2020年湖北省武汉市高考数学模拟试卷(一)(4月份)(有答案解析)

()
A. 30
B. 40
C. 42
5. 如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M 为 CD
中点，则四面体 A-BC1M 的体积（）
A.
B.
C.
D.
D. 48
6. 已知实数 x、y 满足约束条件
A.
B. l
7. 已知 a＞0 且 a≠1，函数
值范围是（）
A. （1，+∞）
B. （0，1）
7.答案：D
解析：【分析】本题考查分段函数的应用，函数的单调性的判断，属于基础题．利用函数的单调性，列出不等式组，然后求解即可．【解答】
解：a＞0 且 a≠1，函数
在 R 上单调递增，
可得
，
解得 a∈（1，2]．故选 D．
8.答案：B
解析：解：在△ABC 中，∵由已知：sinAsinB+sinBsinC=1-cos2B， ∴sinAsinB+sinBsinC=2sin2B．再由正弦定理可得：ab+bc=2b2，即：a+c=2b， ∴两边平方，可得：4b2=a2+c2+2ac， ∵b2=ac， ∴4ac=a2+c2+2ac，整理可得：（a-c）=0，
1000
2000
（3'）根据男、女生成绩频率分布直方图，对他们的成绩的优劣进行比较．
附：
P（K2≥K）
0.050
0.010
0.001
K
3.841
6.635
10.828
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K2=
，其中，n=a+b+c+d
20. 已知椭圆 Γ： =1（a＞b＞0）左顶点 M（-2，0），离心率为．
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19. 2019 年，在庆祝中华人民共和国成立 70 周年之际，又迎来了以“创军人荣耀，筑世界和平”为宗旨的第七届世界军人运动会．据悉，这次军运会将于 2019 年 10 月 18 日至 27 日在美丽的江城武汉举行，届时将有来自全世界 100 多个国家和地区的近万名军人运动员参赛．相对于奥运会、亚运会等大型综合赛事，军运会或许对很多人来说还很陌生．为此，武汉某高校为了在学生中更广泛的推介普及军运会相关知识内容，特在网络上组织了一次“我所知晓的武汉军运会”知识问答比赛，为便于对答卷进行对比研究，组委会抽取了 1000 名男生和 1000 名女生的答卷，他们的考试成绩频率分布直方图如下：（注：问卷满分为 100．分，成绩≥80．的试卷为“优秀”等级．）
22. 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，
曲线 C1：
，C2：
．
（Ⅰ）求曲线 C1，C2 的直角坐标方程；（Ⅱ）曲线 C1 和 C2 的交点为 M，N，求以 MN 为直径的圆与 y 轴的交点坐标．
23. 已知函数 f（x）=|2x+1|+|x-1|．（Ⅰ）求不等式 f（x）≥3 的解集；（Ⅱ）若直线 y=x+a 与 y=f（x）的图象所围成的多边形面积为，求实数 a 的值．
=-8，又| |cosθ=-2，所以| |≥2，则
=
=
=10，得解．
本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．
12.答案：C
解析：解：y'=12x3-6x2-18x， y'|x=1=12×13-6×12-18×1=-12，而切点的坐标为（1，-4） ∴曲线 y=3x4-2x3-9x2+4 在 x=1 的处的切线方程为：y+4=-12（x-1），即 12x+y-8=0；
（1）求椭圆 Γ 的方程；
（2）过 N（1，0）的直线 AB 交椭圆 Γ 于 A、B 两点，当
取得最大值时，求
△MAB 面积．
21. 已知函数 f（x）=（x-1）lnx+ax．（a∈R）（1）在 a=0 时，求 f（x）的单调区间；（2）若 f（x）＞0 在（0，+∞）上恒成立，求实数 a 的范围．
，则目标函数 z=y-x 的最小值为（）
C. 2
D. -1
在 R 上单调递增，那么实数 a 的取
C. （1，2）
D. （1，2]
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8. 在△ABC 中，角 A，B，c 的对边分别为 a，b，c，且 b2=ac，sinAsinB+sinBsinC=1-cos2B，则角 A=（）
6.答案：D
解析：解：变量 x，y 满足约束条件的可行域如图：目标函数 z=y-x 与直线 x-y-1=0 重合时，z 取得最小值；
由
解得 C（-5，-6），由
，
解 A（1，0），目标函数 z=y-x 经过为可行域的 A 时，取得最小值：-1．故目标函数 z=y-x 的最小值是-1，故选：D．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可．本题考查线性规划的简单应用，考查转化思想以及计算能力．
A. 10
B. 12
C. 16
D. 20
11. 已知向量，满足| |=4，在上投影为-2，则
的最小值为（）
A. 12
B. 10
C.
D. 2
12. 设曲线 C：y=3x4-2x3-9x2+4，在曲线 C 上一点 M（1，-4）处的切线记为 l，则切线
l 与曲线 C 的公共点个数为（）
A. 1
可得 A= ．
本题主要考查等差数列的定义和性质，二倍角公式、余弦定理的应用，考查了计算能力查了双曲线的应用，圆锥曲线与直线的关系，弦长公式等．考查了学生综合分析和推理的能力．设出直线 AB 的方程与双曲线方程联立消去 y，设两实根为 x1，x2，利用韦达定理可表示出 x1+x2 的值，根据 P 点坐标求得 x1+x2=8 进而求得 k，则直线 AB 的方程可得；利用弦长公式求得|AB|．【解答】解：易知直线 AB 不与 y 轴平行，设其方程为 y-2=k（x-4）
代入双曲线 C：
，整理得（1-2k2）x2+8k（2k-1）x-32k2+32k-10=0
设此方程两实根为 x1，x2，则 x1+x2=
又 P（4，2）为 AB 的中点，
所以
=8，
解得 k=1 当 k=1 时，直线与双曲线相交，即上述二次方程的△＞0，所求直线 AB 的方程为 y-2=x-4 化成一般式为 x-y-2=0．x1+x2=8，x1x2=10
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 函数 f（x）=ln 的值域为______
14. 已知函数 y=2sin（2x+φ）（-
）的图象关于直线 x= 对称，则 φ 的值为______．
15. 将一个表面积为 100π 的木质球削成一个体积最大的圆柱，则该圆柱的高为______． 16. 已知点 M（0，2），过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线 AB 交抛物线于 A，B 两点，
联立
，解得：
或
或
．
故切线与曲线 C 还有其他的公共点：（-2，32），（，0）．
∴切线 l 与曲线 C 的公共点个数为 3．故选：C．根据导数的几何意义求出函数在 x=1 处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程，再与原曲线联立求解得答案．本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力和方程思想，是中档题．
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1.答案：A
-------- 答案与解析 --------
解析：解：∵集合 A={x|lgx＜1}={x|0＜x＜10}，B={0，l，2}， ∴A∩B={1，2}．故选：A．先求出集合 A 和 B，利用交集定义能求出 A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
B. 1+2i
C. 2+2i
D. -1+2i
3. 若角 α 满足 =5，则
=（）
A.
B.
C. 5 或
D. 5
4. 某学校为了了解本校学生的上学方式,在全校范围内随机抽查部分学生,了解到上学方式主要有：A 结伴步行,B 自行乘车,C 家人接送,D 其他方式,并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图,请根据图中信息,求本次抽查的学生中 A 类人数是
故选择 A 方式的人数为 120-42-30-18=30 人．故选：A．
5.答案：C
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解析：解：在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，∵M 为 CD 中点，
∴
，
∴
．
故选：C．求出△BC1M 的面积，再由等体积法求四面体 A-BC1M 的体积．本题考查利用等积法求多面体的体积，是基础题．
13.答案：（-∞，0）∪（0，+∞）
若∠AMF= ，则点 B 坐标为______．
三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17. 已知正项等比数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 S2+4S4=S6，a1=1．
（1）求数列{an}公比 q；（2）令 bn=an-15，求 T=|b1|+|b2|+…+|b10|的值．
18. 如图，在四棱锥 P-ABC 中，底面 ABCD 是边长为 1 的菱形，∠DAB= ，面 PAD⊥面 ABCD，PA=PD= （1）证明：PB⊥BC；（2）求点 A 到平面 PBC 的距离．
2.答案：B
解析：解：∵
，

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2020年湖北省高考(理科)数学(4月份)模拟试卷含解析

