考研数学常用图形求面积
2021年考研数学高数考点解析
2021年考研数学高数考点解析高等数学作为硕士研究生招生考试的内容之一，主要考查考生对高等数学的基本概念、基本理论、基本方法的理解和掌握以及考生的抽象思维能力、逻辑推理能力、综合运用能力和解决实际问题的能力。
依据数学考试大纲中的考试要求，包新卓老师在下面的表格中简要罗列了高等数学在数学(一)、数学(二)和数学(三)这三个卷种中所涵盖的考试内容。
接下来，包新卓老师就从数学(一)、数学(二)、数学(三)的公共部分开始。
一、函数、极限、连续高等数学在考研中，也被称为微积分学。
微积分学的研究对象是函数，许多重要的概念都需要用极限理论精确定义，因此极限是微积分学的重要基础，这部分内容对后续内容的学习影响深远，故应重点掌握。
在这一部分，由于数学(一)、数学(二)、数学(三)的考试要求完全一样，故这里不做分类。
考纲内容：1、函数的概念及表示法、函数关系的建立;2、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性;3、复合函数、反函数、分段函数和隐函数;4、基本初等函数的性质及其图形，初等函数;5、数列极限与函数极限的定义及其性质;6、函数的左极限和右极限;7、无穷小量和无穷大量的概念及其关系，无穷小量的性质及无穷大量的比较;8、极限的四则运算：掌握极限的四则运算法则;9、极限存在的两个准则(单调有界准则和夹逼准则)，两个重要极限;10、函数连续的概念，函数间断点的类型;11、初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质;根据往年改卷反馈回来的数据可知，大部分考生对函数、极限、连续这一部分的内容普遍掌握得比较好，但由于这部分内容与后续内容多有交叉，因此考生要注意前后知识的融会贯通。
二、一元函数微分学一元函数微分学不仅在微积分的学习中占有着极其重要的地位，而且它也是考研数学考查的重点。
在这里，对于数学(一)和数学(二)单独考点，包新卓老师会在相应的内容后面予以标出，未做任何标出的内容则为数学(一)、数学(二)、数学(三)的公共考点。
几何图形的面积计算
几何图形的面积计算几何图形的面积计算是数学中非常重要的一部分，它涉及到了诸多的几何知识和计算方法。
在几何学中，面积是用来描述平面图形所占的空间大小的一个指标。
不同的几何图形有不同的面积计算公式，下面将会一一介绍各个常见几何图形的面积计算方法。
一、矩形的面积计算矩形是最简单的几何图形之一，它的面积计算公式是：面积 = 长 ×宽。
例如，一个矩形的长为5cm，宽为3cm，那么它的面积 = 5cm ×3cm = 15cm²。
二、三角形的面积计算三角形也是常见的几何图形，它的面积计算公式是：面积 = 1/2 ×底边长 ×高。
例如，一个三角形的底边长为4m，高为6m，那么它的面积 = 1/2 ×4m × 6m = 12m²。
三、圆形的面积计算圆形是一种特殊的几何图形，其面积计算公式是：面积= π × 半径²。
其中，π是一个无理数，约等于3.14159。
半径是圆的半径长度。
例如，一个圆的半径为5cm，那么它的面积 = 3.14159 × 5cm × 5cm= 78.54cm²。
四、正方形的面积计算正方形是边长相等的矩形，因此它的面积计算公式与矩形相同，即：面积 = 边长 ×边长。
例如，一个正方形的边长为7cm，那么它的面积 = 7cm × 7cm =49cm²。
五、梯形的面积计算梯形也是一种常见的几何图形，它的面积计算公式是：面积 = 1/2 ×(上底 + 下底) ×高。
例如，一个梯形的上底为4cm，下底为8cm，高为5cm，那么它的面积 = 1/2 × (4cm + 8cm) × 5cm = 30cm²。
六、圆环的面积计算圆环是由两个同心圆围成的区域，它的面积计算公式是：面积= π× (外圆半径² - 内圆半径²)。
图形求解面积技巧
图形求解面积技巧图形求解面积是几何学中的基本内容，根据不同的图形形状，求解面积的方法也不同。
在解题过程中，我们可以利用一些技巧来更快地求解面积。
