多项式与多项式相乘
多项式与多项式的乘法
实质上是转化为单项式×多项式 的运算
不要漏乘；正确确定各符号；结 果要最简
(x-1)2在一般情况下不等于x2-12.
[义务教育教科书]( R J ) 八 上 数 学 课 件
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.1.4 整式的乘法
第3课时 整式的除法
导入新课
例2 已知am＝12，an＝2，a＝3，求am－n－1的值． 解：∵am＝12，an＝2，a＝3， ∴am－n－1＝am÷an÷a＝12÷2÷3＝2.
方法总结：解此题的关键是逆用同底数幂的除法， 对am－n－1进行变形，再代入数值进行计算．
解：去括号，得40x－8x2=34－8x2+6x， 移项，得40x－6x=34， 合并同类项，得34x=34， 解得 x=1.
拓展提升
8.某同学在计算一个多项式乘以－3x2时，算成了加
上－3x2，得到的答案是x2－2x＋1，那么正确
的计算结果是多少？ 解：设这个多项式为A，则
A＋(－3x2)＝x2－2x＋1， ∴A＝4x2－2x＋1.
am ÷an=am-n
验证：因为am-n ·an=am-n+n=am,所以am ÷an=am-n.
知识要点 同底数幂的除法
一般地，我们有
am ÷an=am-n (a ≠0,m,n都是正整数，且m>n)
即 同底数幂相除，底数不变，指数相减.
想一想：am÷am=? (a≠0) 答：am÷am=1，根据同底数幂的除法法则可得am÷am=a0.
3.如果(x+a)(x+b)的结果中不含x的一次项，那么a、b
满足（ C ）
《多项式与多项式相乘》
相同项合并
总结词
在两个多项式相乘的结果中，对于两个多项式中相同 的项，将其系数合并。
详细描述
例如，假设有两个多项式A(a1x^n + a2x^(n-1) + ... + an)和B(b1x^n + b2x^(n-1) + ... + bm)，其中 an=bm，那么在它们相乘的结果中，这一项的系数就 是两个多项式相应项系数的乘积再加上余项的系数。 例如，如果an=bm=5，那么这一项的系数就是 5*5+1=26。
排列的计算
多项式相乘可以用于计算排列数，即将n 个不同元素全部排列在一起，共有多少种 排列方式。
VS
组合的计算
多项式相乘也可以用于计算组合数，即将 n个不同元素中取出m个元素进行组合， 共有多少种组合方式。
05
多项式相乘的例子
两个二次三项式的相乘
例子1
$多项式A:2x^2+3x+1$，$多项式 B:x^2+2x+3$，相乘结果为： $2x^4+7x^3+9x^2+6x+3$。
展开平方差公式
利用平方差公式可以将多 项式中的某些项进行展开 ，简化多项式的形式。
微积分中的近似计算
泰勒级数展开
利用多项式相乘可以将一个函数展开成泰勒级数，从而近似计算函数的值。
近似计算
在进行微积分中的近似计算时，可以利用多项式相乘来近似表达一个函数， 提高计算的精度。
组合数学中的排列与组合计算
03
多项式相乘的步骤
确定多项式的项数和次数
确定第一个多项式的项数和次 数。
确定第二个多项式的项数和次 数。
计算两个多项式的项数和次数 的乘积，得到相乘后的多项式
多项式与多项式相乘
xx年xx月xx日
contents
目录
• 多项式与多项式相乘概述 • 多项式相乘的原理 • 多项式相乘的算法实现 • 多项式相乘的应用实例 • 多项式相乘的注意事项与总结
01
多项式与多项式相乘概述
多项式的定义与表示方法
多项式的定义
多项式是由若干个单项式组成的数学表达式。每个单项式由 系数和字母组成，且每个单项式的次数不超过给定的多项式 的次数。
多项式的表示方法
多项式通常用括号括起来的表达式表示，例如：$f(x) = 3x^2 + 2x + 1$。其中，$x^2$表示$x$的平方，$x$表示 $x$的一次方，常数项表示没有字母的项。
多项式相乘的定义与计算方法
多项式相乘的定义
两个多项式相乘，即是将两个多项式的每一项分别相乘 ，再合并同类项得到一个新的多项式。
高次多项式相乘的例子
总结词
这是一个较为复杂的多项式相乘的例子，通过这个例 子，我们可以了解如何处理高次多项式的相乘和需要 注意的问题。
详细描述
假设我们有两个高次多项式 $f(x)=x^4+2x^3+3x^2+4x+5$和 $g(x)=x^3+x^2+x+2$，那么它们的乘积可以表示 为$f(x) \times g(x)$。通过这个例子，我们可以看到 处理高次多项式相乘的基本步骤和需要注意的问题， 例如如何合并同类项、如何处理符号以及如何进行项 的排列等。
确定多项式的各项数
首先需要确定两个多项式的各项数，即每个多项式有多少个系数不同的项。
对应项相乘
将两个多项式的对应项相乘，得到一个新的多项式。例如，第一个多项式的第一项与第二个多项式的第一项相乘，第二个 多项式的第二项与第一个多项式的第二项相乘，以此类推。
多项式与多项式相乘说课课件
自主学习
鼓励学生自主探索和学习多项式与多项式相乘的 相关知识，培养自主学习和解决问题的能力。
