第二章算法效率分析基础
算法设计与分析课程教学大纲
算法设计与分析课程教学大纲【适用专业】计算机科学与技术【课时】理论课时：32【学分】 2【课程性质、目标和要求】《算法设计与分析》是计算机科学与技术专业的专业课。
无论是计算科学还是计算实践，算法都在其中扮演着重要角色。
本课程的教学目的是讲授在计算机应用中常常遇到的实际问题的解法，讲授设计和分析各种算法的基本原理、方法和技术，培养学生对算法复杂性进行正确分析的能力。
课程基本要求是⑴掌握算法分析的基本概念和理论。
⑵掌握算法设计技术和分析算法以及算法复杂性。
【教学时间安排】本课程计 2 学分，理论课时32, 学时分配如下：【教学内容要点】第一章算法引论一、学习目的要求1．了解算法的计算复杂性分析方法2．理解算法分析的基本理论3．掌握算法分析的基本概念二、主要教学内容1. 算法的基本概念2. 表达算法的抽象机制3. 采用Java语言与自然语言相结合的方式描述算法的方法4. 算法的计算复杂性分析方法第二章递归与分治策略一、学习目的要求1．理解典型范例中递归与分治策略应用技巧2．掌握递归与分治策略3．掌握数学归纳法证明算法正确性方法二、主要教学内容1. 递归的概念2. 分治法的基本思想3. 二分搜索技术4. 大整数的乘法5. Strassen阵乘法6. 棋盘覆盖7. 合并排序8. 快速排序9. 线性时间选择10. 最接近点对问题11. 循环赛日程表第三章动态规划一、学习目的要求1．理解典型范例中动态规划算法的设计思想2．掌握动态规划算法的基本要求以及算法的设计要点二、主要教学内容1. 矩阵连乘问题2. 动态规划算法的基本要素3. 最长公共子序列4. 最大子段和5. 凸多边形最优三角剖分6. 多边形游戏7. 图像压缩8. 电路布线9. 流水作业调度10. 0—l背包问题11. 最优二叉搜索树12. 动态规划加速原理三、课堂讨论选题1. 最长公共子序列2. 0—l背包问题第四章贪心算法一、学习目的要求1．了解贪心算法的理论基础及基本要素2. 理解典型范例中贪心算法的设计思想3. 掌握贪心算法的设计要点二、主要教学内容1. 活动安排问题2. 贪心算法的基本要素3. 最优装载4. 哈夫曼编码5. 单源最短路径6. 最小生成树7. 多机调度问题8. 贪心算法的理论基础三、课堂讨论选题1. 最优装载2. 单源最短路径第五章回溯法一、学习目的要求1．理解回溯法的效率分析方法2．掌握回溯法的算法框架和应用技巧二、主要教学内容1. 回溯法的算法框架2. 装载问题3. 批处理作业调度4. 符号三角形问题5. n后问题6. 0—l背包问题7. 最大团问题8. 图的m着色问题9. 旅行售货员问题10. 圆排列问题11. 电路板排列问题12. 连续邮资问题13. 回溯法的效率分三、课堂讨论选题1. 0—l背包问题2. 图的m着色问题第六章分支限界法一、学习目的要求1．理解分支限界法的基本思想2．掌握典型范例中分支限界法的应用技巧二、主要教学内容1. 分支限界法的基本思想2. 单源最短路径问题3. 装载问题4. 布线问题5. 0-1背包问题6. 最大团问题7. 旅行售货员问题8. 电路板排列问题9. 批处理作业调度三、课堂讨论选题1. 0-1背包问题2. 批处理作业调度第七章概率算法一、学习目的要求1．理解概率算法的基本思想2．掌握典型范例中概率算法的应用技巧二、主要教学内容1. 随机数2. 数值概率算法3. 舍伍德算法4. 拉斯维加斯算法5. 蒙特卡罗算法第八章 NP完全性理论一、学习目的要求1．了解P类与NP类问题2．了解典型的NP完全问题二、主要教学内容1. 计算模型2. P类与NP类问题3. NP完全问题4. 一些典型的NP完全问题第九章近似算法一、学习目的要求1．掌握近似算法的基本思想2．掌握常用近似算法的应用二、主要教学内容1. 近似算法的性能2. 顶点覆盖问题的近似算法3. 旅行售货员问题近似算法4. 集合覆盖问题的近似算法5. 子集和问题的近似算法第十章算法优化策略一、学习目的要求1．掌握算法优化策略2．掌握算法优化的基本方法二、主要教学内容1. 算法优化策略的比较与选择2. 动态规划加速原理3. 问题的算法特征4. 优化数据结构5. 优化搜索策略【教学（实验）内容要点】算法设计与分析实验是算法设计与分析课的一个实践性教学环节。