2020年高考数学（4月份）模拟试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知实数集R，集合A＝{x|﹣1＜x＜5}，集合B ＝，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|﹣1＜x≤2}B．{x|x＞﹣1}C．{x|﹣1＜x≤0}D．{x|0≤x＜5} 2．已知z∈C ，若，则z＝（）A ．B ．C ．D ．3．若（1﹣2x）2020＝a0+a1x+a2x2+…+a2020x2020，则a1+a2+a3+…+a2020＝（）A．0B．1C．﹣1D．24．中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷（guǐ）影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中寸表示115寸分（1寸＝10分）．节气冬至小寒（大雪）大寒（小雪）立春（立冬）雨水（霜降）惊蛰（寒露）春分（秋分）清明（白露）谷雨（处暑）立夏（立秋）小满（大暑）芒种（小暑）夏至晷影长（寸）135125115.1105.295.375.566.545.735.825.916.已知《易经》中记录某年的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，按照上述规律那么《易经》中所记录的春分的晷影长应为（）A．91.6寸B．82.0寸C．81.4寸D．72.4寸5．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征．如函数的图象大致为（）A．B．C．D．6．已知，则（）A．y＜x＜z B．z＜y＜x C．z＜x＜y D．y＜z＜x7．设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，则“|q|＝1”是“S6＝3S2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．如图，在平行四边形ABCD中，DE＝EC，F为BC的中点，G为EF上的一点，且，则实数m的值为（）A．B．C．D．9．已知函数f（x）＝，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2）成立，则实数a的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，3）D．（﹣∞，3] 10．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A、B两点，若以F1F2为直径的圆过点B，且A为F1B的中点，则C的离心率为（）A．B．2C．D．11．一竖立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为2m，一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到P点，蚂蚁爬行的最短路径为m，则圆锥的底面圆半径为（）A．m B．1m C．m D．m12．已知函数f（x）＝cos（ωx）（ω＞0），x1，x2，x3∈[0，π]，且∀x∈[0，π]都有f （x1）≤f（x）≤f（x2），满足f（x3）＝0的实数x3有且只有3个，给出下述四个结论：①满足题目条件的实数x1有且只有1个；②满足题目条件的实数x2有且只有1个；③f（x）在（0，）上单调递增；④ω的取值范围是[）．其中所有正确结论的编号是（）A．①④B．②③C．①②③D．①③④二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．设曲线y＝e x+1上点P处的切线平行于直线x﹣y﹣1＝0，则点P的坐标是．14．某学校选拔新生补进“篮球”、“电子竞技”、“国学”三个社团，根据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2019年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校“篮球”、“电子竞技”、“国学”三个社团的概率依次为m，，n，已知这三个社团他都能进入得慨率为，至少进入一个社团的概率为，则m+n ＝．15．自湖北爆发新型冠状病毒肺炎疫情以来，湖北某市医护人员和医疗、生活物资严重匮乏，全国各地纷纷驰援．某运输队接到从武汉送往该市物资的任务，该运输队有8辆载重为6t的A型卡车，6辆载重为10t的B型卡车，10名驾驶员，要求此运输队每天至少运送240t物资．已知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车5次，B型卡车4次，每辆卡车每天往返的成本A型卡车1200元，B型卡车1800元，则每天派出运输队所花的成本最低为．16．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆上异于长轴端点的动点，△MF1F2的内心为I，则＝．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且满．（1）求角B的值；（2）若，求的取值范围，18．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，侧面SCD为钝角三角形且垂直于底面ABCD，CD＝SD，点M是SA的中点，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝AD＝BC．（1）求证：BD⊥平面SCD；（2）若直线SD与底面ABCD所成的角为60°，求平面MBD与平面SBC所成的锐二面角的余弦值．19．线段AB为圆M：x2+y2+2x﹣10y+6＝0的一条直径，其端点A，B在抛物线C：x2＝2py （p＞0）上，且A，B两点到抛物线C焦点的距离之和为11．（1）求抛物线C的方程及直径AB所在的直线方程；（2）过M点的直线l交抛物线C于P，Q两点，抛物线C在P，Q处的切线相交于N 点，求△PQN面积的取值范围．20．已知函数f（x）＝x2+πcos x．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣a在（0，+∞）上有两个零点x1，x2，且x1＜x2，求证：x1+x2＜π．21．2020年春节期间爆发的新型冠状病毒（2019﹣nCoV），是一种可以借助飞沫和接触传播的变异病毒．某定点医院为筛查某些人是否感染该病毒，需要检验血液是否为阳性，现有n份血液样本，有以下两种检验方式：（a）逐份检验，则需要检验n次；（b）混合检验，将其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k+1次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（0＜p＜1）．（1）假设有6份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；（2）现取其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为ξ2．（i）试运用概率统计的知识，若Eξ1＝Eξ2，试求p关于k的函数关系式p＝f（k）；（ii）若，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更小，求k的最大值．参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln5≈1.6094，In7≈1.9459（二）选考题：共10分．请考生在22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的极坐标方程以及曲线C2的直角坐标方程；（2）若直线l：y＝kx与曲线C1、曲线C2在第一象限交于P、Q，且|OQ|＝|PQ|，点M 的直角坐标为（1，0），求△PMQ的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知实数a、b满足a2+b2﹣ab＝3．（1）求a﹣b的取值范围；（2）若ab＞0，求证：++≥．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知实数集R，集合A＝{x|﹣1＜x＜5}，集合B＝，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|﹣1＜x≤2}B．{x|x＞﹣1}C．{x|﹣1＜x≤0}D．{x|0≤x＜5}【分析】可以求出集合B，然后进行交集和补集的运算即可．解：∵A＝{x|﹣1＜x＜5}，B＝{y|y＞0}，∴∁R B＝{y|y≤0}，A∩（∁R B）＝{x|﹣1＜x≤0}．故选：C．2．已知z∈C，若，则z＝（）A．B．C．D．【分析】设z＝a+bi（a，b∈R）．由，可得﹣（a﹣bi）＝1+2i，﹣a＝1，b＝2，解得b，a．解：设z＝a+bi（a，b∈R）．∵，∴﹣（a﹣bi）＝1+2i，∴﹣a＝1，b＝2，解得b＝2，a＝．则z＝+2i，故选：B．3．若（1﹣2x）2020＝a0+a1x+a2x2+…+a2020x2020，则a1+a2+a3+…+a2020＝（）A．0B．1C．﹣1D．2【分析】令x＝0求得a0，再令x＝1即可求解结论．解：因为：（1﹣2x）2020＝a0+a1x+a2x2+…+a2020x2020，令x＝0可得：1＝a0；令x＝1可得：a0+a1+a2+a3+…+a2020＝（1﹣2×1）2020＝1；故a1+a2+a3+…+a2020＝1﹣1＝0．故选：A．4．中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷（guǐ）影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中寸表示115寸分（1寸＝10分）．节气冬至小寒（大雪）大寒（小雪）立春（立冬）雨水（霜降）惊蛰（寒露）春分（秋分）清明（白露）谷雨（处暑）立夏（立秋）小满（大暑）芒种（小暑）夏至晷影长（寸）135125115.1105.295.375.566.545.735.825.916.已知《易经》中记录某年的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，按照上述规律那么《易经》中所记录的春分的晷影长应为（）A．91.6寸B．82.0寸C．81.4寸D．72.4寸【分析】由题意，晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的，冬至晷影长为130.0寸，设为a1＝130，夏至晷影长为14.8寸，则为a13＝14.8，春分的晷影长为a7，根据等差数列的性质即可求解．解：由题意，晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的，冬至晷影长为130.0寸，设为a1＝130，夏至晷影长为14.8寸，则为a13＝14.8，春分的晷影长为2a7＝a1+a13；∴a7＝72.4；即春分的晷影长为72.4．故选：D．5．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征．如函数的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，设f（x）＝，分析函数的奇偶性可以排除A、D，结合复合函数单调性的判断方法分析可得函数y＝f（x）为增函数，排除C；即可得答案．解：根据题意，设f（x）＝，有f（﹣x）＝f（x），即函数f（x）为偶函数，排除A、D；设t＝cos x，则y＝﹣2t2+t+1，在区间[0，]上，t＝cos x为减函数，且0≤t≤1，y＝﹣2t2+t+1，其对称轴为t＝，开口向下，在区间（﹣∞，）上为增函数，（，+∞）上为减函数，在区间（0，arccos）上，t＝cos x为减函数，此时＜t＜1，函数y＝﹣2t2+t+1为减函数，故函数y＝f（x）为增函数，排除C；故选：B．6．已知，则（）A．y＜x＜z B．z＜y＜x C．z＜x＜y D．y＜z＜x【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．解：∵20.1＞20＝1，∴x＞1，∵，∴0 ，∴0 ，∵，∴，∴y＜z＜x，故选：D．7．设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，则“|q|＝1”是“S6＝3S2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据等比数列的前n项和为S n．结合充分条件和必要条件的定义进行判断．解：若q＝1时，S6＝6a1＝3S2＝3•2a1＝6a1，q＝﹣1时，S6＝3S2＝0，符合题意，是充分条件；反之也成立，故“|q|＝1”是“S6＝3S2”的充要条件，故选：C．8．如图，在平行四边形ABCD中，DE＝EC，F为BC的中点，G为EF上的一点，且，则实数m的值为（）A．B．C．D．【分析】可根据条件得出，并可设，然后根据向量加法的几何意义和向量的数乘运算即可得出＝，从而根据平面向量基本定理即可得出，解出m即可．解：∵，F为BC的中点，∴，，设＝＝＝，又，∴，解得m＝．故选：A．9．已知函数f（x）＝，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2）成立，则实数a的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，3）D．（﹣∞，3]【分析】当＜1，即a＜2时，由二次函数的图象和性质，可知存在x1，x2∈（﹣∞，1]且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2）成立；当≥1，即a≥2时，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2）成立，则﹣1+a＞3a﹣7，由此能求出实数a的取值范围．解：函数f（x）＝，存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2）成立，当＜1，即a＜2时，由二次函数的图象和性质，可知：存在x1，x2∈（﹣∞，1]且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2）成立，当≥1，即a≥2时，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2）成立，则﹣1+a＞3a﹣7，解得a＜3，∴2≤a＜3，综上所述：实数a的取值范围是（﹣∞，3）．故选：C．10．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A、B两点，若以F1F2为直径的圆过点B，且A为F1B的中点，则C的离心率为（）A．B．2C．D．【分析】由题意画出图形，结合已知可得F1B⊥OA，写出F1B的方程，与y＝联立求得B点坐标，再由斜边的中线等于斜边的一半求解．解：如图，因为A为F1B的中点，所以，又因为B在圆上，所以＝0，故OA⊥F1B，则F1B：y＝（x+c），联立，解得B（，），则OB2＝（）2+（）2＝c2，整理得：b2＝3a2，∴c2﹣a2＝3a2，即4a2＝c2，∴＝4，e＝＝2．故选：B．11．一竖立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为2m，一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到P点，蚂蚁爬行的最短路径为m，则圆锥的底面圆半径为（）A．m B．1m C．m D．m【分析】由题意画出图形，沿母线SP剪开再展开，由圆锥的底面周长等于展开后扇形的弧长相等列式求解．解：如图，在圆锥SO中，已知SP＝2，沿SP剪开再展开，由题意可得PP′＝，可得∠PSP′＝．设圆锥的底面圆半径为r，则2πr＝，得r＝m．故选：A．12．已知函数f（x）＝cos（ωx）（ω＞0），x1，x2，x3∈[0，π]，且∀x∈[0，π]都有f （x1）≤f（x）≤f（x2），满足f（x3）＝0的实数x3有且只有3个，给出下述四个结论：①满足题目条件的实数x1有且只有1个；②满足题目条件的实数x2有且只有1个；③f（x）在（0，）上单调递增；④ω的取值范围是[）．其中所有正确结论的编号是（）A．①④B．②③C．①②③D．①③④【分析】由f（x）＝0，解方程，讨论k＝﹣1，0，1，2，由题意可得ω的取值范围，可判断④；由x∈（0，），可得ωx的范围，结合余弦函数的单调区间，可判断③；再由题意可得f（x）的极大值为f（x2），极小值为f（x1），结合余弦函数的图象可判断①、②．解：函数f（x）＝cos（ωx）（ω＞0），x1，x2，x3∈[0，π]，满足f（x3）＝0的实数x3有且只有3个，由cos（ωx）＝0，可得ωx＝kπ+，k∈Z，由k＝0可得x＝；k＝﹣1可得x＝；k＝1可得x＝；k＝2可得x＝，由x3∈[0，π]，可得＞π，且≤π，解得≤ω＜；故④正确；由x∈（0，），可得ωx∈（﹣，﹣），由≤ω＜，可得﹣∈（﹣，﹣），由y＝cos x在（﹣π，0）递增，可得f（x）在（0，）上单调递增，故③正确；由∀x∈[0，π]都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），可得f（x）的极大值为f（x2），极小值为f（x1），由y＝cos x的图象可得f（x）在[0，π]的极大值有两个，极小值一个，故①正确，②错误．其中正确的为①③④．故选：D．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．设曲线y＝e x+1上点P处的切线平行于直线x﹣y﹣1＝0，则点P的坐标是（0，2）．【分析】先对函数求导数，然后根据切点处的导数值等于切线斜率，列出切点横坐标满足的方程即可．解：由题意得y′＝e x，且切线斜率为1．设切点为P（x，y），则e x＝1，所以x＝0，∴y＝e0+1＝2．故切点坐标为（0，2）．故答案为：（0，2）14．某学校选拔新生补进“篮球”、“电子竞技”、“国学”三个社团，根据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2019年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校“篮球”、“电子竞技”、“国学”三个社团的概率依次为m，，n，已知这三个社团他都能进入得慨率为，至少进入一个社团的概率为，则m+n＝．【分析】利用相互独立事件及对立事件的概率公式求解．解：因为通过考核选拔进入三个社团的概率依次为m，，n，且相互独立，所以0≤m≤1，0≤n≤1，又因为三个社团他都能进入的概率为，所以①，因为至少进入一个社团的概率为，所以一个社团都不能进入的概率为1＝，所以（1﹣m）（1﹣n）＝，即1﹣m﹣n+mn＝②，联立①②得：m+n＝．故答案为：．15．自湖北爆发新型冠状病毒肺炎疫情以来，湖北某市医护人员和医疗、生活物资严重匮乏，全国各地纷纷驰援．某运输队接到从武汉送往该市物资的任务，该运输队有8辆载重为6t的A型卡车，6辆载重为10t的B型卡车，10名驾驶员，要求此运输队每天至少运送240t物资．已知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车5次，B型卡车4次，每辆卡车每天往返的成本A型卡车1200元，B型卡车1800元，则每天派出运输队所花的成本最低为9600．【分析】设每天派出A型卡车x辆，B型卡车y辆，运输队所花成本为z元，根据题意把实际问题数学化，列出需要满足的不等式组，注意x∈N，y∈N，把运输队所花成本z 看作目标函数，画出可行域，根据目标函数平移得到最值的取法．解：设每天派出A型卡车x辆，B型卡车y辆，运输队所花成本为z元，则，且x∈N，y∈N，目标函数z＝1200x+1800y，画出满足条件的可行域如图中阴影部分所示：由图可知，当直线z＝240x+378y经过点B（8，0）时，截距z最小，∵在可行域的整数点中，点（8，0）使z取得最小值，即z min＝1200×8+1800×0＝9600，∴每天排除A型卡车8辆，B型卡车0辆，运输队所花的成本最低，最低成本为9600元，答：每天派出A型卡车8辆，B型卡车0辆，运输队所花的成本最低，最低成本为9600元．16．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆上异于长轴端点的动点，△MF1F2的内心为I，则＝﹣1．【分析】运用椭圆的定义和圆切线的性质，以及内心的定义，结合解直角三角形的知识，即可求得．解：设△MF1F2的内切圆与△MF1F2相切于D，E，F，设MD＝u，DF1＝v，FF2＝t，则MD＝MF＝u，DF1＝EF1＝v，EF2＝FF2＝t，由椭圆的定义，可得，MF1+MF2＝2a＝2，F1F2＝2c＝2，即有2u+v+t＝2，v+t＝2，即有：2u＝2﹣2，即u＝﹣1，再由＝|MI|cosθ＝|MF|＝u＝﹣1，故答案为：﹣1．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且满．（1）求角B的值；（2）若，求的取值范围，【分析】（1）由已知利用三角函数恒等变换的应用可求cos B＝±，结合范围B∈（0，π），可求B的值．（2）由，可求得B＝，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求a﹣c ＝sin（A﹣），由已知可求范围≤A﹣＜，利用正弦函数的性质即可求解其取值范围．解：（1）∵＝2（cos A+sin A）（cos A+sin A）＝2（cos2A﹣sin2A）＝×﹣＝+cos2A，∴解得cos2B＝﹣，可得2cos2B﹣1＝﹣，∴可得cos2B＝，∴cos B＝±，∵B∈（0，π），∴B＝或．（2）∵，∴由（1）可得B＝，由正弦定理＝＝2，可得a＝2sin A，c ＝2sin C，∴a﹣c＝2sin A﹣sin C＝2sin A﹣sin（﹣A）＝2sin A﹣sin cos A+cos sin A＝sin A﹣cos A＝sin（A﹣），∵b≤a，∴≤A＜，≤A﹣＜，∴a﹣c∈[，）．18．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，侧面SCD为钝角三角形且垂直于底面ABCD，CD＝SD，点M是SA的中点，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝AD＝BC．（1）求证：BD⊥平面SCD；（2）若直线SD与底面ABCD所成的角为60°，求平面MBD与平面SBC所成的锐二面角的余弦值．【分析】（1）取BC中点E，连接DE，设AB＝AD＝a，BC＝2a，由已知可得BD2+CD2＝BC2，则BD⊥CD，又平面SCD⊥底面ABCD，由面面垂直的性质可得BD⊥平面SCD；（2）过点S作CD的垂线，交CD延长线于点H，连接AH，可得SH⊥CD，则SH⊥底面ABCD，故DH为斜线SD在底面ABCD内的射影，求解三角形可得AH2+DH2＝AD2，从而∠AHD＝90°，过点D作DF∥SH，则DF⊥底面ABCD，可得DB、DC、DF两两垂直，以点D为坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向建立空间直角坐标系，然后分别求出平面BMD与平面SBC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面MBD与平面SBC所成的锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：取BC的中点E，连接DE，设AB＝AD＝a，BC＝2a，依题意，四边形ABED为正方形，且有BE＝DE＝CE＝a，BD＝CD＝，∴BD2+CD2＝BC2，则BD⊥CD．又平面SCD⊥底面ABCD，平面SCD⊥底面ABCD＝CD，∴BD⊥平面SCD；（2）解：过点S作CD的垂线，交CD延长线于点H，连接AH，∵平面SCD⊥底面ABCD，平面SCD∩底面ABCD＝CD，SH⊥CD，SH⊂平面SCD，∴SH⊥底面ABCD，故DH为斜线SD在底面ABCD内的射影，∠SDH为斜线SD与底面ABCD所成的角，即∠SDH＝60°．由（1）得，SD＝a，∴在Rt△SHD中，SD＝a，DH＝a，SH＝a，在△ADH中，∠ADH＝45°，AD＝a，DH＝a，由余弦定理得AH＝，∴AH2+DH2＝AD2，从而∠AHD＝90°，过点D作DF∥SH，∴DF⊥底面ABCD，∴DB、DC、DF两两垂直，如图，以点D为坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向建立空间直角坐标系，则B（a，0，0），C（0，a，0），S（0，﹣a，a），A（a，﹣a，0），M（a，﹣a，a），设平面MBD的法向量＝（x，y，z），由，取z＝1，得＝（0，，1）；设平面SBC的一个法向量为，由，取x1＝1，得．∴cos＜＞＝＝＝．∴平面MBD与平面SBC所成的锐二面角的余弦值为．19．线段AB为圆M：x2+y2+2x﹣10y+6＝0的一条直径，其端点A，B在抛物线C：x2＝2py （p＞0）上，且A，B两点到抛物线C焦点的距离之和为11．（1）求抛物线C的方程及直径AB所在的直线方程；（2）过M点的直线l交抛物线C于P，Q两点，抛物线C在P，Q处的切线相交于N 点，求△PQN面积的取值范围．【分析】（1）利用抛物线的定义可求出p＝1，再利用点差法求出直线AB的斜率，结合直线AB过圆心M，利用点斜式即可求出直线AB的方程：（2）不妨设P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），直线l的方程为y＝k（x+1）+5，与抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式可求出|PQ|，再利用导数的几何意义求出抛物线C在P（x1，y1）的切线方程，把点N（x0，y0）代入切线PN的方程得，同理可得：，故x1，x2为一元二次方程x2﹣2x0x+2y0＝0的两根，再次利用韦达定理得x0＝k，y0＝﹣k﹣5，所以点N到直线PQ 的距离d＝，所以S△PQN＝＝，故当k＝﹣1时，△PQN的面积取得最小值，最小值为27，解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），抛物线的焦点为F，则|AF|+|BF|＝y1+y2+p，又y1+y2＝10，∴10+p＝11，∴p＝1，∴抛物线C的方程为：x2＝2y，由，两式相减得：＝＝﹣1，∴直线AB的斜率为﹣1，圆M方程：x2+y2+2x﹣10y+6＝0化为坐标方程为：（x+1）2+（y﹣5）2＝20，∴直线AB过圆心（﹣1，5），∴直线AB的方程为：y﹣5＝﹣（x+1），即x+y﹣4＝0；（2）不妨设P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），直线l的方程为y＝k（x+1）+5，联立方程，消去y得：x2﹣2kx﹣2k﹣10＝0，∴x1+x2＝2k，x1x2＝﹣2k﹣10，∴|PQ|＝＝2，∵抛物线C的方程为x2＝2y，∴，∴y'＝x，∴抛物线C在P（x1，y1）的切线方程为：y﹣y1＝x1（x﹣x1），又∵点N（x0，y0）在切线PN上，则y0﹣y1＝x1（x0﹣x1），即，同理可得：，故x1，x2为一元二次方程x2﹣2x0x+2y0＝0的两根，∴x1+x2＝2x0，x1x2＝2y0，又x1+x2＝2k，x1x2＝﹣2k﹣10，∴x0＝k，y0＝﹣k﹣5，∴点N到直线PQ的距离d＝＝＝，∴S△PQN＝＝2×＝＝，∴当k＝﹣1时，△PQN的面积取得最小值，最小值为27，∴△PQN面积的取值范围为：[27，+∞）．20．已知函数f（x）＝x2+πcos x．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣a在（0，+∞）上有两个零点x1，x2，且x1＜x2，求证：x1+x2＜π．【分析】（1）由于函数f（x）为偶函数，故只需求x∈[0，+∞）时f（x）的最小值，利用f′（x）＝2x﹣πsin x，对x分x∈（0，）及x∈（，+∞），两类讨论，即可求得函数f（x）的最小值；（2）只需证＜，其中x1∈（0，），x2∈（，+∞），构造函数F（x）＝f（x）﹣f（π﹣x），x∈（0，），利用导数结合题意可证得x1+x2＜π．解：（1）由于函数f（x）＝x2+πcos x为偶函数，要求函数f（x）的最小值，只需求x∈[0，+∞）时f（x）的最小值即可．因为f′（x）＝2x﹣πsin x，所以，当x∈（0，）时，设h（x）＝2x﹣πsin x，h′（x）＝2﹣πcos x，显然h′（x）单调递增，而h′（0）＜0，h′（）＞0，由零点存在定理，存在唯一的x0∈（0，），使得h′（x0）＝0，…2分当x∈（0，x0），h′（x）＜0，h（x）单减，当x∈（x0，），h′（x）＞0，h（x）单增，而h（0）＝0，h（）＝0，x∈（0，），h（x）＜0，即x∈（0，），f′（x）＜0，f（x）单减，…4分又当x∈（，+∞），2x＞π＞πsin x，f′（x）＞0，f（x）单增，所以f（x）min＝f（）＝；…5分（2）只需证＜，其中x1∈（0，），x2∈（，+∞），构造函数F（x）＝f（x）﹣f（π﹣x），x∈（0，），F′（x）＝f′（x）+f′（π﹣x）＝2π﹣2πsin x＞0，即F（x）单增，所以，F（x）＜F（）＝0，即当x∈（0，）时，f（x）＜f（π﹣x），而x1∈（0，），所以，f（x1）＜f（π﹣x1），又f（x1）＝f（x2），即f（x2）＜f（π﹣x1），此时x2，π﹣x2∈（，+∞），由第（1）问可知，f（x）在（，+∞）上单增，所以，x2＜π﹣x1，x1+x2＜π，即证…12分21．2020年春节期间爆发的新型冠状病毒（2019﹣nCoV），是一种可以借助飞沫和接触传播的变异病毒．某定点医院为筛查某些人是否感染该病毒，需要检验血液是否为阳性，现有n份血液样本，有以下两种检验方式：（a）逐份检验，则需要检验n次；（b）混合检验，将其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k+1次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（0＜p＜1）．（1）假设有6份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；（2）现取其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为ξ2．（i）试运用概率统计的知识，若Eξ1＝Eξ2，试求p关于k的函数关系式p＝f（k）；（ii）若，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更小，求k的最大值．参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln5≈1.6094，In7≈1.9459【分析】（1）设恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的事件为A，求出概率即可；（2）（i）由已知得Eξ1＝k，ξ2可能的取值为1，k+1，由Eξ1＝Eξ2，求出k的关系式即可；（ii）由题意Eξ1＜Eξ2，所以，两边取对数得lnk＞，设g （x）＝lnx﹣，x≥2，根据函数的单调性结合题目给的条件判断即可．解：（1）设恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的事件为A，则P（A）＝，故恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为；（2）（i）由已知得Eξ1＝k，ξ2可能的取值为1，k+1，所以P（ξ2＝1）＝（1﹣p）k，P（ξ2＝k+1）＝1﹣（1﹣p）k，所以Eξ2＝（1﹣p）k+（k+1）[1﹣（1﹣p）k]＝k+1﹣k（1﹣p）k，由Eξ1＝Eξ2，所以k＝k+1﹣k（1﹣p）k，即1＝k（1﹣p）k，（1﹣p），得p＝1﹣，故p关于k的函数关系式为f（k）＝1﹣，（k∈N*，且k≥2）；（ii）由题意Eξ1＜Eξ2，所以k＜k+1﹣k（1﹣p）k，，由，所以，两边取对数得lnk＞，设g（x）＝lnx﹣，x≥2，由g'（x）＝，当x＞4时，g'（x）＜0，函数递减，当2≤x≤4时，g'（x）＞0，函数递增；ln2≈0.6931＞，ln3≈1.0986，ln5≈1.6094＞，ln6≈1.7917，In7≈1.9459，ln8＝2ln3≈2.0793，ln9≈2.1972＜，故满足条件的k最大为8．（二）选考题：共10分．请考生在22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的极坐标方程以及曲线C2的直角坐标方程；（2）若直线l：y＝kx与曲线C1、曲线C2在第一象限交于P、Q，且|OQ|＝|PQ|，点M 的直角坐标为（1，0），求△PMQ的面积．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换的应用及面积公式的应用求出结果．解：（1）曲线C1的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为x2+y2﹣4x＝0，转换为极坐标方程为ρ＝4cosθ．曲线C2的极坐标方程为．转换为直角坐标方程为．（2）直线l：y＝kx转换为极坐标方程为θ＝θ0，代入，解得．代入ρ＝4cosθ，得到ρP＝4cosθ0，由于|OQ|＝|PQ|，所以ρP＝2ρQ，故：，解得，，所以，．则．[选修4-5：不等式选讲]23．已知实数a、b满足a2+b2﹣ab＝3．（1）求a﹣b的取值范围；（2）若ab＞0，求证：++≥．【分析】（1）由已知得a2+b2＝3+ab≥2|ab|．①当ab≥0时，3+ab≥2ab，解得ab≤3，即0≤ab≤3；②当ab＜0时，3+ab≥﹣2ab，解得ab≥﹣1，即﹣1≤ab＜0，得0≤3﹣ab≤4，即0≤（a﹣b）2≤4，即﹣2≤a﹣b≤2；（2）由（1）知0＜ab≤3，可得＝＝即．解：（1）因为a2+b2﹣ab＝3，所以a2+b2＝3+ab≥2|ab|．①当ab≥0时，3+ab≥2ab，解得ab≤3，即0≤ab≤3；②当ab＜0时，3+ab≥﹣2ab，解得ab≥﹣1，即﹣1≤ab＜0，所以﹣1≤ab≤3，则0≤3﹣ab≤4，而（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝3+ab﹣2ab＝3﹣ab，所以0≤（a﹣b）2≤4，即﹣2≤a﹣b≤2；（2）由（1）知0＜ab≤3，因为＝＝当且仅当ab＝2时取等号，所以．。

2020届湖北省武汉一中高三下学期4月高考模拟数学试题(解析版)

2020届湖北省武汉一中高三下学期4月高考模拟数学试题一、单选题1．已知集合{1,0,1}A =-，{|21,}B y y x x A ==-∈，则A B =（）A ．{1,0,1}-B ．{1,1}-C ．{0}D ．∅【答案】B【解析】用列举法表示集合B ，然后用集合交集的定义求出A B .【详解】因为{|21,}B y y x x A ==-∈，{1,0,1}A =-，所以{}3,1,1B =--，因此有{}1,1A B ⋂=-，故本题选B.【点睛】本题考查了用列举法表示集合，考查了集合的交集运算.用列举法表示集合B 是解题的关键.2．已知i 为虚数单位，则复数221z i i=-+的虚部是( ) A ．3i B ．iC ．3D ．1【答案】C【解析】根据复数的混合运算，对复数z 进行化简，再求其虚部即可. 【详解】因为221z i i =-+()()()2121311i i i i i -=-=-++-，故可得z 的虚部为3. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的混合运算，涉及复数虚部的辨析，属基础题.3．已知数列{}n a 为等差数列，前n 项和为n S ，且55a =则9S =（） A ．25 B ．90C ．50D ．45【答案】D【解析】根据等差数列的前n 项和公式和等差中项的概念，即可求出结果.因为数列{}n a 为等差数列且55a =，所以()199599=452a a S a +⨯==.故选：D. 【点睛】本题主要考查了等差数列的前n 项和公式和等差中项的概念的应用，属于基础题. 4．已知直线l ，m ，平面α、β、γ，给出下列命题： ①//l α，//l β，m αβ=，则//l m ；②//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥； ③αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥； ④l m ⊥，l α⊥，m β⊥，则αβ⊥. 其中正确的命题有（） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】利用线面平行的性质定理判断①；利用面面平行的性质定理和线面垂直的性质定理可判断②；若αγ⊥，βγ⊥，则α与β平行或相交，可判断③；利用面面垂直的判定定理可判断④. 【详解】①由线面平行的性质定理可知①正确； ②由面面平行的性质定理可知，αγ，因为m α⊥，所以m γ⊥，即②正确；③若αγ⊥，βγ⊥，则α与β平行或相交，即③错误； ④由面面垂直的判定定理可知④正确. 所以正确的命题有①②④，故选：C . 【点睛】本题主要考查点、线，面的位置关系，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.5．若a =，b =2，且（a b -）a ⊥，则a 与b 的夹角是 A ．6π B ．4π C ．3π D ．512π【解析】2()202a b a a a b a b a b -⊥=-⋅=-⋅=⇒⋅=,2cos ||2a b a b a b ⋅∴〈⋅〉===⋅所以a 与b 的夹角是4π.6．计算sin133cos197cos47cos73︒︒+︒︒的结果为（）A ．12B ．12-C D ．【答案】B【解析】先用诱导公式将sin133cos197cos47cos73︒︒+︒︒化为cos47cos73+sin 43sin17-︒︒︒︒，然后用余弦的差角公式逆用即可.【详解】sin133cos197cos47cos73︒︒+︒︒cos43cos17+sin 43sin17=-︒︒︒︒ 1cos 43cos17sin 43sin17)co (s602=︒︒-︒︒=-︒--=故选：B 【点睛】本题考查诱导公式和和角的三角函数公式的应用，属于基础题.7．已知抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线2221x y a-=（a ＞0）的一条渐近线的距离为12，则该双曲线的方程为（） A ．x 2﹣y 2＝1 B ．22x -y 2＝1C ．23x -y 2＝1D ．24x -y 2＝1【答案】C 【解析】12=，解得23a =，即可得到本题答案. 【详解】因为抛物线的焦点为(1,0)，2221x y a-=的其中一条渐近线为0x ay -=，12=，解得23a =，所以双曲线得标准方程为2213x y -=，故选：C 【点睛】本题主要考查双曲线标准方程的求法，其中涉及抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程.8．若x ，y 满足约束条件1133x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，则43z x y =+的最小值为( )A ．9B ．6.5C ．4D ．3【答案】D【解析】根据题意，画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求得. 【详解】不等式组所表示的可行域为下图中的ABC ∆，因为目标函数与直线43y x =-平行，故当目标函数对应的直线经过点()0,1B 时，z 取得最小值3. 故选：D. 【点睛】本题考查简单线性规划求目标函数最值的问题，属基础题. 9．定义在R 上的奇函数()224sin xxf x a x -=⋅--的一个零点所在区间为（）A ．(),0a -B ．()0,aC ．(),3aD ．()3,3a +【答案】C【解析】∵函数()224sin xxf x a x -=⋅--为奇函数，∴()()f x f x -=-，即()224sin 224sin xx x x a x a x --⋅-+=-⋅--,整理得()()1220xx a --+=在R 上恒成立，∴1a =,∴()224sin xxf x x -=--，∵11(1)224sin10,(0)0,(1)224sin10,f f f ---=-+>==--<23(2)424sin20,(3)824sin30f f --=-->=-->,∴函数()f x 的零点在区间()1,3内．选C ．10．若直线:410l x ay -+=与圆22:(2)(2)4C x y ++-=相切，则实数a 的值为()A ．1528B ．2815C ．1528或1 D ．2815或1 【答案】A【解析】根据题意，分析圆的圆心以及半径，结合直线与圆的位置关系可得2d ==，解可得a 的值，即可得答案．【详解】根据题意，圆22:(2)(2)4C x y ++-=，其圆心为(2,2)-，半径2r ；若直线与圆相切，则有圆心到直线的距离2d ==，解可得1528a =；故选：A ．【点睛】本题考查圆的切线方程、涉及点到直线的距离公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，属于基础题。

