第二章第三节知能演练轻松闯关
必修1第二章第三节知能演练强化闯关
1.如图2－3－12所示，竖直放置的轻弹簧一端固定在地面上，另一端与斜面体P连接，P 的斜面与固定挡板MN接触且处于静止状态，则斜面体P此刻所受的外力个数有可能为()图2－3－12A．2个或3个B．3个或5个C．2个或4个D．4个或5个解析：选C.若斜面体P受到的弹簧弹力F等于其重力mg，则MN对P没有力的作用，如图甲所示，P受到2个力；若弹簧弹力大于P的重力，则MN对P有压力F N，只有压力F N，则P不能平衡，一定存在向右的力，只能是MN对P的摩擦力F f，因此P此时受到4个力，如图乙所示．2.(2011·高考广东卷)如图2－3－13所示的水平面上，橡皮绳一端固定，另一端连接两根弹簧，连接点P在F1、F2和F3三力作用下保持静止．下列判断正确的是()图2－3－13A．F1>F2>F3B．F3>F1>F2C．F2>F3>F1D．F3>F2>F1解析：选B.P点在三力F1、F2、F3作用下保持静止，则其合外力为零，F1、F2的合力F12与F3等大反向．对力三角形PF1F12，由大角对大力可知，F12>F1>F2，从而可得F3>F1>F2.3.(2011·高考海南卷)如图2－3－14，粗糙的水平地面上有一斜劈，斜劈上一物块正在沿斜面以速度v 0匀速下滑，斜劈保持静止，则地面对斜劈的摩擦力( )图2－3－14A ．等于零B ．不为零，方向向右C ．不为零，方向向左D ．不为零，v 0较大时方向向左，v 0较小时方向向右解析：选A.取物块与斜劈整体作为研究对象，由于物块匀速运动、斜劈静止，故整体所受外力之和必为零．分析整体的受力可知，由于重力、地面的支持力方向都沿竖直方向，若地面的摩擦力不为零时，其合力方向只能沿水平方向，必导致整体的合力不为零与题述矛盾，故只有A 正确．4.如图2－3－15所示，在绳下端挂一物体，用力F 拉物体使悬线偏离竖直方向的夹角为α，且保持其平衡．保持α不变，当拉力F 有极小值时，F 与水平方向的夹角β应是( )图2－3－15A ．0 B.π2C ．αD ．2α解析：选C.由题图可知当F 与倾斜绳子垂直时F 有极小值，所以β＝α. 5.(2012·江苏启东中学质检)如图2－3－16所示，用绳AC 和BC 吊起一重物，绳与竖直方向夹角分别为30°和60°，AC 绳能承受的最大拉力为150 N ，而BC 绳能承受的最大拉力为100 N ，求物体的最大重力不能超过多少？图2－3－16解析：结点C 受力分析如图所示，由重物静止有： F T BC sin60°－F T AC sin30°＝0① F T AC cos30°＋F T BC cos60°－G ＝0② 由式①可知F T AC ＝3F T BC ，当F T BC ＝100 N 时，F T AC ＝173.2 N ，AC 将断．而当F T AC ＝150 N 时，F T BC ＝86.6 N<100 N ．将F T AC ＝150 N ，F T BC ＝86.6 N ，代入式②解得G ＝173.2 N ，所以重物的最大重力不能超过173.2 N.答案：173.2 N一、选择题1.如图2－3－17所示，在“3·11”日本大地震的一次抢险救灾工作中，一架沿水平直线飞行的直升机利用降落伞匀速向下向灾区群众投放救灾物资．假设物资的总重量为G 1，圆顶形降落伞伞面的重量为G 2，有8条相同的拉线与物资相连，另一端均匀分布在伞的边缘上，每根拉线和竖直方向都成30°角，则每根拉线上的张力大小为( )图2－3－17A.3G 112 B.3(G 1＋G 2)12 C.G 1＋G 28 D.G 14解析：选A.设每段拉线的张力为F T ，则每段拉线在竖直方向上的分力为F T cos30°，由平衡条件得8F T cos30°＝G 1，解得F T ＝3G 112.2.(2010·高考广东卷)如图2－3－18为节日里悬挂灯笼的一种方式，A 、B 点等高，O 为结点，轻绳AO 、BO 长度相等，拉力分别为F A 、F B .灯笼受到的重力为G .下列表述正确的是( )图2－3－18A ．F A 一定小于GB ．F A 与F B 大小相等C ．F A 与F B 是一对平衡力D ．F A 与F B 大小之和等于G解析：选B.对结点O 进行受力分析．拉力F A 、F B 的合力与重力G 平衡，由于轻绳AO 、OB 等长且A 、B 两点等高，由对称性可知F A 与F B 大小相等，但由于∠AOB 大小未知，所以无法确定F A 与G 的数量关系．F A 与F B 的大小之和要大于G ，故只有B 正确． 3.(2011·高考安徽卷)一质量为m 的物块恰好静止在倾角为θ的斜面上．现对物块施加一个竖直向下的恒力F ，如图2－3－19所示．则物块( )图2－3－19A ．仍处于静止状态B ．沿斜面加速下滑C ．受到的摩擦力不变D ．受到的合外力增大解析：选A.不加力时，物块恰好静止在斜面上，说明μmg cos θ＝mg sin θ，加竖直向下的外力F 后，由于μ(mg ＋F )cos θ≥(mg ＋F )sin θ，物块仍然静止，A 正确，B 错误；不加F 时物块受到的静摩擦力大小等于mg sin θ，加F 后静摩擦力大小等于(mg ＋F )sin θ，变大，C 错误；物块受到的合外力始终等于零，D 错误． 4.(2012·佛山模拟)用一轻绳将小球P 系于光滑墙壁上的O 点，在墙壁和球P 之间夹有一矩形物块Q ，如图2－3－20所示．P 、Q 均处于静止状态，则下列相关说法正确的是( )图2－3－20A ．P 物体受4个力B ．Q 受到3个力C ．若绳子变长，绳子的拉力将变小D ．若绳子变短，Q 受到的静摩擦力将增大解析：选AC.P 受重力、Q 对P 的水平弹力、绳子对P 的拉力和Q 对P 竖直向下的摩擦力，A 正确；Q 受重力，墙壁、P 对Q 的水平弹力，P 对Q 竖直向上的摩擦力，四个力两对平衡，B 错误；对P 、Q 整体，绳子拉力的竖直分量等于P 、Q 整体的重力，绳子变长时绳子与墙壁间夹角变小，拉力变小，C 正确；Q 所受摩擦力等于Q 的重力，与绳子长短无关，D 错误．5.(2012·海口模拟)如图2－3－21所示，轻杆AB 下端固定在竖直墙上，上端有一光滑的轻质小滑轮，一根细绳一端C 系在墙上，绕过滑轮另一端系一质量为m 的物体，当C 端缓慢地上移过程中，则杆对滑轮的作用力将( )图2－3－21A ．变小B ．变大C ．不变D ．无法确定解析：选A.杆对滑轮的作用力的大小等于两绳子上拉力的合力的大小，由于两绳子上拉力相等，都等于G ，设绳子夹角为θ，则F 合＝2G cos θ2，当C 上移时，θ变大，则F 合减小，杆对滑轮的作用力将减小，A 正确．6.如图2－3－22所示，轻绳的两端分别系在圆环A 和小球B 上，圆环A 套在粗糙的水平直杆MN 上．现用水平力F 拉着绳子上的一点O ，使小球B 从图中实线位置缓慢上升到虚线位置，但圆环A 始终保持在原位置不动．在这一过程中，环对杆的摩擦力F f 和环对杆的压力F N 的变化情况是( )图2－3－22A ．F f 不变，F N 不变B ．F f 增大，F N 不变C ．F f 增大，F N 减小D ．F f 不变，F N 减小解析：选B.以结点O 为研究对象进行受力分析．由题意可知，O 点处于动态平衡，则可作出三力的平衡关系如图甲所示．由图可知水平拉力增大．以环和结点整体作为研究对象，作受力分析图如图乙所示．由整个系统平衡可知：F N ＝mg ；F f ＝F .即：F f 增大，F N 不变，故B 项正确．7.如图2－3－23所示，一光滑的半圆形碗固定在水平地面上，质量为m 1的小球用轻绳跨过光滑碗连接质量分别为m 2和m 3的物体，平衡时小球恰好与碗之间没有弹力作用．则m 1、m 2和m 3的比值为( )图2－3－23A ．1∶2∶3B ．2∶1∶1C ．2∶3∶1D ．2∶1∶ 3解析：选C.根据半圆内的三角形为直角三角形，再根据力的合成可知，m 2g ＝m 1g cos30°＝32m 1g ，m 3g ＝m 1g sin30°＝12m 1g ，所以m 1∶m 2∶m 3＝2∶3∶1.8.(原创题)在东京2011年世界体操锦标赛的吊环比赛中，“吊环王”陈一冰成功捍卫荣誉，以15.800分轻松摘得金牌成功卫冕．其中有一个高难度的动作就是先双手撑住吊环，然后身体下移，双臂缓慢张开到如图2－3－24所示位置，则在两手间距离增大的过程中，吊环的两根绳的拉力F (两个拉力大小相等)及它们的合力F 合的大小变化情况为( )图2－3－24A ．F 增大，F 合不变B ．F 增大，F 合增大C ．F 增大，F 合减小D ．F 减小，F 合不变解析：选A.由平衡条件，合力F 合等于人的重力，故F 合恒定不变；当两手间距离变大时，绳的拉力的夹角变大，由平行四边形定则知，F 变大，A 正确． 9.(2012·江西师大附中、临川联考)如图2－3－25所示，完全相同的质量为m 的A 、B 两球，用两根等长的细线悬挂在O 点，两球之间夹着一根劲度系数为k 的轻弹簧，静止不动时，弹簧处于水平方向，两根细线之间的夹角为θ，则弹簧的长度被压缩了( )图2－3－25A.mg tan θkB.2mg tan θkC.mg tan θ2kD.2mg tanθ2k解析：选C.对A 受力分析可知，有竖直向下的重力mg 、沿着细线方向的拉力F T 以及水平向左的弹簧弹力F ，由正交分解法可得水平方向F T sin θ2＝F ＝k Δx ，竖直方向F T cos θ2＝mg ，解得Δx ＝mg tanθ2k，C 正确．10.(2012·苏州模拟)如图2－3－26所示，三根长度均为l 的轻绳分别连接于C 、D 两点，A 、B 两端被悬挂在水平天花板上，相距2l .现在C 点上悬挂一个质量为m 的重物，为使CD 绳保持水平，在D 点上可施加力的最小值为( )图2－3－26A ．mg B.33mg C.12mg D.14mg 解析：选C.