长方体和正方体(2)
长方体与正方体(二)(含详细解析)
对于小学几何而言，立体图形的表面积和体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查．如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱．cba HGFEDCBA①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等． (叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．) ②长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：2()S ab bc ca =++长方体； 长方体的体积：V abc =长方体．③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形． 如果它的棱长为a ，那么：26S a =正方体，3V a =正方体．长方体与正方体的体积立体图形 示例 体积公式 相关要素长方体V abh = V Sh =三要素：a 、b 、h 二要素：S 、h 正方体3V a =V Sh =一要素：a 二要素：S 、h不规则形体的体积常用方法： ①化虚为实法 ②切片转化法 ③先补后去法例题精讲长方体与正方体（二）④实际操作法⑤画图建模法【例 1】一个长方体的棱长之和是28厘米，而长方体的长宽高的长度各不相同，并且都是整厘米数，则长方体的体积等于立方厘米。
【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，6年级，第16题，6分【解析】由题意知长、宽、高的和为2847÷=，又根据题意长、宽、高各不相同，且是整数，所以只能是1、2、4，所以体积为8立方厘米【答案】8【例 2】将几个大小相同的正方体木块放成一堆，从正面看到的视图是图（a），从左向右看到的视图是图（b），从上向下看到的视图是图（c），则这堆木块最多共有___________块。
【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，初赛，8题【解析】对于图c来说，每个小方块都摞了2层，最多有6块。
小学奥数 长方体与正方体(二) 精选例题练习习题(含知识点拨)
对于小学几何而言，立体图形的表面积和体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查．如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱．cba HGFEDCBA①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等． (叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．) ②长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：2()S ab bc ca =++长方体； 长方体的体积：V abc =长方体．③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形． 如果它的棱长为a ，那么：26S a =正方体，3V a =正方体．长方体与正方体的体积立体图形示例 体积公式 相关要素长方体V abh = V Sh =三要素：a 、b 、h 二要素：S 、h正方体3V a =V Sh =一要素：a 二要素：S 、h不规则形体的体积常用方法： ①化虚为实法 ②切片转化法 ③先补后去法 ④实际操作法 ⑤画图建模法【例 1】 一个长方体的棱长之和是28厘米，而长方体的长宽高的长度各不相同，并且都是整厘米数，则长方体的体积等于 立方厘米。
例题精讲长方体与正方体（二）【例2】将几个大小相同的正方体木块放成一堆，从正面看到的视图是图（a），从左向右看到的视图是图（b），从上向下看到的视图是图（c），则这堆木块最多共有___________块。
【例3】一根长方体木料，体积是0.078立方米．已知这根木料长1.3米．宽为3分米，高该是多少分米?孙健同学把高错算为3分米．这样，这根木料的体积要比0.078立方米多多少?【例4】如图，两个同样的铁环连在一起长28厘米，每个铁环长16厘米。
8个这样的铁环依此连在一起长厘米。
【例5】某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱，并用尼龙编织条(如图所示)在三个方向上的加固．所用尼龙编织条分别为365厘米，405厘米，485厘米．若每个尼龙加固时接头重叠都是5厘米．问这个长方体包装箱的体积是多少立方米?高长【例6】某工人用木板钉成一个长方体邮件包装箱，并用三根长度分别为235厘米、445厘米、515厘米的尼龙带进行加固（如下图），若每根尼龙带加固时截头重叠都是5厘米，那么这个长方体包装箱的体积是立方米。
长方体和正方体的认识 (2)
很多张同样的纸摞起来呢？
长方体和正方体的认识
合肥师范附小：王 俊
想一想，说一说 • 生活中有哪些物体是 长方体的？