3
实践应用
通过实际问题和项目，让学生将所学知识应用于 实际情境中，提高解决实际问题的能力。
感谢您的观看
THANKS
多项式的性质
总结词
多项式具有交换律、结合律和分配律等基本性质。
详细描述
多项式具有交换律，即多项式的加法或减法满足交换律，即顺序可以任意调换。多项式还具有结合律，即加法或 减法的结合顺序可以任意改变。此外，多项式还具有分配律，即多项式与单项式相乘时，可以将单项式分别与多 项式的各个单项式相乘。
03
多项式与多项式相乘说 课ppt课件
目录 CONTENT
• 引言 • 多项式的定义与性质 • 多项式相乘的规则与步骤 • 多项式相乘的应用与实例 • 教学方法与建议 • 总结与展望
01
引言
课程背景
数学是基础学科，多项式相乘 是数学中的基本运算之一。
多项式相乘在实际问题中有着 广泛的应用，如物理、工程、 经济等领域。
逐项相乘
将两个多项式的每一项分 别相乘，得到新的项。
合并同类项
将相同字母和相同字母的 指数相同的项进行合并。
举例说明多项式相乘的过程
举例1
$(2x + 3y) times (x - y)$
举例2
$(x^2 + 2x + 1) times (x + 1)$
举例3
$(x^2 - 2x + 1) times (x - 1)$
04
多项式相乘的应用与实例
多项式与多项式相乘
熟悉乘法运算的技巧
多项式的乘法运算中，可以使用分配 律、结合律等技巧简化运算，提高运 算速度和准确度。
多练习
多项式相乘是中学数学中的一个重要 知识点，需要多做一些练习题，熟悉 各种情况下的运算方法和技巧。
02
系数
多项式中各项的数字因数叫做系数。
03
次数
多项式中次数最高项的次数叫做多项 式的次数。
多项式的表示方法
一般形式
$f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_nx^n$
特殊形式
$f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 ... + a_nx^n$
多项式相乘的复杂例子
高次多项式的乘积
$(x^3+2x^2+3x)(x^4+x^3+x^2+x+1) = x^7+3x^6+5x^5+7x^4+9x^3+10x^2+11x$
多项式与常数的乘积
$(x^2-4)(5) = 5x^2-20$
多项式相乘在解决实际问题中的应用
解方程
将方程左侧的多项式与右侧的多项式相乘，可以求解方程的根。
THANKS
VS
多项式相乘的运算规则
对于两个多项式，它们的乘积的每一项都 是由两个多项式的各项对应相乘得到。例 如，$(x^2 + 3x)(x^3 + 2x^2 + 5x + 6) = x^5 + 5x^4 + 11x^3 + 11x^2 + 15x + 18$。
第3课时 多项式与多项式相乘
第3课时多项式与多项式相乘【教学目标】理解和掌握多项式与多项式相乘的法则，并能熟练运用法则进行计算.【教学重点】多项式与多项式相乘的法则及应用.【教学难点】准确计算出多项式与多项式相乘的结果.教学过程一、组织教学，复习提问1.复习单项式乘以单项式的运算法则.2.复习单项式乘以多项式的运算法则.二、创设情境，引入新课问题1：一块长方形的菜地，长为a，宽为m，现将它的长增加b，宽增加n，求扩大后菜地的面积.师生共同画出图形：师：根据题意，结合图形，请同学们求出面积.你有几种求法？说出你是怎样考虑的.生1：整体来求这块菜地的面积(a＋b)(m＋n).生2：这块菜地可以看成是4块小矩形的面积之和am＋bm＋an＋bn.师：这两位同学回答得非常好.于是就有：(a＋b)(m＋n)＝am＋bm＋an＋bn.上面的等式我们能否用语言表达出来？请同学们思考.(学生交流、讨论)师生共同总结得出多项式乘以多项式的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加.三、例题分析师：同学们，下面我们一起来做几个例题，巩固一下刚才学习的新知识.【例1】计算：(1)(－2x－1)(3x－2)(2)(ax＋b)(cx＋d)指名板演，教师评价.解：(1)(－2x－1)(3x－2)＝(－2x)·3x＋(－2x)·(－2)＋(－1)·3x＋(－1)×(－2)＝－6x2＋4x－3x＋2＝－6x2＋x＋2(2)(ax＋b)(cx＋d)＝ax·cx＋ax·d＋b·cx＋b·d＝acx2＋adx＋bcx＋bd【例2】(1)(a＋b)(a2－ab＋b2)(2)(y2＋y＋1)(y＋2)指名板演，其余学生在练习本上完成，教师巡视，对有困难的学生予以帮助.解：(1)(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a·a2－a·ab＋a·b2＋b·a2－b·ab＋b·b2＝a3＋b3(2)(y2＋y＋1)(y＋2)＝y3＋2y2＋y2＋2y＋y＋2＝y3＋3y2＋3y＋2四、巩固练习1.计算：(1)(3x－y)(3x＋y)解：原式＝9x2－y2(2)(2x－y)(4x2＋2xy＋y2)解：原式＝8x3－y3(3)(a－b)2解：原式＝a2－2ab＋b22.解方程：(x－3)(x＋8)＝(x＋4)(x－7)＋2(x＋5).解：x＝1指名板演，其余学生在练习本上完成.五、提升练习1.化简并求值：(x－y)(x－2y)－(3x－2y)(x－2y)，其中x＝4，y＝－1.解：原式＝－542.解方程：(3x－2)(2x－3)＝(6x＋5)(x－1).解：x＝11 12指名板演，教师评价.六、课堂小结1.用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，不要漏乘.2.计算结果中如果有同类项，一定要合并.。