以下是一些常见的图形求解面积的技巧。
一、矩形和正方形的面积求解技巧矩形和正方形是最简单的图形，其面积求解公式是直接应用的，即面积等于长度乘以宽度。
如果给定的是边长，可以根据给定的边长求解面积。
二、三角形的面积求解技巧三角形的面积求解有多种方法。
常见的方法有：1. 正直角三角形的面积求解：对于直角三角形，可以利用两条直角边的长度来求解面积，公式为面积等于直角边乘以直角边除以2。
2. 任意三角形的面积求解：根据三角形的海伦公式，可以利用三条边长来求解面积，公式为面积等于根号下（p * (p - a) * (p - b) * (p - c)），其中 p 为半周长，p = (a +b + c) / 2。
三、圆的面积求解技巧圆的面积求解需要用到圆周率π。
常见的圆的面积求解方法有：1. 根据半径求解圆的面积：对于给定半径的圆，可以直接用公式面积等于π乘以半径的平方来求解。
2. 根据直径求解圆的面积：如果给定的是圆的直径，可以先将直径除以2得到半径的长度，然后利用公式面积等于π乘以半径的平方来求解面积。
四、梯形的面积求解技巧梯形的面积求解需要利用梯形的上底、下底和高。
常见的梯形的面积求解方法有：1. 根据上底和下底求解梯形的面积：对于给定上底、下底和高的梯形，可以利用公式面积等于上底加下底乘以高除以2来求解面积。
2. 根据对角线和高求解梯形的面积：如果给定的是梯形的对角线和高的长度，可以利用公式面积等于对角线之和乘以高除以2来求解面积。
五、平行四边形的面积求解技巧平行四边形的面积求解需要利用平行四边形的底和高。
常见的平行四边形的面积求解方法有：1. 根据底和高求解平行四边形的面积：对于给定底和高的平行四边形，可以利用公式面积等于底乘以高来求解面积。
2. 根据对角线和夹角求解平行四边形的面积：如果给定的是平行四边形的对角线和夹角，可以利用公式面积等于对角线之积乘以夹角的正弦值来求解面积。
考研数学-专题11 平面域的面积与旋转体的体积
_______ .
[ 3 − ln 2] 2
∫x
【例 2】设 f (x) = t t d t, 则曲线 y = f (x) 与 x 轴所围成封闭图形的面积 −1 为 _________ . x
∫ 【解】 由于 t t 为奇函数，则 f (x) = t t d t 为偶函数， −1 而 f ′(x) = x x < 0, (x < 0), f (−1) = 0,
0
0
D y≥0
∫ = 2π π (1+ cosθ )3 sinθdθ = 8π
30
3
【例
10】已知曲线
L
:
⎧x
⎨ ⎩
y
= =
f (t), (0
cos t
≤
t
<
π) 2
，其中函数
f
(t) 具有连续导数，且
f (0) = 0, f ′(t) > 0(0 < t < π ). 若曲线 L 的切线与 x 轴的交点到切点的距离恒为 1. 2
∫ = 4π
2
[(x −1) +1]
1− (x −1)2 dx
0
∫ = 4π 2 1− (x −1)2 dx 0
= 4π ⋅ π 2
(奇偶性平移) (定积分几何意义)
= 2π 2
方法二 Vy = 2π ∫∫ r(x, y)dσ = 2π ∫∫ xdσ
D
D
3
= 2π ∫∫[(x −1) +1]dσ D
(B)
【例 4】 设平面图形 A 由 x 2 + y 2 ≤ 2x 所确定,试求
(Ⅰ)图形 A 绕 y 旋转一周所得旋转体的体积;
考研数学二课本要点指导
