含时间的微扰论-量子跃迁 Ⅰ. 含时间的微扰论-量子跃迁 Ⅱ. 微扰引起的跃迁
量子力学第9章-含时微扰【VIP专享】
Hm k
mk
2
2ie
i
mk
t
/
2
s
in(
1 2
mk
t
)
4|
Hm k
|2
sin2
(
1 2
mk
t
)
2mk 2
极限公式：
lim
sin2 (x) x2
( x)
则当t →∞ 时 上式右第二个分式有如下极限值：
lim t
sin
2
(
1 2
mkt)
1 4
mk
2t
(
1 2
mk )
2 ( m k )
2 ( m k )
（1）引进一个小参量，用 H' 代替 H'（在最后结果中再令 = 1）；
（2）将 an(t) 展开成下列幂级数； an an(0) an(1) 2an(2)
（3）代入上式并按幂次分类；
i
dam(0)
dam(1)
2
dam(2)
dt
dt
dt
n
[an(0) an(1) 2an(2) ]Hˆ m neimn t
因此,我们只需讨论 ω≈ ± ωmk 的情况即可。
（3）跃迁几率
当 ω=ωm k 时， 略去第一项，则
am(1)
Fmk
e i[mk ]t
mk
1
此 式 与 常 微 扰 情 况 的 表 达 式 类 似 ， 只 需 作 代 换 ： H’mk→ Fmk , ωmk → ωmk-ω，常微扰的结果就可直接引用，于是得简谐微扰情况 下的跃迁几率为：
m | Fˆ [eit eit ] | k
m | Fˆ | k [eit eit ] Fmk [eit eit ]
第5章 微扰理论-量子跃迁
§6.含时微扰论前面，我们解决的是H ˆ与t 无关，但不能直接求解，而利用020V m2P H ˆ+=有解析解，并且01V V H ˆ-=较小，通过微扰法求解)r (E )r ()p ˆ,r (H ˆψψ=的近似结果。
有时也能用试探波函数，通过变分来获得。
现在要处理的问题是：体系原处于0H ˆ的本征态（或叠加），而有一与t 有关的微扰)t (H ˆ1附加到该体系。
显然，这时体系的能量不是运动常数，其状态并不处于定态（即使1H ˆ在一段时间中不变），在0H ˆ的各定态中的几率并不是常数，而是随时间变化的。
而且无法获得解析结果。
有时附加作用在一段时间之后结束，这时体系处于0H ˆ的本征态的几率又不随时间变化。
当然，这与作用前的几率已有所不同。
也就是，体系可以从一个态以一定几率跃迁到另一态，这称为量子跃迁。
这就需要利用含时间的微扰论。
总之，含时间的微扰论就是处理体系所处的位势随时间发生变化时，或变化后，体系所处状态发生的变化。
H ˆ与t 有关，体系原处于)P ˆ,r (H ˆ0，随t 加一微动)t (V ψψH ˆti =∂∂ , )t (V H ˆ)t (H ˆ0+= 因0H ˆ不显含t ，而有 )r (E )r (H ˆn0n n 0ϕϕ= 则 ψψ0H ˆti =∂∂的通解为 ∑-=ψnt iEn n 0nea )t ,r (ϕ 0H 的定态∑=nn )t ,r (a ψt iEn ne )r ()t ,r (ϕψ=而 n a 是常数))0,r (),r (())t ,r (),t ,r ((a n n n ψ=ψ=ϕψ 不随t 变当nk n a δ=时，即0t =，处于)r (k ϕ时)t ,r (e )r ()t ,r (k t iEk kψϕ==ψ-即微扰不存在时，体系处于定态)t ,r (k ψ上。
当微扰存在时，特别是与t 有关时，则体系处于0H ˆ的各本征态（或定态） 的几率将可能随时间发生变化。
56与时间有关的微扰理论
能量并不守恒，mk 不确定。
３） mk
不确定的范围：
mk
:
1 t'
(10)
由于k分立，m连续，所以
mk
( m
k h
)
1 h
m
(11)
结果(10),(11)式： t ' m : h (12)
这个微扰过程是测量末态能量的过程：以ω试， 到达如何 mk 时跃迁，即可从初态推测到末态。 （12）式说明，测量时间间隔t’与能量不确定
１、先求的第k个本征态（初态） k 和第m 个本征态（末态）之间的微扰矩阵元：
Hµ'mk m* Hµ'k d Fmk (eit eit ) (2)
