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平面向量练习题及答案
平面向量练习题及答案一、选择题1. 设向量a和向量b是两个不共线的向量，若向量c=2向量a-3向量b，向量d=向量a+4向量b，那么向量c和向量d的夹角的余弦值是（）A. 1/2B. -1/2C. 0D. 12. 若向量a和向量b的模长分别为3和4，且它们的夹角为60°，则向量a和向量b的点积是（）A. 6B. 12C. 15D. 183. 已知向量a=（1，2），向量b=（3，4），则向量a和向量b的向量积的大小是（）A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题4. 若向量a=（x，y），向量b=（2，-1），且向量a与向量b共线，则x=______，y=______。
5. 向量a=（3，4），向量b=（-1，2），则向量a和向量b的夹角的正弦值是______。
三、计算题6. 已知向量a=（2，3），向量b=（4，-1），求向量a和向量b的点积。
7. 已知向量a=（-1，3），向量b=（2，-4），求向量a和向量b的向量积。
8. 已知向量a=（1，0），向量b=（2，3），求向量a在向量b上的投影。
四、解答题9. 设向量a=（1，-1），向量b=（2，3），求证向量a和向量b不共线。
10. 已知向量a=（x，y），向量b=（1，1），若向量a和向量b的点积为6，求x和y的值。
答案：1. B2. C3. B4. 2，-15. 根号下（（3+4）的平方-（3*(-1)+4*2）的平方）除以（5*根号下2）6. 向量a和向量b的点积为：2*4+3*(-1)=57. 向量a和向量b的向量积为：(3*(-4)-4*2)i-(2*3-1*4)j=-20i+2j8. 向量a在向量b上的投影为：(向量a·向量b)/向量b的模长^2 * 向量b = (1*2+0*3)/(2^2+3^2) * 向量b = (2/13) * (2，3)9. 证：假设向量a和向量b共线，则存在实数k使得向量a=k向量b。
高中平面向量经典练习题1（含答案）
高中平面向量经典练习题【编著】黄勇权一、填空题1、已知向量a=a=（（-2-2，，1），向量），向量|b|= 2|a||b|= 2|a|，若，若b ·（·（a-b a-b a-b））= -30，则向量，则向量b 的坐标坐标= =。
2、已知a=a=（（2，1），），3a-2b=3a-2b=3a-2b=（（4,-14,-1），则），则a ·b=。
3、向量a=（m ，-2-2）），向量b=（-6-6，，3），若a ∥b ，则（3a+4b 3a+4b））·（6a-5b 6a-5b））= 。
4、已知向量a 、b 满足满足|a|=2|a|=2|a|=2，，b=b=（（-1-1，， 2），且（），且（），且（4a-b 4a-b 4a-b）·）·（a+b a+b））=22=22，则，则a 、b 的夹角的夹角。
5、在矩形ABCD 中，)3,1(-=AB ,)2,(-=k AC ，则实数=k 。
6、已知向量(1,),(,9)a t b t ==r r ，若→a ∥→b ，则t ＝ _______。
7、已知、已知|||=1|=1，，||=， =0，点，点C 在∠在∠AOB AOB 内，且∠内，且∠AOC=30AOC=30AOC=30°，设°，设=m +n （m 、n ∈R ），则等于等于。
8、若、若||+|=|﹣|=2||，则向量+与的夹角为的夹角为 。
9、已知向量=（2，1），=10=10，，|+|=，则，则|||=|=（（ ）1010、已知平面向量、已知平面向量，，x ∈R ，若，则，则|||=______|=______。
二、选择题1、已知向量a=a=（（2，1），向量b=b=（（1，-1-1），那么），那么2a+b=。
A 、 （5,5,，，1） B 、（、（44，1） C 、（、（55，2） D 、（、（44，2）2、已知向量a=a=（（2，4），向量b=b=（（-3-3，，0），则b a 21+= 。
平面向量专题练习(带答案详解)
平面向量专题练习(带答案详解) 平面向量专题练（附答案详解）一、单选题1.已知向量 $a=(-1,2)$，$b=(1,1)$，则 $a\cdot b$ 等于（）A。
3 B。
2 C。
1 D。
02.已知向量 $a=(1,-2)$，$b=(2,x)$，若 $a//b$，则 $x$ 的值是（）A。
