平面向量的坐标运算同步练习
2020年高中数学必修4 平面向量的坐标表示及运算 同步练习(含答案)
A、17
B、18
C、19
D、20
3.若向量 a = (1,1), b = (1,－1), c =(－1,2),则 c 等于(
)
A、
1
a + 3
b
22
1
B、
a
3
b
22
3
C、
a
1
b
D、 3 a +
1
b
22
22
4.下列各组向量中：① e1 (1,2) , e2 (5,7) ；② e1 (3,5) , e2 (6,10) ；
2
22.解：
23.解：(1)设 B(x1，y1)， →
因为AB=(4,3)，A(－1，－2)，所以(x1＋1，y1＋2)=(4,3)，
A.
B.
C.
） D.8
7.已知 a,b 满足：|a|=3,|b|=2,|a+b|=4,则|a-b|=(
)
A.
B.
C.
D.3
8.已知 a=(2,1)，b=(m,-1)，且 a⊥(a-b)，则实数 m=（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
→→
→
9.在△ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD 平分∠ACB.若CB=a，CA=b，|a|=1，|b|=2，则CD=( ).
和
CD
的坐
3
3
标。
18.已知不共线的平面向量 a,b 满足|a|=3，|b|=4. （1）若(a+kb)⊥(a-kb)，求实数 k 的值； （2）若(ka-4b)//(a-kb)，求实数 k 的值.
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19.已知向量 a=(2,3),b=(-1,2). （1）求(a-b)(a+2b)； （2）若向量 a+λb 与 2a-b 平行，求λ的值.
平面向量的坐标运算同步练习及答案
平面向量的坐标运算同步练习及答案1.若a =(2,3),b =(4,-1+y)，且a ∥b ，则y=（ C ）A.6B.5C.7D.82.若a =(x １,y １)，b =(x ２，y ２)，且a ∥b ,则坐标满足的条件为（ D ）A.x １x ２－ｙ１ｙ２＝０B.ｘ１ｙ１－ｘ２ｙ２＝０C.ｘ１ｙ２＋ｘ２ｙ１＝０D.ｘ１ｙ２－ｘ２ｙ１＝０3.若A(x,-1),B(1,3),C(2,5)三点共线，则x 的值为（ B ）A.-3B.-1C.1D.34.已知a =(-1,2),b =(1,-2),则a +b 与a -b 的坐标分别为（ A ）A.(0，0)，(-2,4)B.(0，0)，(2,-4)C.(-2,4),(2,-4)D.(1,-1),(-3,3)5.若O(0，0)，B(-1,3)，且B O ＝3OB ，则Ｂ′点坐标( B )A.(3，9)B.(-3,9)C.(-3,3)D.(3,-3)6.若向量a =(x-2,3)与向量b =(1,y+2)相等，则（ B ）A.x=1,y=3B.x=3,y=1C.x=1,y=-5D.x=5,y=-17.平行四边形ABCD 三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为(-2,1),(-1,3),(3,4)，则顶点D 的坐标为( B ) A.(2，1)B.(2，2)C.(1，2)D.(2，3)8.设a =(23，sin α)，b=(ｃｏｓα，31)，且a ∥b ，则锐角α为（ C ）A.30°B.60°C.45°D.75°9.已知点B 的坐标为(m,n)，AB 的坐标为(i,j)，则点A 的坐标为( A )A.(m-i,n-j)B.(i-m,j-n)C.(m+i,n+j)D.(m+n,i+j)10.设k∈Ｒ，下列向量中，与向量a=(1,-1)一定不平行的向量是（ C ）A.(k,k)B.(-k,-k)C.(k２＋１，ｋ２＋１)D.（ｋ２－１，ｋ２－１）11.若AB=i+2j, DC=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量). AB与DC共线，则x、y的值可能分别为（ B ）A.1，2B.2，2C.3，2D.2，412.已知AB=(x,y),点B的坐标为(-2,1)，则OA的坐标为( C )A.(x-2,y+1)B.(x+2,y-1)C.(-2-x,1-y)D.(x+2,y+1)13.若a=(2,1),b=(-3,4),则3a+4b的坐标为 .答案：(-6,19)14.已知a=(4,2),b=(6,y),且a∥b，则y= .答案： 315.若A(-1,-1),B(1,3),C(x,5)三点共线，则x= .答案：216.若A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),D(2,2)，则AB与DC的关系是 .答案：相等17.