多项式与多项式相乘及同底数幂的除法
同底数幂的除法
想一想
107 104 107 104
( 10) ( 10) ( 10)(10 )( 10)(10)(10 ) ( 10) (10 ) (10 )(10 )
103
同底数幂的除法法则：
一般地，设m、n为正整数，m>n，a 0，有
am an amn
＝ (4abc) ＋( 1 b2 ) ＋ (2b)
＝
4abc
1
b2
7
2b
7
在计算单项式除以单项式时，要注意什么？
先定商的符号(同号得正,异号得负)；
注意添括号;
计算
⑴ (12a3-6a2+3a)÷3a; 解：=12a3÷3a-6a2÷3a+3a÷3a
=4a2-2a+1
（2）[(x+y)2-y(2x+y)-8x]÷2x. 解： =(x2+2xy+y2-2xy-y2-8x)÷2x
(5) (x+y)(2x–y)(3x+2y).
(5) 原式=（2x2-xy+2xy-y2)(3x+2y ) = (2x2+xy-y2)(3x+2y) = 6x3+4x2y+3x2y+2xy2-3xy2-2y3 =6x3 + 7x2y-xy2-2y3
1、计算：
(1)(m+4)(m+5)； (2)(n +5)(n−3) ; (3)(x+2a) (x+4a) ; (4)(x-25)(x-4) .
(3) (a-b)6÷(b-a)3 = (b-a)6÷(b-a)3 = (b-a)6–3 =(b-a)3
多项式与多项式相乘说课稿
14。
1.4整式的乘法《多项式与多项式相乘》说课稿尊敬的各位评委老师，大家好!今天我说课的内容是人教版第十章第一节第四部分第三课时多项式乘多项式，我将会从以下六个方面进行说课.一、教材分析（一）教材的地位和作用第14章“整式的乘除”是继“整式的加减”之后，初中阶段对整式的第二次的研究。
是进一步学习因式分解、分式方程等知识的基础，同时它在实际生活中有着广泛的应用。
“多项式与多项式相乘"是本章重点内容之一,是单项式的乘法、同底数幂相乘、幂的乘方等运算法则的综合运用。
本课学习多项式与多项式相乘的法则，是学生初中阶段学习必备的基础知识与基本技能、在解决实际问题中起到基础作用，在提高学生的运算能力方面有重要的作用。
同时,对后续教学内容起到奠基作用。
（二）、三维目标知识与技能：（1）理解和掌握多项式乘以多项式的法则及其推导过程；(2）能熟练运用多项式乘以多项式的法则进行多项式乘法的运算。
过程与方法:经历探索乘法法则的过程，发展观察、归纳的能力，体会乘法分配律的作用与转化思想。
情感态度与价值观：充分调动学生学习的积极性、主动性及与他人沟通交往的能力。
培养学生的创新精神与能力。
（三）教学重点：多项式与多项式相乘的运算法则的探索教学难点：灵活运用法则进行计算和化简二、学情分析从心理特征来说,初中阶段的学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展。
但同时，这一阶段的学生好动,注意力易分散，爱发表见解,希望得到老师的表扬，所以在教学中应抓住这些特点，一方面运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上;另一方面,要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。
三、教法、学法分析本节课采用以复旧孕新的引课方式，提高学生的学习兴趣和学习积极性。
充分遵循学生的认知规律,坚持启发式.以启发引导法为主,进行讲解及练习，使学生能顺利地掌握重点、突破难点，逐步提高观察、分析、抽象的能力。
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【例1】计算：
(1)(x+2)(x−3), (2)(3x -1)(2x+1)。 例题解析
解: (1) (x+2)(x−3) =x ﹒ x = x2
—
3x 2x -2×3
注意 ☾ 两项相乘时，
-x-6
（2） (3x -1)(2x+1)
先定符号。 所得积的符号由这 两项的符号来确定： 负负得正 一正一负得负。
回顾 & 思考
回顾与思考 如何进行单项式与多项式乘法的运算？
① 将单项式分别乘以多项式的各项，
☞
② 再把所得的积相加。
进行单项式与多项式乘法运算时，要注意什么?
