杨晓京复变函数笔记
考研复变函数知识点详解
考研复变函数知识点详解一、导数和解析函数在复变函数中，导数的定义和实数函数中的定义有所不同。
对于复变函数f(z)，如果在点z_0处存在极限：lim_(z→z_0) [f(z)-f(z_0)]/(z-z_0)那么这个极限称为函数f(z)在点z_0处的导数，记作f'(z_0)。
复变函数的导数可以表示为以下形式：f'(z)=lim_(Δz→0) [f(z+Δz)-f(z)]/Δz解析函数是指在定义域内处处可导的复变函数。
解析函数的导数满足Cauchy-Riemann方程：∂u/∂x = ∂v/∂y∂u/∂y = -∂v/∂x其中，函数f(z)=u(x,y) + iv(x,y) (u和v都是实数函数)。
当且仅当Cauchy-Riemann方程成立时，f(z)是解析函数。
二、积分与留数1. 古欧拉公式古欧拉公式是复变函数中的一个重要公式，它表达了自然对数底e 与三角函数之间的关系：e^(ix) = cos(x) + isin(x)2. 积分路径的选择复变函数中，积分路径的选择对积分结果有重要影响。
常用的积分路径有：- 直线路径：沿直线路径积分- 弧线路径：沿弧线路径积分- 闭合路径：沿闭合路径积分3. 留数定理留数定理是复变函数中的重要定理之一，它描述了在奇点处的留数与沿闭合路径的积分之间的关系：∮(f(z)dz) = 2πi∑(Res(f(z);z_k))其中，Res(f(z);z_k)表示在奇点z_k处的留数。
三、级数展开与解析延拓1. 幂级数展开在复变函数中，幂级数展开是一种重要的展开形式，它可以将复变函数表示为幂级数的形式。
其中，泰勒级数展开是一种常用的展开形式。
2. 解析延拓解析延拓是指将一个函数在定义域外进行扩展，以得到更多的函数性质或定义域。
解析延拓可以通过幂级数展开、亚纯函数等方式实现。
四、全纯函数与亚纯函数1. 全纯函数全纯函数是指在定义域内处处可导的复变函数。
全纯函数具有很多重要的性质，如导数存在、解析、无奇点等。
复变函数重点知识点及典型例题的多种解题方法
Im( i z ) 1 y 4,
所求曲线方程为y 3.
10
例3
设 z1 , z2 为两个任意复数 , 证明 : (2) z1 z2 z1 z2 .
(1) z1 z2 z1 z2 ;
证 (1) z1 z2 ( z1 z2 )( z1 z2 ) ( z1 z2 )( z1 z2 )
单连通域.
22
(3) 0 z 1 i 2,
以 (1 i ) 为圆心, 2为半径 的去心圆盘,
是多连通域.
(4) arg( z i ) , 4 以 i 为端点, 斜率为1的半射线
(不包括端点i ),
不是区域.
23
4. 复变函数与自变量之间的关系:
复变函数 w 与自变量 z 之间的关系 w f ( z ) 相当于两个关系式:
a1 x a 0 0
的 根, 则 z也 是 其 根 . (实 多 项 式 的 零 点 成 对 现 出)
例2 将下列复数表示为x iy 的形式. 7 1 i i 1 i (1) ( 2) . ; 1 i i 1 i (1 i )2 (1 i )2 1 i i , 解 (1) 2 1 i (1 i )(1 i )
2
2
因为 z1 z2 z1 z2 2 Re( z1 z2 ),
z1 z2 z1 z2 2 Re( z1 z2 ) z1 z2 2 z1 z2 z1 z2 2 z1 z2
2 2 2 2
2
2
2
( z1 z2 )2 ,
两边同时开方得 z1 z2 z1 z2 .