对C 点进行受力分析，由平衡条件可知，绳CD 对C 点的拉力F CD ＝mg tan30°，对D 点进行受力分析，绳CD 对D 点的拉力F 2＝F CD ＝mg tan30°，F 1方向一定，则当F 3垂直于绳BD 时，F 3最小，由几何关系可知，F 3＝F CD sin60°＝12mg .二、非选择题 11.(2012·哈师大附中模拟)两个相同的小球A 和B ，质量均为m ，用长度相同的两根细线把A 、B 两球悬挂在水平天花板上的同一点O ，并用长度相同的细线连接A 、B 两小球，然后，用一水平方向的力F 作用在小球A 上，此时三根细线均处于直线状态，且OB 细线恰好处于竖直方向，如图2－3－27所示．如果不考虑小球的大小，两小球均处于静止状态，则： (1)OB 绳对小球的拉力为多大？ (2)OA 绳对小球的拉力为多大？ (3)作用力F 为多大？图2－3－27解析：(1)对B分析，可知AB绳中张力为0，有mg－F T B＝0得F T B＝mg.(2)对球A，受力分析如图，有F T A cos60°－mg＝0F T A sin60°－F＝0，得：F T A＝2mg.(3)由以上各式可知：F＝3mg.答案：(1)mg(2)2mg(3)3mg12.(2012·合肥模拟)一光滑圆环固定在竖直平面内，环上套着两个小球A和B(中央有孔)，A、B间由细绳连接，它们处于如图2－3－28所示位置时恰好都能保持静止状态．此情况下，B 球与环中心O处于同一水平面上，AB间的细绳呈伸直状态，与水平线成30°夹角．已知B 球的质量为m，求细绳对B球的拉力和A球的质量．图2－3－28解析：对B球，受力分析如图所示，则有F T sin30°＝mg得F T＝2mg对A球，受力分析如图所示．在水平方向：F T cos30°＝F N A sin30°在竖直方向：F N A cos30°＝m A g＋F T sin30°由以上方程解得：m A＝2m.答案：2mg2m。
Section Ⅱ 知能演练轻松闯关(5)
Ⅰ.品句填词1．She quit(停止) her job and continued to receive education.2．I will visit Li Yan, a volunteer(志愿者) for the 2022 Beijing Winter Olympic Games.3．We had a heated debate(辩论) on whether or not to accept the offer.4．I asked for a(n)__extra(额外的) day to finish the work because it can't be finished in a day.5．I can't find suitable(合适的) words to express my thanks.6．As we all know, Li Jian, a famous singer, graduated(毕业于) from Tsinghua University.7．After your final topic__(主题，话题) is chosen, you cannot change it.8．Usually, each book has its contents(目录) in the front of it.9．Her fluent(流畅的) ballet movements surprised all the students present at the party.10．The new government's first challenge(挑战) is the economy.Ⅱ.完成句子1．为了赶上一早的航班，我们提前订了出租车，而且起床很早。
To catch the early flight, we ordered a taxi__in__advance and got up very early.2．首先，因为我擅长英语口语，所以我认为我适合这项工作。
第二章第三节第1课时知能演练轻松闯关
第二章第三节第1课时知能演练轻松闯关一、单项选择题1.模型法是化学中把微观问题宏观化的最常见方法，对于2HBr(g)H 2(g)＋Br 2(g)反应。
下列四个图中可以表示该反应在一定条件下为可逆反应的是( )解析：选C 。
C 项说明三种物质共存，是可逆反应。
2.298 K 时，合成氨反应的热化学方程式为：N 2(g)＋3H 2(g) 2NH 3(g) ΔH ＝－92.4 kJ/mol ，在该温度下，取1 mol N 2和3 mol H 2放在密闭容器内反应。
下列说法正确的是( )A ．在有催化剂存在的条件下，反应放出的热量为92.4 kJB ．有无催化剂该反应放出的热量都为92.4 kJC ．反应放出的热量始终小于92.4 kJD ．若再充入1 mol H 2，到达平衡时放出的热量应为92.4 kJ解析：选C 。
该反应为可逆反应，正向不可能进行到底，所以1 mol N 2和3 mol H 2反应放出的热量始终小于92.4 kJ ，C 正确。
3.对于恒容密闭容器中发生的可逆反应N 2(g)＋3H 2(g) 2NH 3(g) ΔH <0，能说明反应达到化学平衡状态的为( )A ．断开一个N ≡N 键的同时有6个N —H 键生成B ．混合气体的密度不变C ．混合气体的平均相对分子质量不变D ．N 2、H 2、NH 3分子数比为1∶3∶2的状态解析：选C 。
断开N ≡N 键与生成N —H 键是同一个反应方向，A 不对；平均相对分子质量M r ＝m n，反应过程中m 始终不变，若M r 不变，则n 不变，说明反应已达平衡。
密闭容器混合气体密度始终不变。
4.在2NO ＋O 22NO 2(正反应为吸热反应)的反应中，如图所示表明在30 ℃和100 ℃时的平衡体系中，NO 的百分含量与压强(p )或压强一定时与时间的关系图像。
其中正确的是( )解析：选D。
当温度不变时，增大压强平衡向正反应方向移动，NO的百分含量应减小，故A错；当压强一定时，升高温度能够缩短到达平衡所需的时间，故B错；升高温度平衡向正反应方向移动，达到新平衡时，NO的百分含量降低，故C错。
北师大版数学选修2-1：第二章1知能演练轻松闯关
1.(2012·吉安检测)下列有关空间向量的说法中，正确的是( ) A ．如果两个向量的模相等，那么这两个向量相等 B ．如果两个向量的方向相同，那么这两个向量相等C ．如果两个向量平行且它们的模相等，那么这两个向量相等D ．同向且等长的有向线段表示同一向量解析：选D.相等向量要求模相等且方向相同，故A 和B 错误；平行向量可以方向相同也可以方向相反，故C 错误．D 显然正确． 2.(2012·西安调研)若空间向量a 与b 不相等，则a 与b 一定( ) A ．有不同的方向 B ．有不相等的模 C ．不可能是平行向量 D ．不可能都是零向量解析：选D.a ，b 不相等，可能方向不同，也可能模不相等，所以A ，B ，C 都不正确，只有D 正确．3.已知直三棱柱ABC A 1B 1C 1，则分别以此棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，与向量AA 1→的模相等的向量(AA 1→本身除外)共有________个，与向量AA 1→相等的向量(AA 1→本身除外)共有________个．解析：注意模相等、方向相同和相反都要考虑． 答案：5 24.在长方体中，从同一顶点出发的三条棱长分别为1，2，3，在分别以长方体的任意两个顶点为起点和终点的向量中，模为1的向量有________个．解析：研究长方体模型可知，所有顶点两两连接得到的线段中，长度为1的线段只有4条，故模为1的向量有8个． 答案：8[A 级 基础达标]1.下列说法正确的是( )A ．数量可以比较大小，向量也可以比较大小B ．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小C ．向量的大小与方向有关D ．向量的模可以比较大小解析：选D.任何两个向量，不论同向还是不同向均不存在大小关系，故A 、B 不正确．向量的大小只与其长度有关，与方向没有关系，故C 不正确．由于向量的模是一个实数，故可以比较大小．2.下列有关平面法向量的说法中，不正确的是( ) A ．平面α的法向量垂直于与平面α平行的所有向量 B ．一个平面的所有法向量互相平行C ．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D ．如果a ，b 与平面α平行，且n ⊥a ，n ⊥b ，那么n 就是平面α的一个法向量解析：选D.依据平面向量的概念可知A ，B ，C 都是正确的．当a 与b 共线时，n 就不一定是平面α的法向量，故D 错误．3.(2012·蚌埠质检)在正四面体A -BCD 中，如图，〈AB →，DA →〉等于( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°解析：选D.两个向量夹角的顶点是它们共同的起点，故应把向量DA →的起点平移到A 点处，再求夹角得〈AB →，DA →〉＝120°，故选C.4.在正四面体A -BCD 中，O 为面BCD 的中心，连接AO ，则面BCD 的一个法向量可以是________．解析：由于A -BCD 是正四面体，易知AO ⊥平面BCD .答案：AO →5.如图，棱长都相等的平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知∠A 1AB ＝60°，则〈AA 1→，CC 1→〉＝________；〈AB →，C 1D 1→〉＝______；〈BA →，DD 1→〉＝________．解析：在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1→∥CC 1→，且方向相同，所以〈AA 1→，CC 1→〉＝0°；因为AB ∥CD ，CD ∥C 1D 1，所以AB ∥C 1D 1，所以AB →∥C 1D 1→，但方向相反，所以〈AB →，C 1D 1→〉＝180°；因为AA 1→＝DD 1→，所以〈BA →，DD 1→〉＝〈BA →，AA 1→〉＝180°－∠A 1AB ＝120°. 