向量同步练习
平面向量同步练习题(练习题)讲义
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9．若菱形 ABCD 的边长为 2 ，则 AB − CB + CD = ________ 10．若 a = (2,3) ， b = (−4,7) ，则 a 在 b 上的投影为________ 11．已知向量 a = (cos θ ,sin θ ) ，向量 b = ( 3, −1) ，则 2a − b 的最大值是________ 12．若 A(1, 2), B (2,3), C (−2,5) ，试判断则△ABC 的形状________ 13．若 a = (2, −2) ，则与 a 垂直的单位向量的坐标为________ 14．若向量 | a |= 1,| b |= 2,| a − b |= 2, 则 | a + b |= ________ 15．平面向量 a, b 中，已知 a = (4, −3) ， b = 1 ，且 a ⋅ b = 5 ，则向量 b = ________
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9．平面向量 a = ( 3, −1), b = ( ,
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1 3 ) ，若存在不同时为 0 的实数 k 和 t ，满足条件： 2 2
r r r r r r r r x = a + (t 2 − 3)b ， y = −ka + tb ，且 x ⊥ y ，试求函数关系式 k = f (t ) 。
9.3.3 向量平行的坐标表示(同步训练)(含答案)高中数学苏教版(2019)必修二
9.3.3 向量平行的坐标表示（同步训练）-高中数学苏教版（2019）必修二一、选择题1．已知()1,m x = ,(),2n x = ,若//m n,则x =( )2．已知向量()3,a m = ，11,3b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ .若//a b，则实数m =( )A.1B.1-C.9D.9-3．已知向量()2,1a = ,()2,b m m =- ,若//a b,则m =( ).A.4- B.2- C.2D.44．已知向量(),4a m = ，()3,2b =- ，且//a b，则m =( )A.6B.-835．已知向量()1,0a = ,()1,1b =,()()//a b a b λμ+-,则( )A.1λμ+= B.0λμ+= C.1λμ= D.1λμ=-6．已知向量(1,)a λ= ,(,2)b μ=- ,且a 与b共线,则( )=-2= C.2λμ=- D.2λμ=二、多项选择题7．下列说法中，正确的有( )A.若0a λ=，则0a = B.若ab λ=，则//a bC.若0a b λμ+=，则//a bD.若AB AC λ→→=，则A ，B ，C 三点共线8．已知向量()1,3OA =- ，()2,1OB =- ，()1,2m C m O =+-，若点A ，B ，C能构成三角形，则实数m 可以是( ) C.1 D.－1三、填空题9．若向量()2,3a =- ,()1,2b m =+ ,且//a b,则m =__________.10．已知向量()1,1a x x =-+ ,()2,1b =- ,若//a b,则实数x =_____________.11．已知()4,2a = ，()6,b y = ，且//a b ，则y =___________.四、解答题12．已知向量()1,2a =- ，()3,2b =.(1)若2ka b - 与2a b +垂直，求实数k 的值；(2)已知O ，A ，B ，C 为平面内四点，且2OA a b =+ ，3OB a b =+ ，()3,2OC m m =-.若A ，B ，C 三点共线，求实数m 的值.13．已知向量(3,1)a =- ,(1,2)b =- ,m a kb =+,()k ∈R (1)若向量m 与a垂直,求实数k 的值(2)当k 为何值时,向量m 与a b +平行.参考答案1．答案：C解析：因为()1,m x = ,(),2n x = ,//m n,所以2120x ⨯-=,解得x =故选：C.2．答案：B解析：因为向量()3,a m = ，11,3b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，且//a b，得()1313m ⨯=-⨯，得m =1-.故选：B.3．答案：B解析：()2,1a = ,()2,b m m =-,由//a b可得22m m =-,解得2m =-.故选:B.4．答案：B解析：向量(),4a m = ，()3,2b =- ，且//a b，2430m ∴--⨯=，解得6m =-.故选：B.5．答案：B解析：因为()1,0a = ,()1,1b =,所以()1,a b λλλ+=+ ,()1,a b μμμ-=--,因为()()//a b a b λμ+-,所以()()()110λμλμ+---=,则0λμ+=.故选：B.6．答案：C解析：向量(1,)a λ= ,(,2)b μ=- ,且a 与b共线,则()12λμ⨯-=,所以2λμ=-.7．答案：BD解析：A 选项中0λ=也成立，故错误；B 选项中当0λ=时，0a = ，0 与任一向量平行，当0λ≠时，//a b，故正确；C 选项中0λμ==时不平行，故错误；D 选项依据共线定理可知正确.故选：BD.8．答案：ABD解析：因为(2,1)(1,3)(1,2)AB OB OA =-=---=，(1,2)(1,3)(,1)AC OC OA m m m m =-=+---=+.假设A ，B ，C 三点共线，则()1120m m ⨯+-=，即1m =.所以只要1m ≠，则A ，B ，C 三点即可构成三角形.故选：ABD.9．答案：73-解析：由题意得()314m +=-,解得m =10．