2020年湖北省武汉市江夏一中、汉阳一中高考(理科)数学(4月份)模拟试卷含解析

2020年高考（理科）数学（4月份）模拟试卷一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝R，集合A＝{x|3x2﹣13x＜0}，B＝{y|y＝3x+1}，则A∩（∁U B）＝（）A．B．（0，1]C．D．（0，1）2．若复数z满足z•（4﹣2i）＝3+i，则在复平面内复数z所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》中有如下两个问题：[三三]今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？[三四]又有宛田，下周九十九步，径五十一步．问为田几何？翻译为：[三三]现有扇形田，弧长30步，直径长16步．问这块田面积是多少？[三四]又有一扇形田，弧长99步，直径长51步．问这块田面积是多少？则下列说法正确的是（）A．问题[三三]中扇形的面积为240平方步B．问题[三四]中扇形的面积为平方步C．问题[三三]中扇形的面积为60平方步D．问题[三四]中扇形的面积为平方步4．运行如图所示的程序框图，若输入的a的值为2时，输出的S的值为﹣20，则判断框中可以填（）A．k＜3？B．k＜4？C．k＜5？D．k＜6？5．已知正项数列{a n}的首项为1，{a n2}是公差为3的等差数列，则使得a n＞6成立的n的最小值为（）A．11B．12C．13D．146．若函数f（x）＝（4mx﹣n）2的大致图象如图所示，则（）A．m＞0，0＜n＜1B．m＞0，n＞1C．m＜0，0＜n＜1D．m＜0，n＞1 7．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥AC，AA1⊥平面A1B1C1，则下列选项中，能使异面直线BC1与A1C相互垂直的条件为（）A．∠ACA＝45°B．∠ACA＝45°C．四边形ABB1A1为正方形D．四边形BCC1B1为正方形8．已知非零实数m，n满足m2•|m|＞n2•|n|，则下列结论错误的是（）A．ln|m|＞ln|n|B．C．|m|+sin|m|＜|n|+sin|n|D．m2＞n29．若首项为的数列{a n}满足2（2n+1）a n a n+1+a n+1＝a n，则a1+a2+a3+…+a2020＝（）A．B．C．D．10．已知函数，则下列说法正确的是（）A．函数f（x）在上单调递减B．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称C．D．当时，11．在正方形ABCD中，已知AB＝2，（0≤λ≤1），（0≤μ≤1），||，若≥x，则x的取值范围为（）A．B．C．D．12．过双曲线的右焦点F作直线l，且直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为A，直线l与另一条渐近线交于点B．已知O为坐标原点，若△OAB的内切圆的半径为，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．或2二、填空题（共4小题）13．的展开式中，项的系数为．14．若直线y＝9x+a与曲线y＝x3﹣3x相切，则a＝．15．某团队派遣甲、乙、丙、丁四人分别完成一项任务，已知甲完成任务的概率为，乙完成任务的概率为，丙、丁完成任务的概率均为，若四人完成任务与否相互独立，则至少2人完成任务的概率为．16．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，直线l1，l2，过点F且与抛物线C分别交于点M，N和点P，Q，弦MN和PQ的中点分别为D，E，若l1⊥l2，则下列结论正确的是．①|MN|+|PQ|的最小值为32；②以M，N，P，Q四点为顶点的四边形的面积的最小值为128；③直线DE过定点（6，0）；④焦点F可以同时为弦MN和PQ的三等分点．三、解答题（共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，．（1）求△ABC外接圆的面积；（2）若b+c＝8，求△ABC的面积．18．如图，四棱锥S﹣ABCD中，二面角S﹣AB﹣D为直二面角，E为线段SB的中点，∠DAB＝∠CBA＝3∠ASB＝3∠ABS＝90°，tan∠ASD＝，AB＝4．（1）求证：平面DAE⊥平面SBC；（2）求二面角C﹣AE﹣D的大小．19．2019年11月份，全国工业生产者出厂价格同比下降1.4%，环比下降0.1%某企业在了解市场动态之后，决定根据市场动态及时作出相应调整，并结合企业自身的情况作出相应的出厂价格，该企业统计了2019年1～10月份产品的生产数量x（单位：万件）以及销售总额y（单位：十万元）之间的关系如表：x 2.08 2.12 2.19 2.28 2.36 2.48 2.59 2.68 2.80 2.87 y 4.25 4.37 4.40 4.55 4.64 4.75 4.92 5.03 5.14 5.26（1）计算的值；（2）计算相关系数r，并通过r的大小说明y与x之间的相关程度；（3）求y与x的线性回归方程，并推测当产量为3.2万件时销售额为多少．（该问中运算结果保留两位小数）附：回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，；相关系数．参考数据：，，．20．已知斜率存在且不为0的直线l过点D（1，0），设直线l与椭圆交于A，B两点，椭圆C的左顶点为P．（1）若△PAB的面积为，求直线l的方程；（2）若直线PA，PB分别交直线x＝3于点M，N，且，记直线AB，RD的斜率分别为k，k'．探究：k•k'是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．21．已知函数f（x）＝e x（x2+8x﹣4）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式在[0，+∞）上恒成立，且m≠0，求实数m的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C1与x轴交于O，A两点．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l的普通方程及曲线C1的极坐标方程；（2）若直线l与曲线在第一象限交于点M，且线段MA的中点为N，点P 在曲线C1上，求|PN|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．（1）已知x，y，z均为正数，且，求证：（8x+2）（8y+2）（8z+2）≥27；（2）已知实数m，n满足m≥1，，求证：2m2n+4mn2+1≤4m2n2+m+2n．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知全集U＝R，集合A＝{x|3x2﹣13x＜0}，B＝{y|y＝3x+1}，则A∩（∁U B）＝（）A．B．（0，1]C．D．（0，1）【分析】根据二次不等式的求法先求出集合A，结合指数函数的性质可求B，进而可求．解：依题意得，，B＝{y|y＝3x+1}＝{y|y＞1}，则∁U B＝{y|y≤1}，所以A∩（∁U B）＝（0，1]，故选：B．2．若复数z满足z•（4﹣2i）＝3+i，则在复平面内复数z所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．解：依题意得，，故在复平面内复数z所对应的点为，该点位于第一象限，故选：A．3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》中有如下两个问题：[三三]今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？[三四]又有宛田，下周九十九步，径五十一步．问为田几何？翻译为：[三三]现有扇形田，弧长30步，直径长16步．问这块田面积是多少？[三四]又有一扇形田，弧长99步，直径长51步．问这块田面积是多少？则下列说法正确的是（）A．问题[三三]中扇形的面积为240平方步B．问题[三四]中扇形的面积为平方步C．问题[三三]中扇形的面积为60平方步D．问题[三四]中扇形的面积为平方步【分析】利用扇形面积计算公式即可得出．解：依题意，问题[三三]中扇形的面积为平方步，问题[三四]中扇形的面积为平方步．故选：B．4．运行如图所示的程序框图，若输入的a的值为2时，输出的S的值为﹣20，则判断框中可以填（）A．k＜3？B．k＜4？C．k＜5？D．k＜6？【分析】这是一个当型循环结构，反复求和，注意a的值正负交替．只需逐次循环，直到得到s＝﹣20，根据k的值判断．解：运行该程序，第一次循环，S＝2，a＝﹣2，k＝2；第二次循环S＝﹣6，a＝2，k＝3；第三次循环，S＝12，a＝﹣2，k＝4；第四次循环，S＝﹣20，a＝2，k＝5，此时输出S 的值，观察可知，仅选项C符合题意，故选：C．5．已知正项数列{a n}的首项为1，{a n2}是公差为3的等差数列，则使得a n＞6成立的n的最小值为（）A．11B．12C．13D．14【分析】依题意得，，从而．令，得，由此能求出使得a n＞6成立的n的最小值．解：∵正项数列{a n}的首项为1，{a n2}是公差为3的等差数列，∴依题意得，，故．令，得3n﹣2＞36，解得，∵n∈N*，∴使得a n＞6成立的n的最小值为13，故选：C．6．若函数f（x）＝（4mx﹣n）2的大致图象如图所示，则（）A．m＞0，0＜n＜1B．m＞0，n＞1C．m＜0，0＜n＜1D．m＜0，n＞1【分析】通过函数值为0，求出x的表达式，判断m，n的范围，排除选项AD，通过m ＜0，利用函数的单调性，结合x与y的关系，判断排除选项C，即可．解：令f（x）＝0，即4mx＝n，则mx＝log4n，即，由图可知，，故m＞0时n＞1，m＜0时0＜n＜1，排除A、D；当m＜0时，易知y＝4mx是减函数，且当x→+∞时，y→0则f（x）→n2，C明显不合题意，排除C，故选：B．7．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥AC，AA1⊥平面A1B1C1，则下列选项中，能使异面直线BC1与A1C相互垂直的条件为（）A．∠ACA＝45°B．∠ACA＝45°C．四边形ABB1A1为正方形D．四边形BCC1B1为正方形【分析】推导出AA1⊥AB，AB⊥AC，从而AB⊥平面CC1A1，进而AB⊥A1C．当异面直线BC1与A1C相互垂直时，可得A1C⊥平面ABC1，从而A1C⊥AC1，四边形ACC1A1为正方形，进而∠A1CA＝45°，当∠A1CA＝45°时，可得BC1⊥A1C．解：如图，因为AA1⊥平面A1B1C1，所以AA1⊥AB，又AB⊥AC，AA1∩AC＝A，所以AB⊥平面CC1A1，因为A1C⊂平面ACC1A1，所以AB⊥A1C．当异面直线BC1与A1C相互垂直时，由AB∩BC1＝B，可得A1C⊥平面ABC1，因为AC1⊂平面ABC1，所以A1C⊥AC1，所以四边形ACC1A1为正方形，所以∠A1CA＝45°，反之亦然，即当∠A1CA＝45°时，可得BC1⊥A1C，故选：A．8．已知非零实数m，n满足m2•|m|＞n2•|n|，则下列结论错误的是（）A．ln|m|＞ln|n|B．C．|m|+sin|m|＜|n|+sin|n|D．m2＞n2【分析】由非零实数m，n满足m2•|m|＞n2•|n|，可得|m|3＞|n|3＞0，|m|＞|n|＞0，进而判断出结论．解：因为非零实数m，n满足m2•|m|＞n2•|n|，所以|m|3＞|n|3＞0，所以|m|＞|n|＞0，所以ln|m|＞ln|n|，，m2＞n2，所以选项A、B、D均正确；对于选项C，当，时，，所以选项C 错误．故选：C．9．若首项为的数列{a n}满足2（2n+1）a n a n+1+a n+1＝a n，则a1+a2+a3+…+a2020＝（）A．B．C．D．【分析】先根据2（2n+1）a n a n+1+a n+1＝a n，推得，再令n取n﹣1可得新等式，两等式再结合叠加法求出数列{a n}的通项，即可求解结论．解：依题意得a n≠0，由2（2n+1）a n a n+1＝a n﹣a n+1，可得，则，，……，，以上式子左右两边分别相加可得，即，即＝，故a1+a2+a3+…+a2020＝＝，故选：C．10．已知函数，则下列说法正确的是（）A．函数f（x）在上单调递减B．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称C．D．当时，【分析】直接利用三角函数关系式的变换的应用和正弦型函数的性质的应用求出结果．解：依题意得，，故函数f（x）在上先减后增，故A错误；因为将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后其图象对应的函数解析式为，函数g（x）的图象关于原点对称，故B错误；因为，所以是函数f（x）图象的一条对称轴，即，故C正确；当时，，则，故D错误．综上所述，故选：C．11．在正方形ABCD中，已知AB＝2，（0≤λ≤1），（0≤μ≤1），||，若≥x，则x的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】可以点A为原点，AB，AD所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，并设E（2，m），F（n，2），从而得出．根据即可得出，进而可得出（m+n+4）2≥32，从而得出，从而得出，这样即可得出x的范围．解：以A为坐标原点，线段AB，AD所在直线分别为x，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设E（2，m），F（n，2），则，由，得，化简可得mn＝4﹣2（m+n），∴，故（m+n+4）2≥32，因为m≥0，n≥0，故，当且仅当时等号成立，∴，故x的取值范围为．故选：A．12．过双曲线的右焦点F作直线l，且直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为A，直线l与另一条渐近线交于点B．已知O为坐标原点，若△OAB的内切圆的半径为，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．或2【分析】分两种情况讨论A，B在y轴的同侧和两侧，可得圆心M在∠AOB的角平分线上，过M作垂直于OA，AF的垂线，由题意可得四边形MTAN为正方形，再由题意可得FA＝b，所以OA＝a，由题意可得NA，ON的值，求出外接圆的半径，由题意可得a，b的关系求出离心率．【解答】解（1）若A，B在y轴同侧，不妨设A在第一象限．如图，设△OAB内切圆的圆心为M，则M在∠AOB的平分线Ox上，过点M分别作MN⊥OA于N，MT⊥AB于T，由FA⊥OA得四边形MTAN为正方形，由焦点到渐近线的距离为b得|FA|＝b，又|OF|＝c，所以|OA|＝a，又，所以，所以，从而可得．（2）若A，B在y轴异侧，不妨设A在第一象限如图，易知|FA|＝b，|OF|＝c，|OA|＝a，所以△OAB的内切圆半径为，所以，又因为|OB|2＝|AB|2+a2，所以，|OB|＝2a，所以∠BOA＝60°，∠AOF＝60°，则，从而可得．综上，双曲线C的离心率为或2．故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．的展开式中，项的系数为240．【分析】先求其通项公式，再令x的指数为﹣2求出r即可求解结论．解：依题意可得，的展开式的通项为T r+1＝，令，解得r＝2，故项的系数为．故答案为：240．14．若直线y＝9x+a与曲线y＝x3﹣3x相切，则a＝﹣16或16．【分析】先根据导数的几何意义求出切点的横坐标，然后点入曲线方程求出切点坐标，再代入切线求出a的值．解：设切点坐标为（x0，y0），由y'＝3x2﹣3，得切线斜率，故，解得x0＝±2，故切点为（2，2）或（﹣2，﹣2），分别代入y＝9x+a中，可得a＝﹣16或a＝16．故答案为：﹣16或16．15．某团队派遣甲、乙、丙、丁四人分别完成一项任务，已知甲完成任务的概率为，乙完成任务的概率为，丙、丁完成任务的概率均为，若四人完成任务与否相互独立，则至少2人完成任务的概率为．【分析】先求出4个人都没有完成任务的概率和4个人中有3个没有完成任务的概率，由此利用对立事件概率计算公式能求出至少2人完成任务的概率．解：4个人都没有完成任务的概率为，4个人中有3个没有完成任务的概率为：，故至少2人完成任务的概率为．故答案为：．16．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，直线l1，l2，过点F且与抛物线C分别交于点M，N和点P，Q，弦MN和PQ的中点分别为D，E，若l1⊥l2，则下列结论正确的是①②③．①|MN|+|PQ|的最小值为32；②以M，N，P，Q四点为顶点的四边形的面积的最小值为128；③直线DE过定点（6，0）；④焦点F可以同时为弦MN和PQ的三等分点．【分析】直接利用直线和曲线的位置关系的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，两点间的距离公式的应用求出结果．解：依题意得直线l1，l2的斜率均存在，且F（2，0），设M（x1，y1），N（x2，y2），直线l1：y＝k（x﹣2），联立方程，得整理可得k2x2﹣（4k2+8）x+4k2＝0，所以，则，以代替k可得，|PQ|＝8+8k2，，当且仅当k＝±1时取等号，所以①正确；四边形的面积，当且仅当k＝±1时取等号，所以②正确；因为，E（2+4k2，﹣4k），所以直线DE的方程为＝，即k（x﹣6）﹣（1﹣k2）y＝0，恒过定点（6，0），故③正确；若点F为弦MN的三等分点，不妨设，则（2﹣x2，﹣y2）＝2（x1﹣2，y1），所以2﹣x2＝2x1﹣4，即2x1+x2＝6，又x1x2＝4，解得（舍去）或，代入，得，与两直线垂直矛盾，故④错误．综上所述，故答案为：①②③．三、解答题（共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，．（1）求△ABC外接圆的面积；（2）若b+c＝8，求△ABC的面积．【分析】（1）利用正弦定理，两角和的正弦函数结合sin B≠0，可求cos A的值，结合范围A∈（0，π），可求A的值，进而利用正弦定理可求△ABC外接圆的半径，进而可求△ABC外接圆的面积．（2）由已知利用余弦定理可求bc的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．解：（1）依题意得：，故：，则：2b cos A﹣c cos A＝a cos C，所以：2sin B cos A＝sin A cos C+sin C cos A＝sin（A+C），即：2sin B cos A＝sin B，因为：sin B≠0，所以：，因为：A∈（0，π），所以：，所以：（R为△ABC外接圆的半径），则：，故△ABC外接圆的面积．（2）由．及余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝（b+c）2﹣3bc，又，b+c＝8，所以：，解得：bc＝12．故．18．如图，四棱锥S﹣ABCD中，二面角S﹣AB﹣D为直二面角，E为线段SB的中点，∠DAB＝∠CBA＝3∠ASB＝3∠ABS＝90°，tan∠ASD＝，AB＝4．（1）求证：平面DAE⊥平面SBC；（2）求二面角C﹣AE﹣D的大小．【分析】（1）根据条件利用面面垂直性质得到AD⊥AB，线面垂直定理等即可证明AD ⊥平面SAB，进而得到AD⊥BS，从而BS⊥平面DAE，平面DAE⊥平面SBC．（2）建立如图所示直角坐标系，求出平面CAE的法向量，平面DAE的一个法向量为，利用二面角公式结合图形即可求出二面角解：（1）∵二面角S﹣AB﹣D为直二面角，∴平面SAB⊥平面ABCD，∴∠DAB＝90°，∴AD⊥AB，∵平面ABCD∩平面SAB＝AB，AD⊂平面ABCD，∴AD⊥平面SAB，又BS⊂平面SAB，∴AD⊥BS，∵∠ASB＝∠ABS，∴AS＝AB，又E为BS的中点，∴AE⊥BS，又AD∩AE＝A，∴BS⊥平面DAE，∵BS⊂平面SBC，∴平面DAE⊥平面SBC．（2）如图，连接CA，CE，在平面ABS内作AB的垂线，建立空间直角坐标系A﹣xyz，∵，∴AD＝2，∴A（0，0，0），B（0，4，0），C（0，4，2），，，∴，，设平面CAE的法向量为，则即，令x＝1，则，，∴是平面CAE的一个法向量，∵SB⊥平面DAE，∴平面DAE的一个法向量为，∴，由图可知二面角C﹣AE﹣D的平面角为锐角，故二面角C﹣AE﹣D的大小为60°．19．2019年11月份，全国工业生产者出厂价格同比下降1.4%，环比下降0.1%某企业在了解市场动态之后，决定根据市场动态及时作出相应调整，并结合企业自身的情况作出相应的出厂价格，该企业统计了2019年1～10月份产品的生产数量x（单位：万件）以及销售总额y（单位：十万元）之间的关系如表：x 2.08 2.12 2.19 2.28 2.36 2.48 2.59 2.68 2.80 2.87 y 4.25 4.37 4.40 4.55 4.64 4.75 4.92 5.03 5.14 5.26（1）计算的值；（2）计算相关系数r，并通过r的大小说明y与x之间的相关程度；（3）求y与x的线性回归方程，并推测当产量为3.2万件时销售额为多少．（该问中运算结果保留两位小数）附：回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，；相关系数．参考数据：，，．【分析】（1）直接求解，和，即计算样本中心点，（2）根据相关系数求值，即可判断y与x之间的相关程度；（3）根据线性回归方程恒过样本中心点，列出方程，求解即可得到结论．解：（1）依题意，，．（2）依题意，，因为0.997＞0.75，所以y与x之间具有很强的相关性．（3）由，所以所求回归直线方程为，故当x＝3.2时，．20．已知斜率存在且不为0的直线l过点D（1，0），设直线l与椭圆交于A，B两点，椭圆C的左顶点为P．（1）若△PAB的面积为，求直线l的方程；（2）若直线PA，PB分别交直线x＝3于点M，N，且，记直线AB，RD的斜率分别为k，k'．探究：k•k'是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）先用分割法表示出△PAB的面积即S△PAB＝S△PDA+S△PDB，从而得到；设直线l的方程为x＝my+1，将其与椭圆的方程联立，结合韦达定理可用含m的式子表示出|y A﹣y B|，从而建立关于m的方程，解之即可；（2）直线l的方程为y＝k（x﹣1），设A（x1，k（x1﹣1）），B（x2，k（x2﹣1）），然后分别表示出直线PA和PB的方程，令x＝3，可分别求得M、N两点的坐标，因为，于是可以用含k，x1，x2的式子表示出点R的坐标，将直线l的方程与椭圆的方程联立，把由韦达定理得到的等式代入R的纵坐标化简可得，在表示出k'，有，故而可得解．解：（1）设A（x A，y A），B（x B，y B）．因为D（1，0），椭圆C的左顶点为P（﹣2，0），所以|PD|＝3，故，故，设直线l的方程为x＝my+1，联立，整理得（m2+2）y2+2my﹣3＝0，所以，，故，解得m2＝6，，故直线l的方程为或．（2）由题意得，直线l的方程为y＝k（x﹣1），设A（x1，k（x1﹣1）），B（x2，k（x2﹣1）），联立，整理得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣4＝0，则①，②，又P（﹣2，0），所以直线PA的方程为，令x＝3，解得，同理可得，，设R（x R，y R），因为，所以x R＝3，，将①②代入上式并化简可得，所以，故，为定值．21．已知函数f（x）＝e x（x2+8x﹣4）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式在[0，+∞）上恒成立，且m≠0，求实数m的取值范围．【分析】（1）先求导，求导函数的零点，判断每个被零点分开的区间导数的正负，可知单调性．（2）令x＝0时求出m≥1，然后求在m≥1时，m的取值范围，分离参数求最值，求出m．【解答】解（1）依题意，x∈R，f'（x）＝e x（x2+8x﹣4+2x+8）＝e x（x2+10x+4），令f'（x）＝0，即x2+10x+4＝0，解得，故当时，f'（x）＞0，当时，f'（x）＜0，当时，f'（x）＞0，故函数f（x）的单调递增区间为和，单调递减区间为．注：，处写成闭区间也给分．（2）令，由题意得，当x＝0时，g（0）＝m﹣1≥0，则有m≥1．下面证当m≥1时，对任意x≥0，都有g（x）≥0．由于x∈R时，1﹣sin x≥0，当m≥1时，则有．故只需证明对任意x≥0，都有．易知h（x）＝x﹣sin x在[0，+∞）上单调递增，所以当x≥0时，h（x）≥h（0）＝0，即x≥sin x，所以1﹣x≤1﹣sin x，则，设，x≥0，则．当x≥0时，e x≥1，，所以F'（x）≥0，所以F（x）在[0，+∞）上单调递增，所以当x≥0时，F（x）≥F（0）＝0，所以对任意x≥0，都有．所以当m≥1时，对任意x≥0，都有，故实数m的取值范围为[1，+∞）．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C1与x轴交于O，A两点．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l的普通方程及曲线C1的极坐标方程；（2）若直线l与曲线在第一象限交于点M，且线段MA的中点为N，点P在曲线C1上，求|PN|的最小值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用直线和曲线的位置关系的应用，建立等量关系求出结果．解：（1）由直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程2x＝4+y，即2x﹣y﹣4＝0，所以直线l的普通方程为2x﹣y﹣4＝0．由曲线C1的参数方程为（α为参数），转换为直角坐标方程（x﹣1）2+y2＝1，即x2+y2﹣2x＝0，将x＝ρcosθ，ρ2＝x2+y2代入上式，可得ρ2﹣2ρcosθ＝0，即ρ＝2cosθ，所以曲线C1的极坐标方程为ρ＝2cosθ．（2）由解得或，所以M（4，4），由（1）可得A（2，0），因为线段MA的中点为N，所以N（3，2），由（1）可知曲线C1表示圆，其圆心为C1（1，0），半径r＝1，所以，因为点P在曲线C1上，所以．[选修4-5：不等式选讲]23．（1）已知x，y，z均为正数，且，求证：（8x+2）（8y+2）（8z+2）≥27；（2）已知实数m，n满足m≥1，，求证：2m2n+4mn2+1≤4m2n2+m+2n．【分析】（1）先利用均值不等式可得，同理可得，，以上三式相乘可得，结合得证；（2）利用分析法，即证（m﹣1）（2n﹣1）（2mn﹣1）≥0，而m≥1，，则m﹣1≥0，2n﹣1≥0，2mn﹣1≥0，由此容易得证．【解答】证明：（1）由题可得，当且仅当时取等号；同理可得，，故，当且仅当时取等号，因为，所以（8x+2）（8y+2）（8z+2）≥27，当且仅当时取等号．（2）要证2m2n+4mn2+1≤4m2n2+m+2n，即证4m2n2﹣4mn2+2n﹣2m2n+m﹣1≥0，即证4mn2（m﹣1）﹣（2mn+2n）（m﹣1）+m﹣1≥0，即证（m﹣1）（4mn2﹣2mn﹣2n+1）≥0，即证（m﹣1）[2mn（2n﹣1）﹣（2n﹣1）]≥0，即证（m﹣1）（2n﹣1）（2mn﹣1）≥0，因为m≥1，，所以m﹣1≥0，2n﹣1≥0，2mn﹣1≥0，所以（m﹣1）（2n﹣1）（2mn﹣1）≥0，所以2m2n+4mn2+1≤4m2n2+m+2n．。