Fmk (m, Fµk),不含时。 (3)
２、将(2)式代入上节 am (t) 公式（5.6-10）,即（14） 式中积分：
am
(t)
1 ih
4
H
' mk
h2
2
sin2 mkt
2
2 mk
W 4 h
sin2 mkt
H
' mk
2
(m)
2
2 mk
dmk
(3)
(4)
利用公式
lim
t
sin2 xt
tx2
(x)
W 2t h
H
' mk
2
(m)mk dmk
(5)
如果对（5）式只考虑
H
' mk
和ρ(m)都随
m平滑变
化的情况，将他们移出积分号外。
dt
从k m （初态 终态）。即发生量子跃 迁，从一个定态 另一个定态，系统有局部的能
量子跃迁
Cnk (t) e−iEn t/ |ψn ⟩
Cnk (t) = ⟨ψn |ψ (t)⟩
我们增加k 的指标是为了表明扰动之前是处在|ψk ⟩这个本征态上，出现跃迁是从Ek 这个能级上跃迁出来 的。 按照统计诠释，t时刻测量力学量F ，得到Fn 的几率应该为 Pnk (t) = |Cnk (t)| = |⟨ψn |ψ (t)⟩|
) ′ ′ eiωmk t ∂Hmk (t′ ) ′ + dt |m⟩ e−iEm t/ = δmk − ωmk ωmk ∂t′ −∞ m ) ( ′ ∑ e−iEm t/ ∫ t ∂H ′ (t′ ) ∑ ′ Hmk ′ ′ mk |m⟩ e−iEk t/ − eiωmk t dt′ |m⟩ = |k ⟩ + ′ Ek − Em Ek − Em −∞ ∂t m m ∑ ( t) ∫
t > t0 t < t0
ˆ 0 ，在某个时刻开始加上一个扰 也就是说，在无外界相互作用的时候，体系Hamiltonian 为不含时的H ˆ ′ (t)。 动H ˆ 0 本征态|ψk ⟩上， t < t0 时是定态问题，系统处于H ˆ 0 |ψn ⟩ = En |ψn ⟩ H |ψk (t)⟩ = e−iEk t/ |ψk ⟩ (t < t0 )
t iωmk t′ ′ Hmk ′ ′
∫
(1) Cmk
(t)
当t < 0，H 有加上微扰，量子态随时间的演化只是一个非定 态的不含时问题，各成分保持不变。从另一个角度也可以理解为跃迁出去多少，从所有别的态跃迁回来 也是多少。 当0 < t < T ， Cmk (t) = −
(1) ′ eiωmk t Hmk ( t) + ωmk
∫
高中物理竞赛量子力学第20讲 量子跃迁的微扰理论
初始时刻的能量本征态 ，这种量子态为定态。 ˆ t 0，若 (0) ，则体系的 2、即使 H
k
状态由(5)式描述 非定态。
5
返
二、定态下量子态的跃迁(1)
ˆ t 0 且 (0) , 则 若 H k | (t ) e
iEk t /
| k
ˆ H ˆ ) | (t ) (8) i | (t ) ( H 0 t iEn t / iEn t / 左边 i Cnk (t )e | n E n Cnk e | n
n n
右边 E n Cnk e
n
iEn t /
(iEnt / ) k 利用(3)式，有 | (t ) an | n k! n k | (t ) an e iEnt / | n
n
(5) (6)
4
注意在(4)式中，an n | (0)
一、量子态随时间的演化(3) | (t ) an e iEnt / | n
n
(9)
在初始条件为| (0) | k 下求解(9)式。 由(8)式，即| (t ) Cnk (t )e
n n iEn t /
| n
| (0) Cnk (0) | n | k n | Cmk (0) | m n | k
| n Cnk e
n
iEn t /
ˆ | H n
8
二、定态下量子态的跃迁(4) iEn t / iEn t / ˆ i Cnk (t )e | n Cnk e H | n
n n
《量子力学》考试知识点
《量⼦⼒学》考试知识点《量⼦⼒学》考试知识点第⼀章：绪论―经典物理学的困难考核知识点：（⼀）、经典物理学困难的实例（⼆）、微观粒⼦波－粒⼆象性考核要求：（⼀）、经典物理困难的实例1.识记：紫外灾难、能量⼦、光电效应、康普顿效应。
2.领会：微观粒⼦的波－粒⼆象性、德布罗意波。