计算机二级公共基础知识高频考点归纳总结
第一章数据结构与算法算法1、算法：是指解题方案的准确而完整的描述。
算法不等于程序，也不等计算机方法，程序的编制不可能优于算法的设计。
2、算法的基本特征：是一组严谨地泄义运算顺序的规则，每一个规则都是有效的，是明确的，此顺序将在有限的次数下终止。
特征包括：（1）可行性；（2）确定性（3）有穷性（4）拥有足够的情报。
3、算法的基本要素：一是对数据对象的运算和操作；二是算法的控制结构。
4、指令系统：一个计算机系统能执行的所有指令的集合。
5、基本运算包括：算术运算、逻借运算、关系运算、数据传输。
6、算法的控制结构：顺序结构、选择结构、循环结构。
7、算法基本设计方法：列举法、归纳法、递推、递归、减斗递推技术、回溯法。
8、算法复杂度：算法时间复杂度和算法空间复杂度。
9、算法时间复杂度是指执行算法所需要的计算工作量。
20、算法空间复杂度是指执行这个算法所需要的内存空间。
数据结构的基本基本概念1、数据结构研究的三个方面：（1）数据集合中各数据元素之间所固有的逻借关系，即数据的逻辑结构：（2）在对数据进行处理时，各数据元素在计算机中的存储关系，即数拯的存储结构：（3）对各种数据结构进行的运算。
数据结构是指相互有关联的数据元素的集合。
2、数据的逻辑结构包含：（1）表示数据元素的信息；（2）表示各数据元素之间的前后件关系。
数据的存储结构有顺序、链接、索引等。
3、线性结构条件：（1）有且只有一个根结点；（2）每一个结点最多有一个前件，也最多有一个后件。
非线性结构：不满足线性结构条件的数据结构。
线性表及其顺序存储结构1、线性表是由一组数据元素构成，数据元素的位置只取决于自己的序号，元素之间的相对位置是线性的。
在复杂线性表中，由若干项数据元素组成的数据元素称为记录，而由多个记录构成的线性表又称为文件。
2、非空线性表的结构特征：（1）且只有一个根结点al,它无前件：（2）有且只有一个终端结点an.它无后件：（3）除根结点与终端结点外，其他所有结点有且只有一个前件，也有且只有一个后件。
课程的知识点总结
课程的知识点总结第一章：导论本章将介绍课程的基本内容和学习目标，包括课程的背景和意义、学习目的、学习方法和要求等内容。
学完本章后，学生应该对整个课程有一个初步的了解和认识，为后续的学习打好基础。
第二章：数据结构概述本章将介绍数据结构的基本概念和分类，包括数据结构的定义、逻辑结构和存储结构、数据类型、抽象数据类型等内容。
学完本章后，学生应该对数据结构的基本概念有一个清晰的认识，为后续的学习打下基础。
第三章：线性表本章将介绍线性表的存储结构和常用操作，包括顺序表、链表、栈和队列等内容。
学生应该掌握线性表的定义和特点，熟练掌握线性表的存储结构和操作方法，并能够运用线性表解决实际问题。
第四章：树和二叉树本章将介绍树和二叉树的基本概念和性质，包括树的定义和基本术语、二叉树的定义和性质、二叉树的遍历和线索化等内容。
学生应该掌握树和二叉树的基本概念和性质，熟练掌握树和二叉树的存储结构和操作方法，并能够运用树和二叉树解决实际问题。
第五章：图本章将介绍图的基本概念和性质，包括图的定义和术语、图的存储结构、图的遍历和最短路径求解等内容。
学生应该掌握图的基本概念和性质，熟练掌握图的存储结构和操作方法，并能够运用图解决实际问题。
第六章：排序本章将介绍排序的基本概念和分类，包括插入排序、选择排序、冒泡排序、快速排序、归并排序等内容。
学生应该掌握不同排序算法的原理和实现方法，熟练掌握排序算法的时间复杂度和空间复杂度，并能够根据具体问题选择合适的排序算法。
第七章：查找本章将介绍查找的基本概念和分类，包括顺序查找、折半查找、哈希查找、二叉查找树等内容。
学生应该掌握不同查找算法的原理和实现方法，熟练掌握查找算法的时间复杂度和空间复杂度，并能够根据具体问题选择合适的查找算法。