-4 B。
-1 C。
1 D。
43.已知向量 $a=(1,1,0)$，$b=(-1,0,2)$，且 $ka+b$ 与 $2a-b$ 互相垂直，则 $k$ 的值是（）A。
1 B。
5/3 C。
3/5 D。
7/54.等腰直角三角形 $ABC$ 中，$\angle ACB=\frac{\pi}{2}$，$AC=BC=2$，点 $P$ 是斜边 $AB$ 上一点，且 $BP=2PA$，那么 $CP\cdot CA+CP\cdot CB$ 等于（）A。
-4 B。
-2 C。
2 D。
45.设 $a,b$ 是非零向量，则 $a=2b$ 是成立的（）A。
充分必要条件 B。
必要不充分条件 C。
充分不必要条件 D。
既不充分也不必要条件6.在 $\triangle ABC$ 中 $A=\frac{\pi}{3}$，$b+c=4$，$E,F$ 为边 $BC$ 的三等分点，则 $AE\cdot AF$ 的最小值为（）A。
$\frac{8}{3}$ B。
$\frac{26}{9}$ C。
$\frac{2}{3}$ D。
$3$7.若 $a=2$，$b=2$，且 $a-b\perp a$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。
$\frac{\pi}{6}$ B。
$\frac{\pi}{4}$ C。
$\frac{\pi}{3}$ D。
$\frac{\pi}{2}$8.已知非零向量 $a,b$ 满足 $|a|=6|b|$，$a,b$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$，且 $a\perp (a-kb)$，则实数 $k$ 的值为（）A。
18 B。
(word完整版)高一数学数学必修4平面向量复习题
1•设a 、b 、c 是单位向量，且 a -b = o ,贝U a c ? b c 的最小值为（D )2A.1B.2C. 2A. 2B. 2 2C. 1D.12r r rr r r r r r uu r r r 2解析Q a,b,c 是单位向量a c ?bc ago (a b)gs crr r _ r r r1 |ab|gc| 1 <2cos ab,c 1.2.2.已知向量a 2,1 ,ab 10,|ab| 5J2，则 |b|(C )A. .5B. .10C.5D. 25r r 宀 r 宀 r r r 宀“ r2 2 2 2解析 Q50 |a b| |a | 2a gD |b| 5 20 | b ||b| 5 故选 C.3.平面向量a 与b 的夹角为600, a (2,0) , b 1则a 2b ( B )A.、3B. 2 3C. 4D.2解析 由已知 |a|= 2,|a + 2b|2= a 2 + 4a b + 4b 2= 4+ 4X2X1 Xcos60° + 4= 12A a 2b2^3LUIUuiuuuu uiPC) = 2AP PM=2 AP PM cosO 2 -5.已知a 3,2 , b1,0，向量a b 与a2b 垂直，则实数的值为()1 A.—1 B.-1 C.—D.17766uuruur uuu UUJ uujruuu6.设 D 、E 、 F 分别是△ ABC 的三边 BC 、CA 、AB 上的点，且DC2BD,CE2EA, AF 2FB,UJLT 则ADUUU uuu uuu BE CF 与 BC(A)A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直(A )4444A.B.c.D.9339uu 由APUuu UJ uuuu 解析 2PM 知，p 为 ABC 的重心,根据向量的加法 ,PB P C2PM则 uur 4.在 ABC 中,M 是BC 的中点，AM=1,点P 在AM 上且满足学PALunn uur uuu uuu2PM ，则 PA (PB PC)等于uuruuu uiuuu uuu AP (PB1•设a 、b 、c 是单位向量，且 a -b = o ,贝U a c ? b c 的最小值为（ D )27.已知a , b 是平面内两个互相垂直的单位向量，右向量 c 满足（ac) (b c)0,则 c 的最大值是(C )3 4uuu uuu uuur8.已知O 是厶ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC 0，那么（ A ）则—的取值范围是mA .