高数部分:(配同济六版教材)第一章函数与极限(考研必考章节,其中求极限是本章最重要的内容,要掌握求极限的集中方法)第一节映射与函数(一般章节)一、集合(不用看)二、映射(不用看)三、函数(了解)注:P1--5 集合部分只需简单了解P5--7不用看P7--17 重点看一下函数的四大性态:单调、奇偶、周期、有界P17--20 不用看P21 习题1.11、2、3大题均不用做4大题只需做(3)(5)(7)(8)5--9 均做10大题只需做(4)(5)(6)11大题只需做(3)(4)(5)12大题只需做(2)(4)(6)13做14不用做 15、16重点做17--20应用题均不用做第二节数列的极限(一般章节本章用极限定义证的题目考纲不作要求,可不看) 一、数列极限的定义(了解)二、收敛极限的性质(了解)P26--28 例1、2、3均不用证p28--29 定理1、2、3的证明不用自己证但要会理解P30 定理4不用看P30--31 习题1-21大题只需做(4)(6)(8)2--6均不用做第三节(一般章节)(标题不再写了对应同济六版教材标题一、(了解)二、(了解)P33--34 例1、2、3、4、5只需大概了解即可P35 例6 要会做例7 不用做P36--37 定理2、3证明不用看定理3?4”完全不用看p37习题1--31--4 均做5--12 均不用做第四节(重要)一、无穷小(重要)二、无穷大(了解)p40 例2不用做p41 定理2不用证p42习题1--41做2--5 不全做6 做7--8 不用做第五节(注意运算法则的前提条件是各自存在)p43 定理1、2的证明要理解p44推论1、2、3的证明不用看p48 定理6的证明不用看p49 习题1--51题只需做(3)(6)(7)(8)(10)(11)(13)(14)2、3要做4、5重点做6不做第六节极限存在准则(重要) 两个重要极限(重要两个重要极限要会证明p50 准则1的证明要理解p51 重要极限一定要会独立证明(经典重要极限)p53另一个重要极限的证明可以不用看p55--56柯西极限存在准则不用看p56习题1--71大题只做(1)(4)(6)2全做3不用做4全做,其中(2)(3)(5)重点做第七节(重要)p58--59 定理1、2的证明要理解p59 习题1--7 全做第八节(基本必考小题)p60--64 要重点看第八节基本必出考题p64 习题1--81、2、3、4、5要做其中4、5要重点做6--8不用做第九节(了解)p66--67 定理3、4的证明均不用看p69 习题1--91、2要做3大题只做(3)——(6)4大题只做(4)——(6)5、6均要重点做第十节(重要,不单独考大题,但考大题会用到)一、(重要)二、(重要)p72三、一致连续性(不用看)p74习题1--101、2、3、5要做,要会用5的结论。
图形的面积计算方法
图形的面积计算方法面积是图形的一个重要属性，它描述了图形所占有的平面区域的大小。
计算图形的面积是数学中一个基本的问题，而不同类型的图形有不同的面积计算方法。
本文将为您介绍几种常见图形的面积计算方法。
一、长方形的面积计算方法长方形是一种矩形，它的两边长度不同，但相邻两边分别相等。
长方形的面积计算方法非常简单，只需要将长方形的长度与宽度相乘即可计算得出。
设长方形的长度为l，宽度为w，则其面积S可以表示为：S = l × w。
二、正方形的面积计算方法正方形是一种特殊的长方形，它的四条边长度都相等。
正方形的面积计算方法与长方形类似，也是将正方形的边长平方即可。
设正方形的边长为a，则其面积S可以表示为：S = a × a = a²。
三、三角形的面积计算方法三角形是由三条边所围成的图形，它没有平行边。
计算三角形的面积需要使用三角形的底和高的长度。
设三角形的底为b，高为h，则其面积S可以表示为：S = 1/2 × b × h。
四、圆形的面积计算方法圆形是一个完全由曲线所围成的图形，其特点是任意两点到圆心的距离都相等。
计算圆形的面积需要使用圆的半径。
设圆的半径为r，则其面积S可以表示为：S = π × r²，其中π是一个常数，近似取值为3.14159。
五、梯形的面积计算方法梯形是一个由两条平行边和两条非平行边所围成的图形。
计算梯形的面积需要使用梯形的上底、下底及高的长度。
设梯形的上底为a，下底为b，高为h，则其面积S可以表示为：S = 1/2 × (a + b) × h。
六、其他图形的面积计算方法除了上述几种常见图形外，还有许多其他类型的图形，如圆环、扇形、多边形等。
这些图形的面积计算方法不在本文的讨论范围内，但是它们的面积计算方法一般都可以通过将图形划分为若干个已知面积的基本图形来计算。
综上所述，计算图形的面积需要根据图形的类型选择相应的面积计算方法。