2020年湖北省高考数学模拟试卷1(4月份) (含答案解析)

2020年湖北省高考数学模拟试卷1（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1. 已知集合A ={x|0<x <2}，B ={x|x <1或x >3}，则A ∩B =( )A. (0,1)B. (0,2)∪(3,+∞)C. ⌀D. (0,+∞) 2. 已知复数z =i(1+2i)，则|z|=( )A. √5B. √3C. √2D. 33. 已知角α的终边上有一点P(sin2π3,cos2π3)，则tanα=( )A. −√33B. √33C. −√3D. √34. 已知双曲线x 24−y 2b 2=1(b >0)离心率是√52，那么b 等于( )A. 1B. 2C. √5D.2√55. 如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱BC ，CC 1的中点，则异面直线AC 和MN 所成角的大小为( )A. π6B. π3C. π2D. 2π36. 已知定义在R 上的函数f(x)在(−∞,−3]上单调递增，且f(x −3)为偶函数，则不等式f(x −2)<f(1)的解集为( )A. (−7,1)B.C. (−5,3)D.7. 已知向量a ⃗ =(−1,2),b ⃗ =(1,−1)，则(a ⃗ −b ⃗ )⋅a ⃗ =( )A. 4B. −4C. 8D. 58. 若函数f (x )=sin (ωx −π4)(ω>0)，在(−π4,π2)上是增函数，则ω的范围是( )A. (0,12]B. (0,1]C. (0,32]D. (0,2]9. 已知直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的顶点都在球O 的球面上，AB =AC =2，BC =2√2.若球O 的表面积为72π，则这个直三棱柱的体积是( )A. 16B. 15C. 8√2D. 8310. 在△ABC 中，A >B ，则下列结论一定正确的是( )A. sinA >sinBB. sinA <cosBC. sinA >cosBD. cosA >cosB 11. 书架上有语文书，数学书各三本，从中任取两本，取出的恰好都是数学书的概率为( )A. 13B. 14C. 15D. 1612.设函数f(x)={x2e x,x≥0x2e x,x<0，则使得f(2x+1)>f(x−1)成立的x的取值范围是()A. (−∞,−2)∪(0,+∞)B. (−2,+∞)C. (−∞,0)∪(2,+∞)D. (2,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.函数f(x)=√−1+lnx的定义域是____________．14.已知某天一工厂甲、乙、丙三个车间生产的产品件数分别是1500、1300、1200，现用分层抽样方法抽取了一个样本容量为n的样本，进行质量检查，已知丙车间抽取了24件产品，则n=____________15.已知实数x，y满足约束条件{x+y≤4,5x+2y≥11,y≥12x+1,则z=2x−y的最大值为________．16.过抛物线y2=4x的焦点F作互相垂直的弦AC，BD，则点A，B，C，D所构成四边形的面积的最小值为_____________．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且a17=33，S7=49．(1)求证：a1，a5，a41成等比数列;(2)求数列{a n·3n}的前n项和T n．18.已知四棱锥P−ABCD中，底面为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=BC=1，AB=2，M为PC上一点，且BP⊥平面ADM．(1)求PM的长度；(2)求MD与平面ABP所成角的余弦值．19. 如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，且焦距为2√2，动弦AB 平行于x 轴，且|F 1A|+|F 1B|=4． (1)求椭圆C 的方程；(2)若点P 是椭圆C 上异于点A ，B 的任意一点，且直线PA 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，若MF 2、NF 2的斜率分别为k 1、k 2，求证：k 1⋅k 2是定值．20. 总体(x,y)的一组样本数据为：x 1 2 3 4 y3354x y (2)当x =6时，估计y 的值．附：回归直线方程y =bx +a ，其中a =y −bx ，b =∑x i n i=1y i −nx −y−∑x i 2n i=1−nx−2．21. 已知函数f(x)=ax 2−x −2lnx(a ∈R)．(1)若函数f(x)的一个极值点为x =1，求函数f(x)的极值； (2)讨论f(x)的单调性．22.在直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsin(β+π4)=√22a，曲线C2的参数方程为{x=−1+cosθy=−1+sinθ(θ为参数，0≤θ≤π)．(Ⅰ)求C1，C2的直角坐标方程；(Ⅱ)当C1与C2有两个公共交点时，求实数a的取值范围．23.选修4—5不等式选讲已知函数f(x)=m−|x−2|，m∈R．(1)当m=4时，解不等式|f(x)|≤2；(2)若不等式f(x+2)≥0的解集为[−2,2]，若正数a，b满足ab+a+2b=2m，求a+b的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：∵A={x|0<x<2}，B={x|x<1或x>3}；∴A∩B=(0,1)．故选：A．进行交集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的定义，以及交集的运算．2.答案：A解析：【分析】本题考查复数的运算和复数的模，属于基础题．先根据运算法则计算化简给定复数，再用模的公式计算．【解答】解：z=i(1+2i)=i+2i2=−2+i，∴|z|=√(−2)2+12=√5，故选A．3.答案：A解析：【分析】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tanα的值．【解答】解：∵角α的终边上有一点P(sin2π3,cos2π3)，∴x=sin2π3=√32，y=cos2π3=−12，∴tanα=yx =−√33，故选：A．4.答案：A解析：【分析】本题主要考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．由双曲线x 24−y 2b 2=1(b >0)离心率是√52，可得a =2，c =√5，即可求出b 的值．【解答】解：∵双曲线双曲线x 24−y 2b 2=1(b >0)离心率是√52，∴a =2，c =√5， ∴b =√5−4=1，故选A ．5.答案：B解析：解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中棱长为2，则A(2,0，0)，C(0,2，0)，M(1,2，0)，N(0,2，1)， AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2，0)，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，1)，设异面直线AC 和MN 所成角为θ， cosθ=|AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√8⋅√2=12，∴θ=π3． ∴异面直线AC 和MN 所成角为π3．故选：B ．以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用同量法能求出异面直线AC 和MN 所成角．本题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．6.答案：D解析：【分析】本题考查函数的单调性与对称性的综合应用，涉及关于x 的不等式的解法，属于基础题．根据题意，由函数f(x −3)为偶函数分析可得函数f(x)的图象关于直线x =−3对称，结合函数的单调性可得f(x −2)<f(1)，解可得x 的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f(x −3)为偶函数，则函数f(x)的图象关于直线x =−3对称，又由函数f(x)在[−3,+∞)单调递减，且f(x −2)<f(1)，所以|x−2+3|>|1+3|，解可得：x<−5或x>3，即不等式的解集为．故选D．7.答案：C解析：解：向量a⃗=(−1,2),b⃗ =(1,−1)，则(a⃗−b⃗ )⋅a⃗=(−2,3)⋅(−1,2)=2+6=8．故选：C．通过向量的坐标运算，结合向量的数量积求解即可．本题考查向量的数量积的应用，向量的坐标运算，是基本知识的考查．8.答案：B解析：【分析】本题主要考查了三角函数的图象与性质，注意数形结合的思想运用，属于中档题．根据正弦函数的单调性，求得ω的范围即可．【解答】解：∵f(x)在区间(−π4,π2)上是增函数，∴−π4ω−π4⩾−π2+2kπ,且π2ω−π4⩽π2+2kπ,k∈Z，求得ω≤1−8k且ω≤32+4k，k∈Z，∵ω>0，∴−38<k<18，k∈Z，∴k=0，ω∈(0,1]．故选B．9.答案：A解析：【分析】本题考查了三棱柱与外接球的关系，三棱柱的体积，球的表面积，属于中档题．棱柱为直棱柱，底面为直角三角形，故而球心位于侧面BCC1B1的中心，根据球的表面积可得半径，根据球的半径计算棱柱的高即可求出棱柱的体积．【解答】解：∵AB=AC=2，BC=2√2，∴AB⊥AC，又∵CC1⊥平面ABC，三棱柱ABC−A1B1C1的各个顶点都在球O的球面上，∴O为矩形BCC1B1的中心，设球O半径为r，则4πr2=72π，∴r=3√2．即OC=r=3√2，∴三棱柱的高ℎ=2√r2−(12BC)2=8．∴三棱柱的体积V=S△ABC⋅ℎ=12×2×2×8=16．故选A．10.答案：A解析：【分析】本题考查了正弦定理及余弦函数的性质，属于基础题．结合正弦定理，余弦函数的单调性及特殊值逐项分析即可．【解答】解：在△ABC中，由大边对大角可知，当A>B时，a>b，再根据正弦定理asinA =bsinB，可得sinA>sinB，故A对；在△ABC中，当时，sinA>cosB，故B错；当，，故C错；∵A，B∈(0,π)，而y=cosx在(0,π)上单调递减，由A>B，得cosA<cosB，故D错．11.答案：C解析：【分析】书架上有语文书，数学书各三本，从中任取两本，基本事件总数n=C62=15，取出的恰好都是数学书，包含的基本事件个数为m=C32=3，由此利用等可能事件概率计算公式能求出取出的恰好都是数学书的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．【解答】解：书架上有语文书，数学书各三本，从中任取两本，基本事件总数n=C62=15，取出的恰好都是数学书，包含的基本事件个数为m=C32=3，∴取出的恰好都是数学书的概率p=mn =315=15．故选：C．12.答案：A解析：解：当x<0时，f(−x)=(−x)2⋅e−x=x2e x=f(x)，当x>0时，f(−x)=(−x)2e−x=x2⋅e x=f(x)，当x=0时，f(x)=0，∴f(x)是偶函数，又当x≥0时，f′(x)=2xe x+x2e x=e x(x2+2x)≥0，∴f(x)在[0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递减．∵f(2x+1)>f(x−1)，∴|2x+1|>|x−1|，解得x<−2或x>0．故选：A．判断函数奇偶性和单调性，利用函数的对称性和单调性列出不等式得出x的范围．本题考查了函数单调性与奇偶性的判断与应用，属于中档题．13.答案：[e,+∞)解析：本题考查函数的定义域，属于基础题．【解答】解：因为f (x )=√−1+lnx ，所以−1+lnx ≥0，即lnx ≥1，所以x ≥e所以定义域是[e,+∞)，故答案为[e,+∞).14.答案：80解析：【分析】本题主要考查分层抽样的知识，解答本题的关键是知道每个个体被抽取的概率：P =241200=150，然后再求n 的值．【解答】解：每个个体被抽取的概率：P =241200=150， n =(1500+1300+1200)×150=80，故答案为80．15.答案：2解析：【分析】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解即可．【解答】解：实数x ，y 满足约束条件{x +y ≤4,5x +2y ≥11,y ≥12x +1的可行域如图：z =2x −y 经过点A 时，z 取得最大值，由{x +y =4y =12x +1可得A(2,2) z =2x −y 的最大值为：4−2=2，故答案为：2．16.答案：32解析：【分析】本题考查直线与抛物线的综合问题，考查抛物线的定义以及多边形面积的计算，考查计算能力，属于中等题．设直线AB 的方程为y =k(x −1)，将直线AB 的方程代入抛物线的方程，列出韦达定理，利用抛物线的定义得出|AB|，同理得出|CD|，由面积公式S =12|AB|⋅|CD|结合基本不等式可得出四边形ACBD 面积的最小值．【解答】解：如下图所示，显然焦点F 的坐标为(1,0)，所以，可设直线AB 的方程为y =k(x −1)，将直线l 的方程代入抛物线的方程并整理得 k 2x 2−2(k 2+4)x +k 2=0，所以，x 1+x 2=2+4k 2，所以，|AB|=x 1+x 2+2=4+4k 2，同理可得|CD|=4+4k 2，由基本不等式可知，四边形ACBD 的面积为S =12|AB|⋅|CD|=12×4(1+k 2)k2⋅4(1+k 2) =8(k 2+1k 2+2)≥32．当且仅当k =±1时，等号成立，因此，四边形ACBD 的面积的最小值为32．故答案为：32．17.答案：(1)证明：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由于a 17=33，S 7=49，则：{a 1+16d =337a 1+21d =49，解得：a 1=1，d =2，所以：a n =2n −1．则：a 1=1，a 5=9，a 41=81，即：a 52=a 1·a 41．所以：a 1，a 5，a 41成等比数列． (2)解：由(1)得：a n ⋅3n =(2n −1)⋅3n ，则：T n =1⋅31+3⋅32+⋯+(2n −1)⋅3n ①，则：3T n =1⋅32+3⋅33+⋯+(2n −1)⋅3n+1② ①−②得：−2T n =3+2(32−3n+11−3)−(2n −1)⋅3n+1，整理得：T n =(n −1)⋅3n+1+3．故数列的前n 项和为：T n =(n −1)⋅3n+1+3．解析：本题考查的知识要点：等差数列通项公式的应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用． (1)首先根据通项公式建立方程组，进一步求出数列a 1，a 5，a 41成等比数列．(2)利用(1)的结论，进一步求出a n ⋅3n =(2n −1)⋅3n ，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和．18.答案：解：(1)如图所示建立空间直角坐标系，由已知A(0,0，0)，B(2,0，0)，P(0,0，1)，D(0,1，0)，C(2,1，0)．令PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，因为PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1，−1)，所以PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2λ,λ,−λ)，则M(2λ,λ,−λ)，因为BP ⊥平面ADM 且BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，1)．所以−5λ+1=0，则λ=15.即PM 的长为√65.(6分)(2)因为M(0,4，0.2，0.8)，则MD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−0.4,0.2,0.8)，因为面ABP 的一个法向量n⃗ =(0,1，0)，令MD 与平面ABP 所成角为θ，则sinθ=√0.16+0.04+0.64=23，故cosθ=√53.(12分)解析：(1)建立空间直角坐标系，令PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用BP ⊥平面ADM 且BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，1)，求出λ，即可求PM 的长度；(2)利用向量的夹角公式求MD 与平面ABP 所成角的余弦值．本题考查线面垂直，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19.答案：解：(1)∵焦距2√2，∴2c =2√2，得c =√2，由椭圆的对称性及已知得|F 1A|=|F 2B|，又∵|F 1A|+|F 1B|=4， ∴|F 1B|+|F 2B|=4，因此2a =4，a =2，于是b =√2，因此椭圆方程为x 24+y 22=1；(2)设B(x 0,y 0)，P(x 1,y 1)，则A(−x 0,y 0)，直线PA 的方程为y −y 1=y 1−yx 1+x 0(x −x 1)，令x =0，得y =x 1y 0+x 0y 1x 1+x 0，故M(0,x 1y 0+x 0y 1x 1+x 0)，直线PB 的方程为y −y 1=y 1−yx 1−x 0(x −x 1)，令x =0，得y =x 1y 0−x 0y 1x 1−x 0，故N(0,x 1y 0−x 0y 1x 1−x 0)，∴k 1=−1001√2(x +x )，k 2=−x 1y 0−x 0y1√2(x −x )，因此k 1⋅k 2=12·x 12y 02−x 02y 12x 12−x 02，∵A ，B 在椭圆C 上，∴y 12=2−x 122,y 02=2−x 022，∴k 1k 2=12⋅x 12(2−12x 02)−x 02(2−12x 12)x 12−x 02=1．故k 1·k 2为定值1．解析：本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．(1)由题意求得c ，由对称性结合|F 1A|+|F 1B|=4可得2a ，再由隐含条件求得b ，则椭圆方程可求； (2)设B(x 0,y 0)，P(x 1,y 1)，则A(−x 0,y 0)，分别写出PA 、PB 所在直线方程，求出M 、N 的坐标，进一步求出MF 2、NF 2的斜率分别为k 1、k 2，结合A 、B 在椭圆上可得k 1⋅k 2是定值．20.答案：解：(1)∵x =52,y =154，∑x i 4i=1y i =40,∑x i 24i=1=30；∴b =40−4×52×15430−4×254=12， a =y −bx =154−12×52=52， ∴回归直线方程为y =12x +52; (2)当x =6时，代入回归方程，可得y =112．解析：本题考查回归方程的求法，利用最小二乘法求回归方程的系数是解答此类问题的关键． (1)根据所给的数据求x 和y 的平均数，得到这组数据的样本中心点，利用最小二乘法的系数公式求出线性回归方程的系数，进而写出线性回归方程； (2)当x =6时，代入回归方程，即可估计y 的值．21.答案：解：(1)f(x)=ax 2−x −2lnx ，f ′(x)=2ax −1−2x (x >0)，∵x =1是函数f(x)的一个极值点， ∴f′(1)=2a −1−2=0，∴a =32，，f ′(x)=3x −1−2x=3x 2−x−2x=(3x+2)(x−1)x．∴当x ∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当x ∈(1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，∴x =1时，f(x)极小值为f (1)=32−1=12，无极大值；(2)由f(x)=ax 2−x −2lnx(x >0)，可得：f ′(x)=2ax −1−2x=2ax 2−x−2x(x >0)．①当a ≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0,+∞)为减函数； ②当a >0时，由f′(x)=0，得x 1=1−√1+16a4a，x 2=1+√1+16a4a，显然，x 1<0，x 2>0，且当0<x <x 2时，f′(x)<0，f(x)是减函数；x >x 2时，f′(x)>0，f(x)是增函数；综上，a ≤0时，f(x)的单调减区间为(0,+∞)，没有增区间； a >0时，f(x)的单调减区间为(0,1+√1+16a4a)；单调增区间为．解析：本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性，函数的极值，考查分类讨论以及计算能力． (1)求导，由f′(1)=0求出a 的值，再利用导数得到函数的极值点，从而求出极值；(2)通过求解函数的导函数，分a ≤0与a >0两种情况，通过判断导数符号，然后求函数f(x)的单调区间．22.答案：解：(Ⅰ)由ρsin(β+π4)=√22a ，得ρ(sinβcos π4+cosβsin π4)=√22a ，即√22ρ(sinβ+cosβ)=√22a ，∴C 1的直角坐标方程为x +y =a ．由{x =−1+cosθy =−1+sinθ，得(x +1)2+(y +1)2=1． ∴C 2的普通方程为(x +1)2+(y +1)2=1；(Ⅱ)圆(x +1)2+(y +1)2=1的圆心坐标为(−1,−1)，半径为1，要使C 1与C 2有两个公共交点，则圆心(−1,−1)到直线x +y −a =0的距离小于圆的半径1．即√2<1，解得：−2−√2<a <−2+√2．∴实数a 的取值范围是(−2−√2,−2+√2).解析：(Ⅰ)展开两角和的正弦，结合x =ρcosβ，y =ρsinβ求得C 1的直角坐标方程，利用平方关系消去θ求得C 2的普通方程；(Ⅱ)由曲线C 2的圆心到直线C 1的距离小于圆的半径列式求得实数a 的取值范围．本题考查极坐标方程化直角坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与圆的位置关系，是基础题．23.答案：【解答】(1)由于m =4，所以|f(x)|≤2等价变形为−2≤|x −2|−4≤2，即2≤|x −2|≤6，所以−6≤x −2≤−2或2≤x −2≤6，所以不等式的解集为{x|−4≤x≤0或4≤x≤8}；(2)不等式f(x+2)≥0等价于|x|≤m，由于该不等式的解集为[−2,2]，所以m=2，故ab+a+2b=4，即(a+2)(b+1)=6，所以a+b=(a+2)+(b+1)−3⩾2√(a+2)(b+1)−3=2√6−3(当且仅当a+2=b+1=√6即a=√6−2，b=√6−1时，等号成立)，所以a+b的最小值为2√6−3．解析：本题考查解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质，是一道中档题．(1)将|f(x)|≤2等价变形为−2≤|x−2|−4≤2，求出不等式的解集即可；(2)求出m的值，根据基本不等式的性质求出a+b的最小值即可．。

2020年湖北省武汉一中高考数学模拟试卷(文科)(4月份)

