2012年河南专升本高数真题及答案
2012河南专升本数学答案A定稿
高等数学 试题参考答案及评分标准 第 1 页 （共6页）2012年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学 试题参考答案及评分标准一、选择题（每小题2分，共60分）二、填空题（每小题2分，共20分）31．x 32．4 33．0 34．222,e ⎛⎫⎪⎝⎭35．21ln 1ln 2x x C --+36．2e x y x -= 37．1 38．1- 39．4π 40．发散三、计算题（每小题5分，共50分）41．解 原式301s i n 1c o s l i m x x x x→⎛⎫- ⎪⎝⎭= ---------------3分 20sin 1cos 1limcos x x x x x x→-=⋅⋅ ---------------4分高等数学 试题参考答案及评分标准 第 2 页 （共6页）22000sin 12limlim limcos x x x xx xx x →→→=⋅⋅1=2． ----------------5分 42．解 因为d d sin d tan d d cos d yya tt t x x a t t===-- ----------------2分 所以 2232d d d sec 1d d sec d d cos d y y t t x t x x a t a t⎛⎫ ⎪-⎝⎭===-． ----------------5分43．解t =，则21x t =-，且d 2d x t t = ----------------1分于是 原式2e d 2d et tt t t==⎰⎰ ----------------2分 2(e e d )t tt t =-⎰ ----------------3分2(1)e tt C =-+ ----------------4分C =-+回代． ----------------5分44．解 原式220 02e d e d limlimxx ttx x x tt xx→→==--⎰⎰----------------4分2lim exx →=-1=-． ----------------5分45．解 原方程的特征方程为22430r r ++= ----------------2分特征方程的根为12r =-±----------------3分所以原方程的通解为12e cossin22x y C x C x -⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭．----------------5分 46．解 由22603120x y z x z y =-+=⎧⎪⎨=-=⎪⎩解得驻点(3, 2),(3, - ----------------1分 又 2, 0, 6xx xy yy z z z y =-==对于驻点(3, 2)，因为(3, 2)20, (3, 2)0, (3, 2)12xx xy yy A z B z C z ==-<====高等数学 试题参考答案及评分标准 第 3 页 （共6页）所以2240AC B -=-<，于是点(3, 2)不是函数的极值点． ----------------3分对于驻点(3, 2)-有(3, 2)20, (3, 2)0, (3, 2)12xx xy yy A z B z C z =-=-<=-==-=-于是 2240AC B -=>所以函数在点(3, 2)-处取极大值为(3, 2)35z -=． ----------------5分47．解 因为所求直线平行于直线235:21x y z l x z +-=⎧⎨+=⎩所以所求直线的方向向量为{}2316536, 5, 312i j k s i j k =-=--=------------------3分由直线的点向式方程可得，所求的直线方程为231653x y z -++==--． ----------------5分48．解 由于222222z y x x y x x yx y x y ∂+=+=∂+++ ----------------1分 222222z x y y x y x yx yx y∂-=-+=∂+++ ----------------3分所以d d d z z z x y xy∂∂=+∂∂ ----------------4分2222d d x y y x x y x yx y+-=+++． -------------------------5分49．解 在极坐标系下，区域D （如第49题图所示）可以表示为{(, )02π, π2π}D r r θθ=≤≤≤≤ ----------------1分所以2π 2π 0πsind d sin d Dx y r r r θ=⋅⎰⎰⎰⎰----------------3分2π π2πdcos r r =-⎰2π2πππ2πcos cos d r rr r ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭⎰26π=-． ----------------5分高等数学 试题参考答案及评分标准 第 4 页 （共6页）第49题图50．解因为1l i ml 1n n n nna a ρ+→∞→∞==== 所以原级数的收敛半径为 11R ρ== ----------------2分也就是，当121x -<-<，即13x <<时，原级数收敛．当1x =时，原级数为0nn ∞=-∑1n n u u +=>=，lim lim0n n n u →∞→∞==，所以它是收敛的； ----------------3分当3x =时，原级数为0n ∞=∑，这是一个112p =<的p -级数，所以它是发散的； ----------------4分所以，原级数的收敛域为[1, 3)． ----------------5分 四、应用题（每小题6分，共12分）51．解 因为1l n ()l n f x x x=，两边对x 求导得 22()11ln ()f x x f x xx'=-+----------------2分所以121()(1ln )x f x x x x'=⋅-令()0f x '=，解得唯一驻点e x =． ---------------3分高等数学 试题参考答案及评分标准 第 5 页 （共6页）又因为在区间(0, e)内()0f x '>，()f x 严格单调增加；在区间(e, )+∞内()0f x '<，()f x 严格单调减少；而()f x 又在区间(0, )+∞连续，所以()f x 在e x =处取最大值1e e ． --------------5分<>>⋅⋅⋅>>⋅⋅⋅中最大的一项． --------------6分52．