① 不能漏乘: 即单项式要乘遍多项式的每一项 ② 去括号时注意符号的确定.
4 (2)( 4 x x 1) (9 x) 9
师生小结：
注意：
1、必须做到不重复，不遗漏. 2、注意确定积中每一项的符号.
3、结果应化为最简式 {合并同类项}．
比一比： (1) (x+5)(x–7) (2) (3) (4) (2a+3b) (2a+3b) (x+5y)(x–7y) (2m+3n)(2m–3n)
【例3】计算：
2 8a a 2 3 a 1 2 a 1 a 5
= 3x•2x +3x• 1-1•2 x — 1 = 6x2 +3x -2 x 1 = 6x2 +x1.
最后的结果要 合并同类项.
【例2】计算：
(1)(x−3y)(x+7y), (2)(2x + 5y)(3x−2y)。
解: (1) (x−3y)(x+7y) =x2 7xy 3yx - 21y2 = x2 +4xy-21y2；
2
(1) 2 x(1 x)
2、 计算：
(3) 3x x(4x x) 3( x 1)
2
以下有四种不同形状的长方形 卡片，请你选取其中的两张， 用它们拼成更大的长方形，尽 可能采用多种拼法。
n
（ 1）
m
a
（2）
m
n
（3）
b
a （4） b
n a
n a b
m
m (a+n )= ma+mn
练一练：
2 1、 5x x +2x+1 - 2x+3 x-5
2、 3x 1 2x 3 x＋3 x-4
【例4】化简求值：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y-2 y2+2y+4 -y y2-2y-1 ,
2
观察上面四个等式，你能发现什么规律？ 你能根据这个规律解决下面的问题吗？
ab a b) x _____ ( x a)(x b) x (_____
2
方法与规 律
课后作业
完成《创优作业》本课时的习题
其中y=-1
【例5】：解方程与不等式：
1、 2、
2x+3 x 4 x 2 x 3 x 3x+4 3x 4 9 x 2 x 3
2
6
挑战极限： 如果(x2+bx+8)(x2 – 3x+c)的乘 积中不含x2和x3的项，求b、c的值。
（2） (2x +5 y)(3x−2y) = 2x•3x −2x• 2y +5 y• 3x 5y•2y = 6x2 −4xy + 15xy 10y2 = 6x2 +11xy10y2.
随堂练习
随堂练习
㈠计算： (1)
(2) (3)
(4)
(m+2n)(m−2n)； (2n +5)(n−3) ; 2 (x+2y) ; (ax+b)(cx+d ) .
n m n
b (a+n) = ba+bn
a
m
a
b
b
n (m+b) = mn+bn
a (m+b) = am+ab
n
n
a
m
b
从代数运算的角度验证： (m+b)(a+n) = m(a+n) + b (a+n)（把a+n看作一个整体） = ma+mn+ ba+bn
(转化为单项式乘以单项式)
多项式与多项式相乘的法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项 式的每一项分别乘以另一个多项式的 每一项，再把所得的积相加 在进行多项式乘法运算的推导过程 中运用了哪些数学思想方法？与同伴交 流。
解：原式=
x4 – 3x3 + c x2 +bx3 2 2 – 3bx +bcx+8 x – 24x+8c
X2项系数为：c –3b+8 = 0 X3项系数为：b – 3 = 0 ∴ b=3 , c=1
活动& 探索
2 填空： ( x 2)(x 3) x __ 5 x __ 6
( x 2)(x 3) x __ 1 x __ (-6) 2 ( x 2)(x 3) x (-1) __ x __ (-6) 2 ( x 2)(x 3) x (-5) __ x __ 6