这个饼干盒是？？？？
玩数学
• 拿出你准备好的小棒和橡 皮泥，一起做长方体的框 架图吧？
要用多少个小棒呢？ 够用？
泥团多少才
• 像小棒这样组成的长方体的骨架，叫做长 方体的棱
• 长方体中这样的棱有多少条？ • 长方体的棱多少条呢？ • 每条棱长短怎么样？
• 用了多少个橡皮泥团？？？ • 固定小棒的小泥团就是长方体 的顶点。
• 认真观察：
• 每个顶点上穿插了几根小棒？这几根长短 相同吗？
• 穿插于一个顶点的三条棱的长度分别叫做
长方体的
长 宽
高
宽
高
长
高
长
宽
长方体的立体图
这个呢？
结论
• 正方体的12条棱全都
一样长
知识运用
• 1：一个长方体的长是10厘米，宽8厘米， 高5厘米，这个长方体的棱长总共是多少？ • 2：做一个棱长是6厘米的正方体框架，总 共要多长的木条？
• 3：用240分米的钢筋焊接成正方体，这个 正方体的棱长是多少？
活动
• 给长方体框架穿花衣
思考
你发现了长方体与正方体的特征了吗？
• 正方体具有了长方体的所有特征吗 ？
• 正方体是特殊的长方体
练习
课后作业
• 1：制作长方体、正方体框架，并给他们穿 好外衣。
• 2：练习一的第2、3两题。
高
长
宽
• 12条棱中，有几条与长同样 长？几条与宽同样长？几条 与高一样长？
结论 • 长方体的12条 棱有4条与长 一样的棱，4 条与宽一样长 的棱，4条与 4条 高一样长的棱。 长
长方体和正方体的体积二
• 一个长方体铁皮水桶高６ 分米，底面是边长为３分 米的正方形，这个水桶的 容积是（ ）升。 • 一个正方体的底面周长是 ２０厘米，它的表面积是 （ ），体积是 （ ）。
• 至少要（ ）个小正方 体才能拼成一个大正方体， 如果一个小正方体的棱长 是5厘米，那么大正方体 的表面积是（ ）， 体积是（ ）。
• 有一个长方体，正好可以 切成大小相同的4个立方 体，每个立方体的表面积 是24平方厘米，原来长方 体的表面积可能是（ ） 平方厘米。
• 表面积是54平方厘米的正方体， 它的体积是（ ）立方厘米。 • 一个长方体，长缩小4倍，宽扩 大3倍，高扩大2倍，体积扩大 （ ）倍。 • 一个棱长是5分米的正方体水池， 蓄水的水面低于池口2分米，水 的容量是（ ）升。
• 棱长是6分米的正方体容器装 满水，把容器里的水全部倒 入一个空的长方体水箱，水 箱从里面量长6分米，宽5分 米，高8.5分米，这时水箱里 的水深多少分米？要注满水 箱还要倒入多少升水？
• 一个长方体水池，从里面量得到底 面是边长1米的正方形，水面高3米， 内装水的高度是0.5米。现有一根 长方体铁块，长0.2米，宽0.2米， 高0.8米。将铁块放入水池，使其 一面紧贴池底。 • （1）如果铁柱横着放入水池中， 水面会升高多少米？ • （2）如果铁柱立着放入水池中，
V＝sh
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1、先计算长方体和正方体的 底面积，再计算它们的体积。
10m 5 5 5×5=25（cm2）
20m
20×16=320（cm2）
320×10=3200（cm3） 25×5=125（cm3）
2、一个长方体的底面积是15 平方厘米，高是6厘米。求它 的体积。 15×6=90（立方厘米）
长方体和正方体的认识 (2)
指出下面长方体的长、宽、高各是多少厘米？
10
10 3
3 6 3
长方体有（6 ）个面。每个面都是 （长方形 ）也可能有2个相对的面是 （正方形 ）相对的面（完全相同）长 方体有（ 12 ）条棱，相对的棱长度 （ 相等）长方体有（ 8 ）个顶点。
正方形 ）围 正方体是由（6 ）个完全相同的（ 成的立体图形．也有（12 ）条棱，它们的长 度都（相等）。正方体有（ 8）个顶点。由于
长方体和正方体的认识
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
---------平面图形
-------立体图形
面
顶点
三条棱相交的点叫做顶点。
高
长 宽
相交于一个顶点的三条棱的长度 分别叫做长方体的长、宽、高。
上 前 左 后 右
下
观察比较，找到关系．
（1）长正方体异同点：
（2）长正方体的关系．
长方体与正方体的相同点与不同点 形 体 面棱点 面的形状 相同点 不 同 面积 点 棱长 关系
每一组 6个面一般 相对的 互相平行 长 6 12 8 都是长方形 方 （也可能有两 面的面积 的四条棱 正方体 体 个 条 个 个相对的面是 相等 的长度相 是特殊 等 正方形） 的长方 体 六个面 12条棱 正 6 12 8 6个面一般 的面积都 的长度都 方 都是相等的正 相等 相等 体 个 条 个 方形
10cm
3mm
2× 2)4=16(cm2) 10×4=40(cm 3 ) 7=21(mm 4×
下课了， 再见二、判断
√） 1、长方体有6个面、12条棱和8个顶点。（
2、正方体的六个面面积一定相等。 （ √） 3、相对的4条棱的长度都相等的物体一定是 长方体。 （ ×）
《长方体和正方体的表面积(二)》
这个问题就是求长方体哪几个面的面 积的和？可以怎么计算？
新知讲解
5
制作这个鱼缸至少需要玻璃多少平方 分米？