、3B . 2.3C .6 D . 2、616.在平行四边形 ABCD 中， uuu AE 1 uuu unr-AB, AF1 UULT一AD , CE 与BF 相交于G 点.的最小值为（B ) A. uuir unr AO ODunr uuir B. AO 2ODuuir uuirC. AO 3ODuur unr D. 2AO OD 9•设a5 ^2（4,3） , a 在b 上的投影为 ，b 在x 轴上的投影为2,且 | b |< 14，则 b 为(B ) (2,4)2,C .D . (2,) 10.设a, b 是非零向量，若函数f(x)(xa b) (a xb ）的图象是一条直线, 则必有（ A ）11.设两个向量a （ 2,a//2cos C . |a|)和b|b|D . |a| |b|mm,—2 sin ，其中，m, 为实数.若a 2b ,A . [-6, 1]B. [4,]C. (-6, 1] D . [-1 , 6]12.已知向量a(1, n),（1, n ），若2a b 与b 垂直，则|a（C13•如图，已知正六边形 RP 2P 3P 4P 5P 6 ,F 列向量的数量积中最大的是（A. RP2 ,R F 3B. P 1P 2, P 1P4C. P 1P 2 , P 1 P 5D.P 1P 2 ,P 1P614.已知向量a 尢,|e |= 1，对任意t € R , 恒有|a - t e | 冷一e |,贝y ( B )A. a 丄 eB. e 丄(a - e )C.a 丄(a - e )D.(a + e )丄(a - e )15.已知向量 unr unr n uurOA , OB 的夹角为一，|OA| 4 ,3luu r|OB| 1，若点 M 在直线 OB 上，贝U |&A OM |uuu r uur r uuur AB a, AD b,则AG342 r 1 r 2 rA. a bB. a7 7 7 17.设向量a与b的夹角为A」10 B. 3b 73.10 10C.(2,1),C.1 r r 4 rb D. a7 72b (4,5)，则cosD.18.已知向量a , b的夹角为3，且|a||b| 1 ,19.20.21.22.23.24.中,25.7等于D 则向量a与向量a 2b的夹角等于（5A .6已知向量A. [0, .2]已知单位向量A . 2.3在厶ABC 已知向量已知向量中,arOib-r-|b|其中b均为非零向量, 则| p |的取值范围是(B )B.[0,1]C.(0,2]D.[0,2]a,b的夹角为一，那么a2bAR 2RB,CP 2PR,若AP mAB nAC,贝U mC.a和b的夹角为120 ,B. 7|a| 2，且(2aOAA. [0,4]b) a，则|b |(0,2),OB (2,0),BCB .[冷C 2 cos ,2 sinC. [4,3T]）,贝UOA与OC夹角的取值范围是（上海）直角坐标系xOy中，i, j分别是与x, y轴正方向同向的单位向量. 在直角三角形ABC若AB 2i A. 1 j, AC 3i k j，则k的可能值个数是（B. 2若四边形ABCD满足AB CDc.「uuu0 , (AB3uiur uuirAD) ACD. 4则该四边形一定是BA.直角梯形B.菱形C.矩形D.正方形ir r ir 26.已知向量m,n的夹角为一，且|m |6uuir D为BC边的中点，贝U | AD |（乜,订| 2 ,在△ABC中,uuuABir r uuur ir r2m 2n，AC 2m 6n，112427. A . 2 uuu|OA|已知A.3 B . uuu,|OB| .3 ,OA?O B =0 , AOCD . 8uuur 30o ,设OC uuu uuu mOA nOB (m, nR),则D. 28.如图， 其中45°直角三角板的斜边与 所对的直角边重合.若 x , y 等于B x 3, y 1B. 345°直角三角板和 30°直角三角板拼在一起， 直角三角板的 30°角 uuur y DA , uu u DB 30° uuu r DC 则A. C. x 2, y . 3 二、填空题 1. 若向量 a , b 满足 2. 3. 4. 5. 6. 7.8. 答案 .7 设向量 答案 1 3,y 3 3,y 1 3 1,b 2且a 与b 的夹角为—, 3 a (1,2), (2,3)，若向量 a b 与向量c (4, 7)共线，则已知向量a 与b 的夹角为120°，且a b 4，那么 b (2a b)的值为答案 0 已知平面向量a (2,4) , b ( 1,2).