若A(2，3)，B(x,4),C(3,y)，且AB=2AC,则x= ,y= .7答案：4218.已知AB=(2,-1), AC=(-4,1),则BC= .答案：(-6,2)19.已知a=(3,2),b=(2,-1),若λa+b与a+λb（λ∈Ｒ）平行，则λ＝ .答案：±120.若a=(-1,x)与b=(-x,2)共线且方向相同，则x= .答案：221.已知平行四边形ABCD四个顶点的坐标为A(5，7)，B(3,x),C(2,3),D(4,x)，则x= .答案：522.已知向量a=(3,-2),b=(-2,1),c=(7,-4),若c=λa+μb,则λ＝，μ＝．答案：1,-223.已知□ABCD中，A(0，0)，B(5，0)，D(2，4)，对角线AC、BD交于M，则DM的坐标为 .3,-2)答案：(224.已知a=(1,2),b=(x,1),若a+2b与2a-b平行,则x的值为 .1答案：225.已知a=(1,2),b=(-3,2)，当k为何值时k a+b与a-3b平行?1答案：-326.已知A(-2,4)、B(3，-1)、C(-3，-4)且CM=3CA,CN=2CB ,试求点M、N和MN的坐标.答案：点M、N的坐标分别为(0，20)，(9，2)，MN的坐标为(9，-18)27.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,0)、B(-1,2)、C(-2，-1)，求AB、BC、CA 的坐标，并用基底i、j分别表示出来.(i、j分别为与x轴、y轴方向相同的两个单位向量)答案：AB =(-2,2)=-2i+2j BC=(-1,-3)=-i-3j CA=(3,1)=3i+j29.已知平面上三点的坐标分别为A(x１，y１)、Ｂ（ｘ２，ｙ２）、Ｃ（ｘ３，ｙ３），求点D的坐标，使得这四个点构成平行四边形的四个顶点.答案：(1)当平行四边形为ABCD时，D(ｘ１＋ｘ３－ｘ２，ｙ１＋ｙ３－ｙ２)（2）当平行四边形为ACDB时，D（ｘ２＋ｘ３－ｘ１，ｙ２＋ｙ３－ｙ１）（3）当平行四边形为ADBC时，D（ｘ１＋ｘ２－ｘ３，ｙ１＋ｙ２－ｙ３）。
高中数学4.平面向量的坐标专项测试同步训练
高中数学4.平面向量的坐标专项测试同步训练2020.031,已知32),,(),3,4(),2,5(=+-=--=-=y x 若则等于（ ）（A ）81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭（B ）138,33⎛⎫ ⎪⎝⎭（C ）134,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）134,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭2,在平面四边形ABCD 中，0=⋅=⋅=⋅，则该四边形是（ ）（A ）平行四边形 （B ）矩形 （C ）菱形 （D ）正方形3,在菱形ABCD 中，（+）·（ -）= 。
4,已知|a ϖ|=1,|b ϖ|=2 ,且(a ϖ－b ϖ)和a ϖ垂直,则a ϖ与b ϖ的夹角为（ ）A ．60°B ．30°C ．135°D ．45°5,若)2()2(),2()(b a b a b a b a ϖϖϖϖϖϖϖϖ+⊥--⊥+，试求b a ϖϖ,的夹角的的余弦值。
6,已知：|a|=2,|b|=2,a 与b 的夹角为45°，要使λb-a 垂直，则λ= 。
7,设向量a=(2,-1)，向量b 与a 共线且b 与a 同向，b 的模为25，则b= 。
8,以原点O 和A （4，2）为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，∠B=90°，求点B 的坐标和。
9,设e 1与e 2是两个单位向量，其夹角为60°，试求向量a=2e 1+e 2,b=-3e 1+2e 2的夹角θ。
10,若)1,0(),0,1(==，则与43+垂直的单位单位向量是_____________________.11,已知与且-==,2||,1||垂直，则与的夹角为 （ ） （A ）90°（B ）60°（C ）45°（D ）30°12,若向量),(8λ=a ρ的长度为17，则λ 的值是 。
13,若5||,8||==AC AB ，则||BC 的取值范围是______________.14,设j i ρρ,分别是直角坐标系x 轴，y 轴方向上的单位向量，若在同一直线是有三点A 、B 、C 且j i j i n j m i ⊥-=+=+-=,,,ρρρρρρ52。
平面向量的基本定理及坐标运算练习题(基础、经典、好用)