解 设切线与曲线相切于点()000,l n (3)M x x -（如第52题图所示），第52题图由于01'3y x x x ==- --------------1分则切线方程为 0001ln(3)()3y x x x x --=--因为切线经过点(3, 0)M ，所以将3, 0x y ==代入上式得切点坐标为()0e 3, 1M + --------------2分 从而切线方程为1(3)ey x =- --------------3分因此，所求旋转体的体积为()3e 2241V π1e πln(3)d 3x x +=⨯⨯--⎰--------------4分高等数学 试题参考答案及评分标准 第 6 页 （共6页）()e 21eπeπln 2ln d 13x x x x ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰e1eπe πe 2πln 1d 13x x x ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦⎰e 2π13⎛⎫=- ⎪⎝⎭． --------------6分 五、证明题（8分）53．证明 设()ln f x x =，则()f x 在[], n m 上连续，在(, )n m 内可导，故()f x 在区间[], a b 上满足拉格朗日中值定理条件， ----------------2分于是，至少存在一点(, )n m ξ∈，使得ln ln 1m n m nξ-=- ----------------5分又因为0n m ξ<<<，故111mnξ<<，从而有1ln ln 1m n mm n n-<<- ----------------6分 所以lnm n m m n mn n--<<． ----------------8分。
2012年河南专升本高数真题
z 和 z 存在 xy
A ．充分条件
B．必要条件
C．充分必要条件
25．已知 z x y sin( xy) ，则
D ．既非充分又非必要条件
2z xy
A ． sin( xy)
B． sin( xy)(1 xy )
C． cos(xy) xy sin( xy)
D． xy cos( xy)
26．幂级数
( 1)n 2n xn 的和函数 S(x) 为
平行的直线方程．
x 2z 1
48．求函数 z
x arc tan
ln
x2
y 2 的全微分．
y
49．计算 sin x2 y2dxdy ，其中 D 为圆环： π2 x2 y2 4 π2 ．
D
50．求幂级数
(x 2 )n 的收敛域．
n0 n 1
四、应用题（每小题 6 分，共 12 分）
1
51． 求函数 f (x) x x 在 x 0 时的最大值，并从数列 1， 2 ， 3 3 ， 4 4 ， ， n n ，
xx 0
y1
4
39．设积分区域 D 为： x2 y2 4 y ，则 dxdy
．
D
40．若 lim nun k （ k 0 ），则正项级数 n
un 的敛散性为
．
n1
三、计算题（每小题 5 分，共 50 分）
tan x sin x
41．求极限 lim x0
ex3 1
．
42．已知参数方程
x a(1 sin t) （ t 为参数），求 d 2 y ．
2012 年河南省普通高等学校
选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试
1．函数 y
1 4 x arctan 的定义域是
专升本 高等数学 2012年专升本高等数学(二)参考答案
第一部分 极限和连续同步练习题1.1参考答案一、选择题1.C2.A3. A 二、填空题4. [4,2][2,4]-- 。
5. π。
6.3cos x 。
三、解答题7.2,1,tan ,12y u u v v w z z x ==+==-。
8.222112111()1()2()1()()21xf x f x x x x x x =++=++→=++。
同步练习题1.2参考答案一、选择题1.D2.C3.D4. C5.B6.C7.C 二、填空题8.2,3 9. 1 10. 0 11. 2-三、解答题12 (1)2121230113lim lim 230332433nn n n n n n n ++→∞→∞⎛⎫+ ⎪++⎝⎭===++⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
(2) 221...111lim lim 1...111n n n n n n a a a a b b b b b a b a →∞→∞++++---=⨯=++++---。
(3)111lim ...1335(21)(21)111111111lim 1...lim 12335(21)(21)2(21)2n n n n n n n n →∞→∞→∞⎡⎤++⎢⎥⨯⨯-+⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-+-+-=-=⎢⎥⎢⎥-++⎣⎦⎣⎦(4)1lim[ln(1)ln]lim ln(1)ln1xx xx x x ex→+∞→+∞+-=+==。
(5)1114x xx→→→===(6)16x x→→==。
(7)22lim2x xx x→→==--(8)0001(1)11lim lim lim()112x x x x x xx x xe e e e e ex x x x---→→→------==+=+=-。
13.100lim(1)lim[(1)]nmn mnx mxx xmx mx e→→+=+=。
14. ()lim(1)lim[(1)]txt x xt tf x et tπππππ→∞→∞=+=+=,(ln3)3fπ=。
河南专升本高等数学模拟试题二
河南专升本高等数学（2012）模拟试卷(二)一、选择题。
1. 下列函数相等的是A. 1,112-=+-=x y x x yB. x y x y ==,2C. x x y y 9,32==D. x y x y lg 2,lg 2==2. 已知函数()f x 不是常数函数，其定义域为[,]a a -，则()()()g x f x f x =--是A. 偶函数B. 奇函数C. 非奇非偶函数D. 既奇又偶函数3. 函数1()3x f x =在0x =处A. 有定义B. 极限存在C. 左极限存在D. 右极限存在4. 当0→x 时, )2sin(2x x +与x 比较时，)2sin(2x x +是关于x 的A. 高阶无穷小B. 低阶无穷小C. 同阶但非等价的无穷小D. 等价无穷小5. 0x =是函数xx x f 1sin)(=的 A. 可去间断点B. 跳跃间断点C. 无穷间断点D. 连续点6. ()x f 在0x 点连续，()x g 在0x 点不连续，则()()x g x f +在0x 点A .一定连续B .一定不连续C .可能连续，也可能不连续D 无法判断 7. 