第⼆章：波函数和薛定谔⽅程考核知识点：（⼀）、波函数及波函数的统计解释（⼆）、含时薛定谔⽅程（三）、不含时薛定谔⽅程考核要求：（⼀）、波函数及波函数的统计解释1.识记：波函数、波函数的⾃然条件、⾃由粒⼦平⾯波2.领会：微观粒⼦状态的描述、Born⼏率解释、⼏率波、态叠加原理（⼆）、含时薛定谔⽅程1.领会：薛定谔⽅程的建⽴、⼏率流密度，粒⼦数守恒定理2.简明应⽤：量⼦⼒学的初值问题（三）、不含时薛定谔⽅程1. 领会：定态、定态性质2. 简明应⽤：定态薛定谔⽅程第三章：⼀维定态问题⼀、考核知识点：（⼀）、⼀维定态的⼀般性质（⼆）、实例⼆、考核要求：1.领会：⼀维定态问题的⼀般性质、束缚态、波函数的连续性条件、反射系数、透射系数、完全透射、势垒贯穿、共振2.简明应⽤：定态薛定谔⽅程的求解、第四章量⼦⼒学中的⼒学量⼀、考核知识点：（⼀）、表⽰⼒学量算符的性质（⼆）、厄密算符的本征值和本征函数（三）、连续谱本征函数“归⼀化”（四）、算符的共同本征函数（五）、⼒学量的平均值随时间的变化⼆、考核要求：（⼀）、表⽰⼒学量算符的性质1.识记：算符、⼒学量算符、对易关系2.领会：算符的运算规则、算符的厄密共厄、厄密算符、厄密算符的性质、基本⼒学量算符的对易关系（⼆）、厄密算符的本征值和本征函数1.识记：本征⽅程、本征值、本征函数、正交归⼀完备性2.领会：厄密算符的本征值和本征函数性质、坐标算符和动量算符的本征值问题、⼒学量可取值及测量⼏率、⼏率振幅。
（三）、连续谱本征函数“归⼀化”1.领会：连续谱的归⼀化、箱归⼀化、本征函数的封闭性关系（四）、⼒学量的平均值随时间的变化（⼀）、表象变换，⼳正变换（⼆）、平均值，本征⽅程和Schrodinger equation的矩阵形式（三）、量⼦态的不同描述⼆、考核要求：（⼀）、表象变换，⼳正变换1.领会：⼳正变换及其性质2.简明应⽤：表象变换（⼆）、平均值，本征⽅程和Schrodinger equation的矩阵形式1.简明应⽤：平均值、本征⽅程和Schrodinger equation的矩阵形式2.综合应⽤：利⽤算符矩阵表⽰求本征值和本征函数（三）、量⼦态的不同描述第六章：微扰理论⼀、考核知识点:（⼀）、定态微扰论（⼆）、变分法（三）、量⼦跃迁⼆、考核要求:（⼀）、定态微扰论1.识记：微扰2.领会：微扰论的思想3.简明应⽤：简并态能级的⼀级，⼆级修正及零级近似波函数4.综合应⽤：⾮简并定态能级的⼀级，⼆级修正、波函数的⼀级修正。
量子力学-含时间的微扰论-量子跃迁 Ⅱ. 微扰引起的跃迁 Ⅲ. 磁共振 Ⅳ. 绝热近似
a( 2) n
n'
)
则有
i
d dt
a(n0)
(
t)
0
i
d dt
a
(1) n
(
t
)
n'
Vnn
'einn'
ta
(0) n'
(t)
i
d dt
a
(2) n
(t)
n'
Vnn
'einn'
ta
(1) n'
(
t
)
于是有解 a(n0)(t) An ，它 与 t 无关。
由初条件 t t0 时，体系处于 Hˆ 0 的定
可，则
a
k(1) n
(t)
1 i
tt0
Vnk
( t1 )eiω nk t1
dt1
这表明，体系在 t0 时刻处于 Hˆ 0定态
k (r, t0)。在 t 时刻，体系可处于 Hˆ 0 的
定态
n (r, t)
， 而其概率幅为
a
k(1) n
(t)
（ n k ）。
因此，我们在 t 时刻，测量发现体系处于
这一态的概率为
Pkn
akn(1) (t) 2
1 2
tt0 Vnk (t1)einkt1dt1 2
例1 处于基态（ t ）的氢原
子，受位势
V(t) e x E0e t
（ 0 为实参数）扰动,
① 求 t 时，处于态 nlm 的
概率
Pnlm
1 2
eE0 nlm x 100 e t ei(EnE1)t dt 2
n1n2nm1
t
量子力学-含时间的微扰论 Ⅴ.贝利相位和贝利相位因子 第十一章 量子散射的近似方法Ⅰ.一些描述散射的物理量
K2 2
42
eiteit
普遍解为
((t))
Ac1 Ac2
Bc1 Bc2
A
K
Aeit Beit K 2 42 eit B K 2
K2 2
42