平面向量的基本定理及坐标运算一、选择题1．已知平面向量a ＝(x ，1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( )A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线2．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2，4)，若表示向量4a 、3b －2a 、c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 为( )A ．(1，－1)B ．(－1，1)C ．(－4，6)D ．(4，－6)3．(2013·东莞质检)若a ＝(1，2)，b ＝(－3，0)，(2a ＋b )∥(a －mb )，则m ＝( )A ．－12 B.12 C ．2 D ．－24．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( )A.π6B.π3C.π2D.2π35．(2013·阳江模拟)设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2，1)，则“a ＝(4，2)”是“a ∥b ”成立的是( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题6．已知同时作用于某物体同一点的三个力对应向量分别为f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3，2)，f 3＝(4，－3)，为使该物体处于平衡状态，现需在该点加上一个力f 4，则f 4＝________．7．(2013·潮州模拟)在△ABC 中，若点D 是边AB 上靠近点B 的三等分点，若CB→＝a ，CA →＝b ，则CD→等于________． 8．(2013·广州调研)已知A (－3，0)，B (0，3)，O 为坐标原点，C 在第二象限，且∠AOC＝30°，OC→＝λOA →＋OB →，则实数λ的值为________． 三、解答题9．设坐标平面上有三点A ，B ，C ，i ，j 分别是坐标平面上x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若向量AB→＝i －2j ，BC →＝i ＋mj ，那么是否存在实数m ，使A ，B ，C 三点共线． 10．已知点O (0，0)，A (1，2)，B (4，5)，且OP→＝OA →＋tAB →(t ∈R)，问： (1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在二、四象限角平分线上？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．图4－2－311．(2013·广东六校模拟)如图4－2－3，G 是△OAB 的重心，P ，Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P ，G ，Q 三点共线．(1)设PG→＝λPQ →，将OG →用λ，OP →，OQ →表示； (2)设OP →＝xOA →，OQ →＝yOB →，证明：1x ＋1y是定值．解析及答案一、选择题1．【解析】 ∵a ＋b ＝(0，1＋x 2)，∴a ＋b 平行于y 轴．【答案】 C2．【解析】 4a ＝(4，－12)，3b －2a ＝(－8，18)，设向量c ＝(x ，y )，依题意，得4a ＋(3b －2a )＋c ＝0，所以4－8＋x ＝0，－12＋18＋y ＝0，解得x ＝4，y ＝－6.【答案】 D3．【解析】 ∵a ＝(1，2)，b ＝(－3，0)，∴2a ＋b ＝(－1，4)，a －mb ＝(1＋3m ，2)，又∵(2a ＋b )∥(a －mb )，∴－1×2－4(1＋3m )＝0，∴m ＝－12.【答案】 A4．【解析】 由p ∥q ，知(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0，即a 2＋b 2－c 2＝ab ， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，∴C ＝π3.【答案】 B5．【解析】 若a ＝(4，2)，则|a |＝25，且a ∥b 都成立；因a ∥b ，设a ＝λb ＝(2λ，λ)，由|a |＝25，得4λ2＋λ2＝20，∴λ2＝4，∴λ＝±2，∴a ＝(4，2)或a ＝(－4，－2)．因此“a ＝(4，2)”是“a ∥b ”成立的充分不必要条件．【答案】 C二、填空题6．【解析】 由题意知f 1＋f 2＋f 3＋f 4＝0，∴f 4＝－f 1－f 2－f 3＝(2，1)＋(3，－2)＋(－4，3)＝(1，2)．【答案】 (1，2)7．【解析】 ∵D 是靠近点B 的边AB 上的三等分点，∴BD →＝13BA →，又CD →＝CB →＋BD →，且BA →＝CA →－CB →＝b －a ，∴CD →＝CB →＋13BA →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b .