已知)(x f 在0x 处可导，则极限xx f x x f x ∆-∆-→∆)()3(lim000的结果为A. )(30x f '-B. )(30x f 'C. )(310x f '-D. )(310x f '8. 设函数()f x 具有三阶导数，且2)]([)(x f x f =',则=''')(x fA. 2()()f x f x 'B. 22[(())()()]f x f x f x '''+C. )()())((2x f x f x f '''+'D. ()()f x f x ''9. 曲线241(1)x y x -=-A. 只有垂直渐近线B. 只有水平渐近线C. 既有垂直又有水平渐近线D. 既无垂直又无水平渐近线10. 函数⎰=x t t x f 0d e )(在（,-∞+∞）内是A. 单调减少，曲线为凹的B. 单调减少，曲线为凸的C. 单调增加，曲线为凹的D. 单调增加，曲线为凸的11. 若()f u 可导，且)e (x f y =，则有A. x f y x d )e (d '=B. x f y x x d e )(e d '=C. x f y x x d e )(e d =D. x f y x x d e ])(e [d '=12. 若点()4,1为曲线23bx ax y +=的拐点，则常数b a ,的值为A. 2,6=-=b aB. 2,6-==b aC. 6,2=-=b aD. 6,2-==b a13. 函数3()2f x x x =+在[0,1]上满足拉格朗日中值定理的条件，则定理中ξ为A.12C.D.2314. 若函数)(x f y =在点0x x =处取得极大值，则必有A. 0()0f x '=B. 0()0f x '=且0()0f x ''<C. 0()0f x ''<D. 0()0f x '=或)(0x f '不存在15. 若2)1(+x 是)(x f 的一个原函数，则下列函数中为)(x f 原函数的是A. 12-xB. 12+xC. x x 22-D. x x 22+16. 若⎰+=C x x x f x 22e d )(，则=)(x fA. x x 2e 2B. x x 22e 2C. x x 2eD. x x x 2e )1(2+17. 函数⎰+=x t t t y 0d e )1(有A. 极小值点1-=xB. 极大值点1-=xC. 极小值点0=xD. 极大值点0=x18. 下列式子中成立的是A. ⎰⎰≤13102d d x x x xB. ⎰⎰≤14103d d x x x xC.⎰⎰≤213212d d x x x xD.⎰⎰≤e12e1d )(ln d ln x x x x19. 下列广义积分收敛的是A.⎰∞+22d 1x xB.⎰∞+2d 1x xC.⎰∞+2d 1x xD.⎰∞+2d ln 1x x20. 已知2||,2||==，且2=⋅b a ，则=⨯||A. 2B. 22C.22 D. 121. 直线250260x y z x y z +-+=⎧⎨-++=⎩与直线523031+=-=--z y x 的位置关系 A. 平行但不重合B. 重合C. 不平行也不垂直D. 垂直22. 若函数(,)z f xy =有连续二阶偏导数，且0),(),(0000='='y x f y x f y x ，0),(00=''y x f xy，0),(00>''y x f xx ，0),(00>''y x f yy ，则00(,)x y A. 是极小值点 B. 是极大值点C. 不是极值点D. 是否为极值点不定23. 设),(y x f z =是由方程0),,(=z y x F 确定的函数，已知a x F =∂∂，b y F =∂∂，c xz=∂∂，则=∂∂yzA.abc B. abc -C.bac D. bac -24. 对于二元函数),(y x f z =，有A. 若),(y x f z =连续，则yzx z ∂∂∂∂,存在 B. 若yzx z ∂∂∂∂,存在，则),(y x f z =可微C. 若yx ∂∂,连续，则),(y x f z =可微 D. 若Ay x f y y x x =→→),(lim 0，则),(00y x f A =25.=+⎰⎰≤+1312222d )(y x y xσ A.π43 B.π76 C.π56 D.π23 26. 设L 为以点)0,0(O ,(1,0)A ,(1,1)B ,(0,1)D 为顶点的正方形正向边界，则⎰+Lx xy y y x d d 22＝A. 1B. 2C. 3D. 027. 下列微分方程中，一阶线性非齐次方程是A. x y y x y d d )(2=-B. 2e x y y '=-C. 0=+'y y xD. 22y x y y x ++='28. 方程x x y y y 2e 44=+'-''的特解可设为A. x ax 2eB. x b ax 2e )(+C. x b ax x 2e )(+D. x b ax x 22e )(+29. 下列级数中，收敛的有A.∑∞=+121n n n B.∑∞=+131n n n C.∑∞=+12100n n n D.∑∞=-1)121(n nn30. 设幂级数1(2)nnn a x ∞=-∑在6x =处收敛，则该级数在3x =-处A. 发散B. 条件收敛C. 绝对收敛D. 敛散性不定二． 填空题31. 设)1(2x f +的定义域为[)5,1，则)(x f 的定义域为________. 32.已知lim()4xx x c x→∞+=，则c =_________ 33. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,sin 1)(x a x x x x f 在()+∞∞-,内处处连续，则a =________.34. 参数方程⎩⎨=.2t y 所确定的函数的二阶导数=''y _______________ 35. 曲线2)1(422++=x x y 的水平渐近线方程为_________________________ 36. 曲线24x x y -=在点)4,2(处的曲率和曲率半径分别为____和_____ 37.=⎰-dx x 1121_______38.设,01()1,12x x f x x ≤≤⎧=⎨≤≤⎩，则11(1)f x dx -+=⎰________39.广义积分22(ln )dxx x +∞=⎰________ 40. 空间曲线C ：22222()z x yz x y ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩在xoy 平面上的投影曲线方程_______________ 41.二元函数)sin(y x e z x +=的全微分=dz ____________________42.设L 为抛物线2x y =上从)0,0(O 到)1,1(B 的一段弧，则⎰=+L xydy dx y 22_________ 43.设积分区域210,12,21:≤≤≤≤-≤≤Ωz y x 。