2020年湖北省武汉一中高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合{1A =，0，1}-，{|21B y y x ==-，}x A ∈，则(A B =I ) A ．{1，0，1}-B ．{1，1}-C ．{0}D ．∅2．（5分）已知i 为虚数单位，则复数221z i i =-+的虚部是( ) A ．3iB ．iC ．3D ．13．（5分）已知数列{}n a 为等差数列，前n 项和为n S ，且55a =，则9(S = ) A ．25B ．90C ．50D ．454．（5分）已知直线l ，m ，平面α、β、γ，给出下列命题： ①//l α，//l β，m αβ=I ，则//l m ； ②//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥； ③αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥； ④l m ⊥，l α⊥，m β⊥，则αβ⊥．其中正确的命题有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．（5分）若||a =r ||2b =r 且()a b a -⊥r r r ，则a r 与b r 的夹角是( )A ．6πB ．4π C ．3π D ．512π 6．（5分）计算sin133cos197cos47cos73︒︒+︒︒的结果为( ) A ．12 B ．12-CD． 7．（5分）已知抛物线24y x =的焦点到双曲线2221(0)x y a a -=>的一条渐近线的距离为12，则该双曲线的方程为( ) A ．221x y -=B ．2212x y -=C ．2213x y -=D ．2214x y -=8．（5分）若x ，y 满足约束条件1133x y x y x y +⎧⎪--⎨⎪+⎩……„，则43z x y =+的最小值为( )A ．9B ．6.5C ．4D ．39．（5分）定义在R 上的奇函数()224sin x x f x a x -=--g 的一个零点所在区间为( )A ．(,0)a -B ．(0,)aC ．(,3)aD ．(3,3)a +10．（5分）若直线:410l x ay -+=与圆22:(2)(2)4C x y ++-=相切，则实数a 的值为() A ．1528B ．2815C ．1528或1 D ．2815或1 11．（5分）已知四棱锥的各个顶点都在同一个球的球面上，且侧棱长都相等，高为4，底面是边长为32的正方形，则该球的表面积为( ) A ．75518πB ．62516πC ．36πD ．34π12．（5分）关于x 的方程sin ((0,1))kx x k =∈在(3,3)ππ-内有且仅有5个根，设最大的根是α，则α与tan α的大小关系是( ) A ．tan αα>B ．tan αα<C ．tan αα=D ．以上都不对二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.） 13．（5分）如图，在ABC ∆中，45B ∠=︒，D 是BC 边上的一点，5AD =，7AC =，3DC =，则AB 的长为．14．（5分）已知正实数a ，b 满足123a b+=，则(1)(2)a b ++的最小值是． 15．（5分）设0m >，点(4,)A m 为抛物线22(0)y px p =>上一点，F 为焦点，以A 为圆心||AF 为半径的圆C 被y 轴截得的弦长为6，则圆C 的标准方程为．16．（5分）定义在R 上的函数()f x 满足()()2(x f x f x e e '-<为自然对数的底数），其中()f x '为()f x 的导函数，若f （2）24e =，则()2x f x xe >的解集为．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题17．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，18a =，322(3)S a =+．（1）求{}n a 的通项公式；（2）已知12n n T a a a =⋯，求n T 的最大值．18．在直三棱柱111ABC A B C -中，13AB AC AA ===，2BC =，D 是BC 的中点，F 是1C C 上一点．（1）当2CF =，求证：1B F ⊥平面ADF ；（2）若1FD B D ⊥，求三棱锥1B ADF -体积．19．在这智能手机爆发的时代，大部分高中生都有手机，在手机面前，有些学生无法抵御手机尤其是手机游戏和短视频的诱惑，从而导致无法专心完成学习任务，成绩下滑；但是对于自制力强，能有效管理自己的学生，手机不仅不会对他们的学习造成负面影响，还能成为他们学习的有力助手，我校某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，部分统计数据如表：不使用手机使用手机合计学习成绩优秀人数 28 12 40 学习成绩不优秀人数14 26 40 合计423880参考数据：2()n ad bc K -=，其中n a b c d =+++．20()P K k …0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.7063.8415.0246.6357.87910.828（1）试根据以上数据，运用独立性检验思想，指出有多大把握认为中学生使用手机对学习有影响？（2）研究小组将该样本中不使用手机且成绩优秀的同学记为A 组，使用手机且成绩优秀的同学记为B 组，计划从A 组推选的4人和B 组推选的2人中，随机挑选两人来分享学习经验．求挑选的两人中一人来自A 组、另一人来自B 组的概率．20．已知1F ，2F 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 作斜率为1-的直线1l 交。

2020年湖北省高考数学模拟试卷(文科)(4月份) (含答案解析)

2020年湖北省高考数学模拟试卷(文科)(4月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|x>l}，B={x|x2−2x−3<0}，则A∩B=()A. ⌀B. (1,+∞)C. (−1,3)D. (1,3)2.已知x，y∈R，i为虚数单位，若x1−i=1+yi，则复数x+yi在复平面上对应点的坐标是A. (0,1)B. (2,1)C. (1,0)D. (1,2)3.已知0<a<1，log a x<log a y<0，则()A. 1<y<xB. 1<x<yC. x<y<1D. y<x<14.已知单位向量e1⃗⃗⃗ 与单位向量e2⃗⃗⃗ 的夹角为π3，OP⃗⃗⃗⃗⃗ =3e1⃗⃗⃗ +4e2⃗⃗⃗ ，则|OP⃗⃗⃗⃗⃗ |等于()A. 5B. 6C. √37D. √395.设正实数x，y满足x>23，y>2，不等式9x2y−2+y23x−2≥m恒成立，则m的最大值为()A. 2√2B. 4√2C. 8D. 166.关于频率分布直方图，下列说法不正确的是()A. 纵轴表示频率与组距的比值B. 各长方形的面积等于相应各组的频率C. 长方形的个数与所分组数相等D. 各长方形的面积之和等于样本容量7.函数f(x)=cosxx−sinx ,x∈[−3π2,0)∪(0,3π2]的图象大致是()A. B.C. D.8.函数f(x)=sin(πx+2π3)+cos(πx+π6)的一个单调递减区间是()A. [−23,13]B. [56,116]C. [13,43]D. [−16,56]9. 已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，PA ⊥l ，垂足为A ，|PF|=4，则直线AF 的倾斜角等于( )A. 2π3B. 5π6C. 3π4D. 5π610. 已知函数f(x)={x 2−2ax +8,x ≤12x,x >1，f(x)在定义域上单调递减，则实数a 的范围为( )A. (1,72)B. (1,+∞)C. [1,72]D. (−∞,72]11. 在平面四边形ABCD 中，AB =3，AD =2，∠BAD =60°，∠DBC =30°，则点D 到边BC 的距离为( )A. 2B. 4C. √72D. √712. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(b >0,a >0)的左焦点为F ，点B 的坐标为(0,b)，若直线BF 与双曲线C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，且PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =5BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线C 的离心率为( )A. 23B. 32C. √3D. 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设曲线y =e x 在点(0,1)处的切线与曲线y =1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．14. 已知θ∈(π2,π)，则1sinθ+1cosθ=2√2，则sin(θ+π4)________，sin(2θ−π3)=________． 15. 已知A ，B ，C 是球面上三点，且AB =6，BC =8，AC =10，球心O 到平面ABC 的距离等于该球半径的12，则此球的表面积为______ ．16. 设x,y 满足约束条件{x ⩾0x +2y ⩾42x +y ⩽5，则z =2x −y 的最大值是_________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且4S n =a n 2+2a n (n ∈N ∗)(1)求a 1的值及数列{an}的通项公式；(2)记数列{1a n3}的前n 项和为T n ，求证：T n <732(n ∈N ∗)18. 某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数x 与雾霾天数y 进行统计分析，得出下表数据．x 4 5 7 8 y2356(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y =bx +a ； (2)试根据(1)求出的线性回归方程，预测燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数．相关公式：，b =∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2=∑x i n i=1y i −nx −y−∑x i 2n i=1−nx−2,a =y −−bx −19. 如图，设四棱锥S −ABCD 的底面为菱形，且∠ABC =60°，AB =SC =2，SA =SB =√2．(Ⅰ)求证：平面SAB ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)设P 为SD 的中点，求三棱锥P −SAC 的体积．20.已知椭圆C：x2a +y2b=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆上一点P(1,32)与椭圆右焦点的连线垂直于x轴．(1)求椭圆C的方程；(2)与抛物线y2=4x相切于第一象限的直线l，与椭圆C交于A，B两点，与x轴交于点M，线段AB的垂直平分线与y轴交于点N，求直线MN斜率的最小值．21.已知函数f(x)=ax+cosx，x=π6是f(x)的一个极值点．(1)求a的值；(2)求f(x)在x∈[0,2π]上的最小值．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=−1+2cosφy=2sinφ(其中φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为ρ=√2sin (θ+π4)，设l1与C相交于A，B两点，AB的中点为M，过点M作l1的垂线l2交C于P，Q两点．(1)写出曲线C的普通方程与直线l1的直角坐标方程；(2)求|PQ||MP|⋅|MQ|的值．23.若a>b>0，求证：a+1(a−b)b≥3．【答案与解析】1.答案：D解析：解：B ={x|−1<x <3}； ∴A ∩B =(1,3)．故选：D ．可求出集合B ，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，以及一元二次不等式的解法，交集的运算．2.答案：B解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件及复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得x ，y 的值得答案．解：由x1−i =1+yi ，得x =(1−i )(1+yi )=(1+y )+(y −1)i ，{x =1+yy −1=0, {x =2y =1,则x +yi =2+i =(2,1)，故选B ．3.答案：A解析：本题考查了对数函数的性质，是基础题．由0<a <1结合对数函数的性质即可判断．解：0<a <1，y =log a x 为减函数， log a x <log a y <0=log a 1，∴x >y >1，故选：A4.答案：C解析：解：单位向量e 1⃗⃗⃗ 与单位向量e 2⃗⃗⃗ 的夹角为π3， ∴e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ =1×1×cos π3=12，又OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3e 1⃗⃗⃗ +4e 2⃗⃗⃗ ，∴|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=9e 1⃗⃗⃗ 2+24e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ +16e 2⃗⃗⃗ 2=9×1+24×12+16×1=37，∴|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√37．故选：C ．根据平面向量的数量积与单位向量的概念，求出模长即可．本题考查了平面向量的数量积与模长公式的应用问题，是基础题目．5.答案：D解析：令y −2=a ，3x −2=b ，则y =a +2，x =b+23，将原式转化为关于a ，b 的不等式，两次使用基本不等式即可得到结论．本题考查了基本不等式的使用，换元是解决本题的关键，本题属于中档题．解：设y −2=a ，3x −2=b ，(a >0,b >0)，9x 2y−2+y 23x−2=(b+2)2a+(a+2)2b≥(2√2b)2a+(2√2a)2b=8(b a+ab)≥16，当且仅当a =b =2，即x =43，y =4时取等号，故选：D ．6.答案：D解析：本题考查频率分布直方图，属于基础题．根据频数直方图的定义可以判断各个选项中的结论是否正确，由此可解．解：频率分布直方图中纵轴表示频率与组距的比值，A正确；频率分布直方图中各个长方形的面积表示该组的频率，故面积之和等于1，B正确，D错误．长方形的个数与所分组数相等，C正确．故选D．7.答案：C解析：解：函数f(x)=cosxx−sinx ,x∈[−3π2,0)∪(0,3π2]满足f(−x)=−f(x)，故函数图象关于原点对称，排除A、B，当x∈(0,π2)时，f(x)=cosxx−sinx>0，故排除D，故选：C．分析函数的奇偶性，及x∈(0,π2)时，函数值的符号，利用排除法可得答案．本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的图象，难度中档．8.答案：D解析：本题主要考查两角和与差的三角函数公式，考查正弦函数的单调性，考查转化的数学思想，属于中档题．利用两角和的三角函数公式化简f(x)的解析式为f(x)=−2sin(πx−π3)，故f(x)的减区间即为y=2sin(πx−π3)的增区间．令2kπ−π2≤πx−π3≤2kπ+π2，k∈Z，求得x的范围，可得f(x)的减区间．解：f(x)=sin(πx+2π3)+cos(πx+π6)=sinπxcos 2π3+cosπxsin2π3+cosπxcosπ6−sinπxsinπ6=−sinπx+√3cosπx =−2sin(πx−π3)，故f(x)的减区间即为y =2sin(πx −π3)的增区间．令2kπ−π2≤πx −π3≤2kπ+π2(k ∈Z)，解得2k −16≤x ≤2k +56(k ∈Z)．结合所给的选项，故选D ．9.答案：A解析：本题考查抛物线的简单性质，考查转化思想，考查解三角形的能力，属于中档题．利用抛物线的定义，|PF|=|PA|，设F 在l 上的射影为F′，依题意，可求得点P 的坐标，从而可求得|AF′|，可求得点A 的坐标，代入斜率公式，从而可求得直线AF 的倾斜角．解：∵抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点， ∴|PF|=|PA|，F(1,0)，准线l 的方程为：x =−1；设F 在l 上的射影为F′，又PA ⊥l ，设P(m,n)，依|PF|=|PA|得，m +1=4，m =3，∴n =2√3， ∵PA//x 轴，∴点A 的纵坐标为2√3，点A 的坐标为(−1,2√3) 则直线AF 的斜率2√3−0−1−1=−√3，直线AF 的倾斜角等于2π3．故选A ．10.答案：C解析：本题考查分段函数的单调性，注意函数单调性的定义，属于基础题．由分段函数的解析式知，当x >1时，f(x)单调递减，f(x)<2，当x ⩽1时，f(x)在(−∞,a )上单调递减，则{a ⩾1f (1)=1−2a +8⩾2，求解即可．解：∵函数f(x)={x 2−2ax +8,x ≤12x,x >1，当x >1时，f(x)=2x ，函数f(x)单调递减，则f(x)<2，当x ⩽1时，f(x)=x 2−2ax +8=(x −a )2+8−a 2，函数f(x)的图象开口向上，对称轴为x =a ，f(x)在(−∞,a )上单调递减， ∵f(x)在定义域上单调递减，则{a ⩾1f (1)=1−2a +8⩾2，解得1⩽a ⩽72． ∴实数a 的范围为．故选C ．11.答案：C解析：解：如图，在△ADB 中，由余弦定理可得DB 2=AB 2+AD 2−2AB ⋅ADcos60°=7． ∴DB =√7．过D 作DM ⊥CB 于M ，DM =DB ⋅sin∠DBC =√7×12=√72．故选：C ．由余弦定理可得BD ，过D 作DM ⊥CB 于M ，DM =DB ⋅sin∠DBC ，即可．本题考查了余弦定理及解直角三角形，属于基础题．12.答案：B解析：解：∵左焦点为F(−c,0)，点B 的坐标为(0,b)， ∴直线PQ 为：y =bc (x +c)，与y =ba x.联立得：P(acc−a ,bcc−a ). 与y =−ba x.联立得：Q(−acc+a ,bcc+a ).∵PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =5BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则0−acc−a=5(−acc+a )⇒2c =3a ⇒e =32．故选：B ．求出P ，Q 的坐标，利用PB⃗⃗⃗⃗⃗ =5BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出双曲线C 的离心率．本题考查双曲线C 的离心率，考查学生的计算能力，确定P ，Q 的坐标是关键．13.答案：(1,1)解析：本题主要考查了导数的几何意义的应用，以及两直线垂直时斜率之间的关系，属于基础题．利用导数的几何意义求解即可．解：设P (x 0,1x 0)(x 0>0)因为y =e x ,y′=e x ,k =1，所以y =e x 在点(0,1)处的切线为y −1=1×(x −0),即y =x +1 又y =1x ,y′=−1x 2 由题意得−1x 02=−1,x 0=1所以P (1,1) 故答案为(1,1)．14.答案：−12;−1解析：本题考查两角和与差的三角函数运算、同角三角函数的基本关系以及二倍角公式，属中档题．由sinθ+cosθ=−√22可求得sin (θ+π4)=√22(sinθ+cosθ)的值；由已知条件易得sin2θ，结合角的范围和同角三角函数基本关系可得cos2θ，由两角差的正弦公式可得．解：∵1sinθ+1cosθ=2√2，∴sinθ+cosθsinθcosθ=2√2，∴sinθ+cosθ=2√2sinθcosθ，平方可得8(sinθcosθ)2−2sinθcosθ−1=0 解得sinθcosθ=−14，或12， ∵θ∈(π2,π)，∴sinθcosθ<0， ∴sin2θ=2sinθcosθ=−12，∴sinθ+cosθ=−√22， ∴(sinθ−cosθ)2=1−2sinθcosθ=32∴sinθ−cosθ=√62， ∴(sinθ−cosθ)(sinθ+cosθ)=−√32=sin 2θ−cos 2θ=−cos2θ ∴cos2θ=√32，所以sin (θ+π4)=√22(sinθ+cosθ)=−12∴sin(2θ−π3)=12sin2θ−√32cos2θ=−14−34=−1；故答案为−12;−115.答案：4003π解析：求出三角形ABC 的外心，利用球心到△ABC 所在平面的距离为球半径的一半，求出球的半径，即可求出球的表面积．本题考查球的表面积，是中档题，找出球的半径满足的条件是解题的关键．解：由题意AB =6，BC =8，AC =10，∵62+82=102，可知三角形是直角三角形，三角形的外心是AC 的中点，球心到截面的距离就是球心与三角形外心的距离，设球的半径为R ，球心到△ABC 所在平面的距离为球半径的一半，所以R 2=(12R)2+52，解得R 2=1003，∴球的表面积为4πR2=4003π.故答案为4003π.16.答案：3解析：本题考查了简单线性规划问题；正确画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值是解答的关键．画出不等式组表示的平面区域，利用目标函数的几何意义求最大值．解：x，y满足约束条件{x⩾0x+2y⩾42x+y⩽5,z=2x−y得到y=2x−z，所以当直线经过图中A(2,1)时，直线在y轴上的截距最小，所以z的最大值为2×2−1=3；故答案为3．17.答案：(1)解：当n=1时，4a1=4S1=a12+2a1，解得a1=2，(0舍去)，∵4S n=a n2+2a n，当n>1时，4S n−1=a n−12+2a n−1，∴两式相减可得4a n=a n2−a n−12+2a n−2a n−1，(a n+a n−1)(a n−a n−1−2)=0，∵数列{a n}各项均正，∴a n−a n−1=2，∴{a n}是以2为公差，2为首项的等差数列，∴a n=2+2(n−1)=2n；(2)证明：由于1a n3=1(2n)3=18⋅1n 3<18⋅1n 2<18⋅1n 2−1=116(1n−1−1n+1)(n >1)．则T n =18+18⋅23+18⋅133+⋯+18⋅1n 3 <18+116(1−13+12−14+13−15+⋯+1n−1−1n+1)=18+116(1+12−1n−1n+1)<18+116×(1+12)=732，即有T n <732．解析：(1)令n =1，a 1=S 1=，即可得到首项，再由当n >1时，a n =S n −S n−1，化简整理，即可得到a n −a n−1=2，再由等差数列通项公式，即可得到通项；(2)运用放缩法，即有1a n3=1(2n)3=18⋅1n 3<18⋅1n 2<18⋅1n 2−1=116(1n−1−1n+1)(n >1).再由裂项相消求和，即可得证．本题考查数列的通项和前n 项和的关系，考查等差数列的通项公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消法，考查运算能力，属于中档题．18.答案：解：(1)∵x −=4+5+7+84=6，y −=2+3+5+64=4，∑x i 4i=1y i =106，∑x i 24i=1=154，∴b =∑x i 4i=1y i −4x −y−∑x i 24i=1−4(x −)2=1，a =y −−bx −=−2，故线性回归方程为：y =x −2； (2)在y =x −2中，取x =9，得y =7．故由线性回归方程可以预测，燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数为7．解析：(1)由已知表格中的数据求得b 与a 的值，则线性回归方程可求； (2)在(1)中的回归方程中，取x =9求得y 值得答案．本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．19.答案：(Ⅰ)证明：连接AC ，取AB 的中点E ，连接SE 、EC ，∵SA =SB =√2，∴SE ⊥AB ，AB =2，∴SE =1，又四棱锥S −ABCD 的底面为菱形，且∠ABC =60°， ∴△ABC 是等边三角形，AB =2， ∴CE =√3，又SC =2，∴SC 2=CE 2+SE 2， ∴SE ⊥EC ，又∵SE ⊥AB ，且AB ∩EC =E ，AB ，EC ⊂面ABCD ， ∴SE ⊥面ABCD ， ∵SE ⊂平面SAB ， ∴平面SAB ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)解：V P−SAC =V S−PAC =V S−DAC −V P−DAC =12V S−DAC =12×13×√34×22×1=√36．解析：(Ⅰ)连接AC ，取AB 的中点E ，连接SE 、EC ，证明SE ⊥面ABCD ，即可证明平面SAB ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)利用转换底面的方法，即可求三棱锥P −SAC 的体积．本题在四棱锥中证明面面垂直，并求三棱锥的体积．着重考查了平面与平面垂直的判定定理和锥体体积公式等知识，属于中档题．20.答案：解：(1)∵点P(1,32)与椭圆右焦点的连线垂直于x 轴，∴c =1，将P 点坐标代入椭圆方程可得1a 2+94b 2=1，又a 2−b 2=1，联立可解得a 2=4，b 2=3， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；(2)设切点坐标为(y 024,y 0)(y 0>0)，则l ：y −y 0=2y 0(x −y 024)．整理，得l ：y =2y 0x +y 02．∴M(−y 024,0)，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立{y =2y 0x +y2x 24+y 23=1，可得(3+16y 02)x 2+8x +y 02−12=0， △=64−4(3+16y 02)(y 02−12)=−12y 04+144y 02+768y 02>0．x 1+x 2=−8y 023y 02+16,x 1x 2=y 04−12y 023y 02+16． ∴AB 的中点坐标为(−4y 023y 02+16,32y 033y 02+16)，∴AB 的垂直平分线方程为y −32y 033y 02+16=−y 02(x +4y 023y 02+16)，令x =0，得y =−12y 033y 02+16，即N(0,−12y 033y 02+16)，∴k MN =−2y3y 02+16．∵y 0>0，∴k MN =−2y 03y 02+16=−23y0+16y≥−√312，当且仅当y 0=4√33时取得等号． ∴直线MN 的斜率的最小值为−√312．解析：(1)由题意求得c ，把P 的坐标代入椭圆方程，结合隐含条件求得a 2，b 2的值，则椭圆方程可求；(2)设切点坐标为(y 024,y 0)(y 0>0)，写出直线l 的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求出AB 的中点坐标，得到AB 的垂直平分线方程，求出N 的坐标，进一步得到MN 的斜率，然后利用基本不等式求直线MN 斜率的最小值．本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，体现了整体运算思想方法，是中档题．21.答案：解：(1)f′(x)=a −sinx ，令f′(π6)=a −sin π6=0得a =12．经检验，符合题意．所以a =12(2)由f(x)=12x +cosx 知f′(x)=12−sinx ，令f′(x)=0得x =π6或x =5π6，f(0)=0+cos0=1，f(5π6)=12×5π6+cos5π6=5π12−√32<1，所以f(x)的最小值为5π12−√32．解析：本题考查利用导数研究函数的极值和闭区间上的最值问题，属于中档题．(1)本小题考查利用导数研究函数的极值，f′(x)=a −sinx ，令f′(π6)=a −sin π6=0，即可求出a 的值，注意检验．(2)本小题考查利用导数研究函数在闭区间上的最值，求导之后判断函数的单调性，求出闭区间上的极值，再和区间端点的函数值比较即可．22.答案：解：(1)由曲线C的参数方程{x=−1+2cosφy=2sinφ，消去参数φ，得曲线C的普通方程为(x+1)2+y2=4．由曲线l1的极坐标方程ρ=√2sin (θ+π4)，得ρsinθ+ρcosθ=1，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得l1的直角坐标方程为x+y−1=0；(2)由l1⊥l2，得直线l2的斜率k l2=−1k l1=1，所以l2的倾斜角为π4，又l2过圆心(−1,0)，所以l2的方程为y=x+1，与x+y−1=0联立，得AB的中点M(0,1)，故l2的参数方程为{x=tcosπ4y=1+tsinπ4,(t为参数)，即{x=√22ty=1+√22t,(t为参数)，代入(x+1)2+y2=4中，化简、整理得t2+2√2t−2=0，设P，Q对应的参数分别为t1，t2，则由韦达定理得t1·t2=−2，又线段PQ为圆的直径，所以|PQ|=4，所以|PQ||MP|⋅|MQ|=4|−2|=2．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．23.答案：见解析解析：a+1(a−b)b =(a−b)+b+1(a−b)b，∵a>b>0，∴a−b>0，b>0，1(a−b)b>0，∴(a−b)+b+1(a−b)b ≥3√(a−b)⋅b⋅1(a−b)b3=3，∴a+1(a−b)b≥3，当且仅当a−b=b=1(a−b)b，即a=2，b=1时等号成立．。