数学图形面积的知识点总结
数学图形面积的知识点总结一、基本概念1.1 面积面积是指平面图形所围成的区域大小，用于描述图形的大小和形状。
在数学中，面积通常用于描述二维图形的大小，比如矩形、三角形、圆等。
面积通常用单位平方来表示，例如平方米、平方厘米等。
1.2 单位面积单位面积是指用于计量面积的标准单位，通常用平方米（m²）作为国际标准单位。
其他常用的单位面积包括平方厘米（cm²）、平方分米（dm²）、平方千米（km²）等。
1.3 图形在数学中，图形是指可以用线段和曲线相互连接的点组成的集合。
常见的图形包括直线、圆、多边形等。
二、常见图形的面积计算方法2.1 矩形的面积计算矩形的面积计算公式为：面积 = 长 × 宽。
其中，长和宽分别表示矩形的两条边的长度。
2.2 正方形的面积计算正方形是一种特殊的矩形，它的四条边相等。
正方形的面积计算公式为：面积 = 边长 × 边长。
2.3 三角形的面积计算三角形的面积计算公式为：面积 = 底边长 × 高 ÷ 2。
其中，底边长表示三角形的底边的长度，高表示从顶点到底边的垂直距离。
2.4 梯形的面积计算梯形的面积计算公式为：面积 = 上底长 + 下底长 × 高 ÷ 2。
其中，上底长和下底长分别表示梯形的上底和下底的长度，高表示梯形的高度。
2.5 圆的面积计算圆的面积计算公式为：面积= π × 半径的平方。
其中，π表示圆周率，半径表示圆的半径长度。
2.6 正多边形的面积计算正多边形是一种边数相等、边长相等的多边形。
正多边形的面积计算公式为：面积 = 1/4× n × 边长的平方× cot(π/n)。
其中，n表示正多边形的边数，边长表示正多边形的边长。
三、特殊图形的面积计算3.1 梯形的面积计算不规则图形的面积计算通常通过分解成规则图形来解决。
将不规则图形分成若干个三角形、矩形或者其他规则图形，并分别计算他们的面积，再将这些面积相加，就得到了整个图形的面积。
常见几何图形的面积计算
常见几何图形的面积计算在我们的日常生活和学习中，几何图形无处不在，而计算它们的面积是一项重要的技能。
无论是在装修房屋时计算地板的面积，还是在农业中计算田地的面积，又或者是在数学考试中解答相关题目，都需要我们掌握常见几何图形面积的计算方法。
下面，让我们一起来了解一下几种常见几何图形的面积计算吧。
首先，我们来看看矩形（包括正方形）。
矩形的面积计算非常简单，只需要用长乘以宽就可以了。
假设一个矩形的长是 5 米，宽是 3 米，那么它的面积就是 5×3 ＝ 15 平方米。
正方形是一种特殊的矩形，它的四条边长度相等。
如果正方形的边长是 4 米，那么它的面积就是 4×4＝ 16 平方米。
接下来是三角形。
三角形的面积计算稍微复杂一点，需要用底乘以高再除以 2。
比如一个三角形的底是 6 米，高是 4 米，那么它的面积就是 6×4÷2 ＝ 12 平方米。
这里要注意，底和高必须是相互垂直的。
再说说平行四边形。
平行四边形的面积计算方法和矩形类似，用底乘以高。
假设有一个平行四边形，底是 7 米，高是 3 米，它的面积就是 7×3 ＝ 21 平方米。
梯形也是常见的几何图形之一。
梯形的面积计算公式是（上底＋下底）×高÷2。
例如一个梯形的上底是 2 米，下底是 6 米，高是 4 米，那么它的面积就是（2 ＋ 6）×4÷2 ＝ 16 平方米。
圆形在生活中的应用也很广泛，比如计算圆形花坛的面积。
圆的面积计算公式是π×半径的平方。
π通常取 314 左右。
如果一个圆的半径是 3 米，那么它的面积就是 314×3×3 ＝ 2826 平方米。
在实际应用中，我们可能会遇到一些组合图形，需要把它们分割成我们熟悉的基本几何图形，分别计算面积后再相加或相减。
比如，有一个图形是由一个矩形和一个三角形组成的。
矩形的长是5 米，宽是 4 米；三角形的底是 3 米，高是 2 米。
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F = K • a2