答案：0° 180° 120°6.(2012·咸阳调研)如图所示是棱长为1的正三棱柱ABC A 1B 1C 1.(1)在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，举出与向量AB →相等的向量；(2)在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，举出向量AC →的相反向量；(3)若E 是BB 1的中点，举出与向量AE →平行的向量．解：(1)由正三棱柱的结构特征知与AB →相等的向量只有向量A 1B 1→.(2)向量AC →的相反向量为CA →，C 1A 1→.(3)取AA 1的中点F ，连接B 1F (图略)，则B 1F →，FB 1→，EA →都是与AE →平行的向量．[B 级 能力提升]7.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别为AA 1、AB 、BB 1、B 1C 1的中点，则异面直线FE →与GH →所成的角等于( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°解析：选B.因为FE →与BA 1→同向共线，GH →与BC 1→同向共线，所以〈FE →，GH →〉＝〈BA 1→，BC 1→〉，在正方体中△A 1BC 1为等边三角形，所以〈FE →，GH →〉＝〈BA 1→，BC 1→〉＝60°.8.(2012·商洛质检)如图，三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，P A ＝AC ，则在向量AB →，BC →，CA →，P A →，PB →，PC →中，夹角为90°的共有( )A ．6对B ．5对C ．4对D ．3对解析：选B.因为P A ⊥平面ABC ，所以P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，P A ⊥BC ，平面P AB ⊥平面ABC . 又平面P AB ∩平面ABC ＝AB ，BC ⊥AB ，所以BC ⊥平面P AB ，所以BC ⊥PB .由此知〈P A →，AB →〉，〈P A →，BC →〉，〈P A →，CA →〉，〈BC →，AB →〉，〈BC →，PB →〉都为90°.9.若把空间内所有单位向量的起点放置于同一点，则这些向量的终点构成的图形是________．答案：半径为1的球面10.如图，在三棱锥S －ABC 中，侧面SAB 与侧面SAC 都是等边三角形，∠BAC ＝90°，O是BC 的中点，证明：SO →是平面ABC 的一个法向量．证明：由题意知，侧面SAB 与侧面SAC 都是等边三角形，故设SA ＝SB ＝SC ＝a ，因为O 是BC 的中点，SB ＝SC ，所以SO ⊥BC .因为∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝a ，AO ⊥BC ，所以AO ＝22a ，又SO ＝22a ，SA ＝a ，所以△ASO 是等腰直角三角形，即SO ⊥OA ，又OA ∩BC ＝O ，所以SO ⊥平面ABC ，所以SO →是平面ABC 的一个法向量．11.(创新题)如图所示，正四面体ABCD 中，E 是AC 的中点，求BE →与CD →的夹角的余弦值．解：过E 作EF ∥CD 交AD 于F ，连接BF .∠BEF 为向量BE →与CD →的夹角的补角． 设正四面体棱长为1，则BE ＝32，EF ＝12，BF ＝32.由余弦定理得cos ∠BEF ＝|BE |2＋|EF |2－|BF |22|BE ||EF |＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫122－⎝⎛⎭⎫3222×32×12＝36. ∴BE →与CD →所成的角的余弦值为－36.。
北师大版数学必修5：第二章§1.1知能演练轻松闯关
1．有关正弦定理的叙述：①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值；④在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c .其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比就确定了，故③正确；由比例性质和正弦定理可推知④正确．2．(2012·西安质检)在△ABC 中，a ＝33，b ＝3，A ＝120°，则B 的值为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选A.由a sin A ＝b sin B 得，sin B ＝b a sin A ＝333×sin120°＝12，又B <A ，所以B ＝30°. 3．在△ABC 中，B ＝30°，AB ＝2，BC ＝1，则△ABC 的面积为__________．解析：S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ＝12×2×1×12＝12. 答案：124．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，B ＝60°，则C ＝__________. 解析：由正弦定理，可得，AC sin B ＝BC sin A ，即632＝2sin A， ∴sin A ＝22，∴A ＝45°或A ＝135°.∵BC <AC ，∴A <B ， ∴A <60°，∴A ＝45°，∴C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(60°＋45°)＝75°.答案：75°[A 级 基础达标]1．下列对三角形解的情况的判断中，正确的是( )A ．a ＝4，b ＝5，A ＝30°，有一解B ．a ＝5，b ＝4，A ＝60°，有两解C ．a ＝3，b ＝2，B ＝120°，有一解D ．a ＝3，b ＝6，A ＝60°，无解解析：选D.对于A ，b sin A <a <b ，故有两解；对于B ，b <a ，故有一解；对于C ，B ＝120°且a >b, 故无解；对于D ，a <b sin A ，故无解．2．(2012·亳州调研)在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a ＝43，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰或直角三角形D ．钝角三角形解析：选A.由正弦定理得cos A cos B ＝b a ＝sin B sin A，即sin A cos A ＝sin B cos B ，所以sin2A ＝sin2B ，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2，又b a ＝43，所以a ≠b ，故A ＝B 舍去，所以A ＋B ＝π2，即△ABC 为直角三角形． 3．在△ABC 中，b ＝8，c ＝83，S △ABC ＝163，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120°解析：选C.据面积公式可得，S △ABC ＝12bc sin A ＝163， ∴12×8×83×sin A ＝163，即sin A ＝12. ∴A ＝30°或150°.4．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝__________. 解析：∵tan A ＝13，∴sin A ＝1010， 由正弦定理可得，11010＝AB 12，∴AB ＝102. 答案：1025．△ABC 中，A 最大，C 最小，且A ＝3C ，A ＋C ＝2B ，则三角形三边a ∶b ∶c ＝__________. 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧A ＝3C A ＋C ＝2B A ＋B ＋C ＝π，解得A ＝π2，B ＝π3，C ＝π6. 据正弦定理可得，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C＝1∶32∶12＝2∶3∶1. 答案：2∶3∶16．在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，求：(1)AC cos A的值； (2)AC 的取值范围．解：(1)由正弦定理可得，BC sin A ＝AC sin B， ∴BC sin A ＝AC sin2A ＝AC 2sin A cos A， ∴AC 2cos A＝BC ， ∴AC cos A＝2BC ＝2. (2)∵A ＋B ＋C ＝π，∴3A ＋C ＝π，C ＝π－3A ，∴A 应满足⎩⎪⎨⎪⎧ 0<A <π20<2A <π20<π－3A <π2，即π6<A <π4，∴22<cos A <32， 又∵AC ＝2cos A ，∴2<AC < 3.故AC 的取值范围是(2，3)．[B 级 能力提升]7．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( )A ．±33B ．±63C.222D.63解析：选D.由正弦定理a sin A ＝b sin B 得，sin B ＝b sin A a ＝33， 又a >b ，因此A >B ，且B 为锐角，∴cos B ＝ 1－sin 2B ＝ 1－39＝63. 8．△ABC 的三个内角，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则b a＝( )A ．2 3B ．2 2 C. 3 D. 2解析：选D.