2020年湖北省高考数学模拟试卷(理科)(4月份) (含答案解析)

2020年湖北省高考数学模拟试卷(理科)(4月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. R 是实数集，A ={x|3≤x <7}，B ={x|4<x <10}，则(∁R A)∩B =( )A. [3,10)B. (4,7)C. [7,10)D. [3,4]2. 若复数z 满足|z|⋅z .=20−15i ，则z 的虚部为( )A. 3B. −3C. 3iD. −3i3. 记(2−x)7=a 0+a 1(1+x)+⋯…+a 7(1+x)7，则a 0+a 1+a 2+⋯…+a 6的值为( )A. 1B. 2C. 129D. 21884. 已知函数f(x)=log 21−x1+x ，若f(a)=12，则f(−a)=( )．A. 2B. −2C. 12D. −125. 函数f(x)=sinx +cosx x的大致图象为( )A.B.C.D.6. 如果log 12x <log 12y <0，那么( ) A. y <x <1 B. x <y <1 C. y >x >1 D. x >y >17. 已知p ：f(x +1)是偶函数，q ：函数f(x)关于直线x =1对称，则p 是q 的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件8. 在平行四边形ABCD 的边AD 上一点E 满足AE =14AD ，且AC ∩BD =F ，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 12a⃗ +14b ⃗ B. 12a⃗ −14b ⃗ C. −12a⃗ +14b ⃗ D. 14a⃗ +14b ⃗ 9. 已知函数f(x)={x 2−2ax +8,x ≤12x,x >1，f(x)在定义域上单调递减，则实数a 的范围为( )A. (1,72)B. (1,+∞)C. [1,72]D. (−∞,72]10. 双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 在C 上，△PF 1F 2为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为( )A. √2−1B. √2+1C. √3D. √3+111. 如图，圆锥顶点为P ，底面圆心为O ，过轴PO 的截面PAB ，C 为PA 中点，PA =4√3，PO =6，则从点C 经圆锥侧面到点B 的最短距离为( )A. 2√15B. 2√15−6√2C. 6D. 2√15−6√312. 已知函数f(x)=sin(2x +φ)，其中φ为实数，若f(x)≤|f(π6)|对x ∈R 恒成立，且f(π2)<f(π).则下列结论正确的是( )A. f(1112π)=−1 B. f(7π10)>f(π5) C. f(x)是奇函数D. f(x)的单调递增区间是[kπ−π3,kπ+π6](k ∈Z)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知曲线y =13x 3+x 2上点P 处切线的斜率为3，则点P 的坐标为____________14. 北京大学为响应习近平总书记寄语青年人“忠于祖国不负时代，放飞青春梦想实现中华民族伟大复兴”新建立3个社团，若每位同学参加各个社团的可能性相同，每位同学必须参加社团且只能参加其中一个社团，则甲、乙两位同学参加同一社团的概率为_____．15. 已知满足{x ≥2x +y ≤42x −y −m ≤0 ，若目标函数z =3x +y 的最大值为10，则z 的最小值为______．16. 已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 29+y 25=1的左、右焦点，M 是椭圆上位于第一象限的一点，|MF 1|=133，A 、B 是椭圆C 上异于M 的两点，且△AMB 的重心为F 2，则直线AB 的斜率为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2c −a)cosB −bcosA =0．(Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)求√3sinA +sin(C −π6)的取值范围．18. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为矩形且AD =2AB ，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且侧面PAD 是正三角形，E 是AD 中点．(1)证明：CE ⊥平面PBE ； (2)求二面角D −PC −B 的余弦值．19. 已知A ，B 两点在抛物线C ：x 2=4y 上，点M(0,4)满足MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．(1)若线段|AB|=12√2，求直线AB 的方程；(2)设抛物线C过A、B两点的切线交于点N.求证：点N在一条定直线上．20.设函数f(x)=ln(2x+3)+x2，求f(x)在(−1,+∞)上的最小值．21.五一期间，某商场决定从2种服装、3种家电、4种日用品中，选出3种商品进行促销活动．(1)试求选出3种商品中至少有一种是家电的概率；(2)商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销，即在该商品现价的基础上将价格提高60元，规定购买该商品的顾客有3次抽奖的机会：若中一次奖，则获得数额为n元的奖金；若中两次奖，则获得数额为3n元的奖金；若中三次奖，则共获得数额为 6n元的奖金．假设顾客每次抽奖中奖的概率都是1，请问：商场将奖金数额n最高定为多少元，才能使促销方案对商场利益无4损害？22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =cosαy =1+sinα(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)求曲线C 的极坐标方程；(Ⅱ)设A ，B 为曲线C 上两点(均不与O 重合)，且满足∠AOB =π3，求|OA|+|OB|的最大值．23. 若a >b >0，求证：a +1(a−b)b ≥3．【答案与解析】1.答案：C解析：解：∁R A ={x|x <3，或x ≥7}； ∴(∁R A)∩B =[7,10)．故选：C ．进行补集、交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，以及补集、交集的运算．2.答案：A解析：解：设z =a +bi(a,b ∈R)，由|z|⋅z .=20−15i ，得√a 2+b 2(a −bi)=20−15i ， ∴{√a 2+b 2b =15√a 2+b 2a=20，解得a =4，b =3．∴z 的虚部为3．故选：A ．设z =a +bi(a,b ∈R)，代入|z|⋅z .=20−15i ，由复数相等的条件列式求得a ，b 得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础的计算题．3.答案：C解析：解：记(2−x)7=a 0+a 1(1+x)+⋯+a 7(1+x)7=−[−3+(x +1)]7，∴a 7=−C 77=−1，则令x =0，可得a 0+a 1+a 2+⋯+a 6+a 7=a 0+a 1+a 2+⋯+a 6−1=27=128，则a 0+a 1+a 2+⋯+a 6=129，故选：C ．二项式即−[−3+(x +1)]7，求得a 7 的值，可得a 0+a 1+a 2+⋯+a 6的值．本题主要考查二项式定理的应用，注意分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，属于基础题．4.答案：D解析：由已知得函数的定义域为(−1,1)且f(−x)=log21−(−x)1+−x =−log21−x1+x=−f(x)，所以函数f(x)是奇函数，故f(−a)=−f(a)=−12，故选D．5.答案：B解析：本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性，属于简单题．利用函数的奇偶性排除错误选项，然后再利用函数值的正负判断即可．解：函数f(x)=sinx+cosxx ，定义域关于原点对称，满足函数f(−x)=−sinx−cosxx=−f(x)，所以函数为奇函数，排除A、C，因为x∈(0,π2)时，sinx>0，cosxx>0，此时f(x)>0，所以排除D，故选：B．6.答案：D解析：本题考查对数函数的性质，属于基础题.根据题意，结合对数函数的性质求解即可．解：log12x<log12y<0=log121，因为log12x为减函数，则x>y>1．故选D．7.答案：C解析：解：若f(x+1)是偶函数，则f(−x+1)=f(x+1)，则函数f(x)关于直线x=1对称，则p是q的充要条件，故选：C根据函数的性质以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数奇偶性和对称性的性质是解决本题的关键．8.答案：A解析：解：根据题意得AE ⃗⃗⃗⃗⃗=14AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，F 为AC 和BD 的交点，∴F 为AC 的中点， ∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(a ⃗ +b ⃗ )，∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a ⃗ +12b ⃗ −14b ⃗ =12a ⃗ +14b ⃗ ，故选：A ．AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =14AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )由向量的减法得EF ⃗⃗⃗⃗⃗ 本题考查平面向量基本定理及向量的表示．9.答案：C解析：本题考查分段函数的单调性，注意函数单调性的定义，属于基础题．由分段函数的解析式知，当x >1时，f(x)单调递减，f(x)<2，当x ⩽1时，f(x)在(−∞,a )上单调递减，则{a ⩾1f (1)=1−2a +8⩾2，求解即可．解：∵函数f(x)={x 2−2ax +8,x ≤12x,x >1，当x >1时，f(x)=2x ，函数f(x)单调递减，则f(x)<2，当x ⩽1时，f(x)=x 2−2ax +8=(x −a )2+8−a 2，函数f(x)的图象开口向上，对称轴为x =a ，f(x)在(−∞,a )上单调递减， ∵f(x)在定义域上单调递减，则{a ⩾1f (1)=1−2a +8⩾2，解得1⩽a ⩽72． ∴实数a 的范围为．故选C ．10.答案：B解析：本题考查了双曲线的性质，离心率的计算，属于中档题．根据F 1F 2=PF 2列方程得出a ，b ，c 的关系，从而得出答案．解：不妨设P 在第一象限，∵△PF 1F 2为等腰直角三角形，F 1F 2=PF 2，且F 1F 2⊥PF 2，把x=c代入双曲线方程得y=b2a ，即PF2=b2a，∴2c=b2a =c2−a2a，即c2−2ac−a2=0，∴e2−2e−1=0，解得e=√2+1或e=−√2+1(舍)，故选：B．11.答案：A解析：本题考查旋转体表面上的最短距离问题，考查弧长公式的应用，是基础题．由题意画出图形，得到圆锥沿母线剪开再展开的图形，由勾股定理求解．解：如图，沿圆锥母线PA剪开再展开，∵PA=4√3，PO=6，∴OA=2√3，则圆锥底面周长为4√3π，展开后所得扇形为半圆，B到B′处，则从点C经圆锥侧面到点B的最短距离为√(2√3)2+(4√3)2=2√15．故选：A．12.答案：D解析：根据题意首先判断φ的取值，然后逐条验证．对A，代入求值即可；对B，代入比较大小即可；对C，根据奇函数定义，验证是否适合；对D，通过解不等式求单调区间的方法求解．本题借助考查命题的真假判断，考查三角函数的性质．解：∵f(x)≤|f(π6)|对x∈R恒成立，∴2×π6+φ=kπ+π2⇒φ=kπ+π6，k∈Z．∵f(π2)<f(π)⇒sin(π+φ)=−sinφ<sin(2π+φ)=sinφ⇒sinφ>0．∴φ=2kπ+π6，k∈Z.不妨取φ=π6f(11π12)=sin2π=0，∴A×；∵f(7π10)=sin(7π5+π6)=sin47π30=−sin17π30<0，f(π5)=sin(2π5+π6)=sin17π30>0，∴B×；∵f(−x)≠−f(x)，∴C×；∵2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2⇒kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z.∴D√；故选D．13.答案：(1,43)或(−3,0)解析：本题考查导数的几何意义，设P的坐标，然后利用导数的几何意义求解即可．解：设P(x0,y0)，又y=13x3+x2，所以y′=x2+2x，由已知有x02+2x0=3，所以x0=1或−3，所以点P的坐标为(1,43)或(−3,0)．故答案为(1,43)或(−3,0)．14.答案：13解析：本题考查相互独立事件同时发生的概率计算，属于基础题目．先得出甲乙参加A 社团的概率，求出甲乙都参加A 社团的概率，进而得出答案．解：记3个社团分别为A,B,C ，依题意甲参加A 社团的概率为13，乙参加A 社团的概率为13，所以甲和乙都参加A 社团的概率为13×13=19，同理可得甲和乙都参加B 社团的概率为19，甲和乙都参加C 社团的概率为19，所以甲、乙两位同学参加同一社团的概率为19+19+19=13．故答案为：13．15.答案：5解析：解：不等式组对应的平面区域如图：由z =3x +y 得y =−3x +z平移直线y =−3x +z ，则由图象可知当直线y =−3x +z 经过点C 时，直线y =−3x +z 的截距最大，此时z 最大，为3x +y =10由{3x +y =10x +y =4，解得{x =3y =1，即C(3,1)，此时C 在2x −y −m =0上，则m =5．当直线y =−3x +z 经过点A 时，直线y =−3x +z 的截距最小，此时z 最小，由{x =22x −y −5=0，得{x =2y =−1，即A(2,−1)，此时z =3×2−1=5，故答案为：5．作出不等式组对应的平面区域，根据z 的几何意义，利用数形结合即可得到m 的值．然后即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，根据z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．16.答案：43解析：本题考查椭圆的性质和几何意义，属于中档题．根据椭圆的定义求出|MF 2|的长，根据焦半径的公式得到MF 2⊥F 1F 2，再结合重心的坐标公式，得到A 、B 的横、纵坐标之和，联想到点差法求出直线AB 的斜率．解：易知F 2(2,0).∵|MF 1|=133，∴|MF 2|=2×3−133=53=b 2a，根据焦半径公式可得MF 2⊥F 1F 2，M(2,53)．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由题知x 1+x 2+23=2，y 1+y 2+533=0，则x 1+x 2=4，y 1+y 2=−53．又∵A 、B 在椭圆C 上，∴x 129+y 125=1，x 229+y 225=1，相减得y 1−y 2x 1−x 2=−59⋅x 1+x2y 1+y 2=−59×4−53=43．故答案为：43．17.答案：解：(Ⅰ)在△ABC 中，∵(2c −a)cosB −bcosA =0，∴2sinCcosB −sinAcosB −sinBcosA =0，即2sinCcosB −sin(A +B)=0，又sin(A +B)=sinC ，∴2sinCcosB −sinC =0即sinC(2cosB −1)=0， ∵C 是三角形的内角，sinC ≠0， ∴cosB =12，且B 是三角形内角， ∴B =π3．(Ⅱ)由(Ⅰ)可得√3sinA+sin(C−π6)=√3sinA+cosA=2sin(A+π6)，∵A∈(0,2π3)，∴A+π6∈(π6,5π6)，∴sin(A+π6)∈(12,1]，∴2sin(A+π6)∈(1,2]，即√3sinA+sin(C−π6)的取值范围是(1,2]．解析：本题主要考查正弦定理、两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，考查了计算能力与推理能力，属于中档题．(Ⅰ)在△ABC中，由条件利用正弦定理、两角和差的正弦公式可得sinC(2cosB−1)=0，故有cosB=12，由此求得B的值．(Ⅱ)由(Ⅰ)可得√3sinA+sin(C−π6)=2sin(A+π6)，根据A∈(0,2π3)，利用正弦函数的定义域和值域求得√3sinA+sin(C−π6)的取值范围．18.答案：解：(1)证明：∵侧面△PAD是正三角形，E是AD中点，∴PE⊥AD，∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，∴PE⊥底面ABCD，∴PE⊥CE，∵底面ABCD是矩形且AD=2AB，∴AE=DE=AB=CD，∴∠AEB=∠DEC=45°，∴∠AEB+∠DEC=90°，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CE，∵PE∩BE=E，∴CE⊥平面PBE．(2)解：以E 为原点，以ED ，EP 所在直线，AD 的垂直平分线为x ，z ，y 轴，建立空间直角坐标系，设AD =2AB =2，则点D(1,0，0)，C(1,1，0)，P(0,0，√3)，B(−1,1，0)， ∴PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，−√3)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，−√3)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，−√3)，设平面PCB 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +y −√3z =0m ⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y −√3z =0，取z =1，得m ⃗⃗⃗ =(0,√3,1)，设平面PCD 的法向量n ⃗ =(a,b ，c)，则{n ⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a −√3c =0n ⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b −√3c =0，取c =1，得n ⃗ =(√3,0,1)，设二面角D −PC −B 的平面角为θ，则θ为钝角， ∴二面角D −PC −B 的余弦值为：cosθ=−|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=−14．解析：本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)推导出PE ⊥AD ，从而PE ⊥底面ABCD ，PE ⊥CE ，AE =DE =AB =CD ，BE ⊥CE ，由此能证明CE ⊥平面PBE ．(2)以E 为原点，以ED ，EP 所在直线，AD 的垂直平分线为x ，z ，y 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D −PC −B 的余弦值．19.答案：解：(1)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，l AB ：y =kx +4与x 2=4y 联立得x 2−4kx −16=0， △=(−4k)2−4(−16)=16k 2+64>0， x 1+x 2=4k ，x 1x 2=−16，|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅4√k 2+4，又|AB|=12√2，即√1+k 2⋅4√k 2+4=12√2，解得：k 2=2，k 2=−7(舍)，所以直线的方程y =±√2x +4 (2)证明：过点A 的切线：y =12x 1(x −x 1)+y 1=12x 1x −14x 12，①，过点B 的切线：y =12x 2x −14x 22，②，联立①②得点N(x 1+x 22,−4)，所以点N 在定直线y =−4上．解析：(1)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，根据韦达定理表示出x 1+x 2=4k ，x 1x 2=−16，根据弦长公式计算即可(2)先表示出过点A 的切线和过点B 的切线，然后两直线联立可求出点N 的坐标，即可得到点N 在定直线y =−4上．本题主要考查了抛物线的应用．涉及了抛物线的性质，向量的计算，属于中档题20.答案：ln2+14．解析：依题意知函数f(x)的定义域为(−32,+∞)，f′(x)=2(2x+1)(x+1)2x+3，当−1<x <−12时，f′(x)<0恒成立；当x >−12时，f′(x)>0恒成立，∴f(x)在(−1,−12)上递减，在(−12,+∞)上递增，∴f(x)在(−1,+∞)上的最小值为f(−12)=ln2+14．21.答案：解：(1)设选出的3种商品中至少有一种是家电为事件A ，从2种服装、3种家电、4种日用品中，选出3种商品，一共有C 93种不同的选法，选出的3种商品中，没有家电的选法有C 63种，所以选出的3种商品中至少有一种是家电的概率为 P(A)=1−C 63C 93=1−521=1621；(2)设顾客三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量ξ，其所有可能的取值为0，n ，3n ，6n ；(单元：元) ξ=0表示顾客在三次抽奖都没有获奖，所以P(ξ=0)=C 3(14)0(1−14)3=2764，同理P(ξ=n)=C 31(14)1(1−14)2=2764； P(ξ=3n)=C 32(14)2(1−14)=964； P(ξ=6n)=C 33(14)3(1−14)0=164；顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是： Eξ=0×2764+n ×2764+3n ×964+6n ×164=15n 16，由15n16≤60，解得n ≤64，所以n 最高定为64元，才能使促销方案对商场利益无损害．解析：本题考查了古典概型的概率以及离散型随机变量的分布列和数学期望的计算问题，是中档题． (1)设选出的3种商品中至少有一种是家电为事件A ，利用对立事件的概率求出A 的概率值； (2)设顾客三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量ξ，写出ξ的所有可能取值，求出对应的概率值，计算数学期望，利用数学期望值列不等式，求出奖金数额n 的最高值．22.答案：解：(I)曲线C 的参数方程为{x =cosαy =1+sinα(α为参数)，转换为直角坐标方程为x 2+(y −1)2=1，整理得x 2+y 2−2y =0，转换为极坐标方程为ρ=2sinθ． (II)设A(ρ1,θ)，则B(ρ2,θ+π3)，故ρ1=2sinθ，ρ2=2sin(θ+π3)，所以|OA|+|OB|=ρ1+ρ2=2sinθ+2sin(θ+π3)=2√3sin(θ+π6)．当θ=π3时，|OA|+|OB|的最大值为2√3．解析：(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果． (Ⅱ)利用三角函数关系式的恒等变换和极径的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：见解析解析：a +1(a−b)b =(a −b)+b +1(a−b)b ，∵a >b >0，∴a −b >0，b >0，1(a−b)b >0，∴(a −b)+b +1(a−b)b≥3√(a −b)⋅b ⋅1(a−b)b3=3，∴a +1(a−b)b ≥3，当且仅当a −b =b =1(a−b)b ，即a =2，b =1时等号成立．。