答案：解析： //a b ,()1,1a x x =-+ ,()2,1b =- ,1220x x ∴-++=,x ∴=11．答案：3解析：因为()4,2a = ，()6,b y = ，且//a b，所以4260y -⨯=，则3y =.故答案为：3.12．答案：(1)k =(2)2m =解析：（1）()()()21,223,26,42ka b k k k -=--=---，则()()()221,23,25,2a b +=-+=-，因为2ka b - 与2a b +垂直，所以()()562420k k ----=，解得k =（2）()()()21,223,27,2OA a b =+=-+=，()()()331,23,26,4OB a b =+=-+=-，()()()6,47,21,6AB OB OA =-=--=--，()()()3,27,237,22AC OC OA m m m m =-=--=---，因为A ，B ，C 三点共线，所以//AB AC.所以()()122637m m -⨯--=-⨯-，解得2m =.13．答案：答案：(1)2(2)1解析：(1)由已知可得(3,12)m k k =-+-,因为向量m 与a垂直,所以3(3)1(12)0k k -⨯-++⨯-=,解得2k =;(2)(2,1)a b +=-- ,因为m 与a b +平行,所以2(12)1(3)k k -⨯-=-⨯-+,解得1k =,所以当1k =时,向量m 与a b +平行。
1.1.1空间向量及其加减运算同步练习
1.1.1空间向量及其加减运算同步练习一、单项选择题1 .空间四边形OABC中,W L +AB-CB=< )A. OCB. OAC. A§D. AC【答案】A【解析】根据向量的加法、减法法那么,得方+而-丽=砺_函=历+觉=反.应选A.2 .己知D, E, F分别是aABC的边AB, BC, CA的中点,那么()A. AD + BE + CF=OB. BD-CF + DF = Oc. AD+CE-CF =6D.BD-BE-FC =6【答案】A【解析】•.•而=瓦,,病+分后=而+诟=方后=左,得而+砺+万;二.,或A5+ 卢+ C尸=4尸+.尸="应选A.3 .空间四边形ABC.中,假设E, F, G, H分别为AB, BC, CD, ZM边上的中点,那么以下各式中成立的是 ()A. EB+BF + EH+GH=6B. EB + FC + EH+GE =6c. ~EF+FG+EH+GH =6D.EF-FB+CG+GH =6【答案】B【解析】如图由题意得用+左=赤+而=育,而+历= 377,易证四边形"GH为平行四边形,故而+丽？=6应选B.4 .在直三棱柱中,假设31 = 1 丽=否,cq=c,那么奉=〔〕A・Q+I-G B. q—否+C C. -a + » + c D. -a+S-c【答案】D【解析】A^B = A}A + A]B l = —eg +GM — G4 = -CC1 +CB - CA = -c+b —ci,应选D.5 .以下命题中是真命题的是〔〕A.分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线,那么这两个向量不是共面向量B.假设|矶=同,那么无5的长度相等而方向相同或相反C.假设向量瓯函,满足|四且AB与前同向,那么血〉而D.假设两个非零向量血与丽满足荏+①=0,那么福〃前【答案】D【解析】由于空间任两向量平移之后可共面,所以空间任意两向量均共而,选项A错误；由于|4 = |可仅表示不与B的模相等,与方向无关,选项5错误：由于空间向量不研究大小关系,只能对向量的长度进行比拟,因此也就没有1月＞6这种写法,选项C错误：•;通+①=6,・・・福=—函,,而与丽共线,故而〃访,选项.正确.应选D.6 .在平行六面体ABCD--ABCD中,各条棱所在的向量中,模与向量痔的模相等的向量有〔〕A. 7个B. 3个C. 5个D. 6个【答案】A【解析】画出平行六面体结构如以下图所示所以与H9的模相等的向量有肮不,无反而,CD,DC,W,ZTb共7个.应选A7 .空间任意四个点A、B、C、D,那么丽+在一曲等于〔〕A. ~DBB. ADC. DAD. AC【答案】c【解析】如图zU + CB-COnCZ + OCnO/C应选C.8 .在三棱柱ABC-A5G中,假设A月=£,4j=反4<=3,那么G^=〔〕A・a + h - c B・a — b + c C・—a+b — c D・.一 b - c【答案】D【解析】如下图：根据向量线性运算的加法法那么有./=£4 + 4乂 + 4月=—〃—〔：+4,整理顺序得：C月=4一〃—2应选D9,P是正六边形A8COEE外一点,.为正六边形A8COEE的中央,那么尸A + P8 + PC + PO + P石+尸产等于〔〕【答案】c【解析】l^ + l^ + PC + l^b + PE + PF = 6Pd + (OA + OB + OC + OD + OE + OF) = 6PO.应选c10 .如图,直三棱柱ABC -AMG 中,假设cX = £, cB = I ；,co =c ＞那么还等于〔〕【答案】C【解析】丽=而一丽=〔屈一夕〕一直,・・・菊=西=2,二质=B —应选c.11 .如下图,在正方体A8C .-44Gq 中,以下各式中运算结果为向量4G 的是〔〕(^)(AB + BC) + CC [：②(明+4Z)]) + /)G ： (AB + 881) +AG ；④(AAj+A£) + AG ・【答案】D【解析】对于①,原式=A C+CC ； = AC ；,符合题意,对于②,原式=AZ X+AG =A C ］,符合题意对于③,原式= A8I+8C = AC ；,符合题意.对于④,原式= A3|+4C ； = AC ；,符合题意.综上所述.A. POB. 3P6 D.d A ・ a + h-cD ・ b-a + cA.①③B. @@C.③④ D . CD@③④C. 6PO B.a应选D.12 .在空间假设把平行于同一平而且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点,那么这些向量的终点构成的图形是〔〕A. 