第八章：高级数据结构本章将介绍高级数据结构的基本概念和应用，包括堆、图的最小生成树和最短路径、哈希表、并查集等内容。
学生应该掌握不同高级数据结构的特点和应用场景，熟练掌握高级数据结构的操作方法，并能够运用高级数据结构解决实际问题。
算法-第2章-算法效率分析基础
The Big-O and Related Notations
2.2.7 基本的效率类型
1 log n n n log n n2 n3 2n n! constant logarithmic linear n log n quadratic cubic exponential factorial
思考
2.2.2 符号О
定义1 我们把函数t(n)属于O(g(n)) ，记作t(n) ∈ O(g(n)) ; 它的成立条件是：对于所有足够大的n， t(n) 的上界由g(n) 的常数倍数所确定，也就是说，存在大于0的常数c和非负 的整数n0，使得： 对于所有的n≥ n0来说， t(n) ≤c g(n)
cg(n)
2.2 渐进符号和基本效率类型
2.2.1 非正式的介绍
O(g(n)) 是增长次数小于等于g(n) (以及其常数倍，n趋 向于无穷大)的函数集合。 n∈O(n2),100n+5∈O(n2), n(n-1) /2 ∈O(n2),n3∈/ O(n2), Ω(g(n))，代表增长次数大于等于g(n)(以及其常数倍,n趋 向于无穷大)的函数集合。 n3∈ Ω(n2)， n(n-1) /2 ∈ Ω(n2)，但是100n+5 ∈/ Ω(n2) Θ(g(n))是增长次数等于g(n) )(以及其常数倍,n趋向于无 穷大)的函数集合。因此，每一个二次方程an2+bn+c在 a>0的情况下都包含在Θ(n2)中，除了无数类似于n2+sin n和n2+log n的函数（你能解释原因吗？）。
t(n) cg(n)
n0之前的情 况无关重要
n n0 符号Ω：t(n)∈Ω(g(n))
2.2.4 符号Θ
定义 3 我们把函数t(n)属于Θ(g(n)) ，记作t(n) ∈Θ(g(n)) ; 它的成立条件是：对于所有足够大的n， t(n) 的上界和下 界都由g(n)的常数倍数所确定，也就是说，存在大于0的 常数c1，c2和和非负的整数n0，使得： 对于所有的n≥ n0来说， c2g(n) ≤t(n) ≤ c1g(n)
数据分析实战指南
数据分析实战指南数据分析是一种通过收集、处理和解释数据来发现有价值信息的过程。
随着大数据时代的到来，数据分析已经成为各行各业中不可或缺的一项技能。
本文将为您介绍数据分析的基本概念、常用工具和实战技巧。
第一章：数据分析基础数据分析的基础是统计学和数学知识。
统计学可以帮助我们了解数据的分布、关系和趋势，数学知识则用于建立模型和进行预测。
在数据分析过程中，我们需要了解概率、假设检验、回归分析等基本概念，以及相关的数学方法。
第二章：数据收集与清洗在进行数据分析之前，我们需要进行数据的收集和清洗。
数据的质量直接影响分析结果的准确性和可靠性。
收集数据可以通过问卷调查、实地观察、网站爬取等方式进行。
清洗数据包括去除重复值、填补缺失值、处理异常值等步骤。
第三章：数据可视化数据可视化是将数据转化为可视化图形的过程。
通过图表、地图、仪表盘等形式，可以更直观地展示数据的模式、趋势和关联关系。
常用的数据可视化工具有Tableau、PowerBI等，它们可以帮助分析人员更方便地进行数据探索和展示。
第四章：数据探索与描述数据探索是为了深入了解数据的特征和规律。
通过统计指标、图表分析等方式，可以发现数据的分布情况、异常值等信息。
描述统计分析包括计算数据的中心趋势、离散程度、相关性等指标，帮助我们更好地了解数据的特点。
第五章：数据建模与预测数据建模是将数据转化为数学模型的过程，以便进行预测和决策。
常用的建模算法包括线性回归、逻辑回归、决策树、支持向量机等。
通过建立合适的模型，可以根据历史数据对未来进行预测，并为决策提供依据。
第六章：机器学习与深度学习机器学习和深度学习是数据分析领域的前沿技术。
机器学习算法通过从数据中学习规律，从而自动化地进行预测和决策。