(cos 5 i sin 5 )2 ( e 5i )2 19i 所以 , 3 3i 3 e (cos 3 i sin 3 ) ( e )
复变函数笔记
1859年，黎曼研究ζ函数的复零点，提出著名的黎曼猜想(Riemann Hypothesis):黎曼ζ函数的非平凡零点的实部都为1/2。
延拓的概念和例子：复变函数要点：（1）基本是三块：cauchy积分理论，weirstass级数理论，riemann映射理论？函数的局部与整体性质：复分析（也被称为“函数论”），这在十九世纪是数学的中心，也是象德国数学家魏尔斯特拉斯（Weierstrass，1815.10.31-1897.2.19）这样伟大人物工作的中心．对于他们而言，一个函数就是一个复变量的函数;对于Weierstrass而言，一个函数就是一个幂级数．它们是一些可以用于写下来，并且可以明确描绘的东西或者是一些公式。
函数是一些公式:它们是明确可以用显式写下来的．然而接下来Abel，Riemann 和其后许多人的工作使我们远离了这些，以至于函数变得可以不用明确的公式来定义，而更多地是通过它们的整体性质来定义：通过它们的奇异点的分布，通过它们的定义域位置，通过它们取值范围．这些整体性质正是一个特定函数与众不同的特性．局部展开只是看待它们的一种方式．？退而求其次一个类似的事情发生在微分方程中，最初，解一个微分方程，人们需要寻找一个明确的局部解！是一些可以写下来的东西．随着事物的发展，解不必是一个显函数，人们不一定必须用好的公式来描述它们．解的奇异性是真正决定其整体性质的东西．与发生在复分析中的一切相比，这种精神是多么的类似，只不过在细节上有些不同罢了．？曲面的局部与整体性质：在微分几何中，Gauss和其他人的经典工作描述了小片的空间，小块的曲率以及用来描述局部几何的局部方程．只要人们想要了解曲面的整体图象以及伴随它们的拓扑时，从这些经典结果到大范围的转变就是很自然的了．当人们从小范围到大范围时，最有意义的性质就是拓扑的性质．（2）cauchy积分理论更多是方法性的东西，需要你了解解析函数到底是什么，什么是奇点，什么是单连通，复连通区域，区域有洞怎么积分,若尔当曲线的形态（3）级数部分的重点是极点（特殊的奇点），零点，留数，无穷原点的性质（转化成为零点）留数定理。
复变函数第五章解析函数的洛朗(Laurent)展式与孤立奇点知识点总结
第五章解析函数的洛朗（Laurent）展式与孤立奇点§1.解析函数的洛朗展式1.双边幂级数2.（定理5.1）：收敛圆环H，（1）H内绝对收敛且内闭一致收敛于f(z)=f1+f2（2）函数f在H内解析（3）f在H内可逐项求导p次（4）可沿H内曲线C逐项积分注：对应于定理4.133.（定理5.2 洛朗定理）：在圆环内解析的函数f必可展成双边幂级数，其中c n=12πi∫f(ξ)(ξ−a)n+1Γdξ,(n=0,±1,±2…)Γ为圆周|ξ−a|=ρ,f和圆环唯一决定系数c n4.泰勒级数是洛朗级数的特殊情形5.孤立奇点（奇点：不解析点）注：多值性孤立奇点即支点6.如果a为f(z)的一个孤立奇点，则必存在正数R，使得f(z)在点a的去心邻域K-{a}：0<|z-a|<R内可展成洛朗级数§2.解析函数的孤立奇点1.正则部分、主要部分2.可去奇点、极点（m阶极点，单极点）、本质奇点3.（定理5.3）可去奇点的特征（三点等价）：（1）f(z)在a点主要部分为零（2）可去奇点的判定条件：limz→af(z)=b(≠∞)（3）f(z)在a的去心邻域内有界4.施瓦茨（Schwarz）引理：如果函数f(z)在单位圆|z|<1内解析，并且满足条件f(0)=0,|f(z)|<1(|z|<1),则在单位圆|z|<1内恒有|f(z)|≤|z|，且有|f′(0)|≤1如果上式等号成立，或在圆|z|<1内一点z0≠0处前一式等号成立，则（当且仅当）f(z)=e iαz（|z|<1）其中α是一实常数。
5.（定理5.4）：m阶极点的特征（三点等价）（1）主要部分为有限项（系数c−m≠0）（2）f(z)在点a的某去心邻域内能表示成f(z)=λ(z) (z−a)m其中λ(z)在点a的邻域内解析，且λ(a)≠0;（3）g(z)=1f(z)以点a为m阶零点（可去奇点要当作解析点看，只要令g(a)=0）注：f(z)以a为m阶极点⇔1f(z)以点a为m阶零点6.（定理5.5）：函数f(z)的孤立奇点a为极点的充要条件是limz→af(z)=∞7.（定理5.6）：函数f(z)的孤立奇点a为本质奇点的充要条件是lim z→a f(z)≠{b（有限数）∞，即limz→af(z)不存在8.（定理5.7）：若z=a为函数f(z)之一本质奇点，且在点a的充分小去心邻域内部委零，则z=a亦必为1f(z)的本质奇点。
复变函数与积分变换重要知识点归纳