一个球B. 一个圆C.半圆D. 一个点【答案】B【解析】平行于同一平面的所有非零向量是共面向量,把它们的起点放在同一点,那么终点在同一平面内,又这些向量的长度相等,那么终点到起点的距离为定值.故在空间把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点,那么这些向量的终点构成的图形是一个圆.应选3.二、填空题13 .直三棱柱ABC —A筋G中,假设CA = d,CB=6,CC[=^ ,那么朋|=.【答案】a—b +c【解析】直三棱柱ABC —A心G中,假设c4 = qc月= 6,CC； = 1BA^ =BA + AA i =CA-CB + CCi =a-b+c故填〃一〃十,14 .在正方体ABC.—中,点M是HA1的中点,丽=Z,AD = b » A\=c,用Z,/；,2表示函,那么函=.___ _ 1【答案】CM =-a-b+-c2【解析】-CM =CB + BA + AM =-BC-AB + Mf •又・.・M是A4 的中点,/. AA/= ；A4；, 乙CM ——BC — AB 4—, •； AB = ci,AD—b > AAy = c, : .CM ——a — b H—c ,故填2 2CM = _a _ b + _ c .215 .在正方体以3C力-月6GP中,给出以下向量表达式：①〔4.；-m〕-A月：②西+竭〕-DC：③〔A D-A Q〕-DD；：④区〞+4小十.〞.其中能够化简为向量8a的是_________ .【答案】①②【解析】①中,〔A.；一=②中,〔B〔j+BB；〕 - D£； = BC； - DC = BD；；③中,〔Ab-AB〕-DD； = BD-D*BD：：④中,〔而'+而+函=而+函=瓦帝国.故填①②16 .给出以下结论：①空间任意两个共起点的向量是共而的：②两个相等向量就是相等长度的两条有向线段表示的向量：③空间向量的加法满足结合律：〔〃+5〕+5="+0+^〕：④首尾相接的假设干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量.请将正确的说法题号填在横线上：.【答案】①©©【解析】①中,两个向量共起点,与两向量终点共有3个点,那么3点共面,可知两向量共而,①正确：②中,两个相等向量需大小相等,方向相同,②错误；③中,空间向量加法满足结合律,③正确：④中,由向量加法的三角形法那么可知④正确.故填①③④17 .如图,在长方体A8CO — A4G2中,长、宽、高分别为48 = 3, AD = 2, M = 1»以该长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中：〔1〕单位向量共有个；〔2〕模为"的向量共有个；〔3〕与4区相等的向量共有个;〔4〕eq.的相反向量共有个.Dx GA B【答案】(1)8： (2) 8： (3) 3： (4) 4.【解析】(1)由于长方体的高为1,所以长方体的4条高所对应的向量分别为4乂,BB；, B岛 cc r cQ,西,印,共8个向量,都是单位向量,而其他向量的模均不为1,故单位向量共有8个.(2)由于长方体的左、右两侧的对角线长均为、回,故模为6的向量有, A A 4.以,BC；CB,共8个.(3)与向量AR相等的所有向量(除它自身)有AR D C D G,共3个.(4)向量eq.的相反向量为A A4A C Q,〃力,共4个.故填(1) 8； (2) 8； (3) 3； (4) 4.18 .对于空间中的非零向量而,BC,AC,有以下各式：®AB + BC = AC^ ®AB-AC = BCi③网+|明=1码：④网码=|罔.其中一定不成立的是________ (填序号).【答案】②【解析】根据空间向量的加减法运算,对于①而+沅二/恒成立：对于③当而,或方向相同时,有口回+|比卜|才4；对于④当人后,衣方向相同且|而上时,^-I|/I5|-|AC|=|BC|,对于②由向量减法可知而-/=屈,所以②一定不成立.故填②三、解做题19 .如图,己知一点.到平行四边形A8C.的三个顶点A,B, C的向量分别为小号不,求功.DO【解析】由于而= OC + C.,CD = BA = OA-OB所以而= 4 + 4—5.20 .如下图,棱长为1的正三棱柱A8C-A/1G.〔1〕在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中,列举出与向量AB相等的向量: 〔2〕在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中,列举出向量4?的相反向量：〔3〕假设E是3所的中点,列举出与向量A百平行的向量.【解析】〔1〕由正三棱柱的结构特征知,与向量A月相等的向量只有AR：〔2〕向量就的相反向量为C4G4.〔3〕诲是与AE平行的向量.21 .如下图,在三棱柱ABC-45G中,M是8片的中点,化简以下各式：〔1〕万+砒；〔2〕 4月+ 4G+GC；⑶戒-的-屈；〔4〕A4〕+ AB-AM .【解析】(1) AB + B\= A\.(2)4+照+束=隔+照+汞=4d⑶ Mf-BM-CB = AM+MB + BC = AC-(4) ^A4j +AB-AM = BM + AB +MA = AB +BM +AM = O .22.如图,在空间四边形S48c中,AC,BS为其对角线,.为3c的重心.(1)证实：OA + OB + OC = 0^(2)证实：SO = L(SX + SB +元).S【解析】〔1〕由于.为△A5C的重心,所以〕=_.〔砺+ *〕①,OB=--〔BA + BC〕②,OC=-1〔CA + CB〕③.©+②+③可得9+砺+配=」印+硝」〔丽+硝」〔而+阚=0,即砺+元=0.〔2〕由于例=玄 +而®,SO = SB + BO ®^SO = SC + CO⑥,由〔1〕知〕+砺 + 反=0,所以④+⑤+⑥可得3而=〔玄+而〕+ 〔况+旃〕+ 〔豆+初〕=中+况+豆,即SO = ；〔SZ + S8 +豆〕.。
高一数学同步练习第二章向量2新必修4