答案 8,2b 的夹角为120 ,答案设向量 答案若向量 答案若向量 答案uuuAB60若 c a (a 则5a bb)b , 则|C|uu ur 2, ACuuu uur3, AB AC | J 19,则r r aba 与b 的夹角为60 , 1，则 a? a bCABa,b 满足2,(a b) a ，则向量a 与b 的夹角等于uuu UULT LUU LUT UJU9. O 为平面上定点，A, B, C 是平面上不共线的三若 (OB OC ) •OB OC 2OA)=0,贝U ABC 的形状是 __________________________ .等腰三角形答案 -2510.不共线的向量m^ , m 2的模都为2,若a3m i2m 2 , b 2mi 3m 2 ,则两向量a b 与a b 的夹角为 _________________ 90 ° 11 •定义一种运算 S a b ，在框图所表达的算法中揭示了这种运算“”的含义•那么，按照运算 “”的含义，计算 tan 15o tan300 tan300 tan 15o _________ 1 ___r r12、 已知向量 a (cos15o ,sin150), b ( sin 150, cos1S),贝y a b 的值为 ________ . 答案113、 已知 Rt △ ABC 的斜边BC=5 ,则 AB BC BC CA CA AB 的值等于y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中,uur r AB ir uuur r rj , AC 2i mj ,则实数 m=答案 —2或0三、解答题rr r r r r1、已知ia 4,|b| 3,(2a — 3b) (2a b) 61 ,r rr r(1 )求 a b 的值；求a 与b 的夹(3)求b 的值;r r r r 心解：(1)由(2a —3b) (2a b) 61 得4a r r 「2「2又由 k 4,|b| 3得 a 16, 9代入上式得64 4a b 2761 a br rr3b14.在直角坐标系xOy 中,i[j 分别是与x 轴,艸(13|fr!=4・得卜2・｛妨=』_虛讪一&r5 52’uuuruur uur(2, 4)，在向量OC 上是否存在点P ，使得PA PB ，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由。
平面向量同步练习题(练习题)讲义
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9．若菱形 ABCD 的边长为 2 ，则 AB − CB + CD = ________ 10．若 a = (2,3) ， b = (−4,7) ，则 a 在 b 上的投影为________ 11．已知向量 a = (cos θ ,sin θ ) ，向量 b = ( 3, −1) ，则 2a − b 的最大值是________ 12．若 A(1, 2), B (2,3), C (−2,5) ，试判断则△ABC 的形状________ 13．若 a = (2, −2) ，则与 a 垂直的单位向量的坐标为________ 14．若向量 | a |= 1,| b |= 2,| a − b |= 2, 则 | a + b |= ________ 15．平面向量 a, b 中，已知 a = (4, −3) ， b = 1 ，且 a ⋅ b = 5 ，则向量 b = ________
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9．平面向量 a = ( 3, −1), b = ( ,
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1 3 ) ，若存在不同时为 0 的实数 k 和 t ，满足条件： 2 2
r r r r r r r r x = a + (t 2 − 3)b ， y = −ka + tb ，且 x ⊥ y ，试求函数关系式 k = f (t ) 。
《平面向量》练习题及答案