方法一： 5×3＋5×3.5×2＋3×3.5×2 ＝15＋35＋21 ＝71（平方分米）
答：制作这个鱼缸至少需要玻璃71平方分米。
新知讲解
5
制作这个鱼缸至少需要玻璃多少平方 分米？
方法二： （5×3＋5×3.5＋3×3.5）×2－5×3 ＝（15+17.5+10.5）×2－15 ＝43×2－15 ＝86－15 ＝71（平方分米）
答：制作这个鱼缸至少需要玻璃71平方分米。
新知讲解
用计算长方体（正方体）表面积的方
法解决实际问题时，要注意什么？ 并不是所有的长方体（正方体）形状
的物体都有6个面，在计算时要根据 实际情况解题。
分析在计算下列物体面积时，应考虑几个面的面积。
１、制作一个无盖的铁皮桶的用料。 2、粉刷教室的四壁和上面。 3、给长方体饼干罐的四周贴一圈的商标纸。 4、给礼堂内长方体柱子油漆。 5、做一个长方体形状的铁皮流水糟用料。 6、用木料做一个抽屉。
练习二
10、
找一个长方体火柴盒，测 量有关数据，算出它的内 盒和外盒至少各用硬纸多 少平方厘米。（接头处忽 略不计）
练习二
思考题： 下图表示用棱长1厘米的正方体摆成的物体。 （1）从前面、上面和右面看到的 分别是什么形状？试着画一画。 （2）这个物体的表面积是多少平 方厘米？ （3）如果添加同样的正方体，把这个物体 补成一个大正方体，表面积至少是多少平 方厘米？
练习二
7、一个用硬纸板做成的长方体影集封套（如 图），长31厘米，宽27厘米，高2.5厘米，封 套的左面不封口。做这个封套至少需要多少 平方厘米硬纸板？ （31×2.5＋27×31＋27×2.5）×2－31×2.5 ＝（77.5+837+67.5）×2－77.5 ＝982×2－77.5 ＝1964－77.5 ＝1886.5（平方厘米） 答：做这个封套至少需要1886.5平方厘米的硬纸板。
长方体和正方体整理与复习(二)
（2）这个正方体的体积是多少？
（1）这根柱子的体积是多少立方米？
（2）如果给这根柱子的四周涂油漆，每 千克油漆可涂5平方米，至少需要多少千 克油漆？
一个长方体水池，长20米、宽10米，深2米。
（1）这个水池占地面积是多少平方米？ （2）给四壁和底面抹水泥，抹水泥的面积是 多少平方米？ （3）这个水池可容水多少立方米？
用一根长48厘米的铁丝做一个正方体框架。
一个长方体的长是5分米，宽是4米，高 是3米。求这个长方体的表面积和体积？ 一个正方体的棱长是12厘米，这个正方 体的表面积和体积。
手扶拖拉机的油箱，从里面加长3分米， 宽2.5分米，深1.6分米。
（1）油箱内涂了防护层，防护层的面积 是多少平方分米？ （2）这种油箱可装多少升油？
大厅内有一根长方体柱子，高6米，底边 是边长0.5米的正方形。
小学五年级奥数举一反三第14讲 长方体和正方体(二)
（5×5），棱长是5厘米。知道了棱长就可以分别算出它们的体积，
这个大正方体的体积就等于它们的体积和。
体积=3×3×3+4×4×4+5×5×5=216立方厘米
答：这个大正方体的体积是216立方厘米。
Байду номын сангаас
举一反三2
1.有三个正方体铁块，它们的表面积分别是24平方厘米、54平方
厘米和294平方厘米。现将三块铁熔成一个大正方体，求这个大
王牌例题1： 在一个长15分米、宽12分米的长方体水箱中，有10分米深 的水，如果在水中沉入一个棱长为30厘米的正方体铁块， 那么，水箱中水深多少分米？ 【思路导航】铁块的体积为(30÷10)×(30÷10)×(30÷10) =27(立方分米)，把它浸入水中后，它就占了27立方分米的 空间。因此水上升的体积也就是27立方分米，用这个体积 除以底面积(15×12)就能得到水上升的分米数，也就能知道 现在水箱中水深的分米数。30厘米=3分米 3×3×3÷ (15×12)+10=0.15+10=10.15(分米) 答：水箱中水深10.15分米。
举一反三3
1.有一块边长是5厘米的正方体铁块，浸没在一个长方体容 器里的水中，取出铁块后，水面下降了0.5厘米，这长方体 容器的底面积是多少平方厘米？ 2.有一个长方体水箱，从里面量长40厘米、宽30厘米、深 35厘米，箱中水面高10厘米。放进一个棱长20厘米的正方 体铁块后，铁块顶面仍高于水面。这时水面高多少厘米？ 3.有大、中、小三个长方形水池，它们的池口都是正方形， 边长分别为6分米，3分米和2分米．现在把两堆碎石分别沉 入中小两个水池内．这两个水池的水面分别升高了6厘米和 4厘米．如果把这两堆碎石都沉入大池内，那么，大池的水 面将升高多少厘米？（结果保留整数）
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正方体六个面一样大，都是正方 形；长方体6个面是长方形，相对
2个面的形状、大小完全一样。
给长方体的展开图涂上黄色；给 正方体的展开图涂上绿色。
谢谢光临 指导
长方体 正方体
长方体 正方体
长方体
长方体 长方形
正方体
正方体 正方形
长方体和正方体的边和 面有什么相同的地方?
长方体 正方体
都有——
长方体 正方体
都有6个面，12条 棱 ，8个顶点。
长方体和正方体的边 有什么不同的地方？你 是怎么发现的? 你能想 办法证明给大家看吗?
长方体和正方体的面 有什么不同的地方？你 是怎么发现的? 你能想 办法证明给大家看吗?