2019-2020年高考模拟试卷(四)(数学理)

2019-2020年高考模拟试卷（四）（数学理）

数 学(理科)

说明：

1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷

3至6页。全卷150分，考试时间120分钟。

2. 将Ⅰ卷答案用2B 铅笔涂在答题卡上，卷Ⅱ用蓝黑钢笔或圆珠笔答在试卷上。

第Ⅰ卷 （共60分）

一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的)

1．已知全集U={1,2,3,4,5,6}，集合P={1,2,3,4}，Q={2,3,4,6}，则()()Q C P C U U ?中的元素个数为 ( ) A.0 B.1 C.3 D.5 2．已知复数Z 满足

()i Z i 333=+，则Z= ( )

A.

i 2323- B.i 4343- C.i 2323+ D.i A

343+ 3．若R k ∈，则“k ＞3”是 “方程

13

32

2=+--k y k x 表示双曲线”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个 大圆上，则该正三棱锥的体积是 ( ) A.

4

3

3 B.33 C. 43 D. 123

5．在△ABC 中，C 是直角，则sin 2

A+2sinB ( )

A.由最大值无最小值

B.有最小值无最大值

C.由最大值也有最小值

D.无最大值也无最小值

6．直线bx +ay =ab (a ＜0,b ＜0)的倾斜角是 ( ) A.??? ??-

a b arctan B.??

?

??-b a arctan C.a b arctan -π D.b a arctan -π

7.若a ＞0,b ＞0，则不等式a x

b <<

-1

等价于 （ ) A.a x x b 1001<<<<-或 B.b

x a 1

1<<-

C.b x a x 11>-<或

D.a

x b x 1

1>-<或

8．若函数f(x)=㏒a (x 3

-ax) (a ＞0,a ≠1)在区间(0,2

1

-

)内单调递增，则a 的取值范围 是 ( ) A.)1,41[ B.)1,43[ C.),4

9[+∞ D.)4

9,1[ 9．若函数2

1

()sin ()2

f x x x =-

∈R ，则f （x ）是 （ ） A.最小正周期为

π

2

的奇函数

B.最小正周期为π的奇函数

C.最小正周期为2π的偶函数

D.最小正周期为π的偶函数

10．将1，2，…，9这9个数平均分成三组，则每组的3个数都成等差数列的概率为（ ） A.

561 B.701 C.3361 D.420

1

11．在直角坐标系xOy 中，,i j 分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，

2AB i j =+，3AC i k j =+，则K 的可能值有 （ ）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个 12．对于已知直线a ，如果直线b 同时满足下列三个条件：

①与直线a 异面；②与直线a 所成的角为定值θ；③与直线a 的距离为定值d ；

那么，这样的直线b 有 ( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条

第Ⅱ卷

注意事项：1. 用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。

3. 本卷共10小题，共90分。

二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案写在题中横线上）

13．已知直线1)1(-+=x a y 与曲线ax y =2

恰有一个公共点，则实数a 的值为 。

14．若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”，设{n a }是公比为q 的无穷等比数列，下列{n a }的四组量中，一定能成为该数列的“基本量”的是第 组。（写出所有符合要求的组号）

①1S 与2S ②2a 与3S ③1a 与n a ④q 与n a

其中n 为大于1的整数，n S 为{n a }前n 项和。

15．定义在R 上的函数f(x)既是奇函数又是减函数，当x ∈[0,

2

π)，0)2()sin (sin 2>-++-f m x m x f 恒成立，则实数m 的取值范围是 ________ 。

16．在直角坐标系xOy 中，已知点A(0,1)和点（-3，4），若点C 在∠AOB 的平分线上，=2，则OC = 。

三、 解答题 (本大题共6小题，共74分). 17．（本题满分10）

设f （x ）= x x 2sin 3cos 62

- (Ⅰ)求f （x ）的最大值及最小正周期； (Ⅱ)若锐角α满足323)(-=αf ，求t an α5

4

的值。 18．（本题满分12）

甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是

32和4

3

。假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标相互之间也没有影响。 (Ⅰ) 求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；

(Ⅱ) 求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次，且乙恰好击中目标3次的概率；

(Ⅲ) 假设某人连续2次未击中目标,则终止其射击,问乙恰好射击5次后被终止射击的概率是多少? 19．（本题满分12）

S

A B

C N M

如图,在三棱锥S-ABC 中，ΔABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA=SC=32,M,N 分别为AB,SB 的中点。