《平面向量》练习题及答案《平面向量》练习题及答案向量是近代数学中重要和基本的概念，是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，它有着极其丰富的实际背景，又有着广泛的实际应用，具有很高的教育价值。
接下来小编为你带来《平面向量》练习题及答案,希望对你有帮助。
一、教材分析全章地位：平面向量基本定理是共线向量基本定理的一个推广，将来还可以推广到空间向量，得到空间向量基本定理。
这三个定理可以看成是在一定范围内向量分解的唯一性定理。
应用空间：平面向量基本定理蕴涵了一种十分重要的数学思想——转化思想，因此，有着十分广阔的应用空间。
二、教学目标【知识与能力】(1)了解平面向量基本定理及其意义，会用基底表示一向量，掌握两向量夹角的定义及两向量垂直的概念，会初步求解简单两向量的夹角;(2)培养学生作图、判断、求解的基本能力。
【过程与方法】(1)经历平面向量基本定理的探究过程，让学生体会由特殊到一般的思维方法;(2)让学生体会用基底表示平面内一向量的方法、求两简单向量的夹角的方法。
【情感态度与价值观】培养学生动手操作、观察判断的能力，体会数形结合思想。
三、教学重点平面向量基本定理及其意义，两向量夹角的简单计算。
四、教学难点平面向量基本定理的.探究，向量夹角的判断。
五、学情分析前几节课已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算及向量共线的充要条件等;另外学生对向量的物理背景有了初步的了解。
六、学法指导教师平等地参与学生的自主探究活动，通过启发、引导、激励来体现教师的主导作用，根据学生的认知情况和情感发展来调整整个学习活动的梯度和层次，引导学生全员、全过程参与，保证学生的认知水平和情感体验分层次向前推进。
七、教学基本流程定理探究↓形成定理↓定理思考与应用↓定义形成与应用八、教学情境设计。
平面向量同步练习
平面向量同步练习预览说明:预览图片所展示的格式为文档的源格式展示,下载源文件没有水印,内容可编辑和复制平面向量的概念及线性运算A组专项基础训练一、选择题（每小题5分，共20分）1. 给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③?a = 0（入为实数），则入必为零；④入□为实数，若?a= b 则a与b共线.其中错误命题的个数为A. 1B. 2C. 3D. 42. 设P是厶ABC所在平面内的一点，BCrB A= 2西贝UA.PA^ PB= 0B. P CT P A= 0C. P B+ PC= 0D. PA^ PB+ PC= 03. 已知向量a, b不共线，c= ka+ b （k€ R）, d= a—b.如果c// d,那么A. k = 1且c与d同向B. k= 1且c与d反向C. k =— 1且c与d同向D. k=— 1且c与d反向4. （2011四川）如图，正六边形ABCDEI中, B A^C D^ EF等于（）A. 0B. "BEC. ADD. CF二、填空题（每小题5分，共15分）5.____________________________________________________________________ ____________________________ 设a、b是两个不共线向量，X B= 2a+ pb, BC= a+ b, CD= a—2b,若A、B D三点共线，则实数p的值为_________________6. 在?ABCDK X B= a, At= b, AN= 3心M为BC的中点，贝U S= ___（用a, b 表示）.7. 给出下列命题：①向量AB勺长度与向量BA的长度相等；②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④向量AB与向量CD是共线向量，则点A、B、C D必在同一条直线上.其中不正确的个数为_________ .三、解答题（共22分）18 （10分）若a, b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a, t b, 3（a+ b）三向量的终点在同一条直线上？9. （12分）在厶ABC中, E、F分别为AC AB的中点，BE与CF 相交于G点，设AB= a,AC= b,试用a, b表示AG。
平面向量经典练习题(含答案)
高中平面向量经典练习题【编著】黄勇权一、填空题1、向量a=（2，4），b=（-1，-3），则向量3a-2b的坐标是。