【答案】 23a ＋13b8．【解析】 由题意知OA →＝(－3，0)，OB →＝(0，3)，则OC →＝(－3λ，3)，由∠AOC ＝30°，知∠xOC ＝150°，∴tan 150°＝3－3λ，即－33＝－33λ，∴λ＝1.【答案】 1三、解答题9．【解】 假设满足条件的m 存在，由A ，B ，C 三点共线，得AB →∥BC →，∴存在实数λ，使AB→＝λBC →，即i －2j ＝λ(i ＋mj )， ∴m ＝－2.∴当m ＝－2时，A ，B ，C 三点共线．10．【解】 (1)∵O (0，0)，A (1，2)，B (4，5)， ∴OA→＝(1，2)，AB →＝(3，3)， OP→＝OA →＋tAB →＝(1＋3t ，2＋3t )． 若P 在x 轴上，只需2＋3t ＝0，t ＝－23； 若P 在第二、四象限角平分线上，则1＋3t ＝－(2＋3t )，t ＝－12.(2)OA→＝(1，2)，PB →＝(3－3t ，3－3t )， 若OABP 是平行四边形，则OA→＝PB →， 此方程组无解．所以四边形OABP 不可能为平行四边形．11．【解】 (1)OG→＝OP →＋PG →＝OP →＋λPQ → ＝OP→＋λ(OQ →－OP →)＝(1－λ)OP →＋λOQ →. (2)一方面，由(1)，得OG→＝(1－λ)OP →＋λOQ →＝(1－λ)xOA →＋λy OB →； ①另一方面，∵G 是△OAB 的重心，∴OG →＝23OM →＝23×12(OA →＋OB →)＝13OA →＋13OB →. ② 又OA →，OB →不共线，∴1x ＋1y ＝3(定值)．。
北师大版数学高一-必修四2.4.2平面向量的坐标运算(练).
必修四2.4.2平面向量的坐标运算（练）一、选择题1．已知a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，若(a ＋2b )∥(2a －b )，则x 的值是( )A ．2B ．1C.12 D ．－12解析：选C.a ＋2b ＝(1＋2x,4)，2a －b ＝(2－x,3)，∴(1＋2x )·3－4(2－x )＝0，解得x ＝12. 2．已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，且2a ＋b －3c ＝0，则c 等于( )A.⎝⎛⎭⎫－2，73B.⎝⎛⎭⎫2，73 C.⎝⎛⎭⎫2，－73 D.⎝⎛⎭⎫－2，－73 解析：选C.∵2a ＋b －3c ＝0，∴3c ＝2a ＋b ，∴c ＝23a ＋13b ＝23(5，－2)＋13(－4，－3) ＝⎝⎛⎭⎫103－43，－43－1＝⎝⎛⎭⎫2，－73. 3．(2011年绍兴高一检测)已知a ＞0，若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝( )A ．0B ．1－ 2C ．1＋ 2 D.1＋22解析：选C.AB →＝(1，a 2＋a )，AC →＝(2，a 3＋a )∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →、AC →共线，∴1×(a 3＋a )－2(a 2＋a )＝0，∴a 3－2a 2－a ＝0，解得a ＝0或a ＝1±2，∵a ＞0，∴a ＝1＋ 2.4．若a ，b 是不共线的两个向量，且AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，则A 、B 、C 三点共线的条件为( )A ．λ1＝λ2＝－1B ．λ1＝λ2＝1C ．λ1λ2＋1＝0D ．λ1λ2－1＝0解析：选D.A 、B 、C 共线⇔AB →＝mAC →⇔λ1a ＋b ＝m a ＋mλ2b ⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＝λ1mλ2＝1⇔λ1λ2＝1⇔λ1λ2－1＝0. 5．(2011年济南高一检测)设a ＝(32，sin α)，b ＝(cos α，13)，且a ∥b ，则锐角α为( ) A ．30° B ．60°C ．75°D ．45°解析：选D.∵a ∥b ，∴32×13－sin αcos α＝0， ∴sin αcos α＝12，① ∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋1＝2，∵α为锐角，∴sin α＋cos α＝2，②由①②知α＝45°.6．在平行四边形ABCD 中，AD →＝(－6，－7)，AB →＝(2，－3)，若平行四边形ABCD 的对称中心为E ，则CE →为( )A ．(－2,5)B ．(－2，－5)C ．(2，－5)D ．(2,5)解析：选D.AC →＝AD →＋AB →＝(－6，－7)＋(2，－3)＝(－4，－10)，∴CA →＝(4,10)，∴CE →＝12CA →＝(2,5)，故选D. 