复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：22z x y =+；2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctanyx之间的关系如下： 当0,x > arg arctany z x=； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-= 3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
复变函数与积分变换复习重点
复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：22zx y =+；2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x > arg arctanyz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z ez z θθ-=3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
复变函数和积分变换重要知识点归纳
.WORD.格式.复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数,()()Re ,Im x z y z ==.21i =-.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示1）模：z=2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x > arg arctanyz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z ez z θθ-=3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
复变函数与积分变换复习重点总结
复变函数与积分变换复习重点总结一、复变函数基本概念1.复数的定义与运算规则。
复数由实部和虚部构成，在复平面上表示为点，加减乘除等运算遵循分配律。
2.复平面及相关概念。
复平面是复数集合在直角坐标系上的表示，实部和虚部在坐标轴上的投影分别对应x轴和y轴，共轭复数、模、幅角等概念。
3.复变函数的定义与性质。
复变函数表示为z的其中一种函数，具有实变量函数的性质，例如连续性、可微性等。
二、整函数1.整函数的定义与性质。
整函数指复变函数在全复平面都解析，可以用无穷级数表示为幂级数形式。
2.全纯函数与调和函数。
全纯函数是整函数的一种特殊情况，对应于实变量函数的解析函数，调和函数满足拉普拉斯方程。
3.零点与奇点。
零点是整函数取值为0的点，奇点是整函数在一些点上无定义或有定义但不解析的点。
4.极限定理与唯一性定理。
解析函数具有一致性和唯一性，即零点有稠密性，且相同函数在相同域上必然一致。
三、留数定理1.留数的概念与计算方法。
留数是复变函数在奇点处的残余，可以通过留数公式计算得到，留数与曲线积分的关系。
2. 留数定理与积分公式。
留数定理为计算曲线闭合积分提供了便捷的方法，包括留数定理、Cauchy积分公式、Cauchy积分定理等。
3.洛朗展开与留数计算。
洛朗展开将复变函数表示为一部分主要项和无穷级数项的形式，通过计算主要项的留数可以快速得到积分结果。
四、解析函数与幂级数展开1.解析函数的定义与性质。
解析函数是在一些域上解析的复变函数，具有在其定义域上处处可微的特点，可以表示为幂级数形式。
2.幂级数展开与泰勒级数。
将解析函数表示为幂级数展开的形式，其中泰勒级数是幂级数的一种特殊情况，可以用于近似计算。
3.余项估计与收敛半径。
余项估计用于估计幂级数展开的误差范围，收敛半径表示幂级数展开的有效范围。
4.解析函数的四则运算与复合函数。
解析函数具有基本的四则运算和复合运算规则，可通过幂级数展开来计算。
五、积分变换1.积分变换的基本概念与性质。
复变积分知识点总结
复变积分知识点总结一、复变函数的积分1. 复变函数的积分复变函数的积分是指对复平面上的函数进行积分，其中积分路径可以是一条曲线或者一条闭合曲线。
复变函数的积分包括对于实部和虚部的积分两部分，也可以看作是对于复变函数的实部和虚部的积分的和。
复变函数的积分可以用复积分的方式来表示，即对于积分路径上的每一个点，都可以对应一个复数，这样对于整个路径上的所有点的积分就可以用复数来表示。
2. 复变函数的积分性质复变函数的积分具有一些独特的性质，比如线性性、可微性、路径无关性等。
其中线性性是指对于复变函数的积分满足线性组合的性质，即对于两个复变函数的积分和它们的线性组合的积分是相同的。
而可微性是指对于复变函数的积分可以通过对积分路径上的点进行微分来得到，这与实部和虚部的积分分别成立。