必修4 第二章 向量(二)一、选择题1 若三点(2,3),(3,),(4,)A B a C b 共线，则有 （ ） A 3,5a b ==- B 10a b -+= C 23a b -= D 20a b -=2 下列命题正确的是 （ ） A 单位向量都相等B 若a 与b 是共线向量，b 与c 是共线向量，则a 与c 是共线向量C ||||b a b a -=+，则0a b ⋅=rrD 若0a 与0b 是单位向量，则001a b ⋅=rr3 已知,a b r r 均为单位向量，它们的夹角为060，那么3a b +=r r （ ）A7 B 10 C 13 D 44 已知向量a r ，b r 满足1,4,a b ==r r且2a b ⋅=r r ,则a r 与b r 的夹角为 （ ）A6πB4πC3πD2π5 若平面向量b 与向量)1,2(=a 平行，且52||=b ，则=b ( ) A )2,4( B )2,4(-- C )3,6(- D )2,4(或)2,4(--6 下列命题中正确的是 （ ）A 若a ⋅b ＝0，则a ＝0或b ＝0B 若a ⋅b ＝0，则a ∥bC 若a ∥b ，则a 在b 上的投影为|a|D 若a ⊥b ，则a ⋅b ＝(a ⋅b)27 已知平面向量(3,1)a =r ，(,3)b x =-r ，且a b ⊥rr ，则x = （ ）A 3-B 1-C 1D 38.向量)sin ,(cos θθ=a ,向量)1,3(-=b 则|2|b a -的最大值，最小值分别是( )A 0,24B 24,4C 16,0D 4,09．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若OC e DC e BC 则213,5=== （ ） A ．)35(2121e e + B ．)35(2121e e - C ．)53(2112e e - D ．)35(2112e e -10 向量(2,3)a =r ，(1,2)b =-r，若ma b +r r 与2a b -r r 平行，则m 等于 （ ）A 2-B 2 C21D 12- 11．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），则第四个点的坐标为 （ ） A ．（1，5）或（5，－5） B ．（1，5）或（－3，－5）C ．（5，－5）或（－3，－5 ）D ．（1，5）或（－3，－5）或（5，－5）12．与向量)5,12(=d 平行的单位向量为（ ）A ．)5,1312(B ．)135,1312(--C ．)135,1312(或 )135,1312(-- D ．)135,1312(±±二、填空题:13 已知向量(cos ,sin )a θθ=r，向量1)b =-r ，则2a b -r r 的最大值是14 若(2,2)a =-r，则与a r 垂直的单位向量的坐标为__________15 若向量||1,||2,||2,a b a b ==-=r r r r 则||a b +=r r16．已知)2,3(=a ，)1,2(-=b ，若b a b a λλ++与平行，则λ= .三、解答题17．已知非零向量b a ,满足||||b a b a -=+,求证: b a ⊥18 求与向量(1,2)a =r ，(2,1)b =r 夹角相等的单位向量c r的坐标19、设21,e e 是两个不共线的向量，2121212,3,2e e CD e e CB e k e AB -=+=+=，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.20 已知(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r，其中0αβπ<<<(1)求证：a b +r r 与a b -rr 互相垂直；(2)若ka →+→b 与a k →-→b 的长度相等，求βα-的值(k 为非零的常数)。
9.4 向量应用(同步训练)(含答案)高中数学苏教版(2019)必修二
9.4 向量应用（同步训练）-高中数学苏教版（2019）必修二一、选择题1．已知O 是ABC △2OC OB OC-=+- ABC 一定为( )A.以BC 为底边的等腰三角形B.以AB 为底边的等腰三角形C.以BC 为斜边的直角三角形D.以AB 为斜边的直角三角形2．如图，已知O 是ABC △的垂心，且230OA OB OC ++=，则tan :tan :tan BAC ABC ACB ∠∠∠等于( )A.1:2:3B.1:2:4C.2:3:4D.2:3:63．如果一架飞机向西飞行400km ，再向东飞行500km ，记飞机飞行的路程为s ，位移为a ，那么||s -=a ( )A.800kmB.700kmC.600kmD.500km4．已知，，||||4c a c a ++-=，2650d b d -⋅+= ，则||c d - 的最大值为( )+2+5．某校的八角形校徽由两个正方形叠加变形而成，寓意“方方正正做人”，又寄托南开人“面向四面八方，胸怀博大，广纳新知，锐意进取”之精神.如图，在抽象自“南开校徽”的多边形中，已知其由一个正方形与以该正方形中心为中心逆时针旋转45︒后的正方形组合而成，已知向量n ，k ，则向量=a ( )||a = |1b = 0a b ⋅=A.23+n kB.(23++n kC.(2(2++n kD.(1(2++n k6．如图，圆O 是边长为4的正方形ABCD 的内切圆，PQR △是圆O 的内接正三角形，若PQR △绕着圆心O 旋转，则AQ OR ⋅的最大值是( )A.2++1+2+二、多项选择题7．已知ABC △是边长为1的等边三角形,点D 在边AC 上,且3AC AD =,点E 是BC 边上任意一点（包含B ,C .点）,则AE BD ⋅的取值可能是( )A.8．瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理:“三角形的外心､垂心和重心都在同一直线上,而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半,”这就是著名的欧拉线定理.