二、填空题7．已知向量a ＝(3,4)，b ＝(sin α，cos α)，且a ∥b ，则tan α等于________．解析：∵a ∥b ，∴3cos α－4sin α＝0，∴4sin α＝3cos α，∴sin αcos α＝tan α＝34. 答案：348．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________. 解析：λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)，∵λa ＋b 与c ＝(－4，－7)共线，∴(λ＋2)×(－7)－(2λ＋3)×(－4)＝0，解得λ＝2.答案：29．a ＝(1,1)，b ＝(1，－2)，c ＝(4,1)，若c ＝x a ＋y b ，则x ＋y 的值为________．解析：c ＝x a ＋y b ＝(x ，x )＋(y ，－2y )＝(x ＋y ，x －2y )＝(4,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4x －2y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝1， ∴x ＋y ＝3＋1＝4.答案：4三、解答题10．已知点M (1,0)，N (0,1)，P (2,1)，Q (1，y )，且MN →∥PQ →，求y 的值，并求出向量PQ →的坐标．解：∵点M (1,0)，N (0,1)，P (2,1)，Q (1，y )，∴MN →＝(－1,1)，PQ →＝(－1，y －1)．∵MN →∥PQ →，∴(－1)×(y －1)－1×(－1)＝0，解得y ＝2∴PQ →＝(－1,1)．11．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,6)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，(1)若u ∥v ，求实数x 的值；(2)若a ，v 不共线，求实数x 的值．解：(1)因为a ＝(1,2)，b ＝(x,6)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，所以u ＝(1,2)＋2(x,6)＝(2x ＋1,14)，v ＝2(1,2)－(x,6)＝(2－x ，－2)，又因为u ∥v ，所以－2(2x ＋1)－14(2－x )＝0，即10x ＝30，解得x ＝3.(2)若a ，v 共线，则2(2－x )＝－2，解得x ＝3，所以要使a ，v 不共线，{x |x ∈R 且x ≠3}为所求．12．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →，求证：EF →∥AB →.证明：设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，依题意有AC →＝(2,2)，BC →＝(－2,3)，AB →＝(4，－1)．∵AE →＝13AC →，∴AE →＝13(2,2)＝(23，23)． ∵BF →＝13BC →，∴BF →＝13(－2,3)＝(－23，1)． 因为(x 1＋1，y 1)＝(23，23)， 所以x 1＝－13，y 1＝23，即E (－13，23)． 因为(x 2－3，y 2＋1)＝(－23，1)， 所以x 2＝73，y 2＝0，即F (73，0)． ∴EF →＝(83，－23)． 又∵4×(－23)－83×(－1)＝0. 所以EF →∥AB →.。
高考数学第一轮总复习054平面向量的坐标运算精品同步练习新人教A版
A ． 7 B． 10
C． 13 D．4
8.（04 年全国卷二 .理 9）已知平面上直线 l 的方向向量 e ( 4 ,3 ), 点 O(0,0) 和 A(1, 2) 在 l 上的
55
射影分别是 O′和 A′，则 O A e ，其中 =（ ） .
A ． 11 B． 11
5
5
C． 2 D．－ 2
9. （ 04 年 浙 江 卷 . 理 14 ） 已 知 平 面 上 三 点 A 、 B 、 C 满 足 | AB | 3, |B C | 4,C| A | 5则
AB BC BC CA CA AB 的值等于
.
10．设 O 为 ABC 内一点， OB OC OC OA OA OB ，则 O 是 ABC 的 _______心。
11．已知 a (x,2 x), b ( 3x,2), 如果 a 与 b 的夹角是钝角， 则 x 的取值范围是 ________________。
4．已知 a a, b b, a 与 b 的夹角是 ，则 a b 等于
(
)
A.
a2 b2 2ab cos
C.
a2 b2 2ab cos
B.
