD＜10【解析】解：（1）延长AD到点E使DE=AD，连接BE，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE=AC=8，AB-BE＜AE＜AB+BE，即21-8＜2AD＜12+8，∴2＜AD＜10，故答案为：2＜AD＜10；（2）证明：延长CB到G，使BG=DF，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABG=180°，∴∠ADC=∠ABG，在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG=AF，∠GAB=∠FAD，∵∠EAF=∠BAD，∴∠FAD+∠BAE=∠GAB+∠BAE=∠BAD，∴∠GAE=∠FAE，在△AEG和△AEF中，，∴△AEG≌△AEF（SAS），∴EF=GE，∴EF=BE+BG=BE+DF；（3）证明：作DH⊥AB于H，在AB上截取BR=AF，∵∠CAB=60°，∠ACB=90°，∴∠ABC=30°，∴AB=2AC，∵点D是△ABC外角平分线上一点，DE⊥AC，DH⊥AB，∴DE=DH，AH=AE，在Rt△DEF和Rt△DHB中，∴Rt△DEF≌Rt△DHB（HL）∴∠DFA=∠DBA，在△DAF和△DRB中，，∴△DAF≌△DRB（SAS）∴DA=DR，∴AH=HR=AE=AR，∵AF=BR=AB-AR=2AC-2AE∴AC-AE=AF．（1）延长AD到点E使DE=AD，连接BE，证明△ADC≌△EDB，根据全等三角形的性质得到BE=AC，根据三角形三边关系计算；（2）延长CB到G，使BG=DF，证明△ABG≌△ADF，根据全等三角形的性质得到AG=AF，∠GAB=∠FAD，证明△AEG≌△AEF，根据全等三角形的性质证明；（3）作DH⊥AB于H，在AB上截取BR=AF，分别证明Rt△DEF≌Rt△DHB，△DAF≌△DRB，根据全等三角形的性质证明．本题考查的是全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，正确作出辅助线是解题的关键．24.【答案】6【解析】解：（1）作∠DCH=10°，CH交BD的延长线于H，∵∠BAO=60°，∴∠ABO=30°，∴AB=2OA=6，∵∠BAO=60°，∠BCO=40°，∴∠ABC=180°-60°-40°=80°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠CBD=40°，∴∠CBD=∠DCB，∠OBD=40°-30°=10°，∴DB=DC，在△OBD和△HCD中，，∴△OBD≌△HCD（ASA），∴OB=HC，在△AOB和△FHC中，，∴△AOB≌△FHC（ASA），∴CF=AB=6，故答案为：6；（2）∵△ABD和△BCQ是等边三角形，∴∠ABD=∠CBQ=60°，∴∠ABC=∠DBQ，在△CBA和△QBD中，，∴△CBA≌△QBD（SAS），∴∠BDQ=∠BAC=60°，∴∠PDO=60°，∴PD=2DO=6，∵PD=DC，∴DC=9，即OC=OD+CD=12，∴点C的坐标为（12，0）；（3）如图3，以OA为对称轴作等边△ADE，连接EP，并延长EP交x轴于点F．由（2）得，△AEP≌△ADB，∴∠AEP=∠ADB=120°，∴∠OEF=60°，∴OF=OA=3，∴点P在直线EF上运动，当OP⊥EF时，OP最小，∴OP=OF=则OP的最小值为．（1）作∠DCH=10°，CH交BD的延长线于H，分别证明△OBD≌△HCD和△AOB≌△FHC，根据全等三角形的对应边相等解答；（2）证明△CBA≌△QBD，根据全等三角形的性质得到∠BDQ=∠BAC=60°，求出CD，得到答案；（3）以OA为对称轴作等边△ADE，连接EP，并延长EP交x轴于点F．证明点P在直线EF上运动，根据垂线段最短解答．本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．。