【2020年数学高考】武汉市2020届高中毕业生四月调研测试理科数学.docx

武汉市2020届高中毕业生四月调研测试理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数52i -的共轭复数是（） A ．2i + B ．2i -+ C ．2i -- D ．2i -2.已知集合2{|1}M x x ==，{|1}N x ax ==，若N M ⊆，则实数a 的取值集合为（）A ．{1}B ．{1,1}-C ．{1,0}D ．{1,1,0}-3.执行如图所示的程序框图，如果输入的[2,2]t ∈-，则输出的S 属于（）A ．[4,2]-B ．[2,2]-C ．[2,4]-D ．[4,0]-4.某几何体的三视图如图所示，则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离的最大值为（）A C ．．5.一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从09中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为（）A ．25B ．310C ．15D ．1106.若实数a ，b 满足1a b >>，log (log )a a m b =，2(log )a n b =，2log a l b =，则m ，n ，l 的大小关系为（）A ．m l n >>B ．l n m >>C ．n l m >>D ．l m n >>7.已知直线1y kx =-与双曲线224x y -=的右支有两个交点，则k 的取值范围为（）A ．B ．C ．(D ． 8.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对应边分别为a ，b ，c ，条件p ：2b c a +≤，条件q ：2B C A +≤，那么条件p 是条件q 成立的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9.在61(1)x x+-的展开式中，含5x 项的系数为（） A ．6 B ．6- C ．24 D ．24-10.若x ，y 满足1212x y -++≤，则2222M x y x =+-的最小值为（）A ．2-B ．211 C ．4 D ．49- 11.函数()2sin()(0)3f x x πωω=+>的图象在[0,1]上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为（）A ．[2,4]ππB ．9[2,)2ππ C ．1325[,)66ππ D ．25[2,)6ππ 12.过点(2,1)P -作抛物线24x y =的两条切线，切点分别为A ，B ，PA ，PB 分别交x 轴于E ，F 两点，O 为坐标原点，则PEF ∆与OAB ∆的面积之比为（）A B ．12 D ．34二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知sin 2cos αα=，则sin cos αα= ．14.已知向量a ，b ，c 满足20a b c ++=，且1a =，3b =，2c =，则22a b a c b c ⋅+⋅+⋅= ． 15.已知(,)22x ππ∈-，()1y f x =-为奇函数，'()()tan 0f x f x x +>，则不等式()cos f x x >的解集为．16.在四面体ABCD 中，1AD DB AC CB ====，则四面体体积最大时，它的外接球半径R = ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知正数数列{}n a 满足：12a =，11212n n n n n a a a a ---+=+-(2)n ≥. （1）求2a ，3a ；（2）设数列{}n b 满足22(1)n n b a n =--，证明：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项n a .18.如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别在棱AB ，CD 上，且1AE CF ==.（1）已知M 为棱1DD 上一点，且11D M =，求证：1B M ⊥平面11A EC .（2）求直线1FC 与平面11A EC 所成角的正弦值.19.已知椭圆Γ：22142x y +=，过点(1,1)P 作倾斜角互补的两条不同直线1l ，2l ，设1l 与椭圆Γ交于A 、B 两点，2l 与椭圆Γ交于C ，D 两点.（1）若(1,1)P 为线段AB 的中点，求直线AB 的方程；（2）记AB CDλ=，求λ的取值范围. 20.在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示.（1）求这4000名考生的竞赛平均成绩x （同一组中数据用该组区间中点作代表）；（2）由直方图可认为考生竞赛成绩z 服正态分布2(,)N μσ，其中μ，2σ分别取考生的平均成绩x 和考生成绩的方差2s ，那么该区4000名考生成绩超过84.41分（含84.81分）的人数估计有多少人？（3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过．．．84.81分的考生人数为ξ，求(3)P ξ≤.（精确到0.001）附：①2204.75s =14.31=；②2(,)z N μσ，则()0.6826P z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P z μσμσ-<<+=；③40.84130.501=.21.已知函数()(ln )xf x xe a x x =-+，a R ∈.（1）当a e =时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，l 的极坐标方程为(cos 2sin )10ρθθ+=，C 的参数方程为3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，R θ∈）. （1）写出l 和C 的普通方程；（2）在C 上求点M ，使点M 到l 的距离最小，并求出最小值.23.[选修4-5：不等式选讲] 已知()22f x ax x =--+.（1）在2a =时，解不等式()1f x ≤；（2）若关于x 的不等式4()4f x -≤≤对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围.武汉市2020届高中毕业生四月调研测试理科数学参考答案一、选择题1-5: BDABC 6-10: BDABD 11、12：CC二、填空题 13. 25 14. 13- 15. (0,)2π三、解答题17.（1）由已知212132a a a a +=+-，而12a =， ∴2222232(2)a a -=+-，即222230a a --=.而20a >，则23a =. 又由323252a a a a +=+-，23a =，∴233952(3)a a -=+-，即233280a a --=.而30a >，则34a =.∴23a =，34a =.（2）由已知条件可知：22112()21n n n n a a a a n ---=-+-，∴22221(1)(1)(1)n n a a n n ----=--，则22221(1)(1)(1)n n a n a n ---=---223(1)2a =⋅⋅⋅=--222(1)1a =--0=，而22(1)n n b a n =--，∴0n b =，数列{}n b 为等差数列.∴22(1)n a n -=.而0n a >，故1n a n =+.18.解：（1）过M 作1MT AA ⊥于点T ，连1B T ，则11AT =.易证：111AA E A B T ∆≅∆，于是111AA E A B T ∠=∠.由111190A B T ATB ∠+∠=，知11190AA E ATB ∠+∠=，∴11A E B T ⊥.显然MT ⊥面11AA B B ，而1A E ⊂面11AA B B ，∴1MT A E ⊥，又1B T MT T =，∴1A E ⊥面MTB ，∴11A E MB ⊥.连11B D ，则1111B D A C ⊥.又111D M A C ⊥，1111B D D M D =，∴11A C ⊥面11MD B ，∴111AC MB ⊥.由11A E MB ⊥，111AC MB ⊥，1111A EA C A =，∴1B M ⊥面11A EC .（2）在11D C 上取一点N ，使11ND =，连接EF . 易知1//A E FN .∴1111A EFC N EFC E NFC V V V ---== 11113(23)33332NFC S ∆=⋅⨯=⨯⨯⨯=.对于11A EC ∆，11AC =，1A E而1EC 由余弦定理可知11cos EAC ∠==.∴11A EC ∆的面积11111sin 2S AC A E EAC =⋅∠12=⨯=. 由等体积法可知F 到平面11A EC 之距离h 满足111113A EC A EFC S h V ∆-⋅=，则133h =，∴h =，又1FC =1FC 与平面1AEC 所成角为θ，∴sin95θ===. 19.解：（1）设直线AB 的斜率为tan k α=，方程为1(1)y k x -=-，代入2224x y +=中，∴222[(1)]40x kx k +---=.∴222(12)4(1)2(1)40k x k k x k +--+--=.判别式222[4(1)]4(21)[2(1)4]k k k k ∆=--+--28(321)k k =++.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12221224(1)212(1)421k k x x k k x x k -⎧+=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩. ∵AB 中点为(1,1)， ∴12212(1)()1221k k x x k -+==+，则12k =. ∴直线的AB 方程为11(1)2y x -=-，即210x y -+=. （2）由（1）知12AB x =-==. 设直线的CD 方程为1(1)(0)y k x k -=--≠.同理可得CD =.∴0)ABk CD λ==≠. ∴2241312k k k λ=++-41132k k=++-. 令13t k k=+，则4()12g t t =+-，(,[23,)t ∈-∞-+∞. ()g t 在(,-∞-，)+∞分别单调递减，∴2()1g t≤<或1()2g t<≤故221λ<或212λ<≤+即6(1,]22λ+∈. 20.解：（1）由题意知：∴450.1550.15650.2750.3x =⨯+⨯+⨯+⨯850.15950.170.5+⨯+⨯=， ∴4000名考生的竞赛平均成绩x 为70.5分.（2）依题意z 服从正态分布2(,)N μσ，其中70.5x μ==， 2204.75D σξ==，14.31σ=，∴z 服从正态分布22(,)(70.5,14.31)N N μσ=，而()(56.1984.81)0.6826P z P z μσμσ-<<+=<<=，∴10.6826(84.81)0.15872P z -≥==. ∴竞赛成绩超过84.81分的人数估计为0.158********.8⨯=人634≈人.（3）全市竞赛考生成绩不超过84.81分的概率10.15870.8413-=. 而(4,0.8413)B ξ，∴444(3)1(4)10.8413P P C ξξ≤=-==-⋅10.5010.499=-=.21.解：（1）定义域为：(0,)+∞，当a e =时，(1)()'()x x xe e f x x+-=. ∴()f x 在(0,1)时为减函数；在(1,)+∞时为增函数.（2）记ln t x x =+，则ln t x x =+在(0,)+∞上单增，且t R ∈.∴()(ln )x f x xe a x x =-+()te at g t =-=.∴()f x 在0x >上有两个零点等价于()t g t e at =-在t R ∈上有两个零点. ①在0a =时，()t g t e =在R 上单增，且()0g t >，故()g t 无零点； ②在0a <时，'()t g t e a =-在R 上单增，又(0)10g =>，11()10a g e a =-<，故()g t 在R 上只有一个零点；③在0a >时，由'()0tg t e a =-=可知()g t 在ln t a =时有唯一的一个极小值(ln )(1ln )g a a a =-.若0a e <<，(1ln )0g a a =->最小，()g t 无零点；若a e =，0g =最小，()g t 只有一个零点；若a e >时，(1ln )0g a a =-<最小，而(0)10g =>，由于ln ()x f x x=在x e >时为减函数，可知：a e >时，2a e e a a >>. 从而2()0a g a e a =->，∴()g x 在(0,ln )a 和(ln ,)a +∞上各有一个零点.综上讨论可知：a e >时()f x 有两个零点，即所求a 的取值范围是(,)e +∞.22.解：（1）由l ：cos sin 100ρθρϕ+-=，及cos x ρθ=，sin y ρθ=. ∴l 的方程为2100x y +-=.由3cos x θ=，2sin y θ=，消去θ得22194x y +=. （2）在C 上取点(3cos ,2sin )M ϕϕ，则d=05cos()10ϕϕ=--. 其中003cos 54sin 5ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，当0ϕϕ=时，d此时093sin 3cos 5ϕϕ==，0082sin 2cos 5ϕϕ==，98(,)55M . 23.解：（1）在2a =时，2221x x --+≤.在1x ≥时，(22)(2)1x x --+≤，∴15x ≤≤；在2x ≤-时，(22)(2)1x x --++≤，3x ≥，∴x 无解；在21x -≤≤时，(22)(2)1x x ---+≤，13x ≥-，∴113x -≤≤. 综上可知：不等式()1f x ≤的解集为1{|5}3x x -≤≤. （2）∵224x ax +--≤恒成立，而22(1)x ax a x +--≤+，或22(1)4x ax a x +--≤-+，故只需(1)4a x +≤恒成立，或(1)44a x -+≤恒成立， ∴1a =-或1a =.∴a 的取值为1或1-.。

2020年高考模拟试卷湖北省武汉一中高考(文科)数学(4月份)模拟试卷解析版

2020年高考数学（4月份）模拟试卷（文科）一、选择题1．已知集合A＝{1，0，﹣1}，B＝{y|y＝2x﹣1，x∈A}，则A∩B＝（）A．{1，0，﹣1}B．{1，﹣1}C．{0}D．∅2．已知i为虚数单位，则复数z＝2i﹣的虚部是（）A．3i B．i C．3D．13．已知数列{a n}为等差数列，前n项和为S n，且a5＝5，则S9＝（）A．25B．90C．50D．454．已知直线l，m，平面α、β、γ，给出下列命题：①l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；②α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β；④l⊥m，l⊥α，m⊥β，则α⊥β．其中正确的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．若||＝，||＝2且（﹣）⊥，则与的夹角是（）A．B．C．D．6．计算sin133°cos197°+cos47°cos73°的结果为（）A．B．C．D．﹣7．已知抛物线y2＝4x的焦点到双曲线（a＞0）的一条渐近线的距离为，则该双曲线的方程为（）A．x2﹣y2＝1B．﹣y2＝1C．﹣y2＝1D．﹣y2＝1 8．若x，y满足约束条件，则z＝4x+3y的最小值为（）A．9B．6.5C．4D．39．定义在R上的奇函数f（x）＝a•2x﹣2﹣x﹣4sin x的一个零点所在区间为（）A．（﹣a，0）B．（0，a）C．（a，3）D．（3，a+3）10．若直线l：4x﹣ay+1＝0与圆C：（x+2）2+（y﹣2）2＝4相切，则实数a的值为（）A．B．C．或1D．或111．已知四棱锥的各个顶点都在同一个球的球面上，且侧棱长都相等，高为4，底面是边长为3的正方形，则该球的表面积为（）A．B．C．36πD．34π12．关于x的方程kx＝sin x（k∈（0，1））在（﹣3π，3π）内有且仅有5个根，设最大的根是α，则α与tanα的大小关系是（）A．α＞tanαB．α＜tanαC．α＝tanαD．以上都不对二、填空题（共4小题）13．如图，在△ABC中，∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB的长为．14．已知正实数a，b满足＝3，则（a+1）（b+2）的最小值是．15．设m＞0，点A（4，m）为抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，F为焦点，以A为圆心|AF|为半径的圆C被y轴截得的弦长为6，则圆C的标准方程为．16．定义在R上的函数f（x）满足f'（x）﹣f（x）＜2e x（e为自然对数的底数），其中f'（x）为f（x）的导函数，若f（2）＝4e2，则＞xe x的解集为．三、解答题（共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题17．记S n为等比数列{a n}的前n项和，a1＝8，S3＝2（a2+3）．（1）求{a n}的通项公式；（2）已知T n＝a1a2…a n，求T n的最大值．18．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，BC＝2，D是BC的中点，F是C1C 上一点．（1）当CF＝2，求证：B1F⊥平面ADF；（2）若FD⊥B1D，求三棱锥B1﹣ADF体积．19．在这智能手机爆发的时代，大部分高中生都有手机，在手机面前，有些学生无法抵御手机尤其是手机游戏和短视频的诱惑，从而导致无法专心完成学习任务，成绩下滑；但是对于自制力强，能有效管理自己的学生，手机不仅不会对他们的学习造成负面影响，还能成为他们学习的有力助手，我校某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，部分统计数据如表：不使用手机使用手机合计学习成绩优秀人数281240学习成绩不优秀人数142640合计423880参考数据：，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（1）试根据以上数据，运用独立性检验思想，指出有多大把握认为中学生使用手机对学习有影响？（2）研究小组将该样本中不使用手机且成绩优秀的同学记为A组，使用手机且成绩优秀的同学记为B组，计划从A组推选的4人和B组推选的2人中，随机挑选两人来分享学习经验．求挑选的两人中一人来自A组、另一人来自B组的概率．20．已知F1，F2为椭圆的左、右焦点，过F2作斜率为﹣1的直线l1交椭圆E于A，B两，且AB⊥AF1，（1）求椭圆E的方程（2）过线段AB上任意一点M（不含端点），作直线l2与l1垂直，交椭圆E于C，D两点，求四边形ACBD面积的取值范围21．已知函数f（x）＝（x﹣a）cos x﹣sin x，g（x）＝x3﹣ax2，a∈R （Ⅰ）当a＝1时，求函数y＝f（x）在区间（0，）上零点的个数；（Ⅱ）令F（x）＝f（x）+g（x），试讨论函数y＝F（x）极值点的个数．（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．22．在直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为（t为参数）．曲线C2的参数方程为（θ为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）在极坐标系中，射线与曲线C1交于点M，射线与曲线C2交于点N，求△MON的面积（其中O为坐标原点）．23．已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣|x+2|．（Ⅰ）若不等式f（x）≥|m﹣1|有解，求实数m的最大值M；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正实数a，b满足3a2+b2＝M，证明：3a+b≤4．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合A＝{1，0，﹣1}，B＝{y|y＝2x﹣1，x∈A}，则A∩B＝（）A．{1，0，﹣1}B．{1，﹣1}C．{0}D．∅【分析】可求出集合B，然后进行交集的运算即可．解：B＝{1，﹣1，﹣3}；∴A∩B＝{1，﹣1}．故选：B．2．已知i为虚数单位，则复数z＝2i﹣的虚部是（）A．3i B．i C．3D．1【分析】利用已知条件转化方程通过复数的乘除运算求解即可．解：i为虚数单位，则复数z＝2i﹣＝2i﹣＝2i﹣1+i＝﹣1+3i，则其虚部是3，故选：C．3．已知数列{a n}为等差数列，前n项和为S n，且a5＝5，则S9＝（）A．25B．90C．50D．45【分析】根据题意，由等差数列的性质可得S9＝＝＝9a5，即可得答案．解：根据题意，数列{a n}为等差数列，则S9＝＝＝9a5＝45，故选：D．4．已知直线l，m，平面α、β、γ，给出下列命题：①l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；②α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β；④l⊥m，l⊥α，m⊥β，则α⊥β．其中正确的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用线面平行的性质定理判断①；利用面面平行的性质定理和线面垂直的性质定理可判断②；若α⊥γ，β⊥γ，则α与β平行或相交，可判断③；利用面面垂直的判定定理可判断④．解：①由线面平行的性质定理可知①正确；②由面面平行的性质定理可知，α∥γ，因为m⊥α，所以m⊥γ，即②正确；③若α⊥γ，β⊥γ，则α与β平行或相交，即③错误；④由面面垂直的判定定理可知④正确．所以正确的命题有①②④，故选：C．5．若||＝，||＝2且（﹣）⊥，则与的夹角是（）A．B．C．D．【分析】利用向量垂直的充要条件列出方程，利用向量的运算律化简等式，利用向量的数量积公式求出向量夹角的余弦值，求出向量的夹角．解：设向量的夹角为θ，∵，∴，∴，即2﹣2cosθ＝0，∴，∵0≤θ≤π，∴，故选：B．6．计算sin133°cos197°+cos47°cos73°的结果为（）A．B．C．D．﹣【分析】利用应用诱导公式、两角差的正弦公式化简三角函数式，可得结果．解：sin133°cos197°+cos47°cos73°＝sin47°（﹣cos17°）+cos47°sin17°＝sin（17°﹣47°）＝sin（﹣30°）＝﹣，故选：B．7．已知抛物线y2＝4x的焦点到双曲线（a＞0）的一条渐近线的距离为，则该双曲线的方程为（）A．x2﹣y2＝1B．﹣y2＝1C．﹣y2＝1D．﹣y2＝1【分析】求得抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程，运用点到直线的距离公式计算可得a＝，即可得到双曲线方程．解：抛物线y2＝4x的焦点为（1，0），双曲线（a＞0）的一条渐近线y＝x的距离为，由题意可得d＝＝，即有a＝，双曲线方程为：．故选：C．8．若x，y满足约束条件，则z＝4x+3y的最小值为（）A．9B．6.5C．4D．3【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可．解：x，y满足约束条件所表示的可行域为下图中的△ABC，当目标函数对应的直线z＝4x+3y经过点B（0，1）时，z取得最小值3．故选：D．9．定义在R上的奇函数f（x）＝a•2x﹣2﹣x﹣4sin x的一个零点所在区间为（）A．（﹣a，0）B．（0，a）C．（a，3）D．（3，a+3）【分析】根据奇函数的性质求出a的值，再很据f（1）•f（3）＜0，即可求出答案．解：∵定义在R上的奇函数f（x）＝a•2x﹣2﹣x﹣4sin x，∴f（0）＝a﹣1＝0，解得a＝1，∴f（x）＝2x﹣2﹣x﹣4sin x，∴f（1）＝1﹣2﹣4sin1＜0，f（3）＝8﹣﹣4sin3＞0，∴f（1）•f（3）＜0，∴函数一个零点所在的区间为（a，3），、故选：C．10．若直线l：4x﹣ay+1＝0与圆C：（x+2）2+（y﹣2）2＝4相切，则实数a的值为（）A．B．C．或1D．或1【分析】根据题意，分析圆的圆心以及半径，结合直线与圆的位置关系可得d＝＝2，解可得a的值，即可得答案．解：根据题意，圆C：（x+2）2+（y﹣2）2＝4，其圆心为（﹣2，2），半径r＝2；若直线与圆相切，则有圆心到直线的距离d＝＝2，解可得a＝；故选：A．11．已知四棱锥的各个顶点都在同一个球的球面上，且侧棱长都相等，高为4，底面是边长为3的正方形，则该球的表面积为（）A．B．C．36πD．34π【分析】设球半径为R，底面中心为O'且球心为O．利用底面ABCD是边长为3的正方形，且侧棱长都相等，若四棱稚的体积为，求出PO'＝4、OO'＝4﹣R，在Rt△AOO′中利用勾股定理建立关于R的等式，解出R，即可求出球的表面积．解：如图所示，设球半径为R，底面中心为O'且球心为O，∵底面ABCD是边长为3的正方形，且侧棱长都相等，高为4，则底面外接圆半径r＝3，由题意可得，PO'═4，OO'＝PO'﹣PO＝4﹣R．∵在Rt△AOO'中，AO2＝AO'2+OO'2，∴R2＝32+（4﹣R）2，解之得R＝．∴该球的表面积为4πR2＝．故选：B．12．关于x的方程kx＝sin x（k∈（0，1））在（﹣3π，3π）内有且仅有5个根，设最大的根是α，则α与tanα的大小关系是（）A．α＞tanαB．α＜tanαC．α＝tanαD．以上都不对【分析】将方程根的问题转化为图象的交点问题，先画图（如下），再观察交点个数即得．【解答】解：由原方程得sin x＝kx（x≠0），设函数f（x）＝sin x，g（x）＝kx，它们的图象如图所示：方程得sin x＝kx在（﹣3π，3π）内有且仅有5个根，α必是函数g（x）＝kx与f（x）＝sin x在（2π，3π）内相切时切点的横坐标，即切点为（α，sinα），故g（x）＝kx是f（x）＝sin x的切线，k＝cosα，再由sinα＝kα＝αcosα，故α＝tanα，故选：C．二、填空题：（共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.）13．如图，在△ABC中，∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB的长为．【分析】先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案．解：在△ADC中，AD＝5，AC＝7，DC＝3，由余弦定理得cos∠ADC＝＝﹣，∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°在△ABD中，AD＝5，∠B＝45°，∠ADB＝60°，由正弦定理得，∴AB＝故答案为：．14．已知正实数a，b满足＝3，则（a+1）（b+2）的最小值是．【分析】正实数a，b满足＝3，可得，b+2a＝3ab．展开（a+1）（b+2）＝ab+b+2a+2＝4ab+2，即可得出．解：∵正实数a，b满足＝3，∴，化为，当且仅当b＝2a＝时取等号．b+2a＝3ab．∴（a+1）（b+2）＝ab+b+2a+2＝4ab+2．故答案为：．15．设m＞0，点A（4，m）为抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，F为焦点，以A为圆心|AF|为半径的圆C被y轴截得的弦长为6，则圆C的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2＝25．【分析】由题意可得点A（4，m）到y轴的距离为4，又已知圆C被y轴截得的弦长为6，可求出|AF|的值，进一步得到p的值，把点A（4，m）代入抛物线的方程，求得m 的值，可得圆心和半径，从而得到所求的圆的标准方程．解：由题意可得点A（4，m）到y轴的距离为4，又已知圆C被y轴截得的弦长为6，得|AF|＝，则，∴p＝2．∵点A（4，m）为抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，∴．∴圆C的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2＝25．故答案为：（x﹣4）2+（y﹣4）2＝25．16．定义在R上的函数f（x）满足f'（x）﹣f（x）＜2e x（e为自然对数的底数），其中f'（x）为f（x）的导函数，若f（2）＝4e2，则＞xe x的解集为（﹣∞，2）．【分析】由f'（x）﹣f（x）＜2e x知，可构造函数g（x）＝﹣2x，g′（x）＜0⇒g （x）在R上为减函数；于是＞xe x⇔g（x）＞0，由g（2）＝与f（2）＝4e2可得：g（2）＝0，于是可得答案．解：解：∵f'（x）﹣f（x）＜2e x，∴构造函数g（x）＝﹣2x，则g′（x）＝﹣2＝﹣2＜0，∴g′（x）＜0，∴g（x）在R上为减函数．∵＞xe x⇔＞2x⇔g（x）＞0，又f（2）＝4e2，∴g（2）＝﹣4＝﹣4＝0，∴g（x）＞g（2），∴x＜2，∴＞xe x的解集的解集为（﹣∞，2），故答案为：（﹣∞，2）．三、解答题（共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题17．记S n为等比数列{a n}的前n项和，a1＝8，S3＝2（a2+3）．（1）求{a n}的通项公式；（2）已知T n＝a1a2…a n，求T n的最大值．【分析】（1）设{a n}的公比为q，由题意得：a1+a3＝a2+6，可得8+8q2＝8q+6，即4q2﹣4q+1＝0解出利用通项公式即可得出．（2），利用二次函数的单调性即可得出．解：（1）设{a n}的公比为q，由题意得：a1+a3＝a2+6所以8+8q2＝8q+6，即4q2﹣4q+1＝0则．所以．（2），当n＝3或4时，T n取得最大值，且（T n）max＝64．18．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，BC＝2，D是BC的中点，F是C1C（1）当CF＝2，求证：B1F⊥平面ADF；（2）若FD⊥B1D，求三棱锥B1﹣ADF体积．【分析】（1）证明B1F与两线AD，DF垂直，利用线面垂直的判定定理得出B1F⊥平面ADF；（2）若FD⊥B1D，则Rt△CDF∽Rt△BB1D，可求DF，即可求三棱锥B1﹣ADF体积．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵B1B⊥底面ABC，AD⊂底面ABC，∴AD⊥B1B．∵BC∩B1B＝B，∴AD⊥平面B1BCC1．∵B1F⊂平面B1BCC1，∴AD⊥B1F．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣在矩形B1BCC1中，∵C1F＝CD＝1，B1C1＝CF＝2，∴Rt△DCF≌Rt△FC1B1．∴∠CFD＝∠C1B1F．∴∠B1FD＝90°，∴B1F⊥FD．∵AD∩FD＝D，∴B1F⊥平面ADF．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）解：∵AD⊥面B1DF，，又，CD＝1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵FD⊥B1D，∴Rt△CDF∽Rt△BB1D，∴．∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19．在这智能手机爆发的时代，大部分高中生都有手机，在手机面前，有些学生无法抵御手机尤其是手机游戏和短视频的诱惑，从而导致无法专心完成学习任务，成绩下滑；但是对于自制力强，能有效管理自己的学生，手机不仅不会对他们的学习造成负面影响，还能成为他们学习的有力助手，我校某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，部分统计数据如表：不使用手机使用手机合计学习成绩优秀人数281240学习成绩不优秀人数142640合计423880参考数据：，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（1）试根据以上数据，运用独立性检验思想，指出有多大把握认为中学生使用手机对学习有影响？（2）研究小组将该样本中不使用手机且成绩优秀的同学记为A组，使用手机且成绩优秀的同学记为B组，计划从A组推选的4人和B组推选的2人中，随机挑选两人来分享学习经验．求挑选的两人中一人来自A组、另一人来自B组的概率．【分析】（1）根据题意计算观测值，对照临界值得出结论；（2）利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．解：（1）根据题意计算观测值为K2＝＝9.825＞7.879，所以有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响；（2）记A组推选的4人为a、b、c、d，B组推选的2人为E、F，则从这6人中任取2人，基本事件为：ab、ac、ad、aE、aF、bc、bd、bE、bF、cd、cE、cF、dE、dF、EF共15种；其中1人来于A组，1人来于B组的基本事件为：aE、aF、bE、bF、cE、cF、dE、dF共8种；故所求的概率为P＝．20．已知F1，F2为椭圆的左、右焦点，过F2作斜率为﹣1的直线l1交椭圆E于A，B两，且AB⊥AF1，（1）求椭圆E的方程（2）过线段AB上任意一点M（不含端点），作直线l2与l1垂直，交椭圆E于C，D两点，求四边形ACBD面积的取值范围【分析】（1）由题意可得AF1＝AF2＝a，即a2＝2c2，根据三角形的面积可得a2＝8，c2＝4，即可求出椭圆的方程，（2）直线l1的方程为y＝﹣x+2，求出点A，B的坐标，即可求出|AB|，再由直线l2的方程为y＝﹣x+m，根据韦达定理和弦长公式即可求出|CD|根据﹣＜m＜2，可得|CD|的范围，由S ACBD＝|AB|•|CD|，即可求出四边形ACBD面积的取值范围解：（1）由已知可得∠AF2F1＝45°，∴由AB⊥AF1和椭圆的定义可得AF1＝AF2＝a，并且2a2＝4c2，即a2＝2c2，又，可得a2＝8，c2＝4，故b2＝a2﹣c2＝4，∴椭圆E的方程为+＝1．（2）直线l1的方程为y＝﹣x+2，代入到+＝1，可得3x2﹣8x＝0，从而得A（0，2），B（，﹣），∴|AB|＝，又设直线l2的方程为y＝﹣x+m，由条件可得﹣＜m＜2，将y＝﹣x+m代入到+＝1，可得3x2+4mx+2m2﹣8＝0，设C（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2＝﹣m，x1x2＝，∴|CD|＝•＝•＝•＝•，∵﹣＜m＜2，∴0≤m2＜，∴＜12﹣m2≤12，∴＜|CD|≤．，当且仅当m＝0时取等号，∵S ACBD＝|AB|•|CD|，∴S ACBD＞××＝，S ACBD≤××＝，综上所述，四边形ACBD面积的取值范围是（，]21．已知函数f（x）＝（x﹣a）cos x﹣sin x，g（x）＝x3﹣ax2，a∈R （Ⅰ）当a＝1时，求函数y＝f（x）在区间（0，）上零点的个数；（Ⅱ）令F（x）＝f（x）+g（x），试讨论函数y＝F（x）极值点的个数．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可判断单调性，结合零点判定定理可求．（2）先求导，再分类讨论即可求出函数的单调区间和极值解：（1）a＝1时，f（x）＝（x﹣1）cos x﹣sin x，∴f′（x）＝（﹣x+1）sin x，x∈（0，），sin x＞0，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当1＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＝1时，函数取得最小值f（1）＝﹣sin1＜0，而f（0）＝﹣cos1＜0．f（）＝﹣1＜0，故函数f（x）在区间（0，）上零点的个数为0，（2）函数F（x）＝（x﹣a）cos x﹣sin x x3﹣ax2，∴F′（x）＝（x﹣a）（x﹣sin x），令F′（x）＝0，解得x＝a，或x＝0，①若a＞0时，当x＜0时，F′（x）＞0恒成立，故F（x）在（﹣∞，0）上单调递增，当x＞a时，F′（x）＞0恒成立，故F（x）在（a，+∞）上单调递增，当0＜x＜a时，F′（x）＜0恒成立，故F（x）在（0，a）上单调递减，故有2个极值点，②若a＜0时，当x＞0时，F′（x）＞0恒成立，故F（x）在（﹣∞，0）上单调递增，当x＜a时，F′（x）＞0恒成立，故F（x）在（﹣∞，a）上单调递增，当a＜x＜0时，F′（x）＜0恒成立，故F（x）在（a，0）上单调递减，故有2个极值点，③当a＝0时，F′（x）＝x（x﹣sin x），当x＞0时，F′（x）＞0恒成立，故F（x）在（0，+∞）上单调递增，当x＜0时，F′（x）＞0恒成立，故F（x）在（﹣∞，0）上单调递增，∴F（x）在R上单调递增，无极值．（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．22．在直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为（t为参数）．曲线C2的参数方程为（θ为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）在极坐标系中，射线与曲线C1交于点M，射线与曲线C2交于点N，求△MON的面积（其中O为坐标原点）．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（2）利用极坐标方程的应用和三角形面积的公式求出结果．解：（1）由曲线C1：（t为参数），消去参数t得：化简极坐标方程为：曲线C2：（θ为参数）消去参数θ得：化简极坐标方程为：ρ2（1+3sin2θ）＝7（2）联立，即联立，即故23．已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣|x+2|．（Ⅰ）若不等式f（x）≥|m﹣1|有解，求实数m的最大值M；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正实数a，b满足3a2+b2＝M，证明：3a+b≤4．【分析】（Ⅰ）不等式f（x）≥|m﹣1|有解，只需f（x）的最大值f（x）max≥|m﹣1|即可；（Ⅱ）3a2+b2＝4，由柯西不等式可得（3a2+b2）（3+1）≥（3a+b）2．解：（Ⅰ）若不等式f（x）≥|m﹣1|有解，只需f（x）的最大值f（x）max≥|m﹣1|即可．∵|x﹣1|﹣|x+2|≤|（x﹣1）﹣（x+2）|＝3，∴|m﹣1|≤3，解得﹣2≤m≤4，∴实数m的最大值M＝4．（Ⅱ）根据（Ⅰ）知正实数a，b满足3a2+b2＝4，由柯西不等式可知（3a2+b2）（3+1）≥（3a+b）2，∴（3a+b）2≤16，∵a，b均为正实数，∴3a+b≤4（当且仅当a＝b＝1时取“＝”）．。