a2 b2 2absin
D. a2 b2 2ab sin
5.（05 北京卷）若 | a | 1,|b | 2, c a b ，且 c a ，则向量 a 与 b 的夹角为 ( ) A.30° B.60° C. 120° D . 150°
6．（05 浙江卷）已知向量 a ≠ e ，|e |＝1，对任意 t∈ R，恒有 |a －t e |≥ | a － e|，则（）
A. a ⊥ e
B. a ⊥( a － e ) C. e⊥ ( a － e) D. ( a ＋ e )⊥( a － e )
高中数学 基础知识篇 2.4平面向量的坐标同步练测 北师大版必修4
建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分高中数学基础知识篇 2.4平面向量的坐标同步练测北师大版必修4一、选择题（每小题5分，共20分）1.若三点P(1，1)，A(2，-4)，B(x，-9)共线，则x=（）A.-1B.3C. 92D.52.已知向量a=(3，4)，b=(sin α，cos α)，且a ∥b,则tan α=（）A. 34B.34-C. 43D.43-3. 设向量a=(1,-3),b=(-2,4)，c=(-1,-2),若表示向量4a、4b-2c、2(a-c)、d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为（）A.(2，6)B.(-2，6)C.(2，-6)D.(-2，-6)4. 已知向量a=(4,2),向量b=(x,3),且a∥b,则x=（）A.9B.6C.5D.3二、填空题（每小题5分，共10分）5.已知点A(1，-2)，若向量AB与a=(2，3)同向，|AB|=213，则点B的坐标为 .6. 已知向量a=(3,1),b=(1,3),c=(k,7)，若（a-c）∥b,则k= .三、解答题(共70分)7.（15分）已知点A(-1，2)、B(2，8)，AC=13 AB，DA=-13BA，求向量CD的坐标.8.（20分）已知a=AB，B(1，0)，b=(-3,4),c=(-1,1)，且a=3b-2c，求A的坐标.9. （15分）已知向量a=(x+3,x2-3x-4)与AB相等，其中A(1，2)、B(3，2)，求x. 10. （20分）已知a=(-1，2)，b=(1,x),若2a-b 与a+2b平行，求实数x的值.§4 平面向量的坐标（数学北师版必修4）答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4答案二、填空题5． 6．三、解答题7.8.9.10.§4 平面向量的坐标（数学北师版必修4）答案一、选择题1. B 解析：因为PA=(1，-5)，PB =(x-1,-10),依题意有-5×(x-1)-1×(-10)=0，解得x=3.2.A 解析：根据两个向量平行的条件得3cos α-4sin α=0,则tan α=sincosαα=34.3. D 解析：设d=(x,y),由题意知4a+(4b-2c)+2(a-c)+ d=0，即4(1，-3)+［4(-2,4)-2(-1,-2)］+2［(1,-3)-(-1,-2)］+(x,y)=(0,0)，解之得x=-2,y=-6,即d=(-2,-6).4. B 解析：由向量的平行条件有4×3-2x=0,解得x=6.二、填空题5. (5，4) 解析：设点B的坐标为(x,y),则AB=(x-1,y+2).依题意有22(1)(2)4132(2)3(1)0x yy x⎧-++=⨯⎨+--=⎩，，解得54xy=⎧⎨=⎩，，或38xy=-⎧⎨=-⎩，.当54xy=⎧⎨=⎩，时，AB=(4，6)与a=(2，3)同向，所以B(5，4)符合题意；当38xy=-⎧⎨=-⎩，时，AB=(-4，-6)与a=(2，3)不同向，故舍去.6. 5 解析：a-c =(3-k,-6),b=(1,3). ∵ (a -c)∥b,∴ 3(3-k)-(-6)×1=0k=5.三、解答题7.解：由向量的减法知，CD=AD-AC=13BA-13AB =23BA=23(-1-2，2-8)=(-2，-4).8.解：因为b=(-3,4),c=(-1,1),所以a=3b-2c=3(-3,4)-2(-1,1)=(-7,10), 即AB=(-7，10).又因为B(1，0)，设A(x,y),则AB=(1-x,-y)=(-7,10),所以1710xy-=-⎧⎨-=⎩，，解得810xy=⎧⎨=-⎩，，即A(8,-10).9.解：因为A(1，2)、B(3，2)，所以AB =(2,0). 又因为a =AB ,所以(x+3,x 2-3x-4)=(2,0).所以232340x x x +=⎧⎨--=⎩，，解得x=-1.10.解法1：由已知得2a -b =(-3,4-x),a +2b =(1,2+2x). 由2a -b 与a +2b 平行，知-3(2+2x)-(4-x)=0,解得x=-2. 解法2：∵ 2a -b 与a +2b 平行，∴ 2a -b =λ (a +2b ),∴ (-3,4-x)= λ (1,2+2x),∴ 34(22)x x λλ=-⎧⎨-=+⎩，，解得x =-2.解法3：设m =2a -b ,n =a +2b , 则可得a =25m +15n ,b =-15m +25n .∵ m ∥n ,∴ a ∥b .又∵ a =(-1,2),b =(1,x),∴ -x-2=0,∴ x=-2.。
新人教版高中数学平面向量的坐标运算随堂练习必修四