路径无关性是指对于一个复变函数在不同的积分路径上积分得到的结果是相同的。
3. 古代积分定理古代积分定理是复变积分的重要定理之一，它是复平面上函数积分的一个基本定理，也是复变函数在复平面上的积分与在实数轴上的积分之间的联系的一个重要桥梁。
古代积分定理表明，对于一个复变函数在一个简单闭合曲线内的积分等于该函数在这个闭合曲线上的积分。
古代积分定理同时也说明了对于一个复变函数在整个复平面上的积分等于该函数在所有简单闭合曲线上的积分之和。
4. 柯西-黎曼积分定理柯西-黎曼积分定理是复变积分的另一个重要定理，它是复变函数积分在实数轴上的积分的推广和深化，也是复变积分的一个基本定理。
柯西-黎曼积分定理表明了对于一个复变函数来说，如果它在一个闭合曲线内保持解析，那么对于这个曲线内的复变函数的积分一定等于零。
柯西-黎曼积分定理是复变积分中一个非常重要且基础的定理，它为复变函数积分的计算和应用提供了一个非常重要的方法和途径。
5. 积分的应用复变积分在工程、物理、数学等领域都有广泛的应用，比如它可以用来求解一些特殊的积分问题，解决一些特殊的微分方程问题，描述一些特殊的物理现象等。
(完整版)《复变函数》重点难点
重点难点第一篇 复变函数论本篇重点：解析函数、复变函数的积分与留数定理.本篇特色：通过一典型环路积分，将各章节有机联系起来，使复变函数理论成为一个系统的有机整体，并加强了各部分内容之间的相互联系.注重培养创新思维、计算机仿真和解决实际问题的能力..第一章复数与复变函数本章重点：复数的基本知识和复变函数区域的基本概念及其判断方法；复变函数连续和极限的概念； 区域概念及其判断；复变函数的极限和连续。
本章难点：涉及到计算机编程实践, 以培养读者的计算机仿真能力. 读者可以利用Matlab ,Mathcad,Mathmatic 等数学工具软件直接进行复数及复变函数的基本运算, 详细参考第四篇：计算机仿真编程实践部分本章知识点摘要：1.复数的概念定义形如i x y +的数为复数，记作i z x y =+.其中x 、y 分别称为复数z 的实部、虚部，记作()Re x z=，()Im y z =，i 称为虚数单位，它满足2i 1=-.与实数不同，两个复数之间一般不能比较大小.2.复数的表示法（1）几何表示：对于复数i z x y =+可以用平面上起点在()0,0O ，终点在(),P x y的矢量（或向量）OP u u u r 表示；（2）代数表示：对于平面上的点(),P x y可用代数形式i z x y =+表示复数，这种表示法称为代数表示，也可称为直角坐标表示；（3）三角表示：当i 0z x y =+≠时，复数可用三角函数()cos isin z r θθ=+形式表示.其中r z ==称为复数z 的模；=Arg arg 2z z k θπ=+（k 取整数）称为z 的辐角.当0k =时，对应于辐角的主值0arg z θ=，在本书中规定为πarg πz -<≤； 3.复数的运算（1）复数满足常规的四则运算规律.（2）若()1111cos isin z r θθ=+，()2222cos isin z r θθ=+，则()()12121212cos isin z z r r θθθθ=+++⎡⎤⎣⎦()20z ≠（3）方根：设()cos isin z r θθ=+，则()()2π2πcos isink k nnθθ++⎤=+⎥⎦ 0,1,2,,1k n =-L关于复数的模和辐角有以下运算公式1212z z z z =；1122z z z z =()20z ≠ ()1212Arg Arg Arg z z z z =+4.区域和平面曲线本章我们给出了系统的有关区域和平面曲线的概念.（1）区域：严格的定义是指同时满足下列两个条件的点集D ：(i) 全由内点组成；(ii)具有连通性: 即点集中的任意两点都可以用一条折线连接起来，且折线上的点全都属于该点集；满足这两个条件的点集D 称为区域.连通的开集称为区域，区域与它的边界一起构成的点集称为闭区域.区域可分为有界区域和无界区域，区域还有单连通区域与复连通区域之分.（2）简单曲线:没有重点的连续曲线,称为简单曲线.简单闭曲线: 如果简单曲线的两个端点重合，则称为简单闭曲线.5.复变函数 极限与连续函数()()(),i ,f z u x y x y =+v 的极限等价于两个二元实函数(),u u x y =和(),x y =v v 的极限.函数()()(),i ,f z u x y x y =+v 在点000i z x y =+处的连续性等价于两个二元实函数(),u x y 和(),x y v 在该点的连续性.解题思路:例 研究什么原像通过映射2z =w 后变为相互垂直的直线,, (,0)u a b a b ==>v .【解】 由2222(i )i2z x y x y xy ==+=-+w ，可以视为从xy 平面到u v 平面的映射，即为从z 平面(原像)到w 平面（像）的映射，易得22,2u x y xy =-=v我们具体考察在w 平面的像为相互垂直的直线,原像应该是什么？