深度学习则是一种基于神经网络的机器学习方法，其在图像识别、自然语言处理等领域取得了很好的效果。
第七章：数据分析工具与编程技巧数据分析工具和编程语言是进行数据分析的必备工具。
常用的数据分析工具有Excel、Python、R等，它们提供了丰富的函数和库，方便我们进行数据处理和建模。
计算机二级考试选择题必背知识点(公共基础+计算机基础)
计算机二级考试选择题必背知识点公共基础第一章数据结构与算法§1.1 算法1.算法的定义：是指解题方案的准确而完整的描述。
（算法不等于程序，程序的设计不可能优于算法的设计）2.算法的基本特征：可行性、确定性、有穷性、足够的情报。
3.算法的基本要素：4.算法的时间和空间复杂度：算法的时间复杂度和算法的空间复杂度相互独立。
§1.2 数据结构的基本概念1.数据：需要处理的数据元素的集合，一般来说，这些数据元素，具有某个共同的特征。
(1)数据元素是数据的基本单位，即数据集合中的个体。
(2)有时一个数据元素可有若干数据项组成。
数据项是数据的最小单位。
2.结构：是集合中各个数据元素之间存在的某种关系（或联系）。
3.数据结构：是指相互有关联的数据元素的集合。
4.数据结构的分类：(1)逻辑结构：线性结构（线性表、栈、队列）；非线性结构（树、图）。
(2)存储结构：顺序存储；链式存储。
(3)运算：插入、删除、查找、排序。
5.逻辑结构：反应数据元素间的逻辑关系（即前后件关系）的数据结构。
(1)线性结构（线性表）：（举例：春→夏→秋→冬）a.有且只有一个根节点，它无前件；b.每一个节点最多有一个前件，也最多有一个后件。
(2)非线性结构：a.不满足以上两个条件的数据结构就称为非线性结构；b.非线性结构主要是指树形结构和网状结构。
6.存储结构：又称为数据的物理结构，是数据的逻辑结构在计算机存储空间中的存放方式(1)顺序存储结构：主要用于线性的数据结构，它把逻辑上相邻的数据元素存储在物理上相邻的存储单元里。
(2)链式存储结构：每一个结点至少包含一个指针域，用指针的指向来体现数据元素之间在逻辑上的联系。
§1.3 线性表及其顺序存储结构1.线性表：线性表是n（n≥0）个数据元素构成的有限序列，表中除第一个元素外的每一个元素，有且只有一个前件，除最后一个元素外，有且只有一个后件。
举例：英文字母表、地理学中的四向、表格2.线性表的顺序存储结构：通常线性表可以采用顺序存储和链式存储，但一般使用顺序存储结构。
程序设计中解析法教案
程序设计中解析法教案第一章：解析法概述1.1 解析法的定义解析法是一种通过分析和解释问题来解决问题的方法。
解析法强调逻辑推理和数学证明，以达到深入理解问题的本质。
1.2 解析法的优势解析法能够提供精确和可靠的解决方案。
解析法能够帮助学生培养逻辑思维和数学能力。
第二章：解析法的步骤2.1 问题定义明确问题的目标和条件。
确定需要解决的问题是什么。
2.2 建立模型根据问题的定义，建立数学模型或逻辑框架。
选择适当的变量和参数来描述问题。
2.3 分析问题使用数学推理和逻辑推理来分析问题。
推导出问题的结论或解决方案。
2.4 验证解决方案检查解析过程中是否存在逻辑错误或矛盾。
通过实际例子或计算验证解决方案的正确性。
第三章：解析法在程序设计中的应用3.1 算法分析使用解析法来分析算法的效率和性能。
推导出算法的运行时间和空间复杂度。
3.2 数据结构选择分析不同的数据结构对程序性能的影响。
根据问题的特点和需求选择合适的数据结构。
3.3 代码优化通过解析法来优化代码的性能和可读性。
找出代码中的瓶颈和优化点，进行改进。
第四章：解析法的实践案例4.1 案例一：线性方程组的求解分析线性方程组的解法和性能。
推导出解析解的表达式或算法。
4.2 案例二：背包问题建立背包问题的数学模型。
使用解析法来解决背包问题的最优解。
4.3 案例三：二分搜索算法分析二分搜索算法的原理和性能。
推导出二分搜索算法的递归表达式。
第五章：解析法的应用限制和扩展5.1 解析法的应用限制解析法可能无法解决所有类型的问题。
有些问题可能需要更复杂的数学工具或实验方法。