由正弦定理a sin A ＝b sin B得，a sin B ＝b sin A ， 所以a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a 化为b sin 2A ＋b cos 2A＝2a ，即b ＝2a .9．(2012·宿州质检)在△ABC 中，b ＝1，a ＝2，则角B 的取值范围是__________．解析：由正弦定理得1sin B ＝2sin A， ∴sin B ＝12sin A ∈(0，12]． 又∵b <a ，∴B <A ， ∴B ∈(0°，30°]．答案：(0°，30°]10．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B ＝π3，cos A ＝45，b ＝ 3. (1)求sin C 的值；(2)求△ABC 的面积．解：(1)∵cos A ＝45， ∴sin A ＝1－cos 2A ＝35， ∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B＝35×cos π3＋45×sin π3＝35×12＋45×32＝3＋4310.(2)由正弦定理a sin A ＝b sin B得， a ＝sin A sin B ·b ＝3532×3＝65， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×65×3×3＋4310＝93＋3650.11．(创新题)在如图所示的四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BAD ＝60°，∠BCD ＝135°.(1)求sin ∠ADB ；(2)求BC 的长．解：(1)不妨设∠ADB ＝x ，则∠ABD ＝180°－∠BAD －∠ADB ＝120°－x ，由正弦定理得，AB sin ∠ADB ＝AD sin ∠ABD， 即14sin x ＝10sin (120°－x )， ∴7sin(120°－x )＝5sin x ，整理可得，73cos x ＝3sin x ，结合sin 2x ＋cos 2x ＝1及x ∈(0°，90°)，可解得，cos x ＝3926， sin x ＝71326. ∴sin ∠ADB ＝71326. (2)在△ABD 中利用正弦定理得，AB sin ∠ADB ＝BD sin ∠BAD， 即1471326＝BD 32， 解得BD ＝239.在△BDC 中利用正弦定理得，BC sin ∠BDC ＝BD sin ∠BCD， 即BC sin (90°－∠ADB )＝239sin135°， ∴BC ＝239×cos ∠ADB sin135°＝239×392622＝3 2.。
人教版化学必修1：第二章 第三节 第2课时 知能演练轻松闯关
1.下列说法中，正确的是( )A ．氧化剂本身被还原，生成氧化产物B ．氧化剂是在反应中得到电子(或电子对偏向)的物质C ．还原剂在反应时所含元素的化合价降低D ．在一个反应中，氧化剂和还原剂不可能是同一物质解析：选B 。
氧化剂本身被还原，应生成还原产物，A 错；还原剂在反应时所含元素的化合价应升高，C 错；在一个反应中，氧化剂和还原剂可能是同一物质，如氯酸钾分解制备氧气，氯酸钾既是氧化剂又是还原剂，D 错。
2.(2012·焦作高一检测)下列微粒中，只有氧化性的是( )①S 2－ ②Fe 2＋ ③Fe 3＋ ④S ⑤H ＋ ⑥Na ＋ ⑦MgA ．①⑦B ．②④C ．③⑤⑥D ．②④⑤⑥解析：选C 。
元素在最高价时只有氧化性。
S 2－在最低价，Fe 2＋处于中间价，Fe 3＋是最高价，S 在中间价态，H ＋在最高价，Na ＋在最高价，Mg 处于最低价，所以选C 。
3.需加入适当的氧化剂才能实现的反应是( )A ．PCl 3―→PCl 5B ．MnO －4―→Mn 2＋C ．SO 2―→SO 2－3D ．Fe 3O 4―→Fe 解析：选A 。
A 中，PCl 3―→PCl 5，P 的化合价升高，被氧化，需加氧化剂才能实现；B 中Mn 元素和D 中的Fe 元素化合价均降低，被还原，需加还原剂才能实现；C 中元素化合价未发生变化。
4.下列叙述正确的是( )A ．元素的单质一定由氧化或还原该元素的化合物制得B ．在化学反应中，得电子越多的氧化剂，其氧化性就越强C ．阳离子只能得到电子被还原，阴离子只能失去电子被氧化D ．含有最高价元素的化合物不一定具有很强的氧化性解析：选D 。
A 中存在2O 3======放电3O 2反应，不合题意，故错误；B 中氧化性强弱与得电子的多少无关，而是体现在得电子的能力强弱；C 中Fe 2＋可被氧化，也可被还原；D 中Na 2SO 4含有＋6价的硫，但没有强氧化性。
第二章2.3.1知能演练轻松闯关
1．如图所示，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a 、b 表示AD →，则AD →等于( )A ．a ＋34b B.14a ＋34bC.14a ＋14bD.34a ＋14b 解析：选B.AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝a ＋34(b －a )＝14a ＋34b .2．已知向量a ＝e 1－2e 2，b ＝2e 1＋e 2，其中e 1、e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1－2e 2的关系是( )A ．不共线B ．共线C ．相等D ．不确定 解析：选B.∵a ＋b ＝3e 1－e 2， ∴c ＝2(a ＋b )．∴a ＋b 与c 共线．3．如图，在矩形ABCD 中，若BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →＝( ) A.12(5e 1＋3e 2) B.12(5e 1－3e 2) C.12(3e 2－5e 1) D.12(5e 2－3e 1) 解析：选A.OC →＝12AC →＝12(AB →＋BC →)＝12(DC →＋BC →)＝12(5e 1＋3e 2)．4．AD 与BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 的中线，且AD →＝a ，BE →＝b ，则BC →等于( ) A.43a ＋23b B.23a ＋43b C.23a －23b D ．－23a ＋23b 解析：选B.设AD 与BE 的交点为F ，则AF →＝23a ，BF →＝23b ，由AB →＋BF →＋F A →＝0，得AB →＝23(a －b )，所以BC →＝2BD →＝2(AD →－AB →)＝23a ＋43b . 5．(2013·汉中高一检测)已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝－1且c 与d 反向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝1且c 与d 同向 解析：选A.∵c ∥d ，∴存在实数λ，使得c ＝λd ， 即k a ＋b ＝λ(a －b )＝λa －λb . 又a ，b 不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝－λ，∴λ＝k ＝－1，c ＝－d ， 故c 与d 反向．6．已知向量a 与b 的夹角是45°，则向量－2a 与－3b 的夹角是________．解析：－2a 与a 反向，－3b 与b 反向，故－2a 与－3b 的夹角等于a 与b 的夹角，为45°.答案：45°7．设a ，b 是两个不共线向量，已知AB →＝2a ＋k b ，CB →＝a ＋b ，CD →＝2a －b ，若A 、B 、D 三点共线，则k ＝________.解析：∵CB →＝a ＋b ，CD →＝2a －b ， ∴BD →＝CD →－CB →＝(2a －b )－(a ＋b )＝a －2b . ∵A 、B 、D 三点共线， ∴AB →＝λBD →，∴2a ＋k b ＝λ(a －2b )＝λa －2λb . 又a ，b 是两个不共线向量． ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2k ＝－2λ，∴k ＝－4. 答案：－48．设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________.解析：设e 1＋e 2＝m a ＋n b (m ，n ∈R )， ∵a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，∴e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2) ＝(m －n )e 1＋(2m ＋n )e 2. ∵e 1与e 2不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，∴m ＝23，n ＝－13，∴e 1＋e 2＝23a －13b .答案：23a －13b9．如图，D 是△ABC 中BC 边的中点，点F 在线段AD 上，且|AF →|＝2|FD →|，若AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AF →.解：∵D 是BC 的中点， ∴AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(a ＋b )．∵|AF →|＝2|FD →|，∴AF →＝23AD →＝23×12(a ＋b )＝13(a ＋b )．10．在△ABC 中，点D 在边CB 的延长线上，且CD →＝4BD →＝rAB →－sAC →，求s ＋r 的值． 解：如图所示，由题意， 得CD →＝4 BD →，∴CD →＝43CB →.