2002-2012年河南专升本高数试题+答案
2002年考试2005年河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试一、单项选择题（每小题2分，共计60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题 干后面的括号内。
不选、错选或多选者，该题无分.1.函数xx y --=5)1ln(的定义域为为 （ ）A. 1>xB.5<xC.51<<xD. 51≤<x解：C x x x ⇒<<⇒⎩⎨⎧>->-510501.2.下列函数中,图形关于y 轴对称的是 （ ） A ．x x y cos = B. 13++=x x yC. 222x x y --=D. 222xx y -+=解：图形关于y 轴对称,就是考察函数是否为偶函数,显然函数222xx y -+=为偶函数,应选D.3. 当0→x 时，与12-x e 等价的无穷小量是 （ ） A. x B.2x C. x 2 D. 22x解： ⇒-x e x ~12~12x e x -,应选B.4.=⎪⎭⎫⎝⎛++∞→121lim n n n （ ） A. e B. 2e C. 3e D. 4e解：2)1(2lim2)1(22121lim 21lim 21lim e n n n n n n n nn n n n n n =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→+⋅∞→+∞→∞→,应选B.5.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=0,0,11)(x a x xxx f 在0=x 处连续，则 常数=a （ ）A. 1B. -1C. 21D. 21-解：21)11(1lim )11(lim 11lim)(lim 0000=-+=-+=--=→→→→x x x x x x x f x x x x ,应选C.6.设函数)(x f 在点1=x 处可导,且21)1()21(lim0=--→h f h f h ,则=')1(f （ ）A. 1B. 21-C. 41D. 41-解：41)1(21)1(22)1()21(lim 2)1()21(lim 020-='⇒='-=----=--→-→f f h f h f h f h f h h ,应选D.7.由方程y x e xy +=确定的隐函数)(y x 的导数dydx为 （ ）A.)1()1(x y y x --B.)1()1(y x x y --C.)1()1(-+y x x yD.)1()1(-+x y y x 解：对方程y x e xy +=两边微分得)(dy dx e ydx xdy y x +=++,即dy x e dx e y y x y x )()(-=-++, dy x xy dx xy y )()(-=-,所以dy dx )1()1(x y y x --=,应选A. 8.设函数)(x f 具有任意阶导数,且2)]([)(x f x f ='，则=)()(x f n （ ） A. 1)]([+n x f n B. 1)]([!+n x f nC. 1)]()[1(++n x f nD. 1)]([)!1(++n x f n解：423)]([3)()(32)()]([2)()(2)(x f x f x f x f x f x f x f x f ！='⋅='''⇒='='', ⇒ =)()(x f n 1)]([!+n x f n ,应选B.9.下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是 （ ） A.]1,1[,1)(2--=x x f B.]1,1[,)(-=-x xe x fC.]1,1[,11)(2--=xx f D ．]1,1[|,|)(-=x x f 解：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等来确定,只有]1,1[,1)(2--=x x f 满足,应选A.10.设),(),12)(1()(+∞-∞∈+-='x x x x f ,则在)1,21(内,)(x f 单调 ( )A.增加,曲线)(x f y =为凹的B.减少,曲线)(x f y =为凹的C.增加,曲线)(x f y =为凸的D.减少,曲线)(x f y =为凸的解: 在)1,21(内,显然有0)12)(1()(<+-='x x x f ,而014)(>-=''x x f ,故函数)(x f 在)1,21(内单调减少,且曲线)(x f y =为凹的,应选B.11.曲线xe y 1-= （ ） A. 只有垂直渐近线 B. 只有水平渐近线C. 既有垂直渐近线，又有水平渐近线，D. 无水平、垂直渐近线 解：0lim ;11lim 0=⇒∞==⇒=-→±∞→x y y y x x ，应选C.12.设参数方程为⎩⎨⎧==tb y t a x sin cos ,则二阶导数=22dx yd （ ）A.t a b 2sinB.t a b32sin -C.t a b 2cosD.tt a b22cos sin -解：dxdt t a t b t a t b dx y d t a t b x y dx dy t x t t ⨯'⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒-=''=sin cos sin cos sin cos 22t a bt a t a b 322sin sin 1sin -=-⨯=,应选B. 13.若⎰+=C e dx e x f xx11)(，则=)(x f （ ）A. x 1-B. 21x -C. x 1D. 21x解：两边对x 求导 22111)()1()(xx f x e e x f x x -=⇒-⨯=,应选B.14. 若⎰+=C x F dx x f )()( ，则⎰=dx x xf )(sin cos （ ）A.C x F +)(sinB.C x F +-)(sinC.C x F +)(cosD.C x F +-)(cos 解:⎰⎰+==C x F x d x f dx x xf )(sin )(sin )(sin )(sin cos ,应选A.15.下列广义积分发散的是 （ ）A.⎰+∞+0211dx x B.⎰-10211dx x C.⎰+∞e dx x x ln D.⎰+∞-0dx e x解：2arctan 11002π==+∞++∞⎰x dx x ;2arcsin 1110102π==-⎰x dx x; ∞==+∞∞+⎰eex dx x x 2)(ln 21ln ;10=-=+∞-+∞-⎰xx e dx e ,应选C.16.