5.2 解析法的扩展结合其他方法，如模拟法或优化算法，来解决问题。
探索解析法的改进和创新，以适应不同类型的问题。
第六章：解析法在算法设计中的应用6.1 算法设计原则介绍如何使用解析法设计高效算法。
强调算法设计的逻辑性和数学基础。
6.2 递归算法的解析解释递归算法的数学基础。
推导递归算法的终止条件和递推关系。
中等职业院校c语言基础教案
中等职业院校C语言基础教案第一章：C语言概述1.1 C语言的历史与发展介绍C语言的起源和发展历程强调C语言的重要性和广泛应用1.2 C语言的特点介绍C语言的主要特点，如简洁、高效、可移植性等解释C语言为什么适合系统编程和嵌入式开发1.3 编译环境和开发工具介绍C语言的编译过程和编译环境演示如何使用集成开发环境（IDE）进行C语言编程第二章：C语言基础语法2.1 数据类型介绍C语言的基本数据类型，如int、float、char等解释不同数据类型的用途和限制2.2 变量和常量介绍变量的概念和声明方法讲解常量的定义和使用，如字面量、符号常量等2.3 运算符和表达式介绍C语言的基本运算符，如算术运算符、关系运算符、逻辑运算符等解释运算符的优先级和结合性第三章：控制语句3.1 顺序结构介绍顺序结构的概念和特点演示顺序结构中的常见语法和示例3.2 选择结构介绍选择结构的概念和语法讲解if语句和switch语句的使用和区别3.3 循环结构介绍循环结构的概念和语法讲解for循环、while循环和do-while循环的使用和区别第四章：数组和字符串4.1 数组介绍数组的概念和声明方法解释数组的索引和内存分配演示数组的初始化和使用4.2 字符串介绍字符串的概念和表示方法讲解字符串的常用操作，如字符串长度、字符串拷贝、字符串连接等第五章：函数和指针5.1 函数的基本概念介绍函数的定义和声明解释函数的参数传递和返回值5.2 指针的概念和应用介绍指针的基本概念和声明方法讲解指针的赋值和取值操作演示指针在数组和函数中的应用第六章：结构体和联合体6.1 结构体的定义和使用介绍结构体的概念和定义方法演示如何使用结构体存储相关数据讲解结构体数组的声明和使用6.2 联合体的概念和应用介绍联合体的概念和定义方法解释联合体内存分配的特点演示联合体的使用和应用场景第七章：动态内存分配7.1 动态内存分配的概念介绍动态内存分配的概念和重要性解释动态内存分配的原理和机制7.2 动态内存分配函数讲解malloc、calloc、realloc和free函数的使用方法演示如何动态分配内存并使用第八章：文件操作8.1 文件概述介绍文件的概念和分类解释文件系统的结构和文件操作的重要性8.2 文件打开与关闭讲解文件打开和关闭的函数和方法演示如何正确打开和关闭文件8.3 文件读写操作介绍文件读写操作的函数和方法演示如何读写文件内容第九章：预处理指令9.1 预处理概述介绍预处理的概念和作用解释预处理器指令的作用和特点9.2 常见预处理指令讲解宏定义、文件包含、条件编译等预处理指令的使用方法演示预处理指令在实际编程中的应用第十章：C语言编程实例10.1 实例一：计算器程序分析用户需求和功能模块编写计算器程序的代码调试和测试程序的正确性10.2 实例二：图书管理系统分析系统需求和功能模块编写图书管理系统的主要功能代码调试和测试系统的稳定性和性能第十一章：标准库函数11.1 标准输入输出库介绍标准输入输出库的功能和常用函数演示如何使用printf和scanf函数进行输入输出操作11.2 字符串处理库讲解字符串处理库的功能和常用函数演示如何使用strlen、strcpy、strcat等函数处理字符串11.3 数学计算库介绍数学计算库的功能和常用函数演示如何使用sqrt、pow、sin、cos等函数进行数学计算第十二章：标准模板库（STL）12.1 STL概述介绍STL的概念和作用强调STL在C++中的地位和重要性12.2 常用STL容器讲解STL中的常用容器，如vector、list、map等演示如何使用这些容器存储和操作数据12.3 STL算法介绍STL中的常用算法，如排序、查找、替换等演示如何使用这些算法处理数据第十三章：面向对象编程（OOP）13.1 