又∵CB →＝AB →－AC →， ∴CD →＝43(AB →－AC →)＝43AB →－43AC →. ∴r ＝s ＝43.∴s ＋r ＝83.1．在△ABC 中，AD →＝14AB →，DE ∥BC ，且DE 与AC 相交于点E ，M 是BC 的中点，AM与DE 相交于点N ，若AN →＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R )，则x ＋y 等于( )A ．1 B.12C.14D.18解析：选C.AN →＝12(AD →＋AE →)＝12(14AB →＋14AC →)＝18AB →＋18AC →，∴x ＝y ＝18，即x ＋y ＝18＋18＝14.2．在如图所示的平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则MN →＝________.(用a ，b 表示)．解析：MN →＝MC →＋CN →＝12AD →－14AC → ＝12b －14(a ＋b )＝－14a ＋14b . 答案：－14a ＋14b3．(2013·济南一模)如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，求实数m 的值．解：由点B ，P ，N 共线，得AP →＝mAB →＋(1－m )AN →. 又AN →＝13NC →，因此AN →＝14AC →，AP →＝mAB →＋14(1－m )AC →＝mAB →＋211AC →，所以14(1－m )＝211，m ＝311.4．如图所示，P 是△ABC 内一点，且满足条件AP →＋2BP →＋3CP →＝0，设Q 为CP 延长线与AB 的交点，令CP →＝p ，用p 表示CQ →.解：∵AP →＝AQ →＋QP →，BP →＝BQ →＋QP →， ∴(AQ →＋QP →)＋2(BQ →＋QP →)＋3CP →＝0. ∴AQ →＋3QP →＋2BQ →＋3CP →＝0.又∵A ，B ，Q 三点共线，C ，P ，Q 三点共线， ∴AQ →＝λBQ →，CP →＝μQP →.∴λBQ →＋3QP →＋2BQ →＋3μQP →＝0.∴(λ＋2)BQ →＋(3＋3μ)QP →＝0. 而BQ →，QP →为不共线向量， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋2＝0，3＋3μ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－1. ∴CP →＝－QP →＝PQ →. 故CQ →＝CP →＋PQ →＝2CP →＝2p .。
专题二第3讲知能演练轻松闯关
1．(2012·河南省三市调研)已知i 为虚数单位，复数z ＝2＋i 1－2i，则|z |＋1z ＝( )A ．iB ．1－iC ．1＋iD ．－i解析：选B.由已知得z ＝2＋i 1－2i ＝－2i 2＋i 1－2i ＝i (1－2i )1－2i＝i ，|z |＋1z ＝|i|＋1i ＝1－i ，选B.2．设a ·b ＝4，若a 在b 方向上的投影为2，且b 在a 方向上的投影为1，则a 与b 的夹角等于( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.π3或2π3解析：选B.由题意知|a |＝4，|b |＝2，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝44×2＝12，∴θ＝π3. 3．(2012·高考四川卷)设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( )A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |解析：选C.a |a |表示与a 同向的单位向量，b|b |表示与b 同向的单位向量，只要a 与b 同向，就有a |a |＝b|b |，观察选择项易知C 满足题意． 4．(2012·高考大纲全国卷)在△ABC 中，AB 边的高为CD ，若CB →＝a ，CA →＝b ，a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则AD →＝( ) A.13a －13b B.23a －23b C.35a －35b D.45a －45b解析：选D.如图，∵a ·b ＝0，∴a ⊥b ， ∴∠ACB ＝90°，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝ 5. 又CD ⊥AB ，∴AC 2＝AD ·AB ，∴AD ＝455.∴AD →＝45AB →＝45(a －b )＝45a －45b .5．(2012·福州市质检)如图，已知点O 是边长为1的等边三角形ABC 的中心，则(OA →＋OB →)·(OA →＋OC →)等于( ) A.19 B ．－19 C.16 D ．－16解析：选D.∵点O 是边长为1的等边三角形ABC 的中心，∴|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝33，∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝2π3，∴(OA →＋OB →)·(OA →＋OC →)＝OA →2＋OA →·OC →＋OA →·OB →＋OB →·OC →＝(33)2＋3×(33)2cos 2π3＝－16.6．(2012·高考湖北卷)若3＋b i1－i ＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________.解析：3＋b i 1－i ＝(3＋b i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝3＋3i ＋b i －b 2＝a ＋b i ，∴⎩⎨⎧3－b2＝a ， ①3＋b2＝b ， ②①＋②得a ＋b ＝3. 答案：3 7．(2012·高考安徽卷)设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a |＝________. 解析：a ＋c ＝(1,2m )＋(2，m )＝(3,3m )． ∵(a ＋c )⊥b ， ∴(a ＋c )·b ＝(3,3m )·(m ＋1,1)＝6m ＋3＝0，∴m ＝－12.∴a ＝(1，－1)，∴|a |＝ 2. 答案： 2 8．(2012·高考安徽卷)若平面向量a ，b 满足|2a －b |≤3，则a ·b 的最小值是________． 解析：由|2a －b |≤3可知，4a 2＋b 2－4a ·b ≤9，所以4a 2＋b 2≤9＋4a ·b ，而4a 2＋b 2＝|2a |2＋|b |2≥2|2a |·|b |≥－4a ·b ，所以a ·b ≥－98，当且仅当2|a |＝|b |，〈a ，b 〉＝π时取“＝”号．答案：－989．已知向量AB →＝(3,1)，AC →＝(－1，a )，a ∈R.(1)若D 为BC 中点，AD →＝(m,2)，求a 、m 的值； (2)若△ABC 是直角三角形，求a 的值．解：(1)因为AB →＝(3,1)，AC →＝(－1，a )，所以AD →＝12()AB →＋AC →＝⎝⎛⎭⎫1，1＋a 2. 又AD →＝(m,2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，1＋a ＝2×2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，m ＝1. (2)因为△ABC 是直角三角形，所以A ＝90°或B ＝90°或C ＝90°.当A ＝90°时，由AB →⊥AC →，得3×(－1)＋1·a ＝0，所以a ＝3；当B ＝90°时，因为BC →＝AC →－AB →＝(－4，a －1)，所以由AB →⊥BC →， 得3×(－4)＋1·(a －1)＝0，所以a ＝13；当C ＝90°时，由BC →⊥AC →，得－1×(－4)＋a ·(a －1)＝0，即a 2－a ＋4＝0，因为a ∈R ，所以无解．综上所述，a ＝3或a ＝13.10．已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值；(2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．解：(1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，即4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)由|a |＝|b |知，sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝12＋22， 所以1－2sin2θ＋4sin 2θ＝5.从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4， 即sin2θ＋cos2θ＝－1，所以sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＝－22. 又由0<θ<π知，π4<2θ＋π4<9π4，所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4.故θ＝π2或θ＝3π4.11．已知向量m ＝(3sin x 4，1)，n ＝(cos x 4，cos 2x4)．(1)若m ·n ＝1，求cos(2π3－x )的值；(2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．解：(1)m ·n ＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin(x 2＋π6)＋12. 又∵m ·n ＝1，∴sin(x 2＋π6)＝12，cos(x ＋π3)＝1－2sin 2(x 2＋π6)＝12，cos(2π3－x )＝－cos(x ＋π3)＝－12.(2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得，(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C . ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0.∴cos B ＝12，B ＝π3.∴0<A <2π3.∴π6<A 2＋π6<π2，12<sin(A 2＋π6)<1. 又∵f (x )＝m ·n ＝sin(x 2＋π6)＋12，∴f (A )＝sin(A 2＋π6)＋12.故函数f (A )的取值范围是(1，32)．。