eit eit
若 t 0 ，电子处于 Hˆ 0本征值为 BB0 的本征态，其表示为
这要求
10
AB0
A K K2 42 B K K2 42 1
性，等概率）条件下：
单位时间跃迁概率，即跃迁率
wkn
e2 40
42 32
u(nk )
r nk
2
00
1 c2
H 1 A μ0
其中 u(nk ) 为辐射的能量密度分布，即光 强度分布。
第二十七讲
第十章 含时间的微扰论-量子跃迁
Ⅲ. 磁共振
A. 跃迁概率和跃迁率
B. 严格求解—Rabi 振荡
C. 一级近似公式的精确性
e2 4
(4)2 E02 4 (2)3(a03 ) 3
m 2
64a100k 3 (1 k2a02 )6
2
注意： 2m
k2
Ei
, Ei
e2 2a0
0 , 0
e2 2a0
k 2a02
0 0
,
1
k 2a02
0
40
256 3
a03E02
(
0
)6 (
0 0
)3
2
可以看到，在
4 3
0 处跃迁率达到极大。
0
1
2
Bb
2
ei(0 )t 1 2 i(0 )
Bbt
2
sin 1
2 1 ( 2
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nljmj
eB
2 mj
eB 2
† ljm
j
sˆ z
ljm
j
d
eB 2
2l 2l
2 1
m
j
2l 2l
1
m
j
j l1 2 j l1 2
所以，当放入弱磁场中，能级由
E(0) nlj
E(0) nlj
L
2l
2l 2l
2 1
m
j
2l
m 1
j
L
eB 2
根据偶极跃迁选择定则
j l1 2 j l1 2
E(0) l
(Hˆ 1 )flfl
E(0) 1
(Hˆ 1
)11
(Hˆ 1)1f1
0
0
0
0
0
0
(Hˆ 1 )f11
E(0) 1
(Hˆ 1 )f1f1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
E(0) l
(Hˆ 1)11
(Hˆ 1)1fl
0 0 0
0
0
0
0
0 0 0
0
0
0
0
(Hˆ 1)fl1
E(0) l
就是如此
Hˆ 0
Lˆ 2 2
Hˆ 1 d cos （ 在 z 方向）
所以
Hˆ 0 的能级
E(0) l
l(l
1) 2
2
有
2l 1
重简并。由于
[Hˆ 0,Lˆ z ] [Hˆ 1,Lˆ z ] 0
Hˆ 1
' a (0) (1) lk ' k 'k
l'
l'
k'
E(0) l
E ' a (0) k(2) l' l'l
(1) lk
' a (0) k(1) l' l'l
E(1) lk
' a (0) (1) lk ' k 'k
E (2) (0) lk lk
l'
l'
k'
以
(0) lki
标积得
(Hˆ 1
)flfl
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
E(0) l
(Hˆ 1
)ll
(Hˆ 1 )fll
(Hˆ 1 )lfl
E(0) l
(Hˆ 1
)flfl
应注意
★ 新的零级波函数 (ln0)之间是正交的
((ln0),(ln0) ) nn
★ Hˆ 1在 (ln0) 子空间中是对角的
(ln0) Hˆ 1 (ln0) E(ln1)nn
lkl 1 lk'
(1) lk1 k1k
Hˆ E (0)
(0)
lk2 1 lk"
(1) lk2 k 2k
E E (1)
(1)
lk1
lk2
即
Hˆ 1 对
(0) lkl
,
(0) lk2
对角且相等
2
Hˆ 0
' a (0) k(2) l' l'l
Hˆ 1
' a (0) k(1) l' l'l
2．简并能级下的一级微扰： 选定了正确的零级波函数后，对于
E(1) ln
E(1) ln
n n
所相应的波函数 (ln0)作微扰出发点，就可
以当作非简并态进行微扰处理。
现讨论
（ (ln0)
E(1) ln
E(1) ln
对所有
n n）
（
这就是
Hˆ 1在
(0) lk
子空间求得的本征态
和本征值）。于是，能量的一级微扰修正