（Ⅰ）求异面直线AC 与SB 所成角； （Ⅱ）求二面角 N-CM-B 的大小； （Ⅲ）求点B 到平面CMN 的距离。

20．（本题满分12）

已知x=1是函数f(x)=m 3

x -3(m+1)2

x +nx+1的一个极值点，其中m ，n ∈R ，m ＜0. （Ⅰ）求m 与n 的关系表达式； （Ⅱ）求f(x)的单调区间；

（Ⅲ）当x ∈[]1,1-时，函数y=f （x ）的图像上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围。

21. （本题满分12） 如图，已知椭圆

C ：122

=+

b y a x （a>b>0）的左、右焦点分别是21,F F ，离心率为e.直线L ：

y=ex+a 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 点，M 是直线L 与椭圆C 的一个公共点，P 是点1F 关于直

线L 的对称点。设AB AM λ=。

（Ⅰ）证明：λ=1-2

e ； （Ⅱ）确定λ的值，使得△P 21F F 是等腰三角形。 22．（本题满分12）

对于*

N n ∈,不等式??

???+-≤>>n nx y y x 200

所表示的平面区域为n D ,把n D 内的整点（横坐标与

纵坐标均为整数的点）按其到原点的距离从近到远排成点列： (11,y x ),(22,y x ),(33,y x ),…,(n n y x ,)。 （Ⅰ）求n x ，n y

（Ⅱ）数列{n a }满足11x a =，且2≥n 时)111(

21

22212

-+++=n n y y y y a ，证明当2≥n 时，2

2211

)1(n n a n a n n =

-++。 （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试比较（1

1

1a +）·（211a +）·（311a +）·…·（n a 11+）与4的

大小关系。

唐山一中2010年高考模拟试卷（四）

数 学(理科) 答案

一．选择题：1~4：BDAC ； 5~8：DCDB ； 9~12： DABD 。 二．填空题：13：0，–1，–54

14：①④ 15：

（–∞，2）16：（–510，5103） 三．解答题：

17．解：

（I ）f （x ）=1cos 2622

x

x +

=3c os2x －

n 2x 1

2sin 2)32

x x -+)36x π++

故f （x ）的最大值为3

最小正周期T=

22

π

π= ……………………………………………………9分

（II ）由f （α）=3-)336π

α+

+=-cos(2)16

π

α+=- 又0<α<

2π得26

66πππαπ<+<+，故26παπ+=，解得512π

α=

从而4

tan tan

5

3

π

α== …………………………………………12分

18．解：

(Ⅰ)记“甲连续射击4次，至少有一次未击中目标”为事件A 1，由题意，射击4次，相当于做

4次独立重复试验，故6427

)32(1)(1)(41=-=-=P A P ……………………4分

(Ⅱ)记“甲射击4次，恰有2次击中目标”为事件A 2，“乙射击4次，恰有3次击中目标”为事件B 2,则

6427)431()43()(,278)321()32()(342

342242242=

-==-=--C B P C A P

…………………………8分

(Ⅲ)记“乙恰好射击5次后被终止射击”为事件A 3，”乙第i 次射击未击中”为事件D i (i=1,2,3,4,5),则)(123453D D D D D A =，且41

)(=

i D P ,由各事件相互独立，故 102445

)41411(434141)()()()()(123453=

?-???==D D P D P D P D P A P

…………………………12分

19．解：

（I ）取AC 中点D ，连结SD ，DB 。

因为SA=SC,AB=BC,所以AC ⊥SD 且AC ⊥BD,所以AC ⊥平面SDB.

又SB ?平面SDB,所以AC ⊥SB.所以异面直线AC 与SB 所成角为900

。…………4分

（II ）因为AC ⊥平面SDB ，AC ?平面ABC, 所以平面SDC ⊥平面ABC. 过N 作NE ⊥BD 于E ，则NE ⊥平面ABC, 过E 作EF ⊥CM 于F ，连结NF,则NF ⊥CM, 所以∠NFE 为二面角N-CM-B 的平面角。

因为平面SAC ⊥平面ABC, SD ⊥AC,所以SD ⊥平面ABC. 又因为NE ⊥平面ABC ，所以NE ∥SD 。

由于SN=NB,所以NE=21SD=24122

1212

2=-=-AD SA ,且ED=EB. 在正△ABC 中，由平面几何知识可求得EF=2141=MB .

在Rt △NEF 中，tan ∠NFE=22=EF EN

所以二面角N-CM-B 的大小是arctan 22. ………………………………8分

（III ）在Rt △NEF 中,NF=232

2=+EN EF ,所以32

321=?=?NF CM S CMN , 322

1

=?=?BM CM S CMB .