面向对象编程概述介绍面向对象编程的概念和特点解释面向对象编程与面向过程编程的区别13.2 类和对象讲解类的定义和声明演示如何创建和使用对象13.3 继承和多态介绍继承的概念和实现方式讲解多态的原理和应用第十四章：C语言高级话题14.1 动态规划介绍动态规划的概念和应用演示如何使用动态规划解决实际问题14.2 数据结构介绍数据结构的概念和分类讲解栈、队列、链表等数据结构的使用和实现14.3 算法设计与分析介绍算法设计和分析的方法讲解常见的算法优化和效率提升技巧第十五章：项目实践15.1 项目需求分析分析实际项目的需求和功能模块确定项目的目标和预期结果15.2 项目设计和实现设计项目的结构和主要功能编写项目的代码并实现各个功能模块15.3 项目测试和优化测试项目的功能和性能根据测试结果进行项目的优化和调整重点和难点解析C语言的历史和发展、特点和应用场景基本数据类型、变量和常量的声明和使用运算符和表达式的优先级和结合性控制语句的顺序结构、选择结构和循环结构数组和字符串的声明、初始化和使用函数的定义、声明、参数传递和返回值指针的概念、声明、赋值和取值操作结构体和联合体的定义、使用和内存分配动态内存分配的概念、原理和常用函数文件操作的基本概念、函数和方法预处理指令的作用和特点标准库函数的使用和功能标准模板库（STL）的概念、容器和算法面向对象编程（OOP）的基本概念和特点继承和多态的原理和应用动态规划的概念和应用数据结构的使用和实现算法设计和分析的方法和技巧项目实践的需求分析、设计和实现、测试和优化指针的复杂操作和内存管理结构体和联合体的内存分配和使用动态内存分配的原理和错误处理文件操作的细节和错误处理预处理指令的复杂性和使用场景STL容器和算法的理解和应用OOP的概念和面向对象编程的实践继承和多态的实现和应用动态规划和数据结构的算法设计算法设计和分析的技巧和优化项目实践的设计和实现、测试和优化过程。
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414
基本的效率类型
•常量(1)、对数(logn)、线性 (n)、nlogn、平方(n2)、立 方(n3)、指数(2n)、阶乘(n!)
515
非递归算法的数学分析
Example 1：讨论下面这个算法（从n个元 素中查找最大元素问题）的效率。
•算法 MaxElement(A[0..n-1]
•//求给定数组中的最大元素 •//输入：实数数组A[0..n-1] •//输出：A中的最大元素
•maxval A[0] •for i 1 to n-1 do • if A[i] > maxval • maxval A[i] •return maxval
• 考虑： 1. 循环中的操作有比较和赋值，取
哪一个作为基本操作？ 2. 输入规模是多少？
•基本操作为：比较运算 •输入规模就是数组长度n •算法的效率为：
记为t(n) ∈ Θ(g(n))
•n2+3n+2∈Θ (n2) •n(n-1)/2∈Θ (n2) •4n2+5 ∈Θ (n2)
212
渐进符号的有用特性
定理 如果t1(n) ∈O(g1(n))并且t2(n) ∈O(g2(n))，则 t1(n)+ t2(n) ∈O(max{(g1(n), g2(n)})
99
符号O
定义1 对于足够大的n，t(n)的上界由g(n)的常数倍来确定 ，即：
•t(n) ≤ cg(n)，c为常数 记为t(n) ∈O(g(n))
•n ∈O(n2) •100n+5 ∈O(n2) •n(n-1)/2 ∈O(n2)
010
符号Ω
定义2 对于足够大的n，t(n)的下界由g(n)的常数倍来确定 ，即：
818
递归算法的数学分析
例：对于任意非负整数n，计算F(n)=n!的值。
•n(n-1)! , n>1
•F(n)= •1 •1
, n=1 ,n=0
•算法 F(n)
Example 3 两个n阶方阵乘法
•算法 MatrixMuti(A[0..n-1,0..n1],B[0..n-1,0..n-1])