2、已知向量a与b的夹角为60°，a=（3，4），|b | =1，则|a+5b | = 。
3、已知点A（1，2），B（2，1），若→AP=（3，4），则→BP= 。
4、已知A（-1，2），B（1，3），C（2，0），D（x，1），若AB与CD共线，则|BD|的值等于________。
5、向量a、b满足|a|=1，|b|= 2 ，(a+b)⊥(2a-b)，则向量a与b的夹角为________。
6、设向量a，b满足|a＋b|＝ 10，|a－b|＝ 6 ，则a·b＝。
7、已知a、b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是。
8、在△ABC中，D为AB边上一点，→AD =12→DB，→CD =23→CA + m→CB，则m= 。
9、已知非零向量a，b满足|b|=4|a|，a⊥（2a+b），则a与b的夹角是。
10、在三角形ABC中，已知A（-3，1），B（4，-2），点P（1，-1）在中线AD上，且→AP= 2→PD，则点C的坐标是（）。
二、选择题1、设向量→OA=（6，2），→OB=（-2，4），向量→OC垂直于向量→OB，向量→BC平行于→OA，若→OD +→OA=→OC，则→OD坐标=（）。
A、（11，6）B、（22，12）C、（28，14）D、（14，7）2、把A（3,4）按向量a（1,-2）平移到A',则点A'的坐标（）A、（4 , 2）B、（3，1）C、（2，1）D、（1，0）3、已知向量a，b，若a为单位向量, 且 | a| = | 2b| ,则（2a+ b）⊥（a-2b），则向量a与b的夹角是（）。
A、90°B、60°C、30°D、0°4、已知向量ab的夹角60°，| a|= 2，b=（-1，0），则| 2a-3b|=（）A、 15B、 14C、 13D、 115、在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|2·→0C ＋→CD|＝4，则,|→BC+→CD|＝______.A、12B、8C、4D、26题、7题、8、若向量a＝(3,4)，向量b＝(2,1)，则a在b方向上的投影为________．A、2B、4C、8D、169题、10、已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则→AE·→BD＝.A、-1B、1C、-2D、2三、解答题1、在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，求→AB·→AC的值。
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第二章平面向量一、选择题1．如图所示，ABCD 中， AB－ BC＋CD等于( ) ．A． BC B． DAC． CB D． BD2．在矩形 ABCD 中，| AB|＝ 3 ，| BC | ＝1，则向量 ( AB＋ AD ＋ AC)的长等于( ) ．A ． 2 B． 2 3(第 2题) C．3 D．43．如图， D， E， F 是△ ABC 的边 AB， BC， CA 的中点，则 AF － DB 等于 ( ) ．A． FDB． FCC． FE D． BE4．下列说法中正确的是() ．A ．向量 a 与非零向量 b 共线，向量 b 与向量 c 共线，则向量 a 与 c 共线B．任意两个模长相等的平行向量一定相等C．向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 所在直线的夹角为锐角D．共线的两个非零向量不平行5．下面有四个命题，其中真命题的个数为() ．①向量的模是一个正实数．②两个向量平行是两个向量相等的必要条件．③若两个单位向量互相平行，则这两个向量相等．④模相等的平行向量一定相等．A ． 0 B． 1 C． 2 D． 3 6．下列说法中，错误的是( ) ．A ．零向量是没有方向的C．零向量与任一向量平行7．在△ ABC 中， AD ，BE，CF 分别是B．零向量的长度为0D．零向量的方向是任意的BC，CA ，AB 边上的中线， G 是它们的交点，则下列等式中不正确的是( ) ．A． BG＝2 BE 3B．DG＝1AG2C． CG ＝－ 2FGD．1DA＋2FC＝1BC 3 3 28．下列向量组中能构成基底的是( ) ．