设点B 到平面CMN 的距离为h, 因为CMB N CMN B V V --=,NE ⊥平面CMB,

所以NE S h S CMB CMN ?=???3131 则h=324=???CMN

CMB S NE S 即点B 到平面CMN 的距离为32

4。 ………………………………12分

20．解：

（I ）f ′(x)= 3m 2

x -6(m+1)x+n 因为x=1是f(x)的一个极值点，所以f ′(1)=0,即 3m-6(m+1)+n=0 所以 n=3m+6. ………………………………3分

(Ⅱ) 由（I ）知， f ′(x)= 3m 2

x -6(m+1)x+3m+6=3m （x-1）[x-（1+m 2

）].

当m<0时,有1>1+

m

2.

当

由表知，当m<0时，f （x ）在（-∞，1+2）内单调递减，在（1+2

，1）内单调递增，在（1，∞）内单调递减。 ………………………………7分 （Ⅲ）解法一 由已知条件，得f ′（x ）﹥3m ，即 m 2

x -2(m+1)x+2 > 0.

因为 m < 0,所以 2

x -m 2（m+1）+m 2

< 0, 即 2

x -2（1+m 1）x+m 2 < 0 , x ∈[-1,1] ①

设g （x ）= 2

x -2（1+1）x+2 ，其函数图像的开口向上。由题意①式恒成立，

所以

{

0)1(0)1(<<-g g ?{0

10

2122<-<+++m m ?

{

13

4

<--

?-

m <3

4

又m < 0,所以 -m <34< 0,

故m 的取值范围是 -m <34< 0. ………………………………12分

解法二 由已知条件，得f ′（x ）﹥3m ，即 3m （x －1）[x-(1+m

2)] > 3m.

因为m< 0,所以（x －1）[x-(1+2

)]< 1 ② (ⅰ)x=1时，②式化为0 < 1,恒成立，所以m< 0. （ⅱ）x ≠1时，因为 x ∈[-1,1]，所以 -2≤x-1＜0. ②式化为 2

<(x-1)-1

， 令t=x-1,则t ∈[-2，0〕.

记 g （t ）=t-t 1

， 则 g （t ）在区间[-2，0〕上是单调增函数，

所以 min )(t g =g （-2）=-2-21

-=-23. 由②式恒成立，必有 m 2 < -23 ?-34

< m.

又m < 0,综合（ⅰ），（ⅱ）知 -m <34< 0. ………………………………12分 21．解：

(Ⅰ) 因为A ，B 分别是直线

l ：y=ex+a 与x 轴，y 轴的交点，所以A ，B 的坐标分别是（e a

-，0），（0，a ）. 由

{

,

12

2

2

2

=++=b y a x

a

ex y 得 {a

b y c

x 2

=-= 这里 c=

22b a +，所以点M 的坐标是（-c ，a b 2

）.

由λ=得（-c+e a ，a b

2

）=λ（e a ，a ）

，即{

a

c a b

e a e

a

λλ==-2 ，解得λ=1-2

e

………………………………6分

(Ⅱ)因为1PF ⊥l ，所以∠P 21F F =90°+∠1BAF ,为钝角。要使△P 21F F 是等腰三角形，必有

211F F PF =，即c PF

=121. 设点1F 到l 的距离为d ，由 c d PF e ec a e a

c e ==

==+-+++-2

2

110)(121，

得

e e

e =+-2

211，λ=1-2e =32，所以 2e =31 ，于是λ=1-2

e =3

2. 即当λ=32时，△P 21F F 是等腰三角形。 ………………………………12分 22．解：

(Ⅰ)-nx+2n>0?x<2 又x>0且x ∈N* 所以x=1 故Dn 内的整点都落在直线x=1上且y<=n 。 故Dn 内的整点按其到原点的距离从近到远排成的点列为：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），…，

（1，n) 所以 x n =1,y n =n. …………………………4分 (Ⅱ)证：当n>=2时，由

a n =y n 2(

212221111-+++n y y y ),得21

22212111-+++=n n n y y y y a 即22

22)1(12111-+++=n n a n ① ∴222211

2111)1(n n a n +++=++ ②

②－①有22211)1(n n a n a n n =-++ 得证 …………………………9分

（Ⅲ）当n=1时，42111

<=+a ，当n=2时， 44

5

2)11)(11(2

1

22

122

1)1(11)1(+=+?+=+++n n a a n a n a n n n n

=+??+?+?+=++++

≥∴n

n n a a a a a a a a a a a a n 1111)11()11)(11)(11(3332213211 时， =?+?-?????=+?+??+?+??++-12

2

22222214332211)1()1(4332412)1(11111n n n n a n n n n a a a a a a a a a a ]1

)1(131211[22222n n +-+++

424)12(2)]111()3121()211(1[2)2(111)1(112<-=-=--++-+-+<∴≥--=-

n n n n

上式

4)1

1()11)(11)(11(321<++++

∴n

a a a a ………………………14分