设ABC △中,点O ､H ､G 分别是外心､垂心和重心,下列四个选项中结论正确的是( )A.2GH OG =B.0GA GB GC ++=C.OH OA OB OC=++ D.OA OB OC== 三、填空题9．一个所受重力大小为20N 的物体从倾斜角为30︒，斜面长1m 的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做的功是__________.10．如图所示，一个物体被两条轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是1F ，2F ，且1F ，2F 与水平夹角均为45N ，则物体的重力大小为__________N.11．已知等边ABC △的外接圆O 的面积为36π,动点M 在圆O 上,若MA MB MB MC λ⋅+⋅≤,则实数λ的取值范围为________________.四、解答题12．如图，在ABC △中，已知2AB =，5AC =，60BAC ∠=︒，BC ，AC 边上的两条中线AM ，BM 相交于点P ，求MPN ∠的余弦值.13．用向量的方法证明梯形的中位线定理：梯形两腰中点的连线等于两底边和的一半，且平行于上、下两底边.参考答案1．答案：C2OC OB OC-=+-+AC AB -=+ 2AC AB -=+ 2222AB AC AB AC AB AC ⋅=++⋅ ,所以0AB AC ⋅=,则AB AC ⊥,所以ABC △是以BC 为斜边的直角三角形.故选：C.2．答案：A解析：O 是ABC △的垂心，延长，BO ，分别交边AB ，，BC 于点P ，M ，N，如图，则，BM AC ⊥，，BOP BAC ∠=∠，，12tantan 21OP BOP O OC BPBP AP OCAP P AOP ⋅∠===∠⋅==于是得tan :tan :tan ::BOC AOC AOB BAC ABC ACB S S S ∠∠∠=△△△，又230OA OB OC ++= ，由“奔驰定理”有0BOC AOC AOB S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=△△△，即::1:2:3BOC AOC AOB S S S =△△△，所以tan :tan :tan 1:2:3BAC ABC ACB ∠∠∠=，故选：A.3．答案：ACO AO AC CP AB ⊥AN BC ⊥AOP ABC ∠=∠解析：依题意，400500900(km)s =+=，||100km =a ，所以||900100800(km)s -=-=a .故选A.4．答案：C 解析：如图所示，不妨设a OA ==，(0,1)b OB ==，(,)OC m n = ，(,)OD p q = ，1(A ，满足||a =|1b = ，0a b ⋅= ，又||||c a c a ++-=1422||a c A A +==>==，由椭圆的定义可知点C 在以1A ，A 为焦点，长轴长为4的椭圆上运动，2a =，c ====21y +=，而2650d b d -⋅+= ，即22650p q q +-+=，即，这表明了点D 在圆上面运动，其中点为圆心，为半径，，等号成立当且仅当C ，D ，E 三点共线，故只需求上面运动，所以不妨设，则||CE ===所以当6sin 12(3)θ-=-=-⨯-，且C ，D ，E 三点共线时，||c d - 有最大值，max ||226CE +=+=.故选：C.22(3)4p q +-=22(3)4x y +-=(0,3)E 2r =2d OC OD CD CE ED CE =-=≤+=+|CE 21y =(2cos ,sin )C θθ5．答案：D解析：根据题意可得||||=n k .图形是以正方形中心为中心将正方形逆时针旋转45︒后与原正方形组合而成，如图.由对称性可得||||||||||||AB BC CD DE EQQF =====，|||||||||CE EF FG AB ====n ，点B ，C ，E ，Q共线，点Q ，F ，G 共线，所以(2BQ BC CE EQ =++=k ，(1QG QF FG =+=n ，所以(2(1BQ QG =+=++a k n .故选D.6．答案：D解析：由题意，可得，又由[0,π]AOR ∠∈，所以，又因为2π22cos 23OQ OR ⋅=⨯⨯=- ，所以，所以AQ OR ⋅的最大值为7．答案：AB解析：设BC 的中点为O ,以点O 为坐标原点,BC ,OA 所在直线分别为x ,y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系xOy ,2cos OA OR AOR AOR ⋅=⨯∠=∠[AOR ∠∈-()2[22AQ OR OQ OA OR AOR ⋅=-⋅=--∠∈---+2-+由于ABC △是边长为1的等边三角形,且3AC AD =,所以1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭,A ⎛ ⎝,16D ⎛ ⎝设(),0E x ,则1122x -≤≤,所以,AE x ⎛= ⎝,23BD ⎛= ⎝,所以21113222AE BD x x ⎛⎫⋅=--≤≤ ⎪⎝⎭ ,所以521632x -≤-≤即51,66AE BD ⎡⎤⋅∈--⎢⎥⎣⎦,故选：AB.8．答案：ABC 解析：如图:根据欧拉线定理可知,点O ､H ､G 共线,且2GH OG =.对于A,2GH OG = ,2GH OG ∴=,故A 正确;对于B,G 是重心,则延长AG 与BC 的交点D 为BC 中点,且2AG GD =,则20GA GB GC GA GD ++==+,故B 正确;对于C,233()3232()33OH OG AG AO AD AO AD AO AO OD AO⎛⎫==-=-=-=+- ⎪⎝⎭2OD AO=-OB OC OA =++,故C 正确;对于D,OA OB OC ==显然不正确.故选:ABC.9．