=⎰-11||dx x x （ ）A.0B.32 C.34 D.32- 解：被积函数||x x 在积分区间[-1,1]上是奇函数,应选A. 17.设)(x f 在],[a a -上连续,则定积分⎰-=-aa dx x f )( （ ）A.0B.⎰a dx x f 0)(2 C.⎰--a adx x f )( D.⎰-aadx x f )(解：⎰⎰⎰⎰-----===-===-aaaaa aaaut dx x f du u f u d u f dx x f )()()()()(,应选D.18.设)(x f 的一个原函数是x sin ,则='⎰xdx x f sin )( （ ）A.C x x +-2sin 2121B.C x x ++-2sin 4121 C.x 2sin 21 D.C x +-2sin 21解: x x f x x f x f x sin )(cos )()()(sin -='⇒=⇒='C x x dx x xdx xdx x f ++-=--=-='⎰⎰⎰2sin 412122cos 1sin sin )(2,应选B. 19.设函数)(x f 在区间],[b a 上连续,则不正确的是 （ ）A.⎰b a dx x f )(是)(x f 的一个原函数B.⎰xadt t f )(是)(x f 的一个原函数 C.⎰ax dt t f )(是)(x f -的一个原函数 D.)(x f 在],[b a 上可积解: ⎰badx x f )(是常数,它的导数为零,而不是)(x f ,即⎰badx x f )(不是)(x f 的原函数 ,应选A.20.直线22113+=-=-z y x 与平面01=+--z y x 的关系是 （ ） A. 垂直 B.相交但不垂直 C. 直线在平面上 D. 平行解：n s n s⊥⇒--=-=)1,1,1{},2,1,1{ ,另一方面点)2,0,3(-不在平面内,所以应为平行关系,应选D..21.函数),(y x f z =在点),(00y x 处的两个偏导数xz∂∂和y z ∂∂存在是它在该点处可微的（ ）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.无关条件解：两个偏导数存在,不一定可微,但可微一定有偏导数存在,因此为必要条件,应选B.22.设yxz 2ln = ，则=)2,1(dz （ ）A.dx x y 2B.dy dx 2121-C.dy dx 21-D.dy dx 21+ 解：dy y dx x dz y x y x z 11ln 2ln 2ln -=⇒-==dy dx dz 21)2,1(-=⇒,应选C. 23.函数1),(22+-+++=y x y xy x y x f 的极小值点是 （ ） A.)1,1(- B.)1,1(- C. )1,1(-- D. )1,1(解：)1,1(),(012012-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=++=∂∂y x y x yz y x x z,应选B.24.二次积分⎰⎰22),(x dy y x f dx 写成另一种次序的积分是 （ ）A. ⎰⎰402),(y dx y x f dy B. ⎰⎰400),(ydx y x f dy C. ⎰⎰4022),(xdx y x f dy D. ⎰⎰42),(ydx y x f dy解：积分区域}2,40|),{(}0,20|),{(2≤≤≤≤=≤≤≤≤=x y y y x x y x y x D ,应选A. 25.设D 是由上半圆周22x ax y -=和x 轴所围成的闭区域,则⎰⎰=σDd y x f ),(（ ）A.⎰⎰πθθθ2020)sin ,cos (a rdr r r f d B.⎰⎰πθθθ2020)sin ,cos (adr r r f dC.⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a rdr r r f d D.⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a dr r r f d解：积分区域在极坐标下可表示为：}θcos 20,2πθ0|)θ,{(a r r D ≤≤≤≤=，从而⎰⎰=σDd y x f ),(⎰⎰πθθθθ20c o s20)s i n ,c o s (a r d rr r f d ，应选C. 26.设L 为抛物线2x y =上从)0,0(O 到)1,1(B 的一段弧，=+⎰Ldy x xydx 22（ ）A. -1B.1C. 2D. -1解：L ：,2⎩⎨⎧==xy xx x 从0变到1 ,1422210410310332===+=+⎰⎰⎰x dx x dx x dx x dy x xydx L,应选B.27.下列级数中，条件收敛的是 （ ）A ．∑∞=+-11)1(n nn n B ．∑∞=-1321)1(n n nC ．∑∞=-121)1(n nn D ．∑∞=+-1)1()1(n n n n解：∑∞=+-11)1(n nn n 发散, ∑∞=-121)1(n n n 和∑∞=+-1)1()1(n n n n 绝对收敛，∑∞=-1321)1(n n n是收敛的，但∑∞=1321n n 是32=p 的级数发散的，从而级数∑∞=-1321)1(n nn条件收敛，应选B. 28. 下列命题正确的是 （ ） A ．若级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 收敛，则级数21)(n n n v u +∑∞=收敛B ．若级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 收敛，则级数)(212n n nv u +∑∞=收敛 C ．若正项级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 收敛，则级数21)(n n n v u +∑∞=收敛D ．若级数∑∞=1n n n v u 收敛，则级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 都收敛解：正项级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 收敛⇒ ∑∞=12n nu 与∑∞=12n n v 收敛，而)(2)(222nnn n v u v u +≤+，所以级数21)(n n n v u +∑∞=收敛 ，应选C 。
2012年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案