高中物理必修一第二章第三节知能演练轻松闯关
1．一物体做匀变速直线运动，下列说法中正确的是()A．物体的末速度一定与时间成正比B．物体的位移一定与时间的平方成正比C．物体的速度在一定时间内发生的变化与这段时间成正比D．若为匀加速运动，速度和位移都随时间增加；若为匀减速运动，速度和位移都随时间减小解析：选C.根据位移公式和速度公式可知，A、B两项错误．由加速度定义得Δv＝at，即Δv∝t，所以C项正确．匀加速直线运动中v、x随时间增加，但在匀减速直线运动中，v 在减小，x在增加，所以D项错误．2.A、B、C三质点同时同地沿一直线运动，其x -t图象如图所示，则在0～t0这段时间内，下列说法中正确的是()A．质点A的位移最大B．质点A的路程最小C．三质点的平均速度相等D．三质点平均速率相等解析：选C.由图象可知B做匀速直线运动，A、C做变速直线运动，但它们的初、末位置相同，所以三质点的位移大小相等，又因为所用时间也相同，所以三质点的平均速度也相等，由于A质点的路程最大，平均速率最大．故选C.3.马路上的甲、乙两辆汽车的速度—时间图象如图所示，由此可判断两车在这30分钟内的平均速度大小关系是()A．甲车大于乙车B．甲车小于乙车C．甲车等于乙车D．条件不足，无法判断解析：选A.甲图线与时间轴所围的面积大，故位移x大．因v＝xt，所以A正确．4．飞机的起飞过程从静止出发，在直跑道上加速前进，等达到一定速度时离地．已知飞机加速前进的路程为1 600 m，所用时间为40 s．假设这段运动为匀加速运动，用a表示加速度，v表示离地时的速度，则()A．a＝2 m/s2，v＝80 m/sB．a＝1 m/s2，v＝40 m/sC．a＝80 m/s2，v＝40 m/sD．a＝1 m/s2，v＝80 m/s解析：选A.由于初速度为0，故x ＝12at 2，a ＝2x t 2＝2 m/s 2，v ＝at ＝80 m/s.故选A. 5．一物体做匀加速直线运动，初速度为v 0＝5 m/s ，加速度为a ＝0.5 m/s 2，求：(1)物体在3 s 内的位移；(2)物体在第3 s 内的位移．解析：(1)根据匀变速直线运动的位移公式，3 s 内物体的位移x 3＝v 0t 3＋12at 23＝5×3 m ＋12×0.5×32 m ＝17.25 m. (2)2 s 内物体的位移x 2＝v 0t 2＋12at 22＝⎝⎛⎭⎫5×2＋12×0.5×22m ＝11 m 第3 s 内的位移x ＝x 3－x 2＝17.25 m －11 m ＝6.25 m.答案：(1)17.25 m (2)6.25 m一、选择题1．(多选)下图表示匀变速运动的是( )解析：选AC.v -t 图象斜率保持不变，说明加速度恒定不变，物体做匀变速直线运动，故A 正确；x -t 图象斜率保持不变，说明速度恒定不变，物体做匀速直线运动，故B 错误；a -t 图象纵坐标保持不变，说明物体的加速度不变，物体做匀变速直线运动，故C 正确；D 图象中斜率不断变化，所以物体做变速直线运动，故D 错误．故选AC.2．(单选)做匀减速直线运动的物体经4 s 停止，若在4 s 内的位移是32 m ，则最后1 s 内的位移是( )A ．3.5 mB ．2 mC ．1 mD ．0解析：选B.利用“逆向思维法”，把物体的运动看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，4 s 内的位移x ＝12at 2，最后1 s 内的位移x ′＝12at ′2，所以x x ′＝t 2t ′2，x ′＝2 m ，故选B.3．(单选)一物体由静止开始做匀变速直线运动，在时间t 内通过的位移为x ，则它从出发开始经过x 4的位移所用的时间为( ) A.t 4 B.t 2C.t 16D.22t 解析：选B.由x ＝12at 2和x 4＝12at ′2得：t ′＝t 2，故选B. 4．(多选)某质点的位移随时间变化规律的关系是x ＝4t ＋4t 2，x 与t 的单位分别为m 和s ，下列说法正确的是( )A ．v 0＝4 m/s ，a ＝4 m/s 2B ．v 0＝4 m/s ，a ＝8 m/s 2C ．2 s 内的位移为24 mD ．2 s 末的速度为24 m/s解析：选BC.由x ＝v 0t ＋12at 2＝4t ＋4t 2得：v 0＝4 m/s ，a ＝8 m/s 2，故A 错误B 正确；将t ＝2 s 代入x ＝4t ＋4t 2得x ＝24 m ，C 正确；v ＝v 0＋at ＝(4＋8×2) m/s ＝20 m/s ，D 错误．故选BC. 5.(单选)如图所示为甲、乙两物体运动的x -t 图象，则下列说法不．正确的是( ) A ．甲物体做变速直线运动，乙物体做匀速直线运动B ．两物体的初速度都为零C ．在t 1时间内两物体平均速度相等D ．相遇时，甲的速度大于乙的速度解析：选B.甲图线的斜率不断变化，乙图线的斜率不变，故A 正确；t ＝0时两图线的斜率不为零，故B 错误；t 1时间内位移相等，故C 正确；t 1时刻甲的斜率大，故D 正确．故选B.6．(多选)一辆汽车从静止开始由甲地出发，沿平直公路开往乙地，汽车先做匀加速直线运动，接着做匀减速直线运动，开到乙地刚好停止，其速度图象如图所示，那么0～t 和t ～3t 两段时间内( )A ．加速度大小之比为3∶1B ．位移大小之比为1∶2C ．平均速度大小之比为2∶1D ．平均速度大小之比为1∶1解析：选BD.由a ＝Δv Δt求得：a 1：a 2＝2∶1，故A 错误；由位移之比等于两个三角形面积之比得：x 1：x 2＝1∶2，故B 正确；由v ＝v 1＋v 22得：v 1∶v 2＝1∶1，故C 错误D 正确．故选BD.7．(多选)如图所示是两个物体A 和B 由同一地点出发沿同一直线向同一方向运动的速度—时间图象．由图象可知，A 、B 出发的情况为( )A ．A 、B 同时开始运动B ．A 、B 的初速度均为零C ．开始时A 的速度变化比B 快D ．0～t 2时间段内，A 在B 后面解析：选ABC.t ＝0时，二者速度皆为零．开始运动后的一段时间内，a A ＞a B,0～t 2时间段内，v A ＞v B ，A 在前，B 在后，故A 、B 、C 正确．☆8.(单选)(2013·湖州高一检测)汽车以10 m/s 的速度在水平路面上做匀速直线运动，后来以2 m/s 2的加速度刹车，那么刹车后6 s 内的位移是( )A ．24 mB ．96 mC ．25 mD ．24 m 或96 m解析：选C.汽车从刹车到停止所用的时间t ＝Δv a ＝5 s ，所以汽车6 s 内的实际运动时间是5 s ，由x ＝v 0t ＋12at 2可得x ＝25 m ，故选C. ☆9.(多选)一个以v 0＝5 m/s 的初速度做直线运动的物体，自始至终有一个与初速度方向相反、大小为2 m/s 2的加速度，则当物体位移大小为6 m 时，物体已运动的时间可能为( )A ．1 sB ．2 sC ．3 sD ．6 s解析：选BCD.当位移方向与v 0同向时，由x ＝v 0t ＋12at 2得：5t ＋12(－2)t 2＝6 解得：t 1＝2 s ，t 2＝3 s当位移与v 0反向时，5t ＋12(－2)t 2＝－6 解得：t 3＝6 s ，故选BCD.二、非选择题 10.如图所示为某客车的x -t 图象．(1)据图说明客车在各时间段的运动情况．(2)求各时间段的客车的速度．(3)求全程中客车的平均速度和平均速率．解析：(1)0～1 h ，客车向正方向匀速前进40 km.1 h ～1.5 h ，客车静止在40 km 处．1．5 h ～3 h ，客车沿负方向匀速返回．(2)客车在0～1 h 内的速度v 1＝Δx 1Δt 1＝401km/h ＝40 km/h 1 h ～1.5 h 内客车静止，故v 2＝0 km/h1．5 h ～3 h 内的速度v 3＝Δx 3Δt 3＝0－403－1.5km/h ＝－26.7 km/h ，负号表示与v 1方向相反． (3)全程的总位移为零，故平均速度为零．平均速率v ＝s t ＝2×403km/h ＝26.7 km/h. 答案：见解析11．某市规定，汽车在学校门前马路上的行驶速度不得超过40 km/h.一辆汽车在校门前马路上遇紧急情况刹车，由于车轮抱死，滑行时在马路上留下一道笔直的车痕，交警测量了车痕长度为9 m ，又从监控资料上确定了该车从刹车到停止的时间为1.5 s ，根据以上材料判断出这辆车有没有违章超速？解析：汽车滑行9米停下来，可以看做反向的初速为0的匀加速运动，则由x ＝12at 2，得a ＝2x t 2＝2×91.52 m/s 2＝8 m/s 2 v ＝at ＝8×1.5 m/s ＝12 m/s ＝43.2 km/h>40 km/h.此车超速．答案：见解析12．某高速列车刹车前的速度为v 0＝50 m/s ，刹车获得的加速度大小为a ＝5 m/s 2，求：(1)列车刹车开始后20 s 内的位移；(2)从开始刹车到位移为210 m 所经历的时间；(3)静止前2秒内列车的位移．解析：(1)列车从开始刹车到停下用时：由v ＝v 0＋at 得：t ＝v －v 0a ＝0－50－5s ＝10 s 则20 s 内的位移等于10 s 内的位移．x ＝v 0t ＋12at 2＝[50×10＋12×(－5)×102] m ＝250 m(2)由x ＝v 0t ＋12at 2得： 210＝50t ＋12×(－5)t 2 解得：t 1＝6 st 2＝14 s(不合题意，舍去)．(3)列车的运动可看做初速度为0的反向加速运动则x ′＝12at ′2＝12×5×22 m ＝10 m. 答案：(1)250 m (2)6 s (3)10 m。