【2020年数学高考】湖北省武汉市2020届高三毕业生四月调研测试数学(理)

名师精准押题武汉市2020届高中毕业生四月调研测试理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.51.复数的共轭复数是（）i-2A．2+i B．-2+i C．-2-i D．2-i22.已知集合M={x|x=1}，N={x|ax=1}，若N M，则实数a的取值集合为（）A．{1} B．{-1,1} C．{1,0} D．{1,-1,0}3.执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[-2,2]，则输出的S属于（）A．[-4,2] B．[-2,2] C．[-2,4] D．[-4,0]4.某几何体的三视图如图所示，则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离的最大值为（）A．3 B．6 C．23 D．265.一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从09中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为（）23A． B．51011C． D．510226.若实数a，b满足a>b>1，m=log(log b)，n=(log b)，l=log b，则m，n，l的大aa aa小关系为（）A．m>l>n B．l>n>m C．n>l>m D．l>m>n名师精准押题227.已知直线y=kx-1与双曲线x-y=4的右支有两个交点，则k的取值范围为（）55555A．(0,) B．[1,] C．( ,) D．(1,)22222b+cB+C8.在∆ABC中，角A、B、C的对应边分别为a，b，c，条件p：a≤，条件q A≤：，22那么条件p是条件q成立的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件1659.在(x+-1)的展开式中，含x项的系数为（）xA．6 B．-6 C．24 D．-242210.若x，y满足x-1+2y+1≤2，则M=2x+y-2x的最小值为（）24A．-2 B． C．4 D．-119π11.函数f(x)=2sin(ωx+)(ω>0)的图象在[0,1]上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为（）39π13π25π25πA．[2π,4π] B．[2π,) C．[,) D．[2π,)2666212.过点P(2,-1)作抛物线x=4y的两条切线，切点分别为A，B，PA，PB分别交x轴于E，F两点，O为坐标原点，则∆PEF与∆OAB的面积之比为（）3313A． B． C． D．2324二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知sinα=2cosα，则sinαcosα=．14.已知向量a，b，c满足a+b+2c=0，且a=1，b=3，c=2，则a⋅b+2a⋅c+2b⋅c=．ππ15.已知x∈(-,)，y=f(x)-1为奇函数，f'(x)+f(x)tan x>0，则不等式f(x)>cos x的22解集为．16.在四面体ABCD中，AD=DB=AC=CB=1，则四面体体积最大时，它的外接球半径名师精准押题R=．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 2n-117.已知正数数列{a}满足：a=2，a+a=+2(n 2).n1nn-1a-a nn-1（1）求a，a；2322（2）设数列{b}满足b=(a-1)-n，证明：数列{b}是等差数列，并求数列{a}的通项a.n nn nnn18.如图，在棱长为3的正方体ABCD-ABCD中，E，F分别在棱AB，CD上，且AE=CF=1. 1111（1）已知M为棱DD上一点，且DM=1，求证：BM⊥平面AEC. 11111（2）求直线FC与平面AEC所成角的正弦值.11122xy19.已知椭圆Γ：+=1，过点P(1,1)作倾斜角互补的两条不同直线l，l，设l与椭圆Γ交于12142A、B两点，l与椭圆Γ交于C，D两点.2（1）若P(1,1)为线段AB的中点，求直线AB的方程；AB（2）记λ ，求λ的取值范围. CD20.在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示. 名师精准押题（1）求这4000名考生的竞赛平均成绩x（同一组中数据用该组区间中点作代表）；22（2）由直方图可认为考生竞赛成绩z服正态分布N(μ,σ)，其中μ，σ分别取考生的平均成绩x2和考生成绩的方差s，那么该区4000名考生成绩超过84.41分（含84.81分）的人数估计有多少人？（3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过84.81分的考生人数为ξ，求P(ξ≤3).（精确到0.001）．．．2附：①s=204.75，204.75=14.31；2②zN(μ,σ)，则P(μ-σ<z<μ+σ)=0.6826，P(μ-2σ<z<μ+2σ)=0.9544；4③0.8413=0.501. x21.已知函数f(x)=xe-a(ln x+x)，a R. （1）当a e时，求f(x)的单调区间；（2）若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，l的极坐标方⎧x=3cosθ程为ρ(cosθ+2sinθ)=10，C的参数方程为（θ为参数，θ∈R）.⎨y=2sinθ⎩（1）写出l和C的普通方程；名师精准押题（2）在C上求点M，使点M到l的距离最小，并求出最小值. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知f(x)=ax-2-x+2.（1）在a=2时，解不等式f(x)≤1；（2）若关于x的不等式-4≤f(x)≤4对x∈R恒成立，求实数a的取值范围. 名师精准押题武汉市2020届高中毕业生四月调研测试理科数学参考答案一、选择题1-5: BDABC 6-10: BDABD 11、12： CC二、填空题2 15-13 15. (0,) 16.13. 14. 526三、解答题317.（1）由已知a+a=+2，而a 2，211a-a21222∴a-2=3+2(a-2)，即a-2a-3=0.2222而a>0，则a=3. 225又由a+a=+2，a=3，322a-a3222∴a-9=5+2(a-3)，即a-2a-8=0.3333而a>0，则a=4. 33∴a=3，a=4.2322（2）由已知条件可知：a-a=2(a-a)+2n-1，nn-1nn-12222∴(a-1)-(a-1)=n-(n-1)，nn-12222则(a-1)-n=(a-1)-(n-1)nn-122=⋅⋅⋅=(a-1)-2322=(a-1)-12=0，22而b=(a-1)-n，nn名师精准押题∴b=0，数列{b}为等差数列.nn22∴(a-1)=n.而a>0，n n故a=n+1.n18.解：（1）过M作MT⊥AA于点T，连BT，则AT=1. 111易证：∆AAE≅∆ABT，于是∠AAE=∠ABT. 111111由∠ABT+∠ATB=90，知∠AAE+∠ATB=90，1111111∴AE⊥BT.11显然MT 面AABB，而AE⊂面AABB，11111∴MT⊥AE，又BTMT=T，11∴AE⊥面MTB，∴AE⊥MB. 111连BD，则BD⊥AC. 111111又DM⊥AC，BDDM=D，1111111∴AC⊥面MDB，1111∴AC⊥MB.111由AE⊥MB，AC⊥MB，AEAC=A，111111111∴BM⊥面AEC.111（2）在DC上取一点N，使ND=1，连接EF. 111易知AE//FN.1∴V=V=VA-EFCN-EFCE-NFC1111111=⋅S⨯3=(⨯2⨯3)⨯3=3. NFC332∆AEC，AC=32，AE=10，1对于11111名师精准押题而EC=22，110+18+221由余弦定理可知cos∠EAC==.112⋅10⋅322011193∴∆A EC的面积S=AC⋅AE sin∠EAC=⨯32⨯10⋅=19. 11111122202由等体积法可知F到平面AEC之距离h满足111136V⨯19⋅h=3h=S⋅h=，则，∴，∆AECA-EFC33219FC=10，设FC与平面AEC所成角为θ，1111又111∴sinθ=619=6=3190. 95101902219.解：（1）设直线AB的斜率为k tanα，方程为y-1=k(x-1)，代入x+2y=4中，22∴x+2[kx-(k-1)]-4=0.222∴(1+2k)x-4k(k-1)x+2(k-1)-4=0.2222判别式∆=[4(k-1)k]-4(2k+1)[2(k-1)-4]=8(3k+2k+1). 设A(x,y)，B(x,y)，则1122⎧4k(k-1)x+x=⎪122⎪2k+1. ⎨22(k-1)-4⎪xx=122⎪⎩2k+1∵AB中点为(1,1)，12k(k-1)1∴(x+x)==1，则k=. 12222k+121∴直线的AB方程为y-1=(x-1)，即x-2y+1=0. 222（2）由（1）知AB=1+kx-x=(x+x)-4xx 121212名师精准押题1+k⋅8(3k+2k+1)22=. 22k+1设直线的CD方程为y-1=-k(x-1)(k≠0).1+k⋅8(3k-2k+1)22同理可得CD=.22k+1∴λ==(k≠0). 2AB3k+2k+12CD3k-2k+14k42∴λ=1+=1+. 123k+1-2k3k+-2k1令t=3k+，k4t∈(-∞,-23][23,+∞).则g(t)=1+，t-23][23,+∞)g(t)在(-∞,-2，分别单调递减，∴2-3≤g(t)<1或1<g(t)≤2+3. λ22故2-3≤λ<1或1<≤2+3. 6-26+2λ∈[,1)(1,]. 即2220.解：（1）由题意知：中间值455565758595概率0.10.150.20.30.150.1∴x=45⨯0.1+55⨯0.15+65⨯0.2+75⨯0.3+85⨯0.15+95⨯0.1=70.5，∴4000名考生的竞赛平均成绩x为70.5分. 2（2）依题意z服从正态分布N(μ,σ)，其中μ=x=70.5，2σ=Dξ=204.75，σ 14.31，22∴z服从正态分布N(μ,σ)=N(70.5,14.31)，名师精准押题而P(μ-σ<z<μ+σ)=P(56.19<z<84.81)=0.6826，1-0.6826∴P(z≥84.81)==0.1587. 2∴竞赛成绩超过84.81分的人数估计为0.1587⨯4000=634.8人≈634人. （3）全市竞赛考生成绩不超过84.81分的概率1-0.1587=0.8413. 而ξB(4,0.8413)，44∴P(ξ≤3)=1-P(ξ=4)=1-C⋅0.8413=1-0.501=0.499.421.解：（1）定义域为：(0,+∞)，x(1+x)(xe-e)当a=e时，f'(x)=.x∴f(x)在(0,1)时为减函数；在(1,+∞)时为增函数.（2）记t=ln x+x，则t=ln x+x在(0,+∞)上单增，且t∈R. xt∴f(x)=xe-a(ln x+x)=e-at=g(t). t∴f(x)在x>0上有两个零点等价于g(t)=e-at在t∈R上有两个零点. t①在a=0时，g(t) e在R上单增，且g(t)>0，故g(t)无零点；t②在a<0时，g'(t)=e-a在R上单增，又g(0)=1>0，11g()=e-1<0，故g(t)在R上只有一个零点；a a t③在a>0时，由g'(t)=e-a=0可知g(t)在t=ln a时有唯一的一个极小值g(ln a)=a(1-ln a). 若0<a<e，g=a(1-ln a)>0，g(t)无零点；最小若a=e，g 0，g(t)只有一个零点；最小若a>e时，g=a(1-ln a)<0，而g(0)=1>0，最小ln x ae2x>e时为减函数，可知：a>e时，e>a>a. 由于f(x)=在x名师精准押题a2从而g(a)=e-a>0，∴g(x)在(0,ln a)和(ln a,+∞)上各有一个零点.综上讨论可知：a e时f(x)有两个零点，即所求a的取值范围是(e, ). 22.解：（1）由l：ρcosθ+ρsinϕ-10=0，及x=ρcosθ，y=ρsinθ. ∴l的方程为x+2y-10=0. 22xy由x 3cosθ，y=2sinθ，消去θ得+=1. 94（2）在C上取点M(3cosϕ,2sinϕ)，则d==⋅5cos(ϕ-ϕ)-10. 3cosϕ+4sinϕ-101055⎧3cosϕ=⎪0⎪5其中，⎨4⎪sinϕ=0⎪⎩55当ϕ=ϕ时，d取最小值. 09898此时3sinϕ=3cosϕ=2sinϕ=2cosϕ=M(,)，，. 000555523.解：（1）在a=2时，2x-2-x+2≤1. 在x≥1时，(2x-2)-(x+2)≤1，∴1≤x≤5；在x≤-2时，-(2x-2)+(x+2)≤1，x≥3，∴x无解；11在-2≤x≤1时，-(2x-2)-(x+2)≤1，x≥-，∴-≤x≤1. 331综上可知：不等式f(x)≤1的解集为{x|-≤x≤5}. 3（2）∵x+2-ax-2≤4恒成立，而x+2-ax-2≤(1+a)x，名师精准押题或x+2-ax-2≤(1-a)x+4，故只需(1+a)x≤4恒成立，或(1-a)x+4≤4恒成立，∴a=-1或a=1. ∴a的取值为1或 1.。

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