2012年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案第一篇：2012年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案2012年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案一、选择题：每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
参考答案：A参考答案：C参考答案：D参考答案：A参考答案：B参考答案：D参考答案：C参考答案：B参考答案：A参考答案：B二、填空题：本大题共10小题。
每小题4分，共40分，将答案填在题中横线上。
第11题参考答案：0 第12题设y=sin(x+2)，则Y'=_________ 参考答案：cos(x+2)第13题设y=ex-3，则dy=_________．第14题参考答案：5sinx+C 第15题第16题曲线Y=x2-x在点(1，0)处的切线斜率为_________．参考答案：1 第17题设y=x3+2，则y''=__________．参考答案：6x 第18题设z=x2-y，则dz=_________．参考答案：2xdx-dy 第19题过点M(1，2，3)且与平面2x—Y+z=0平行的平面方程为_________．参考答案：2x—y+z=3 第20题参考答案：3π三、解答题：本大翘共8个小题，共70分。
解答应写出推理，演算步骤。
第21题参考答案：第22题参考答案：第23题设函数f(x)=x-1nx，求f(x)的单调增区间．参考答案：第24题参考答案：第25题参考答案：第26题参考答案：第27题设L是曲线y=x2+3在点(1,4)处的切线。
求由该曲线，切线L及y轴围成的平面图形的面积S．参考答案：第28题参考答案：第二篇：2013年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案2013年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案一、选择题：每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
参考答案：C参考答案：A参考答案：B参考答案：D参考答案：B参考答案：A参考答案：D参考答案：B参考答案：C参考答案：A二、填空题：本大题共10小题。
2012年河南省专升本高等数学试卷及答案
河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试《高等数学》试卷一. 单项选择题（每题2分，共计50分）在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后 面的括号内.不选、错选或多选者，该题无分.1.集合}5,4,3{的所有子集共有 （ ）。
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 解答：子集个数D n⇒==8223。
2.函数x x x f -+-=3)1arcsin()(的定义域为 （ ）。
A. ]3,0[ B. ]2,0[ C. ]3,2[ D. ]3,1[ 解答： B x x x ⇒≤≤⇒⎩⎨⎧≥-≤-≤-2003111。
3. 当0→x 时，与x 不等价的无穷小量是 （ ） A.x 2 B.x sin C.1-xe D.)1ln(x + 解答：根据常用等价关系知，只有x 2与x 比较不是等价的。
应选A 。
4.当0=x 是函数xx f 1arctan)(= 的 （ ）。
A.连续点 B. 可去间断点 C.跳跃间断点 D. 第二类间断点 解答：21arctanlim 0π=+→x x ；C x x ⇒π-=-→21arctan lim 0。
5. 设)(x f 在1=x 处可导，且1)1(='f ，则hh f h f h )1()21(lim+--→的值为（ ）。
A.-1B. -2C. -3D.-4 解答：C f h f h f hh f h f h h ⇒-='-=+'--'-=+--→→3)1(3)1()21(2[lim)1()21(lim00。
6.若函数)(x f 在区间),(b a 内有0)(,0)(<''>'x f x f ，则在区间),(b a 内，)(x f 图形（ ）。
A ．单调递减且为凸的B ．单调递增且为凸的C ．单调递减且为凹的D ．单调递增且为凹的 解答：⇒>'0)(x f 单调增加；⇒<''0)(x f 凸的。
2012年成人高考(专科起点升本科) 高等数学(二)试题及参考答案
2012年成人高等学校专升本招生全国统一考试高等数学（二）试题及参考答案试 题 一、选择题：1—10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．１．ｌｉｍx→３ｃｏｓ（x－２）x－２＝（ ）．Ａ．１ Ｂ．ｃｏｓ１ Ｃ．０ Ｄ．π２２．设函数y＝x２＋１，则ｄyｄx＝（ ）．Ａ．１３x３Ｂ．x２Ｃ．２xＤ．１２x３．设函数f（x）＝ｃｏｓx，则f′π２＝（ ）．Ａ．－１Ｂ．－１２Ｃ．０Ｄ．１４．下列区间为函数f（x）＝ｓｉｎx的单调增区间的是（ ）．Ａ．０，π２Ｂ．π２，πＣ．π２，３π２Ｄ．（０，２π）５．∫x２ｄx＝（ ）．Ａ．３x３＋CＢ．x３＋CＣ．x３３＋CＤ．x２＋C ６．∫１１＋xｄx＝（ ）．Ａ．ｅ１＋x＋CＢ．１１＋x＋CＣ．x＋CＤ．ｌｎ｜１＋x｜＋C７．设函数z ＝ｌｎ（x ＋y ），则抄z 抄x（１，１）＝（ ）．Ａ．０Ｂ．１２Ｃ．ｌｎ２Ｄ．１８．曲线y ＝４－x ２与x 轴所围成的平面图形的面积为（ ）．Ａ．２Ｂ．４Ｃ．２πＤ．４π９．设函数z ＝ｅx＋y ２，则抄２z抄x２＝（ ）．Ａ．２y Ｂ．ｅx＋２yＣ．ｅx＋y ２Ｄ．ｅx１０．设事件A ，B 互不相容，P （A ）＝０．３，P （B ）＝０．２，则P （A ＋B ）＝（ ）．Ａ．０．４４Ｂ．０．５Ｃ．０．１Ｄ．０．０６二、填空题：11—20小题，每小题4分，共40分．１１．ｌｉｍx →１x ２＋x ＋２x ２－３＝．１２．ｌｉｍx →０ｓｉｎ２x３x＝．１３．设函数f （x ）＝x ２＋１，x ＜０，a ＋x ，x ≥０在x ＝０处连续，则a ＝．１４．曲线y ＝x ３＋３x 的拐点坐标为．１５．设函数f （x ）＝ｃｏｓx ，则f ″（x ）＝．１６．曲线y ＝ｓｉｎ（x ＋１）在点（－１，０）处的切线斜率为．１７．∫２x ｅx ２ｄx ＝．１８．∫１０ｃｏｓx ｄx ＝．１９．∫＋∞０ｅ－xｄx ＝．２０．设函数z ＝x ２ｅy，则全微分ｄz ＝．三、解答题：21—28题，共70分．解答应写出推理、演算步骤．２１．（本题满分８分）计算ｌｉｍx →０ｅx－１x．２２．（本题满分８分）设函数y ＝ｌｎ（x ２＋１），求ｄy ．２３．（本题满分８分）计算∫ｌｎxxｄx ．２４．