三边形 K 3 = 0 .433 四边形 K 4 = 1 .000 五边形 K 5 = 1 .720 六边形 K 6 = 2 .598 七边形 K 7 = 3 .614 八边形 K 8 = 4 .828 九边形 K 9 = 6 .182 十边形 K10 = 7 .694 在内、外接圆心处
r −半径
圆形
d −直径 p −圆周长
1 a+b FF= = πr 2 •= πd 2 h 2 4 = 0.785d 2 = 0.07958 p 2 p = πd
在圆心上
椭圆形
a·b-主轴
F= (π/4) a·b
在主轴交点 G 上
r − 半径
扇形
s − 弧长 α − 弧 s的对应中心角
1 α F = r • s = πr 2 2 360 απ s= r 180
h −高 1 l − 周长 2 a, b, c − 对应角A, B, C的边长
三角形
bh 1 = ab sin C 2 2 a+b+c l= 2 F =
GB=1/3BD CD=DA
平行四 边形
a , b − 棱边 h − 对边间的距离
F = b • h = a • b sin α AC • BD = sin β 2
G0 =
1 b2 • 12 F
h = r−
r2 −
1 α 4
2
当 α = 180 0 时 4r G0 = = 0 . 4244 r 3π
R − 外半径 r − 内半径 D − 外直径
圆环
d − 内直径 t − 环宽 D pj − 平均直径
F = π (R 2 − r2 ) π = (D 2 − d 2 ) = π • D pjt 4
F = r 2 (π − P =π −
π α + sin α ) = r 2 • P 180
新月形
π α + sin α 180 P值见下表
O1G=(π-P)L/2P
b − 底边
抛物线 形
h −高 l −曲线长 S − ∆ ABC 的面积
l = b 2 + 1.3333h 2 2 4 F = b• h = • S 3 3
常用图形求面积公式
图形 尺寸符号 面积（F） 表面积（S） 重心（G）
正方形
a − 边长 b − 对角线
a − 短边
F = a2 a = F = 0.77 d d = 1.414a = 1.414 F
在对角线交点上
F = a•b d = a2 + b2
在对角线交点上
长方形
b − 长边 d − 对角线
a − 边长
等多边 形
Ki − 系数i 指多边形的边数
G0 =
2 rb • 3 s
当 α = 90 0 时
G0 =
4 2 • r 3 π ≈ 0 .6 r
r − 半径 s − 弧长 α −中心角 b − 弦长 h−高
F =
=
1 2 απ r ( − sin α ) 2 180
弓形
1 [ r ( s − b ) + bh ] 2 π s = r •α • = 0 . 0175 r • α 180
=
pr 2
在 o 点上
菱形
d 1 , d 2 − 对角线 a − 边α − 角
F = a 2 sin α =
d1d 2 2
在对角线交点上
CE = AB AF = CD
梯形
a = CD（上底边） b = AB （下底边） h −高
h a + 2b • 3 a+b h 2a + b KG = • 3 a+b HG =
对角线交点上
任意四 边形
d1, d 2 − 对角线 α − 对角线夹角
d2 ( h1 + h 2 ) 2 d d = 1 2 s in α 2 F =
r − 内切圆半径 R − 外接圆半径
正多边 形
F=
2
a = 2Ro Nhomakorabea2
− r
一边
n 2 R sin 2α 2
a − 180 ： n （ n − 边数） p − 周长 = an
在圆心 O
R − 外半径 r − 内半径 D − 外直径 d − 内直径 t − 环宽 R pj − 圆环平均直径
部分圆 环
απ 2 2 (R − r ) 360 απ = R pj • t 180 F =
α 2 G0 = 38.2 2 2 • α R −r 2 R 3 − r3
sin
L − 两个圆心间的距离 d − 直径