答案：10J解析：因为物体的重力为20N，物体在重力方向上的位移大小是11sin 30(m)2⨯︒=，2010(J)=.10．答案：解析：一个物体被两条轻质细绳拉住，且处于平衡状态，所以重力为，与水平夹角均为，所以由向量加法的平行四边形法可知，所以物体的重力大小为.11．答案：[)72,+∞解析：依题意,设ABC △的外接圆的半径为R ,则2π36πR =,故6R =,在等边ABC △12=,则AB =取线段AC 的中点N ,连接BN ,则9BN AB ==,所以()2MA MB MB MC MB MA MC MB MN ⋅+⋅=⋅+=⋅ ;取线段BN 的中点P ,连接BP ,则O 在线段BN 上,且133ON BN ==,所以93322OP NP ON =-=-=,1||=+G F 1F 2F 45N 12+F F 212cos 45210+=︒=⨯=F F N则2214MB MN MP BN ⋅=- 又()2222362MP MP MO OP ⎛⎫=≤+=+= ⎪⎝⎭ 故225813644MB MN ⋅≤-=,则72λ≥.故答案为：[)72,+∞.12解析： M ，N 分别是BC ，AC 的中点，1()2AM AB AC ∴=+ ，12BN AN AB AC AB =-=- .AM 与BN 的夹角等于MPN ∠，cos ||||AM BNMPN AM BN ⋅∴∠=.11()22AM BN AB AC AC AB ⎛⎫⋅=+⋅- ⎪⎝⎭ 2211114242AB AC AB AC AB AC =⋅-+-⋅2211125cos 60253424=-⨯⨯⨯︒-⨯+⨯=，||AM ===，||BN ===，cos MPN ∴∠==13．答案：证明见解析解析：证明：因为,,EF ED DC CF EF EA AB BF ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩所以1()2EF ED DC CF EA AB BF =+++++ .又因为E ，F 分别为AD ，BC 的中点，则ED EA +=0 ，CF BF +=0，所以1()2EF AB DC =+ .因为AB ，DC共线且同向，所以1||(||||)2EF AB DC =+ .不妨设(0)AB DC λλ=≠，则11()(1)22EF DC DC DC λλ=+=+ ，所以//EF DC .又EF ，CD 无公共点，所以//EF DC .同理.所以梯形的中位线定理即证.//EF AB。
专题27 平面向量(同步练习)(新高考地区专用)(原卷版)
专题27 平面向量（同步练习）考点一：平面向量的基本概念和表示方法 例1-1．判断对错：(1)两个向量能比较大小。
( ) (2)向量的模是一个正实数。
( ) (3)向量AB 与向量BA 是相等向量。
( ) 变式1-1．有下列说法：①向量AB 和向量BA 长度相等； ②方向不同的两个向量一定不平行； ③向量BC 是有向线段； ④00=；⑤若向量a 与向量b 不平行，则a 与b 方向一定不相同；⑥若向量AB 、CD 满足||||CD AB >，且AB 与CD 同向，则CD AB >； ⑦若||||b a =，则a 、b 的长度相等且方向相同或相反； ⑧由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行。
其中正确说法的个数是( )A 、1B 、2C 、3D 、4 例1-2．在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量： (1)OA ，使24||=OA ，点A 在点O 北偏东 45； (2)，使4||=AB ，点B 在点A 正东；(3)BC ，使6||=BC ，点C 在点B 北偏东 30。
变式1-2．一辆汽车从A 点出发向西行驶了100千米到达B 点，然后改变方向，向北偏西 40方向行驶了200千AB 米到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D 点。
作出向量AB 、BC 、CD 、AD 。
例1-3．如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且a OA =，b OB =，c OC =。
(1)与a 的长度相等、方向相反的向量有哪些？ (2)与a 共线的向量有哪些？(3)请一一列出与a 、b 、c 相等的向量。
变式1-3．本例条件不变，试写出与向量BC 相等的向量。
变式1-4．在本例中，若1||=a ，求正六边形的边长。
考点二：平面向量的运算 例2-1．判断对错：(1)两个向量相加结果可能是一个数量。
( ) (2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加。
第六章向量解几同步练习
=
y−5 −2
=
z−2 1
的距离.
五、求直线
2x − 4y + 3x − y − 2z
z −
= 9
0, =0
在
xOy
面上的投影直线的方程.
6
六、选择题
1. 方程 x2 − y2 + z2 = 1 表示（
）
4
A. 旋转双曲面 B.双叶双曲线 C. 双曲柱面
D. 锥面
2. 二次曲面 z = x2 + y2 与平面 y = h 相截，其截痕是空间中的（
量.
五、设 a = 3i − j − 2k, b = i + 2 j − k, 求：
（1） a b; （2） Pr jba; （3） cos(a, b).
2
六、已知 A(1, −1, 2), B(5, −6, 2),C(1,3, −1)，求与 AB, AC 都垂直的单位向量. 七、在 Oxy 面上，求垂直于 a = (5, −3, 4) ，并与 a 等长的向量 b.
一、填空题（一）
1. 过点 M1(4,1, 2), M2 (−3,5, −1) 的直线方程为
.
2. 设直线 x −1 = y +1 = z −1 与直线 x +1 = y −1 = z 相交，则 =
1 2
3.
直线
3x 6x
− y + 2z = 0, −3y + 2z = 0
与
z
轴的夹角为
.