A ． e1＝ ( 0， 0) ， e2＝( 1， 2) B． e1＝(- 1， 2) ，e2＝( 5， 7)C．e1＝ ( 3， 5) ，e2＝ ( 6， 10) D．e1＝ ( 2， - 3) ， e2＝ ( 1， - 3 ) 2 49．已知 a＝ (- 1， 3) ， b＝( x，－ 1) ，且 a∥ b，则 x 等于 ( ) ．A ． 3 B．－ 2 C．1D．－1 3 310．设 a， b， c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则①( a·b) · c－ ( c· a) · b＝0；② | a| － | b| ＜ | a－ b| ；③ ( b· c) · a－ ( c· a) ·b 不与 c 垂直；④ ( 3a＋ 2b) ·( 3a－ 2b) ＝ 9| a| 2－ 4| b| 2中，是真命题的是 () ．A ．①②B．②③C．③④D．②④二、填空题：11．若非零向量，满足|＋|＝|－|，则与所成角的大小为．12．在ABCD 中， AB ＝ a， AD ＝ b， AN ＝ 3 NC ， M 为 BC的中点，则MN ＝ _______． ( 用 a， b 表示 )13．已知 a＋b＝ 2i － 8j，a－ b＝－ 8i ＋ 16j ，那么 a·b＝．(第 12题) 14．设 m，n 是两个单位向量，向量a＝ m－ 2n ，且 a＝ ( 2， 1) ，则 m，n 的夹角为．15．已知 AB ＝ ( 6， 1) ． BC ＝ ( x，y) ． CD ＝ (- 2， - 3) ．则向量AD 的坐标为 ______．三、解答题：16．如图，四边形ABCD 是一个梯形， AB∥ CD ，且 AB＝ 2CD，M， N 分别是 DC 和AB 的中点，已知AB ＝ a， AD ＝ b，试用 a， b 表示 BC 和 MN ．(第 16 题) 17．已知 A( 1， 2) ， B( 2， 3) ，C( －2， 5) ，求证△ ABC 是直角三角形．18．己知 a＝ ( 1， 2) ， b＝( － 3， 2) ，当 k 为何值时，( 1) ka＋ b 与 a－ 3b 垂直？( 2) ka＋ b 与 a－ 3b 平行？平行时它们是同向还是反向？19．已知 | m| ＝ 4， | n| ＝ 3，m 与 n 的夹角为60°， a＝ 4m－ n ， b＝ m＋ 2n ，c＝2m－ 3n ．求：( 1) a2＋ b2＋c2．( 2) a·b＋ 2b· c－ 3c· a．第二章平面向量参考答案一、选择题1．答案： C解析：从图上可看出AD＝BC，则 AB－BC＝AB－AD＝DB，而 DB＋CD＝CD－BD＝CB．2． D解析：如图∵AB＋AD＋AC＝AB＋BC＋AC＝AC＋AC＝2AC．3． D解析：向量可以自由平移是本题的解题关键，平移的目的是便于按向量减法法则进行运算，由图可知．∴AF－DB＝AF－AD＝DF＝BE．4． A(第1题)(第2题) (第 3题)解析：向量共线即方向相同或相反，故非零向量间的共线关系是可以传递的．模长相等的平行向量可能方向相反，故 B 不正确．向量不共线，仅指其所在直线不平行或不重合，夹角可能是直角，故 C 不对．而选项 D 中向量共线属于向量平行．5． B解析：正确解答本题的关键是把握住向量的两个要素，并从这两个要素入手区分其他有关概念．①向量的模应是非负实数．②是对的③两个单位向量互相平行，方向可能相同也可能相反，因此，这两个向量不一定相等．④模相等且方向相同的向量才相等．6． A解析：零向量是规定了模长为0 的向量，其方向是任意的，它和任一向量共线，因此，0 绝不是没有方向.7． B解析：如图，G 是重心， DG ＝1GA ，所以 B 错．21DA＋2FC ＝DG ＋GC＝DC ＝1BC，所以不能选 D．3 3 28． B(第7题)解析：利用 e1 21221∥ ex y － x y ＝ 0，可得只有 B 中 e1， e2不平行，故应选 B ．9． C解析：由 a∥ b，得 3x＝ 1，∴ x＝1．310． D解析：①平面向量的数量积不满足结合律．故①假；②由向量的减法运算可知 | a| ，| b| ，| a－ b| 恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边” ，故②真；③因为［ ( b·c) ·a－ ( c·a) ·b］·c＝ ( b·c) ·a·c－ ( c·a) ·b·c＝ 0，所以垂直．