由题得到22, 2, (,0)u x y a xy b a b =-==>v =即有22,(0)x y a a -=> 显然原像为双曲线，如图1.11(a )实线所示； 即有 2, (0)xy b b =>v = 显然原像为双曲线，如图1.11(a )虚线所示.另外我们还可以进一步观察双曲线对应的变化关系.1.11(a )的双曲线右分支实线上时，由u a =且2xy =v ，得到，2=v .因此双曲线的右分支的像可以表示为参数形式：,2u a ==v()y -∞<<∞很明显，当点(,)x y 沿着右分支实线向上运动时，它的像如图1.11(b )沿直线u a =向上运动.同样，双曲线左分支的像的参数形式表示为, 2u a ==-v )(∞<<-∞y 当左分支上的点沿曲线向下运动时，它的像也沿直线u a=向上运动. 同样地可以分析：另一双曲线0>图1.112xy b = (0)b >映像到直线b =v .变化趋势如图1.11(a),(b)虚线所示，读者可自行分析.重点难点第二章 解析函数重点：复变函数导数的定义、求导法则及可微性概念； 解析函数的概念； 保角映射的概念； 常用的初等解析函数； 解析函数与调和函数的关系 难点：多值函数产生多值性的原因；如何找出支点以及在什么样的区域内多值函数可以划分为单值的解析分支； 从几何意义上描述解析函数的特征. 特色：（Matlab ，Mathcad ，Mathmatic ）编程计算简单的复数方程本章知识点摘要：1.复变函数的导数与微分复变函数的导数定义在形式上和一元实函数的导数定义是类似的：()()()limz f z z f z f z z ∆→+∆-'=∆微分的定义和高等数学里面一元实函数的微分定义也相似，而且可导和可微是等价的，d ()()d f z f z z '=.2.解析函数的概念解析函数是复变函数中一个十分重要的概念，它是用复变函数的可导性来定义的，若()f z 在0z 及其一个邻域内处处可导，则称()f z 在0z 解析.函数在某一点可导，在这点未必解析，而在某一点解析，在这点一定可导.函数在一个区域内的可导性和解析性是等价的.3.柯西－黎曼条件方程复函数的解析性除了要求其实部和虚部的可微性外，还要求其实部和虚部满足柯西－黎曼方程（即C-R 方程）.函数()i f z u =+v 在区域D 内解析,u ⇔v 在D 内可微，且满足C-R 条件：,x y x yu u ==-v v .4.关于解析函数的求导方法 (1) 利用导数的定义求导数(2) 若已知导数存在，可以利用公式()i i i i x x y y x y y xf z u u u u '=+=-=-=+v v v v求导.5初等复变函数初等复变函数的解析性：初等函数解析性的讨论是以指数函数的解析性为基础的，因此在研究初等解析函数的性质时，都可归结到指数函数来研究.6解析函数与调和函数的关系区域D 内的解析函数()(,)i (,)f z u x y x y =+v 的实部和虚部都是D 内的调和函数.要想使得()i f z u =+v 在区域D 内解析，u 和v 还必须满足C-R 条件. 因此若己知一调和函数，可由它构成某解析函数的实部（或虚部），并可相应地求出该解析函数的虚部（或实部），从而求出该解析函数. 平面稳定场求复势就是其典型应用，也是解析函数物理意义的体现. 解题思路例 已知 等势线的方程为22x y c +=，求复势. 【解】若设22u x y =+，则2, 2 0xx yy xx yy u u u u ==∴+≠，故u 不是调和函数.因而不能构建为复势的实部（或虚部）.若令 222,()x y u F ρρ=+=，采用极坐标有0uϕ∂=∂，故把极坐标系中的拉普拉斯方程 22211()0u u u ρρρρρϕ∂∂∂∆=+=∂∂∂简化为1()0uρρρρ∂∂=∂∂，即为112,ln uC u C C ρρρ∂=∴=+∂根据极坐标C-R 条件的得到 113,u C C ρϕϕρ∂∂==∴+∂∂v v =C ，故复势为1213123123()ln i i (ln i )i ln , (i )f z C C C C C C C C z C C C C ρϕρϕ=+++=+++=+=+我们可以总结出，当,u v 具有22()nx y ±+的函数形式时，一般采用极坐标运算较为方便.重点难点第三章 复变函数的积分重点：复变函数积分的概念、性质及计算方法；解析函数积分的基本定理−−柯西积分定理； 推广得到的复合闭路定理，闭路变形定理；由柯西积分定理推导出一个基本公式−−柯西积分公式.难点：理解分别以有界单连通域、有界复连通域、无界区域对柯西积分公式进行的证明；理解复变函数积分理论既是解析函数的应用推广 特色：尝试计算机仿真计算积分的值。