4.过点 (2, −1, 3) 且平行于直线 x − 2 = y = z +1 的直线方程为 2 15
§6.1 向量代数 §6.2 平面和空间直线的方程（平面方程）
高中数学 4_1 什么是向量同步练习 湘教版必修21
高中数学 4.1 什么是向量同步练习湘教版必修2 1．下列说法中正确的是( )A．时间、摩擦力、重力都是向量B．向量的模是一个正实数C．相等向量的方向一定相同D．方向不同的两个向量不一定不相等2．如图，△ABC为等边三角形，则与图中AB的长度相等的向量有( )A．2个 B．3个C．4个 D．5个3．设O为△ABC的外心，则AO，BO，CO是( )A．相等向量 B．平行向量C．模相等的向量 D．起点相同的向量4．如下图所示，四边形ABCD中，AB＝DC，则相等的向量是( )A．AD与CBB．OB与ODC．AC与BDD．AO与OC5．在矩形ABCD中，AB＝2AD，M，N分别为AB和CD的中点，则在以A，B， C，D，M，N 为起点和终点的所有向量中，相等向量的对数是( )A．9 B．11 C．18 D．246．有下列说法：①向量AB与向量BA长度相等；②向量BC是有向线段；③模不相等的两个向量一定不相等；④若|a|＞|b|，则a＞b.其中正确的说法的序号是__________．7．将平面上所有模等于2的向量的起点移到共同的起点A，那么这些向量的终点所构成的图形是__________．8．已知四边形ABCD为正方形，△CBE为等腰直角三角形，回答下列问题：(1)图中与AB相等的向量有______；(2)图中与AB模相等的向量有__________．9．如图所示，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，EF是过点O且平行于AB的线段(E，F分别在AD，BC上)．(1)写出图中的各组同向向量；(2)写出图中的相等向量．10．如图所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形．在图中所示的向量中：(1)分别写出与AO，BO相等的向量；(2)写出与AO的模相等的向量；(3)向量AO与CO是否相等？参考答案1.答案：C2.答案：D解析：与AB长度相等的向量是：BA，AC，CA，BC，CB，选D．3.答案：C解析：由于O是△ABC外心，所以OA＝OB＝OC．因此AO，BO，CO的模相等，但它们不是相等向量，选C．4.答案：D解析：依题知四边形ABCD为平行四边形，又|AO|＝|OC|且AO与OC的方向相同，故选D．5.答案：D===，AD=MN=BC，AB＝DC，解析：如下图，由已知可得AM DN MB NC=，有12对相等向量．改变其方向又有12对相等向量．所以共有24 =，MD BNAN MC对相等向量．6.答案：①③7.答案：以A为圆心，以2为半径的圆8.答案：(1)DC，BE(2)BA，DC，CD，AD，DA，BC，CB，BE，EB9.解：(1)DC，EO，OF与EF为同向向量；AO，AC与OC为同向向量；AE，AD与ED为同向向量；BF，BC与FC为同向向量．(2)EO＝OF.10.解：(1)AO＝BF，BO＝AE；(2)|AO|＝|CO|＝|DO|＝|BO|＝|BF|＝|CF|＝|AE|＝|DE|.(3)不相等．欢迎您的下载，资料仅供参考！。
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向量同步练习1（概念）一、选择题1、下列物理量中， 不能称为向量的是 （ ） A ．距离 B ．加速度 C ．力 D ．位移2、下列四个命题正确的是 （ ） A ．两个单位向量一定相等 B ．若a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量C ．共线的单位向量必相等D ．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同3、下列说法错误的是 （ ） A ．向量OA 的长度与向量AO 的长度相等 B ．零向量与任意非零向量平行C ．长度相等方向相反的向量共线D ．方向相反的向量可能相等 4、对于以下命题：（1）平行向量一定相等； （2）不相等的向量一定不平行； （3）共线向量一定相等；（4）相等向量一定共线。
其中真命题的个数是 （ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个5、在△ABC 中,AB=AC ,D 、E 分别是AB 、AC 的中点,则 （ ） A.AB 与AC 共线 B.DE 与CB 共线 C.AD 与AE 相等 D.AD 与BD 相等6、两个向量共线是两个向量相等的 （ ） A 、 充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、 既不充分也不必要条件二、填空题1、与非零向量a 平行的单位向量的个数是_______。
2、||||b a =是b a =的_____条件。
3、已知B ，C 是线段AD 的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点最多可以写出_____个互不相等的非零向量。
4、已知平面上不共线的四点满足CB AD =，则以下四个命题：（1）ABCD 是平行四边形；（2）ACBD 是平行四边形；（3）ADBC 是平行四边形； （4）ACDB 是平行四边形。
则所有正确命题的序号是______。
5、在四边形ABCD 中，DC AB =，且||||AD AB =，那么ABCD 是。
6、若||||b a =，那么当时，b a =。
三、解答题1、在直角坐标系xOy 中，用有向线段表示下列向量：（1）4||=OA ，60=∠AOx ，30=∠AOy ； （2）3||=OB ，30=∠BOx ， 120=∠BOy ； （3）5||=OC ，135=∠COx ， 45=∠COy 。
2、在平面上有一个四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别 是AB 、BC 、CD 、DA 中点，求证：HG EF =。