•//根据定义计算两个n阶矩阵的乘积 •//输入：两个n阶矩阵 •//输出：矩阵C=AB
•for i0 to n-1 do • for j0 to n-1 do • C[i,j] 0.0 • for k 0 to n-1 do • C[i,j] = C[i,j] + A[i,k] * B [k,j] •return C
616
分析非递归算法效率的通用方案
1. 决定用那些参数作为输入规模的度量。 2. 找出算法的基本操作。 3. 检查基本操作的执行次数是否只依赖输入
规模。 4. 建立一个算法基本操作执行次数的求和表
达式。 5. 利用求和运算的标准公式和法则来建立一
个操作次数的闭合公式，或者至少确定它 的增长次数。
717
平均效率是指在“典型”或“随机”输入的情况下，算法 具有的行为（效率）。
摊销效率是指对于同样的数据结构执行多次操作， 然后分摊到每一次上。
88
渐进符号
算法效率的主要指标是基本操作次数的增 长次数。
为了对这些增长次数进行比较和归类，计 算机科学家们使用了3种符号：
O（读“O”）：上界 Ω（读”omega”）：下界 Θ（读”theta”）：近似
66
分析框架——增长次数
增长次数
小规模输入在运行时间上的差别不足以将高效的算法 和低效的算法区分开来。
•一个需要指数级操作次数的算法只能用来解决规模非常小的问题
77
分析框架——算法的最优、最差和平均效率
算法的最优、最差和平均效率
最差效率是指在输入规模为n时，算法在最坏情况下 的效率。
最优效率是指在输入规模为n是，算法在最优情况下 的效率。
Example 考虑下面算法的效率
Example 2 元素唯一性问题
算法 UniqueElements(A[0..n-1])
•//验证给定数组的元素是否全部唯一 •//输入：实数数组A[0..n-1] •//输出：如果唯一，返回True，否则False
•for i0 to n-2 do • for ji+1 to n-1 do • if A[i]=A[j] return False •return True
掌握算法中近似时间的表示、非递归、递归算法 的效率分析方法，了解算法的经验分析
44
分析框架——输入规模度量
输入规模度量
算法的时间效率和空间效率都用输入规模的函 数进行度量。
对于所有的算法，对于规模更大的输入都需要 运行更长的时间。
经常使用一个输入规模n为参数的函数来研究 算法的效率。
选择输入规模的合适量度，要受到所讨论算法 的操作细节影响。
对于符号Ω和Θ，该定理也成立。 该定理表明：当算法由两个连续执行部分
组成时，该算法的整体效率由具有较大增 长次数的那部分所决定。
313
利用极限比较增长次数
•前两种情况意味着t(n) ∈ O(g(n)) •后两种情况意味着t(n) ∈ Ω(g(n)) •第二种情况意味着t(n) ∈ Θ(g(n))
•t(n) ≥ cg(n)，c为常数
记为t(n) ∈ Ω(g(n))
•n3∈Ω (n2) •n(n+1)∈Ω (n2) •4n2+5 ∈Ω (n2)
111
符号Θ
定义3 对于足够大的n，t(n)的上界和下界由g(n)的常数倍 来确定，即：
•c2g(n) ≤ t(n) ≤ c1g(n)，c1,c2为常数
2第二章算法效率分析基础
22
算法效率分析基础
算法分析是对一个算法需要多少计算时间 和存储空间作定量的分析。
•Time is Important
•不是所有能计算的都有价值，不是所有有价值的都能被计算 ——阿尔伯特.爱因斯坦
33
教学Байду номын сангаас容
算法效率分析框架 算法效率的表示符号 非递归算法的效率分析 递归算法的效率分析 算法的经验分析 要求
55
分析框架——运行时间的度量单位
运行时间的度量单位
用算法的基本操作（算法中最重要的操作）的执行 次数来度量算法的时间效率。
基本操作通常是算法最内层循环中最费时的操作。 算法运行时间的估计：
•T(n) ≈ copC(n)
•n是该算法的输入规模 •cop是特定计算机上一个算法基本操作的执行时间 •C(n)是该算法需要执行的基本操作的次数