向量的坐标运算1．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)满足(ka ＋b )∥c ，则k ＝2．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC ＝2AD ，则顶点D 的坐标为3．若A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则y ＝4．已知a ＝(－2,1－cos θ)，b ＝(1＋cos θ，－14)，且a ∥b ，则锐角θ等于 5．已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)，且a ∥b ，则tan θ＝________.6．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________.7．已知点A (－1，－1)、B (1,3)、C (x,5)，若对于平面上任意一点O ，都有OC ＝λOA ＋(1－λ) OB ，λ∈R ，则x ＝______.8．已知向量a ＝(－2,3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1,2)，终点B 在坐标轴上，则点B 的坐标为________________．9．已知A 、B 、C 三点的坐标为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且AE ＝13AC ，BF ＝13BC ，求证：EF ∥AB .10．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，回答下列问题：(1)求3a ＋b －2c ；(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ；(3)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k .答案：1.解析：ka ＋b ＝(k －1，k ＋1)，由(ka ＋b )∥c ，得2(k －1)－4(k ＋1)＝0，解得k ＝－3.答案：-32.解析：令D (x ，y )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x －＝3－－，y －＝1－－解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝72.∴顶点D 的坐标为(2，72)．答案：(2，72)．3.解析：AB ＝(－8,8)，AC ＝(3，y ＋6)．∵AB ∥AC ，∴－8(y ＋6)－24＝0.∴y ＝－9.答案：-94.解析：由a ∥b 得－2×(－14)＝1－cos 2θ＝sin 2θ，∵θ为锐角，∴sin θ＝22，∴θ＝45°.答案：45°5.解析：∵a ∥b ，∴2sin θ＝cos θ－2sin θ. 即4sin θ＝cos θ，∴tan θ＝14. 答案：146.解析：a ＋b ＝(2－1，－1＋m )＝(1，m －1)，由(a ＋b )∥c ， 得1×2－(m －1)×(－1)＝0，即m ＝－1.答案：－17.解析：取点O (0,0)，由OC ＝ λOA ＋(1－λ) OB ，得(x,5)＝λ(－1，－1)＋(1－λ)(1,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－λ＋－λ，5＝－λ＋－λ解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，x ＝2. 答案：28.解析：由b ∥a ，可设b ＝λa ＝(－2λ，3λ)． 设点B 坐标为(x ，y )，则AB ―→＝(x －1，y －2)＝b . 由⎩⎪⎨⎪⎧ －2λ＝x －1，3λ＝y －2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－2λ，y ＝3λ＋2.①又B 点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，∴λ＝12或λ＝－23，代入①式得 B 点坐标为(0，72)或(73，0)．答案：(0，72)或(73，0) 9.证明：设E 、F 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，依题意有AC ＝(2,2)，BC ＝(－2,3)，AB ＝(4，－1)． ∵AE ＝13AC ，∴(x 1＋1，y 1)＝13(2,2)．∴点E 的坐标为(－13，23)．同理点F 的坐标为(73，0)，EF ＝(83，－23)．又83×(－1)－4×(－23)＝0，∴EF ∥AB .10.解：(1)3a ＋b －2c ＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1) ＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)＝(9－1－8,6＋2－2)＝(0,6)．(2)∵a ＝mb ＋nc ，∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n )． ∴－m ＋4n ＝3且2m ＋n ＝2，解得m ＝59，n ＝89.(3)∵(a ＋kc )∥(2b －a )，又a ＋kc ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，∴2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0.∴k ＝－1613.仅此学习交流之用谢谢。