湘教版数学选修2-24.3.1知能演练轻松闯关.docx
1.命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.例如：f (x )＝x 3在(－1，1)内是单调递增的，但f ′(x )＝3x 2≥0(－1<x <1)，故甲是乙的充分不必要条件，选A. 2.(2012·荣昌质检)函数y ＝x －ln(1＋x )的单调增区间为( ) A ．(－1，0) B ．(－∞，－1)和(0，＋∞) C ．(0，＋∞) D ．(－∞，－1) 解析：选C.y ′＝1－11＋x ＝x 1＋x .令y ′＞0，得x 1＋x＞0，∴x ＞0或x ＜－1.又x ＋1＞0，∴x ＞0.3.若在区间(a ，b )内，f ′(x )>0，且f (a )≥0，则在(a ，b )内有( ) A ．f (x )>0 B ．f (x )<0 C ．f (x )＝0 D ．不能确定解析：选A.因f ′(x )>0，所以f (x )在(a ，b )上是增函数，所以f (x )>f (a )≥0. 4.(2011·高考江苏卷改编)函数f (x )＝2log 5x ＋1的单调增区间是________． 解析：令f ′(x )＝2x ln5>0，得x ∈(0，＋∞)． 答案：(0，＋∞)一、选择题1.函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0，3) C ．(1，4) D ．(2，＋∞)解析：选D.f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ， 令f ′(x )>0，解得x >2，故选D.2.函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(0，1)B ．(0，1)和(－∞，－1)C ．(0，1)∪(1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选A.y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，由y ′＝x －1x ＝x 2－1x＜0，∴0＜x ＜1.所以选A.3.(2012·梁平检测)设f (x )、g (x )是定义域为R 的恒大于零的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )＜0，则当a ＜x ＜b 时，有( ) A ．f (x )g (x )＞f (b )g (b ) B ．f (x )g (a )＞f (a )g (x ) C ．f (x )g (b )＞f (b )g (x ) D ．f (x )g (x )＞f (a )g (a )解析：选C.令F (x )＝f （x ）g （x ），则F ′(x )＝f ′（x ）·g （x ）－f （x ）g ′（x ）g 2（x ）＜0.∵f (x )、g (x )是定义域为R 的恒大于零的可导函数，∴F (x )在R 上为递减函数，当x ∈(a ，b )时，f （x ）g （x ）＞f （b ）g （b ）.∴f (x )g (b )＞f (b )g (x )． 4.已知函数y ＝f (x )在定义域[－4，6]内可导，其图象如图，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为( ) A ．[－43，1]∪[113，6]B ．[－3，0]∪[73，5]C ．[－4，－43]∪[1，73]D ．[－4，－3]∪[0，1]∪[5，6] 解析：选A.由不等式f ′(x )≤0的解集即为原函数f (x )的单调递减区间所对应的x 的取值范围，知选A.5.设f (x )，g (x )在(a ，b )上可导，且f ′(x )＞g ′(x )，则当a ＜x ＜b 时有( ) A ．f (x )＞g (x ) B ．f (x )＜g (x )C ．f (x )＋g (a )＞g (x )＋f (a )D ．f (x )＋g (b )＞g (x )＋f (b )解析：选C.利用函数的单调性判断．令φ(x )＝f (x )－g (x )，则φ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )，∵f ′(x )＞g ′(x )，∴φ′(x )＞0，即函数φ(x )为定义域上的增函数．又a ＜x ＜b ，∴φ(a )＜φ(x )，即f (a )－g (a )＜f (x )－g (x )，从而得f (x )＋g (a )＞g (x )＋f (a )． 6.(2012·大足质检)函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数( ) A.⎝⎛⎭⎫π2，3π2B.()π，2πC.⎝⎛⎭⎫3π3，5π2D.()2π，3π解析：选B.y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ，若y ＝f (x )在某区间内是增函数，只需在此区间内y ′恒大于或等于0即可．∴只有选项B 符合题意，当x ∈(π，2π)时，y ′≥0恒成立． 二、填空题7.函数y ＝3x －x 3在(－1，1)内的单调性是________． 解析：y ′＝3－3x 2，由y ′＞0得－1＜x ＜1， ∴y ＝3x －x 3在(－1，1)内单调递增． 答案：增函数8.y ＝x 2e x 的单调递增区间是________． 解析：∵y ＝x 2e x ，∴y ′＝2x e x ＋x 2e x ＝e x x (2＋x )>0⇒x <－2或x >0. ∴递增区间为(－∞，－2)和(0，＋∞)． 答案：(－∞，－2)，(0，＋∞)9.(2012·奉节调研)若函数y ＝－43x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围是________．解析：∵y ′＝－4x 2＋a ，且y 有三个单调区间， ∴方程y ′＝－4x 2＋a ＝0有两个不等的实根， ∴Δ＝02－4×(－4)×a >0， ∴a >0.答案：(0，＋∞) 三、解答题10.求下列函数的单调区间． (1)f (x )＝x 3＋3x；(2)f (x )＝sin x (1＋cos x )(0≤x ≤2π)．解：(1)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f ′(x )＝3x 2－3x 2＝3(x 2－1x2)，由f ′(x )>0，解得x <－1或x >1，由f ′(x )<0，解得－1<x <1且x ≠0，∴递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)， 递减区间为(－1，0)，(0，1)．(2)f ′(x )＝cos x (1＋cos x )＋sin x (－sin x ) ＝2cos 2x ＋cos x －1＝(2cos x －1)(cos x ＋1)． ∵0≤x ≤2π，∴由f ′(x )＝0得x 1＝π3，x 2＝π，x 3＝53π，则区间[0，2π]被分成三个子区间，如表所示： x 0 (0，π3)π3 (π3，π) π (π，5π3) 5π3 (5π3，2π) 2πf ′(x ) ＋0 － 0 － 0 ＋f (x )↗↘↘↗∴f (x )＝sin x (1＋cos x )(0≤x ≤2π)的单调递增区间为[0，π3]，[53π，2π]，单调递减区间为(π3，53π)． 11.(2012·北碚质检)已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x .设f (x )在区间[－1，1]上是单调函数，求a 的取值范围．解：f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x ＝e x [x 2＋2(1－a )x －2a ]．令f ′(x )＝0，即x 2＋2(1－a )x －2a ＝0.解得x 1＝a －1－1＋a 2，x 2＝a －1＋1＋a 2， 其中x 1<x 2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况见下表：x (－∞，x 1)x 1 (x 1，x 2) x 2 (x 2，＋∞)f ′(x ) ＋0 － 0 ＋f (x )↗↘↗∵a ≥0，∴x 1<－1，x 2≥0，f (x )在(x 1，x 2)上单调递减．由此可得f (x )在[－1，1]上是单调函数的充要条件为x 2≥1，即a －1＋1＋a 2≥1，解得a ≥34.故所求a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 12.(创新题)设k ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧11－x ， x ＜1，－x －1，x ≥1，F (x )＝f (x )－kx ，x ∈R.试讨论函数F (x )的单调性．解：F (x )＝f (x )－kx ＝⎩⎪⎨⎪⎧11－x －kx ， x ＜1，－x －1－kx ，x ≥1.F ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1（1－x ）2－k ， x ＜1，－12x －1－k ，x ≥1.对于F (x )＝11－x－kx (x ＜1)，当k ≤0时，函数F (x )在(－∞，1)上是增函数；当k ＞0时，函数F (x )在(－∞，1－1k )上是减函数，在(1－1k ，1)上是增函数．对于F (x )＝－x －1－kx (x ≥1)，当k ≥0时，函数F (x )在(1，＋∞)上是减函数；当k ＜0时，函数F (x )在(1，1＋14k 2)上是减函数，在(1＋14k2，＋∞)上是增函数．。