必修4第2章《平面向量》基础练习卷班级______姓名___________1、已知向量等于则MN ON OM 21),1,5(),2,3(--=-=（）A ．)1,8(B ．)1,8(-C ．)21,4(-D ．)21,4(-2、已知向量),2,1(),1,3(-=-=b a 则b a 23--的坐标是（） A ．)1,7(B ．)1,7(--C ．)1,7(-D ．)1,7(-3、已知),1,(),3,1(-=-=x b a 且a ∥b ，则x 等于（）A ．3B ．3-C ．31D ．31-4、若),12,5(),4,3(==b a 则a 与b 的夹角的余弦值为（ ）A ．6563 B ．6533C ．6533-D ．6563-564==，m 与n 的夹角是135，则n m ⋅等于（ ）A ．12B ．212C ．212-D ．12-6、点)4,3(-关于点)5,6(-B 的对称点是（ ）A ．)5,3(-B ．)29,0(C ．)6,9(-D ．)21,3(-7、下列向量中，与)2,3(垂直的向量是（）A ．)6,4(-B ．)3,2(C ．)2,3(-D ．)2,3(-8、在平行四边形ABCD 中，M 为AB 上任一点，则AM DM DB -+等于（ ）A ．BC B.AB C.AC D.AD9、在平行四边形ABCD 中，若-=+，则必有( )A ．0=ADB ．0=AB 或0=ADC ．ABCD 是矩形 D ．ABCD 是正方形10、已知点C 在线段AB 的延长线上，且λλ则,CA BC ==等于()A ．3B ．31C ．3-D ．31-11、已知平面内三点AC BA x C B A ⊥满足),7(),3,1(),2,2(，则x 的值为()A ．3B ．6C ．7D ．912、若三点(2,3),(3,),(4,)A B a C b 共线，则有（ ） A 3,5a b ==- B 10a b -+= C 23a b -= D 20a b -=13、设两个非零向量b a ,不共线，且b k a b a k ++与共线，则k 的值为( )A ．1B ．1-C ．1±D ．014、已知AB AM B A 32),2,3(),1,2(=--，则点M 的坐标是( ) A ．)21,21(--B ．)1,34(--C ．)0,31(D ．)51,0(-15、已知b a b a b a -+==⊥λ与且23,32垂直，则λ等于 16、已知等边三角形ABC 的边长为1，则=⋅BC AB17、设21e e 、是两个单位向量，它们的夹角是60，则=+-⋅-)23()2(2121e e e e18、已知=--B A 、),2,5()4,3( 19、设a ＝(43,sin α)，b ＝(cos α,31),且a ⊥b ，则tan α＝. 20、若对n 个向量12,,,n a a a ，存在n 个不全为零的实数k 1，k 2，…，k n ，使得1122n n k a k a k a +++=0成立，则称向量12,,,n a a a 为“线性相关”.依次规定，请你求出一组实数k 1，k 2，k 3的值，它能说明1a =(1,0),2a =(1,－1),3a =(2,2)“线性相关”：k 1，k 2，k 3的值分别是，，.21、已知），（），，（0823=-AB A ，求线段AB 的中点C 的坐标。
22b a 与,54==的夹角为60，求a -323、平面向量),2(),,2(),4,3(y c x b a ==-=，已知a ∥b ，c a ⊥，求b 、c 及c b 与夹角。
24、如图，在△ABC 中，D 、F 分别是BC 、AC 的中点，AE=32AD ，AB =a ，AC =b ，（1）用a 、b 分别表示向量BF BE AF AE AD ,,,,;（2）求证：B 、E 、F 三点共线.必修4第2章《平面向量》基础练习卷题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 D BCA CCABCDCCCB15、23 16、21-17、29-18、10 19、94-20、只要满足4:2:1-即可 21、设).0,8()2,3(),(),,(=--=y x AB y x B⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=-=+∴250283y x y x )2,1(2,1),2,5(C y x B C C ⇒==∴ 22、109310969)3(22=-⇒=+⋅-=-b a b b a a b a 23、),,2(),4,3(x b a =-=a ∥b x 423-=⇔38-=∴x ，23),2(=⇔⊥=y c a y c 0),23,2(),38,2(=⋅=-=∴c b c b 90,>=∴<c b24．（1）1122AD a b =+，1133AE a b =+，12AF b =，1233BE b a =-，12BF b a =-.（2）由（1）知，32BF BE =，所以BF ∥BE ，又BF 与BE 有共同的起点，所以三点D 、E 、F 共线.向量练习题1、若AB =3e 1,CD =－5e 1,且|AD |=|BC |，则四边形ABCD 是（ ） A.平行四边形B.菱形C.等腰梯形D.不等腰梯形【解析】 ∵AB =3e 1，CD =－5e 1，∴CD =－35AB ，∴AB 与CD 平行且方向相反，易知|CD |>|AB |,又∵|AD |=|BC |，∴四边形ABCD 是等腰梯形.【答案】 C 2、设点在有向线段的延长线上，分所成的比为，则（ A ）EDF ACA ．B ．C ．D ． 3、若||＝2sin15°，||＝4cos375°、，夹角为30°，则·＝（B ）．A ．23 B ．3 C ．32 D ．214、若|a |=|b |=|a －b |,则b 与a +b 的夹角为 （ A ）A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°5、已知向量)sin ,(cos θθ=a ,向量)1,3(-=b 则|2|b a -的最大值，最小值分别（ D ）A ．0,24B ．24,4C ．16，0D ．4，06、在正六边形ABCDEF 中，O 为其中心，则=+++ED BO AB FA 2______FD7、设向量a 和b 的长度分别为4和3，夹角为600，则|a ＋b | =_____378、1e 和2e 是表示平面内所有向量的一组基底，则下面的四个向量中，不能作为一组基底的是__⑵_（1）1e +2e 和1e －2e ;（2）31e －22e 和42e －61e ;（3）1e +22e 和2e +21e ;（4）2e 和2e +1e9、已知△ABC 的顶点A （2，3），B （8，－4），和重心G （2，－1），则点C 的坐标是_（－4，－2）____10、“a 与b 为共线向量”是“a与b 方向相同”的__必要不充分___条件11、已知,a b 是两个非零向量，则b a 与不共线是||||||||||||b a b a b a +<-<-的充要_条件12、设a =（－1，2），b =（1，－1），c =（3，－2），用a ，b 作基底可将c 表示c =p a ＋q b ，则实数p 、q 的值为_____ P=1,q=4___.13、已知a =（1，1），b =（0，－2）当k= -1 时, b a k -与b a +共线.14、命题①若b ≠0，且a ·b =c ·b ，则a =c ；②若a =b ，则3a ＜4b ;③(a ·b )·c =a ·(b ·c ), 对任意向量a ，b ，c 都成立；④a 2·b 2=(a ·b )2；正确命题的个数为____ （0）15、知A 、B 、C 三点共线，且A 、B 、C 三点的纵坐标分别为2，5，10，则A 点分BC 所得的比为____(83-)16、同一直线上的三点顺次为A （-y ，6），B （-2，y ），C （x ，-6）,若AB BC 2= ，则x=__-2，y=__217、若a =（2，3），b =（－4，7），则a 在b 方向上的投影为______(565) 18、已知|a |=2，b =（－23，2），若a ∥b ，则a =________()1,3(),1,3(--) 19、已知由向量AB =（3，2），AC =（1，k ）确定的△ABC 为直角三角形，则k=。