（本题满分８分）计算∫x ｃｏｓx ｄx ． ２５．（本题满分８分）已知某篮球运动员每次投篮投中的概率是０．９，记X为他两次独立投篮投中的次数．（１）求X的概率分布；（２）求X的数学期望EX．２６．（本题满分１０分）求函数f（x）＝x３－３x－２的单调区间和极值．２７．（本题满分１０分）已知函数f（x）＝－x２＋２x．（１）求曲线y＝f（x）与x轴所围成的平面图形的面积S；（２）求（１）中的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V．２８．（本题满分１０分）求二元函数f（x，y）＝x２＋y２＋２y的极值．参考答案 一、选择题１．Ｂ ２．Ｃ ３．Ａ ４．Ａ ５．Ｃ６．Ｄ７．Ｂ８．Ｃ９．Ｄ１０．Ｂ二、填空题１１．－２ １２．２３１３．１１４．（０，０）１５．－ｃｏｓx１６．１１７．ｅx２＋C１８．ｓｉｎ１１９．１２０．２xｅyｄx＋x２ｅyｄy三、解答题２１．解 ｌｉｍx→０ｅx－１x＝ｌｉｍx→０ｅx１＝１．２２．解 y′＝１x２＋１（x２＋１）′＝２x x２＋１，ｄy＝２x x２＋１ｄx．２３．解 ∫ｌｎx xｄx＝∫ｌｎxｄ（ｌｎx）＝１２（ｌｎx）２＋C．２４．解 ∫xｃｏｓxｄx＝∫xｄ（ｓｉｎx）＝xｓｉｎx－∫ｓｉｎxｄx＝xｓｉｎx＋ｃｏｓx＋C．２５．解 （１）X可能的取值为０，１，２．P｛X＝０｝＝０．１×０．１＝０．０１，P｛X＝１｝＝２×０．９×０．１＝０．１８，P｛X＝２｝＝０．９×０．９＝０．８１，因此X的概率分布为X０１２P０．０１０．１８０．８１ （２）数学期望EX＝０×０．０１＋１×０．１８＋２×０．８１＝１．８０．２６．解 函数f（x）的定义域为（－∞，＋∞）．f′（x）＝３x２－３，令f′（x）＝０，得驻点x１＝－１，x２＝１．x（－∞，－１）－１（－１，１）１（１，＋∞）f′（x）＋０－０＋f（x）赤极大值０尺极小值－４赤 因此f（x）的单调增加区间为（－∞，－１），（１，＋∞）；单调减少区间为（－１，１）． f（x）的极大值为f（－１）＝０，极小值为f（１）＝－４．２７．解 （１）由y＝－x２＋２x，y＝０得交点坐标为（０，０），（２，０）．S＝∫２０（－x２＋２x）ｄx＝－x３３＋x２２０＝４３．（２）V＝∫２０πf２（x）ｄx＝∫２０π（－x２＋２x）２ｄx＝π∫２０（x４－４x３＋４x２）ｄx＝π１５x５－x４＋４３x３２０＝１６１５π．２８．解f′x（x，y）＝２x，f′y（x，y）＝２y＋２． 令f′x（x，y）＝０，f′y（x，y）＝０，得驻点（０，－１）． 因为f″x x（x，y）＝２，f″xy（x，y）＝０，f″y y（x，y）＝２，所以A＝f″x x（０，－１）＝２，B＝f″x y（０，－１）＝０，C＝f″yy（０，－１）＝２． 由于A＞０且AC－B２＞０，故f（x，y）在点（０，－１）处取得极小值，极小值为f（０，－１）＝－１．。
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12012年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学一、选择题（每小题2分，共60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．1．函数1arctan y x=的定义域是A ．[)4, -+∞B ．()4, -+∞C ．[)()4, 00, -+∞D ．()()4, 00, -+∞解：40400x x x x +≥⎧⇒≥-≠⎨≠⎩且.选C.2．下列函数中为偶函数的是A ．23log (1)y x x =+-B ．sin y x x =C ．)y x =D ．e xy =解：A 、D 为非奇非偶函数，B 为偶函数，C 为奇函数。
选B. 3．当0x →时，下列无穷小量中与ln(12)x +等价的是A ．xB ．12x C ．2x D ．2x解：0x →时，ln(12)~2x x +.选D.4．设函数21()sin f x x=，则0x =是()f x 的 A ．连续点 B ．可去间断点 C ．跳跃间断点D ．第二类间断点2解：0x =处没有定义，显然是间断点；又0x →时21sinx的极限不存在，故是第二类间断点。
选D.5．函数y =0x =处A ．极限不存在B ．间断C ．连续但不可导D ．连续且可导解：函数的定义域为(),-∞+∞，0lim lim (0)0x x f +-→→===，显然是连续的；又00(0)lim lim (0)x x f f +++-→→''===+∞=，因此在该点处不可导。
选C. 6．设函数()()f x x x ϕ=，其中)(x ϕ在0x =处连续且(0)0ϕ≠，则(0)f ' A ．不存在 B ．等于(0)ϕ' C ．存在且等于0D ．存在且等于(0)ϕ解：易知(0)=0f ，且00()0(0)lim lim ()(0)x x x x f x xϕϕϕ+++→→-'===， 00()0(0)lim lim ()(0)(0)x x x x f x f xϕϕϕ-+-+→→--''==-=-≠.故(0)f '不存在。
选A. 7．若函数()y f u =可导，e xu =，则d y = A ．(e )d xf x ' B ．(e )d(e )x xf ' C ．()e d xf x x 'D ．[(e )]de xxf '解：根据复合函数求导法则可知：d ()()xxy f u du f e de ''==.选B. 8．曲线1()y f x =有水平渐近线的充分条件是 A ．lim ()0x f x →∞=B ．lim ()x f x →∞=∞C ．0lim ()0x f x →=D ．0lim ()x f x →=∞解：根据水平渐近线的求法可知：当lim ()x f x →∞=∞时，1lim0()x f x →∞=，即0y =时1()y f x =的一条水平渐近线，选B. 9．设函数x x y sin 21-=，则d d x y =3A ．y cos 211- B ．x cos 211- C ．y cos 22-D ．xcos 22-解：对x x y sin 21-=两边同时求微分有：1cos 2dy dx xdx =-，所以 d d x y =xcos 22-.选D. 10．曲线1, 0()1sin , 0x x f x x x +≥⎧=⎨+<⎩在点(0, 1)处的切线斜率是A ．0B ．1C ．2D ．3解：易知(0)=1f ，011(0)lim 1x x f x++→+-'==， 00sin 11sin (0)lim lim 1x x x xf x x---→→+-'===，故(0)1f '=.选B. 11．方程033=++c x x （其中c 为任意实数）在区间(0, 1)内实根最多有 A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个解：令3()3f x x x c =++，则有2()330f x x '=+>，即函数在定义域内是单调递增的，故最多只有一个实根。