故③假；④( 3a＋ 2b) · ( 3a－ 2b) ＝9· a· a－ 4b· b＝9| a| 2－ 4| b| 2成立．故④真．二、填空题11．答案： 90°．解析：由 |＋| ＝ |－|，可画出几何图形，如图，| － | 表示的是线段AB 的长度，| ＋ | 表示线段 OC 的长度，由｜AB｜＝｜ OC｜，( 第 11题) ∴平行四边形 OACB 为矩形，故向量与所成的角为 90°．1112．答案：a＋b．44解：如图，由AN ＝ 3 NC ，得 4 AN ＝ 3 AC ＝ 3( a＋ b) ， AM＝a＋1b，2所以 MN ＝3( a＋b) － ( a＋1b) ＝－1a＋1b．424 4(第 12 题)13．答案：－ 63．a＝－ 3i ＋4 j＝( －3，4)解析：解方程组得b＝5i－12 j＝( 5，－12)∴a· b=( － 3) ×5＋ 4× ( －12) ＝－ 63．14．答案：90°．解析：由a＝ ( 2， 1) ，得 | a| ＝ 5 ，∴ a2＝ 5，于是( m－ 2n) 2＝ 5 m2＋ 4n 2－ 4m· n＝5．∴ m· n＝ 0．∴ m， n 的夹角为90°．15．答案：( x＋ 4， y－ 2) ．解析：AD AB BC CD ＝ ( 6， 1) ＋ ( x， y) ＋ ( － 2，－ 3) ＝( x＋ 4， y－ 2) ．三、解答题16．答案：BC ＝ b－1 a， MN = 1 a－ b2 4解：如图，连结CN，则AN DC ．∴四边形ANCD 是平行四边形．(第 16题)CN ＝－ AD =－ b，又∵ CN ＋ NB ＋ BC ＝ 0，∴BC ＝－ CN － NB ＝b－1a． 2∴MN ＝ CN － CM ＝ CN ＋1AN ＝－ b＋1a＝1a－b．24 417．解析：∵AB ＝( 2－1， 3－2) ＝ ( 1，1) ， AC ＝( －2－1， 5－2) ＝ ( －3，3) ．∴AB · AC ＝1×(－ 3) ＋1× 3＝0．∴AB⊥AC．∴△ ABC 是直角三角形．18．答案： ( 1) 当 k＝ 19 时， ka＋ b 与 a－ 3b 垂直；( 2) 当 k＝－1时， ka＋ b 与 a－ 3b 平行，反向．3解析： ( 1) ka＋ b＝ k( 1， 2) ＋( － 3， 2) ＝ ( k－ 3，2k＋2) ，a－ 3b＝ ( 1， 2) － 3( － 3， 2) ＝ ( 10，－ 4) ．当 ( ka ＋ b) · ( a －3b) ＝ 0 时，这两个向量垂直．由 ( k －3， 2k ＋ 2) · ( 10，－ 4) ＝ 0，得 10( k － 3) ＋ ( 2k ＋ 2)( － 4) ＝ 0．解得 k ＝19，即当 k ＝ 19 时， ka ＋ b 与 a － 3b 垂直．( 2) 当 ka ＋ b 与 a － 3b 平行时，存在实数，使 ka ＋ b ＝ ( a －3b) ，由 ( k －3， 2k ＋ 2) ＝ ( 10，－ 4) ，得 k －3＝10 2k＋2＝－ 4＝－1k解得3＝－13即当 k ＝－ 1时， ka ＋ b 与 a － 3b 平行，此时 ka ＋b ＝－ 1 ， 3 3 a ＋ b∵ ＝－ 1＜ 0，∴－ 1a ＋b 与 a － 3b 反向．3 319．答案： ( 1) 366， ( 2) － 157．解析：∵｜ m ｜＝ 4，｜ n ｜＝ 3， m 与 n 的夹角为 60°，∴ m · n ＝ | m|| n| cos 60°＝ 4× 3× 1＝6． 2( 1) a 2＋ b 2＋ c 2＝ ( 4m － n) 2 ＋( m ＋ 2n) 2＋ ( 2m － 3n) 2＝ 16｜m ｜2－8m · n ＋｜ n ｜2＋｜ m ｜2＋4m ·n ＋4｜n ｜2＋4｜ m ｜2－12m ·n ＋ 9｜n ｜2＝ 21｜m ｜2－ 16m · n ＋ 14｜ n ｜ 2＝ 21×16－ 16×6＋ 14× 9＝ 366．( 2) a ·b ＋ 2b · c － 3c · a＝ ( 4m － n) · ( m ＋ 2n) ＋2( m ＋ 2n) · ( 2m － 3n) －3( 2m － 3n) · ( 4m － n)＝－ 16｜ m ｜ 2＋ 51m · n －23｜ n ｜ 2＝－ 16× 16＋ 51× 6－ 23× 9＝－ 157．另解： a · b ＋ 2b · c － 3c · a ＝ b · ( a ＋2c) － 3c · a ＝ ＝－ 157．。