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1．一物体做匀变速直线运动，下列说法中正确的是( )A ．物体的末速度一定与时间成正比B ．物体的位移一定与时间的平方成正比C ．物体的速度在一定时间内发生的变化与这段时间成正比D ．若为匀加速运动，速度和位移都随时间增加；若为匀减速运动，速度和位移都随时间减小解析：选C.根据位移公式和速度公式可知，A 、B 两项错．由加速度定义得Δv ＝at ，即Δv ∝t ，所以C 项对．匀加速直线运动中v 、x 随时间增加，但在匀减速直线运动中，v 在减小，x 在增加，所以D 项错．2．由静止开始做匀加速直线运动的物体，在第1 s 内的位移为2 m ．关于该物体的运动情况，以下说法正确的是( )A ．第1 s 内的平均速度为2 m/sB ．第1 s 末的瞬时速度为2 m/sC ．第2 s 内的位移为4 mD ．运动过程中的加速度为4 m/s 2解析：选AD.由v ＝x t ＝21 m/s ＝2 m/s 知，A 对；由公式x ＝12at 2得：a ＝2x 1t 21＝2×212 m/s 2＝4 m/s 2，v 1＝at 1＝4 m/s ，B 错，D 对；第2秒内的位移x 2＝12at 22－12at 21＝12×4×(22－12)＝6 m ，C 错．3．如图2－3－5所示为一列火车出站后做匀加速直线运动的v －t 图象．请用“图象面积法”求出这列火车在8 s 内的位移为( )图2－3－5A ．40 mB ．80 mC ．120 mD ．160 m解析：选C.v －t 图线与时间轴所围面积S ＝12(上底＋下底)×高＝12×(10＋20)×8＝120，此面积对应于列车8 s 内的位移，故该列车在8 s 内的位移是x ＝120 m ，C 正确．4．一物体由静止开始做匀变速直线运动，在时间t 内通过的位移为x ，则它从出发开始经过x 4的位移所用的时间为( ) A.t 4 B.t 2C.t 16D.22t 解析：选B.由x ＝12at 2和x 4＝12at ′2得：t ′＝t 2，故B 对． 5．一小球沿斜面由静止开始匀加速滚下(斜面足够长)，已知小球在第4 s 末的速度为4 m/s.求：(1)第6 s 末的速度；(2)前6 s 内的位移；(3)第6 s 内的位移．解析：a ＝v －v 0t ＝4－04m/s 2＝1 m/s 2 (1)第6 s 末的速度：v ′＝at ′＝1×6 m/s ＝6 m/s(2)前6 s 内的位移：x ＝12at ′2＝12×1×62＝18 m (3)第6 s 内的位移：Δx ＝x －12a (t ′－1)2＝[18－12×1×(6－1)2]m ＝5.5 m. 答案：(1)6 m/s (2)18 m (3)5.5 m一、单项选择题1．如图2－3－6是一辆汽车做直线运动的x －t 图象，对线段OA 、AB 、BC 、CD 所表示的运动，下列说法正确的是( )图2－3－6 A ．OA 段运动速度最大B ．AB 段物体做匀速运动C ．CD 段的运动方向与初始运动方向相反D ．运动4 h 汽车的位移大小为30 km解析：选C.x －t 图象中的斜率表示速度，由图可知CD 段速度最大，A 错；AB 段表示静止，B 错；初始运动沿正方向，CD 段运动沿负方向，C 对；4 h 内汽车的位移为0，D 错，选C.2．马路上的甲、乙两辆汽车的速度—时间图象如图2－3－7所示，由此可判断两车在这30分钟内的平均速度大小关系是( )图2－3－7A ．甲车大于乙车B ．甲车小于乙车C ．甲车等于乙车D ．条件不足，无法判断 解析：选A.甲图线与时间轴所围的面积大，故位移x 大．因v ＝x t，所以A 对． 3．质点从静止开始做匀加速直线运动，在第1个2 s 、第2个2 s 和第5 s 内三段位移比为( )A ．2∶6∶5B ．2∶8∶7C ．4∶12∶9D ．2∶2∶1解析：选C.由位移公式x ＝12at 2得第1个2 s 内的位移x 1＝12at 21＝12a ×22＝2a.第2 个2 s 内的位移x 2＝12a(t 22－t 21)＝12a(42－22)＝6a ，第5 s 内的位移x 3＝12a(52－42)＝92a ，故x 1∶x 2∶x 3＝2a ∶6a ∶92a ＝4∶12∶9，因此选C. 4．一辆汽车以20 m/s 的速度沿平直路面行驶，当汽车以5 m/s 2的加速度刹车时，则刹车2 s 内与刹车6 s 内的位移之比为( )A ．1∶1B ．3∶4C ．3∶1D ．4∶3解析：选B.汽车刹车后最终静止，应先求汽车运动的最长时间，由v ＝v 0＋at ，得t ＝v －v 0a＝0－20－5s ＝4 s ，即刹车后汽车运动4 s,6 s 内的位移即4 s 内的位移．因为x 2＝v 0t 1＋12at 21＝[20×2＋12×(－5)×22]m ＝30 m ，x 4＝x 6＝[20×4＋12×(－5)×16]m ＝40 m ，所以x 2∶x 6＝3∶4.二、双项选择题5．下列图象表示匀变速直线运动的是( )图2－3－8 答案：BD6．(2012·江门二中高一测试)一辆汽车从静止开始由甲地出发，沿平直公路开往乙地，汽车先做匀加速直线运动，接着做匀减速直线运动，开到乙地刚好停止，其速度图象如图2－3－9所示，那么0～t 和t ～3t 两段时间内( )图2－3－9 A ．加速度大小之比为3∶1B ．位移大小之比为1∶2C ．平均速度大小之比为2∶1D ．平均速度大小之比为1∶1解析：选BD.由a ＝Δv Δt求得：a 1：a 2＝2∶1，故A 错；由位移之比等于两个三角形面积之比得：x 1：x 2＝1∶2，故B 对；由v ＝v 1＋v 22得：v 1∶v 2＝1∶1，故C 错D 对． 7．某质点的位移随时间变化规律的关系是x ＝4t ＋4t 2，x 与t 的单位分别为m 和s ，下列说法正确的是( )A ．v 0＝4 m/s ，a ＝4 m/s 2B ．v 0＝4 m/s ，a ＝8 m/s 2C ．2 s 内的位移为24 mD ．2 s 末的速度为24 m/s解析：选BC.由x ＝v 0t ＋12at 2＝4t ＋4t 2得：v 0＝4 m/s ，a ＝8 m/s 2，故A 错B 对；将t ＝2 s 代入x ＝4t ＋4t 2得x ＝24 m ，C 对；v ＝v 0＋at ＝(4＋8×2)m/s ＝20 m/s ，D 错．8．飞机的起飞过程是从静止出发，在直跑道上加速前进，等达到一定速度时离地．已知飞机在直跑道上加速前进的位移为1600 m ，所用的时间为40 s ，假设这段运动是匀加速运动，用a 表示加速度，v 表示飞机离地时的速度，则( )A ．a ＝2 m/s 2B ．a ＝1 m/s 2C ．v ＝40 m/sD ．v ＝80 m/s解析：选AD.由x ＝12at 2得a ＝2x t 2＝2×1600402 m/s 2＝2 m/s 2，v ＝at ＝2×40 m/s ＝80 m/s ，故A 、D 对．9．一个以v 0＝5 m/s 的初速度做直线运动的物体，自始至终有一个与初速度方向相反、大小为2 m/s 2的加速度，则当物体位移大小为6 m 时，物体已运动的时间可能为( )A ．1 sB ．2 sC ．4 sD ．6 s解析：选BD.当位移方向与v 0同向时，由x ＝v 0t ＋12at 2得：5t ＋12(－2)t 2＝6 解得：t 1＝2 s ，t 2＝3 s当位移与v 0反向时，5t ＋12(－2)t 2＝－6 解得：t 3＝6 s ，故B 、D 正确．三、非选择题10．山地滑雪是人们喜爱的一项体育运动，一个滑雪的人从85 m 长的山坡上匀变速滑下，初速度是1.8 m/s ，末速度是5.0 m/s ，则他通过这段山坡需要多长时间？解析：因滑雪的人沿山坡匀变速滑下，我们可以认为他的运动是直线，由v ＝v 0＋at 可得at ＝v －v 0，代入x ＝v 0t ＋12at 2得x ＝v 0t ＋12(v －v 0)t ＝12(v 0＋v )t ，解得t ＝2x v 0＋v＝25 s. 答案：25 s11．某市规定，汽车在学校门前马路上的行驶速度不得超过40 km/h.一辆汽车在校门前马路上遇紧急情况刹车，由于车轮抱死，滑行时在马路上留下一道笔直的车痕，交警测量了车痕长度为9 m ，又从监控资料上确定了该车从刹车到停止的时间为1.5 s ，根据以上材料判断出这辆车有没有违章超速？解析：汽车滑行9米停下来，可以看做反向的初速为0的匀加速运动，则∵x ＝12at 2， ∴a ＝2x t 2＝2×91.52 m/s 2＝8 m/s 2 v ＝at ＝8×1.5 m/s ＝12 m/s ＝43.2 km/h>40 km/h.此车超速．答案：见解析12．某高速列车刹车前的速度为v 0＝50 m/s ，刹车获得的加速度大小为a ＝5 m/s 2，求：(1)列车刹车开始后20 s 内的位移；(2)从开始刹车到位移为210 m 所经历的时间；(3)静止前2秒内列车的位移．解析：(1)列车从开始刹车到停下用时：由v ＝v 0＋at 得：t ＝v －v 0a ＝0－50－5s ＝10 s 则20 s 内的位移等于10 s 内的位移．x ＝v 0t ＋12at 2＝[50×10＋12×(－5)×102] m ＝250 m(2)由x ＝v 0t ＋12at 2得： 210＝50t ＋12×(－5)t 2解得：t 1＝6 st 2＝14 s(不合题意，舍去)(3)列车的运动可看做初速度为0的反向加速运动则x ′＝12at ′2＝12×5×22 m ＝10 m. 答案：(1)250 m (2)6 s (3)10 m。