选D.12．若()f x '连续，则下列等式正确的是 A ．()d ()f x x f x '⎡⎤=⎣⎦⎰B ．()d ()f x x f x '=⎰C ．d ()()f x f x =⎰D ．d ()d ()f x x f x ⎡⎤=⎣⎦⎰解：B 、C 的等式右边缺少常数C ，D 选项是求微分的，等式右边缺少dx.选A.13．如果()f x 的一个原函数为arcsin x x -，则()d f x x =⎰A ．2111C x+++ B．1C - C ．arcsin x x C -+D．1C ++解：()f x 的一个原函数为arcsin x x -，那么所有的原函数就是arcsin x x C -+.所以()d arcsin f x x x x C =-+⎰.选C.414．设()1f x '=，且(0)1f =，则()d f x x =⎰A ．x C +B ．212x x C ++ C ．2x x C ++D ．212x C + 解：因为()1f x '=，所以()()d d f x f x x x x C '===+⎰⎰，又(0)1f =，故()1f x x =+.21()d (1)2f x x x dx x x C ∴=+=++⎰⎰.选B. 15． 20122sin d (cos )d d xt t x -=⎰A ．2cos x - B ．2cos(sin )cos x x C ．2cos x xD ．2cos(sin )x解：本题是变下限积分的题。
利用公式可知201222sin d (cos )d cos(sin )cos d x t t x x x-=⋅⎰.选B. 16．21302e d x x x -=⎰A ．1B ．0C ．112e --D ．1e 1--解：222221111322221202e d e d()de e e d x x x xx x x x x x x x -----=--=-=-+⎰⎰⎰⎰2221110ee12e x x x ---=--=-.选C.17．下列广义积分收敛的是A ．101ln d x x x⎰B．100x ⎰C ．11ln d x x x+∞⎰D ．53e d x x +∞--⎰解：A 选项中112100011ln d ln d ln ln 2x x x x xx ===-∞⎰⎰，故发散；B 选项中根据结论1()bqadx x a -⎰，当1q ≥时发散，本题中43q =，故发散； C 选项中根据结论1d (ln )kax x x +∞⎰，当1k ≤时发散，本题中1k =-，故发散；5D 选项中55153311e d e e 55x xx +∞--+∞--=-=⎰，故收敛。
选D. 18．微分方程22d d 1d d y yyx x+=是 A ．二阶非线性微分方程 B ．二阶线性微分方程 C ．一阶非线性微分方程D ．一阶线性微分方程解：最高阶导数是二阶导数，并且不是线性的。
选A. 19．微分方程d sin cos d y x x x y=的通解为 A ．22cos y x C =+ B ．22sin y x C =+ C ．2sin y x C =+D ．2cos y x C =+解：这是可分离变量的方程。
有d sin cos d y y x x x =，两边同时积分有2211sin 22y x C '=+，即22sin y x C =+.选B. 20．在空间直角坐标系中，若向量a 与Ox 轴和Oz 轴正向的夹角分别为45︒和60︒，则向量a 与Oy 轴正向的夹角为A ．30︒B ．60︒C ．45︒D ．60︒或120︒解：对空间的任意一个向量有222cos cos cos 1αβγ++=，现有,46ππαβ==，从而解得1cos 2γ=±，所以γ为60︒或120︒.选D. 21．直线12123x y z -+==-与平面20x y +=的位置关系是 A ．直线在平面内 B ．平行C ．垂直D ．相交但不垂直解：直线的方向向量为{}1,2,3l =-，平面的法向量为{}2,1,0n =，且0n l ⋅=，直线上的点()0,1,2-不在平面内，所以故该直线和平面平行。
选B.22．下列方程在空间直角坐标系中表示的图形为旋转曲面的是A ．22132x z += B ．22y x z -= C ．22y x z =-D ．2222z x y -=解：根据旋转曲面方程的特点，有两个平方项的系数相同，故选C.623．(,)(1,1)limx y →=A ．0B ．12C ．13D ．2解：(,)(1,1)(,)(1,(,)(1,1limlim lim 2x y x y x y →→→===.选B.24．函数(, )z f x y =在点00(, )x y 处可微是(, )f x y 在该点处两个偏导数z x∂∂和zy∂∂存在的 A ．充分条件 B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件解：可微可以退出偏导数存在，但是仅有偏导数存在退不出可微，故是充分而非必要条件。
选A.25．已知sin()z x y xy =++，则2zx y∂=∂∂A ．sin()xyB ．sin()(1)xy xy +C ．cos()sin()xy xy xy -D ．cos()xy xy -解：21cos();cos()sin()z z y xy xy xy xy x x y ∂∂=+=-∂∂∂.选C. 26．幂级数02(1)!n nnn x n ∞=-∑的和函数()S x 为A ．e x -B ．2e x -C ．2ex -D ．22e x -解：由0!n xn x e n ∞==∑，可知2002(2)(1)!!n n n n x n n x x e n n ∞∞-==--==∑∑.选B. 27．下列级数发散的是A ．2134(1)(1)(2)nn n n n ∞=--++∑B ．11(1)1nn n ∞=-+∑ C ．111(1)3n n n ∞-=-∑ D ．3121(21)n n ∞=+∑解：A 选项中一般项趋于40-≠，故发散；7B 、C 选项是交错级数，满足莱布尼茨定理，故收敛；D 选项根据结论11pn n∞=∑中1p >时收敛，本题中32p =，故收敛。
选A. 28．若级数(2)nnn a x ∞=-∑在点0x =处条件收敛，则在1x =-，2x =，3x =，4x =，5x =中使该级数收敛的点有A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解：该级数的中心点是2，又在点0x =处条件收敛，所以可以确定收敛区间为()0,4.故在2x =，3x =处收敛。