的态，anlk(0) 可唯一地被确定，而 E(ln1) 中有相 等的 E(lm1) 的态，其零级波函数仍不能唯一地
确定。
E1(0)
(Hˆ 1)11
(Hˆ 1)1f1
(Hˆ 1)f11
E1(0) (Hˆ 1)f1f1
E(0) l
(Hˆ 1
)11
(Hˆ 1)1fl
(Hˆ 1 )fl1
l'
(0) l
Hˆ 1
(0) ln
E(0) l
E(0) l
'
l'
(0) l'
Hˆ 1
(0) ln
E( 0 ) l
E( 0 ) l'
2
（
, E(1) ln
E(1) ln
n n
）
第二十五讲
Ⅰ. 定态微扰论
D. 简并能级微扰的进一步讨论
Ⅱ. 变分法
A. 定理
B. Ritz 变分法
D. 简并能级微扰的进一步讨论
第二十四讲回顾
第九章 量子力学束缚态的近似方法 Ⅰ. 定态微扰论 B. 碱金属光谱的双线结构 和反常塞曼效应 C. 简并能级的微扰论
B. 碱金属光谱的双线结构和反常塞曼效应
1．碱金属光谱的双线结构
碱金属原子有一个价电子，它受到来
自原子核和其他电子提供的屏蔽库仑场作
用，V(r) ，价电子的哈密顿量为
态
(
(0) lk l
,
(0) lk 2
)
的零级波函数。由这样求出
的
E(2) lki
,
(0) lki
才是正确的能量二级修正及
零级波函数。
2. 简并态可用非简并微扰处理的条件
如 Hˆ 0与 Aˆ 对易，Hˆ 1 也与 Aˆ 对易。则
可选非微扰态为 (Hˆ 0, Aˆ )的共同本征态 。
若
Hˆ 0u(lk0)
0
a(0) 3
0, a(40)
1
3．简并态的二级微扰（条件：E(ln1)
E(1) ln
）
2 方程为
n n
Hˆ 0
' a (0) n(2) l' l'l
Hˆ 1
' a (0) n(1) l' l'l
Hˆ 1
' a (0) (1) ln' n'n
l'
l'
n'
E(0) l
' a (0) n(2) l' l'l
(0) lk
(
' a (0) k(1) l' l'l
'
a (0) (1) lk ' k 'k
)
l'
k'
2(
' a (0) k(2) l' l'l
'
a (0) (2) lk ' k 'k
)
l'
k'
应注意二点：
ⓐ 求和 ' 不包括 k1, k 2 k'
ⓑ 显然
Hˆ E (0)
(0)
Hˆ 1
(0)
(0)
l'
l'
E(0) l
E(0) l'
Hˆ 1
(0) lk j
E(lk2)ij akj (0) 0
l'
'
(0) lk i
Hˆ 1
(0) l'
(0) l'
E(0) l
E(0) l'
Hˆ 1
(0) lk j
E(lk2)ij 0
i, j 1,2
由这解出
E(2) lki
若 E(lk21) E(lk2)2 ，则可唯一地确定简并
所以，这时每条能谱线的多重态是偶 数；多重态的能级间距随不同能级而不同 ；而光谱线也是偶数条。
C. 简并能级的微扰论
当体系的一些能级是简并时，那考虑
这些能级所受的扰动影响时，就不一定能
利用上述公式。对简并能级的微扰问题的
处理与非简并问题的处理，实质的不同在
于零级波函数的选取。即要正确选取零级
波函数。
l 1 j 0,1 m j 0,1
P1 2 — S1 2 有四条光谱线
4 3
L
(0) 1 21
2
2 3
L
2 3
L
4 3
L
1 1 22 1 1 22
11 22 11 22
P3 2 — S1 2 有六条光谱线
5 3
L
L
(0) 3 21
2
1
3 1
3
L L
L
5 3
L
1 1 22
31 22 1 1 22 11 22 3 1 22 11 22
(0) ln
Hˆ 1
(0) l'n'
V(l, l ', n)nn'
所以，如选 Hˆ 0 ，Aˆ 的共同本征态作 为零级波函数，(ln0)，则有
0l'n' Hˆ 1 0ln 0 n n （ l任意）
这时简并态
(ln0（)
n
n ）对
(0) ln
没有影
响。因此，可用非简并微扰方法处理。
例 前述刚体转子在均匀电场中处理
a(0) 1
a(0) 2
a(0) 3
a(0) 4
0
E(1) 2
3ae
2(20)
1 2
(200
210 )
a(0) 1
a(20)
a(0) 3
a(0) 4
0